系统稳态误差分析
稳态误差分析
令
K a = lim s 2G ( s ) H ( s )
s→0
K a 静态加速度误差系数
Static acceleration error constant
0 K a = K ∞
ν = 0,1 ν =2 ν ≥3
ν = 0,1 ∞ a 0 ν =2 ess = = const K ν ≥3 0
G2 ( s ) N ( s) 1 + G1 ( s )G2 ( s ) H ( s )
Cn ( s ) = Φ N ( s ) N ( s ) =
系统的理想输出为零 终值定理
扰动产生的输出端误差信号
(3-92)
G2 ( s ) En ( s) = 0 − C n ( s) = − N ( s) 1 + G1 ( s )G2 ( s ) H ( s )
• 位置误差系数
K p = lim G0 ( S )
s →0
• 速度误差系数
K v = lim sG0 ( S )
s →0
• 加速度误差系数
K a = lim s G0 ( S )
2 s →0
稳态误差、 稳态误差、静态误差系数与输入信号关系表
例3-10 一单位负反馈控制系统，若要求： 一单位负反馈控制系统，若要求： 跟踪单位斜坡输入时系统的稳态误差为2 ⑴跟踪单位斜坡输入时系统的稳态误差为2。 设该系统为三阶， ⑵设该系统为三阶，其中一对复数闭环极点为 − 1 ± j1。 求满足上述要求的开环传递函数。 求满足上述要求的开环传递函数。 根据⑴ 根据⑴和⑵的要求，可知系统是Ⅰ型三阶系统，因 的要求，可知系统是Ⅰ型三阶系统， 解： 而令其开环传递函数为 K G(s) =
2.静态误差系数法 静态误差系数法
第八节 采样系统稳态误差分析
输入为加速度函数时，对“ II ”型以下的系 统稳态误差为无穷大。
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第八节采样系统稳态误差分析
离散系统稳态误差小结
误差系数
K p lim D ( z )G ( z )
z 1
Kv
1 K a 2 lim( z 1) 2 D( z )G ( z ) z 1 T 稳态误差
2 1 T ( z 1) z 1 lim (1 z ) z 1 1 D( z )G ( z ) 2( z 1) 3
2( z 1)
1 1 2 l i m ( z 1 ) D( z )G ( z ) 2 z 1 T
1 Ka
其中
1 Ka 2 lim ( z 1) 2 D( z )G ( z ) 为加速度误差系数 T z 1
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第八节采样系统稳态误差分析
第 八节 采样系统稳态误差分析
一 采样系统稳态误差定义 二 采样时刻稳态误差的计算 三 A/D 变换器对稳态误差的影响
四 采样周期对稳态误差的影响
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e* (1 z 1 ) ss l i m
z 1
1 1 1 D( z )G ( z ) (1 z 1 )
1 1 lim z 1 1 D( z )G ( z ) 1 l i mD( z )G ( z )
z 1
1 1 K p
其中 K p lim D ( z )G ( z ) 为稳态位臵误差系数
第八节采样系统稳态误差分析
稳态误差的总结分析和例解
稳态误差的总结分析和例解控制系统稳态误差是系统控制准确度的一种度量，通常称为稳态性能。
只有当系统稳定时，研究稳态误差才有意义，对不能稳定的系统，根本不存在研究稳态误差的可能性。
一、 误差与稳态误差1、输入端的定义：对图一，比较输出得到：E(s)=R(s)-H(s)*Y(s)称E(s)为误差信号，简称误差图一2、输出端的定义：将图一转换为图二，便可定义输出端的稳态误差，并且与输入端的稳态误差有如下关系：E ’(s)=E(s)/H(s)输入端定义法可测量实现，输出端定义法常无法测量，因此只有数学意义，以后在不做特别说明时，系统误差总是指输入端定义误差。
