第6章_控制系统的误差分析与计算_6.2输入引起的稳态误差
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控制工程基础6章
H(S) +
Xor(S)
+ N(S)
+
-
E(S)
G1(S)
G2(S)
X0(S)
设xor (t )是控制系统希望的输出信号，而 xo (t ) 是实际的输出信号, 一般把二者之差定义为 误差信号，记做e(t), e(t) = xor (t ) - xo (t )
m(p) 是理想算子，是认为规 定的。一般情况下， m( s) =1/H(s)。
时的系统输出端的稳态误差。
1 2 例题：求下图所示系统 在1(t), t, 和 t 分别作用下的稳态误差 。 2
五、扰动引起的误差
+
G1(s) N(s) G2(s) Xo(s)
Xi(s) +
+
Y(s) H(s)
要想求稳态偏差，可以利用叠加原理，分别求
出给定信号Xi(s) 和N(s)单独作用时的偏差，然
2 2
对于0型系统，Ka=0，ess=
对于I型系统， Ka=0, ess=
对于II型系统， Ka=K, ess= 1/K 对于III型及以上系统， Ka= , ess= 0
0和I型系统不能跟踪单位斜坡输入，I I型系统能跟踪单 位斜坡输入但有静差，需要III型以上系统才能消除静差。
10 G 例：设有一非单位反馈控制系统， ( s) = s 1 H(s)=Kh，输入为单位阶跃。试求， Kh=1和0.1
结构形式 输入形 式
1 例：设单位反馈控制系统的 G( s) = ，输 2 Ts t 入信sint ， 2 试求系统的稳态误差。
为什么？ 因为：E(s) = s (s 2 2 )(s 1 ) T T 1 T s T 2 3 1 =- 2 2 2 2 2 2 2 2 1 T 1 s 2 T 1 s 2 T 1 s T 求拉式反变换 T
Xor(S)
+ N(S)
+
-
E(S)
G1(S)
G2(S)
X0(S)
设xor (t )是控制系统希望的输出信号，而 xo (t ) 是实际的输出信号, 一般把二者之差定义为 误差信号，记做e(t), e(t) = xor (t ) - xo (t )
m(p) 是理想算子，是认为规 定的。一般情况下， m( s) =1/H(s)。
时的系统输出端的稳态误差。
1 2 例题：求下图所示系统 在1(t), t, 和 t 分别作用下的稳态误差 。 2
五、扰动引起的误差
+
G1(s) N(s) G2(s) Xo(s)
Xi(s) +
+
Y(s) H(s)
要想求稳态偏差，可以利用叠加原理，分别求
出给定信号Xi(s) 和N(s)单独作用时的偏差，然
2 2
对于0型系统，Ka=0，ess=
对于I型系统， Ka=0, ess=
对于II型系统， Ka=K, ess= 1/K 对于III型及以上系统， Ka= , ess= 0
0和I型系统不能跟踪单位斜坡输入，I I型系统能跟踪单 位斜坡输入但有静差，需要III型以上系统才能消除静差。
10 G 例：设有一非单位反馈控制系统， ( s) = s 1 H(s)=Kh，输入为单位阶跃。试求， Kh=1和0.1
结构形式 输入形 式
1 例：设单位反馈控制系统的 G( s) = ，输 2 Ts t 入信sint ， 2 试求系统的稳态误差。
为什么？ 因为：E(s) = s (s 2 2 )(s 1 ) T T 1 T s T 2 3 1 =- 2 2 2 2 2 2 2 2 1 T 1 s 2 T 1 s 2 T 1 s T 求拉式反变换 T
控制系统的误差分析和计算
第六章 控制系统的误差分析和计算
- Y (s)
×
ε ( s)
G (s ) H (s )
Xo ( s)
ε ( s) = X i ( s) − Y ( s) = X i ( s) − H ( s) X 0 ( s)
根据拉氏变换的终值定理 终值定理， 根据拉氏变换的终值定理，得到稳态偏差εss为
ε ss = lim ε (t ) = lim sε ( s)
中国石油大学机电工程学院
10
控制工程基础
第六章 控制系统的误差分析和计算
说明： 说明：
误差是从系统输出端 误差 输出端来定义的，是输出期望值与实际输 输出端 出值之差。误差在性能指标提法中经常使用，实际系统中 因为输入信号和输出信号往往量纲不同，一般只具有数学 上的意义。 偏差是从系统输入端 偏差 输入端来定义的，是系统输入信号与主反 输入端 馈信号之差。偏差在实际系统中是能测量的，具有一定的 物理意义。 对于单位反馈系统而言，误差与偏差是一致的。对于非 单位反馈系统，两者是不同的。 必须是稳定系统计算稳态误差（偏差）才有意义。
