控制系统的稳态误差分析
自动控制原理--控制系统的稳态误差
二、给定作用下的稳态误差
设系统开环传递函数为：
其中K为开环增益，v为系统中含有的积分环节数 对应于v=0,1,2的系统分别称为0型，Ⅰ型和Ⅱ型系统。
稳态误差的定义
• 误差定义为输入量与反馈量的差值
• 稳态误差为误差的稳态值 • 如果需要可以将误差转换成输出量的量纲
• 稳态误差不仅与其传递函数有关，而且与输入 信号的形式和大小有关。其终值为：
稳态误差计算
误差的定义：
E(s) R(s) B(s)
lim ess ()
( L1[ E ( s )])
（1）系统是稳定的； （2）所求信号的终值要存在。
例27 已知系统如图3-36所示。当输入信号 rt ，1干t扰信 号 n时t，求1t系 统的总的稳态误差。
Ns
Rs
Es
K1
K2 s
Y s
Bs
图3-36 例3-15系统结构图
解：⑴对于本例，只要参数 K1, K均2大于零，则系统一定是稳 定的。
⑵在r t 信1t号 作用下（此时令 n）t 0
s0
s0
1 s K1K2
K2 s K1K2
1 s
1 K1
由以上的分析和例题看出，稳态误差不仅与系统本身
的结构和参数有关，而且与外作用有关。利用拉氏变换
的终值定理求得的稳态误差值或者是零，或者是常数，
或者是无穷大，反映不出它随时间的变化过程。另外，
对于有些输入信号，例如正弦函数，是不能应用终值定
最后由终值定理求得稳态误差 ess
ess
稳态误差的总结分析和例解
稳态误差的总结分析和例解控制系统稳态误差是系统控制准确度的一种度量，通常称为稳态性能。
只有当系统稳定时，研究稳态误差才有意义，对不能稳定的系统，根本不存在研究稳态误差的可能性。
一、 误差与稳态误差1、输入端的定义：对图一，比较输出得到：E(s)=R(s)-H(s)*Y(s)称E(s)为误差信号，简称误差图一2、输出端的定义：将图一转换为图二，便可定义输出端的稳态误差，并且与输入端的稳态误差有如下关系：E ’(s)=E(s)/H(s)输入端定义法可测量实现，输出端定义法常无法测量，因此只有数学意义，以后在不做特别说明时，系统误差总是指输入端定义误差。
图二再有误差的时域表达式：也有：e(t)= [E(S)]= [Φe (s)*R(S)]其中Φe (s)是误差传递函数，定义为：Φe (s)==根据拉氏变换终值定理，由上式求出稳态误差：(T j s+1)e ss (∞)= =二、 系统类型一般的，定义一个分子为m 阶次，分母为n 阶次的开环传递函数为：[]1()()()()ts ss e t L E s e t e t -==+G(S)H(S)=K为开环增益，ν表示系统类型数，ν=0，表示0型系统；ν=1表示Ⅰ型系统；当ν大于等于2时，除了符合系统外，想使得系统稳定相当困难。
四、阶跃输入下的ess(∞)与静态位置误差系数Kpr(t)=R*1(t),则有：ess (∞)=νν用Kp表示静态位置误差系数：ess(∞)==其中： Kp=且有一般式子：Kp=ν∞ν五、斜坡输入下的ess(∞)与静态速度误差系数Kvr(t)=Rt,则有：ess (∞)=ν用Kv表示静态速度误差系数：ess(∞)==其中： Kv=六、加速度输入下的ess(∞)与静态加速度误差系数Kar(t)=Rt2/2,则有： ess (∞)=ν、用Kv表示静态速度误差系数： ess(∞)==其中： Kv=且有： Ka=、七、扰动状况下的稳态误差系统的模型如图三所示对扰动状况下的稳态误差仍然有输入端与输出端的两种定义：图三1、输入端定义法：扰动状况下的系统的稳态误差传递函数：由拉氏变换终值定理，求得扰动状况下的稳态误差为：2、输出端定义法：212()'()0()()1()()()G s E s Y s N s G s G s H s =-=-+记Φe (s) =为误差传递函数，其中G(s)为：G(s)=G 1(s)*G 2(s)*H(s)八、减小或者消除稳态误差的措施： （1）保证系统中各个环节（或元件），特别是反馈回路中元件的参数具有一定的精度和恒定性；（2）对输入信号而言，增大开环放大系数（开环增益），以提高系统对给定输入的跟踪能力；（3）对干扰信号而言，增大输入和干扰作用点之间环节的放大系数（扰动点之前的前向通道增益），有利于减小稳态误差；（4）增加系统前向通道中积分环节数目，使系统型号提高，可以消除不同输入信号时的稳态误差。
