二次函数的综合题及应用(2013-2014中考数学复习专题)
二次函数的综合题及应用【重点考点例析】考点一：确定二次函数关系式例1 （2013•牡丹江）如图，已知二次函数y=x2+bx+c过点A（1，0），C（0，-3）（1）求此二次函数的解析式；（2）在抛物线上存在一点P使△ABP的面积为10，请直接写出点P的坐标．思路分析：（1）利用待定系数法把A（1，0），C（0，-3）代入）二次函数y=x2+bx+c中，即可算出b、c 的值，进而得到函数解析式是y=x2+2x-3；（2）首先求出A、B两点坐标，再算出AB的长，再设P（m，n），根据△ABP的面积为10可以计算出n 的值，然后再利用二次函数解析式计算出m的值即可得到P点坐标．点评：此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，以及求点的坐标，关键是掌握凡是函数图象经过的点必能满足解析式．对应训练1．（2013•湖州）已知抛物线y=-x2+bx+c经过点A（3，0），B（-1，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）求抛物线的顶点坐标．考点二：二次函数与x轴的交点问题例2 （2013•苏州）已知二次函数y=x2-3x+m（m为常数）的图象与x轴的一个交点为（1，0），则关于x 的一元二次方程x2-3x+m=0的两实数根是（）A．x1=1，x2=-1 B．x1=1，x2=2 C．x1=1，x2=0 D．x1=1，x2=3思路分析：关于x的一元二次方程x2-3x+m=0的两实数根就是二次函数y=x2-3x+m（m为常数）的图象与x 轴的两个交点的横坐标．点评：本题考查了抛物线与x轴的交点．解答该题时，也可以利用代入法求得m的值，然后来求关于x的一元二次方程x2-3x+m=0的两实数根．对应训练2．（2013•株洲）二次函数y=2x2+mx+8的图象如图所示，则m的值是（）A．-8 B．8C．±8 D．6考点四：二次函数综合性题目例4 （2013•自贡）如图，已知抛物线y=ax2+bx-2（a≠0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，直线BD交抛物线于点D，并且D（2，3），tan∠DBA= 12．（1）求抛物线的解析式；（2）已知点M为抛物线上一动点，且在第三象限，顺次连接点B、M、C、A，求四边形BMCA面积的最大值；（3）在（2）中四边形BMCA面积最大的条件下，过点M作直线平行于y轴，在这条直线上是否存在一个以Q点为圆心，OQ为半径且与直线AC相切的圆？若存在，求出圆心Q的坐标；若不存在，请说明理由．思路分析：（1）如答图1所示，利用已知条件求出点B的坐标，然后用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）如答图1所示，首先求出四边形BMCA面积的表达式，然后利用二次函数的性质求出其最大值；（3）本题利用切线的性质、相似三角形与勾股定理求解．如答图2所示，首先求出直线AC与直线x=2的交点F的坐标，从而确定了Rt△AGF的各个边长；然后证明Rt△AGF∽Rt△QEF，利用相似线段比例关系列出方程，求出点Q的坐标．点评：本题是中考压轴题，综合考查了二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、待定系数法、相似三角形、勾股定理、圆的切线性质、解直角三角形、图形面积计算等重要知识点，涉及考点众多，有一定的难度．第（2）问面积最大值的问题，利用二次函数的最值解决；第（3）问为存在型问题，首先假设对应训练4．（2013•张家界）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象过点C（0，1），顶点为Q（2，3），点D 在x轴正半轴上，且OD=OC．（1）求直线CD的解析式；（2）求抛物线的解析式；（3）将直线CD绕点C逆时针方向旋转45°所得直线与抛物线相交于另一点E，求证：△CEQ∽△CDO；（4）在（3）的条件下，若点P是线段QE上的动点，点F是线段OD上的动点，问：在P点和F点移动过程中，△PCF的周长是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．对应练习1．（2013•淄博）如图，Rt△OAB的顶点A（-2，4）在抛物线y=ax2上，将Rt△OAB绕点O顺时针旋转90°，得到△OCD，边CD与该抛物线交于点P，则点P的坐标为（）A．（2，2）B．（2，2）C．（2，2）D．（2，2）2．（2013）某高中学校为高一新生设计的学生单人桌的抽屉部分是长方体形．其中，抽屉底面周长为180cm，高为20cm．请通过计算说明，当底面的宽x为何值时，抽屉的体积y最大？最大为多少？（材质及其厚度等暂忽略不计）．4．（2013）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，-3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点．（1）求这个二次函数的表达式．（2）连接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP′C，那么是否存在点P，使四边形POP′C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．（3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积．5．（2013）为了改善市民的生活环境，我市在某河滨空地处修建一个如图所示的休闲文化广场，在Rt△ABC内修建矩形水池DEFG，使定点D，E在斜边AB上，F，G分别在直角边BC，AC上；又分别以AB，BC，AC为直径作半圆，它们交出两弯新月（图中阴影部分），两弯新月部分栽植花草；其余空地铺设瓷砖，其中AB=243米，∠BAC=60°，设EF=x米，DE=y米．（1）求y与x之间的函数解析式；（2）当x为何值时，矩形DEFG的面积最大？最大面积是多少？（3）求两弯新月（图中阴影部分）的面积，并求当x为何值时，矩形DEFG的面积及等于两弯新月面积的136．（2013）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是边长为2的正方形，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A，B，与x轴分别交于点E，F，且点E的坐标为（-23，0），以0C为直径作半圆，圆心为D．（1）求二次函数的解析式；（2）求证：直线BE是⊙D的切线；（3）若直线BE与抛物线的对称轴交点为P，M是线段CB上的一个动点（点M与点B，C不重合），过点M 作MN∥BE交x轴与点N，连结PM，PN，设CM的长为t，△PMN的面积为S，求S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．S是否存在着最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．7．（2013•泰安）如图，抛物线y=12x2+bx+c与y轴交于点C（0，-4），与x轴交于点A，B，且B点的坐标为（2，0）（1）求该抛物线的解析式．（2）若点P是AB上的一动点，过点P作PE∥AC，交BC于E，连接CP，求△PCE面积的最大值．（3）若点D为OA的中点，点M是线段AC上一点，且△OMD为等腰三角形，求M点的坐标．8．（2013）如图，在平面直角坐标系中，直线y=12x+32与直线y=x交于点A，点B在直线y=12x+32上，∠BOA=90°．抛物线y=ax2+bx+c过点A，O，B，顶点为点E．（1）求点A，B的坐标；（2）求抛物线的函数表达式及顶点E的坐标；（3）设直线y=x与抛物线的对称轴交于点C，直线BC交抛物线于点D，过点E作FE∥x轴，交直线AB于点F，连接OD，CF，CF交x轴于点M．试判断OD与CF是否平行，并说明理由．9．（2013）如图，抛物线y=ax2+bx+c关于直线x=1对称，与坐标轴交与A，B，C三点，且AB=4，点D（2，3）在抛物线上，直线l是一次函数y=kx-2（k≠0）的图象，点O是坐标原点．2（1）求抛物线的解析式；（2）若直线l平分四边形OBDC的面积，求k的值；（3）把抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线与直线l交于M，N两点，问在y轴正半轴上是否存在一定点P，使得不论k取何值，直线PM与PN总是关于y轴对称？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．【备考真题过关】一、选择题1．（2013•大庆）已知函数y=x2+2x-3，当x=m时，y＜0，则m的值可能是（）A．-4 B．0 C．2 D．32．（2013•南昌）若二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴有两个交点，坐标分别为（x1，0），（x2，0），且x1＜x2，图象上有一点M（x0，y0）在x轴下方，则下列判断正确的是（）A．a＞0 B．b2-4ac≥0C．x1＜x0＜x2D．a（x0-x1）（x0-x2）＜03．（2013•湖州）如图，在10×10的网格中，每个小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点．若抛物线经过图中的三个格点，则以这三个格点为顶点的三角形称为抛物线的“内接格点三角形”．以O为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，若抛物线与网格对角线OB的两个交点之间的距离为32，且这两个交点与抛物线的顶点是抛物线的内接格点三角形的三个顶点，则满足上述条件且对称轴平行于y轴的抛物线条数是（）A．16 B．15 C．14 D．13二、填空题4．（2013•宿迁）若函数y=mx2+2x+1的图象与x轴只有一个公共点，则常数m的值是．5．（2013•贵港）如图，在平面直角坐标系xOy中，若动点P在抛物线y=ax2上，⊙P恒过点F（0，n），且与直线y=-n始终保持相切，则n= （用含a的代数式表示）．6．（2013•锦州）二次函数y=23x2的图象如图，点A0位于坐标原点，点A1，A2，A3…A n在y轴的正半轴上，点B1，B2，B3…B n在二次函数位于第一象限的图象上，点C1，C2，C3…C n在二次函数位于第二象限的图象上，四边形A0B1A1C1，四边形A1B2A2C2，四边形A2B3A3C3…四边形A n-1B n A n C n都是菱形，∠A0B1A1=∠A1B2A1=∠A2B3A3…=∠A n-1B n A n=60°，菱形A n-1B n A n C n的周长为．三、解答题7．（2013•鞍山）某商场购进一批单价为4元的日用品．若按每件5元的价格销售，每月能卖出3万件；若按每件6元的价格销售，每月能卖出2万件，假定每月销售件数y（件）与价格x（元/件）之间满足一次函数关系．（1）试求y与x之间的函数关系式；（2）当销售价格定为多少时，才能使每月的利润最大？每月的最大利润是多少？8．（2013•乌鲁木齐）某公司销售一种进价为20元/个的计算机，其销售量y（万个）与销售价格x（元/个）的变化如下表：价格x（元/个）…30 40 50 60 …销售量y（万个）… 5 4 3 2 …同时，销售过程中的其他开支（不含造价）总计40万元．（1）观察并分析表中的y与x之间的对应关系，用所学过的一次函数，反比例函数或二次函数的有关知识写出y（万个）与x（元/个）的函数解析式．（2）求出该公司销售这种计算器的净得利润z（万个）与销售价格x（元/个）的函数解析式，销售价格定为多少元时净得利润最大，最大值是多少？（3）该公司要求净得利润不能低于40万元，请写出销售价格x（元/个）的取值范围，若还需考虑销售量9．（2013•达州）今年，6月12日为端午节．在端午节前夕，三位同学到某超市调研一种进价为2元的粽子的销售情况．请根据小丽提供的信息，解答小华和小明提出的问题．（1）小华的问题解答：；（2）小明的问题解答：．10．（2013•黄冈）某公司生产的一种健身产品在市场上受到普遍欢迎，每年可在国内、国外市场上全部售完．该公司的年产量为6千件，若在国内市场销售，平均每件产品的利润y1（元）与国内销售量x（千件）的关系为：y1=1590(02) 5130(26)x xx x+<≤⎧⎨-+<<⎩，若在国外销售，平均每件产品的利润y2（元）与国外的销售数量t（千件）的关系为y2=100(02)5110(26)tt t<≤⎧⎨-+<<⎩。
【武汉2013中考数学】二次函数应用题
二次函数的实际应用1例题1：一场篮球赛中，小明跳起投篮，已知球出手时离地面高209米，与篮圈中心的水平距离为8米，当球出手后水平距离为4米时到达最大高度4米，设篮球运行的轨迹为抛物线，篮圈中心距离地面3米。
⑴问此球能否投中？⑵在出手角度和力度都不变的情况下,小明的出手高度为多少时能将篮球投入篮圈?例题2：（2012·武汉·五月调考）某跳水运动员进行10米跳台跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示坐标系下经过原点O 的一条抛物线（图中标出的数据为已知条件）.在跳某个规定动作时，正常情况下，该运动员在空中的最高处距水面2103米，入水处距池边的距离为4米，运动员在距水面高度为5米以前，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就会出现失误．（1）求这条抛物线的解析式；（2）在某次试跳中，测得运动员在空中的运动路线是（1）中的抛物线，且运动员在空中完成规定的翻腾动作并调整好入水姿势时，距池边的水平距离为335米，问此次跳水会不会失误？并通过计算说明理由．O练习1. 如图，小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子，给他做了一个简易的秋千，拴绳子的地方距地面高都是2.5米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为米．2. 一名男生推铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是21251233y x x=-++则他将铅球推出的距离是m 练习1图3．如图，一单杠高2.2米，两立柱之间的距离为1.6米，将一根绳子的两端栓于立柱与铁杠结合处，绳子自然下垂呈抛物线状。
