第六章 控制系统的误差分析和计算
合集下载
控制工程基础6章
H(S) +
Xor(S)
+ N(S)
+
-
E(S)
G1(S)
G2(S)
X0(S)
设xor (t )是控制系统希望的输出信号，而 xo (t ) 是实际的输出信号, 一般把二者之差定义为 误差信号，记做e(t), e(t) = xor (t ) - xo (t )
m(p) 是理想算子，是认为规 定的。一般情况下， m( s) =1/H(s)。
时的系统输出端的稳态误差。
1 2 例题：求下图所示系统 在1(t), t, 和 t 分别作用下的稳态误差 。 2
五、扰动引起的误差
+
G1(s) N(s) G2(s) Xo(s)
Xi(s) +
+
Y(s) H(s)
要想求稳态偏差，可以利用叠加原理，分别求
出给定信号Xi(s) 和N(s)单独作用时的偏差，然
2 2
对于0型系统，Ka=0，ess=
对于I型系统， Ka=0, ess=
对于II型系统， Ka=K, ess= 1/K 对于III型及以上系统， Ka= , ess= 0
0和I型系统不能跟踪单位斜坡输入，I I型系统能跟踪单 位斜坡输入但有静差，需要III型以上系统才能消除静差。
10 G 例：设有一非单位反馈控制系统， ( s) = s 1 H(s)=Kh，输入为单位阶跃。试求， Kh=1和0.1
结构形式 输入形 式
1 例：设单位反馈控制系统的 G( s) = ，输 2 Ts t 入信sint ， 2 试求系统的稳态误差。
为什么？ 因为：E(s) = s (s 2 2 )(s 1 ) T T 1 T s T 2 3 1 =- 2 2 2 2 2 2 2 2 1 T 1 s 2 T 1 s 2 T 1 s T 求拉式反变换 T
Xor(S)
+ N(S)
+
-
E(S)
G1(S)
G2(S)
X0(S)
设xor (t )是控制系统希望的输出信号，而 xo (t ) 是实际的输出信号, 一般把二者之差定义为 误差信号，记做e(t), e(t) = xor (t ) - xo (t )
m(p) 是理想算子，是认为规 定的。一般情况下， m( s) =1/H(s)。
时的系统输出端的稳态误差。
1 2 例题：求下图所示系统 在1(t), t, 和 t 分别作用下的稳态误差 。 2
五、扰动引起的误差
+
G1(s) N(s) G2(s) Xo(s)
Xi(s) +
+
Y(s) H(s)
要想求稳态偏差，可以利用叠加原理，分别求
出给定信号Xi(s) 和N(s)单独作用时的偏差，然
2 2
对于0型系统，Ka=0，ess=
对于I型系统， Ka=0, ess=
对于II型系统， Ka=K, ess= 1/K 对于III型及以上系统， Ka= , ess= 0
0和I型系统不能跟踪单位斜坡输入，I I型系统能跟踪单 位斜坡输入但有静差，需要III型以上系统才能消除静差。
10 G 例：设有一非单位反馈控制系统， ( s) = s 1 H(s)=Kh，输入为单位阶跃。试求， Kh=1和0.1
结构形式 输入形 式
1 例：设单位反馈控制系统的 G( s) = ，输 2 Ts t 入信sint ， 2 试求系统的稳态误差。
为什么？ 因为：E(s) = s (s 2 2 )(s 1 ) T T 1 T s T 2 3 1 =- 2 2 2 2 2 2 2 2 1 T 1 s 2 T 1 s 2 T 1 s T 求拉式反变换 T
第六章 控制系统的误差分析和计算
解
+
E ( s)
10 s
X o ( s)
e ( s ) =
1 1 s = = 1 + G ( s ) 1 + 10 s + 10 s s ess = lim si iXi (s) s →0 s + 10 1 Xi ( s) = s s 1 ess = lim si i =0 s →0 s + 10 s
