谓词逻辑
第七章谓词逻辑
整个公式中，
是自由出现。
z
约束出现，
x
既有约束出现又有自由出现，
y
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变元的约束讨论
❖ 从约束变元的概念可以看出，P(x1,x2, … ,xn)是n元谓词， 它有n个相互独立的自由变元。
❖ 若对其中k个变元进行约束，则P成为n-k元谓词。
❖ 当k = n，即谓词公式中没有自由变元出现时，则该公式就 成为一个命题。
请将下列命题符号化： (1) 某些实数是有理数。 (2) 没有不犯错误的人。 (3) 尽管有人聪明，但未必一切人都聪明。
解：(1) R(x)：x是实数。Q(x)：x是有理数。 (x)(R(x)Q(x) )
(2) M(x)：x是人。F(x)：x犯错误。 (x)(M(x)F(x))
(3) M(x)：x是人。S(x)：x聪明。 (x)(M(x)S(x)) (x)(M(x)S(x))
某种性质或具有某种关系，需要引入量词。 例如： (1) 某些人会跳舞； (2) 所有人都会跳舞；
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量词
❖ [定义]量词 表示数量的词
1.全称量词: 表示任意的,所有的,每一个，凡是 x 表示对个体域中所有的x……
2.存在量词: 表示存在, 有的, 至少有一个，有些 x 表示在个体域中存在x……
❖ 在∀x A(x)和∃x A(x)中： ❖ 紧跟量词的x称为量词的指导变元或作用变元 ❖ A称为量词的辖域或作用域
回答：(1)(2)是谓词合式。
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谓词逻辑
❖7.1.1 谓词与命题函数
▪ 1. 谓词 ▪ 2. 命题函数
❖7.1.2 量词
▪ 1. 全称量词 ▪ 2. 存在量词
❖7.1.3 谓词合式
❖7.1.4 约束元与自由元
谓词 基本推理公式
谓词基本推理公式
谓词逻辑是逻辑学中的一种形式系统，它使用谓词来表达命题的性质和关系。
基本推理公式是谓词逻辑中的一些基本规则，用于推导命题的真假。
以下是几个常用的谓词逻辑基本推理公式：
1. 交换律：A→B ↔ B→A
2. 结合律：(A→B)→C ↔ A→(B→C)
3. 吸收律：A→(B∧C) ↔ (A→B)∧(A→C)
4. 分配律：(A∧B)→C ↔ A→(B→C)
5. 重写律：A→B ↔ ¬B→¬A
6. 否定引入律：¬(A∧B) ↔ (¬A∧¬B)
7. 否定消去律：¬¬A ↔ A
8. 双条件引入律：A↔B ↔ (A→B)∧(B→A)
9. 双条件消去律：A↔B ↔ (A∧B)∨(¬A∧¬B)
10. 全称量词引入律：∀x(P(x)) ↔ P(y)/y (y属于某个集合)
11. 存在量词引入律：∃x(P(x)) ↔ P(y)/y (y属于某个集合)
这些基本推理公式是谓词逻辑的基础，可以用于推导其他命题的真假。
在具体使用时，需要根据命题的具体情况进行选择和应用。
谓词逻辑 基本推理公式
谓词逻辑基本推理公式
谓词逻辑的基本推理公式包括：
1. 全称量词规则：如果个体域中每一个个体具有性质A，则存在一个个体具有性质A。
即，能找出一个就表示存在。
公式为A ( c ) ⇒∃ x A
( x )A(c)\Rightarrow\exists xA(x)A(c)⇒∃xA(x)。
规则成立的条件是c是个体域中某个确定的个体，代替c的x不在A©中出现过。
2. 存在量词规则：如果个体域中存在个体具有性质A，则至少存在一个个体具有性质A。
公式为∃ x A ( x ) ∀ y A ( y )\exists xA(x)\forall yA(y)∃x A(x)∀yA(y)。
3. 归结推理：将公式中的量词的指导变元及其辖域中的该变元换成该公式中没有出现的个体变元，公式的其余部分不变。
4. 代入规则：把公式中的某一自由变元，用该公式中没有出现的个体变元符号替代，且要把该公式中所有的该自由变元都换成新引入的这个符号。
5. 解释（赋值）：谓词公式A的个体域D是非空集合，则每一个常项指定D中一个元素；每一个n元函数指定Dn到D的一个函数；每一个n元谓词指定Dn到{0,1}的一个谓词。
按这个规则做的一组指派，称为A的一个解释或赋值。
以上是谓词逻辑的基本推理公式，通过这些公式可以推导出更复杂的逻辑推理结果。
7谓词逻辑
第七章 谓词逻辑
在命题逻辑中,主要研究命题和命题演算,其基本组 成单位是原子命题,并视为不可再分解. 命题逻辑中的推理有很大的局限性. 例如:著名的苏格拉底三段论: 所有的人都是要死的; 苏格拉底是人; 所以苏格拉底是要死的.