xo (t ) x i (t )
ess
瞬态响应
China university of petroleum
稳态响应
t
4
中国石油大学机电工程学院
控制工程基础
第六章 控制系统的误差分析和计算
是控制系统期望的输出值， 是其实际的输出值， 设xor(t)是控制系统期望的输出值， xo(t)是其实际的输出值， 是控制系统期望的输出值 是其实际的输出值 则误差函数e(t)定义为 则误差函数 定义为
China university of petroleum
控制工程基础
自控原理-第6章 控制系统的误差分析与计算
信 号 为 r(t)1t2时 ,控 制 系 统 的 稳 态 误 差 值 。 2
解:
e(s)
1 1G ( S )
S S 1/T
当
r(t)
1 2
t 2时
R(s)
1 S3
(1)
E(s)
(s)R(s)
1 S 2 ( S 1/T )
T S2
-
T2 S
T2 S 1/T
e(t)
T
e2
-
t T
T (t
-T)
t 时 ess (2) 由终值定理
ess
lim
s0
sE (s)
lim
s0
1 s ( s 1/T )
6.2.2 系统的“型”的概念
自控控制理论
闭环系统的开环传递函数一般可以表示为:
m
K ( is 1)
G(s)H (s)
i 1 n
s (Tis 1)
i 1
定义： ν=0时，称为0型系统，没有积分环节； ν=1时，称为I型系统，有1个积分环节； ν=2时，称为II型系统，有2个积分环节； 依次类推。
6.1 稳态误差的基本概念
自控控制理论
本课程与误差有关的概念都是建立在反馈控制系统基础 之上的。 稳态的定义：时间趋于无穷大（足够长）时的固定响应称 为控制系统的稳定状态，简称稳态。
稳态误差：当系统在特定类型输入信号作用下，达到稳态 时系统精度的度量。
说明：误差产生的原因是多样的，课程中只研究由于系统 结构、参量、以及输入信号的形式不同所引起的误差。
稳态加速度 误差系数
自控控制理论
6.2.4 不同类型反馈控制系统的稳态误差系数
➢0型系统的稳态误差
解:
e(s)
1 1G ( S )
S S 1/T
当
r(t)
1 2
t 2时
R(s)
1 S3
(1)
E(s)
(s)R(s)
1 S 2 ( S 1/T )
T S2
-
T2 S
T2 S 1/T
e(t)
T
e2
-
t T
T (t
-T)
t 时 ess (2) 由终值定理
ess
lim
s0
sE (s)
lim
s0
1 s ( s 1/T )
6.2.2 系统的“型”的概念
自控控制理论
闭环系统的开环传递函数一般可以表示为:
m
K ( is 1)
G(s)H (s)
i 1 n
s (Tis 1)
i 1
定义： ν=0时，称为0型系统，没有积分环节； ν=1时，称为I型系统，有1个积分环节； ν=2时，称为II型系统，有2个积分环节； 依次类推。
6.1 稳态误差的基本概念
自控控制理论
本课程与误差有关的概念都是建立在反馈控制系统基础 之上的。 稳态的定义：时间趋于无穷大（足够长）时的固定响应称 为控制系统的稳定状态，简称稳态。
稳态误差：当系统在特定类型输入信号作用下，达到稳态 时系统精度的度量。
说明：误差产生的原因是多样的，课程中只研究由于系统 结构、参量、以及输入信号的形式不同所引起的误差。
稳态加速度 误差系数
自控控制理论
6.2.4 不同类型反馈控制系统的稳态误差系数
➢0型系统的稳态误差
第六章 控制系统的误差分析和计算
解
+
E ( s)
10 s
X o ( s)
e ( s ) =
1 1 s = = 1 + G ( s ) 1 + 10 s + 10 s s ess = lim si iXi (s) s →0 s + 10 1 Xi ( s) = s s 1 ess = lim si i =0 s →0 s + 10 s
K a = lim s 2 iG ( s )
s →0
对0型系统 型系统
K a = lim s 2 i
s →0
K 0 (Ta s + 1)(Tb s + 1) (Tm s + 1) =0 (T1s + 1)(T2 s + 1) (Tn s + 1)
对Ⅰ型系统
K a = lim s 2 i
s →0
K1 (Ta s + 1)(Tb s + 1) (Tm s + 1) s (T1s + 1)(T2 s + 1) (Tn s + 1)
=0
自动控制原理
对Ⅱ型系统
K2 (Ta s +1)(Tb s +1)(Tms +1) Ka = lim s i 2 = K2 s→0 s (T1s +1)(T2s +1)(Tn s +1)
2
