3-6 控制系统稳态误差的基本概念
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系统的稳态误差为
r (t ) t
e ss
1
r (t ) t
e ss
1
2
Kp
0型 I型 II型
Kv
0
Ka
0 0
ess
1
1
2
1 K
K
p
KvKp1来自 1Ka
K
0 0
Kv
K
0
Ka
三、系统稳定误差的计算
综述，系统的稳态误差与输入信号形式有 关，对于一个结构确定的系统，如果给定 输入形式不同，其稳态误差就不同；同时 稳态误差与系统结构也密切相关，如果给 定信号一定，不同结构的系统稳态误差也 不同。 按静态误差系数法计算稳态误差的方法， 是基于拉氏变换的终值定理，只能使用阶 跃、斜坡及加速度或他们的组合，如果输 入是其他任意时间函数，以上结论则不能 成立。
ess
特征方程为D( s) 1 Gk ( s) an s n an 1s n 1 ... a2 s 2 a1s a0 0
n n 1 2 a s a s ... a s 等式两边同除以 n n 1 2 a1s a0 1 Gk ( s) 0 1 0 则 n n 1 2 an s an 1s ... a2 s 得 a1s a0 Gk ( s) 该系统为Ⅱ型系统 an s n an 1s n 1 ... a2 s 2 开环增益为 a0 a1s a0 K 2 a2 n2 n 3 s (an s an 1s ... a2 )
ess
1、先求取系统的开环传递函数 Gk ( s)
Gk (s)
C(s)
设开环传递函数为 Gk ( s) M ( s) 即，开环传递函数 N ( s) 与闭环传递函数 M (s) 有相同的零点 Gk ( s ) M (s) N (s) GB ( s ) a s a0 1 Gk ( s ) 1 M ( s ) N ( s ) M ( s ) 得 Gk ( s ) 1 ? N (s)
控制工程基础6章
H(S) +
Xor(S)
+ N(S)
+
-
E(S)
G1(S)
G2(S)
X0(S)
设xor (t )是控制系统希望的输出信号，而 xo (t ) 是实际的输出信号, 一般把二者之差定义为 误差信号，记做e(t), e(t) = xor (t ) - xo (t )
m(p) 是理想算子，是认为规 定的。一般情况下， m( s) =1/H(s)。
时的系统输出端的稳态误差。
1 2 例题：求下图所示系统 在1(t), t, 和 t 分别作用下的稳态误差 。 2
五、扰动引起的误差
+
G1(s) N(s) G2(s) Xo(s)
Xi(s) +
+
Y(s) H(s)
要想求稳态偏差，可以利用叠加原理，分别求
出给定信号Xi(s) 和N(s)单独作用时的偏差，然
2 2
对于0型系统，Ka=0，ess=
对于I型系统， Ka=0, ess=
对于II型系统， Ka=K, ess= 1/K 对于III型及以上系统， Ka= , ess= 0
0和I型系统不能跟踪单位斜坡输入，I I型系统能跟踪单 位斜坡输入但有静差，需要III型以上系统才能消除静差。
10 G 例：设有一非单位反馈控制系统， ( s) = s 1 H(s)=Kh，输入为单位阶跃。试求， Kh=1和0.1
结构形式 输入形 式
1 例：设单位反馈控制系统的 G( s) = ，输 2 Ts t 入信sint ， 2 试求系统的稳态误差。
为什么？ 因为：E(s) = s (s 2 2 )(s 1 ) T T 1 T s T 2 3 1 =- 2 2 2 2 2 2 2 2 1 T 1 s 2 T 1 s 2 T 1 s T 求拉式反变换 T
Xor(S)
+ N(S)
+
-
E(S)
G1(S)
G2(S)
X0(S)
设xor (t )是控制系统希望的输出信号，而 xo (t ) 是实际的输出信号, 一般把二者之差定义为 误差信号，记做e(t), e(t) = xor (t ) - xo (t )
m(p) 是理想算子，是认为规 定的。一般情况下， m( s) =1/H(s)。
时的系统输出端的稳态误差。
1 2 例题：求下图所示系统 在1(t), t, 和 t 分别作用下的稳态误差 。 2
五、扰动引起的误差
+
G1(s) N(s) G2(s) Xo(s)
Xi(s) +
+
Y(s) H(s)
要想求稳态偏差，可以利用叠加原理，分别求
