苏科版数学七年级下册7.4认识三角形同步练习含详细答案
苏科版七年级数学下册第七章 认识三角形 附答案
1. 看较短的两条线段的和是否大于最长的线段，若是，则
能组成三角形；反之， 则不能组成三角形.
2. 看最长的线段减去最短的线段的差是否小于第三条线段，
若是，则能组成三角形；反之，则不能组成三角形.
感悟新知
知识点 4 三角形的角平分线、中线、高
知4－讲
1. 三角形的角平分线、中线和高是三角形中的三种重要线 段，它们是研究三角形的一些特征的基础，我们需要从 不同的角度进行理解，列表如下：
注意 在三角形的 事项 内部
(1)与角的平分线不同 (2)在三角形的内部
(1)与边的垂线不同 (2)不一定在三角形 的内部
重要 特征
一个三角形有 三条中线，它
●●
们相交于三角 形内一点
●●●●
一个三角形有三条角 ●●
平分线，它们相交于 ●● ●
三角形内一点 ●● ● ●● ●
三角形的三条高所 ●●
在的直线相交于一 ●● ●●● ●
感悟新知
(2)三边长满足(a-b)(b-c)=0. 解：因为(a-b)(b-c)=0， 所以a-b=0 或b-c=0. 所以a=b 或b=c. 所以△ ABC 为等腰三角形.
知2－讲
感悟新知
知2－讲
解题秘方：要判断三角形的形状，可根据“边是否 相等”来判断，所以从条件中分析出三 边长的关系是解决本题的关键.
感悟新知
知2－讲
“a=b 且b=c”与“a=b或b=c”得到的结论是不一样的. 方法点拨：
从边的角度判断三角形的形状，若只能判定两条边 相等，则此三角形是等腰三角形，若能判定三边相等， 则此三角形是等边三角形.
感悟新知
知识点 3 三角形的三边关系
知3－讲
1. 三角形的三边关系 三角形的任意两边之和大于第三边. 我们可以从不同的角度理解，列表如下：
2018-2019年最新苏教版七年级数学下册《认识三角形》同步练习题及答案解析一(精品试卷)
苏教版2017-2018学年七年级下册 第7章《平面图形的认识（二）》7.4 认识三角形 填空题 1．在直角三角形、钝角三角形和锐角三角形这三种三角形中，有两条高在三角形外部的是 三角形．2．如图，对面积为1的△ABC 逐次进行以下操作：第一次操作，分别延长AB ，BC ，CA 至点A 1，B 1，C 1，使得A 1B=2AB ，B 1C=2BC ，C 1A=2CA ，顺次连接A 1，B 1，C 1，得到△A 1B 1C 1，记其面积为S 1；第二次操作，分别延长A 1B 1，B 1C 1，C 1A 1至点A 2，B 2，C 2，使得A 2B 1=2A 1B 1，B 2C 1=2B 1C 1，C 2A 1=2C 1A 1，顺次连接A 2，B 2，C 2，得到△A 2B 2C 2，记其面积为S 2；…；按此规律继续下去，可得到△A 5B 5C 5，则其面积S 5= ．3．如图，AD 是△ABC 的中线，如果△ABC 的面积是18cm 2，则△ADC 的面积是 cm 2．4．如图，AD 是△ABC 的中线，△ABC 的面积为100cm 2，则△ABD的面积是cm2．5．在△ABC中，AD是中线，则△ABD的面积△ACD 的面积．（填“＞”，“＜”或“=”）6．如图，在△ABC中，已知点D，E，F分别为边BC，AD，CE的中点，且S△ABC =4cm2，则S阴影= cm2．7．已知方格纸中的每个小方格是边长为1的正方形，A，B两点在小方格的顶点上，位置如图所示，在小方格的顶点上确定一点C，连接AB，AC，BC，使△ABC的面积为3个平方单位．则这样的点C共有个．8．要使五边形木架（用5根木条钉成）不变形，至少要再钉根木条．9．在△ABC中，已知两条边a=3，b=4，则第三边c的取值范围是．10．两根木棒的长分别为7cm和10cm，要选择第三根木棒，将它们钉成一个三角形框架，那么第三根木棒长xcm的范围是．11．以10cm，8cm为两边，第三边长为整数的三角形共有个．12．已知三角形的三边长为3，5，x，则第三边x的取值范围是．13．若三角形的三边长分别是5，a，7，则a的取值范围为＜a＜．