所以， 就是Ⅱ 所以，静态加速度误差系数 Ka 就是Ⅱ型系统的开环放大倍 对于Ⅲ型或高于Ⅲ型的系统， 数 K 2 。对于Ⅲ型或高于Ⅲ型的系统， K a 才为 ∞ 。 在单位加速度输入下 型系统， 对0型系统， ess = ∞ 型系统 型系统， 对Ⅰ型系统，
这就是求去单位反馈系统稳态误差的方法
+
E ( s)
10 s
X o ( s)
e ( s ) =
1 1 s = = 1 + G ( s ) 1 + 10 s + 10 s s ess = lim si iXi (s) s →0 s + 10 1 Xi ( s) = s s 1 ess = lim si i =0 s →0 s + 10 s
K a = lim s 2 iG ( s )
s →0
对0型系统 型系统
K a = lim s 2 i
s →0
K 0 (Ta s + 1)(Tb s + 1) (Tm s + 1) =0 (T1s + 1)(T2 s + 1) (Tn s + 1)
对Ⅰ型系统
K a = lim s 2 i
s →0
K1 (Ta s + 1)(Tb s + 1) (Tm s + 1) s (T1s + 1)(T2 s + 1) (Tn s + 1)
=0
自动控制原理
对Ⅱ型系统
K2 (Ta s +1)(Tb s +1)(Tms +1) Ka = lim s i 2 = K2 s→0 s (T1s +1)(T2s +1)(Tn s +1)
2
所以， 就是Ⅱ 所以，静态加速度误差系数 Ka 就是Ⅱ型系统的开环放大倍 对于Ⅲ型或高于Ⅲ型的系统， 数 K 2 。对于Ⅲ型或高于Ⅲ型的系统， K a 才为 ∞ 。 在单位加速度输入下 型系统， 对0型系统， ess = ∞ 型系统 型系统， 对Ⅰ型系统，
这就是求去单位反馈系统稳态误差的方法
第六章 控制系统的误差分析和计算.ppt
6.2 输入引起的稳态误差
6.2.1 误差传递函数与稳态误差
➢单位反馈控制系统
输入引起的系统的误差传递函数为
E(s) 1 Xi(s) 1G(s)
则
E(s) 1 1G(s)
Xi(s)
X i sE(s)源自G(s)X o s
图6-2 单位反馈系统
根据终值定理 e ss lt ie m (t) ls i0s m (E s) ls i0s m 1 G 1 (s)X i(s)
这就是求取输入引起的单位反馈系统稳态误差的方法.需要注意的 是,终值定理只有对有终值的变量有意义.如果系统本身不稳定,用 终值定理求出的值是虚假的.故在求取系统稳态误差之前,通常应 首先判断系统的稳定性.
➢ 非单位反馈控制系统
输入引起的系统的偏差传递函数为:
sXi(s)Y(s)
1
1G(s)H(s)
控制系统的方块图如图6-1所示.实线部分与实际系统有对应关系, 而虚线部分则是为了说明概念额外画出的.
控制系统的误差信号的象函数是 E ( s )s X is X o s (6-1)
而
偏差信号的象函数是 (s)X is Y s
(6-2)
考虑Xi(s)与Y(s)近似相等,且Y(s)=H(s)Xo(s),得
一般情况下,H为常值,故这时:
e ss
ss
H
例6-1 某反馈控制系统如图6-4,当xi(t)=1(t)时,求稳态误差.
解:该系统为一阶惯性系统,系统稳定.误差传递函数为:
Es 1 1 s
Xi(s) 1G(s) 110 s10 s
而
X
i
(s)
1 s
则
e ss ls i0s m s s1X 0 i(s) ls i0s m s s11 s0 0
控制工程基础 第6章 控制系统的误差分析和计算
C0 (s)
N (s)
R(s) B(s)
(s)
-
G1 ( s )
+ G2 (s)
H (s)
e(s) -
C(s)
(b)
误差
C0(s) (s) N(s)
R(s)
1 H(s)
R1(s) C0(s)
E1(s(s))H(s)
E(s)
G1(s)
G2(s) C(s)
(c)
e(s) -+ (s)
H (s)
E(s)
因为偏差 (s) R(s) B(s) H (s)C0 (s) H (s)C(s) H (s)e(s)
这里 R(s) H (s)C0 (s) 是基于控制系统在理想工作情况下
(s) 0 得到的。
即当控制系统的偏差信号 (s) 0 时，该控制系统无调节控制
作用，此时的实际输出信号C(s)就是希望输出信号 C0 (s) 。
G(s)H(s)
i1 nv
sv (Tis 1)
i1
（4）稳态误差系数和稳态误差的总结 （系统在控制信号作用下）
此表概括了0型、Ⅰ型和Ⅱ型反馈控制系统在不同输入信号作用下的
稳态误差。在对角线上，稳态误差为有限值；在对角线以上部分，
稳态误差为无穷大；在对角线以下部分，稳态误差为零。由此表可
以得如下结论：
何改变系统结构?