出给定信号Xi(s) 和N(s)单独作用时的偏差，然
2 2
对于0型系统，Ka=0，ess=
对于I型系统， Ka=0, ess=
对于II型系统， Ka=K, ess= 1/K 对于III型及以上系统， Ka= , ess= 0
0和I型系统不能跟踪单位斜坡输入，I I型系统能跟踪单 位斜坡输入但有静差，需要III型以上系统才能消除静差。
10 G 例：设有一非单位反馈控制系统， ( s) = s 1 H(s)=Kh，输入为单位阶跃。试求， Kh=1和0.1
结构形式 输入形 式
1 例：设单位反馈控制系统的 G( s) = ，输 2 Ts t 入信sint ， 2 试求系统的稳态误差。
为什么？ 因为：E(s) = s (s 2 2 )(s 1 ) T T 1 T s T 2 3 1 =- 2 2 2 2 2 2 2 2 1 T 1 s 2 T 1 s 2 T 1 s T 求拉式反变换 T
自动控制原理--控制系统的稳态误差
不能采用拉氏变换终值定理的缘故。因此，利用式(356)来计算稳态误差是普遍成立的，而利用拉氏变换终 值定理的式(3-60)求稳态误差时，应注意使用条件。
二、给定作用下的稳态误差
设系统开环传递函数为：
其中K为开环增益，v为系统中含有的积分环节数 对应于v=0,1,2的系统分别称为0型，Ⅰ型和Ⅱ型系统。
稳态误差的定义
• 误差定义为输入量与反馈量的差值
• 稳态误差为误差的稳态值 • 如果需要可以将误差转换成输出量的量纲
• 稳态误差不仅与其传递函数有关，而且与输入 信号的形式和大小有关。其终值为：
稳态误差计算
误差的定义：
E(s) R(s) B(s)
lim ess ()
( L1[ E ( s )])
（1）系统是稳定的； （2）所求信号的终值要存在。
例27 已知系统如图3-36所示。当输入信号 rt ，1干t扰信 号 n时t，求1t系 统的总的稳态误差。
Ns
Rs
Es
K1
K2 s
Y s
Bs
图3-36 例3-15系统结构图
解：⑴对于本例，只要参数 K1, K均2大于零，则系统一定是稳 定的。
⑵在r t 信1t号 作用下（此时令 n）t 0
s0
s0
1 s K1K2
K2 s K1K2
1 s
1 K1
由以上的分析和例题看出，稳态误差不仅与系统本身
的结构和参数有关，而且与外作用有关。利用拉氏变换
的终值定理求得的稳态误差值或者是零，或者是常数，
或者是无穷大，反映不出它随时间的变化过程。另外，
对于有些输入信号，例如正弦函数，是不能应用终值定
最后由终值定理求得稳态误差 ess
ess
二、给定作用下的稳态误差
设系统开环传递函数为：
其中K为开环增益，v为系统中含有的积分环节数 对应于v=0,1,2的系统分别称为0型，Ⅰ型和Ⅱ型系统。
稳态误差的定义
• 误差定义为输入量与反馈量的差值
• 稳态误差为误差的稳态值 • 如果需要可以将误差转换成输出量的量纲
• 稳态误差不仅与其传递函数有关，而且与输入 信号的形式和大小有关。其终值为：
稳态误差计算
误差的定义：
E(s) R(s) B(s)
lim ess ()
( L1[ E ( s )])
（1）系统是稳定的； （2）所求信号的终值要存在。
例27 已知系统如图3-36所示。当输入信号 rt ，1干t扰信 号 n时t，求1t系 统的总的稳态误差。
Ns
Rs
Es
K1
K2 s
Y s
Bs
图3-36 例3-15系统结构图
解：⑴对于本例，只要参数 K1, K均2大于零，则系统一定是稳 定的。
⑵在r t 信1t号 作用下（此时令 n）t 0
s0
s0
1 s K1K2
K2 s K1K2
1 s
1 K1
由以上的分析和例题看出，稳态误差不仅与系统本身
的结构和参数有关，而且与外作用有关。利用拉氏变换
的终值定理求得的稳态误差值或者是零，或者是常数，
或者是无穷大，反映不出它随时间的变化过程。另外，
对于有些输入信号，例如正弦函数，是不能应用终值定
最后由终值定理求得稳态误差 ess
ess
自动控制原理(3-4)
式中Φn(s)——系统的扰动误差传递函数。
Φn
(s)
=
1+
Gc
Go (s) (s)Go (s)H
(s)
=
Go (s) 1+ G(s)
五、给定稳态误差终值的计算
Er
(s)
1
1 G(
s)
R(s)
esr
lim e(t)
t
lim
s0
sEr
(s)
lim s s0 1 G(s)