图二再有误差的时域表达式：也有：e(t)= [E(S)]= [Φe (s)*R(S)]其中Φe (s)是误差传递函数，定义为：Φe (s)==根据拉氏变换终值定理，由上式求出稳态误差：(T j s+1)e ss (∞)= =二、 系统类型一般的，定义一个分子为m 阶次，分母为n 阶次的开环传递函数为：[]1()()()()ts ss e t L E s e t e t -==+G(S)H(S)=K为开环增益，ν表示系统类型数，ν=0，表示0型系统；ν=1表示Ⅰ型系统；当ν大于等于2时，除了符合系统外，想使得系统稳定相当困难。
四、阶跃输入下的ess(∞)与静态位置误差系数Kpr(t)=R*1(t),则有：ess (∞)=νν用Kp表示静态位置误差系数：ess(∞)==其中： Kp=且有一般式子：Kp=ν∞ν五、斜坡输入下的ess(∞)与静态速度误差系数Kvr(t)=Rt,则有：ess (∞)=ν用Kv表示静态速度误差系数：ess(∞)==其中： Kv=六、加速度输入下的ess(∞)与静态加速度误差系数Kar(t)=Rt2/2,则有： ess (∞)=ν、用Kv表示静态速度误差系数： ess(∞)==其中： Kv=且有： Ka=、七、扰动状况下的稳态误差系统的模型如图三所示对扰动状况下的稳态误差仍然有输入端与输出端的两种定义：图三1、输入端定义法：扰动状况下的系统的稳态误差传递函数：由拉氏变换终值定理，求得扰动状况下的稳态误差为：2、输出端定义法：212()'()0()()1()()()G s E s Y s N s G s G s H s =-=-+记Φe (s) =为误差传递函数，其中G(s)为：G(s)=G 1(s)*G 2(s)*H(s)八、减小或者消除稳态误差的措施： （1）保证系统中各个环节（或元件），特别是反馈回路中元件的参数具有一定的精度和恒定性；（2）对输入信号而言，增大开环放大系数（开环增益），以提高系统对给定输入的跟踪能力；（3）对干扰信号而言，增大输入和干扰作用点之间环节的放大系数（扰动点之前的前向通道增益），有利于减小稳态误差；（4）增加系统前向通道中积分环节数目，使系统型号提高，可以消除不同输入信号时的稳态误差。
控制系统的稳态误差分析
ess
s 右半
s(s +1)(2s +1) 1 1 = lims ess = lim sE (s) = s→ s(s +1)(2s +1) + K(0.5s +1) s2 0 s →0 k
计算结果表明， 计算结果表明，稳态误差 的大小， 的大小，与系统的开环增 有关。 益K有关。系统的开环增 益越大，稳态误差越小。 益越大，稳态误差越小。 由此看出， 由此看出，稳态精度与稳 定性对K的要求是矛盾的。 定性对K的要求是矛盾的。
t→ ∞
t→ ∞
2、有差系统:通常把阶跃输入信号作用下存在误差 有差系统:
的系统称为有差系统。 的系统称为有差系统。
3、无差系统:通常把阶跃输入信号作用下不存在误 无差系统:
差的系统称为无差系统。 差的系统称为无差系统。
注意:这里所讲的误差指 注意: 系统原理上的误差。 系统原理上的误差。
二、稳态误差的计算
第五节 控制系统的稳态误差分析
一、基本概念 1.偏差、 1.偏差、误差和稳态误差 偏差 的定义： 偏差 (t) 的定义：
R(s)
ε(t) = r(t) −b(t)
E(s) = R(s) − B(s)
的定义： 误差 e(t) 的定义：
(3(3-44a)
ε
−
E(s)
G(s)
C(s)
B(s)
H(s)
图3-24 系统结构图
R(s)
−
K(0.5s +1 ) s(s +1 s +1 )(2 )
C(s)
1 R(s) = 2 s
s ( s + 1)(2 s + 1) 1 E (s) = s ( s + 1)(2 s + 1) + K (0.5 s + 1) s 2
3.5 控制系统的稳态误差分析与计算终
2.系统的类型
K 1s 1 2 s 1 Gk s Gs H s v s T1s 1T2 s 1
K为开环增益 τ1、τ2……和T1、T2……为时间常数
n m
1、系统对单位阶跃输入的稳态偏差 K 1s 11 2 s 1 s lim G G sE H s n m s s lim X s k v s ss i s 0 s s0 T1 s G 1 T s 1 1 s2 H s
