七、系统误差的计算
物理误差计算公式
物理误差计算公式1. 绝对误差（Absolute Error）绝对误差是指测量结果与真实值之间的差异。
公式如下：绝对误差=测量结果-真实值2. 相对误差（Relative Error）相对误差是指绝对误差与真实值之比。
公式如下：相对误差=(绝对误差/真实值)×100%3. 平均绝对误差（Mean Absolute Error）平均绝对误差是多次测量结果绝对误差的平均值。
公式如下：平均绝对误差=∑(绝对误差)/n4. 标准误差（Standard Error）标准误差是多次测量结果与其平均值之间的差异的标准偏差。
公式如下：标准误差=√[(∑((测量结果-平均值)^2))/(n-1)]5. 百分比误差（Percentage Error）百分比误差是相对误差的绝对值。
公式如下：百分比误差=，(测量结果-真实值)/真实值，×100%6. 最大误差（Maximum Error）最大误差是多次测量结果的绝对误差中的最大值。
在测量数据中，最大误差通常是指具有最大偏离真实值的测量结果。
7. 系统误差（Systematic Error）系统误差是指由于测量仪器、实验操作等方面的固有不准确性导致的误差。
系统误差通常是恒定的，并且会对所有测量结果产生相同的偏差。
8. 随机误差（Random Error）随机误差是由于实验条件的不确定性、观察不准确等原因导致的误差。
随机误差是不可避免的，并且会导致多次测量结果之间的差异。
在实际应用中，根据具体的测量任务，可以选择适当的误差计算公式。
选取合适的误差计算公式非常重要，因为不同的误差计算公式强调不同的方面，能够提供不同的信息。
科学家和工程师在测量过程中通常会计算多种类型的误差，以便综合评估测量结果的准确性和可靠性。
总之，了解物理误差计算公式有助于我们评估实验结果的准确性，并提高实验的可靠性。
熟练掌握不同类型的误差计算公式，可以帮助我们更好地分析实验结果，优化实验设计，减小误差，提高实验的精确度。
系统误差的计算方法
系统误差的计算方法系统误差是指测量结果与真实值之间的差异，它是测量过程中不可避免的。
在各个领域中，对系统误差的计算方法有着重要的意义。
本文将介绍几种常见的系统误差计算方法。
一、零点偏移法零点偏移法是一种常见的系统误差计算方法，适用于一些有零点参考的测量仪器。
它的基本原理是通过改变零点参考值，来观察测量结果的变化，从而得到系统误差的估计值。
具体操作步骤如下：1. 将被测量物体放在测量仪器上，并记录下测量结果。
2. 将零点参考值调整一个小幅度，如增加或减小一个固定值。
3. 再次记录测量结果，并计算两次测量结果的差值。
4. 重复上述步骤，直到得到多组测量结果的差值。
5. 将所有差值的平均值作为系统误差的估计值。
二、标定法标定法是一种常用的系统误差计算方法，适用于一些需要精确度较高的测量。
它的基本原理是通过与已知准确值进行比较，来得到系统误差的估计值。
具体操作步骤如下：1. 准备一个已知准确值的标准样品或仪器。
2. 将被测量物体放在测量仪器上，并记录下测量结果。
3. 将标准样品或仪器放在同一测量仪器上，并记录下测量结果。
4. 计算被测量结果与标准结果之间的差值。
5. 重复上述步骤，直到得到多组差值。
6. 将所有差值的平均值作为系统误差的估计值。
三、回归法回归法是一种常用的系统误差计算方法，适用于一些需要考虑多个因素影响的测量。
它的基本原理是通过建立一个数学模型，来描述测量结果与各个因素之间的关系，并通过回归分析来得到系统误差的估计值。
具体操作步骤如下：1. 收集多组具有不同因素水平的测量数据。
2. 建立一个数学模型，将测量结果作为因变量，各个因素作为自变量。
3. 进行回归分析，得到各个因素对测量结果的影响程度。
4. 根据回归分析结果，计算出系统误差的估计值。
四、平均法平均法是一种简单且常用的系统误差计算方法，适用于一些测量误差较小的情况。
它的基本原理是通过重复测量同一个物体，并取多次测量结果的平均值来减小系统误差的影响。
误差理论与数据处理知识总结
1.1.1 研究误差的意义为：1)正确认识误差的性质，分析误差产生的愿意，以消除或者减小误差2)正确处理测量和试验数据，合理计算所得结果，以便在一定条件下得到更接近于真值的数据3)正确组织实验过程，合理设计仪器或者选用仪器和测量方法，以便在最经济条件下，得到理想的结果。
1.2.1 误差的定义：误差是测得值与被测量的真值之间的差。
1.2.2 绝对误差：某量值的测得值之差。