R(s)
esr为给定稳态误差的终值；G(s)为开环传递函数。
Er
(
s)
1
1 G(s)
R(s)
e
(s)R(s)
假定输入信号r(t)是任意分段连续函数，则可以利用
卷积公式计算给定误差：
式中
t
er (t) 0e (t) r(t ) d
er
(t)
1
2
j
c j
E c j r
(
s)
e
st
ds
e
(t)
1
2
j
c j
3.对于给定输入为抛物线函数时
r(t) Rt 2 2
R R(s) s3
则
esr
lim
s0
1
s G(s)
R(s)
lim
s0
s2
R s2G(s)
R Ka
式中
Ka
lim s2 G(s) s0
Ka为加速度误差系数，或称抛物线误差常数。
稳态误差分析
s→ 0
令
K a = lim s 2G ( s ) H ( s )
s→0
K a 静态加速度误差系数
Static acceleration error constant
0 K a = K ∞
ν = 0,1 ν =2 ν ≥3
ν = 0,1 ∞ a 0 ν =2 ess = = const K ν ≥3 0
G2 ( s ) N ( s) 1 + G1 ( s )G2 ( s ) H ( s )
Cn ( s ) = Φ N ( s ) N ( s ) =
系统的理想输出为零 终值定理
扰动产生的输出端误差信号
(3-92)
G2 ( s ) En ( s) = 0 − C n ( s) = − N ( s) 1 + G1 ( s )G2 ( s ) H ( s )
• 位置误差系数
K p = lim G0 ( S )
s →0
• 速度误差系数
K v = lim sG0 ( S )
s →0
• 加速度误差系数
K a = lim s G0 ( S )
2 s →0
稳态误差、 稳态误差、静态误差系数与输入信号关系表
例3-10 一单位负反馈控制系统，若要求： 一单位负反馈控制系统，若要求： 跟踪单位斜坡输入时系统的稳态误差为2 ⑴跟踪单位斜坡输入时系统的稳态误差为2。 设该系统为三阶， ⑵设该系统为三阶，其中一对复数闭环极点为 − 1 ± j1。 求满足上述要求的开环传递函数。 求满足上述要求的开环传递函数。 根据⑴ 根据⑴和⑵的要求，可知系统是Ⅰ型三阶系统，因 的要求，可知系统是Ⅰ型三阶系统， 解： 而令其开环传递函数为 K G(s) =
2.静态误差系数法 静态误差系数法
令
K a = lim s 2G ( s ) H ( s )
s→0
K a 静态加速度误差系数
Static acceleration error constant
0 K a = K ∞
ν = 0,1 ν =2 ν ≥3
ν = 0,1 ∞ a 0 ν =2 ess = = const K ν ≥3 0
G2 ( s ) N ( s) 1 + G1 ( s )G2 ( s ) H ( s )
Cn ( s ) = Φ N ( s ) N ( s ) =
系统的理想输出为零 终值定理
扰动产生的输出端误差信号
(3-92)
G2 ( s ) En ( s) = 0 − C n ( s) = − N ( s) 1 + G1 ( s )G2 ( s ) H ( s )
• 位置误差系数
K p = lim G0 ( S )
s →0
• 速度误差系数
K v = lim sG0 ( S )
s →0
• 加速度误差系数
K a = lim s G0 ( S )
2 s →0
稳态误差、 稳态误差、静态误差系数与输入信号关系表
例3-10 一单位负反馈控制系统，若要求： 一单位负反馈控制系统，若要求： 跟踪单位斜坡输入时系统的稳态误差为2 ⑴跟踪单位斜坡输入时系统的稳态误差为2。 设该系统为三阶， ⑵设该系统为三阶，其中一对复数闭环极点为 − 1 ± j1。 求满足上述要求的开环传递函数。 求满足上述要求的开环传递函数。 根据⑴ 根据⑴和⑵的要求，可知系统是Ⅰ型三阶系统，因 的要求，可知系统是Ⅰ型三阶系统， 解： 而令其开环传递函数为 K G(s) =
2.静态误差系数法 静态误差系数法
控制系统的稳态误差ppt课件
。 解((：1))
(2) ？
(3)
22
小结
1)时域分析是通过直接求解系统在典型输入信号作用下的 时域响应来分析系统的性能的。通常是以系统阶跃响应的 超调量、调整时间和稳态误差等性能指标来评价系统性能 的优劣。