s s Gk s
K 1s 1 对0型系统 K a lim s 0 s 0 T1s 1 1s 1 2 K 对I型系统 K a lim s 0 s 0 sT1s 1 1s 1 2 K
2
稳态加速度偏差系数 令：K
a
ss s 0 s 0 i s 0 k
2
K 1s 1 对0型系统 K v lim s 0 ss s 0 T1s 1 K 1s 1 1 对I型系统 K v lim s K ss s 0 sT1s 1 K K 1s 1 对II型系统 K v lim s 0 ss 2 s 0 s T1s 1
lim s Gs H s lim s Gk s
2 2 s 0 s 0
ss
ss
1 ss K
对II型系统 K a lim s s 0
s T1s 1
2
K
1t
t
1 ss Kv
Kv 0
K p lim Gk s K v lim sGk s K a lim s 2Gk s s 0 s 0 s 0
2 i
s H s s 1 Gs H s 1 G s T s 1T s1
自动控制系统的稳定性和稳态误差分析
实验三 自动控制系统的稳定性和稳态误差分析一、实验目的1、研究高阶系统的稳定性，验证稳定判据的正确性；2、了解系统增益变化对系统稳定性的影响；3、观察系统结构和稳态误差之间的关系。
二、实验任务1、稳定性分析欲判断系统的稳定性，只要求出系统的闭环极点即可，而系统的闭环极点就是闭环传递函数的分母多项式的根，可以利用MATLAB 中的tf2zp 函数求出系统的零极点，或者利用root 函数求分母多项式的根来确定系统的闭环极点，从而判断系统的稳定性。
（1）已知单位负反馈控制系统的开环传递函数为0.2( 2.5)()(0.5)(0.7)(3)s G s s s s s +=+++，用MATLAB 编写程序来判断闭环系统的稳定性，并绘制闭环系统的零极点图。
在MATLAB 命令窗口写入程序代码如下： z=-2.5p=[0,-0.5,-0.7,-3] k=0.2 Go=zpk(z,p,k) Gc=feedback(Go,1) Gctf=tf(Gc) 运行结果如下： Transfer function: 0.2 s + 0.5 --------------------------------------- s^4 + 4.2 s^3 + 3.95 s^2 + 1.25 s + 0.5s^4 + 4.2 s^3 + 3.95 s^2 + 1.25 s + 0.5是系统的特征多项式，接着输入如下MATLAB程序代码：den=[1,4.2,3.95,1.25,0.5]p=roots(den)运行结果如下：p =-3.0058-1.0000-0.0971 + 0.3961i-0.0971 - 0.3961ip为特征多项式dens的根，即为系统的闭环极点，所有闭环极点都是负的实部，因此闭环系统是稳定的。
下面绘制系统的零极点图，MATLAB程序代码如下：z=-2.5p=[0,-0.5,-0.7,-3]k=0.2Go=zpk(z,p,k)Gc=feedback(Go,1)Gctf=tf(Gc)[z,p,k]=zpkdata(Gctf,'v')pzmap(Gctf)grid运行结果如下：z =-2.5000p =-3.0058-1.0000-0.0971 + 0.3961i-0.0971 - 0.3961ik =0.2000输出零极点分布图如图3-1所示。
§3-5稳态误差的分析与计算
G 2 (s) E n (s) Cn (s) N(s) 1 G1 (s)G 2 (s)H(s)
s 0
s 0
给定输入下的稳态误差与稳态误差系数
1 e ssr 阶跃输入下: 1 KP 斜坡输入下: essr 1 Kv 1 e ssr 抛物线输入下: Ka
K (TjS 1) G (s) S (TiS 1)
i 1 j1 n
K G( s) v s
i 1
n
系统开环传递函数中 不含积分环节
KP lim G (s) K
s 0
e ss 1 1 K
阶跃输入时，误差系数=K