1.2.3 相对误差：绝对误差与被测量的真值之比值。
1.2.4 引用误差：以仪器仪表某一刻度点的示值误差为份子，以测量范围上限值或者全量程为分母，所得比值为引用误差。
1.2.5 误差来源： 1)测量装置误差 2)环境误差 3)方法误差 4)人员误差1.2.6 误差分类：按照误差的特点，误差可分为系统误差、随机误差和粗大误差三类。
1.2.7 系统误差：在同一条件下，多次测量同一量值时，绝对值和符号保持不变，或者在条件改变时，按一定规律变化的误差为系统误差。
1.2.8 随机误差：在同一测量条件下，多次测量同一量值时，绝对值和符号以不可预定方式变化的误差称为随机误差。
1.2.9 粗大误差：超出在规定条件下预期的误差称为粗大误差。
1.3.1 精度：反映测量结果与真值接近程度的量，成为精度。
1.3.2 精度可分为：1)准确度：反映测量结果中系统误差的影响程度2)精密度：反映测量结果中随机误差的影响程度3) 精确度：反映测量结果中系统误差和随机误差综合的影响程度，其定量特征可用测量的不确定度来表示。
1.4.1 有效数字：含有误差的任何近似数，如果其绝对误差界是最末位数的半个单位，那末从这个近似数左方起的第一个非零的数字，称为第一位有效数字。
从第一位有效数字起到最末一位数字止的所有数字，不管是零或者非零的数字，都叫有效数字。
1.4.2 测量结果应保留的位数原则是：其最末一位数字是不可靠的，而倒数第二位数字应是可靠的。
1.4.3 数字舍入规则：保留的有效数字最末一位数字应按下面的舍入规则进行凑整：1)若舍去部份的数值，大于保留部份的末位的半个单位，则末位加一2)若舍去部份的数值，小于保留部份的末位的半个单位，则末位不变3)若舍去部份的数值，等于保留部份的末位的半个单位，则末位凑成偶数。
测量中误差计算公式(很有用哦)
测量误差按其对测量结果影响的性质，可分为：一.系统误差（system error）1.定义：在相同观测条件下，对某量进行一系列观测，如误差出现符号和大小均相同或按一定的规律变化，这种误差称为系统误差。
2.特点：具有积累性，对测量结果的影响大，但可通过一般的改正或用一定的观测方法加以消除。
二.偶然误差（accident error）1.定义：在相同观测条件下，对某量进行一系列观测，如误差出现符号和大小均不一定，这种误差称为偶然误差。
但具有一定的统计规律。
2.特点：（1）具有一定的范围。
（2）绝对值小的误差出现概率大。
（3）绝对值相等的正、负误差出现的概率相同。
（4）数学期限望等于零。
即：误差概率分布曲线呈正态分布，偶然误差要通过的一定的数学方法（测量平差）来处理。
此外，在测量工作中还要注意避免粗差（gross error）（即：错误）的出现。
§2衡量精度的指标测量上常见的精度指标有：中误差、相对误差、极限误差。
一.中误差方差——某量的真误差，[]——求和符号。
规律：标准差估值（中误差m）绝对值愈小，观测精度愈高。
在测量中，n为有限值，计算中误差m的方法，有：1.用真误差（true error）来确定中误差——适用于观测量真值已知时。
真误差Δ——观测值与其真值之差，有：标准差中误差（标准差估值）， n为观测值个数。
2.用改正数来确定中误差（白塞尔公式）——适用于观测量真值未知时。
V——最或是值与观测值之差。
一般为算术平均值与观测值之差，即有：二.相对误差1.相对中误差=2.往返测较差率K=三.极限误差（容许误差）常以两倍或三倍中误差作为偶然误差的容许值。
即：。
§3误差传播定律一.误差传播定律设、…为相互独立的直接观测量，有函数，则有：二.权（weight）的概念1.定义：设非等精度观测值的中误差分别为m1、m2、…m n，则有：权其中，为任意大小的常数。
当权等于1时，称为单位权，其对应的中误差称为单位权中误差（unit weight mean square error）m0，故有：。
控制工程基础—第7章控制系统的误差分析与计算
ss 0
(3)Ⅱ型系统（N=2）
静态位置误差系数为Kp=∞，稳态误差ss=0。 图7-4 所示为单位反馈控制系统的单位阶跃响应 曲线，其中图7-4a为0型系统；图7-4b为Ⅰ型或 高于Ⅰ型系统。
图7-4 单位阶跃响应曲线
2. 静态速度误差系数Kv 系统对斜坡输入X(s)= R/s2的稳态误差称为速度误 差，即
图7-6 单位加速度输入的响应曲线
表7-1 单位反馈系统稳态误差 ss 输入信号 系统 类型 阶跃 x(t)=R
R 1 K
