控制工程基础 第6章 控制系统的误差分析和计算

当系统的输入信号由位置、速度和加速度等分量 组成时，即
下面再说明几个问题。 用稳态误差系数Kp、Kv和Ka表示的稳态误差分别 被称为位置误差、速度误差和加速度误差，都表示 系统的过渡过程结束后，虽然输出能够跟踪输入，
但是却存在着位置误差。速度误差和加速度误差并
不是指速度上或加速度上的误差，而是指系统在速 度输入或加速度输入时所产生的在位置上的误差。 位置误差、速度误差和加速度误差的量纲是一样的。 在以上的分析中，习惯地称输出量是“位置”， 输
稳态误差=跟随误差+扰动误差
ess= esr+ esn
稳态误差的计算
N (s)
R(s) (s) G1(s)
+ G2 (s)
B(s) -
H (s)
C(s)
① 给定作用下的偏差传递函数
R(s)
- C(s)
B(s)
H (s)
G2 (s)
(s) G1 ( s )
RE (s)
(s)
R(s)
1
1 G1(s)G2 (s)H (s)
G2 (s)H (s)N (s)
1 G1(s)G2 (s)H (s) 1 G1(s)G2 (s)H (s)
④ 对稳定的系统，可利用拉氏变换的终值定理计算稳态误差 注意：只有稳定的系统，才可以计算稳态误差。
[例]：系统结构图如图所示。
当 r(t) 1(t)，n(t) 1(t) 时， R(s) 求系统的稳态误差 ess 。如 果要求稳态误差为零，应当如
s0
1 Kv
误差系数
➢单位抛物线输入
R(s) 1 s3
定义： 稳态加速度
esss
lim
s0
s
1
1 G(s)H(s)
1 s3
1 lim s2G(s)H(s)
s0
1 Ka
误差系数
（3）不同类型反馈控制系统的稳态误差系数
0型系统的稳态误差
V=0
m
K(is 1)
G(s)H(s) i1 nv sv (Tis 1) i1
- G1 K1
N (s)
+
G2
K2 s
C(s)
（2）扰动作用下的误差传递函数为
NE (s)
(s)
N (s)
K2
s
1
K1
K2 s
K2 s K1K2
当扰动输入为单位阶跃输入时，稳态误差为
essn
lim s0
s NE
1 s
lim
s0
s
K2 s K1K2
1 s
1 K1
（3）输入作用与扰动作用共同作用下的稳态误差为
G(s)H(s)
i1 nv
sv (Tis 1)
i1
（4）稳态误差系数和稳态误差的总结 （系统在控制信号作用下）
此表概括了0型、Ⅰ型和Ⅱ型反馈控制系统在不同输入信号作用下的
稳态误差。在对角线上，稳态误差为有限值；在对角线以上部分，
稳态误差为无穷大；在对角线以下部分，稳态误差为零。由此表可
以得如下结论：
(s)
我
们
将
偏
偏差
6.2 输入引起的稳态误差
6.2.1 误差传递函数与稳态误差
稳态误差的计算：一般要先求稳态偏差 , 根据拉普拉斯变换的终值定理：
对于单位反馈系统
例: 设单位反馈系统的开环传递函数为G(s) 1 ,试求当输入信号为 Ts
r(t) 1 t 2时,控制系统的稳态误差值。 2
由终值定理
第6章 控制系统的误差分析和计算
准确性，即系统的精度，是对控制系统的基 本要求之一。 系统的精度是用系统的稳态误差来度量的。 系统的误差可以分为动态误差和稳态误差。 动态误差是指误差随时间变化的过程值。 稳态误差是指误差的终值。 本节只讨论常用的稳态误差。
6.1 稳态误差的基本概念
本课与误差有关的概念都是建立在反馈控制系统基础 之上的。
稳态的定义：时间趋于无穷大（足够长）时的稳定响 应称为控制系统的稳定状态，简称稳态。
稳态误差：当系统在特定类型输入信号作用下，达到 稳态时系统精度的度量。
说明：误差产生的原因是多样的，我们只研究由于系 统结构、参量、以及输入信号的形式不同所引起的误 差。
误差及稳态误差的定义