控制工程基础 第6章 控制系统的误差分析和计算
C0 (s)
N (s)
R(s) B(s)
(s)
-
G1 ( s )
+ G2 (s)
H (s)
e(s) -
C(s)
(b)
误差
C0(s) (s) N(s)
R(s)
1 H(s)
R1(s) C0(s)
E1(s(s))H(s)
E(s)
G1(s)
G2(s) C(s)
(c)
e(s) -+ (s)
H (s)
E(s)
因为偏差 (s) R(s) B(s) H (s)C0 (s) H (s)C(s) H (s)e(s)
这里 R(s) H (s)C0 (s) 是基于控制系统在理想工作情况下
(s) 0 得到的。
即当控制系统的偏差信号 (s) 0 时，该控制系统无调节控制
作用，此时的实际输出信号C(s)就是希望输出信号 C0 (s) 。
G(s)H(s)
i1 nv
sv (Tis 1)
i1
（4）稳态误差系数和稳态误差的总结 （系统在控制信号作用下）
此表概括了0型、Ⅰ型和Ⅱ型反馈控制系统在不同输入信号作用下的
稳态误差。在对角线上，稳态误差为有限值；在对角线以上部分，
稳态误差为无穷大；在对角线以下部分，稳态误差为零。由此表可
以得如下结论：
何改变系统结构?
(s)
- G1 K1
解：（1）给定作用下的误差传递函数为
RE (s)
(s)
R(s)
1
1
K1
K2 s
s s K1K2
当给定输入为单位阶跃输入时，稳态误差为
N (s)
+
G2
K2 s
控制系统的稳态误差分析
ess
s 右半
s(s +1)(2s +1) 1 1 = lims ess = lim sE (s) = s→ s(s +1)(2s +1) + K(0.5s +1) s2 0 s →0 k
计算结果表明， 计算结果表明，稳态误差 的大小， 的大小，与系统的开环增 有关。 益K有关。系统的开环增 益越大，稳态误差越小。 益越大，稳态误差越小。 由此看出， 由此看出，稳态精度与稳 定性对K的要求是矛盾的。 定性对K的要求是矛盾的。
t→ ∞
t→ ∞
2、有差系统:通常把阶跃输入信号作用下存在误差 有差系统:
的系统称为有差系统。 的系统称为有差系统。
3、无差系统:通常把阶跃输入信号作用下不存在误 无差系统:
差的系统称为无差系统。 差的系统称为无差系统。
注意:这里所讲的误差指 注意: 系统原理上的误差。 系统原理上的误差。
二、稳态误差的计算
第五节 控制系统的稳态误差分析
一、基本概念 1.偏差、 1.偏差、误差和稳态误差 偏差 的定义： 偏差 (t) 的定义：
R(s)
ε(t) = r(t) −b(t)
E(s) = R(s) − B(s)
的定义： 误差 e(t) 的定义：
(3(3-44a)
ε
−
E(s)
G(s)
C(s)
B(s)
H(s)
图3-24 系统结构图
R(s)
−
K(0.5s +1 ) s(s +1 s +1 )(2 )
C(s)
1 R(s) = 2 s
s ( s + 1)(2 s + 1) 1 E (s) = s ( s + 1)(2 s + 1) + K (0.5 s + 1) s 2
自动控制系统的稳定性和稳态误差分析
自动控制系统的稳定性和稳态误差分析本页仅作为文档封面，使用时可以删除This document is for reference only-rar21year.March实验三 自动控制系统的稳定性和稳态误差分析一、实验目的1、研究高阶系统的稳定性，验证稳定判据的正确性；2、了解系统增益变化对系统稳定性的影响；3、观察系统结构和稳态误差之间的关系。
二、实验任务1、稳定性分析欲判断系统的稳定性，只要求出系统的闭环极点即可，而系统的闭环极点就是闭环传递函数的分母多项式的根，可以利用MATLAB 中的tf2zp 函数求出系统的零极点，或者利用root 函数求分母多项式的根来确定系统的闭环极点，从而判断系统的稳定性。