斜坡 x(t)=Rt
R K
加速度
R 2 x( t ) t 2
0型 Ｉ型 Ⅱ型
R K
0 0
0
三、其它输入信号时的误差
如果系统承受除三种典型信号之外的某一信号x(t) 输入，此信号x(t)在t=0点附近可以展开成泰勒级 数为 ：
1 R R ss lim s . 3 2 s0 1 G( s ) s lim s G ( s )
s0
（ 7-20 ）
静态加速度误差系数Ka定义为：
K a lim s G( s )
2 s 0
（ 7-21 ） （ 7-22 ）
所以
R ss Ka
(1) 0 型系统（N=0）
稳态误差 对式（7-5）进行拉氏反变换，可求得系统的误差 (t) 。对于稳定的系统，在瞬态过程结束后，瞬 态分量基本消失，而(t)的稳态分量就是系统的 稳态误差。应用拉氏变换的终值定理，很容易求 出稳态误差：
E ( s) ss lim ( t ) lim s ( s ) lim s t s0 s0 H ( s)
K v lim sG ( s )
误差及其计算
给出测量范围即知被测量的上、下限和量程， 但仅知道量程，却无法判断测量范围。
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动态特性——响应时间
响应时间
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误差及其计算
2传0知1万9/物12/感2创7未传来知万物 感创未来
用来表示仪表或装置能够检测被测量的最小量变化的性能指标。 分辨力：输入量从某个任意值（非零值）缓慢增加，直到可以测量
到输出的变化为止，此时的输入量的变化量即分辨力。 即传感器能检测出被测信号的最小变化量。（传感器能检测出的输 入量的最小变化量） 分辨率：以最大量程的百分数表示，即：
最小输入量/输入最大量程×100% • 一般模拟式仪表的分辨力规定为最小刻度分格值的一半 • 数字式仪表的分辨力为最后一位的一个字。
二、测量误差
测量误差：检测结果和被测量的客观真值之间存在的差 别。
只能根据需要和可能将误差限制在一定范围内，而不可能完全消除。 测量误差的主要来源：工具误差、环境误差、方法误差、人员误差 测量误差的分类
– 按误差的表示方法分：绝对误差、相对误差 – 按误差出现的规律分：系统误差、随机误差、粗大误差 – 按被测量与时间的关系分：静态误差、动态误差
未来常州信息职业技术学院传知万物感创未来什么是传感器信息传送信息获取信息处理感官神经大脑肢体通信技术传感器技术计算机技术执行机构未来常州信息职业技术学院传知万物感创未来自动检测系统的组成传感器测量电路电源指示仪记录仪数据处理仪器未来常州信息职业技术学院传知万物感创未来检测系统基本特性静态特性当被测量不随时间变化或变化很慢时可以认为检测系统的输入量和输出量都和时间无关表示它们之间关系的是一个不含时间变量的代数方程在这种关系基础上确定的检测装置性能参数称为静态特性
误差传递的计算方式全解
小结：分析结果的绝对误差 ER等于各个 测量值的绝对误差的代数和或差。
B、乘除运算
• 设：R为分析结果A，B，C三个测量值
AB • 相乘除的结果，如计算式是：R C E 则得到： R E A E B E C R A B C
小结：分析结果的相对误差，是各测量步 骤相对误差的代数和（即：在乘法运算中，分 析结果的相对误差是各个测量值的相对误差之 和、而除法则是它们的差）。
提高分析结果准确度的方法
1. 选择合适的分析方法
2. 减小测量误差
3. 减小随机误差
4. 消除系统误差
a. 对照试验
b. 空白试验
c. 校准仪器 d. 分析结果校正
（1）选择合适的分析方法
• 各种分析方法的准确度和灵敏度不相同， 必须根据被测组分的具体含量和测定的要 求来选择方法。例如， • 用重铬酸钾法测铁，得：铁的质量分数为 40.20%，方法的相对误差为0.2%，则铁的 含量为：40.12%~40.28% • 同一样品用直接比色法测定,因方法的相对 误差为2%,得铁的含量为： • 所以对于高含量的组分应采用化学分析法 41.0%~39.4%，误差显然较大。
EA E R 0.434 m A
（2）偶然（随机）误差的传递
• A．加减运算 计算结果的方差（标准偏差的平方）是各 测量值方差的和，如R=A+B-C，则：
S
2 R
S A S B SC
2
2
2
b. 乘除运算
• 计算结果的相对标准偏差的平方是各测 量值相对平均偏差平方的和，对于算式 R=A×B/C，则：