一身高0.7米的小孩站在离立柱0.4米处，其头部刚好触上绳子，求绳子最低点到地面的距离。
例题3：公园要建造圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面外安装一个柱子OA，O恰好在水面中心，OA ＝1.25米，由柱子顶端A处的喷水头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下，为使水流形状较为漂亮，要求设计成水流在距离为1米处达到距水面最大高度2.25米．（1）如果不计其他因素，那么水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不至落到池外？（2）如果水流喷出的抛物线开口与（1）相同，水池半径为3.5米，要使水流不落到池外，此时水流的最大高度应达多少米？例题4：(2012·武汉·四月调考)要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根2.25m的水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1 m处达到最高，高度为3m．(1)建立适当的平面直角坐标系．，使水管顶端的坐标为(0，2.25)，水柱的最高点的坐标为(1，3)，求出此坐标系中抛物形水柱对应的函数关系式（不要求写取值范围）；(2)如图；在水池底面上有一些同心圆轨道，每条轨道上安装排水地漏，相邻轨道之间的宽度为0.3 m，最内轨道的半径为r m，其上每0.3 m的弧长上安装一个地漏，其它轨道上的地漏个数与最内轨道上的个数相同，水柱落地处为最外轨道，其上不安装地漏，求当r为多少时池中安装的地漏的个数最多？练习：1. 爱琴公园的音乐喷泉中的一个旋转喷泉如图所示，水管AB高出水面53米，B处是自转的水喷头，喷出水流呈抛物线状，喷出的水流在与A点的水平距离2米处达到最高点C，点C距离水面3米。
中考数学复习《二次函数》专题训练-附带有参考答案
中考数学复习《二次函数》专题训练-附带有参考答案一、选择题1．下列函数中，是二次函数的是（）A．y=x2+1x B．y=12x(x-1) C．y=-2x-1 D．y=x(x2+1)．2．抛物线y=(x−2)2−3的顶点坐标是（）A．(2，−3)B．(−2，3)C．(2，3)D．(−2，−3)3．把抛物线y=5x2向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线是（）A．y=5(x−2)2+3B．y=5(x+2)2−3C．y=5(x+2)2+3D．y=5(x−2)2−34．函数y＝ax2与y＝﹣ax+b的图象可能是（）A． B． C． D．5．函数y=kx2-6x+3的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（）A．k<3 B．k<3且k≠0 C．k≤3且k≠0 D．k≤36．若A（−5，y1），B（1，y2），C（2，y3）为二次函数y=x2+2x+m的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1<y2<y3B．y2<y3<y1C．y2<y1<y3D．y3<y1<y27．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x＝1．下列结论：①b＞0；②当x＞0，y随着x 的增大而增大；③（a+c）2﹣b2＜0；④a+b≥m（am+b）（m为实数）．其中结论正确的个数为（）A．4个B．3个C．2个D．1个8．某服装店购进单价为15元的童装若干件，销售一段时间后发现：当销售价为25元时，平均每天能售出8件，而当销售价每降低2元时，平均每天能多售出4件，为使该服装店平均每天的销售利润最大，则每件的定价为（）A．21元B．22元C．23元D．24元二、填空题9．将二次函数y＝x2－2x化为y＝(x－h)2＋k的形式，结果为10．若抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的两个交点坐标是（－1，0），（3，0），则此抛物线的对称轴是直线．11．将二次函数y＝x2﹣4x+a的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位，若得到的函数图象与直线y＝2有两个交点，则a的取值范围是.12．飞机着陆后滑行的距离y （单位：m）关于滑行时间t （单位：s）的函数解析式是y=60t-65t2，从飞机着陆至停下来共滑行米．13．已知如图：抛物线y=ax2+bx+c与直线y=kx+n相交于点A(−52，74)、B(0，3)两点，则关于x的不等式ax2+bx+c＜kx+n的解集是三、解答题14．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1=kx−7的图象与二次函数y2=2x2+bx+c的图象交于A(1，−5)、B(3，t)两点.（1）求y1与y2的函数关系式；（2）直接写出当y1<y2时，x的取值范围；（3）点C为一次函数y1图象上一点，点C的横坐标为n，若将点C向右平移2个单位，再向上平移4个单位后刚好落在二次函数y2的图象上，求n的值.15．某品牌服装公司新设计了一款服装，其成本价为60（元/件）.在大规模上市前，为了摸清款式受欢迎状况以及日销售量y（件）与销售价格x（元/件）之间的关系，进行了市场调查，部分信息如表：销售价格x（元/件）80 90 100 110日销售量y（件）240 220 200 180（1）若y与x之间满足一次函数关系，请直接写出函数的解析式（不用写自变量x的取值范围）；（2）若该公司想每天获利8000元，并尽可能让利给顾客，则应如何定价？（3）为了帮助贫困山区的小朋友，公司决定每卖出一件服装向希望小学捐款10元，该公司应该如何定价，才能使每天获利最大？（利润用w表示）16．如图，抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点N，过A点的直线：l：y=−x−1与y轴交于点C，与抛物线y=−x2+bx+c的另一个交点为D(5，−6)，已知P点为抛物线y=−x2+bx+c上一动．点（不与A、D重合）．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P在直线l上方的抛物线上时，过P点作PE∥x轴交直线l于点E，作PF∥y轴交直线l于点F，求PE+PF的最大值；（3）设M为直线l上的动点，以NC为一边且顶点为N，C，M，P的四边形是平行四边形，直接写出所有符合条件的M点坐标．17．如图是北京冬奥会举办前张家口某小型跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为x轴，过跳台终点作水平线的垂线为y轴，建立平面直角坐标系，图中的抛物线C1：y=−18x2+32x+32近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某滑雪爱好者小张从点O正上方A点滑出，滑出后沿一段抛物线C2：y=−14x2+bx+c 运动．（1）当小张滑到离A处的水平距离为8米时，其滑行高度为10米，求出b，c的值；（2）在(1)的条件下，当小张滑出后离的水平距离为多少米时，他滑行高度与小山坡的竖直距离为是5米？2（3）若小张滑行到坡顶正上方，且与坡顶距离不低于4米，求b的取值范围．18．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx−4与x轴交于A(4，0)、B(−3，0)两点，与y轴交于点C．（1）求这条抛物线所对应的函数表达式．（2）如图①，点D是x轴下方抛物线上的动点，且不与点C重合．设点D的横坐标为m，以O、A、C、D 为顶点的四边形面积为S，求S与m之间的函数关系式．（3）如图②，连结BC，点M为线段AB上一点，点N为线段BC上一点，且BM=CN=n，直接写出当n为何值时△BMN为等腰三角形．参考答案 1．B 2．A 3．C 4．B 5．D 6．B 7．B 8．B9．y =(x −1)2−1 10．x ＝1 11．a ＜5 12．75013．x <−52或x >014．（1）解：把点A(1，−5)代入y 1=kx −7得−5=k −7 ∴y 1=2x −7；把点B(3，t)代入y 1=2x −7中，得t =−1 ∴A(1，−5)把点A 、B 分别代入y 2=2x 2+bx +c 中，得{−2=2+b +c−1=18+3b +c 解得{b =−6c =−1∴y 2=2x 2−6x −1； （2）x <1或x >3（3）解：∵点C 为一次函数y 1图象上一点，∴C(n ，2n −7)将点C 向右平移2个单位，再向上平移4个单位后得到点C ′(n +2，2n −3) 把C ′代入y 2=2x 2−6x −1，得2n −3=2(n +2)2−6(n +2)−1 解得n =±1 所以n 的值为1或-1 15．（1）y=-2x+400（2）解：由题意，得：(x −60)(−2x +400)=8000解得x 1=100，x 2=160 ∵公司尽可能多让利给顾客 ∴应定价100元（3）解：由题意，得w =(x −60−10)(−2x +400)=−2x 2+540x −28000 =−2(x −135)2+8450∵−2<0∴当x =135时，w 有最大值，最大值为8450. 答：当一件衣服定为135元时，才能使每天获利最大. 16．（1）解：∵直线l ：y =−x −1过点A∴A(−1，0)又∵D(5，−6)将点A ，D 的坐标代入抛物线表达式可得：{−1−b +c =0−25+5b +c =−6 解得{b =3c =4．∴抛物线的解析式为：y =−x 2+3x +4． （2）解：如图设点P(x ，−x 2+3x +4) ∵PE ∥x 轴，PF ∥y 轴则E(x 2−3x −5，−x 2+3x +4)，F(x ，−x −1) ∵点P 在直线l 上方的抛物线上∴−1<x <5∴PE =|x −(x 2−3x −5)|=−x 2+4x +5，PF =|−x 2+3x +4−(−x −1)|=−x 2+4x +5 ∴PE +PF =2(−x 2+4x +5)=−2(x −2)2+18． ∴当x =2时，PE +PF 取得最大值，最大值为18．（3）符合条件的M 点有三个：M 1(4，−5)，M 2(2+√14，−3−√14)， M 3(2−√14，−3+√14)． 17．（1）解：由题意可知抛物线C 2：y=−14x 2+bx+c 过点(0， 4)和(8， 10) 将其代入得：{4=c10=−14×82+8b +c解得 ∴b=114，c=4（2）解：由(1)可得抛物线Cq 解析式为： y=−14x 2+114x+4设运动员运动的水平距离为m 米时，运动员与小山坡的竖直距离为52米，依题意得： −14m 2+114m +4−(−18m 2+32m +32)=52解得： m 1=10，m 2=0(舍)故运动员运动的水平距离为10米时，运动员与小山坡的竖直距离为为52米． （3）解：∵抛物线C 2经过点(0， 4) ∴c=4抛物线C 1： y=−18x 2+32x +32=−18(x −6)2+6 当x=6时，运动员到达坡项 即−14×62+6b+4≥4+6． ∴b ≥15618．（1）解：把A(4，0)、B(−3，0)代入y =ax 2+bx −4中 得{16a +4b −4=09a −3b −4=0解得{a =13b =−13∴这条抛物线所对应的函数表达式为y =13x 2−13x −4． （2）解：当x =0时y =−4∴C(0，−4)当−3<m <0时S =S △ODC +S △OAC =12×4×(−m)+12×4×4=−2m +8当0<m <4时S =S △ODC +S △OAD =12×4×m +12×4×(−13m 2+13m +4)=−23m 2+83m +8． （3）解：n =52，n =2511，n =3011．。
中考数学总复习《二次函数与一次函数的综合应用》练习题及答案
中考数学总复习《二次函数与一次函数的综合应用》练习题及答案班级:___________姓名：___________考号：_____________一、单选题1．已知函数y1=mx2+n，y2=mx+n(m>0)，当p<x<q时，y1<y2，则（）A．0<q−p<2B．0<q−p≤2C．0<q−p<1D．0<q−p≤12．一次函数y=bx+a(b≠0)与二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．3．函数y=mx+m和函数y=﹣mx2+2x+2（m是常数，且m≠0）的图象可能是（）A．B．C．D．4．小飞研究二次函数y=-(x-m)2-m+1(m为常数)性质时如下结论：①这个函数图象的顶点始终在直线y=-x+1上；②存在一个m的值，使得函数图象的顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形；③点A(x1,y1)与点B(x2,y2)在函数图象上，若x1<x2，x1+x2>2m，则y1<y2；④当-1<x<2时，y随x的增大而增大，则m的取值范围为m≥2其中错误结论的序号是（）A．①B．②C．③D．④5．将二次函数y＝x2﹣5x﹣6在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象，若直线y＝2x+b与这个新图象有3个公共点，则b的值为（）A．﹣734或﹣12B．﹣734或2C．﹣12或2D．﹣694或﹣126．如图，函数y1＝|x2﹣m|的图象如图，坐标系中一次函数y2＝x＋b的图象记为y2，则以下说法中：①当m＝1，且y1与y2恰好有三个交点时b有唯一值为1；②当m＝4，且y1与y2只有两个交点时，b＞174或﹣2＜b＜2；③当m＝﹣b时，y1与y2一定有交点：④当m＝b时，y1与y2至少有2个交点，且其中一个为（0，m）.正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个7．直线y=ax﹣6与抛物线y=x2﹣4x+3只有一个交点，则a的值为（）A．a=2B．a=10C．a=2或a=﹣10D．a=2或a=108．已知一次函数y1=2x−2，二次函数y2=x2，对于x的同一个值，这两个函数所对应的函数值分别为y1和y2，则下列表述正确的是（）A．y1>y2B．y1<y2C．y1=y2D．y1，y2的大小关系不确定9．