（1）已知单位负反馈控制系统的开环传递函数为0.2( 2.5)()(0.5)(0.7)(3)s G s s s s s +=+++，用MATLAB 编写程序来判断闭环系统的稳定性，并绘制闭环系统的零极点图。
在MATLAB 命令窗口写入程序代码如下： z= p=[0,,,-3] k=Go=zpk(z,p,k) Gc=feedback(Go,1) Gctf=tf(Gc) 运行结果如下： Transfer function: s +--------------------------------------- s^4 + s^3 + s^2 + s +s^4 + s^3 + s^2 + s + 是系统的特征多项式，接着输入如下MATLAB程序代码：den=[1,,,,]p=roots(den)运行结果如下：p =+-p为特征多项式dens的根，即为系统的闭环极点，所有闭环极点都是负的实部，因此闭环系统是稳定的。
下面绘制系统的零极点图，MATLAB程序代码如下：z=p=[0,,,-3]k=Go=zpk(z,p,k)Gc=feedback(Go,1)Gctf=tf(Gc)[z,p,k]=zpkdata(Gctf,'v')pzmap(Gctf)grid运行结果如下：z =p =+-k =输出零极点分布图如图3-1所示。
《自动控制原理》第六章：控制系统误差分析
e(t)=μ(p)xi(t) εxo(t) x (t) - y(t) (t) =
i
X oi (s)
E (s )
(s)
Y (s)
N (s )
拉氏变换： E(s)=μ(s)Xi(s) -Xo(s)
G1 ( s )
＋
G2 (s)
X o (s)
H (s )
ε(s) =Xi(s) - Y(s)
K1
＋
K 2 xo (t ) s
解：（1）由于系统是一阶系统，故只要参数K1K2大于零，则 系统就稳定。
1 1 ]0 （2）输入引起的误差： ess1 lim[s K2 s 0 1 K1 S s
（3）干扰引起的误差：
ess 2 lim sE 2 ( s ) lim[ s
以单位反馈为例，输入引起的误差分析：
X i (s)
E (s )
G (s )
X o (s)
X o ( s) G ( s) 1 E (s) (s) [ X i ( s )] G ( s) 1 G (s) G (s) ess lim sE ( s )
s 0
1 lim[ s X i ( s )] s 0 1 G (s)
ess 1 1 Kv
1 K
( 0) ( 1)
( 2) 0 0型系统误差无穷大；1型有限2型及以上 系统，Kv为无穷，而稳态误差为零。
加速度输入下稳态精度
定义： 静态加速度误差
2 K ( r s 1) ( k s 2 2 k k s 1) r 1
令系统中xi(t)=0 。
X i (s)
(s)
Y (s)
控制工程基础—第7章控制系统的误差分析与计算
ss 0
(3)Ⅱ型系统（N=2）
静态位置误差系数为Kp=∞，稳态误差ss=0。 图7-4 所示为单位反馈控制系统的单位阶跃响应 曲线，其中图7-4a为0型系统；图7-4b为Ⅰ型或 高于Ⅰ型系统。
图7-4 单位阶跃响应曲线
2. 静态速度误差系数Kv 系统对斜坡输入X(s)= R/s2的稳态误差称为速度误 差，即
图7-6 单位加速度输入的响应曲线
表7-1 单位反馈系统稳态误差 ss 输入信号 系统 类型 阶跃 x(t)=R
R 1 K
斜坡 x(t)=Rt
R K
加速度
R 2 x( t ) t 2
0型 Ｉ型 Ⅱ型
R K
0 0
0
三、其它输入信号时的误差
如果系统承受除三种典型信号之外的某一信号x(t) 输入，此信号x(t)在t=0点附近可以展开成泰勒级 数为 ：
1 R R ss lim s . 3 2 s0 1 G( s ) s lim s G ( s )
s0
（ 7-20 ）
静态加速度误差系数Ka定义为：
K a lim s G( s )
2 s 0
（ 7-21 ） （ 7-22 ）
所以
R ss Ka
(1) 0 型系统（N=0）