在命题逻辑中的符号化:
用P、Q、R分别表示以上三个命题,
则可用
P Q R表示这一推理过程.
谓词逻辑的任务: 对原子命题作进一步的分析,研究其内部的逻辑结构,并 在此基础上更深入地刻画推理.
第七章
§7.1 谓词与量词
谓词逻辑
§7.2 谓词公式与变元约束 §7.3 谓词演算的等价式与永真蕴含式
左到右的顺序读出.
习题:P178
1、2
§7.2 谓词公式与变元约束
引入命题演算合式公式:为了使命题的符号化更准确 和规范,以及正确进行谓词演算和推理. 定义7.2.1 设 R( x1 , x2 ,, xn ) 是n元谓词,其中 x1 , x2 ,, xn 是个体变元,则 R( x1 , x2 ,, xn ) 称为谓词演算的原子公式. 定义7.2.2 谓词演算的合式公式定义如下:
0 元谓词:不含个体变元的谓词,如:原子命题
谓词 P ( x1 , x2 ,, xn ) 不是命题,真值无法确定,只有当以
n个个体常元代替变元后,才有确定的真值,从而成为命 题.
注:命题逻辑中的联结词在谓词逻辑中仍然可用且含
义不变.
二、量词: 谓词逻辑中表示数量的词.
例:所有的人都是要死的,有些人是要死的 两个命题中的个体词和谓词均相同,区别在于“所有 的”和“有些”两个量词. 量词可分为:全称量词和存在量词 全称量词:对应自然语言中的“一切”、“所有的” 、 “任意的”等,表示对个体域中的所有个体,用符号“ ” 表示.
谓词逻辑定义
谓词逻辑定义谓词逻辑是一种用来描述事物真假性的语言，它的核心是谓词（Predicate）和符号表示法，它可以用来表达自然语言中的复杂概念和描述一些事实及其关系。
谓词逻辑是一种强大的数学模型，可以用来表示我们对自然现象的知识，并且可以推断出未来的情况。
谓词逻辑的发展源自上世纪六十年代，受到欧几里得的哲学思想的启发，以便为数学模型提供更完整的语言。
它发展成为一种用来描述事物的语言，可以用来描述一些事实及其关系，实现机器模拟思维的目的，它主要用于计算机科学领域，其他领域如哲学也有广泛的应用。
谓词逻辑通过谓词（predicates）来描述一般状况和条件，它是一种抽象的数学语言，可以表达自然语言中的复杂概念，以符号表示法来表达一些有关真假性的概念，并通过推断技术来完成其任务。
谓词逻辑由以下几个部分组成：1.尔谓词：它是一些布尔谓词（Boolean predicates），用来描述一般状况和条件，比如P（x），Q（x），R（x）等等。
2.号表示：谓词逻辑使用比较简单的符号表示法，以表达一些有关真假性的概念，比如“&”（且），“”（否定），“∨”（或）等等。
3.词逻辑语句（Logical Sentences）：谓词逻辑语句是谓词逻辑中使用的一种有用结构，它由谓词和符号表示法组成，可以表达一些真假性概念。
4.型：谓词逻辑的模型是一种强大的数学模型，它可以用来描述自然现象的知识，它可以用来表达一些事实及其关系（fact and relationship）。