系统误差 e(t) ：输出量的希望值 c0 (t)和实际值c(t) 之差。即
（2）稳态误差系数的概念
➢单位阶跃输入
R(s) 1 s
定义：
essss
lim s s0 1
1 G(s)H (s)
1 s
1
lim
1 G(s)H (s)
1 1 K
p
稳态位置 误差系数
s0
➢单位斜坡输入
R(s) 1 s2
定义： 稳态速度
e
ssss
lim
s0
s
1
1 G(s)H(s)
1 s2
1 lim sG(s)H(s)
6.2.2 稳态误差系数
（1）系统的“型”的概 念闭环系统的开环传递函数一般可以表示为:
m
K ( is 1)
G(s)H (s)
i 1 n
s (Tis 1)
i 1
定义： 当ν=0时，称为0型系统，没有积分环节； 当ν=1时，称为I型系统，有1个积分环节； 当ν=2时，称为II型系统，有2个积分环节； 依次类推。
1 s
0
ess essr essn 0
6.4 减小系统误差的途径
（1）前馈补偿闭环控制（按干扰补偿）
Gc(s) N(s)
R(s) E(s) G1(s)
-
C(s) G2(s)
（2）顺馈补偿闭环控制（按输入补偿）
Gc(s) R(s) E(s)
G1(s) -
C(s) G2(s)
作业
❖ 习题6-11
Ka
lim s2G(s)H(s) s0
lim s2
s0
i1 n
0
e ssa
1 Ka
(Tis 1)
i1
单位抛物线信号输入
I型系统的稳态误差 (以下式中简写
)
V=1
m
K(is 1)
G(s)H(s) i1 nv sv (Tis 1) i1
II型系统的稳态误差 (以下各式中简写
)
V=2
m
K(is 1)
何改变系统结构?
(s)
- G1 K1
解：（1）给定作用下的误差传递函数为
RE (s)
(s)
R(s)
1
1
K1
K2 s
s s K1K2
当给定输入为单位阶跃输入时，稳态误差为
Nห้องสมุดไป่ตู้(s)
+
G2
K2 s
C(s)
essr
lim s0
s RE
1 s
lim s0
s
s s K1K2
1 s
0
R(s) (s)
减小和消除稳态误差方法： ·提高系统的开环增益。 ·增加系统开环传递函数中积分环节的个数。 但是这两种方法会降低系统的稳定性。 由此可见，对稳态误差的要求往往与系统的稳定性和动态特 性的要求是矛盾的。 因此，系统的稳定性、准确性与快速性之间的关系是相互关 联和相互矛盾的。
线性系统在多个信号共同作用下总的稳态偏差（误 差），等于多个信号单独作用下的稳态偏差（误差） 之和。
ess
essr
essn
1 K1
（4）如果要求稳态误差
为零，可以在G1中串联积 分环节，令
G1
K1 s
R(s)
E(s)
-
G1
K1 s
N (s)
+
G2
K2 s
C(s)
则
essr
lim
s0
s
RE
1 s
lim s0
s s2
s2 K1K2
1 s
0
essn
lim
s0
s NE
1 s
lim
s0
s
s
K2s K1 K 2
(1) 同一个系统，如果输入的控制信号不同，其稳态误差也不同。
(2) 同一个控制信号作用于不同的控制系统，其稳态误差也不同。
(3) 系统的稳态误差与其开环增益有关，开环增益越大，系统的稳态
误差越小；反之，开环增益越小，系统的稳态误差越大。
(4)注意区分稳态偏差与稳态误差的区别,
只有单位反
馈系统,
影响稳态误差的因素： ·给定作用下的稳态误差与外作用有关。对同一系统 加入不同的输入，稳态误差不同。 ·与时间常数形式的开环增益有关；开环增益K↑，稳 态误差↓，但同时系统的稳定性和动态特性变差。 ·与积分环节的个数有关。积分环节的个数↑，稳态 误差↓，但同时系统的稳定性和动态特性变差。
出量的变化率是“速度”，但是，对于误差分析所 得到的结论同样适用于输出量为其它物理量的系统。 例如在温度控制中，上述的“位置”就表示温度， “速度”就表示温度的变化率，等等。因此，对于 “位置”、“速度”等名词应当作广义的理解。