K a = lim s 2 iG ( s )
s →0
对0型系统 型系统
K a = lim s 2 i
s →0
K 0 (Ta s + 1)(Tb s + 1) (Tm s + 1) =0 (T1s + 1)(T2 s + 1) (Tn s + 1)
对Ⅰ型系统
K a = lim s 2 i
s →0
K1 (Ta s + 1)(Tb s + 1) (Tm s + 1) s (T1s + 1)(T2 s + 1) (Tn s + 1)
=0
自动控制原理
对Ⅱ型系统
K2 (Ta s +1)(Tb s +1)(Tms +1) Ka = lim s i 2 = K2 s→0 s (T1s +1)(T2s +1)(Tn s +1)
2
所以， 就是Ⅱ 所以，静态加速度误差系数 Ka 就是Ⅱ型系统的开环放大倍 对于Ⅲ型或高于Ⅲ型的系统， 数 K 2 。对于Ⅲ型或高于Ⅲ型的系统， K a 才为 ∞ 。 在单位加速度输入下 型系统， 对0型系统， ess = ∞ 型系统 型系统， 对Ⅰ型系统，
这就是求去单位反馈系统稳态误差的方法
+
E ( s)
10 s
X o ( s)
e ( s ) =
1 1 s = = 1 + G ( s ) 1 + 10 s + 10 s s ess = lim si iXi (s) s →0 s + 10 1 Xi ( s) = s s 1 ess = lim si i =0 s →0 s + 10 s
K a = lim s 2 iG ( s )
s →0
对0型系统 型系统
K a = lim s 2 i
s →0
K 0 (Ta s + 1)(Tb s + 1) (Tm s + 1) =0 (T1s + 1)(T2 s + 1) (Tn s + 1)
对Ⅰ型系统
K a = lim s 2 i
s →0
K1 (Ta s + 1)(Tb s + 1) (Tm s + 1) s (T1s + 1)(T2 s + 1) (Tn s + 1)
=0
自动控制原理
对Ⅱ型系统
K2 (Ta s +1)(Tb s +1)(Tms +1) Ka = lim s i 2 = K2 s→0 s (T1s +1)(T2s +1)(Tn s +1)
2
所以， 就是Ⅱ 所以，静态加速度误差系数 Ka 就是Ⅱ型系统的开环放大倍 对于Ⅲ型或高于Ⅲ型的系统， 数 K 2 。对于Ⅲ型或高于Ⅲ型的系统， K a 才为 ∞ 。 在单位加速度输入下 型系统， 对0型系统， ess = ∞ 型系统 型系统， 对Ⅰ型系统，
这就是求去单位反馈系统稳态误差的方法
控制工程基础 第6章 控制系统的误差分析和计算
C0 (s)
N (s)
R(s) B(s)
(s)
-
G1 ( s )
+ G2 (s)
H (s)
e(s) -
C(s)
(b)
误差
C0(s) (s) N(s)
R(s)
1 H(s)
R1(s) C0(s)
E1(s(s))H(s)
E(s)
G1(s)
G2(s) C(s)
(c)
e(s) -+ (s)
H (s)
E(s)
因为偏差 (s) R(s) B(s) H (s)C0 (s) H (s)C(s) H (s)e(s)
这里 R(s) H (s)C0 (s) 是基于控制系统在理想工作情况下
(s) 0 得到的。
即当控制系统的偏差信号 (s) 0 时，该控制系统无调节控制
作用，此时的实际输出信号C(s)就是希望输出信号 C0 (s) 。
G(s)H(s)
i1 nv
sv (Tis 1)
i1
（4）稳态误差系数和稳态误差的总结 （系统在控制信号作用下）
此表概括了0型、Ⅰ型和Ⅱ型反馈控制系统在不同输入信号作用下的
稳态误差。在对角线上，稳态误差为有限值；在对角线以上部分，
稳态误差为无穷大；在对角线以下部分，稳态误差为零。由此表可
以得如下结论：
何改变系统结构?