稳态误差 对式（7-5）进行拉氏反变换，可求得系统的误差 (t) 。对于稳定的系统，在瞬态过程结束后，瞬 态分量基本消失，而(t)的稳态分量就是系统的 稳态误差。应用拉氏变换的终值定理，很容易求 出稳态误差：
E ( s) ss lim ( t ) lim s ( s ) lim s t s0 s0 H ( s)
K v lim sG ( s )
3.5 控制系统的稳态误差分析与计算终
2.系统的类型
K 1s 1 2 s 1 Gk s Gs H s v s T1s 1T2 s 1
K为开环增益 τ1、τ2……和T1、T2……为时间常数
n m
1、系统对单位阶跃输入的稳态偏差 K 1s 11 2 s 1 s lim G G sE H s n m s s lim X s k v s ss i s 0 s s0 T1 s G 1 T s 1 1 s2 H s
s s Gk s
K 1s 1 对0型系统 K a lim s 0 s 0 T1s 1 1s 1 2 K 对I型系统 K a lim s 0 s 0 sT1s 1 1s 1 2 K
2
稳态加速度偏差系数 令：K
a
ss s 0 s 0 i s 0 k
2
K 1s 1 对0型系统 K v lim s 0 ss s 0 T1s 1 K 1s 1 1 对I型系统 K v lim s K ss s 0 sT1s 1 K K 1s 1 对II型系统 K v lim s 0 ss 2 s 0 s T1s 1
lim s Gs H s lim s Gk s
2 2 s 0 s 0
ss
ss
1 ss K
对II型系统 K a lim s s 0
s T1s 1
2
K
1t
t
1 ss Kv
Kv 0
K p lim Gk s K v lim sGk s K a lim s 2Gk s s 0 s 0 s 0
2 i
s H s s 1 Gs H s 1 G s T s 1T s1
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Kv
(3-50)
为系统的静态速度误差系数。
零型系统： K v 0
Ⅰ型系统： K v K
ss
ss
1 K
Ⅱ型系统： K v
ss 0
3、等加速度信号输入
r (t) 1 t 2 2
R (s)
1 s3
R(s) E ( s ) G ( s )
(3-45b)
系统的稳态误差为:
ess
lime(t) t
同理系统的稳态偏差为:
ss
lim(t) t
(3-46a) (3-46b)
2、有差系统: 通常把阶跃输入信号作用下存在误差
的系统称为有差系统。
3、无差系统: 通常把阶跃输入信号作用下不存在误
差的系统称为无差系统。
注意:这里所讲的误差指 系统原理上的误差。
2 s3 3 s2 (1 0 .5 K )s K 0
图3-26 例12的结构图
由稳定判据：(1)各项系数大于0，则 K 0
(2)列劳斯表 s3 2 1+ 0.5k
s2 3
k 稳定条件为
s1 3-0.5k
s0
3 k
0K6
第二步：求 E ( s )
E(s)er(s)R(s)
1
1 G
(s)
R(s)
二、稳态误差的计算
系统的稳态误差的计算为:
esslti m e(t)lsi m 0sE 1(s)
同理系统的稳态偏差的计算为:
sslti m (t)lsi m 0sE (s)
(3-47a) (3-47b)
s 式(3-47)应用的条件是：E(s), E在1(右s)半 平面及虚轴（除原
点）解析，即没有极点。
C (s)
K 为系统的开环增益或开环传递系数或开环放大系数；
i , T i 为系统内部环节的时间常数； 积分环节的个数。根据 的数值，可以对系统进行分类：
0 称为零型系统； 1 称为一型系统；
L 2 称为二型系统；
12
13 14
1、单位阶跃信号输入
r(t) 1(t) R ( s ) 1 s
R(s)
K (0.5s 1) C (s) s(s 1)(2s 1)
G(s) K(0.5s1) s(s1)(2s1)
R(s)
1 s2
E (s)s(s 1 )s (( 2 s s 1 1 ))(2 sK (1 0 ).5 s 1 )s 1 2