谓词逻辑的最大优势在于它是一种可以描述一些有关真假性的复杂概念的语言，它不但可以用来表达自然语言中的复杂概念，也可以用来描述一些事实及其关系，实现机器模拟思维的目的，从而实现机器智能。
谓词逻辑使用比较简单的符号表示法，可以表达一些有关真假性的概念，可以用来计算机科学中的解释和推理，可以用来描述一些事实及其关系，实现机器模拟思维的目的，也可以用于哲学等其他领域。
谓词逻辑自然语言翻译例句
谓词逻辑自然语言翻译例句
谓词逻辑（predicate logic）是一门表示量化关系的语言，其主要用于表达不可直接表达的语言表达及抽象事物关系。
举个例子，以下是一句谓词逻辑表达式及其自然语言翻译：
∀x∃y(Fx⇒Gy)。
对于每个x，存在一个y，如果x是F，那么y就是G。
谓词逻辑是一个基于逻辑的语言，可用来表达抽象的逻辑表达式，并可翻译成自然语言。
根据谓词逻辑，有如下例句：
∀x∃y(Px=>Qy)。
对于任何x，存在一个y，如果x是P，那么y就是Q。
∃x∀z(Mx⇒Nz)。
存在一个x，对任何z，如果x是M，那么z就是N。
∀x∃y(Lx&Fy)。
对于所有x，存在一个y，同时x是L和y是F。
谓词逻辑语言可以帮助人们更清晰地表达一些不能直接表达的逻辑表达式并把它们翻译成自然语言。
下面是另一句谓词逻辑表达式及其自然语言翻译：
∃x∀y(Rx⇒Sy)。
存在一个x，对任何y，如果x是R，那么y就是S。
谓词逻辑_
2-2.1 命题函数
比如：L(x,y)表示“x小于y”是二元谓词， L(x,3)表示“x小于3”是一元谓词，L(2,3)表示 “2小于3”是0元谓词。
因此可以将命题看成n元谓词的一个特殊 情况。
0元谓词都是命题，命题逻辑中的简单命 题都可以用0元谓词表示。
2-2.1 命题函数
定义2：复合命题函数（compound propositional function）：
举例说明：
例1．“有些人是要死的”. 解1： 采用全体人作为个体域.
设: G(x): x是要死的. 原命题符号化成: (x)G(x)
解2： 采用全总个体域. 设: M(x): x是人; G(x):x是要死
的. 原命题符号化成: (x)(M(x) ∧G(x))
例2． “凡人都是要死的”. 解1: 采用全体人作为个体域. 设: G(x): x是要死的. 原命题符号化成: (x)G(x)
（x）P(x) is false if P(x) is false for every x in U.
2-2.2 量词
唯一存在量词（unique quantifier）： “恰好存在一个”，用符号“!”表示。
2-2.2 量词
现在对以上两个命题进行符号化，在进行符号 化之前必须确定个体域。
第一种情况．个体域D为人类集合。 设：F(x) ： x是要死的。
解2: 采用全总个体域. 设: M(x): x是人; G(x):x是要死的. 原命题符号化成: (x)(M(x) →G(x))
例3: “存在最小的自然数”。 解1: 采用全体自然数作为个体域. 设: G(x,y): x≤y; 原命题符号化成: (x)(y)G(x,y) 注意量词顺序: (y)(x)G(x,y): “没有最小的自然数”.