(s)
- G1 K1
解：（1）给定作用下的误差传递函数为
RE (s)
(s)
R(s)
1
1
K1
K2 s
s s K1K2
当给定输入为单位阶跃输入时，稳态误差为
N (s)
+
G2
K2 s
控制工程实验-第6章
• II 型或高于 II 型的系统能准确地跟踪斜坡输入。
• 如果对具有速度函数性质的输入信号要求稳态 误差为零，则系统必须是 II 型或高于I单位加速度输入的稳态误差是
essls i0m s1G 1(s)s13s2G 1(s)
定义静态加速度误差系数为
Ka
lims2G(s) s0
在一个给定的系统中，输出量可以是位置、
速度、压力、温度等，然而，输出量的物理形式 对控制系统的分析并不重要，因此，可称系统输 出量是“位置”，输出量的变化率为“速度”等。
将阶跃、斜坡、加速度等输入信号称为广义 位置、速度、加速度信号。
静态位置误差系数
系统对单位阶跃输入的稳态误差是
11 1 essls i0m s1G(s)s1G(0)
一般情况下， H(s)H为常值，因此
ess ss H • 稳态误差取决于系统结构参数和输入信号 • 求解稳态误差首先必须判断系统的稳定性
6.2.2 静态误差系数
1、控制系统的类型
控制系统可以按照它们跟踪阶跃输入、 斜坡（速度）输入、加速度输入等信号的 能力来分类，因为实际的输入往往可以认 为是这些输入的组合，所以这样的分类是 合理的。由这些特定的输入所引起的稳态 误差的大小表征了系统的“优良度”。
控制工程基础
第六章 控制系统的误差分析
和计算
系统在达到稳态时，输出量与希望输 出量之间的误差称为稳态误差。稳态误差 是控制系统准确度的一种度量。
对于稳定的控制系统，它的稳态性能 一般是根据阶跃、速度或加速度输入所引 起的稳态误差来判断的。本章所研究的稳 态误差是由于系统不能很好地跟踪特定形 式的输入信号或者由于扰动作用而引起的 稳态误差，即系统原理性误差。
本节要点：
了解动态误差系数概念及计算动态 误差的方法。
• 如果对具有速度函数性质的输入信号要求稳态 误差为零，则系统必须是 II 型或高于I单位加速度输入的稳态误差是
essls i0m s1G 1(s)s13s2G 1(s)
定义静态加速度误差系数为
Ka
lims2G(s) s0
在一个给定的系统中，输出量可以是位置、
速度、压力、温度等，然而，输出量的物理形式 对控制系统的分析并不重要，因此，可称系统输 出量是“位置”，输出量的变化率为“速度”等。
将阶跃、斜坡、加速度等输入信号称为广义 位置、速度、加速度信号。
静态位置误差系数
系统对单位阶跃输入的稳态误差是
11 1 essls i0m s1G(s)s1G(0)
一般情况下， H(s)H为常值，因此
ess ss H • 稳态误差取决于系统结构参数和输入信号 • 求解稳态误差首先必须判断系统的稳定性
6.2.2 静态误差系数
1、控制系统的类型
控制系统可以按照它们跟踪阶跃输入、 斜坡（速度）输入、加速度输入等信号的 能力来分类，因为实际的输入往往可以认 为是这些输入的组合，所以这样的分类是 合理的。由这些特定的输入所引起的稳态 误差的大小表征了系统的“优良度”。
控制工程基础
第六章 控制系统的误差分析
和计算
系统在达到稳态时，输出量与希望输 出量之间的误差称为稳态误差。稳态误差 是控制系统准确度的一种度量。
对于稳定的控制系统，它的稳态性能 一般是根据阶跃、速度或加速度输入所引 起的稳态误差来判断的。本章所研究的稳 态误差是由于系统不能很好地跟踪特定形 式的输入信号或者由于扰动作用而引起的 稳态误差，即系统原理性误差。
本节要点：
了解动态误差系数概念及计算动态 误差的方法。
控制工程基础 (第15讲) 第六章 干扰引起的误差及动态误差系数 PPT课件
xi(1)
(t)
dxi (t) dt
a1
2a2t
x (2) i
(t
)
d
2 xi (t) dt 2
2a2
x (3) i
(t
)
d 3 xi (t) dt 3
0
e(t) 0.1(a1 2a2t) 0.18 • 2a2 0.1a1 0.36a2 0.2a2t
ess
lim e(t)
从结构上看，利用双通道原理：
（1）一条由干扰信号经 Gn (s) 、G1(s) 到达第二个相加点。
（2）一条由干扰信号直接到达相加点。
满足（6-19）条件后，两路信号在此点相加，大小相等， 方向相反，实现了全补偿。
由于G1(s)分母的s阶次一般比分子的s阶次高，故式(6-19) 的
条件在工程实践中只能近似地得到满足。
X o (s) G2 (s)
G(s)H (s) G1(s)G2 (s)H (s)
H (s)
ss1
lim
s0
sg1(s)
lim
s0
sg 1
1 G1(s)G2 (s)H
(s) gX i
(s)
控制工程基础
5
(2)由干扰信号 n(t) 产生的偏差，此时令 xi (t) 0
N(s)
2s)(s2
s 10) (s (s2 s 10)2
s
2
)(2s
1)
|s
0
10 100
0.1
控制工程基础
19
(2) e
第六章 控制系统的误差分析与计算
第三章 时域分析法 不同类型系统的稳态误差系数及稳态误差 0型系统
K (1s 1)( 2 s 1) ( m s 1) G( s) H ( s) (T1s 1)(T2 s 1) (Tnv s 1)
K p lim G(s) H (s) K
s0
ss
G (s) H (s) K ( 1s 1)( 2 s 1) ( m s 1) s 2 (T1s 1)(T2 s 1) (Tnv s 1)