输出始终不会等于输入，存在稳态误差
K lim SG (s) 0 斜坡输入时，误差系数=0 s 0
ess
2
稳态误差无穷大（输出不能跟随输入）
Ka lim S G (s) 0抛物线输入时，误差系数=0 s 0 ess 输出不能跟随输入，
KP lim G(s)
K lim SG(s)
s 0
s 0
Ka lim S G(s)
s 0
m2
2
m
( s 1) (
i i 1 n1 k 1 n2 j j 1 l 1
m1
2 2 k
s 2 k k s 1) s 2 l l s 1)
(T s 1) (T
2 2
l
稳态误差系数仅与系统参数K、(积分环节个数—系统 型号)有关，对应＝0、1、2 称 0、I、Ⅱ型系统
0、I、Ⅱ型三种系统 分别三种典型输入 稳态误差有九种情况
第3章 系统分析稳定性与稳态误差
2
3.1.1 S平面到Z平面之间映射关系
s平面与z平面映射关系： z esT s j z e( j )T eT e jT eT / T
R | z | eT
z T
1. s平面虚轴映射为z平面单位圆，左半平面映射在z平面单位圆内
系统稳定必要条件 (z) a0 zn a1zn1 an1z an 0 或者
判断系统稳定性步骤： 1. 判断必要条件是否成立，若不成立则系统不稳定 2. 若必要条件成立，构造朱利表
17
二阶系统稳定性条件
(z) z2 a1z a2 0
必要条件： (1) 0 (1) 0
在z平面
z e e e sT
T cos jT sin z esT e e Tn cos jTn sin
n
n
R eTn cos ,z Tn sin
等自然频率轨迹
图3-10 等 自然频率轨 迹映射
11
12
图形对横轴是对称的：
z平面
j
2 3
5
n ,
cos( ) n
| z | eT enT cos z T
8
9
10
6. 等自然频率轨迹的映射
ωn =常数
在s平面 s j ne j n cos jn sin cot1( /)
lim(1
z 1
z 1 ) 1
1 D(z)G(z)
R(z)
es*s 与输入信号R(z)及系统 D(z)G(z) 结构特性均有关
29
1．输入信号为单位阶跃函数 r(t) 1(t)
R(z) 1/(1 z1)
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苏州市职业大学实训报告 院系 电子信息工程学院 班级 姓名 学号 实训名称 系统稳态误差分析 实训日期
一、实训目的
1、掌握终值定理求稳态误差的方法；
2、在不同输入信号作用下,观察稳态误差与系统结构参数、型别的关系；
3、比较干扰在不同的作用点所引起的稳态误差。
二、实训内容
1、给定信号输入作用下，系统的稳态误差分析。
已知控制系统的动态结构图如下所示，其中112()21G s K s =⋅+，24()0.41
G s s =+，反馈通道传递函数()1H s =。
（1)建立上述控制系统的仿真动态结构图；令开环增益为K1=1,分别对系统输入阶跃信号和斜坡信号，用示波器观察系统的响应曲线和误差响应曲线；并分别计算不同输入信号下的稳态误差值 ；
（2)改变系统增益K1（自行选取增益值，如K1=10），用示波器观察系统的稳态误差曲线，计算稳态值，分析开环增益变化对稳态误差的影响。
如果前向通道中再串联一个积分环节，（增益值K1值同第三步），用示波器观察系统的响应曲线和误差响应曲线，计算稳态值，分析开环增益变化对稳态误差的影响。
建立如下图1所示的仿真结构图，令开环增益K1=1，输入单位阶跃信号，运行得到单位阶跃响应曲线和单位阶跃误差响应曲线（图2）：
图1 单位阶跃信号作用下，K1=1的系统结构图
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图2 单位阶跃信号作用下，K1=1的仿真曲线
建立如下图3所示的仿真结构图，令开环增益K1=1，输入单位斜坡信号，运行得到单位斜坡响应曲线和单位斜坡误差响应曲线（图4）：
图3 单位斜坡信号作用下，K1=1的系统结构图
图4 单位斜坡信号作用下，K1=1的仿真曲线