2)二阶系统在欠阻尼时的响应虽有振荡，但只要阻尼比取 值适当(如＝0.7左右)，则系统既有响应的快速性，又有 过渡过程的平稳性，因而在控制工程中常把二阶系统设计 为欠阻尼。
例题分析
根据 解得
。
把式子改写为二阶系统的标准形式，即
由上式得
例题分析
例题3－4 一单位反馈控制系统．若要求：①跟踪单位斜坡
输入时系统的稳态误差为2；②设该系统为三阶，其中一对复
数闭环极点为
。求满足上述要求的开环传递函数。
解 根据①和②的要求，可知该系统是I型三阶系统，因而 令其开环传递函数为
因为
例题分析
(2)当开环传递函数为
则其闭环特征方程变为
排劳斯表
例题分析
例题分析
欲使系统稳定，表中第一列的系数必须全为正值,即
由此得出系统稳定的条件是
例题分析
例题3－6 设一控制系统误差的传递函数为
输入信号
，求误差
。
解
由于输入是余弦信号，因而系统误差的终值将不存在。下
面用部分分式法去求
。因为
式中
例题分析
§3 控制系统的时域分析
§3.1 典型的试验信号 §3.2 一阶系统的时域响应 §3.3 二阶系统的时域响应 §3.4 高阶系统的时域响应 §3.5 线性定常系统的稳定性 §3.6 劳斯稳定判据 §3.7 控制系统的稳定误差
§3.7 控制系统的稳定误差
控制系统的稳态误差， 是控制精度(准确度)的 一种度量，是控制系统的 稳态性能指标。在实际系 统中，引起稳态误差的因 素是多种多样的。
(2) ？
(3)
22
小结
1)时域分析是通过直接求解系统在典型输入信号作用下的 时域响应来分析系统的性能的。通常是以系统阶跃响应的 超调量、调整时间和稳态误差等性能指标来评价系统性能 的优劣。
2)二阶系统在欠阻尼时的响应虽有振荡，但只要阻尼比取 值适当(如＝0.7左右)，则系统既有响应的快速性，又有 过渡过程的平稳性，因而在控制工程中常把二阶系统设计 为欠阻尼。
例题分析
根据 解得
。
把式子改写为二阶系统的标准形式，即
由上式得
例题分析
例题3－4 一单位反馈控制系统．若要求：①跟踪单位斜坡
输入时系统的稳态误差为2；②设该系统为三阶，其中一对复
数闭环极点为
。求满足上述要求的开环传递函数。
解 根据①和②的要求，可知该系统是I型三阶系统，因而 令其开环传递函数为
因为
例题分析
(2)当开环传递函数为
则其闭环特征方程变为
排劳斯表
例题分析
例题分析
欲使系统稳定，表中第一列的系数必须全为正值,即
由此得出系统稳定的条件是
例题分析
例题3－6 设一控制系统误差的传递函数为
输入信号
，求误差
。
解
由于输入是余弦信号，因而系统误差的终值将不存在。下
面用部分分式法去求
。因为
式中
例题分析
§3 控制系统的时域分析
§3.1 典型的试验信号 §3.2 一阶系统的时域响应 §3.3 二阶系统的时域响应 §3.4 高阶系统的时域响应 §3.5 线性定常系统的稳定性 §3.6 劳斯稳定判据 §3.7 控制系统的稳定误差
§3.7 控制系统的稳定误差
控制系统的稳态误差， 是控制精度(准确度)的 一种度量，是控制系统的 稳态性能指标。在实际系 统中，引起稳态误差的因 素是多种多样的。
控制工程基础 第6章 控制系统的误差分析和计算
C0 (s)
N (s)
R(s) B(s)
(s)
-
G1 ( s )
+ G2 (s)
H (s)
e(s) -
C(s)
(b)
误差
C0(s) (s) N(s)
R(s)
1 H(s)
R1(s) C0(s)
E1(s(s))H(s)
E(s)
G1(s)
G2(s) C(s)
(c)
e(s) -+ (s)
H (s)
E(s)
因为偏差 (s) R(s) B(s) H (s)C0 (s) H (s)C(s) H (s)e(s)
这里 R(s) H (s)C0 (s) 是基于控制系统在理想工作情况下
(s) 0 得到的。
即当控制系统的偏差信号 (s) 0 时，该控制系统无调节控制
作用，此时的实际输出信号C(s)就是希望输出信号 C0 (s) 。
G(s)H(s)
i1 nv
sv (Tis 1)
i1
（4）稳态误差系数和稳态误差的总结 （系统在控制信号作用下）
此表概括了0型、Ⅰ型和Ⅱ型反馈控制系统在不同输入信号作用下的
稳态误差。在对角线上，稳态误差为有限值；在对角线以上部分，
稳态误差为无穷大；在对角线以下部分，稳态误差为零。由此表可
以得如下结论：
何改变系统结构?