14．一个三角形的两边长分别为2厘米和9厘米，若第三边的长为奇数，则第三边的长为厘米．15．甲地离学校4km，乙地离学校1km，记甲乙两地之间的距离为dkm，则d的取值范围为．16．三角形的两边的长分别为2cm和7cm，若第三边的长为奇数，则三角形的周长是cm．解答题17．如图，是一个食品包装盒的表面展开图．（1）请写出这个包装盒的多面体形状的名称；（2）请根据图中所标示的尺寸，计算这个多面体的侧面积和全面积．（侧面积与两个底面积之和）18．如图①所示，已知直线m∥n，A，B为直线n上的两点，C，D为直线m上的两点．（1）写出图中面积相等的各对三角形；（2）如果A，B，C为三个定点，点D在m上移动，那么无论D点移动到任何位置，总有与△ABC的面积相等，理由是．解决以下问题：如图②所示，五边形ABCDE是张大爷十年前承包的一块土地的示意图，经过多年开垦荒地，现已变成如图③所示的形状，但承包土地与开垦荒地的分界小路（即图中的折线CDE）还保留着．张大爷想过E点修一条直路，使直路左边的土地面积与承包时的一样多，右边的土地面积与开垦荒地面积一样多．请你用相关的几何知识，按张大爷的要求设计出修路方案．（不计分界小路与直路的占地面积）（3）写出设计方案，并在图③中画出相应的图形；（4）说明方案设计的理由．19．我们把能平分四边形面积的直线称为“好线”．利用下面的作图，可以得到四边形的“好线”：在四边形ABCD 中，取对角线BD 的中点O ，连接OA 、OC ．显然，折线AOC 能平分四边形ABCD 的面积，再过点O 作OE ∥AC 交CD 于E ，则直线AE 即为一条“好线”．（1）试说明直线AE 是“好线”的理由；（2）如下图，AE 为一条“好线”，F 为AD 边上的一点，请作出经过F 点的“好线”，并对画图作适当说明（不需要说明理由）．20．探索：在如图1至图3中，△ABC 的面积为a ．（1）如图1，延长△ABC 的边BC 到点D ，使CD=BC ，连接DA ．若△ACD 的面积为S 1，则S 1= （用含a 的代数式表示）；（2）如图2，延长△ABC 的边BC 到点D ，延长边CA 到点E ，使CD=BC ，AE=CA ，连接DE ．若△DEC 的面积为S 2，则S 2= （用含a 的代数式表示），并写出理由；（3）在图2的基础上延长AB 到点F ，使BF=AB ，连接FD ，FE ，得到△DEF （如图3）．若阴影部分的面积为S 3，则S 3= （用含a 的代数式表示）．像上面那样，将△ABC 各边均顺次延长一倍，连接所得端点，得到△DEF （如图3），此时，我们称△ABC 向外扩展了一次．可以发现，扩展一次后得到的△DEF 的面积是原来△ABC 面积的 倍．应用：去年在面积为10m 2的△ABC 空地上栽种了某种花卉．今年准备扩大种植规模，把△ABC 向外进行两次扩展，第一次由△ABC 扩展成△DEF ，第二次由△DEF 扩展成△MGH （如图4）．求这两次扩展的区域（即阴影部分）面积共为多少m 2？21．探究规律： 如图，已知直线m ∥n ，A ，B 为直线m 上的两点，C ，P 为直线n 上两点．（1）请写出图中面积相等的各对三角形： ．（2）如果A ，B ，C 为三个定点，点P 在n 上移动，那么，无论P 点移动到任何位置，总有 与△ABC 的面积相等．理由是： ．答案：填空题1、钝角2、解：连接A 1C ，根据A 1B=2AB ，得到：AB ：A 1A=1：3，因而若过点B ，A 1作△ABC 与△AA 1C 的AC 边上的高，则高线的比是1：3，因而面积的比是1：3，则△A 1BC 的面积是△ABC 的面积的2倍， 设△ABC 的面积是a ，则△A 1BC 的面积是2a ，同理可以得到△A 1B 1C 的面积是△A 1BC 面积的2倍，是4a ， 则△A 1B 1B 的面积是6a ，同理△B 1C 1C 和△A 1C 1A 的面积都是6a ，△A 1B 1C 1的面积是19a ，即△A 1B 1C 1的面积是△ABC 的面积的19倍，同理△A 2B 2C 2的面积是△A 1B 1C 1的面积的19倍，即△A 1B 1C 1的面积是19，△A 2B 2C 2的面积192，依此类推，△A 5B 5C 5的面积是S 5=195=2476099．