已知一次函数y1=kx+m(k≠0)和二次函数y2=ax2+bx+c(a≠0)部分自变量和对应的函数值如表：x…-10245…y1…01356…y2…0-1059…21A．-1＜x＜2B．4＜x＜5C．x＜-1或x＞5D．x＜-1或x＞410．对于每个x，函数y是y1=-x+6，y2=-2x2+4x+6这两个函数的较小值，则函数y的最大值是（）A．3B．4C．5D．611．如图是王阿姨晚饭后步行的路程s（单位：m）与时间t（单位：min）的函数图象，其中曲线段AB是以B为顶点的抛物线一部分．下列说法不正确的是（）A．25min～50min，王阿姨步行的路程为800mB．线段CD的函数解析式为s=32t+400（25≤t≤50）C．5min～20min，王阿姨步行速度由慢到快D．曲线段AB的函数解析式为s=-3（t-20）2+1200（5≤t≤20）12．如图，平面直角坐标系中，点M是直线y=2与x轴之间的一个动点，且点M是抛物线y= 12x2+bx+c的顶点，则抛物线y= 12x2+bx+c与直线y=1交点的个数是（）A．0个或1个B．0个或2个C．1个或2个D．0个、1个或2个二、填空题13．抛物线y=2x2+x+a与直线y=−x+3没有交点，则a的取值范围是．14．如图，已知抛物线y1=−2x2+2，直线y2=2x+2，当x任取一值时，x对应的函数值分别为y1，y2，若y1≠y2，取y1，y2中的较小值记为M；若y1=y2，记M=y1=y2，例如：当x=1时，y1=0，y2=4，y1<y2，此时M=0，下列判断：①当x<0时，y1>y2；②当x<0时，x值越大，M值越小；③使得M大于2的x值不存在；④使得M=1的x值是−12或√22.其中正确的是.15．如图，已知直线y=﹣34x+3分别交x轴、y轴于点A、B，P是抛物线y=﹣12x2+2x+5的一个动点，其横坐标为a，过点P且平行于y轴的直线交直线y=﹣34x+3于点Q，则当PQ=BQ时，a的值是．16．已知一次函数y1＝kx+m（k≠0）和二次函数y2=ax2+bx+c（a≠0）部分自变量和对应的函数值如表：x…﹣10245…y1…01356…y2…0﹣1059…21的取值范围是．17．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点C为y轴正半轴上的一个动点，过点C的直线与二次函数y=x2的图象交于A、B两点，且CB=3AC，P为CB的中点，设点P的坐标为P(x，y)(x>0)，写出y关于x的函数表达式为：.18．直线y=x+2与抛物线y=x2的交点坐标是.三、综合题19．随着互联网的普及，某手机厂商采用先网络预定，然后根据订单量生产手机的方式销售，2015年该厂商将推出一款新手机，根据相关统计数据预测，定价为2200元，日预订量为20000台，若定价每减少100元，则日预订量增加10000台．（1）设定价减少x元，预订量为y台，写出y与x的函数关系式；（2）若每台手机的成本是1200元，求所获的利润w（元）与x（元）的函数关系式，并说明当定价为多少时所获利润最大；（3）若手机加工成每天最多加工50000台，且每批手机会有5%的故障率，通过计算说明每天最多接受的预订量为多少？按最大量接受预订时，每台售价多少元？20．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+2过B（﹣2，6），C（2，2）两点．（1）试求抛物线的解析式；（2）记抛物线顶点为D，求△BCD的面积；（3）若直线y=﹣12x向上平移b个单位所得的直线与抛物线段BDC（包括端点B、C）部分有两个交点，求b的取值范围．21．如图，已知抛物线 y =−12x 2+bx +c 经过A （2，0）、B （0，-6）两点，其对称轴与轴交于点C（1）求该抛物线和直线BC 的解析式；（2）设抛物线与直线BC 相交于点D ，连结AB 、AD ，求△ABD 的面积.22．某企业研发了一种新产品，已知这种产品的成本为30元/件，且年销售量 y （万件）与售价 x （元/件）的函数关系式为 y ={−2x +140，(40≤x <60)−x +80.(60≤x ≤70)（1）当售价为60元/件时，年销售量为 万件；（2）当售价为多少时，销售该产品的年利润最大？最大利润是多少？ （3）若销售该产品的年利润不少于750万元，直接写出 x 的取值范围.23．抛物线y ＝ax 2与直线y ＝2x －3交于点A(1，b)．（1）求a ，b 的值；（2）求抛物线y ＝ax 2与直线y ＝－2的两个交点B ，C 的坐标(B 点在C 点右侧)； （3）求△OBC 的面积．24．如图，平面直角坐标系中，抛物线 y =ax 2+bx +c 经过 A(−1,0) ， B(3,0) 两点，与 y 轴交于点 C(0,−3) ，点 D 是抛物线的顶点.（1）求抛物线的解析式；（2）设P(m,n)为对称轴上一点，若∠PCD为钝角，求n的取值范围.参考答案1．【答案】D 2．【答案】C 3．【答案】D 4．【答案】C 5．【答案】A 6．【答案】B 7．【答案】C 8．【答案】B 9．【答案】D 10．【答案】D 11．【答案】C 12．【答案】D 13．【答案】a >3.5 14．【答案】③④15．【答案】﹣1，4，4+2 √5 ，4﹣2 √5 16．【答案】x ＜﹣1或x ＞4 17．【答案】y =83x 218．【答案】（-1，1）和（2，4）19．【答案】（1）解：根据题意：y ＝20000+ x 100 ×10000＝100x+20000（2）解：设所获的利润w （元） 则W ＝（2200﹣1200﹣x ）（100x+20000） ＝﹣100（x ﹣400）2+36000000；所以当降价400元，即定价为2200﹣400＝1800元时，所获利润最大 （3）解：根据题意每天最多接受50000（1﹣0.05）＝47500台 此时47500＝100x+20000 解得：x ＝275．所以最大量接受预订时，每台定价2200﹣275＝1925元．20．【答案】（1）解：由题意 {4a −2b +2=64b +2b +2=2 解得 {a =12b =−1∴抛物线解析式为y= 12x 2﹣x+2．（2）解：∵y= 12 x 2﹣x+2= 12 （x ﹣1）2+ 32．∴顶点坐标（1，3 2）∵直线BC为y=﹣x+4，∴对称轴与BC的交点H（1，3）∴S△BDC=S△BDH+S△DHC= 12×32•3+ 12×32•1=3．（3）解：由{y=−12x+by=12x2−x+2消去y得到x2﹣x+4﹣2b=0当△=0时，直线与抛物线相切，1﹣4（4﹣2b）=0∴b= 15 8当直线y=﹣12x+b经过点C时，b=3当直线y=﹣12x+b经过点B时，b=5∵直线y=﹣12x向上平移b个单位所得的直线与抛物线段BDC（包括端点B、C）部分有两个交点∴158＜b≤3．21．【答案】（1）解：将A（2，0）、B（0，-6）代入y=−12x2+bx+c中可得{−12×22+2b+c=0c=−6解得：b=4；c=-6∴该抛物线的解析式为y=−12x2+4x−6∴抛物线对称轴为x=−42×(−12)=4∴C(4,0)设直线BC的解析式为y=kx+b(k≠0)将B（0，-6），C(4，0)代入得解得：k=32,b=−6∴直线BC 的解析式为 y =32x −6（2）解：连立方程组可得 {y =32x −6y =−12x 2+4x −6解得 {x =5y =32∴D(5， 32)∴△ABD 的面积为 12×2×(23+6)=15222．【答案】（1）20（2）解：设销售该产品的年利润为 W 万元当 40≤x <60 时， W =(x −30)(−2x +140)=−2(x −50)2+800 . ∵－2<0 ∴当 x =50 时 当 60≤x ≤70 时 ∵−1<0 ∴当 x =60 时 ∵800>600 ∴当 x =50 时∴当售价为50元/件时，年销售利润最大，最大为800万元. （3）解： 45≤x ≤55 理由如下：由题意得(x −30)(−2x +140)≥750解得 45≤x ≤5523．【答案】（1）解：∵点 A(1，b) 在直线 y =2x −3 上∴b =−1∴点 A 坐标 (1，−1)把点 A(1，−1) 代入 y =ax 2 得到 a =−1∴a =b =−1.（2）解：由 {y =−x 2y =−2 解得 {x =√2y =−2 或 {x =−√2y =−2 ∴点 C 坐标 (−√2，−2)， 点 B 坐标 (√2，−2). （3）解： S △BOC =12×2√2×2=2√2.24．【答案】（1）解：由已知，设 y =a(x +1)(x −3)把C(0,−3)代入，得−3a=−3∴y=(x+1)(x−3)即y=x2−2x−3.（2）解：由y=x2−2x−3，得y=(x−1)2−4∴顶点D(1,−4).过点D作DH⊥y轴于点H，连结BC交对称轴于点E，连结DC.∵B(3,0)，C(0,−3)∴OB=OC=3∴∠BCO=∠DCH=45°∴∠DCE=90°设BC函数表达式为y=kx+b把B(3,0)，C(0,−3)两点代入y=kx+b得{k=1b=−3即BC函数表达式为y=x−3∵点E在对称轴上∴点E横坐标为1，代入y=x−3得E(1,−2)由∠PCD为钝角，则点P在点E上方即n>−2.第11页共11页。
2014年中考二次函数综合
二次函数综合板块一：旋转、翻折、平移1、点P为抛物线y=x2-2mx+m2（m为常数，m＞0）上任一点，将抛物线绕顶点G逆时针旋转90°后得到的新图象与y轴交于A、B两点（点A 在点B的上方），点Q为点P旋转后的对应点．（1）当m=2，点P横坐标为4时，求Q点的坐标；（2）设点Q（a，b），用含m、b的代数式表示a；（3）如图，点Q在第一象限内，点D在x轴的正半轴上，点C为OD的中点，QO平分∠AQC，AQ=2QC，当QD=m时，求m的值．2、已知抛物线L1：23212-+=x x y 的顶点为C ，与x 轴交于A 、B ，将抛物线L1沿x 轴翻折得到抛物线L2（1）求抛物线L2的解析式及顶点M 的坐标. （2）点P 为y 轴右侧的抛物线L2上一点点Q 为抛物线L1上一点若以M 、C 、P 、Q 为顶点的四边形为矩形求点P 、Q 的坐标.（3）N 点在抛物线L2上以MN 为斜边作等腰直角三角形其直角顶点E 正好在x 轴上求N 点坐标.3、如图，直线33y x b =+经过点B(3-，2)，且与x 轴交于点A ．将抛物线213y x=沿x 轴作左右平移，记平移后的抛物线为C ，其顶点为P ．（1）求∠BAO 的度数；（2）抛物线C 与y 轴交于点E ，与直线AB 交于两点，其中一个交点为F ．当线段EF ∥x 轴时，求平移后的抛物线C 对应的函数关系式； （3）在抛物线213y x=平移过程中，将△PAB 沿直线AB 翻折得到△DAB ，点D 能否落在抛物线C 上？如能，求出此时抛物线C 顶点P 的坐标；如不能，说明理由．OABxyOABxy213y x =4、已知抛物线C1：y=-x2-2x+3与x轴的正半轴交于B，交y轴于C，将C1绕平面内的一点旋转180得到抛物线C2，且所得抛物线经过B，C两点.（1）求C2的解析式（2）将C2沿x轴平移得到抛物线C3，设C2的顶点为D，C3的顶点为E，抛物线 C3与C2交于M，若△MDE为等腰直角三角形。
中考数学总复习《二次函数综合》专项训练题(附有答案)
中考数学总复习《二次函数综合》专项训练题(附有答案）学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________ 1．如图，一次函数y ax b =+的图象与反比例函数ky x=的图象相交于(),1A m ，()2,3B -两点，与y 轴交于点C ．(1)求反比例函数和一次函数的解析式；(2)设D 为线段AC 上的一个动点（不包括A ，C 两点），过点D 作DE y ∥轴交反比例函数图象于点E ，当CDE 的面积最大时，求点E 的坐标．2．如图，抛物线23y ax bx =+-经过A 、B 、C 三点，点()3,0A -和()1,0C ，点B 在y 轴上．点P 是直线AB 下方的抛物线上一动点（不与A 、B 重合）．(1)求此抛物线的解析式；(2)过点P 作x 轴的垂线，垂足为D ，交直线AB 于点E ，动点P 在什么位置时，PE 最大，求出此时P 点的坐标；(3)点Q 是抛物线对称轴上一动点Q ，使得以点A 、B 、Q 为顶点的三角形为直角三角形，请直接写出点Q 坐标．3．如图，直线3y x =-+与 x 轴、y 轴分别交于B C 、两点，抛物线2y x bx c =-++经过点B C 、，与 x 轴另一交点为A ，顶点为 D ．(1)求抛物线的解析式；(2)在x 轴上找一点E ，使 EC ED +的值最小，求EC ED +的最小值；(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点P ，使得 APB OCB ∠=∠？若存在，求出 P 点坐标；若不存在，请说明理由．4．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线23y ax bx =++交x 轴于()1,0A -和()5,0B 两点，交y 轴于点C ，点D 是线段OB 上一动点，连接CD ，将线段CD 绕点D 顺时针旋转90︒得到线段DE ，过点E 作直线l x ⊥轴于H ，过点C 作CF l ⊥于F ．(1)求抛物线解析式；(2)如图2，当点F 恰好在抛物线上时，求线段OD 的长；(3)在（2）的条件下：试探究在直线l 上，是否存在点G ，使45EDG ∠=︒？若存在，请求出所有符合条件的点G 的坐标；若不存在，请说明理由．5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线214y x bx c =-++与x 轴交于点()2,0A -和点B ，与y 轴交于点()0,4C ．(1)求抛物线的函数表达式；(2)点P 是直线BC 上方的抛物线上一点（点P 不与点B ，C 重合），过点P 作PD y ∥轴交直线BC 于点D ，求线段PD 长的最大值．6．如图，已知直线443y x =+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，抛物线24y ax bx =++经过A ，C 两点，且与x 轴的另一个交点为B ，对称轴为直线=1x -．(1)求抛物线的表达式；(2)D 是第二象限内抛物线上的动点，设点D 的横坐标为m ，求四边形ABCD 面积S 的最大值及此时D 点的坐标；(3)若点P 在抛物线对称轴上，点Q 为任意一点，是否存在点P 、Q ，使以点A ，C ，P ，Q 为顶点的四边形是以AC 为对角线的菱形？若存在，请直接写出P ，Q 两点的坐标，若不存在，请说明理由．