(s)
- G1 K1
解：（1）给定作用下的误差传递函数为
RE (s)
(s)
R(s)
1
1
K1
K2 s
s s K1K2
当给定输入为单位阶跃输入时，稳态误差为
N (s)
+
G2
K2 s
稳态误差
2! e(0) r ( t ) 1 Fe(0)( t ) e ss ( t ) Fe(0)r ( t ) F r 2! C 0 r ( t ) C1r ( t ) C 2( t ) r
拉普拉斯反变换，得
注意: (1) 尽管将阶跃输入、速度输入及加速度输入下 系统的误差分别称之为位置误差、速度误差和加 速度误差，但对速度误差、加速度误差而言并不 是指输出与输入的速度、加速度不同，而是指输 出与输入之间存在一确定的稳态位置偏差。 (2) 如果输入量非单位量时，其稳态偏差（误差） 按比例增加。 (3) 系统在多个信号共同作用下总的稳态偏差误 差等于多个信号单独作用下的稳态偏差（误差） 之和。
给定稳态误差与扰动稳态误差 一
终值定理： ess tlim e(t ) lim SE(s) s0 与输入有关！ 给定稳态误差终值的计算
1 essr lim SEr (s) lim SR (s)Fr(s) lim S R (s) s 0 s 0 s 0 1 G(s)
消除或减少稳态误差的方法 • 产生稳态误差的原因
给定输入 1(t) 系统型号越高，无差度 t 越高。可以串联积分环 t2/2
输入信号是实际 的需要，不能变
给定稳态误差的终值 0型系统 I型系统 Ⅱ型系统 1/(1+K) 0 0 ∞ 1/K 0 ∞ ∞ 1/K
节提高系统型号。 1. 稳态误差与输入信号有关 传递系数越大，稳态误差越小。 2. 稳态误差与系统型号有关 3. 稳态误差与系统传递系数有关 4. 稳态误差与扰动有关
ess =
esr
+ esn
s 1 / H s
E s X or s X o s s X i s X o s X i s H s X o s / H s
拉普拉斯反变换，得
注意: (1) 尽管将阶跃输入、速度输入及加速度输入下 系统的误差分别称之为位置误差、速度误差和加 速度误差，但对速度误差、加速度误差而言并不 是指输出与输入的速度、加速度不同，而是指输 出与输入之间存在一确定的稳态位置偏差。 (2) 如果输入量非单位量时，其稳态偏差（误差） 按比例增加。 (3) 系统在多个信号共同作用下总的稳态偏差误 差等于多个信号单独作用下的稳态偏差（误差） 之和。
给定稳态误差与扰动稳态误差 一
终值定理： ess tlim e(t ) lim SE(s) s0 与输入有关！ 给定稳态误差终值的计算
1 essr lim SEr (s) lim SR (s)Fr(s) lim S R (s) s 0 s 0 s 0 1 G(s)
消除或减少稳态误差的方法 • 产生稳态误差的原因
给定输入 1(t) 系统型号越高，无差度 t 越高。可以串联积分环 t2/2
输入信号是实际 的需要，不能变
给定稳态误差的终值 0型系统 I型系统 Ⅱ型系统 1/(1+K) 0 0 ∞ 1/K 0 ∞ ∞ 1/K
节提高系统型号。 1. 稳态误差与输入信号有关 传递系数越大，稳态误差越小。 2. 稳态误差与系统型号有关 3. 稳态误差与系统传递系数有关 4. 稳态误差与扰动有关
ess =
esr
+ esn
s 1 / H s
E s X or s X o s s X i s X o s X i s H s X o s / H s
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进行拉氏反变换得
.
..
ss (t) 0.909r(t) 0.0273r(t) 0.0073r(t)
.
又已知r(t) 1(t) ， r(t) 0 代入上式得
ss (t) 0.909
已知
KH kc
→
ess
(t)
ss (t) kc
0.909 0.1 0.05
181.8
3.6.5 应用静态误差系数计算给定信号作用 下的稳态误差
……
.
已知 f (t) 1(t) ,则 f (t) 0
.
→
essf (t) [0.2 f (t) 0.016 f (t) ] =0.2
第三步,根据叠加原理,求得系统的总的稳态误差
ess (t) essr (t) essf (t) =0.1+0.2=0.3
例 4 调 速 系 统 的 方 块 图 如 图 3.7-3 所 示 。 图 中 K1=10 ，
系统的误差：被控量的希望值与实际被控量之差，记为 e(t)
e(t) cr (t) c(t)
c(t) ：暂态分量和稳态分量。 e(t) ：暂态分量和稳态分量。
稳态分量反映控制系统跟踪控制信号或干扰信号的能力和精度，即 反映控制系统的稳态性能。
稳态误差：当 t 时，系统误差称为稳态误差，记为ess 表示。
1 s (T 1 )s2 K K K2 1 1 s T s2 1 s T s2 KKKK
) 1 s 1 s2 T s3
K K2
K2
(T K
1 K2
)s2
T K2
s3
……
所以
e (s)
E(s) R(s)
1 K
s
(T K
1 K2
)s2
与公式(3)
e (s)
ER (s) R(s)
C0d
.