6.3 干扰引起的稳态误差
稳态误差分类：
跟随误差：表示系统能以什么精度跟随系统输入信号的变 化，用esr表示。 扰动误差：表示系统在扰动信号作用下系统偏离平衡点的情 况，用esn表示。 同样要注意稳态偏差与稳态误差的区别, 有 只有对单位反馈系统
作用 r(t)只是希望输出的 代表值， r(t) c0 (t)，误
差e(s) 不等于偏差 ss ，
即 ss ess
C0 (s)
N (s)
R(s) (s) G1(s)
+ G2 (s)
B(s) -
H (s)
e(s)
-
C(s)
(b)
误差 e(s)和偏差 (s) 的关系：
e(s) (s)
H (s)
② 扰动作用下的偏差传递函数
C(s)
B(s)
N (s) G2 (s)
+
H (s)
(s) 1
G1 ( s )
NE (s)
(s)
N (s)
G2 (s)H (s) 1 G1(s)G2 (s)H (s)
③ 给定和扰动同时作用下的偏差表达式
(s) RE (s)R(s) NE (s)N(s)
R(s)
因为偏差 (s) R(s) B(s) H (s)C0 (s) H (s)C(s) H (s)e(s)
这里 R(s) H (s)C0 (s) 是基于控制系统在理想工作情况下
(s) 0 得到的。
即当控制系统的偏差信号 (s) 0 时，该控制系统无调节控制
作用，此时的实际输出信号C(s)就是希望输出信号 C0 (s) 。
❖ 习题6-13
1
❖ 温度计的传递函数为 Ts 1 ,现在用该温度 计测量一个容器内水的温度,发现需要1min的
时间才能指示出实际水温的98%的数值,求此
温度计的时间常数T;如果给容器加热,使水温
以10ºC/min的速度变化,此温度计的稳态指示
误差是多少?
0型系统:
GsH s
K0 1s 1 2s 1 m s 1 T1s 1T2s 1Tn s 1
I型系统:
GsH s
K11s 1 2s 1 m s 1 sT1s 1T2s 1Tn1s 1
II型系统:
GsH s
K 2 1s 1 2s 1 m s 1 s 2 T1s 1T2 s 1Tn2 s 1
C0 (s)
N (s)
R(s) B(s)
(s)
-
G1 ( s )
+ G2 (s)
H (s)
e(s) -
C(s)
(b)
误差
C0(s) (s) N(s)
R(s)
1 H(s)
R1(s) C0(s)
E1(s(s))H(s)
E(s)
G1(s)
G2(s) C(s)
(c)
e(s) -+ (s)
H (s)
E(s)
ss
lim (t)
t
lim s (s)
s0
对单位反馈系统，给定作
C0 (s)
e(s)
N (s)
用 r(t) 即为输出量的希望
值， r(t) c0 (t) ，误差 ess
等于偏差 ss，即 ss ess
R(s) (s) G1(s) + B(s) -
(a)
-
G2 (s) C(s)
对非单位反馈系统，给定
求得 ssx 后,再按下式求出
m
K (is 1)
K p lim G(s)H (s) lim
s0
s0
i 1 n
K
(Tis 1)
i 1
单位阶跃信号输入
m
K(is 1)
Kv
lim sG(s)H(s)
s0
lim s
s0
i1 n
0
(Tis 1)
1 essv K v
i1
单位斜坡信号输入 m
K(is 1)
e(t) c0 (t) c(t)
系统稳态误差 ess ：当t→∞时的系统误差，用 ess 表示。即
ess
lim e(t )
t
lim
s0
s e(s)
系统偏差 E(s) ：系统的输入 r(t) 和主反馈信号b(t) 之差。即
(t) r(t) b(t)
系统稳态偏差 ss：当t→∞时的系统偏差，用 ss表示。即