1 0 1 K p
K p lim G(s) H (s)
s0
ss
Kv lim sG(s) H (s)
2 2
cost
T 2 2 T 1
2 2
sin t
而如果采用拉氏变换的终值定理求解，将得 到错误得结论：
Ts ess lim s 0 2 2 s 0 Ts 1 s
此例表明，输入信号不同，系统的稳态误差 也不相同。
第三章 时域分析法 稳态误差系数 稳态误差系数的概念 稳态位置误差（偏差）系数 单位阶跃输入时系统的稳态偏差
G ( s) H ( s) K (1s 1)( 2 s 1) ( m s 1) s v (T1s 1)(T2 s 1) (Tnv s 1) K ~ G ( s) v s
则： ss
sX i (s) lim (t ) lim s (s) lim t s0 s0 1 G( s) H ( s)
在单位加速度输入下的稳态误差为：
ess lim s
s0
1 Ts 1 X i ( s) lim s 3 s0 Ts 1 s 1 G( s)
第三章 时域分析法
控制系统的误差分析和计算
1 E s X i s 1 G s 1 e ss lim e t lim sE s lim s X i s t s0 s 0 1 G s
11
控制工程基础
第六章 控制系统的误差分析和计算
非单位反馈系统
1 X i s 1 G s H s
' '
( s) X or ( s) X o ( s) E ( s)
'
( s)
H ( s)
1 单位反馈系统H s 1，E s s E s s H ( s) H ( s) : 求稳态误差，应先求稳态偏差。
9
控制工程基础
n m
14
控制工程基础
第六章 控制系统的误差分析和计算
1、影响稳态误差的因素
G s K 1 s 1 2 s 1 v s T1 s 1T2 s 1
s 0
n m
e ss lim e ( t ) lim sE ( s )
t
输出量期望值的大小，即Xor(s)= Xi(s)，由此得到：
( s) Xi ( s) H ( s) X 0 ( s) X or (s) X 0 (s) E (s)
单位反馈控制系统的偏差函数(s)和误差函数E(s)是相等的。
7
控制工程基础
第六章 控制系统的误差分析和计算
对于非单位负反馈控制系统，其输入量间接反映了输出量 期望值的大小，根据等效规则转变为单位负反馈控制系统。
Xi s
s
× -
( s)
Y s
G s
Xo s
H s
机械工程控制基础控制系统的误差分析和计算
12
对单位阶跃输入，稳态误差为
ess
lim
s0
s 1
G
1
s
H (s)
1 s
1
G
1
0 H (0)
静态位置误差系数的定义：
Kp
lim G
s0
s
H (s)
G
0 H (0)
则
ess
1 1 Kp
13
对0型系统
Gs
K 1s 1 2s 1 T1s 1 T2s 1
Kp
lim
s0
K0 t1s 1t2s 1L T1s 1T2s 1L
Gs
K 1s 1 2s 1 T1s 1 T2s 1
Kv
lim
s0
s
K 1s 1 2s 1 T1s 1 T2s 1
0
16
对I型系统
Gs
K 1s 1 2s 1 s T1s 1 T2s 1
Kv
lim
s0
s
K 1s 1 2s 1 s T1s 1 T2s 1
K1
对II型系统
Gs
K 1s 1 2s 1 s2 T1s 1 T2s 1
ε(s) =Xi(s) - Y(s) Y(s)=H(s)Xo(s)
(s) 1
H (s)
p202
Xi (s)
X oi (s)
(s)
(s)
G1 ( s )
N(s)
＋ G2 (s)
Y (s)
H (s)
E(s)
1 H (s)
Xi (s)
X o (s)
ε(s) =Xi(s) - H(s)Xo(s)
1 (s)
t
s0
2. 利用终值定理计算系统的稳态误差：
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
X o s G2 s N s 1 G1 s G2 s H s
所以干扰引起的稳态偏差为:
( s) H ( s)
G2 s N s 1 G1 s G2 s H s
干扰引起的偏差为:
G2 ( s) H s s N s 1 G2 ( s)G1 s H s
,定义为系统静态速度误差系数。
K ( 1s 1)( 2 s 1) ( m s 1) K lim s 0 对于0型系统： s 0 (T1s 1)(T2 s 1) (Tn s 1)
ss
对于Ⅰ型系统： K lim0 s s
1 K K ( 1s 1)( 2 s 1) ( m s 1)
而
则
1 X i ( s) s s s 1 ess lim s X i ( s) lim s 0 s 0 s 10 s 0 s 10 s
6.2.2 静态误差系数
系统的类型
设其开环传递函数为:
当 2 时，使系统稳定是相当困难的。因此除航天控制系统外， Ⅲ型及Ⅲ型以上的系统几乎不用。
ss 0
(2) 静态速度误差系数Kv
1 当系统的输入为单位斜坡信号时r(t)=t· 1(t)，即R( s) 2，则有 s
ss lim s
s 0
s0
1 1 1 1 2 1 G( s) H ( s) s lim sG ( s) H ( s) K
s 0
其中 K lim sG ( s) H ( s)
1 1 Ka K
；
小
结
(1)位置误差、速度误差、加速度误差分别指输入是阶跃、斜坡、
匀加速度输入时所引起的输出位置上的误差.