7．如图，在直角坐标系中有一Rt AOB △，O 为坐标原点，OA=1，tan 3BAO ∠=将此三角形绕原点O 逆时针旋转90︒，得到DOC △，抛物线2y ax bx c =++经过点A ，B ，C ．(1)求抛物线的解析式；(2)若点P 是第二象限内抛物线上的动点，其横坐标为t ，是否存在一点P ，使PCD 的面积最大？若存在，求出PCD 面积的最大值；若不存在，请说明理由．8．如图，抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左边），与y 轴交于点C ，点D 为燃车一顶点，B ，C 两点的坐标分别为()3,0和()0,3．(1)求抛物线所对应的函数解析式．(2)若点M 是第一象限的抛物线上的点，过点M 作x 轴的垂线交BC 于点N ，求线段MN 的最大值．9．如图，已知抛物线2y x bx c =++与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，顶点为点E ，已知点B 的坐标为()1,0，经过点B 的直线与抛物线另一个交点D 的坐标为()2,3--，连接AD ．(1)求抛物线及直线BD 的解析式；(2)若点F 在x 轴上，则当EF CF +的值最小时，点F 的坐标为______ ； (3)若点P 是抛物线上不与点D 重合的一个动点，求当53ABPABDS S =时点P 的坐标．10．如图，抛物线2y x bx c =-++的图象与x 轴交于()3,0A -、B 两点，与y 轴交于点()0,3C ．(1)求抛物线的解析式及顶点D 的坐标；(2)若点E 在抛物线上，且EOC ABC S S =△△，求点E 的坐标；(3)点P 是抛物线上A 、D 之间的一点，过点P 作PM x ⊥轴于点M ，过点P 作PQ AB ∥交抛物线于点Q ，过点Q 作QN x ⊥轴于点N ．设点P 的横坐标为点m ，请用含m 的代数式表示矩形PQNM 的周长，并求矩形PQNM 周长的最大值．11．如图，抛物线()20y ax bx c a =++≠与x 轴交于()4,0A ，()2,0B -两点，与y 轴交于点()0,4C ．(1)求抛物线的函数解析式；(2)P 是抛物线上位于直线AC 上方一动点，且在抛物线的对称轴右侧，过点P 作y 轴的平行线交直线AC 于点E ，过点P 作x 轴的平行线与抛物线的对称轴交于点F ，求PE PF +的最大值及此时点P 的坐标；(3)在（2）中PE PF +取得最大值的条件下，将该抛物线沿x 轴向右平移6个单位长度，平移后的抛物线与平移前的抛物线交于点H ，M 为平移前抛物线对称轴上一点．在平面直角坐标系中确定一点N ，使得以点H ，P ，M ，N 为顶点的四边形是菱形，求出所有符合条件的点N 的坐标．12．如图，已知抛物线²2y ax x c =-+与x 轴交于()10A ，，()30B -，两点，与y 轴交于点C ．顶点为D 点，点E 为抛物线对称轴上的一个动点．(1)求抛物线的解析式；(2)连接AC ，若AEC △是以AC 为斜边的直角三角形，请求出点E 的坐标： (3)抛物线对称轴上是否存在点E ，使得55AE DE +取得最小值，若不存在，请说明理由，若存在，求出点E 的坐标，并求出55AE DE +的最小值．13．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线23y ax ax c =-+与x 轴分别交于(1,0)A -，B 两点，与y 轴交于点(0,2)C -．(1)求抛物线的函数表达式；(2)如图1，点D 为第四象限抛物线上一点，连接AD BC ，交于点E ，求DEAE的最大值；(3)如图2，连接AC BC ，，过点O 作直线l BC ∥，点P ，Q 分别为直线l 和抛物线上的点，试探究：在第一象限是否存在这样的点P ，Q ，使PQB CAB ∽．若存在，请求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．14．抛物线213222y x x =--+与x 轴交于点A B ，（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，连接AC ，BC ．(1)求点A B C ，，的坐标；(2)如图1，P 是抛物线上的一动点，是否存在点P ，使得PAB ACO ∠=∠？若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由；(3)如图2，Q 为线段AC 上方抛物线上的一动点（点Q 不与点A C ，重合），过点Q 作QF BC ∥交y 轴于点F ，交线段AC 于点E ，若35QE BC =，请直接写出点Q 的坐标．15．已知在直角坐标平面xOy 中，抛物线()20y ax bx c a =++≠经过点()()()103003A B C -，、，、，三点．备用图(1)求该抛物线的表达式；(2)点D 是点C 关于抛物线对称轴对称的点，连接AD BD 、，将抛物线向下平移()0m m >个单位后，点D 落在点E 处，过B 、E 两点的直线与线段AD 交于点F ． ①如果2m =，求tan DBF ∠的值； ①如果BDF 与ABD △相似，求m 的值．参考答案： 1．(1)反比例函数解析式为6y x =-；一次函数解析式为122y x =--； (2)点E 坐标为()2,3-．2．(1)223y x x =+-(2)315,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭ (3)3171,2⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭或3171,2⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭或()1,4--或1,23．(1)223y x x =-++(2)52EC ED +=(3)存在；P 的坐标为(1,222)+或(1,222)--4．(1)2312355y x x =-++ (2)1(3)在直线l 上，存在点G ，使45EDG ∠=︒，点G 的坐标为34,2⎛⎫- ⎪⎝⎭或()4,6．5．(1)213442y x x =-++ (2)当4m =时，PD 有最大值为46．(1)248433y x x =--+ (2)S 的最大值为252 3,52D ⎛⎫- ⎪⎝⎭(3)存在；131,8P ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 192,8Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭7．(1)223y x x =--+(2)存在，当76t =-时，PCD S 的最大值为121248．(1)223y x x =-++ (2)949．(1)223y x x =+- 1y x =-； (2)3,07⎛⎫- ⎪⎝⎭； (3)()4,5P -或()2,5．10．(1)()214y x =-++，顶点D 的坐标为()1,4- (2)()()4,21,4,5E E ---(3)矩形PMNQ 的周长为2282m m --+，矩形的周长最大值为1011．(1)抛物线的函数解析式为2142y x x =-++ (2)点P 的坐标为53,2⎛⎫ ⎪⎝⎭(3)点N 的坐标为132,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭或132,2⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭或96,4⎛⎫ ⎪⎝⎭12．(1)223y x x =--+(2)1(1,1)E - 2(1,2)E -(3)58555AE DE += (1,1)E -13．(1)213222y x x =-- (2)45(3)6834,99⎛⎫ ⎪⎝⎭或 6241341,55⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭14．(1)()40A -，，()10B ，和()02C ， (2)()32P -，或()518P -， (3)()13Q -，或()32-，或71272⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭，15．(1)223y x x =-++(2)①12；①3m =或52m =。
(中考数学复习)第18讲-二次函数综合应用-课件-解析
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浙派名师中考 (2)当h＝2.6时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理 由； (3)若球一定能越过球网，又不出边界，求h的取值范围． 解：(1)把x＝0，y＝2，及h＝2.6代入到y＝a(x－6)2＋h中，
B．4 s
C．3 s
D．2 s
B
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浙派名师中考 B
图18－1
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浙派名师中考
4．(2013·宁波)如图18－2所示，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象
开口向上，对称轴为直线x＝1，图象经过(3，0)，下列结论
中，正确的一项是
( D )
图18－2 A．abc<0 B．2a＋b<0 C．a－b－c<0 D．4ac－b2<0
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5．某公园草坪的防护栏是由100段形状相同的抛物线组成 的．为了牢固起见，每段护栏需要间距0.4 m加设一根不锈 钢的支柱，防护栏的最高点距底部0.5 m(如图18－3所示)， 则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为 ( C )
函数图象得
∴函数关系式为y＝－x＋180.
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(2)写出每天的利润W与销售单价x之间的函数关系式；若你是 商场负责人，会将售价定为多少，来保证每天获得的利润最 大，最大利润是多少？ 解： W＝(x－100)y＝(x－100)(－x＋180) ＝－x2＋280x－18 000 ＝－(x－140) 2＋1 600， 当售价定为140元，W最大＝1 600. ∴售价定为140元/件时，每天最大利润W＝1 600元．
中考数学二次函数的综合复习含答案解析
中考数学二次函数的综合复习含答案解析一、二次函数1．已知：如图，抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴分别交于点A（0，6），B（6，0），C（﹣2，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P运动到什么位置时，△PAB的面积有最大值？（3）过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P做PE∥x轴交抛物线于点E，连结DE，请问是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣12x2+2x+6；（2）当t=3时，△PAB的面积有最大值；（3）点P（4，6）．【解析】【分析】（1）利用待定系数法进行求解即可得；（2）作PM⊥OB与点M，交AB于点N，作AG⊥PM，先求出直线AB解析式为y=﹣x+6，设P（t，﹣12t2+2t+6），则N（t，﹣t+6），由S△PAB=S△PAN+S△PBN=12PN•AG+12PN•BM=12PN•OB列出关于t的函数表达式，利用二次函数的性质求解可得；（3）由PH⊥OB知DH∥AO，据此由OA=OB=6得∠BDH=∠BAO=45°，结合∠DPE=90°知若△PDE为等腰直角三角形，则∠EDP=45°，从而得出点E与点A重合，求出y=6时x的值即可得出答案．【详解】（1）∵抛物线过点B（6，0）、C（﹣2，0），∴设抛物线解析式为y=a（x﹣6）（x+2），将点A（0，6）代入，得：﹣12a=6，解得：a=﹣12，所以抛物线解析式为y=﹣12（x﹣6）（x+2）=﹣12x2+2x+6；（2）如图1，过点P作PM⊥OB与点M，交AB于点N，作AG⊥PM于点G，设直线AB 解析式为y=kx+b ，将点A （0，6）、B （6，0）代入，得：660b k b =⎧⎨+=⎩， 解得：16k b =-⎧⎨=⎩，则直线AB 解析式为y=﹣x+6，设P （t ，﹣12t 2+2t+6）其中0＜t ＜6， 则N （t ，﹣t+6），∴PN=PM ﹣MN=﹣12t 2+2t+6﹣（﹣t+6）=﹣12t 2+2t+6+t ﹣6=﹣12t 2+3t ， ∴S △PAB =S △PAN +S △PBN =12PN•AG+12PN•BM =12PN•（AG+BM ） =12PN•OB =12×（﹣12t 2+3t ）×6 =﹣32t 2+9t=﹣32（t ﹣3）2+272，∴当t=3时，△PAB 的面积有最大值； （3）如图2，∵PH⊥OB于H，∴∠DHB=∠AOB=90°，∴DH∥AO，∵OA=OB=6，∴∠BDH=∠BAO=45°，∵PE∥x轴、PD⊥x轴，∴∠DPE=90°，若△PDE为等腰直角三角形，则∠EDP=45°，∴∠EDP与∠BDH互为对顶角，即点E与点A重合，则当y=6时，﹣12x2+2x+6=6，解得：x=0（舍）或x=4，即点P（4，6）．【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，涉及到待定系数法、二次函数的最值、等腰直角三角形的判定与性质等，熟练掌握和灵活运用待定系数法求函数解析式、二次函数的性质、等腰直角三角形的判定与性质等是解题的关键.2．如图，抛物线y＝x2﹣mx﹣（m+1）与x轴负半轴交于点A（x1，0），与x轴正半轴交于点B（x2，0）（OA＜OB），与y轴交于点C，且满足x12+x22﹣x1x2＝13．（1）求抛物线的解析式；（2）以点B为直角顶点，BC为直角边作Rt△BCD，CD交抛物线于第四象限的点E，若EC ＝ED，求点E的坐标；（3）在抛物线上是否存在点Q，使得S△ACQ＝2S△AOC？