离散数学第二章谓词逻辑
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第二章 谓 词 逻 辑 命题函数与量词
当个体域为有限集合时，如D={a1, a2 …, an}，对任意谓词A(x)，有 xA(x)A(a1)∧A(a2)∧…∧A(an ) xA(x)A(a1)∨A(a2)∨…∨A(an )
特性谓词常作合取项，如x(M(x)∧ G(x))。
第二章 谓 词 逻 辑
命题函数与量词
*
第二章 谓 词 逻 辑 2.2 命题函数与量词
例如：在实数域上用H(x,y)表示x+y=5，则命题“对于任意的x，都存在y使得x+y=5”可符号化为：xyH(x,y)，其真值为1。若调换量词顺序后为： yxH(x,y) , 其真值为0。
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第二章 谓 词 逻 辑 2.2 命题函数与量词
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令S(x): x吸烟。则符号化为：
（x）(M(x)∧S(x))
令D(x): x登上过木星。则符号化为：
令Q(x):x是清华大学的学生。H(x):x是高
第二章 谓 词 逻 辑 2.2 命题函数与量词
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小结:本节介绍了n元谓词、命题函数、全称量词和存在量词等概念。重点掌握全称量词和存在量词及量化命题的符号化。
添加标题
x(M(x) F(x)).
添加标题
第二章 谓 词 逻 辑
添加标题
命题函数与量词
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当个体域为全体学生的集合时：
01
令P(x): x要参加考试。则（2）符号化为
02
xP(x).
03
当个体域为全总个体域时：
04
令S(x): x是学生。则（2）符号化为
05
x(S(x) P(x)).
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第五章谓词逻辑习题5.11.a)每个自然数都有唯一的后继；解：“每个”是全称的概念；“自然数”需引进一个特性谓词；“有”表示存在；“唯一”表示所有具有该性质的元素均相等（即若x具有该性质，y也具有该性质，则x等于y）；“后继”用谓词表示。
于是，可令：N(x)：x是自然数；Q(x, y)：y是x的后继；E(x, y)：x等于y；则上述命题可以符号化为：(∀ x) ( N ( x ) → (∃ y) (Q ( x, y ) ∧ (∀ z) (Q ( x, z ) → E ( y, z ) )b) 没有以0为后继的自然数；解：“没有”表示不存在；“自然数”用特性谓词表示；“后继”用谓词表示。
于是，可令：N(x)：x是自然数；Q(x, y)：y是x的后继；则上述命题可以符号化为：⌝ (∃ x)( N ( x ) ∧ Q ( x, 0 ) )注意：①对于引进的特性谓词，在全称量词约束下要用逻辑联结词“→”，在存在量词约束下要用逻辑联结词“∧”。
②“唯一”概念的符号化。
2.a)存在唯一的偶素数；解：“存在”是存在量词的概念；“唯一”可参照上题；“偶数”、“素数”用谓词表示。
于是，可令：E(x)：x是偶数；S(x)：x是素数；R(x, y)：x等于y；则上述命题可以符号化为：(∃ x) ( E ( x ) ∧ S ( x ) ∧ (∀ y) ( E ( y ) ∧ S ( y ) → R ( x, y ) )b)没有既是奇数又是偶数的数；解：“没有”表示不存在；“奇数”、“偶数”、“数”用谓词表示。
于是，可令：O(x)：x是奇数；E(x)：x是偶数；Q(x)：x是数；则上述命题可以符号化为：⌝ (∃ x) ( Q ( x ) ∧ O ( x ) ∧ E ( x ) )3.a)所有可证明的算术命题都是真的；b)存在真的但不可证明的算术命题；c)对于任意的三个算术命题x, y, z ，若z = x ∨ y且z是可证明的，则x是可证明的或y是可证明的；d)对于任意的三个算术命题x, y, z ，若x是真的并且z = x ∨ y，则z是真的；4.a)对任意整数x, y和z，x < z是x < y且y < z的必要条件；解：“任意”是全称的概念；“整数”需引进一个特性谓词；“<”用谓词表示；“必要条件”用逻辑联结词来表示。