(s)
- G1 K1
解：（1）给定作用下的误差传递函数为
RE (s)
(s)
R(s)
1
1
K1
K2 s
s s K1K2
当给定输入为单位阶跃输入时，稳态误差为
N (s)
+
G2
K2 s
第6章_控制系统的误差分析和计算_6.2输入引起的稳态误差
根据拉普拉斯变换的终值定理，计算稳态误差： 根据拉普拉斯变换的终值定理，计算稳态误差：
ε ( s)
Φε (s) ⋅ X i ( s) ess = lim e(t ) = lim s ⋅ E ( s ) = lim s ⋅ t →∞ s →0 s →0 H (s) 1 1 = lim s ⋅ ⋅ ⋅ X i (s) s →0 H (s) 1 + G (s) H (s)
单位阶跃输入
X i (s) =
1 s
定义： 定义： 稳态位置
s →0
误差系数 1 1 1 1 ess = lim s = = s → 0 1 + G ( s ) H ( s ) s 1 + lim G ( s ) H ( s ) 1 + K p
单位斜坡输入
e ss = lim s
s →0
X i (s) =
1 , 试求当输入信号为 Ts
1 解 : Φ ε (s) = 1+G (S) =
当 r(t) = 1 t 2时 R(s) = S13 2 (1) E(s) = Φ ε (s)R(s) =
t 2 -T
1 2 S (S+1/T)
=
T S2
-
T2 S
+
T2 S+1/T
e(t) = T e + T(t - T) t → ∞时 ess = ∞ (2) 由终值定理 ess = lim sE(s) = lim s(s+11/T) = ∞
（2）稳态误差系数的概念 ）
对于单位反馈系统，偏差就是误差，误差就是偏差，二者往往不加区分。 对于单位反馈系统，偏差就是误差，误差就是偏差，二者往往不加区分。 实际上，单位反馈系统与非单位反馈系统之间可以相互转换，如下所示。 实际上，单位反馈系统与非单位反馈系统之间可以相互转换，如下所示。
ε ( s)
Φε (s) ⋅ X i ( s) ess = lim e(t ) = lim s ⋅ E ( s ) = lim s ⋅ t →∞ s →0 s →0 H (s) 1 1 = lim s ⋅ ⋅ ⋅ X i (s) s →0 H (s) 1 + G (s) H (s)
单位阶跃输入
X i (s) =
1 s
定义： 定义： 稳态位置
s →0
误差系数 1 1 1 1 ess = lim s = = s → 0 1 + G ( s ) H ( s ) s 1 + lim G ( s ) H ( s ) 1 + K p
单位斜坡输入
e ss = lim s
s →0
X i (s) =
1 , 试求当输入信号为 Ts
1 解 : Φ ε (s) = 1+G (S) =
当 r(t) = 1 t 2时 R(s) = S13 2 (1) E(s) = Φ ε (s)R(s) =
t 2 -T
1 2 S (S+1/T)
=
T S2
-
T2 S
+
T2 S+1/T
e(t) = T e + T(t - T) t → ∞时 ess = ∞ (2) 由终值定理 ess = lim sE(s) = lim s(s+11/T) = ∞
（2）稳态误差系数的概念 ）
对于单位反馈系统，偏差就是误差，误差就是偏差，二者往往不加区分。 对于单位反馈系统，偏差就是误差，误差就是偏差，二者往往不加区分。 实际上，单位反馈系统与非单位反馈系统之间可以相互转换，如下所示。 实际上，单位反馈系统与非单位反馈系统之间可以相互转换，如下所示。
第6章 控制系统的误差分析和计算
H(s) H(s)
ess = lime(t ) = lims ⋅ E(s) = lims ⋅
t →∞ s→0 s→0
H(s)
ε (s)
H(s)
控制系统的误差分析和计算
输入及干扰引起的稳态误差计算 输入作用下的偏差传递函数及稳态偏差计算
1 ΦRε (s) = = R(s) 1+ G1(s)G2 (s)H(s)
满足由0<K<6，显然调整 值也无法使稳态误差小于 。 调整K值也无法使稳态误差小于 调整 值也无法使稳态误差小于0.1。
式中：K − 开环放大系数； ν − 积分环节个数； 控制系统的误差分析和计算 G0 (s) −开环传递函数去掉积分和比例环节； 输入及干扰引起的稳态误差分析
G 0 (0) = 1 ,
s→0
KP的大小反映了系统在阶跃输入下的稳态精度。KP越大， 的大小反映了系统在阶跃输入下的稳态精度。 越大， ess越小。所以说 P 反映了系统跟踪阶跃输入的能力。 越小。所以说K 反映了系统跟踪阶跃输入的能力。 稳态误差为零的系统称为无差系统,为有限值称有差系统。 稳态误差为零的系统称为无差系统,为有限值称有差系统。 无差系统 有差系统 在单位阶跃作用下, 的系统为有差系统, 在单位阶跃作用下,υ=0 的系统为有差系统, 系统为无差系统 为无差系统。 υ>=1 的系统为无差系统。