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）E 113+113+3）点Q的坐标为（﹣3，12）或（2，﹣3）．理由见解析.【解析】【分析】（1）由根与系数的关系可得x1+x2＝m，x1•x2＝﹣（m+1），代入x12+x22﹣x1x2＝13，求出m1＝2，m2＝﹣5．根据OA＜OB，得出抛物线的对称轴在y轴右侧，那么m＝2，即可确定抛物线的解析式；（2）连接BE、OE．根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出BE＝12CD＝CE．利用SSS证明△OBE≌△OCE，得出∠BOE＝∠COE，即点E在第四象限的角平分线上，设E点坐标为（m，﹣m），代入y＝x2﹣2x﹣3，求出m的值，即可得到E点坐标；（3）过点Q作AC的平行线交x轴于点F，连接CF，根据三角形的面积公式可得S△ACQ＝S△ACF．由S△ACQ＝2S△AOC，得出S△ACF＝2S△AOC，那么AF＝2OA＝2，F（1，0）．利用待定系数法求出直线AC的解析式为y＝﹣3x﹣3．根据AC∥FQ，可设直线FQ的解析式为y＝﹣3x+b，将F（1，0）代入，利用待定系数法求出直线FQ的解析式为y＝﹣3x+3，把它与抛物线的解析式联立，得出方程组22333y x xy x⎧=--⎨=-+⎩，求解即可得出点Q的坐标．【详解】（1）∵抛物线y＝x2﹣mx﹣（m+1）与x轴负半轴交于点A（x1，0），与x轴正半轴交于点B（x2，0），∴x1+x2＝m，x1•x2＝﹣（m+1），∵x12+x22﹣x1x2＝13，∴（x1+x2）2﹣3x1x2＝13，∴m2+3（m+1）＝13，即m2+3m﹣10＝0，解得m1＝2，m2＝﹣5．∵OA＜OB，∴抛物线的对称轴在y轴右侧，∴m＝2，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；（2）连接BE、OE．∵在Rt△BCD中，∠CBD＝90°，EC＝ED，∴BE＝12CD＝CE．令y＝x2﹣2x﹣3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，∴A（﹣1，0），B（3，0），∵C（0，﹣3），∴OB＝OC，又∵BE ＝CE ，OE ＝OE ， ∴△OBE ≌△OCE （SSS ）， ∴∠BOE ＝∠COE ，∴点E 在第四象限的角平分线上，设E 点坐标为（m ，﹣m ），将E （m ，﹣m ）代入y ＝x 2﹣2x ﹣3， 得m ＝m 2﹣2m ﹣3，解得m ＝113±， ∵点E 在第四象限， ∴E 点坐标为（1132+，﹣1132+）； （3）过点Q 作AC 的平行线交x 轴于点F ，连接CF ，则S △ACQ ＝S △ACF ．∵S △ACQ ＝2S △AOC ， ∴S △ACF ＝2S △AOC ， ∴AF ＝2OA ＝2， ∴F （1，0）．∵A （﹣1，0），C （0，﹣3）， ∴直线AC 的解析式为y ＝﹣3x ﹣3． ∵AC ∥FQ ，∴设直线FQ 的解析式为y ＝﹣3x +b ， 将F （1，0）代入，得0＝﹣3+b ，解得b ＝3， ∴直线FQ 的解析式为y ＝﹣3x +3．联立22333y x x y x ⎧=--⎨=-+⎩，解得11312x y =-⎧⎨=⎩，2223x y =⎧⎨=-⎩，∴点Q 的坐标为（﹣3，12）或（2，﹣3）． 【点睛】本题是二次函数综合题，其中涉及到一元二次方程根与系数的关系，求二次函数的解析式，直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，二次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，一次函数图象与几何变换，待定系数法求直线的解析式，抛物线与直线交点坐标的求法，综合性较强，难度适中．利用数形结合与方程思想是解题的关键．3．新春佳节，电子鞭炮因其安全、无污染开始走俏．某商店经销一种电子鞭炮，已知这种电子鞭炮的成本价为每盒80元，市场调查发现，该种电子鞭炮每天的销售量y （盒）与销售单价x （元）有如下关系：y=﹣2x+320（80≤x≤160）．设这种电子鞭炮每天的销售利润为w 元．（1）求w 与x 之间的函数关系式；（2）该种电子鞭炮销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ （3）该商店销售这种电子鞭炮要想每天获得2400元的销售利润，又想卖得快．那么销售单价应定为多少元？【答案】（1）w=﹣2x 2+480x ﹣25600；（2）销售单价定为120元时，每天销售利润最大，最大销售利润3200元（3）销售单价应定为100元 【解析】 【分析】 （1）用每件的利润()80x -乘以销售量即可得到每天的销售利润，即()()()80802320w x y x x =-=--+， 然后化为一般式即可；（2）把（1）中的解析式进行配方得到顶点式()221203200w x =--+，然后根据二次函数的最值问题求解；（3）求2400w =所对应的自变量的值，即解方程()2212032002400x --+=．然后检验即可. 【详解】（1）()()()80802320w x y x x =-=--+， 2248025600x x =-+-，w 与x 的函数关系式为：2248025600w x x =-+-； （2）()2224802560021203200w x x x =-+-=--+， 2080160x -<≤≤Q ，，∴当120x =时，w 有最大值．w 最大值为3200．答：销售单价定为120元时，每天销售利润最大，最大销售利润3200元． （3）当2400w =时，()2212032002400x --+=． 解得：12100140x x ，．== ∵想卖得快，2140x ∴=不符合题意，应舍去．答：销售单价应定为100元．4．如图，抛物线y ＝12x 2+bx ﹣2与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于C 点，且A （﹣1，0）．（1）求抛物线的解析式及顶点D 的坐标； （2）判断△ABC 的形状，证明你的结论；（3）点M 是抛物线对称轴上的一个动点，当MC +MA 的值最小时，求点M 的坐标．【答案】（1）抛物线的解析式为y ＝213x -22x ﹣2，顶点D 的坐标为 （32，﹣258）；（2）△ABC 是直角三角形，证明见解析；（3）点M 的坐标为（32，﹣54）． 【解析】 【分析】（1）因为点A 在抛物线上，所以将点A 代入函数解析式即可求得答案；（2）由函数解析式可以求得其与x 轴、y 轴的交点坐标，即可求得AB 、BC 、AC 的长，由勾股定理的逆定理可得三角形的形状；（3）根据抛物线的性质可得点A 与点B 关于对称轴x 32=对称，求出点B ，C 的坐标，根据轴对称性，可得MA ＝MB ，两点之间线段最短可知，MC +MB 的值最小．则BC 与直线x 32=交点即为M 点，利用得到系数法求出直线BC 的解析式，即可得到点M 的坐标． 【详解】（1）∵点A （﹣1，0）在抛物线y 212x =+bx ﹣2上，∴2112⨯-+（）b ×（﹣1）﹣2＝0，解得：b 32=-，∴抛物线的解析式为y 21322x =-x ﹣2． y 21322x =-x ﹣212=（x 2﹣3x ﹣4 ）21325228x =--（），∴顶点D 的坐标为 （32528，-）． （2）当x ＝0时y ＝﹣2，∴C （0，﹣2），OC ＝2． 当y ＝0时，21322x -x ﹣2＝0，∴x 1＝﹣1，x 2＝4，∴B （4，0），∴OA ＝1，OB ＝4，AB ＝5．∵AB 2＝25，AC 2＝OA 2+OC 2＝5，BC 2＝OC 2+OB 2＝20，∴AC 2+BC 2＝AB 2．∴△ABC 是直角三角形．（3）∵顶点D的坐标为（32528，-），∴抛物线的对称轴为x32=．∵抛物线y12=x2+bx﹣2与x轴交于A，B两点，∴点A与点B关于对称轴x32=对称．∵A（﹣1，0），∴点B的坐标为（4，0），当x＝0时，y21322x=-x﹣2＝﹣2，则点C 的坐标为（0，﹣2），则BC与直线x32=交点即为M点，如图，根据轴对称性，可得：MA＝MB，两点之间线段最短可知，MC+MB的值最小．设直线BC的解析式为y＝kx+b，把C（0，﹣2），B（4，0）代入，可得：240bk b=-⎧⎨+=⎩，解得：122kb⎧=⎪⎨⎪=-⎩，∴y12=x﹣2．当x32=时，y1352224=⨯-=-，∴点M的坐标为（3524-，）．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、一次函数的解析式、直角三角形的性质及判定、轴对称性质，解决本题的关键是利用待定系数法求函数的解析式．5．如图1，抛物线C1：y=ax2﹣2ax+c（a＜0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．已知点A的坐标为（﹣1，0），点O为坐标原点，OC=3OA，抛物线C1的顶点为G．（1）求出抛物线C1的解析式，并写出点G的坐标；（2）如图2，将抛物线C1向下平移k（k＞0）个单位，得到抛物线C2，设C2与x轴的交点为A′、B′，顶点为G′，当△A′B′G′是等边三角形时，求k的值：（3）在（2）的条件下，如图3，设点M为x轴正半轴上一动点，过点M作x轴的垂线分别交抛物线C1、C2于P、Q两点，试探究在直线y=﹣1上是否存在点N，使得以P、Q、N 为顶点的三角形与△AOQ全等，若存在，直接写出点M，N的坐标：若不存在，请说明理由．【答案】（1）抛物线C1的解析式为y=﹣x2+2x+3，点G的坐标为（1，4）；（2）k=1；（3）M1（1132+，0）、N1（13，﹣1）；M2（1132+，0）、N2（1，﹣1）；M3（4，0）、N3（10，﹣1）；M4（4，0）、N4（﹣2，﹣1）．【解析】【分析】（1）由点A的坐标及OC=3OA得点C坐标，将A、C坐标代入解析式求解可得；（2）设抛物线C2的解析式为y=﹣x2+2x+3﹣k，即y=﹣（x﹣1）2+4﹣k，′作G′D⊥x轴于点D，设BD′=m，由等边三角形性质知点B′的坐标为（m+1，0），点G′的坐标为（1，3m），代入所设解析式求解可得；（3）设M（x，0），则P（x，﹣x2+2x+3）、Q（x，﹣x2+2x+2），根据PQ=OA=1且∠AOQ、∠PQN均为钝角知△AOQ≌△PQN，延长PQ交直线y=﹣1于点H，证△OQM≌△QNH，根据对应边相等建立关于x的方程，解之求得x的值从而进一步求解即可．【详解】（1）∵点A的坐标为（﹣1，0），∴OA=1，∴OC=3OA，∴点C的坐标为（0，3），将A、C坐标代入y=ax2﹣2ax+c，得：203a a cc++=⎧⎨=⎩，解得：13ac=-⎧⎨=⎩，∴抛物线C1的解析式为y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，所以点G的坐标为（1，4）；（2）设抛物线C2的解析式为y=﹣x2+2x+3﹣k，即y=﹣（x﹣1）2+4﹣k，过点G′作G′D⊥x轴于点D，设BD′=m，∵△A′B′G′为等边三角形，∴33，则点B′的坐标为（m+1，0），点G′的坐标为（1，3m ）， 将点B′、G′的坐标代入y=﹣（x ﹣1）2+4﹣k ，得：24043m k k m⎧-+-=⎪⎨-=⎪⎩， 解得：1104m k =⎧⎨=⎩（舍），2231m k ⎧=⎪⎨=⎪⎩，∴k=1；（3）设M （x ，0），则P （x ，﹣x 2+2x+3）、Q （x ，﹣x 2+2x+2）， ∴PQ=OA=1，∵∠AOQ 、∠PQN 均为钝角， ∴△AOQ ≌△PQN ，如图2，延长PQ 交直线y=﹣1于点H ，则∠QHN=∠OMQ=90°， 又∵△AOQ ≌△PQN ， ∴OQ=QN ，∠AOQ=∠PQN ， ∴∠MOQ=∠HQN ， ∴△OQM ≌△QNH （AAS ）， ∴OM=QH ，即x=﹣x 2+2x+2+1， 解得：x=1132± 当113+HN=QM=﹣x 2131-M 113+，0）， ∴点N 113+131-1131）； 113+131-1），即（1，﹣1）； 如图3，同理可得△OQM≌△PNH，∴OM=PH，即x=﹣（﹣x2+2x+2）﹣1，解得：x=﹣1（舍）或x=4，当x=4时，点M的坐标为（4，0），HN=QM=﹣（﹣x2+2x+2）=6，∴点N的坐标为（4+6，﹣1）即（10，﹣1），或（4﹣6，﹣1）即（﹣2，﹣1）；综上点M1（113+，0）、N1（13，﹣1）；M2（113+，0）、N2（1，﹣1）；M3（4，0）、N3（10，﹣1）；M4（4，0）、N4（﹣2，﹣1）．【点睛】本题考查的是二次函数的综合题，涉及到的知识有待定系数法、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质等，熟练掌握待定系数法求函数解析式、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、运用分类讨论思想是解题的关键.6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A（﹣1，0）B（3，0）两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式和直线AC的解析式；（2）请在y轴上找一点M，使△BDM的周长最小，求出点M的坐标；（3）试探究：在拋物线上是否存在点P，使以点A，P，C为顶点，AC为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；直线AC的解析式为y=3x+3；（2）点M的坐标为（0，3）；（3）符合条件的点P的坐标为（73，209）或（103，﹣139），【解析】分析：（1）设交点式y=a（x+1）（x-3），展开得到-2a=2，然后求出a即可得到抛物线解析式；再确定C（0，3），然后利用待定系数法求直线AC的解析式；（2）利用二次函数的性质确定D的坐标为（1，4），作B点关于y轴的对称点B′，连接DB′交y轴于M，如图1，则B′（-3，0），利用两点之间线段最短可判断此时MB+MD的值最小，则此时△BDM的周长最小，然后求出直线DB′的解析式即可得到点M的坐标；（3）过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P，如图2，利用两直线垂直一次项系数互为负倒数设直线PC的解析式为y=-13x+b，把C点坐标代入求出b得到直线PC的解析式为y=-13x+3，再解方程组223133y x xy x⎧-++⎪⎨-+⎪⎩＝＝得此时P点坐标；当过点A作AC的垂线交抛物线于另一点P时，利用同样的方法可求出此时P点坐标．