C1d
r (l)
(t)
l
i0
1 i!Cid
r
(i
)
(t)
将已知误差系数及控制信号的有关数据代入上式得
.
essr
(t)
C0d
r(t)
C1d
.
r(t)
1 2! C 2 d
..
r(t)
0
0.1(a1
2a2t)
1 2
0.18 (2a2)
0.1a1 0.18a2 0.2a2t
二、长除法
长除法：用误差传递函数e (s) 的分子多项式除以分母多项式的整
K2=2， 0.1，kc 0.05 伏/（转/分）。试求 r(t) 1(t（) 伏）时的
稳态误差。 解 对于非单位负反馈系统，我们先求系统的稳态偏差
由图可得
(s)
(s)
R(s)
1
1 kcG1 (s)G2 (s)
1
1
kc
K1 0.07s
1
K2 0.24s
1
已知K1=10，K2=2， 0.1
3-6 稳态误差的分析和计算
稳态性能是控制系统的又一重要特性,它表 征了系统跟踪输入信号的准确度或抑制扰动 信号的能力。而稳态误差的大小,是衡量系统 性能的重要指标。
控制系统的方块图如图3.6-1所示。 c(t) 表示系统的实际被控量（实
际值），cr (t)表示控制系统被控量的希望值（要求值）。
图3.6-1 控制系统方块图
e (s)
ER (s) R(s)
(s)
R (s)
R(s)
1
1 G1 (s)G2 (s)
（1）
将上式在 s 0 的邻域展开成泰勒级数
.
(s)
ER (s) R(s)
e (0)
.
e (0)s
1 2!
..
e(0)s
2
1 l!
e(l
)
(0)s
l
（2）式还可写成
（2）
.
e (s)
ER (s) R(s)
C0d
s
1. 2!C2d
s
2
1 l!Cld
sl
比较得
C0d
0;C1d
1 K
0.1;C2d
2( T K
1) K2
0.18
→
.
essr
(t)
C0d r(t)
C1d
.
r(t)
1 2! C 2 d
..
r(t)
0
0.1(a1
2a2t)
1 2
0.18
(2a2)
0.1a1 0.18a2 0.2a2t 例3，设有一随动系统如图所示,已知r(t) t 及f (t) 1(t) ,试
通常希望输出信号与控制信号之间具有给定的函数关系，
例如
cr (t) ( p)r(t)
式中( p) 常常反映cr (t) 与r(t) 之间的比例，微分或积分等基本函
数关系。
将 e(t) cr (t) c(t) ； cr (t) ( p)r(t) 进行拉氏变换得
E(s) (s)R(s) C(s)
ef (s)
EF (s) F(s)
f
F (s) G2 (s) （6）
F(s) 1 G1 (s)G2 (s)
在s=0的邻域展开泰勒级数
.
ef
(s)
EF (s) F(s)
ef
(0)
.
ef
(0)s
1 2!
ef
..
(0)s2
1 k!
e( kf
)
(0)s
k
.
→ ef
(s)
EF (s) F (s)
3.6.2 稳态误差分析
根据误差和稳态误差的定义，系统误差
e(t)的象函数
E(s) R(s) Y(s) R(s) G(s)H(s)E(s)
定义
E(s)
1
R(s)
1 G(s)H(s)
er
(s)
E(s) R(s)
1
1 G(s)H (s)
为系统对输入信号的误差传递函数。
由拉普拉斯变换的终值定理计算稳态误差，
t
lim
s0
s E(s)
lim
s0
s[Cr (s) C(s)]
当输入信号为 (t),1(t),t, 1 t 2 时,可用
2
终值定理计算静态误差,谐波(正弦,余弦)输
入时不能应用此定理。
(2).根据误差定义求稳态误差的方法 a.求误差响应传递函数 E (s)
R(s)
3.6.4动态误差系数
方法：利用误差系数求稳态误差。
对上式进行拉氏反变换得 (s) R(s) Y(s)
由 E(s) (s)R(s) C(s) 1 R(s) C(s) 变换得
H (s)
H(s)E(s) R(s) H(s)C(s) R(s) Y(s) (s)
→
E(s) 1 (s)
H (s)
● 对于单位负反馈系统，H(s) 1 ，偏差信号就是误差信号，是量
C0d
C1d s
1 2!
.
C2d
s
2
1 k!
Ckd
s
k
.
→
EF
(s)
C0d
F
(s)
C1d
sF
(
s)
21!C2d
s
. 2
F
(s)
k1!Ckd
s
k
F
(
s)
→
.
essf (t) C0d
f (t) C1d
f
.
(t
)
1 2!
C2d
f
..
(t
)
k1!Ckd
f
(k) (t)
k j0
1C j!
jd
f
( j) (t)
1.系统的类型 系统的开环传递函数G(s)H(s)可表示为
计算随动系统的稳态误差.
解 分别求得控制信号的稳态误差和干扰信号引起的稳 态误差,然后根据叠加原理求得系统总的稳态误差.