ν = 0 → Kν = lims ⋅ Gk (s) = 0 → ess−r = ∞
s→0
ν = 1 → Kν = lims ⋅ Gk (s) = K → ess−r = 1/ K
s→0
ν ≥ 2 → Kν = lims ⋅ Gk (s) = ∞ → ess−r = 0
s→0
Kυ的大小反映了系统在斜坡输入下的稳态精度。K υ越大， 的大小反映了系统在斜坡输入下的稳态精度。 越大， 斜坡输入下的稳态精度 ess越小。所以说 Kυ 反映了系统跟踪斜坡输入的能力。 越小。 反映了系统跟踪斜坡输入的能力。 斜坡输入的能力
ess = lime(t ) = lims ⋅ E(s) = lims ⋅
t →∞ s→0 s→0
H(s)
ε (s)
H(s)
控制系统的误差分析和计算
输入及干扰引起的稳态误差计算 输入作用下的偏差传递函数及稳态偏差计算
1 ΦRε (s) = = R(s) 1+ G1(s)G2 (s)H(s)
满足由0<K<6，显然调整 值也无法使稳态误差小于 。 调整K值也无法使稳态误差小于 调整 值也无法使稳态误差小于0.1。
式中：K − 开环放大系数； ν − 积分环节个数； 控制系统的误差分析和计算 G0 (s) −开环传递函数去掉积分和比例环节； 输入及干扰引起的稳态误差分析
G 0 (0) = 1 ,
s→0
KP的大小反映了系统在阶跃输入下的稳态精度。KP越大， 的大小反映了系统在阶跃输入下的稳态精度。 越大， ess越小。所以说 P 反映了系统跟踪阶跃输入的能力。 越小。所以说K 反映了系统跟踪阶跃输入的能力。 稳态误差为零的系统称为无差系统,为有限值称有差系统。 稳态误差为零的系统称为无差系统,为有限值称有差系统。 无差系统 有差系统 在单位阶跃作用下, 的系统为有差系统, 在单位阶跃作用下,υ=0 的系统为有差系统, 系统为无差系统 为无差系统。 υ>=1 的系统为无差系统。
ν = 0 → Kν = lims ⋅ Gk (s) = 0 → ess−r = ∞
s→0
ν = 1 → Kν = lims ⋅ Gk (s) = K → ess−r = 1/ K
s→0
ν ≥ 2 → Kν = lims ⋅ Gk (s) = ∞ → ess−r = 0
s→0
Kυ的大小反映了系统在斜坡输入下的稳态精度。K υ越大， 的大小反映了系统在斜坡输入下的稳态精度。 越大， 斜坡输入下的稳态精度 ess越小。所以说 Kυ 反映了系统跟踪斜坡输入的能力。 越小。 反映了系统跟踪斜坡输入的能力。 斜坡输入的能力
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当r(t) A Bt Ct 2 时, 2
有essr
A 1 Kp
B Kv
C Ka
下面再说明几个问题。 用稳态误差系数Kp、Kv和Ka表示的稳态误差分别被称为
位置误差、速度误差和加速度误差，都表示系统的过渡过程结束 后，虽然输出能够跟踪输入，但是却存在着位置误差。速度误差 和加速度误差并不是指速度上或加速度上的误差，而是指系统在 速度输入或加速度输入时所产生的在位置上的误差。位置误差、 速度误差和加速度误差的量纲是一样的。
Xi (s)
1 s3
定义： 稳态加速度
ess
lim s
1
1
s0 1 G(s)H(s) s3
1 lim s2G(s)H(s)
s0
1 Ka
误差系数
（3）不同类型反馈控制系统的稳态误差系数
0型系统的稳态误差：
m
K (is 1)
ν=0
m
K(is 1)
G(s)H(s)
i1 nv
K
p
lim G(s)H (s)
减小和消除稳态误差方法： ·提高系统的开环增益。 ·增加系统开环传递函数中积分环节的个数。 但是这两种方法会降低系统的稳定性。 由此可见，对稳态误差的要求往往与系统的稳定性和 动态特性的要求是矛盾的。 因此，系统的稳定性、准确性与快速性之间的关系是 相互关联和相互矛盾的。
系统在多个信号共同作用下总的稳态偏差（误差）， 等于多个信号单独作用下的稳态偏差（误差）之和。 当系统的输入信号由位置、速度和加速度等分量组成 时，即
lim (t)
t
lim
s0
s (s)
lim
s0
s
(s)
Xi (s)
lim
s0
s
1
1 G(s)
H
(s)
X
i
(
s)
根据误差E(s) 和偏差 (s)的关系： E(s) (s)
H (s)
得系统的误差为：
E(s)
(s)