3、94、505、=6、解：∵点E 是AD 的中点，∴△BDE 的面积是△ABD 的面积的一半，△CDE 的面积是△ACD 的面积的一半．则△BCE 的面积是△ABC 的面积的一半，即为2cm 2．∵点F 是CE 的中点，∴阴影部分的面积是△BCE 的面积的一半，即为1cm 2．7、分析：首先在AB 的两侧各找一个点，使得三角形的面积是3．再根据两条平行线间的距离相等，过两侧的点作AB 的平行线，交了几个格点就有几个点．解：如图，符合条件的点有4个．8、解：再钉上两根木条，就可以使五边形分成三个三角形．故至少要再钉2 根木条． 9、解：三角形两边的和＞第三边，两边的差＜第三边．则4-3＜c ＜4+3，即1＜c ＜7 ．10、3＜x＜17 11、1512、2＜x＜8 13、2＜a＜12 14、9 15、3≤d≤5 16、16解答题17、解：（1）根据图示可知形状为直六棱柱．（2）S侧=6ab，S正六边形=3 32b²，S全=6ab+3 3 b²．18、分析：（1）利用三角形的面积公式=底乘高除2，可知△ABC 和△ABD，△AOC和△BOD，△CDA和△CDB面积相等．（2）因为平行线间的距离处处相等，所以无论点D在m上移动到何位置，总有△ABD与△ABC同底等高，因此它们的面积相等．（3）可利用三角形的面积公式和平行线的性质进行设计．这里就要添加辅助线．连接EC，过D作DF∥EC交CM于点F，连接EF然后证明即可．解：（1）△ABC和△ABD，△AOC和△BOD，△CDA和△CDB．（2）总有△ABD与△ABC的面积相等，理由是平行线间的距离处处相等；（3）如图所示，连接EC，过D作DF∥EC交CM于点F，连接EF，则EF即为所求直线．（4）设EF 交CD 于点H ，由（1），（2）知S △ECF =S △ECD ，所以S △ECF -S △ECH =S △ECD -S △ECH ，所以S △HCF =S △EDH ，所以S 五边形ABCDE =S 四边形ABFE ，S 五边形EDCMN =S 四边形EFMN ．错误！未找到引用源。
苏科版2020-2021学年七年级数学下册7.4认识三角形考点同步训练(含答案)
苏科版2020-2021 学年七年级数学下册7.4 认识三角形考点同步训练考点一．三角形：1.如图，图中直角三角形共有（）A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个2.某同学在纸上画了四个点，如果把这四个点彼此连接，连成一个图形，则这个图形中会有个三角形出现．3.如图，直角三角形的个数为．4.过A、B、C、D、E 五个点中任意三点画三角形；（1）其中以AB 为一边可以画出个三角形；（2）其中以C 为顶点可以画出个三角形．考点二．三角形的角平分线、中线和高：5.用三角板作△ABC 的边BC 上的高，下列三角板的摆放位置正确的是（）A．B．C．D．6.以下是四位同学在钝角三角形△ABC 中画AC 边上的高，其中正确的是（）A．B．C．D．7.在数学课上，同学们在练习画边AC 上的高时，出现下列四种图形，其中正确的是（）A．B．C．D．8.如图，△ABC 中，∠BAC 是钝角，AD⊥BC、EB⊥BC、FC⊥BC，则下列说法正确的是（）A．AD 是△ABC 的高B．EB 是△ABC 的高C．FC 是△ABC 的高D．AE、AF 是△ABC 的高9.如图，已知P 为直线l 外一点，点A、B、C、D 在直线l 上，且PA＞PB＞PC＞PD，下列说法正确的是（）A．线段PD 的长是点P 到直线l 的距离B．线段PC 可能是△PAB 的高C．线段PD 可能是△PBC 的高D．线段PB 可能是△PAC 的高10.如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．等边三角形11．