(2)表6-1概括了0型、I型和II型系统在各种输入量作用下的稳态偏 差.在对角线上,稳态偏差为无穷大;在对角线下,则稳态偏差为零. (3)静态误差系数Kp,Kv,Ka分别是0型、I型、II型系统的开环静态放 大倍数,而v=0,1,2则表示系统中积分环节的数目.
例6-2 设有二阶振荡系统,其方块图如图6-6所示.试求系统在单位阶跃,单位恒速和 单位恒加速输入时的静态误差.
解:该系统为二阶振荡系统,系统稳定. 由于是单位反馈系统,偏差即是误差.另外,该系统为I型系统,
G( s)
ss 2n
2 n
n 2
1 s 2 s 1 n
控制系统的方块图如图6-1所示.实线部分与实际系统有对应关系, 而虚线部分则是为了说明概念额外画出的.
控制系统的误差信号的象函数是 而 偏差信号的象函数是
E ( s) s X i s X o s
(6-1) (6-2)
( s) X i s Y s
非单位反馈控制系统 输入引起的系统的偏差传递函数为:
s X i ( s) Y ( s )
1 X i ( s) 1 G ( s) H ( s)
X i s
(s )
G (s)
H (s )
X o s
Y (s )
图6-3 非单位反馈系统
1 X i (s) 根据终值定理 稳态偏差 ss lim (t ) lim s ( s) lim s t s 0 s 0 1 G ( s ) H ( s )
(1)静态位置误差系数Kp
当系统的输入为单位阶跃信号r(t)=1(t)时,
1 1 1 ss lim s s 0 1 G ( s ) H ( s ) s 1 G (0)H (0)
K 其中， p lim G( s) H s G(0) H 0 ,定义为系统静态位置误差系数。 s 0
单位阶跃: 单位斜坡: 单位加速度:
ess 0
1 1 2 ess K v K n ess
上述结论是在阶跃、斜坡等典型输入信号作用下得到的,但它有普遍的实用意义. 这是因为控制系统输入信号的变化往往是比较缓慢的,可把输入信号在时间t=0附 近展开成泰勒级数,这样,可把控制信号看成几个典型信号之和,系统的稳态误差可 看成是上述典型信号分别作用下的误差总和.
根据终值定理
ess lim e(t ) lim sE ( s) lim i ( s) 1 G( s)
这就是求取输入引起的单位反馈系统稳态误差的方法.需要注意的 是,终值定理只有对有终值的变量有意义.如果系统本身不稳定,用 终值定理求出的值是虚假的.故在求取系统稳态误差之前,通常应 首先判断系统的稳定性.
x n a x a n xt n! n 0
例:系统结构如图所示,求当输入信号r(t)=2t+t2时,系统稳态误差ess.
解:首先判别系统的稳定性.由开环传递函数知,闭环特征方程为
D(s) 0.1s 3 s 2 20s 20 0
根据劳斯判据知闭环系统稳定. 第二步,求稳态误差ess.
因为系统为Ⅱ型系统,根据线性系统的奇次性和叠加性,有
r1 (t ) 2t时，
2
ess1 0
2 0.1 Ka
r2 (t ) t 时，K a 20 ess 2
故系统的稳态误差 ess=ess1+ess2=0.1.