于是，可令：I(x)：x是整数；L(x, y)：x < y；则上述命题可以符号化为：(∀ x) (∀ y) (∀ z) ( I ( x ) ∧ I ( y ) ∧ I ( z ) →( L ( x, y ) ∧ L ( y, z ) → L ( x, z ) ) )b) 对任意整数x，若x = 2，则3∙ x = 6；反之亦然；解：“任意”是全称的概念；“整数”需引进一个特性谓词；“=”用谓词表示；“∙”用函词表示。
于是，可令：（2、3、6可以用常元表示）I(x)：x是整数；E(x, y)：x = y；f(x, y)：x∙ y；则上述命题可以符号化为：(∀ x) ( I ( x ) → ( E ( x, 2 ) → E ( f(3, x), 6 ) ) ∧ ( E ( f(3, x), 6 ) → E ( x, 2 ) ) )或(∀ x) ( I ( x ) → ( E ( x, 2 ) E ( f(3, x), 6 ) ) )习题5.21.b)除了最后一个x是自由出现外，其它的6次x的出现都是约束出现。
第一个(∀ x) 的辖域为下面的划线部分：(∀ x) ( P ( x ) → ( ∃ x ) Q ( x ) ) ∨( (∀ x) P ( x ) → Q ( x ) )第一个( ∃ x ) 的辖域为下面的划线部分：(∀ x) ( P ( x ) → ( ∃ x ) Q ( x ) ) ∨( (∀ x) P ( x ) → Q ( x ) )第二个(∀ x) 的辖域为下面的划线部分：(∀ x) ( P ( x ) → ( ∃ x ) Q ( x ) ) ∨( (∀ x) P ( x ) → Q ( x ) )2.a) T；b) F；c) F；d) T；e) T；f) T。
以a)为例：解：因为P ( a , a ) 为T，所以( ∃ y ) P ( a , y ) 为T；因为P ( b , b ) 为T，所以( ∃ y ) P ( b , y ) 为T；因为( ∃ y ) P ( a , y ) 和( ∃ y ) P ( b , y ) 均为T，所以( ∀ x ) ( ∃ y ) P ( x , y ) 也为T。
3. a) F；b) T；c) F。
4. a) T；b) F；c) T。
习题5.31.a)(∀ x ) ( P ( x ) →Q ( x ) ) → ( (∀ x ) P ( x ) →(∀ x ) Q ( x ) ) 为永真式。
证明：给定(∀ x ) ( P ( x ) →Q ( x ) ) → ( (∀ x ) P ( x ) →(∀ x ) Q ( x ) ) 在论域D上的任意解释I，如果(∀ x ) P ( x ) →( ∀ x ) Q ( x ) 在I下为假，则(∀ x ) P ( x ) 在I下为真，并且(∀ x ) Q ( x ) 在I下为假。
因为(∀ x ) Q ( x ) 在I下为假，所以存在c ∈ D使Q ( c )在I下为假。
因为(∀ x ) P ( x ) 在I下为真，所以P ( c ) 在I下为真。
因此，P ( c ) →Q ( c )在I下为假。
所以，(∀ x ) ( P ( x ) →Q ( x ) )在I下为假。
于是，(∀ x ) ( P ( x ) →Q ( x ) ) → ( (∀ x ) P ( x ) → (∀ x ) Q ( x ) ) 为永真式。
b) ( (∀ x ) P ( x ) → (∀ x )Q ( x ) ) →(∀ x ) ( P ( x ) → Q ( x ) ) 不是永真式。
解：取上述合式公式的解释I 如下：i)论域D = {a, b}；ii)P ( a )P ( b )Q ( a )Q ( b )_______ ________ _______ _______F T F F则(∀ x ) ( P ( x ) → Q ( x ) ) 在I下为假，( (∀ x ) P ( x ) → (∀ x )Q ( x ) ) 在I下为真。
所以，( (∀ x ) P ( x ) → (∀ x )Q ( x ) ) →(∀ x ) ( P ( x ) → Q ( x ) )在I下为假。