H (s)
(s) Xi (s) H (s)
1 H (s)
1
1 G(s)H (s)
s0
0
e ssa
1 Ka
II型系统的稳态误差：
ν=2
m
K(is 1)
G(s)H(s) i1 nv sv (Tis 1) i1
Kp
lim G(s)H(s)
s0
e ssp
1 1 Kp
0
Kv
lim sG(s)H(s)
s0
e ssv
1 Kv
0
Ka
lim s2G(s)H(s)
s0
K
e ssa
1 Ka
1 K
（4）稳态误差系数和稳态误差的总结
此表概括了0型、Ⅰ型和Ⅱ型反馈控制系统在不同输入信号作用下的 稳态误差。在对角线上，稳态误差为有限值；在对角线以上部分，稳态误差 为无穷大；在对角线以下部分，稳态误差为零。由此表可以得如下结论：
(1) 同一个系统，如果输入的控制信号不同，其稳态误差也不同。 (2) 同一个控制信号作用于不同的控制系统，其稳态误差也不同。 (3) 系统的稳态误差与其开环增益有关，开环增益越大，系统的稳态 误差越小；反之，开环增益越小，系统的稳态误差越大。
e ss
lim
s0
sE(s)
lim
s0
1 s(s1/T)
6.2.2 稳态误差系数（静态误差系数）
（1）系统的“型”的概 念闭环系统的开环传递函数一般可以表示为:
m
K ( is 1)
G(s)H (s)
i 1 n
s (Tis 1)
i 1
定义： 当ν=0时，称为0型系统，没有积分环节； 当ν=1时，称为I型系统，有1个积分环节； 当ν=2时，称为II型系统，有2个积分环节； 依次类推。
i1 n
0
1
e ssa
Ka
(Tis 1)
i1பைடு நூலகம்
I型系统的稳态误差：
ν=1
m
K(is 1)
G(s)H(s) i1 nv sv (Tis 1) i1
Kp
lim G(s)H(s)
s0
1
e ssp
1 Kp
0
Kv
lim sG(s)H(s) s0
K
e ssv
1 Kv
1 K
Ka
lim s2G(s)H(s)
例6-2：某单位反馈系统如图所示，求闭环系统在单位 阶跃、斜坡、加速度输入时的稳态误差。
解：闭环系统的开环传递函数为I型。 单位阶跃输入时的稳态误差： 单位斜坡输入时的稳态误差： 单位加速度输入时的稳态误差：
影响稳态误差的因素： ·给定作用下的稳态误差与外作用有关。对同一系统 加入不同的输入，稳态误差不同。 ·与时间常数形式的开环增益有关。开环增益K↑，稳 态误差↓，但同时系统的稳定性和动态特性变差。 ·与积分环节的个数有关。积分环节的个数↑，稳态 误差↓，但同时系统的稳定性和动态特性变差。
在以上的分析中，习惯地称输出量是“位置”， 输出量 的变化率是“速度”，但是，对于误差分析所得到的结论同样适 用于输出量为其它物理量的系统。例如在温度控制中，上述的 “位置”就表示温度，“速度”就表示温度的变化率，等等。因 此，对于“位置”、“速度”等名词应当作广义的理解。
作业 P.211：6-1
H (s) C0 (s) -E(s)
H (s) (s) G1(s)
C0 (s) N (s)
+ G2 (s)
E(s)
-
C(s)
定于稳态误差系数：
ess
lim e(t)
t
lim s E(s)
s0
lim
s0
s
e
(s)
X
i
(s)
lim s
1
s0 1 G(s)H (s)
Xi (s)
➢单位阶跃输入
Xi
r(t) 1 t 2时,控制系统的稳态误差值。 2
解:
(s)
1 1G (S)
S S 1/T
当
r(t)
1 2
t
2时
R(s)
1 S3
(1)
E(s)
(s)R(s)
1 S2 (S1/T)
T S2
-
T2 S
T2 S1/T
e(t)
T e2
-
t T
T(t - T)
t 时 ess (2) 由终值定理
0型系统:
GsH s
K0 1s 1 2s 1 m s 1 T1s 1T2s 1 Tn s 1
I型系统:
GsH s
K11s 1 2s 1 m s 1 sT1s 1T2s 1 Tn1s 1
II型系统:
GsH s
K 2 1s 1 2s 1 m s 1 s 2 T1s 1T2 s 1 Tn2 s 1
《控制工程基础》
第6章 控制系统的误差分析和计算 6.2 输入引起的稳态误差
6.2.1 偏差传递函数（误差传递函数）与稳态误差
偏差传递函数：
(s)
s X s s
1
1 G(s)H (s)
得系统的偏差：
(
s)
(s)
X
i
(
s)
1
1 G(s)
H
(
s)
X
i
(s)
根据拉普拉斯变换的终值定理，计算稳态偏差：
ss
s0
lim
s0
i 1 n
K
(Tis 1)
sv (Tis 1) i1
1
1
e ssp
1 Kp
1 K
i 1
m
K(is 1)
Kv