6.3 干扰引起的稳态误差
( s) X i ( s) Y ( s) 0 X 0 ( s) H ( s) X 0 ( s) H ( s)
0
综上所述,0型系统稳态时不能跟踪斜坡输入.在系统稳定的前提下, 具有单位反馈的I型系统能跟踪斜坡输入,但具有一定的误差.这个 稳态偏差εss反比于系统开环静态放大倍数.在系统稳定的前提下,II 型或高于II型的系统其稳态偏差为零,因而能准确地跟踪斜坡输入. 类似地,0型和I型系统在稳定状态下都不能跟踪加速度输入信号.具 有单位反馈的II型系统在稳定状态下是能够跟踪加速度输入信号 的.但有一定的位置误差.
s (T1s 1)(T2 s 1) (Tn s 1)
K
1 1 K K 对于Ⅱ型或Ⅱ型 K lim s K ( 1s 1)( 2 s 1) ( m s 1) s 0 s (T1s 1)(T2 s 1) (Tn s 1) 以上系统： ss 0
(6-3)
(6-4)
比较(6-3)和(6-4)两式,求得误差信号与偏差信号之间的关系为
E s H s
s
对于实际使用的控制系统来说,H(s)往往是一个常数,因此通常误差 信号与偏差信号之间存在简单的比例关系,求出稳态偏差就得到稳 态误差.对于单位反馈系统H(s)=1来说,偏差信号与误差信号相同, 可直接用偏差信号表示系统的误差信号.这样,为了求稳态误差,求 出稳态偏差即可.
(4)对于单位反馈控制系统,稳态误差等于稳态偏差.
(5)对于非单位反馈控制系统,先求出稳态偏差ε 稳态误差
ss后,再按下式求出
ess
H 0
ss
表6-1 各种类型的稳态偏差
系统 类型
0型系统 Ⅰ型系统 Ⅱ型系统
单位 阶跃
1 1 K p
单位 斜坡 ∞
单位 加速度 ∞ ∞
1 Ka
0 0
1 Kv
对于0型系统
K ( 1 s 1)( 2 s 1) ( m s 1) K p lim K s 0 (T s 1)(T s 1) (T s 1) 1 2 n 1 1 ss 1 K p 1 K
对于Ⅰ型或高于Ⅰ型以上系统
K ( 1 s 1)( 2 s 1) ( m s 1) K p lim s 0 s (T s 1)(T s 1) (T s 1) 1 2 n
根据终值定理,干扰引起稳态偏差为:
ss lim t lim s s
t s 0
则干扰引起稳态误差为:
ess
H 0
ss
(3)静态加速度误差系数Ka
当系统输入为单位加速度信号时，即 r (t ) 1 t 2 1(t ), R( s) 13 2 s 则系统稳态偏差为
1 1 1 1 ss lim s 3 2 s 0 1 G ( s ) H ( s ) s lim s G( s) H ( s) K a
6.2 输入引起的稳态误差
6.2.1 误差传递函数与稳态误差
单位反馈控制系统 输入引起的系统的误差传递函数为
E (s) 1 X i ( s) 1 G ( s)
X i s
E(s )
G (s)
X o s
图6-2 单位反馈系统
则
E ( s)
1 X i ( s) 1 G( s)
s 0
其中， K a lim s 2G( s) H ( s),定义为系统静态加速度误差系数。
s 0
对于0型系统，Ka=0，εss=∞；
对于Ⅰ型系统，Ka=0， ε ss=∞； 对于Ⅱ型系统，Ka=K， ε ss= 对于Ⅲ型或Ⅲ型以上系统，Ka=∞， ε ss=0 。 所以,0型和Ⅰ型系统在稳定状态下都不能跟踪加速度输入信号.具有单位反 馈的Ⅱ型系统在稳定状态下是能跟踪加速度输入信号的.但带有一定的位置 误差.高于Ⅱ型系统由于稳定性差, 故不实用.
机电控制系统中元件的不完善,如静摩擦、间隙以及放大器的零点 漂移、元件老化或变质都会造成误差.本章侧重说明另一类误差, 即由于系统不能很好跟踪输入信号,或者由于扰动作用而引起的稳 态误差,即系统原理性误差.