c)( ( ∃ x ) P ( x ) →(∀ x ) Q ( x ) ) → (∀ x ) ( P ( x ) →Q ( x ) ) 为永真式。
证明：给定( ( ∃ x ) P ( x ) →(∀ x ) Q ( x ) ) → (∀ x ) ( P ( x ) →Q ( x ) ) 在论域D上的任意解释I，如果(∀ x ) ( P ( x ) →Q ( x ) ) 在I下为假，则存在c ∈ D使P ( c ) →Q ( c )在I下为假。
即P ( c ) 在I下为真并且Q ( c ) 在I下为假。
因为P ( c ) 在I下为真，所以( ∃ x ) P ( x )在I下为真。
因为Q ( c ) 在I下为假，所以(∀ x ) Q ( x )在I下为假。
所以，( ∃ x ) P ( x ) →(∀ x ) Q ( x ) 在I下为假。
于是，( ( ∃ x ) P ( x ) →(∀ x ) Q ( x ) ) → (∀ x ) ( P ( x ) →Q ( x ) ) 为永真式。
d) (∀ x ) ( P ( x ) →Q ( x ) ) → ( ( ∃ x ) P ( x ) →(∀ x ) Q ( x ) ) 不是永真式。
解：取上述合式公式的解释I 如下：i)论域D = {a, b}；ii)P ( a )P ( b )Q ( a )Q ( b )_______ ________ _______ _______F T F T则(∀ x ) ( P ( x ) → Q ( x ) ) 在I下为真，( ( ∃ x ) P ( x ) →(∀ x ) Q ( x ) ) 在I下为假。
所以，(∀ x ) ( P ( x ) →Q ( x ) ) → ( ( ∃ x ) P ( x ) →(∀ x ) Q ( x ) ) 在I下为假。
2.∀∃→⌝∧∨a)(∀ x ) (∃ y ) ( P ( x ) ∨ Q ( y ) )⇔(∀ x ) ( P ( x ) ∨ (∃ y ) Q ( y ) ) （因为y在P ( x )中没有自由出现）⇔(∀ x ) P ( x ) ∨ (∃ y ) Q ( y ) （因为x在(∃ y ) Q ( y ) 中没有自由出现）所以，(∀ x ) (∃ y ) ( P ( x ) ∨ Q ( y ) ) ⇔(∀ x ) P ( x ) ∨ (∃ y ) Q ( y )。
b)(∃ x ) (∃ y ) ( P ( x ) ∧ Q ( y ) )⇔(∃ x ) ( P ( x ) ∧ (∃ y ) Q ( y ) ) （因为y在P ( x )中没有自由出现）⇔(∃ x ) P ( x ) ∧ (∃ y ) Q ( y ) （因为x在(∃ y ) Q ( y ) 中没有自由出现）⇒(∃ x ) P ( x )所以，(∃ x ) (∃ y ) ( P ( x ) ∧ Q ( y ) )⇒(∃ x ) P ( x ) 。
c)(∀ x ) (∀ y ) ( P ( x ) ∧ Q ( y ) )⇔(∀ x ) ( P ( x ) ∧ (∀ y ) Q ( y ) ) （因为y在P ( x )中没有自由出现）⇔(∀ x ) P ( x ) ∧ (∀ y ) Q ( y ) （因为x在(∀ y ) Q ( y ) 中没有自由出现）所以，(∀ x ) (∀ y ) ( P ( x ) ∧ Q ( y ) ) ⇔(∀ x ) P ( x ) ∧ (∀ y ) Q ( y ) 。
d)(∃ x ) (∃ y ) ( P ( x ) → Q ( y ) )⇔(∃ x ) (∃ y ) ( ⌝ P ( x ) ∨ Q ( y ) )⇔(∃ x ) (⌝ P ( x ) ∨ (∃ y ) Q ( y ) ) （因为y在⌝ P ( x )中没有自由出现）⇔(∃ x ) (⌝ P ( x ) ) ∨ (∃ y ) Q ( y ) （因为x在(∃ y ) Q ( y ) 中没有自由出现）⇔⌝ (∀ x ) P ( x ) ∨ (∃ y ) Q ( y )⇔(∀ x ) P ( x ) → (∃ y ) Q ( y )所以，(∃ x ) (∃ y ) ( P ( x ) → Q ( y ) ) ⇔(∀ x ) P ( x ) → (∃ y ) Q ( y ) 。