误差传递的形式
• 分析结果计算式多数是加减式和乘除 式，另外是指数式。误差传递包括系 统误差的传递和偶然误差的传递。下 面分别讨论： • （1）系统误差的传递 • （ 2）偶然误差的传递
系统误差的判断与评估方法
系统误差的判断与评估方法在科学研究和工程应用中，系统误差是一个重要的概念。
系统误差是指在测量或实验中由于仪器、方法等方面的原因造成的固定偏差。
系统误差的存在会对测量结果产生影响，因此准确判断和评估系统误差是非常重要的。
1. 标准参考物质法标准参考物质法是一种常用的判断和评估系统误差的方法。
它通过使用已知浓度或含量的标准物质作为参比物质，与待测样品进行比较，从而确定系统误差的大小。
这种方法可以有效地消除仪器和方法的系统误差，提高测量结果的准确性。
2. 重复测量法重复测量法是一种直观且简单的判断系统误差的方法。
它通过对同一样品进行多次测量，然后计算测量结果的平均值和标准差，从而判断系统误差的大小。
如果多次测量的结果接近且标准差较小，则可以认为系统误差较小；反之，则可能存在较大的系统误差。
3. 反演法反演法是一种通过反向操作来判断和评估系统误差的方法。
它通过在测量中引入已知大小和方向的系统误差，并对测量结果进行反向操作，从而得到修正后的结果。
通过比较修正后的结果与实际值的差异，可以判断系统误差的大小和方向。
4. 校准曲线法校准曲线法是一种常用的评估系统误差的方法。
它通过使用一系列已知浓度或含量的标准物质，建立测量结果与标准值之间的关系曲线，从而评估系统误差的大小。
通过观察曲线的斜率和截距，可以判断系统误差的影响程度。
5. 不确定度分析法不确定度分析法是一种综合考虑各种误差来源，并根据相关统计学原理进行分析和计算的方法。
它通过对各种误差来源的贡献进行合理的估计，计算出测量结果的不确定度，从而评估系统误差的大小。
不确定度分析法可以提供更为全面和准确的系统误差评估结果。
准确判断和评估系统误差对于科学研究和工程应用具有重要意义。
通过合理选择和应用判断和评估系统误差的方法，可以提高测量结果的准确性和可靠性，为科学研究和工程实践提供可靠的数据支持。
因此，在实际应用中，我们应该根据具体情况选择合适的方法，并结合其他相关技术手段，全面评估系统误差，并采取相应的措施进行修正和改进。
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直接与间接测量的系统误差分析
陈军灵
摘 要 本文论述了在电气工程中直接测量与间接测量的系统误差的分析，并列举系统误差计算范例。
关键词 系统误差 直接测量 间接测量
在电气测量技术中，按测量方法可分为直接测量和间接测量。
测量误差可分为系统误差、偶然误差和疏失误差三大类[1]。
在电气工程测量中，主要考虑的是系统误差。
系统误差可按下面方法进行计算。
1．直接测量
在仪表的正常工作条件下，测量结果中的误差即是所使用仪表本身的基本误差，可以根据仪表的准确度等级计算。
例如仪表测量时的读数为Ax ，仪表量程为A m ，准确度等级为K ，则测量结果可能出现的最大相对误差为
100%A K%A γx m max ⨯±= （1）
例如；用量限为30A ，准确度为1.5级的安培表，测得电流为10A ，求可能出现的最大相对误差m ax γ：
4.5%100%10300.015γmax ±=⨯⨯±= 即最大相对误差为±4.5%
2．间接测量 设y 为可直接测量的局部量x 1、x 2、x 3的测量结果。
y γ为y 的相对误差（合
成相对误差）。
x1γ、x2γ、x3γ为对应于x 1、x 2、x 3的相对误差（局部量的相对误差）。
因此
当 y=x 1+x 2+x 3
则 x33x22x11y γy x γy x γy x γ++= （2）
当 y=x 1-x 2
则 x22x11y γy x γy x γ+= （3） 当 y=x 1x 2
则 x2x1y γγγ+= （4）
当 y ＝2
1x x 则 x2x1y γγγ-= （5）
当 y=q 3n 2m 1x x x ⋅⋅
则 x3x2x1y q γn γm γγ++= （6）
由此可见，
（2）式：当被测量y 为可直接测值x 1、x 2、x 3之和时，合成相对误差
y γ不
会大于各局部相对误差x γ中的最大者。
例如；电流表测量得出两并联支路电流:I 1=10.0A,1γ=±2.0%,I 2=20.0A,2γ=
±4.0%,求电路总电流I 以及可能产生的最大相对误差y γ。