对于一个实际的控制系统,由于系统的结构、输入作用的类型
(给定量或扰动量)、输入函数的形式(阶跃、斜坡或抛物线)不同, 控制系统的稳态输出不可能在任何情况下都与输入量一致或相当, 也不可能在任何形式的扰动作用下都能准确地恢复到原平衡位置. 这类由于系统结构、输入作用形式和类型所产生的稳态误差称为
所以干扰引起的稳态偏差为:
( s) H ( s)
G2 s N s 1 G1 s G2 s H s
干扰引起的偏差为:
G2 ( s) H s s N s 1 G2 ( s)G1 s H s
,定义为系统静态速度误差系数。
K ( 1s 1)( 2 s 1) ( m s 1) K lim s 0 对于0型系统： s 0 (T1s 1)(T2 s 1) (Tn s 1)
ss
对于Ⅰ型系统： K lim0 s s
1 K K ( 1s 1)( 2 s 1) ( m s 1)
而
则
1 X i ( s) s s s 1 ess lim s X i ( s) lim s 0 s 0 s 10 s 0 s 10 s
6.2.2 静态误差系数
系统的类型
设其开环传递函数为:
当 2 时，使系统稳定是相当困难的。因此除航天控制系统外， Ⅲ型及Ⅲ型以上的系统几乎不用。
ss 0
(2) 静态速度误差系数Kv
1 当系统的输入为单位斜坡信号时r(t)=t· 1(t)，即R( s) 2，则有 s
ss lim s
s 0
s0
1 1 1 1 2 1 G( s) H ( s) s lim sG ( s) H ( s) K
s 0
其中 K lim sG ( s) H ( s)
1 1 Ka K
；
小
结
(1)位置误差、速度误差、加速度误差分别指输入是阶跃、斜坡、
匀加速度输入时所引起的输出位置上的误差.
(2)表6-1概括了0型、I型和II型系统在各种输入量作用下的稳态偏 差.在对角线上,稳态偏差为无穷大;在对角线下,则稳态偏差为零. (3)静态误差系数Kp,Kv,Ka分别是0型、I型、II型系统的开环静态放 大倍数,而v=0,1,2则表示系统中积分环节的数目.
例6-2 设有二阶振荡系统,其方块图如图6-6所示.试求系统在单位阶跃,单位恒速和 单位恒加速输入时的静态误差.
解:该系统为二阶振荡系统,系统稳定. 由于是单位反馈系统,偏差即是误差.另外,该系统为I型系统,
G( s)
ss 2n
2 n
n 2
1 s 2 s 1 n
控制系统的方块图如图6-1所示.实线部分与实际系统有对应关系, 而虚线部分则是为了说明概念额外画出的.
控制系统的误差信号的象函数是 而 偏差信号的象函数是
E ( s) s X i s X o s
(6-1) (6-2)
( s) X i s Y s
非单位反馈控制系统 输入引起的系统的偏差传递函数为:
s X i ( s) Y ( s )
1 X i ( s) 1 G ( s) H ( s)
X i s
(s )
G (s)
H (s )
X o s
Y (s )
图6-3 非单位反馈系统
1 X i (s) 根据终值定理 稳态偏差 ss lim (t ) lim s ( s) lim s t s 0 s 0 1 G ( s ) H ( s )
(1)静态位置误差系数Kp
当系统的输入为单位阶跃信号r(t)=1(t)时,
1 1 1 ss lim s s 0 1 G ( s ) H ( s ) s 1 G (0)H (0)
K 其中， p lim G( s) H s G(0) H 0 ,定义为系统静态位置误差系数。 s 0
单位阶跃: 单位斜坡: 单位加速度:
ess 0
1 1 2 ess K v K n ess
上述结论是在阶跃、斜坡等典型输入信号作用下得到的,但它有普遍的实用意义. 这是因为控制系统输入信号的变化往往是比较缓慢的,可把输入信号在时间t=0附 近展开成泰勒级数,这样,可把控制信号看成几个典型信号之和,系统的稳态误差可 看成是上述典型信号分别作用下的误差总和.
根据终值定理
ess lim e(t ) lim sE ( s) lim i ( s) 1 G( s)
这就是求取输入引起的单位反馈系统稳态误差的方法.需要注意的 是,终值定理只有对有终值的变量有意义.如果系统本身不稳定,用 终值定理求出的值是虚假的.故在求取系统稳态误差之前,通常应 首先判断系统的稳定性.
x n a x a n xt n! n 0
例:系统结构如图所示,求当输入信号r(t)=2t+t2时,系统稳态误差ess.
解:首先判别系统的稳定性.由开环传递函数知,闭环特征方程为
D(s) 0.1s 3 s 2 20s 20 0
根据劳斯判据知闭环系统稳定. 第二步,求稳态误差ess.
因为系统为Ⅱ型系统,根据线性系统的奇次性和叠加性,有
r1 (t ) 2t时，
2
ess1 0
2 0.1 Ka
r2 (t ) t 时，K a 20 ess 2
故系统的稳态误差 ess=ess1+ess2=0.1.