详解：（1）设抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣3），即y=ax2﹣2ax﹣3a，∴﹣2a=2，解得a=﹣1，∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；当x=0时，y=﹣x2+2x+3=3，则C（0，3），设直线AC的解析式为y=px+q，把A（﹣1，0），C（0，3）代入得3p qq-+=⎧⎨=⎩，解得33pq=⎧⎨=⎩，∴直线AC的解析式为y=3x+3；（2）∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，∴顶点D的坐标为（1，4），作B点关于y轴的对称点B′，连接DB′交y轴于M，如图1，则B′（﹣3，0），∵MB=MB′，∴MB+MD=MB′+MD=DB′，此时MB+MD的值最小，而BD的值不变，∴此时△BDM的周长最小，易得直线DB′的解析式为y=x+3，当x=0时，y=x+3=3，∴点M的坐标为（0，3）；（3）存在．过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P，如图2，∵直线AC的解析式为y=3x+3，∴直线PC的解析式可设为y=﹣13x+b，把C（0，3）代入得b=3，∴直线PC的解析式为y=﹣13x+3，解方程组223133y x xy x⎧-++⎪⎨-+⎪⎩＝＝，解得3xy=⎧⎨=⎩或73209xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则此时P点坐标为（73，209）；过点A作AC的垂线交抛物线于另一点P，直线PC的解析式可设为y=﹣x+b，把A（﹣1，0）代入得13+b=0，解得b=﹣13，∴直线PC的解析式为y=﹣13x﹣13，解方程组2231133y x xy x⎧-++⎪⎨--⎪⎩＝＝，解得1xy=-⎧⎨=⎩或103139xy⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，则此时P点坐标为（103，﹣139）.综上所述，符合条件的点P的坐标为（73，209）或（103，﹣139）.点睛：本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求函数解析式，理解两直线垂直时一次项系数的关系，通过解方程组求把两函数的交点坐标；理解坐标与图形性质，会运用两点之间线段最短解决最短路径问题；会运用分类讨论的思想解决数学问题．7．如图1，在平面直角坐标系中，直线AB ：y ＝kx +b （k ＜0，b ＞0），与x 轴交于点A 、与y 轴交于点B ，直线CD 与x 轴交于点C 、与y 轴交于点D ．若直线CD 的解析式为y ＝﹣1k（x+b ），则称直线CD 为直线AB 的”姊线”，经过点A 、B 、C 的抛物线称为直线AB 的“母线”．（1）若直线AB 的解析式为：y ＝﹣3x +6，求AB 的”姊线”CD 的解析式为： （直接填空）；（2）若直线AB 的”母线”解析式为：2142y x x =-+，求AB 的”姊线”CD 的解析式； （3）如图2，在（2）的条件下，点P 为第二象限”母线”上的动点，连接OP ，交”姊线”CD 于点Q ，设点P 的横坐标为m ，PQ 与OQ 的比值为y ，求y 与m 的函数关系式，并求y 的最大值；（4）如图3，若AB 的解析式为：y ＝mx +3（m ＜0），AB 的“姊线”为CD ，点G 为AB 的中点，点H 为CD 的中点，连接OH ，若GH ＝5，请直接写出AB 的”母线”的函数解析式．【答案】（1）1(6)3y x =+；（2）（2，0）、（0，4）、（﹣4，0）；（3）当m ＝﹣32，y 最大值为338；（4）y ＝x 2﹣2x ﹣3． 【解析】 【分析】（1）由k ，b 的值以及”姊线”的定义即可求解；（2）令x ＝0，得y 值，令y ＝0，得x 值，即可求得点A 、B 、C 的坐标，从而求得直线CD 的表达式；（3）设点P 的横坐标为m ，则点P （m ，n ），n ＝﹣12m 2﹣m+4， 从而求得直线OP 的表达式，将直线OP 和CD 表达式联立并解得点Q 坐标， 由此求得P Q y y ，从而求得y ＝﹣12m 2﹣32m+3，故当m ＝﹣32，y 最大值为338； （4）由直线AB 的解析式可得AB 的“姊线”CD 的表达式y ＝﹣1m（x+3），令x ＝0，得 y值，令y ＝0，得x 值，可得点C 、D 的坐标，由此可得点H 坐标，同理可得点G 坐标， 由勾股定理得：m 值，即可求得点A 、B 、C 的坐标，从而得到 “母线”函数的表达式． 【详解】（1）由题意得：k ＝﹣3，b ＝6， 则答案为：y ＝13（x+6）； （2）令x ＝0，则y ＝4，令y ＝0，则x ＝2或﹣4，点A 、B 、C 的坐标分别为（2，0）、（0，4）、（﹣4，0）， 则直线CD 的表达式为：y ＝12（x+4）＝12x+2； （3）设点P 的横坐标为m ，则点P （m ，n ），n ＝﹣12m 2﹣m+4， 则直线OP 的表达式为：y ＝n mx ， 将直线OP 和CD 表达式联立得122ny x my x ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩， 解得：点Q （2438m m m --+，222838m m m m +-+-）则P Q y y ＝﹣12m 2﹣32m+4， y ＝1P Q P Q Q y y y PQ OQ y y -==-＝﹣12m 2﹣32m+3， 当m ＝﹣32，y 最大值为338； （4）直线CD 的表达式为：y ＝﹣1m（x+3）， 令x ＝0，则y ＝﹣3m，令y ＝0，则x ＝﹣3， 故点C 、D 的坐标为（﹣3，0）、（0，﹣3m ），则点H （﹣32，﹣32m）， 同理可得：点G （﹣32m ，32）， 则GH 2＝（32+32m ）2+（32﹣32m）22， 解得：m ＝﹣3（正值已舍去），则点A 、B 、C 的坐标分别为（1，0）、（0，3）、（﹣3，0）， 则“母线”函数的表达式为：y ＝a （x ﹣1）（x+3）＝a （x 2﹣2x ﹣3），即：﹣3a ＝﹣3，解得：a ＝1，故：“母线”函数的表达式为：y ＝x 2﹣2x ﹣3． 【点睛】此题是二次函数综合题目，考查了“姊线”的定义，待定系数法求二次函数解析式，二次函数的最值问题，掌握二次函数的有关性质是解答此题的关键.8．已知抛物线2y ax bx c =++上有两点M (m +1，a )、N (m ，b ). (1)当a ＝－1，m ＝1时，求抛物线2y ax bx c =++的解析式； (2)用含a 、m 的代数式表示b 和c ；(3)当a ＜0时，抛物线2y ax bx c =++满足24b ac a -=，2b c a +≥，34m ≤-， 求a 的取值范围. 【答案】（1）11b c =⎧⎨=⎩；（2）b=-am ，c=-am ；（3）161393a -≤≤- 【解析】 【分析】（1）根据题意得到M (2，－1)、N (1，b )，代入抛物线解析式即可求出b 、c ；（2）将点M (m +1，a )、N (m ，b )代入抛物线2y ax bx c =++，可得22(1)(1)a m b m c aam bm c b⎧++++=⎨++=⎩，化简即可得出；（3）把b am =-，c am =-代入24b ac a -=可得214a m m=+，把b am =-，c am =-代入2b c a +≥可得1m ≥-，然后根据m 的取值范围可得a 的取值范围.【详解】解：(1)∵a ＝－1，m ＝1，∴M (2，－1)、N (1，b )由题意，得4211b c b c b -++=-⎧⎨-++=⎩，解，得11b c =⎧⎨=⎩(2) ∵点M (m +1，a )、N (m ，b )在抛物线2y ax bx c =++上22(1)(1)a m b m c a am bm c b ⎧++++=⎨++=⎩①②①－②得，2am b b +=-，∴b am =-把b am =-代入②，得c am =-(3)把b am =-，c am =-代入24b ac a -=得2224a m a m a +=0a <Q ，22141,4am am a m m∴+=∴=+ 把b am =-，c am =-代入2b c a +≥得22am a -≥，1m ∴≥-34m Q ≤-，314m ∴-≤≤-224(2)4m m m +=+-Q ，当2m >-时，24m m +随m 的增大而增大2393416m m ∴-≤+≤-216113943m m ∴-≤≤-+ 即161393a -≤≤- 【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式以及二次函数的图像和性质，由函数图像上点的坐标特征求出b am =-，c am =-是解题关键.9．如图，对称轴为直线x 1=-的抛物线()2y ax bx c a 0=++≠与x 轴相交于A 、B 两点，其中A 点的坐标为（－3，0）．（1）求点B 的坐标；（2）已知a 1=，C 为抛物线与y 轴的交点．①若点P 在抛物线上，且POC BOC S 4S ∆∆=，求点P 的坐标；②设点Q 是线段AC 上的动点，作QD ⊥x 轴交抛物线于点D ，求线段QD 长度的最大值． 【答案】（1）点B 的坐标为（1，0）. （2）①点P 的坐标为（4，21）或（－4，5）. ②线段QD 长度的最大值为94. 【解析】 【分析】（1）由抛物线的对称性直接得点B 的坐标．（2）①用待定系数法求出抛物线的解析式，从而可得点C 的坐标，得到BOC S ∆，设出点P 的坐标，根据POC BOC S 4S ∆∆=列式求解即可求得点P 的坐标．②用待定系数法求出直线AC 的解析式，由点Q 在线段AC 上，可设点Q 的坐标为(q,-q-3)，从而由QD ⊥x 轴交抛物线于点D ，得点D 的坐标为(q,q 2+2q-3)，从而线段QD 等于两点纵坐标之差，列出函数关系式应用二次函数最值原理求解. 【详解】解：（1）∵A 、B 两点关于对称轴x 1=-对称 ，且A 点的坐标为（－3，0）， ∴点B 的坐标为（1，0）.（2）①∵抛物线a 1=，对称轴为x 1=-，经过点A （－3，0），∴2a 1b12a 9a 3b c 0=⎧⎪⎪-=-⎨⎪-+=⎪⎩，解得a 1b 2c 3=⎧⎪=⎨⎪=-⎩. ∴抛物线的解析式为2y x 2x 3=+-.∴B 点的坐标为（0，－3）.∴OB=1，OC=3.∴BOC 13S 1322∆=⨯⨯=. 设点P 的坐标为(p,p 2+2p-3)，则POC 13S 3p p 22∆=⨯⨯=. ∵POC BOC S 4S ∆∆=，∴3p 62=，解得p 4=±. 当p 4=时2p 2p 321+-=；当p 4=-时，2p 2p 35+-=， ∴点P 的坐标为（4，21）或（－4，5）.②设直线AC 的解析式为y kx b =+，将点A ，C 的坐标代入，得：3k b 0b 3-+=⎧⎨=-⎩，解得：k 1b 3=-⎧⎨=-⎩. ∴直线AC 的解析式为y x 3=--.∵点Q 在线段AC 上，∴设点Q 的坐标为(q,-q-3). 又∵QD ⊥x 轴交抛物线于点D ，∴点D 的坐标为(q,q 2+2q-3).∴()22239QD q 3q 2q 3q 3q q 24⎛⎫=---+-=--=-++ ⎪⎝⎭.∵a 10<=-，-3302<<- ∴线段QD 长度的最大值为94.10．已知二次函数的图象以A （﹣1，4）为顶点，且过点B （2，﹣5） （1）求该函数的关系式；（2）求该函数图象与坐标轴的交点坐标；（3）将该函数图象向右平移，当图象经过原点时，A 、B 两点随图象移至A′、B′，求△O A′B′的面积．【答案】（1）y=﹣x2﹣2x+3；（2）抛物线与x轴的交点为：（﹣3，0），（1，0）（3）15.【解析】【分析】（1）已知了抛物线的顶点坐标，可用顶点式设该二次函数的解析式，然后将B 点坐标代入，即可求出二次函数的解析式；（2）根据函数解析式，令x=0，可求得抛物线与y轴的交点坐标；令y=0，可求得抛物线与x轴交点坐标；（3）由（2）可知：抛物线与x轴的交点分别在原点两侧，由此可求出当抛物线与x轴负半轴的交点平移到原点时，抛物线平移的单位，由此可求出A′、B′的坐标．由于△OA′B′不规则，可用面积割补法求出△OA′B′的面积．【详解】（1）设抛物线顶点式y=a（x+1）2+4，将B（2，﹣5）代入得：a=﹣1，∴该函数的解析式为：y=﹣（x+1）2+4=﹣x2﹣2x+3；（2）令x=0，得y=3，因此抛物线与y轴的交点为：（0，3），令y=0，﹣x2﹣2x+3=0，解得：x1=﹣3，x2=1，即抛物线与x轴的交点为：（﹣3，0），（1，0）；（3）设抛物线与x轴的交点为M、N（M在N的左侧），由（2）知：M（﹣3，0），N（1，0），当函数图象向右平移经过原点时，M与O重合，因此抛物线向右平移了3个单位，故A'（2，4），B'（5，﹣5），∴S△OA′B′=12×（2+5）×9﹣12×2×4﹣12×5×5=15．【点睛】本题考查了用待定系数法求抛物线解析式、函数图象与坐标轴交点、图形面积的求法等知识．熟练掌握待定系数法、函数图象与坐标轴的交点的求解方法、不规则图形的面积的求解方法等是解题的关键.11．抛物线与x轴交于A，B两点（OA＜OB），与y轴交于点C．（1）求点A，B，C的坐标；（2）点P从点O出发，以每秒2个单位长度的速度向点B运动，同时点E也从点O出发，以每秒1个单位长度的速度向点C运动，设点P的运动时间为t秒（0＜t＜2）．①过点E作x轴的平行线，与BC相交于点D（如图所示），当t为何值时，的值最小，求出这个最小值并写出此时点E，P的坐标；②在满足①的条件下，抛物线的对称轴上是否存在点F，使△EFP为直角三角形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）A（2，0），B（4，0），C（0，2）；（2）①t=1时，有最小值1，此时OP=2，OE=1，∴E（0，1），P（2，0）；②F（3，2），（3，7）．【解析】试题分析：（1）在抛物线的解析式中，令y=0，令x=0，解方程即可得到结果；（2）①由题意得：OP=2t，OE=t，通过△CDE∽△CBO得到，即，求得有最小值1，即可求得结果；②存在，求得抛物线的对称方程为x=3，设F（3，m），当△EFP为直角三角形时，①当∠EPF=90°时，②当∠EFP=90°时，③当∠PEF=90°时，根据勾股定理列方程即可求得结果．