第一步,令 f (t) 0 ,求系统控制信号引起的误差
由图可得
e (s)
(s)
(s)
R(s)
1
1 5 2
s(0.02s 1)(s 1) s(0.02s 1)(s 1) 10
途径：1）对误差传递函数求导 2）长除法 3）查表
一、求导法，以单位负反馈为特例进行讲解。
根据叠加原理，可求得系统的稳态误差：
ess essr essf
1、求 essr ，令 f (t) =0
根据图3.6-1可求得
(s)
R (s)
R(s)
1
1 G1 (s)G2
(s)
对于单位负反馈
图3.6-1 控制系统方块图
0.02s 1 s(s 1)
s 1.02s2 0.02s3 10 s 1.02s2 0.02s3
用分子除以分母,作整式除法
0.1s 0.092s 2 10 s 1.02s 2 0.02s3 s 1.02s 2 0.02s3
)s 0.1s2 0.102s3 0.002s4
通常情况下，对于单位负反馈系统，输出量的希望值就是输入信号，
即 (s)；对1 于非单位负反馈系统， (s) 1
所以
H (s)
E(s) (s)R(s) C(s) 1 R(s) C(s)
H (s)
误差与偏差
偏差：控制信号r(t) 与主反馈信号 y(t) 之差。即
(t) r(t) y(t)
图3.6-2 控制系统方块图
纲相同的同一个物理量。对于非单位负反馈系统，偏差信号与误差 信号是两个量纲不同的物理量。通常根据方块图，先求偏差再求误 差。
误差响应e(t)与系统输出响应c(t)一 样，也包含暂态分量和稳态分量两部分，
.
..
ss (t) 0.909r(t) 0.0273r(t) 0.0073r(t)
.
又已知r(t) 1(t) ， r(t) 0 代入上式得
ss (t) 0.909
已知
KH kc
→
ess
(t)
ss (t) kc
0.909 0.1 0.05
181.8
3.6.5 应用静态误差系数计算给定信号作用 下的稳态误差
……
.
已知 f (t) 1(t) ,则 f (t) 0
.
→
essf (t) [0.2 f (t) 0.016 f (t) ] =0.2
第三步,根据叠加原理,求得系统的总的稳态误差
ess (t) essr (t) essf (t) =0.1+0.2=0.3
例 4 调 速 系 统 的 方 块 图 如 图 3.7-3 所 示 。 图 中 K1=10 ，
系统的误差：被控量的希望值与实际被控量之差，记为 e(t)
e(t) cr (t) c(t)
c(t) ：暂态分量和稳态分量。 e(t) ：暂态分量和稳态分量。
稳态分量反映控制系统跟踪控制信号或干扰信号的能力和精度，即 反映控制系统的稳态性能。
稳态误差：当 t 时，系统误差称为稳态误差，记为ess 表示。
1 s (T 1 )s2 K K K2 1 1 s T s2 1 s T s2 KKKK
) 1 s 1 s2 T s3
K K2
K2
(T K
1 K2
)s2
T K2
s3
……
所以
e (s)
E(s) R(s)
1 K
s
(T K
1 K2
)s2
与公式(3)
e (s)
ER (s) R(s)
C0d
.
C1d
r (l)
(t)
l
i0
1 i!Cid
r
(i
)
(t)
将已知误差系数及控制信号的有关数据代入上式得
.
essr
(t)
C0d
r(t)
C1d
.
r(t)
1 2! C 2 d
..
r(t)
0
0.1(a1
2a2t)
1 2
0.18 (2a2)
0.1a1 0.18a2 0.2a2t
二、长除法
长除法：用误差传递函数e (s) 的分子多项式除以分母多项式的整
K2=2， 0.1，kc 0.05 伏/（转/分）。试求 r(t) 1(t（) 伏）时的
稳态误差。 解 对于非单位负反馈系统，我们先求系统的稳态偏差
由图可得
(s)
(s)
R(s)
1
1 kcG1 (s)G2 (s)
1
1
kc
K1 0.07s
1
K2 0.24s
1
已知K1=10，K2=2， 0.1
3-6 稳态误差的分析和计算
稳态性能是控制系统的又一重要特性,它表 征了系统跟踪输入信号的准确度或抑制扰动 信号的能力。而稳态误差的大小,是衡量系统 性能的重要指标。
控制系统的方块图如图3.6-1所示。 c(t) 表示系统的实际被控量（实
际值），cr (t)表示控制系统被控量的希望值（要求值）。
图3.6-1 控制系统方块图
e (s)
ER (s) R(s)
(s)
R (s)
R(s)
1
1 G1 (s)G2 (s)
（1）
将上式在 s 0 的邻域展开成泰勒级数
.
(s)
ER (s) R(s)
e (0)
.
e (0)s
1 2!