如图，在四边形ABCD 中，AB∥CD，3AB＝4AD＝6CD，E 为AB 的中点．萧钟同学用无刻度的直尺先连接CE 交BD 于点F，再连接AF．则线段AF 是△ABD 的（）A．中线B．高线C．角平分线D．中线、高线、角平分线（三线合一）12．如图，D、E 分别是△ABC 的边AC、BC 的中点，则下列说法不正确的是（）A．DE 是△ABC 的中线B．BD 是△ABC 的中线C．AD＝DC，BE＝EC D．DE 是△BCD 的中线13.如图，AD⊥BC 于D，BE⊥AC 于E，CF⊥AB 于F，GA⊥AC 于A，在△ABC 中，AB边上的高为（）A．AD B．GA C．BE D．CF14.如图，在△ABC 中，∠ACB＝60°，∠BAC＝75°，AD⊥BC 于D，BE⊥AC 于E，AD 与BE 交于H，则∠CHD＝．15.在△ABC 中，AC＝5cm，AD 是△ABC 中线，若△ABD 周长与△ADC 的周长相差2cm，则BA＝cm．16.如图，在△ABC 中（AB＞BC），AB＝2AC，AC 边上中线BD 把△ABC 的周长分成30和20 两部分，求AB 和BC 的长．17.如图，△ABC 的周长是21cm，AB＝AC，中线BD 分△ABC 为两个三角形，且△ABD的周长比△BCD 的周长大6cm，求AB，BC．18.已知：∠MON＝40°，OE 平分∠MON，点A、B、C 分别是射线OM、OE、ON 上的动点（A、B、C 不与点O 重合），连接AC 交射线OE 于点D．设∠OAC＝x°．（1）如图1，若AB∥ON，则①∠ABO 的度数是；②当∠BAD＝∠ABD 时，x＝；当∠BAD＝∠BDA 时，x＝．（2）如图2，若AB⊥OM，则是否存在这样的x 的值，使得△ADB 中有两个相等的角？若存在，求出x 的值；若不存在，说明理由．考点三．三角形的面积：19.如图，AD 是△ABC 的中线，DE 是△ADC 的高线，AB＝3，AC＝5，DE＝2，那么点D 到AB 的距离是（）A． B． C． D．2 20．如图，在△ABC 中，已知点E、F 分别是AD、CE 边上的中点，且S△BEF＝4cm2，则S△ABC 的值为（）A．1cm2 B．2cm2 C．8cm2 D．16cm221.已知AD 是△ABC 的中线，BE 是△ABD 的中线，若△ABC 的面积为18，则△ABE 的面积为（A．5 ）B．4.5C．4 D．922.如图，D，E，F 分别是边BC，AD，AC 上的中点，若S 四边形的面积为3，则△ABC的面积是（）A．5 B．6 C．7 D．8 23．如图，长方形ABCD 中，AB＝4cm，BC＝3cm，点E 是CD 的中点，动点P 从A 点出发，以每秒1cm 的速度沿A→B→C→E 运动，最终到达点E．若点P 运动的时间为x 秒，那么当x ＝时，△APE 的面积等于5．24.把一张三角形的纸折叠成如图后，面积减少，已知阴影部分的面积是50 平方厘米，则这张三角形纸的面积是平方分米．考点四．三角形的稳定性：25.如图，工人师傅砌门时，常用木条EF 固定长方形门框ABCD，使其不变形，这样做的根据是（）A．两点之间的线段最短B．三角形具有稳定性C．长方形是轴对称图形D．长方形的四个角都是直角26．下列图形中不具有稳定性是（）A．B．C．D．27.用八根木条钉成如图所示的八边形木架，要使它不变形，至少要钉上木条的根数是（）A．3 根B．4 根C．5 根D．6 根考点五．三角形的重心：28.三角形的重心是（）A．三角形三条边上中线的交点B．三角形三条边上高线的交点C．三角形三条边垂直平分线的交点D．三角形三条内角平分线的交点29.在Rt△ABC 中，AD 是斜边BC 边上的中线，G 是△ABC 重心，如果BC＝6，那么线段AG 的长为．考点六．三角形三边关系：30.下列长度的三条线段能组成三角形的是（）A．3，4，8 B．5，6，11 C．5，6，10 D．1，2，3 31．如图，为估计池塘岸边A、B 两点的距离，小方在池塘的一侧选取一点O，测得OA＝15 米，OB＝10 米，A、B 间的距离不可能是（）A．