试题解析：（1）在抛物线的解析式中，令y=0，即，解得：，，∵OA＜OB，∴A（2，0），B（4，0），在抛物线的解析式中，令x=0，得y=2，∴C（0，2）；（2）①由题意得：OP=2t，OE=t，∵DE∥OB，∴△CDE∽△CBO，∴，即，∴DE=4﹣2t，∴===，∵0＜t＜2，始终为正数，且t=1时，有最大值1，∴t=1时，有最小值1，即t=1时，有最小值1，此时OP=2，OE=1，∴E（0，1），P（2，0）；②存在，∵抛物线的对称轴方程为x=3，设F（3，m），∴，=，=，当△EFP为直角三角形时，①当∠EPF=90°时，，即，解得：m=2，②当∠EFP=90°时，，即，解得；m=0或m=1，不合题意舍去，∴当∠EFP=90°时，这种情况不存在，③当∠PEF=90°时，，即，解得：m=7，综上所述，F（3，2），（3，7）．考点：1．二次函数综合题；2．动点型；3．最值问题；4．二次函数的最值；5．分类讨论；6．压轴题．12．如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（4，0）、C（8，0）、D （8，8）.抛物线y=ax2+bx过A、C两点.(1)直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；(2)动点P从点A出发．沿线段AB向终点B运动，同时点Q从点C出发，沿线段CD向终点D运动．速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒.过点P作PE⊥AB交AC于点E①过点E作EF⊥AD于点F，交抛物线于点G.当t为何值时，线段EG最长?②连接EQ．在点P、Q运动的过程中，判断有几个时刻使得△CEQ是等腰三角形?请直接写出相应的t值.【答案】(1)点A的坐标为（4，8）将A (4,8)、C（8，0）两点坐标分别代入y=ax2+bx得8=16a+4b0=64a+8b解得a=,b=4∴抛物线的解析式为：y=-x2+4x（2）①在Rt△APE和Rt△ABC中，tan∠PAE=PEAP=BCAB,即PEAP=48∴PE=AP=t．PB=8-t．∴点Ｅ的坐标为（4+t，8-t）.∴点G 的纵坐标为：-（4+t ）2+4(4+t ）=-t 2+8.∴EG=-t 2+8-(8-t)=-t 2+t.∵-＜0，∴当t=4时，线段EG 最长为2.②共有三个时刻：t 1=163， t 2=4013，t 3=8525+． 【解析】（1）根据题意即可得到点A 的坐标，再由A 、C 两点坐标根据待定系数法即可求得抛物线的解析式；（2）①在Rt △APE 和Rt △ABC 中，由tan ∠PAE ，即可表示出点E 的坐标，从而得到点G 的坐标，EG 的长等于点G 的纵坐标减去点E 的纵坐标，得到一个函数关系式，根据函数关系式的特征即可求得结果；②考虑腰和底，分情况讨论．13．如图，已知二次函数y=ax 2+bx+3 的图象与x 轴分别交于A(1,0)，B(3,0)两点，与y 轴交于点C（1）求此二次函数解析式；（2）点D 为抛物线的顶点，试判断△BCD 的形状，并说明理由；（3）将直线BC 向上平移t(t>0)个单位，平移后的直线与抛物线交于M ，N 两点（点M 在y 轴的右侧），当△AMN 为直角三角形时，求t 的值． 【答案】（1）243y x x =-+；（2）△BCD 为直角三角形，理由见解析；（3）当△AMN为直角三角形时，t 的值为1或4．【解析】 【分析】（1）根据点A 、B 的坐标，利用待定系数法即可求出二次函数解析式；（2）利用配方法及二次函数图象上点的坐标特征，可求出点C 、D 的坐标，利用两点间的距离公式可求出CD 、BD 、BC 的长，由勾股定理的逆定理可证出△BCD 为直角三角形； （3）根据点B 、C 的坐标，利用待定系数法可求出直线BC 的解析式，进而可找出平移后直线的解析式，联立两函数解析式成方程组，通过解方程组可找出点M 、N 的坐标，利用两点间的距离公式可求出AM 2、AN 2、MN 2的值，分别令三个角为直角，利用勾股定理可得出关于t 的无理方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）将()1,0A 、()3,0B 代入23y ax bx =++，得：309330a b a b ++=⎧⎨++=⎩，解得：14a b =⎧⎨=-⎩， ∴此二次函数解析式为243y x x =-+．（2）BCD ∆为直角三角形，理由如下：()224321y x x x Q =-+=--， ∴顶点D 的坐标为()2,1-．当0x =时，2433y x x =-+=，∴点C 的坐标为()0,3．Q 点B 的坐标为()3,0，BC ∴==，BD ==，CD ==22220BC BD CD +==Q ，90CBD ∴∠=︒，BCD ∴∆为直角三角形．（3）设直线BC 的解析式为()0y kx c k =+≠， 将()3,0B ，()0,3C 代入y kx c =+，得：303k c c +=⎧⎨=⎩，解得：13k c =-⎧⎨=⎩， ∴直线BC 的解析式为3y x =-+，∴将直线BC 向上平移t 个单位得到的直线的解析式为3y x t =-++．联立新直线与抛物线的解析式成方程组，得：2343y x ty x x =-++⎧⎨=-+⎩，解得：1132322x t y ⎧+=⎪⎪⎨+-⎪=⎪⎩，2232322x t y ⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，∴点M 的坐标为，点N 的坐标为，3294)2t t+++．Q 点A 的坐标为()1,0，()22223943294105719422t t t AM t t t t ⎛⎫⎛⎫+++-+∴=-+-=++-++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()22223943294105719422t t t AN t t t t ⎛⎫⎛⎫-++++=-+-=+++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，222394394329432941882222t t t t t tMN t ⎛⎫⎛⎫-+++++++-+=-+-=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． AMN ∆Q 为直角三角形， ∴分三种情况考虑：①当90MAN ∠=︒时，有222AM AN MN +=，即()()225719457194188t t t t t t t t t ++-++++++++=+，整理，得：220t t +-=，解得：11t =，22t =-（不合题意，舍去）； ②当90AMN ∠=︒时，有222AM MN AN +=，即()()225719418857194t t t t t t t t t ++-++++=+++++，整理，得：2280t t --=，解得：14t =，22t =-（不合题意，舍去）； ③当90ANM ∠=︒时，有222AN MN AN +=，即()()225719418857194t t t t t t t t t +++++++=++-++，整理，得：()941940t t t ++++=．0t >Q ，∴该方程无解（或解均为增解）．综上所述：当AMN ∆为直角三角形时，t 的值为1或4． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、待定系数法求一次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、勾股定理以及勾股定理的逆定理，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式；（2）利用两点间的距离公式结合勾股定理的逆定理找出BC 2+BD 2=CD 2；（3）分∠MAN =90°、∠AMN =90°及∠ANM =90°三种情况考虑．14．一次函数y ＝x 的图象如图所示，它与二次函数y ＝ax 2－4ax ＋c 的图象交于A 、B 两点（其中点A 在点B 的左侧），与这个二次函数图象的对称轴交于点C ．（1）求点C的坐标；（2）设二次函数图象的顶点为D．①若点D与点C关于x轴对称，且△ACD的面积等于3，求此二次函数的关系式；②若CD＝AC，且△ACD的面积等于10，求此二次函数的关系式．【答案】（1）点C（2，）；（2）①y＝x2－x；②y＝－x2＋2x＋．【解析】试题分析：（1）求得二次函数y＝ax2－4ax＋c对称轴为直线x＝2，把x＝2代入y＝x求得y=，即可得点C的坐标；（2）①根据点D与点C关于x轴对称即可得点D的坐标，并且求得CD的长，设A（m，m），根据S△ACD＝3即可求得m的值，即求得点A的坐标，把A.D的坐标代入y＝ax2－4ax＋c得方程组，解得a、c的值即可得二次函数的表达式.②设A（m，m）（m<2），过点A作AE⊥CD于E，则AE＝2－m，CE＝－m，根据勾股定理用m表示出AC的长，根据△ACD的面积等于10可求得m的值，即可得A 点的坐标，分两种情况：第一种情况，若a＞0，则点D在点C下方，求点D的坐标；第二种情况，若a＜0，则点D在点C上方，求点D的坐标，分别把A、D的坐标代入y＝ax2－4ax＋c即可求得函数表达式.试题解析：（1）y＝ax2－4ax＋c＝a（x－2）2－4a＋c．∴二次函数图像的对称轴为直线x ＝2．当x＝2时，y＝x＝，∴C（2，）．（2）①∵点D与点C关于x轴对称，∴D（2，－），∴CD＝3.设A（m，m）（m<2），由S△ACD＝3，得×3×（2－m）＝3，解得m＝0，∴A（0，0）.由A（0，0）、 D（2，－）得解得a＝，c＝0.∴y＝x2－x.②设A（m，m）（m<2），过点A作AE⊥CD于E，则AE＝2－m，CE＝－m，AC＝＝（2－m），∵CD＝AC，∴CD＝（2－m）.由S△ACD＝10得×（2－m）2＝10，解得m＝－2或m＝6（舍去），∴m＝－2．∴A（－2，－），CD＝5.若a＞0，则点D在点C下方，∴D（2，－），由A（－2，－）、D（2，－）得解得∴y＝x2－x－3.若a＜0，则点D在点C上方，∴D（2，），由A（－2，－）、D（2，）得解得∴y＝－x2＋2x＋.考点：二次函数与一次函数的综合题.15．如图，抛物线y=ax2+c（a≠0）经过C（2，0），D（0，﹣1）两点，并与直线y=kx交于A、B两点，直线l过点E（0，﹣2）且平行于x轴，过A、B两点分别作直线l的垂线，垂足分别为点M、N．（1）求此抛物线的解析式；（2）求证：AO=AM；（3）探究：①当k=0时，直线y=kx与x轴重合，求出此时的值；②试说明无论k取何值，的值都等于同一个常数．【答案】解：（1）y=x2﹣1（2）详见解析（3）详见解析【解析】【分析】（1）把点C、D的坐标代入抛物线解析式求出a、c，即可得解。
(2021年整理)2014年全国各地中考数学试题分类汇编：13二次函数
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( 2014•广东，第10题3分）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图，关于该二次函数,下列说法错误的是（）A．函数有最小值B．对称轴是直线x=C．当x＜，y随x的增大而减小D．当﹣1＜x＜2时，y＞0考点：二次函数的性质．分析:根据抛物线的开口方向,利用二次函数的性质判断A;根据图形直接判断B；根据对称轴结合开口方向得出函数的增减性，进而判断C；根据图象,当﹣1＜x＜2时，抛物线落在x轴的下方,则y＜0，从而判断D．解答:解：A、由抛物线的开口向下，可知a＜0,函数有最小值，正确，故本选项不符合题意；B、由图象可知，对称轴为x=,正确,故本选项不符合题意;C、因为a＞0,所以，当x＜时,y随x的增大而减小,正确,故本选项不符合题意；D、由图象可知,当﹣1＜x＜2时，y＜0，错误，故本选项符合题意．故选D．点评：本题考查了二次函数的图象和性质,解题的关键是利用数形结合思想解题．2。
二次函数综合应用题(有答案)中考题必练经典(学有余力的看)
函数综合应用题题目分析及题目对学生的要求1. 求解析式：要求能够根据题意建立相应坐标系，将实际问题转化成数学问题。
需要注意的是：(1) 不能忘记写自变量的取值范围(需要用的前提下)(2) 在考虑自变量的取值范围时要结合它所代表的实际意义。
2. 求最值：实际生活中的最值能够指导人们进行决策，这一问要求能够熟练地对二次三项式进行配方，利用解析式探讨实际问题中的最值问题。
（一般式化为定点式）最值的求法：(1) 一次函数和反比例函数中求最值是根据函数在自变量取值范围内的增减性来确定的。
(2) 二次函数求最值是将解析式配方后，结合自变量取值范围来确定的。
3. 求范围，要求学生利用解析式求实际问题中的范围问题，主要是将函数与不等式结合起来。
推荐思路：画出不等式左右两边的图象，结合函数图象求出x 的取值范围。
备选思路一：先将不等号看做等号，求出x 的取值，再结合图象考虑将等号还原为不等号后x 的取值范围；备选思路二：通过分类讨论或者其它方法，直接解出这个不等式。
这一问里需要注意的是在注意：最后下结论时一定要结合它的实际意义和前面所求得的自变量取值范围进行判断。
一、求利润的最值1. (本题满分10分) 某宾馆有50个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天180元时，房间会全部住满。
当每个房间每天的房价每增加10元时，就会有一个房间空闲。
宾馆需对游客居住的每个房间每天支出20元的各种费用。
根据规定，每个房间每天的房价不得高于340元。
设每个房间的房价每天增加x 元(x 为10的正整数倍)。
(1) 设一天订住的房间数为y ，直接写出y 与x 的函数关系式及自变量x 的取值范围；(2) 设宾馆一天的利润为w 元，求w 与x 的函数关系式；(3) 一天订住多少个房间时，宾馆的利润最大？最大利润是多少元？解：(1) y=50-101x (0≤x ≤160，且x 是10的整数倍)。
(2) W=(50-101x)(180+x -20)= -101x 2+34x +8000； (3) W= -101x 2+34x +8000= -101(x -170)2+10890， 当x<170时，W 随x 增大而增大，但0≤x ≤160，∴当x=160时，W 最大=10880，当x=160时，y=50-101x=34。