lim sG(s)H(s)
s0
lim s
s0
i1 n
0
(Tis 1)
1
i1
essv K v
m
K(is 1)
Ka
lim s2G(s)H(s) lim s2
s0
s0
Xi (s)
根据拉普拉斯变换的终值定理，计算稳态误差：
ess
lim
t
e(t)
lim
s0
s E(s)
lim
s0
s
(s) Xi (s) H (s)
lim
s0
s
1 H (s)
1
1 G(s)
H
(s)
X
i
(s)
例6-1：某单位反馈系统如图所示，求当xi(t)=1(t)时 的稳态误差。
解：
例: 设单位反馈系统的开环传递函数为G(s) 1 ,试求当输入信号为 Ts
(s)
1 s
定义：
ess
lim s
1
s0 1 G(s)H (s)
1 s
1
lim
1 G(s)H (s)
1 1 Kp
s0
➢单位斜坡输入
Xi
(s)
1 s2
定义：
e ss
lim s
1
1
s0 1 G(s)H(s) s2
1 lim sG(s)H(s)
s0
1 Kv
稳态位置 误差系数
稳态速度 误差系数
➢单位抛物线输入
（2）稳态误差系数的概念
对于单位反馈系统，偏差就是误差，误差就是偏差，二者往往不加区分。 实际上，单位反馈系统与非单位反馈系统之间可以相互转换，如下所示。
C0 (s)
N (s)
R(s) (s)
G1 ( s )
B(s) -
+ G2 (s)
H (s)
E(s)
-
C(s)
R(s)
1 R1(s) 1(s)
有essr
A 1 Kp
B Kv
C Ka
下面再说明几个问题。 用稳态误差系数Kp、Kv和Ka表示的稳态误差分别被称为
位置误差、速度误差和加速度误差，都表示系统的过渡过程结束 后，虽然输出能够跟踪输入，但是却存在着位置误差。速度误差 和加速度误差并不是指速度上或加速度上的误差，而是指系统在 速度输入或加速度输入时所产生的在位置上的误差。位置误差、 速度误差和加速度误差的量纲是一样的。
Xi (s)
1 s3
定义： 稳态加速度
ess
lim s
1
1
s0 1 G(s)H(s) s3
1 lim s2G(s)H(s)
s0
1 Ka
误差系数
（3）不同类型反馈控制系统的稳态误差系数
0型系统的稳态误差：
m
K (is 1)
ν=0
m
K(is 1)
G(s)H(s)
i1 nv
K
p
lim G(s)H (s)
减小和消除稳态误差方法： ·提高系统的开环增益。 ·增加系统开环传递函数中积分环节的个数。 但是这两种方法会降低系统的稳定性。 由此可见，对稳态误差的要求往往与系统的稳定性和 动态特性的要求是矛盾的。 因此，系统的稳定性、准确性与快速性之间的关系是 相互关联和相互矛盾的。
系统在多个信号共同作用下总的稳态偏差（误差）， 等于多个信号单独作用下的稳态偏差（误差）之和。 当系统的输入信号由位置、速度和加速度等分量组成 时，即
lim (t)
t
lim
s0
s (s)
lim
s0
s
(s)
Xi (s)
lim
s0
s
1
1 G(s)
H
(s)
X
i
(
s)
根据误差E(s) 和偏差 (s)的关系： E(s) (s)
H (s)
得系统的误差为：
E(s)
(s)
H (s)
(s) Xi (s) H (s)
1 H (s)
1
1 G(s)H (s)
s0
0
e ssa
1 Ka
II型系统的稳态误差：
ν=2
m
K(is 1)
G(s)H(s) i1 nv sv (Tis 1) i1
Kp
lim G(s)H(s)
s0
e ssp
1 1 Kp
0
Kv
lim sG(s)H(s)
s0
e ssv
1 Kv
0
Ka
lim s2G(s)H(s)
s0
K
e ssa
1 Ka
1 K
（4）稳态误差系数和稳态误差的总结
此表概括了0型、Ⅰ型和Ⅱ型反馈控制系统在不同输入信号作用下的 稳态误差。在对角线上，稳态误差为有限值；在对角线以上部分，稳态误差 为无穷大；在对角线以下部分，稳态误差为零。由此表可以得如下结论：
(1) 同一个系统，如果输入的控制信号不同，其稳态误差也不同。 (2) 同一个控制信号作用于不同的控制系统，其稳态误差也不同。 (3) 系统的稳态误差与其开环增益有关，开环增益越大，系统的稳态 误差越小；反之，开环增益越小，系统的稳态误差越大。
e ss
lim
s0
sE(s)
lim
s0
1 s(s1/T)
6.2.2 稳态误差系数（静态误差系数）
（1）系统的“型”的概 念闭环系统的开环传递函数一般可以表示为:
m
K ( is 1)
G(s)H (s)
i 1 n
s (Tis 1)
i 1
定义： 当ν=0时，称为0型系统，没有积分环节； 当ν=1时，称为I型系统，有1个积分环节； 当ν=2时，称为II型系统，有2个积分环节； 依次类推。