..
e(0)s
2
1 l!
e(l
)
(0)s
l
（2）式还可写成
（2）
.
e (s)
ER (s) R(s)
C0d
s
1. 2!C2d
s
2
1 l!Cld
sl
比较得
C0d
0;C1d
1 K
0.1;C2d
2( T K
1) K2
0.18
→
.
essr
(t)
C0d r(t)
C1d
.
r(t)
1 2! C 2 d
..
r(t)
0
0.1(a1
2a2t)
1 2
0.18
(2a2)
0.1a1 0.18a2 0.2a2t 例3，设有一随动系统如图所示,已知r(t) t 及f (t) 1(t) ,试
通常希望输出信号与控制信号之间具有给定的函数关系，
例如
cr (t) ( p)r(t)
式中( p) 常常反映cr (t) 与r(t) 之间的比例，微分或积分等基本函
数关系。
将 e(t) cr (t) c(t) ； cr (t) ( p)r(t) 进行拉氏变换得
E(s) (s)R(s) C(s)
ef (s)
EF (s) F(s)
f
F (s) G2 (s) （6）
F(s) 1 G1 (s)G2 (s)
在s=0的邻域展开泰勒级数
.
ef
(s)
EF (s) F(s)
ef
(0)
.
ef
(0)s
1 2!
ef
..
(0)s2
1 k!
e( kf
)
(0)s
k
.
→ ef
(s)
EF (s) F (s)
3.6.2 稳态误差分析
根据误差和稳态误差的定义，系统误差
e(t)的象函数
E(s) R(s) Y(s) R(s) G(s)H(s)E(s)
定义
E(s)
1
R(s)
1 G(s)H(s)
er
(s)
E(s) R(s)
1
1 G(s)H (s)
为系统对输入信号的误差传递函数。
由拉普拉斯变换的终值定理计算稳态误差，
t
lim
s0
s E(s)
lim
s0
s[Cr (s) C(s)]
当输入信号为 (t),1(t),t, 1 t 2 时,可用
2
终值定理计算静态误差,谐波(正弦,余弦)输
入时不能应用此定理。
(2).根据误差定义求稳态误差的方法 a.求误差响应传递函数 E (s)
R(s)
3.6.4动态误差系数
方法：利用误差系数求稳态误差。
对上式进行拉氏反变换得 (s) R(s) Y(s)
由 E(s) (s)R(s) C(s) 1 R(s) C(s) 变换得
H (s)
H(s)E(s) R(s) H(s)C(s) R(s) Y(s) (s)
→
E(s) 1 (s)
H (s)
● 对于单位负反馈系统，H(s) 1 ，偏差信号就是误差信号，是量
C0d
C1d s
1 2!
.
C2d
s
2
1 k!
Ckd
s
k
.
→
EF
(s)
C0d
F
(s)
C1d
sF
(
s)
21!C2d
s
. 2
F
(s)
k1!Ckd
s
k
F
(
s)
→
.
essf (t) C0d
f (t) C1d
f
.
(t
)
1 2!
C2d
f
..
(t
)
k1!Ckd
f
(k) (t)
k j0
1C j!
jd
f
( j) (t)
1.系统的类型 系统的开环传递函数G(s)H(s)可表示为
计算随动系统的稳态误差.
解 分别求得控制信号的稳态误差和干扰信号引起的稳 态误差,然后根据叠加原理求得系统总的稳态误差.
第一步,令 f (t) 0 ,求系统控制信号引起的误差
由图可得
e (s)
(s)
(s)
R(s)
1
1 5 2
s(0.02s 1)(s 1) s(0.02s 1)(s 1) 10
途径：1）对误差传递函数求导 2）长除法 3）查表
一、求导法，以单位负反馈为特例进行讲解。
根据叠加原理，可求得系统的稳态误差：
ess essr essf
1、求 essr ，令 f (t) =0
根据图3.6-1可求得
(s)
R (s)
R(s)
1
1 G1 (s)G2
(s)
对于单位负反馈
图3.6-1 控制系统方块图
0.02s 1 s(s 1)
s 1.02s2 0.02s3 10 s 1.02s2 0.02s3
用分子除以分母,作整式除法
0.1s 0.092s 2 10 s 1.02s 2 0.02s3 s 1.02s 2 0.02s3
)s 0.1s2 0.102s3 0.002s4
通常情况下，对于单位负反馈系统，输出量的希望值就是输入信号，
即 (s)；对1 于非单位负反馈系统， (s) 1
所以
H (s)
E(s) (s)R(s) C(s) 1 R(s) C(s)
H (s)
误差与偏差
偏差：控制信号r(t) 与主反馈信号 y(t) 之差。即
(t) r(t) y(t)
图3.6-2 控制系统方块图
纲相同的同一个物理量。对于非单位负反馈系统，偏差信号与误差 信号是两个量纲不同的物理量。通常根据方块图，先求偏差再求误 差。
误差响应e(t)与系统输出响应c(t)一 样，也包含暂态分量和稳态分量两部分，