中考数学专题复习二次函数的综合题及答案解析
中考数学专题复习二次函数的综合题及答案解析一、二次函数1．如图，对称轴为直线x 1=-的抛物线()2y ax bx c a 0=++≠与x 轴相交于A 、B 两点，其中A 点的坐标为（－3，0）．（1）求点B 的坐标；（2）已知a 1=，C 为抛物线与y 轴的交点．①若点P 在抛物线上，且POC BOC S 4S ∆∆=，求点P 的坐标；②设点Q 是线段AC 上的动点，作QD ⊥x 轴交抛物线于点D ，求线段QD 长度的最大值．【答案】（1）点B 的坐标为（1，0）.（2）①点P 的坐标为（4，21）或（－4，5）.②线段QD 长度的最大值为94. 【解析】【分析】（1）由抛物线的对称性直接得点B 的坐标．（2）①用待定系数法求出抛物线的解析式，从而可得点C 的坐标，得到BOC S ∆，设出点P 的坐标，根据POC BOC S 4S ∆∆=列式求解即可求得点P 的坐标．②用待定系数法求出直线AC 的解析式，由点Q 在线段AC 上，可设点Q 的坐标为(q,-q-3)，从而由QD ⊥x 轴交抛物线于点D ，得点D 的坐标为(q,q 2+2q-3)，从而线段QD 等于两点纵坐标之差，列出函数关系式应用二次函数最值原理求解.【详解】解：（1）∵A 、B 两点关于对称轴x 1=-对称 ，且A 点的坐标为（－3，0）， ∴点B 的坐标为（1，0）.（2）①∵抛物线a 1=，对称轴为x 1=-，经过点A （－3，0）， ∴2a 1b 12a 9a 3b c 0=⎧⎪⎪-=-⎨⎪-+=⎪⎩，解得a 1b 2c 3=⎧⎪=⎨⎪=-⎩.∴抛物线的解析式为2y x 2x 3=+-.∴B 点的坐标为（0，－3）.∴OB=1，OC=3.∴BOC 13S 1322∆=⨯⨯=. 设点P 的坐标为(p,p 2+2p-3)，则POC 13S 3p p 22∆=⨯⨯=. ∵POC BOC S 4S ∆∆=，∴3p 62=，解得p 4=±. 当p 4=时2p 2p 321+-=；当p 4=-时，2p 2p 35+-=，∴点P 的坐标为（4，21）或（－4，5）.②设直线AC 的解析式为y kx b =+，将点A ，C 的坐标代入，得：3k b 0b 3-+=⎧⎨=-⎩，解得：k 1b 3=-⎧⎨=-⎩. ∴直线AC 的解析式为y x 3=--.∵点Q 在线段AC 上，∴设点Q 的坐标为(q,-q-3).又∵QD ⊥x 轴交抛物线于点D ，∴点D 的坐标为(q,q 2+2q-3).∴()22239QD q 3q 2q 3q 3q q 24⎛⎫=---+-=--=-++ ⎪⎝⎭. ∵a 10<=-，-3302<<-∴线段QD 长度的最大值为94.2．童装店销售某款童装,每件售价为60元,每星期可卖100件,为了促销该店决定降价销售,经市场调查发现：每降价1元,每星期可多卖10件,已知该款童装每件成本30元,设降价后该款童装每件售价x 元,每星期的销售量为y 件.(1)降价后,当某一星期的销售量是未降价前一星期销售量的3倍时，求这一星期中每件童装降价多少元?(2)当每件售价定为多少元时,一星期的销售利润最大,最大利润是多少?【答案】（1）这一星期中每件童装降价20元；（2）每件售价定为50元时，一星期的销售利润最大，最大利润4000元．【解析】【分析】（1）根据售量与售价x （元/件）之间的关系列方程即可得到结论．（2）设每星期利润为W 元，构建二次函数利用二次函数性质解决问题．【详解】解：（1）根据题意得，（60﹣x ）×10+100＝3×100，解得：x ＝40，60﹣40＝20元，答：这一星期中每件童装降价20元；（2）设利润为w ，根据题意得，w ＝（x ﹣30）[（60﹣x ）×10+100]＝﹣10x 2+1000x ﹣21000＝﹣10（x ﹣50）2+4000，答：每件售价定为50元时，一星期的销售利润最大，最大利润4000元．【点睛】本题考查二次函数的应用，一元二次不等式，解题的关键是构建二次函数解决最值问题，利用图象法解一元二次不等式，属于中考常考题型．3．如图，在平面直角坐标系中，二次函数2y ax bx c =++交x 轴于点()4,0A -、()2,0B ，交y 轴于点()0,6C ，在y 轴上有一点()0,2E -，连接AE .（1）求二次函数的表达式；（2）若点D 为抛物线在x 轴负半轴上方的一个动点，求ADE ∆面积的最大值； （3）抛物线对称轴上是否存在点P ，使AEP ∆为等腰三角形，若存在，请直接写出所有P 点的坐标，若不存在请说明理由.【答案】（1）二次函数的解析式为233642y x x =--+；（2）当23x =-时，ADE ∆的面积取得最大值503；（3）P 点的坐标为()1,1-，(1,11-，(1,219--. 【解析】分析：（1）把已知点坐标代入函数解析式，得出方程组求解即可；（2）根据函数解析式设出点D 坐标，过点D 作DG ⊥x 轴，交AE 于点F ，表示△ADE 的面积，运用二次函数分析最值即可；（3）设出点P 坐标，分PA =PE ，PA =AE ，PE =AE 三种情况讨论分析即可．详解：（1）∵二次函数y =ax 2+bx +c 经过点A （﹣4，0）、B （2，0），C （0，6）， ∴16404206a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=⎩，解得：34326a b c ⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎪⎩， 所以二次函数的解析式为：y =233642x x --+； （2）由A （﹣4，0），E （0，﹣2），可求AE 所在直线解析式为y =122x --， 过点D 作DN ⊥x 轴，交AE 于点F ，交x 轴于点G ，过点E 作EH ⊥DF ，垂足为H ，如图，设D （m ，233642m m --+），则点F （m ，122m --）， ∴DF =233642m m --+﹣（122m --）=2384m m --+， ∴S △ADE =S △ADF +S △EDF =12×DF ×AG +12DF ×EH =12×DF ×AG +12×DF ×EH =12×4×DF =2×（2384m m --+） =23250233m -++（）， ∴当m =23-时，△ADE 的面积取得最大值为503． （3）y =233642x x --+的对称轴为x =﹣1，设P （﹣1，n ），又E （0，﹣2），A （﹣4，0），可求PA 29n +PE 212n ++（）AE 16425+=，分三种情况讨论：当PA =PE 时，29n +=212n ++（），解得：n =1，此时P （﹣1，1）； 当PA =AE 时，29n +=16425+=，解得：n =11±，此时点P 坐标为（﹣1，11±）；当PE =AE 时，212n ++（）=16425+=，解得：n =﹣219±，此时点P 坐标为：（﹣1，﹣219±）．综上所述：P 点的坐标为：（﹣1，1），（﹣1，11±），（﹣1，﹣219±）．点睛：本题主要考查二次函数的综合问题，会求抛物线解析式，会运用二次函数分析三角形面积的最大值，会分类讨论解决等腰三角形的顶点的存在问题时解决此题的关键．4．二次函数y=x 2-2mx+3（m ＞）的图象与x 轴交于点A （a ，0）和点B （a+n ，0）（n ＞0且n 为整数），与y 轴交于C 点．（1）若a=1，①求二次函数关系式；②求△ABC 的面积；（2）求证：a=m-；（3）线段AB （包括A 、B ）上有且只有三个点的横坐标是整数，求a 的值．【答案】（1）y=x 2-4x+3；3；（2）证明见解析；（3）a=1或a=−．【解析】试题分析：（1）①首先根据a=1求得A 的坐标，然后代入二次函数的解析式，求得m 的值即可确定二次函数的解析式；②根据解析式确定抛物线与坐标轴的交点坐标，从而确定三角形的面积；（2）将原二次函数配方后即可确定其对称轴为x=m ，然后根据A 、B 两点关于x=m 对称得到a+n-m=m-a ，从而确定a 、m 、n 之间的关系；（3）根据a=m-得到A （m-，0）代入y=（x-m ）2-m 2+3得0=（m--m ）2-m 2+3，求得m 的值即可确定a 的值．试题解析：（1）①∵a=1，∴A （1，0），代入y=x 2-2mx+3得1-2m+3=0，解得m=2，∴y=x 2-4x+3；②在y=x 2-4x+3中，当y=0时，有x 2-4x+3=0可得x=1或x=3，∴A （1，0）、B （3，0），∴AB=2再根据解析式求出C 点坐标为（0，3），∴OC=3，△ABC 的面积=×2×3=3；（2）∵y=x 2-2mx+3=（x-m ）2-m 2+3，∴对称轴为直线x=m，∵二次函数y=x2-2mx+3的图象与x轴交于点A和点B∴点A和点B关于直线x=m对称，∴a+n-m=m-a，∴a=m-；（3）y=x2-2mx+3（m＞）化为顶点式为y=（x-m）2-m2+3（m＞）①当a为整数，因为n＞0且n为整数所以a+n是整数，∵线段AB（包括A、B）上有且只有三个点的横坐标是整数，∴n=2，∴a=m-1，∴A（m-1，0）代入y=（x-m）2-m2+3得（x-m）2-m2+3=0，∴m2-4=0，∴m=2，m=-2（舍去），∴a=2-1=1，②当a不是整数，因为n＞0且n为整数所以a+n不是整数，∵线段AB（包括A、B）上有且只有三个点的横坐标是整数，∴n=3，∴a=m-∴A（m-，0）代入y=（x-m）2-m2+3得0=（m--m）2-m2+3，∴m2=，∴m=，m=-（舍去），∴a=−，综上所述：a=1或a=−．考点：二次函数综合题．5．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣2x+a﹣3，当a＝0时，抛物线与y轴交于点A，将点A向右平移4个单位长度，得到点B．（1）求点B的坐标；（2）将抛物线在直线y＝a上方的部分沿直线y＝a翻折，图象的其他部分保持不变，得到一个新的图象，记为图形M，若图形M与线段AB恰有两个公共点，结合函数的图象，求a的取值范围．【答案】（1）A（0，﹣3），B（4，﹣3）；（2）﹣3＜a≤0；【解析】【分析】（1）由题意直接可求A，根据平移点的特点求B；（2）图形M与线段AB恰有两个公共点，y＝a要在AB线段的上方，当函数经过点A时，AB与函数两个交点的临界点；【详解】解：（1）A（0，﹣3），B（4，﹣3）；（2）当函数经过点A时，a＝0，∵图形M与线段AB恰有两个公共点，∴y＝a要在AB线段的上方，∴a＞﹣3∴﹣3＜a≤0；【点睛】本题二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数图象的特点，函数与线段相交的交点情况是解题的关键．6．（10分）（2015•佛山）如图，一小球从斜坡O点处抛出，球的抛出路线可以用二次函数y=﹣x2+4x刻画，斜坡可以用一次函数y=x刻画．（1）请用配方法求二次函数图象的最高点P的坐标；（2）小球的落点是A，求点A的坐标；（3）连接抛物线的最高点P与点O、A得△POA，求△POA的面积；（4）在OA上方的抛物线上存在一点M（M与P不重合），△MOA的面积等于△POA的面积．请直接写出点M的坐标．【答案】（1）（2，4）；（2）（，）；（3）；（4）（，）．【解析】试题分析：（1）利用配方法抛物线的一般式化为顶点式，即可求出二次函数图象的最高点P的坐标；（2）联立两解析式，可求出交点A的坐标；（3）作PQ⊥x轴于点Q，AB⊥x轴于点B．根据S△POA=S△POQ+S△梯形PQBA﹣S△BOA，代入数值计算即可求解；（4）过P作OA的平行线，交抛物线于点M，连结OM、AM，由于两平行线之间的距离相等，根据同底等高的两个三角形面积相等，可得△MOA的面积等于△POA的面积．设直线PM的解析式为y=x+b，将P（2，4）代入，求出直线PM的解析式为y=x+3．再与抛物线的解析式联立，得到方程组，解方程组即可求出点M的坐标．试题解析：（1）由题意得，y=﹣x2+4x=﹣（x﹣2）2+4，故二次函数图象的最高点P的坐标为（2，4）；（2）联立两解析式可得：，解得：，或．故可得点A的坐标为（，）；（3）如图，作PQ⊥x轴于点Q，AB⊥x轴于点B．S△POA=S△POQ+S△梯形PQBA﹣S△BOA=×2×4+×（+4）×（﹣2）﹣××=4+﹣=；（4）过P作OA的平行线，交抛物线于点M，连结OM、AM，则△MOA的面积等于△POA的面积．设直线PM的解析式为y=x+b，∵P的坐标为（2，4），∴4=×2+b，解得b=3，∴直线PM的解析式为y=x+3．由，解得，，∴点M的坐标为（，）．考点：二次函数的综合题7．已知二次函数的图象以A（﹣1，4）为顶点，且过点B（2，﹣5）（1）求该函数的关系式；（2）求该函数图象与坐标轴的交点坐标；（3）将该函数图象向右平移，当图象经过原点时，A、B两点随图象移至A′、B′，求△O A′B′的面积．【答案】（1）y=﹣x2﹣2x+3；（2）抛物线与x轴的交点为：（﹣3，0），（1，0）（3）15.【解析】【分析】（1）已知了抛物线的顶点坐标，可用顶点式设该二次函数的解析式，然后将B 点坐标代入，即可求出二次函数的解析式；（2）根据函数解析式，令x=0，可求得抛物线与y轴的交点坐标；令y=0，可求得抛物线与x轴交点坐标；（3）由（2）可知：抛物线与x轴的交点分别在原点两侧，由此可求出当抛物线与x轴负半轴的交点平移到原点时，抛物线平移的单位，由此可求出A′、B′的坐标．由于△OA′B′不规则，可用面积割补法求出△OA′B′的面积．【详解】（1）设抛物线顶点式y=a（x+1）2+4，将B（2，﹣5）代入得：a=﹣1，∴该函数的解析式为：y=﹣（x+1）2+4=﹣x2﹣2x+3；（2）令x=0，得y=3，因此抛物线与y轴的交点为：（0，3），令y=0，﹣x2﹣2x+3=0，解得：x1=﹣3，x2=1，即抛物线与x轴的交点为：（﹣3，0），（1，0）；（3）设抛物线与x轴的交点为M、N（M在N的左侧），由（2）知：M（﹣3，0），N（1，0），当函数图象向右平移经过原点时，M 与O 重合，因此抛物线向右平移了3个单位， 故A'（2，4），B'（5，﹣5），∴S △OA′B′=12×（2+5）×9﹣12×2×4﹣12×5×5=15．【点睛】本题考查了用待定系数法求抛物线解析式、函数图象与坐标轴交点、图形面积的求法等知识．熟练掌握待定系数法、函数图象与坐标轴的交点的求解方法、不规则图形的面积的求解方法等是解题的关键.8．如图，已知直线y kx 6=-与抛物线2y ax bx c =++相交于A ，B 两点，且点A （1，－4）为抛物线的顶点，点B 在x 轴上。