i1 n
0
1
e ssa
Ka
(Tis 1)
i1பைடு நூலகம்
I型系统的稳态误差：
ν=1
m
K(is 1)
G(s)H(s) i1 nv sv (Tis 1) i1
Kp
lim G(s)H(s)
s0
1
e ssp
1 Kp
0
Kv
lim sG(s)H(s) s0
K
e ssv
1 Kv
1 K
Ka
lim s2G(s)H(s)
例6-2：某单位反馈系统如图所示，求闭环系统在单位 阶跃、斜坡、加速度输入时的稳态误差。
解：闭环系统的开环传递函数为I型。 单位阶跃输入时的稳态误差： 单位斜坡输入时的稳态误差： 单位加速度输入时的稳态误差：
影响稳态误差的因素： ·给定作用下的稳态误差与外作用有关。对同一系统 加入不同的输入，稳态误差不同。 ·与时间常数形式的开环增益有关。开环增益K↑，稳 态误差↓，但同时系统的稳定性和动态特性变差。 ·与积分环节的个数有关。积分环节的个数↑，稳态 误差↓，但同时系统的稳定性和动态特性变差。
在以上的分析中，习惯地称输出量是“位置”， 输出量 的变化率是“速度”，但是，对于误差分析所得到的结论同样适 用于输出量为其它物理量的系统。例如在温度控制中，上述的 “位置”就表示温度，“速度”就表示温度的变化率，等等。因 此，对于“位置”、“速度”等名词应当作广义的理解。
作业 P.211：6-1
H (s) C0 (s) -E(s)
H (s) (s) G1(s)
C0 (s) N (s)
+ G2 (s)
E(s)
-
C(s)
定于稳态误差系数：
ess
lim e(t)
t
lim s E(s)
s0
lim
s0
s
e
(s)
X
i
(s)
lim s
1
s0 1 G(s)H (s)
Xi (s)
➢单位阶跃输入
Xi
r(t) 1 t 2时,控制系统的稳态误差值。 2
解:
(s)
1 1G (S)
S S 1/T
当
r(t)
1 2
t
2时
R(s)
1 S3
(1)
E(s)
(s)R(s)
1 S2 (S1/T)
T S2
-
T2 S
T2 S1/T
e(t)
T e2
-
t T
T(t - T)
t 时 ess (2) 由终值定理
0型系统:
GsH s
K0 1s 1 2s 1 m s 1 T1s 1T2s 1 Tn s 1
I型系统:
GsH s
K11s 1 2s 1 m s 1 sT1s 1T2s 1 Tn1s 1
II型系统:
GsH s
K 2 1s 1 2s 1 m s 1 s 2 T1s 1T2 s 1 Tn2 s 1
《控制工程基础》
第6章 控制系统的误差分析和计算 6.2 输入引起的稳态误差
6.2.1 偏差传递函数（误差传递函数）与稳态误差
偏差传递函数：
(s)
s X s s
1
1 G(s)H (s)
得系统的偏差：
(
s)
(s)
X
i
(
s)
1
1 G(s)
H
(
s)
X
i
(s)
根据拉普拉斯变换的终值定理，计算稳态偏差：
ss
s0
lim
s0
i 1 n
K
(Tis 1)
sv (Tis 1) i1
1
1
e ssp
1 Kp
1 K
i 1
m
K(is 1)
Kv
lim sG(s)H(s)
s0
lim s
s0
i1 n
0
(Tis 1)
1
i1
essv K v
m
K(is 1)
Ka
lim s2G(s)H(s) lim s2
s0
s0
Xi (s)
根据拉普拉斯变换的终值定理，计算稳态误差：
ess
lim
t
e(t)
lim
s0
s E(s)
lim
s0
s
(s) Xi (s) H (s)
lim
s0
s
1 H (s)
1
1 G(s)
H
(s)
X
i
(s)
例6-1：某单位反馈系统如图所示，求当xi(t)=1(t)时 的稳态误差。
解：
例: 设单位反馈系统的开环传递函数为G(s) 1 ,试求当输入信号为 Ts
(s)
1 s
定义：
ess
lim s
1
s0 1 G(s)H (s)
1 s
1
lim
1 G(s)H (s)
1 1 Kp
s0
➢单位斜坡输入
Xi
(s)
1 s2
定义：
e ss
lim s
1
1
s0 1 G(s)H(s) s2
1 lim sG(s)H(s)
s0
1 Kv
稳态位置 误差系数
稳态速度 误差系数
➢单位抛物线输入
（2）稳态误差系数的概念
对于单位反馈系统，偏差就是误差，误差就是偏差，二者往往不加区分。 实际上，单位反馈系统与非单位反馈系统之间可以相互转换，如下所示。
C0 (s)
N (s)
R(s) (s)
G1 ( s )
B(s) -
+ G2 (s)
H (s)
E(s)
-
C(s)
R(s)
1 R1(s) 1(s)