6.3 干扰引起的稳态误差
( s) X i ( s) Y ( s) 0 X 0 ( s) H ( s) X 0 ( s) H ( s)
0
综上所述,0型系统稳态时不能跟踪斜坡输入.在系统稳定的前提下, 具有单位反馈的I型系统能跟踪斜坡输入,但具有一定的误差.这个 稳态偏差εss反比于系统开环静态放大倍数.在系统稳定的前提下,II 型或高于II型的系统其稳态偏差为零,因而能准确地跟踪斜坡输入. 类似地,0型和I型系统在稳定状态下都不能跟踪加速度输入信号.具 有单位反馈的II型系统在稳定状态下是能够跟踪加速度输入信号 的.但有一定的位置误差.
s (T1s 1)(T2 s 1) (Tn s 1)
K
1 1 K K 对于Ⅱ型或Ⅱ型 K lim s K ( 1s 1)( 2 s 1) ( m s 1) s 0 s (T1s 1)(T2 s 1) (Tn s 1) 以上系统： ss 0
(6-3)
(6-4)
比较(6-3)和(6-4)两式,求得误差信号与偏差信号之间的关系为
E s H s
s
对于实际使用的控制系统来说,H(s)往往是一个常数,因此通常误差 信号与偏差信号之间存在简单的比例关系,求出稳态偏差就得到稳 态误差.对于单位反馈系统H(s)=1来说,偏差信号与误差信号相同, 可直接用偏差信号表示系统的误差信号.这样,为了求稳态误差,求 出稳态偏差即可.
(4)对于单位反馈控制系统,稳态误差等于稳态偏差.
(5)对于非单位反馈控制系统,先求出稳态偏差ε 稳态误差
ss后,再按下式求出
ess
H 0
ss
表6-1 各种类型的稳态偏差
系统 类型
0型系统 Ⅰ型系统 Ⅱ型系统
单位 阶跃
1 1 K p
单位 斜坡 ∞
单位 加速度 ∞ ∞
1 Ka
0 0
1 Kv
对于0型系统
K ( 1 s 1)( 2 s 1) ( m s 1) K p lim K s 0 (T s 1)(T s 1) (T s 1) 1 2 n 1 1 ss 1 K p 1 K
对于Ⅰ型或高于Ⅰ型以上系统
K ( 1 s 1)( 2 s 1) ( m s 1) K p lim s 0 s (T s 1)(T s 1) (T s 1) 1 2 n
根据终值定理,干扰引起稳态偏差为:
ss lim t lim s s
t s 0
则干扰引起稳态误差为:
ess
H 0
ss
(3)静态加速度误差系数Ka
当系统输入为单位加速度信号时，即 r (t ) 1 t 2 1(t ), R( s) 13 2 s 则系统稳态偏差为
1 1 1 1 ss lim s 3 2 s 0 1 G ( s ) H ( s ) s lim s G( s) H ( s) K a
6.2 输入引起的稳态误差
6.2.1 误差传递函数与稳态误差
单位反馈控制系统 输入引起的系统的误差传递函数为
E (s) 1 X i ( s) 1 G ( s)
X i s
E(s )
G (s)
X o s
图6-2 单位反馈系统
则
E ( s)
1 X i ( s) 1 G( s)
s 0
其中， K a lim s 2G( s) H ( s),定义为系统静态加速度误差系数。
s 0
对于0型系统，Ka=0，εss=∞；
对于Ⅰ型系统，Ka=0， ε ss=∞； 对于Ⅱ型系统，Ka=K， ε ss= 对于Ⅲ型或Ⅲ型以上系统，Ka=∞， ε ss=0 。 所以,0型和Ⅰ型系统在稳定状态下都不能跟踪加速度输入信号.具有单位反 馈的Ⅱ型系统在稳定状态下是能跟踪加速度输入信号的.但带有一定的位置 误差.高于Ⅱ型系统由于稳定性差, 故不实用.
机电控制系统中元件的不完善,如静摩擦、间隙以及放大器的零点 漂移、元件老化或变质都会造成误差.本章侧重说明另一类误差, 即由于系统不能很好跟踪输入信号,或者由于扰动作用而引起的稳 态误差,即系统原理性误差.
对于一个实际的控制系统,由于系统的结构、输入作用的类型
(给定量或扰动量)、输入函数的形式(阶跃、斜坡或抛物线)不同, 控制系统的稳态输出不可能在任何情况下都与输入量一致或相当, 也不可能在任何形式的扰动作用下都能准确地恢复到原平衡位置. 这类由于系统结构、输入作用形式和类型所产生的稳态误差称为