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通过计算，在阶跃信号作用下，K1=1的系统稳态误差值
e为0.11；在斜坡信号作用下，K1=1的系统稳
ss
态误差值
e无穷大，这也刚好验证了图2和图4。
ss
建立如下图5所示的仿真结构图，令开环增益K1=10，输入单位阶跃信号，运行得到单位阶跃响应曲线和单位阶跃误差响应曲线（图6）：
图5 单位阶跃信号作用下，K1=10的系统结构图
图6单位阶跃信号作用下，K1=10的仿真曲线
建立如下图7所示的仿真结构图，令开环增益K1=10，输入单位斜坡信号，运行得到单位斜坡响应曲线
和单位斜坡误差响应曲线（图8）：
图7 单位斜坡信号作用下，K1=10的系统结构图
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图8 单位斜坡信号作用下，K1=10的仿真曲线
通过计算，在阶跃信号作用下，K1=10的系统稳态误差值ss e 为0.0123；在斜坡信号作用下，K1=10的
系统稳态误差值ss e 无穷大，这也刚好验证了图6和图8。
通过对比图2和图6可知，开环增益K 对系统的稳态误差有影响，K 越大，稳态误差越小；K 越小，稳态误差越大。
因此，适当提高开环增益K 可减小系统的稳态误差，但不利于提高系统的稳定性。
2、干扰信号输入作用下，系统的稳态误差分析。
已知控制系统的动态结构图如下所示，其中11()G s s =，25()0.51
G s s =+反馈通道传递函数()1H s =。
1） 建立上述控制系统的仿真动态结构图；
2） 干扰信号加在N1和N2的位置时，用示波器观察系统的稳态误差曲线；并分别计算干扰信号为阶
跃信号时系统稳态误差值1ssn e 、2ssn e ；
建立如下图9所示的仿真结构图，无输入，在N1处施加阶跃干扰信号，运行得到仿真曲线（图10）：
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图9 在N1处施加阶跃干扰信号的系统结构图
图10 在N1处施加阶跃干扰信号的仿真曲线
利用MATLAB编程命令计算得：
e=1.4877e-014≈0。
1
ssn
建立如下图11所示的仿真结构图，无输入，在N2处施加阶跃干扰信号，运行得到仿真曲线（图12）：
图11 在N2处施加阶跃干扰信号的系统结构图
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图12 在N2处施加阶跃干扰信号的仿真曲线
利用MATLAB编程命令计算得：
e=1。
2
ssn
3、根据图2-2观察阶跃干扰作用于不同位置时系统的稳态误差大小。
阶跃干扰作用越靠前，系统的稳态误差小；阶跃干扰作用越靠后，系统的稳态误差大。
但系统几乎同时到达稳态。
4、同时施加输入信号R和干扰信号N（均为阶跃信号）。
建立如下图13所示的仿真结构图，输入阶跃信号，在N1处施加阶跃干扰信号，运行得到仿真曲线（图14）：
图13 阶跃输入，在N1处施加阶跃干扰信号的系统结构图
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图14 阶跃输入，在N1处施加阶跃干扰信号的仿真曲线
建立如下图15所示的仿真结构图，输入阶跃信号，在N1处施加阶跃干扰信号，运行得到仿真曲线（图16）：
图15 阶跃输入，在N2处施加阶跃干扰信号的系统结构图
图16 阶跃输入，在N1处施加阶跃干扰信号的仿真曲线
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三、思考题
1、根据实验结果，分析稳态误差与系统开环增益和输入信号类型的关系；
开环增益越大，稳态误差越小；开环增益越小，稳态误差越大。
因此，适当提高开环增益可以减小系统的稳态误差，但不利于提高系统的稳定性。
同一控制系统在不同形式的输入信号的作用下有不同的稳态误差，具体如下表所示：
2、根据实验数据，分析稳态误差与干扰作用点的关系。
在同一控制系统中，干扰信号也一样的情况下，干扰作用点越靠前，稳态误差越小；反之，越大。