I=I 1+I 2=10.0+20.0=30.0A
最差的情况出现在合成最大相对误差取同符号。
即
3.33%
4.0%30.020.02.0%30.010.0γI I γI I γ2211y =⨯+⨯=+= （3）式：当被测量y 为两个被测量之差时，合成的相对误差不仅与局部相对误差有关，而且与两被测量之差有关。
若两被测量之差越大，合成相对误差越小，反之两被测量之差越小，则合成相对误差越大，当x 1、x 2的值很接近时，将出现非常大的间接测量相对误差，所以工程上要尽量避免这样的间接测量。
例如；电压表测得串联电路的电压U ＝1000V , U γ＝±3%；U 1＝800V , 1γ＝±3%，求U 2最大相对误差2γ。
根据 U 2＝U ―U 1＝1000－800＝200V
2γ =%27%3*200
800%3*2001000=+
（4）式：被测量y 为几个量之积时，对y ＝x 1 x 2两边取对数得
lny=ln x 1+ln x 2
两边微分 2
211x dx x x y y +=d d 式中2
211x dx x x y y 、、d d 分别为被测量和局部量的相对误差。
所以合成相对误差即为
x2x1y γγγ+=从式中可见，如果局部量的相对误差为一正一负，则合成相对误差最小，假如局部相对误差为同一符号，则合成相对误差最大。
工程上应注意避免。
又如；测量得某纯电阻电路的电流I=10.0A,1γ=±3.0%,电压U=50.0V ，U γ=±4.0%。
求其功率P 和可能产生的最大相对误差P γ。
P=UI=50.0×10.0=500W
1γγγ+=U P =±(4.0+3.0)%=±7.0%
(5)式：被测量为几个量之商时，其推导与(4)式类似，但合成相对误差的最大值可能出现在局部相对误差为一正一负时。
某电路的测量数据有：电阻器R=100Ω，γR =－0.10%,电阻两端的电压U R =30.0V , γI =+0.20%，求流过电阻器的电流I R 和相对误差γI
I R =0.30A 10030.0R U R ==
R U γγγ-=1=0.20-(-0.10)%=0.30%
(6)式：被测量为局部量的乘方时，合成相对误差比局部误差大一倍，如21x y =,x1y 2γγ=。
被测量为局部量的开方时，合成相对误差比局部误差小一倍，如y=2
1x ，x y γ21γ=。
通过测量已知导体两端的电压U 和导体的电阻R 以及时间t 来计算消耗在导体内的能量W 。
U 、R 、t 的相对误差分别为U γ=±0.01%，R γ=±0.50%，t γ=±1.5%。
求间接测量电能W 的最大相对误差。
因为被测量W 与直接可测局部量U ，R ，t 之间的函数关系为：
t R U W 2
=
所以最大的相对误差为
w γ=2U γ-R γ+t γ=±(2×0.01-0.50+1.5)%= ±1.02%
3．结论
综上所述，间接测量时，需进行几次不同量或不同数值的直接测量，再根据它们共同遵循的函数关系（公式）计算出最后结果，每次测量的误差，都将对最后结果有所影响。
一般说来，若函数关系是相乘或相除的关系，则先计算其相对误差再用相对误差乘以被测量本身数值即可求出绝对误差。
如果函数关系是相加或相减的关系，则先计算绝对误差较为方便。
对于直接测量，主要考虑所用仪表、仪器的基本误差。
若测量条件不满足仪表的正常工作条件，则需要考虑附加误差。
这时测量结果的最大误差应是仪表的基本误差和附加误差之和。
关于附加误差的计算方法，可查阅国家标准的有关规定[2]。
参考文献
[1]张渭贤 华南理工大学出版社 1991.12
[2] 国家试行标准JJG1001-82
An Analysis About Systematic Errors In Direct And Indirect Measurement
Chen Junling
Electric Engineering Institute Of Guangxi University
Abstract ：The paper illustrates an analysis about systematic errors in direct &
indirect measurement in electric engineering and the algorithm.
Key words ：systematic errors, direct measurement, indirect measurement。