e 第三步：利用终值定理求稳态误差 ss
s 当 0K，6闭环特征方程（即 的E分( s母) ）中，没有 右半平面的
根，所以满足终值定理应用条件，稳态误差为：
ess lsi m0 sE(s)lsi m 0ss(s1)s((2ss 1 1 ))(2 sK (1 0).5s1)s12
1 k
计算结果表明，稳态误差 的大小，与系统的开环增 益K有关。系统的开环增 益越大，稳态误差越小。 由此看出，稳态精度与稳 定性对K的要求是矛盾的。
ess
limsE(s) s0
lsi m 0ssK s1K21 ssK K12K21 s
1 K1
三、典型输入信号下稳态偏差的计算
开环传递函数的一般形式为： R(s)
m
K (1 i s)
G(s)H (s)
i 1 n
s (1 Ti s)
i 1
E (s) G (s)
B (s)
H (s)
(3-48)
第五节 控制系统的稳态误差分析
一、基本概念
1.偏差、误差和稳态误差 R(s) E ( s ) G ( s )
C(s)
偏差 ( t 的) 定义：
B (s)
(t)r(t)b(t)
H (s)
E(s)R(s)B(s) (3-44a)
图3-24 系统结构图
误差 e ( t的) 定义：
e(t)cd(t)c(t) E1(s)Cd(s)C(s) (3-44b)
Ⅰ型和Ⅱ型系统： K p ss 0
2、单位斜坡信号输入
r(t) t
R(s)
1 s2
R(s)
ss
limsE(s) s0
lim sR(s) s0 1G(s)H(s)
E (s)
B (s)
G (s)
H (s)
C (s)
lim 1 1
s0 sG(s)H(s)
令 K vlsi m 0sG (s)H (s)lsi m 0sK 1
例13 已知系统结构如图3-27所示，当参考输入为r(t) 1(t)
e 干扰为 n(t) 1(t) 时，试求系统总的稳态误差 s s
解：第一步：判别稳定性。
由于是一阶系统，所以只
要参数 K 1 , K 2
R
大于零，系统就稳定。
K1
N
K2 C
s
第二步：求 E ( s )
图3-27 例13的结构图
R(s) E ( s ) G ( s )
B (s)
H (s)
C (s) R(s) 1 R ' ( s ) E 1 ( s ) G(s)H(s) C (s)
H (s)
图3-24 系统结构图
图3-25 等效单位反馈控制系统结构图
E1(s)R'(s)C(s)
R(s) H (s)
C(s)
1 R(s)C(s)H(s)
H(s)
1 R(s)B(s)
H(s)
1 E (s) H (s)
图3-24 中系统的误差传递函数为: R(s) E ( s ) G ( s )
C(s)
e(s)
1
1H(s)G(s)
B (s)
H (s)
则:
E(s)
1
R(s)
1H(s)G(s)
图3-24 系统结构图
(3-45a)
E1(s)H(s)(1H 1(s)G (s))R(s)
R(s) E ( s ) G ( s )
B (s)
C (s)
H (s)
ss
limsE(s) s0
lim sR(s) s0 1G(s)H(s)
1 1 K
p
(3-49)
令Kplsi m 0G (s)H(s)lsi m 0sK 为系统的静态位置误差系数
零型系统： Kp lsi m0 sK0 K
ss
1 1 K
例12 已知系统结构如图3-26所示，当参考输入为r (t ) t
时，试求出系统在输入信号作用下的稳态误差。
解：第一步：判别稳定性。 系统的闭环特征方程：
R(s)
K (0.5s 1) C (s)
s(s 1)(2s 1)
D ( s ) s ( s 1 ) ( 2 s 1 ) K ( 0 .5 s 1 ) 0
E (s )e r(s )R (s )e n (s )N (s )
er
(s)
s
s K1K2
en(s)
s
K2 K1K2
R(s) 1 s
N (s) 1 s
E(s) s 1 K2 1
sK1K2s sK1K2s
E(s) s 1 K2 1 sK1K2s sK1K2s
e 第三步：利用终值定理求稳态误差 s s