5 米B．10 米C．15 米D．20 米32.已知关于x 的不等式组至少有两个整数解，且存在以3，a，7 为边的三角形，则a 的整数解有（）A．4 个B．5 个C．6 个D．7 个33.若a、b、c 为△ABC 的三边长，且满足|a﹣4|+＝0，则c 的值可以为（）A．5 B．6 C．7 D．834．已知三角形两边的长分别是4 和10，则此三角形第三边的长可能是（）A．5 B．6 C．12 D．1635.△ABC 中，AB＝10，BC＝2x，AC＝3x，则x 的取值范围．36.在△ABC 中，若AB＝4，BC＝2，且AC 的长为偶数，则AC＝．37.若a、b、c 为三角形的三边，且a、b 满足+（b﹣2）2＝0，第三边c 为奇数，则c＝．38.三角形的两边长分别是3 和4，第三边长是方程x2﹣13x+40＝0 的根，则该三角形的周长为．39.如图：已知AD 为△ABC 的中线，且∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证：BE+CF＞EF．40.在△ABC 中，AB＝5，AC＝3，AD 是BC 边上的中线，则AD 的取值范围是．参考答案1.解：如图，图中直角三角形有Rt△ABD、Rt△BDC、Rt△ABC，共有3 个，故选：C．2.解：∵①当四个点共线时，不能作出三角形；②当三个点共线，第四个点不在这条直线上时，能够画出3 个三角形；③若4 个点能构成凹四边形，则能画出4 个三角形；④当任意的三个点不共线时，则能够画出8 个三角形．∴0 或3 或4 或8．3.解：如图，直角三角形有：△ADC、△BCD、△CDE、△BDE、△ACE、△ACB，一共6 个，故答案为：6．4.解：（1）如图，以AB 为一边的三角形有△ABC、△ABD、△ABE 共3 个；（2）如图，以点C 为顶点的三角形有△ABC、△BEC、△BCD、△ACE、△ACD、△ CDE 共6 个．故答案为：（1）3，（2）6．5.解：B，C，D 都不是△ABC 的边BC 上的高，故选：A．6.解：A、高BD 交AC 的延长线于点D 处，符合题意；B、没有经过顶点B，不符合题意；C、做的是BC 边上的高线AD，不符合题意；D、没有经过顶点B，不符合题意．故选：A．7.解：AC 边上的高应该是过B 作垂线段AC，符合这个条件的是C；A，B，D 都不过B 点，故错误；故选：C．8.解：△ABC 中，画BC 边上的高，是线段AD．故选：A．9.解：A．线段PD 的长不一定是点P 到直线l 的距离，故本选项错误；B．线段PC 不可能是△PAB 的高，故本选项错误；C.线段PD 可能是△PBC 的高，故本选项正确；D.线段PB 不可能是△PAC 的高，故本选项错误；故选：C．10.解：一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，这个三角形是直角三角形．故选：C．11.解：∵3AB＝6CD，E 为AB 的中点，∴CD＝AB，BE＝AB，∴CD＝BE，又∵AB∥CD，∴∠EBF＝∠CDF，又∵∠EFB＝∠CFD，∴△BEF≌△DCF（AAS），∴BF＝DF，∴线段AF 是△ABD 的中线，故选：A．12.解：∵D、E 分别是△ABC 的边AC、BC 的中点，∴DE 是△ABC 的中位线，不是中线；BD 是△ABC 的中线；AD＝DC，BE＝EC；DE 是△BCD 的中线；故选：A．13.解：∵AB 边上的高是指过顶点C 向AB 所在直线作的垂线段，∴在AD⊥BC 于D，BE⊥AC 于E，CF⊥AB 于F，GA⊥AC 于A 中，只有CF 符合上述条件．故选：D．14.解：延长CH 交AB 于点H，在△ABC 中，三边的高交于一点，所以CF⊥AB，∵∠BAC＝75°，且CF⊥AB，∴∠ACF＝15°，∵∠ACB＝60°，∴∠BCF＝45°在△CDH 中，三内角之和为180°，∴∠CHD＝45°，故答案为∠CHD＝45°．15.解：如图，∵AD 是△ABC 中线，∴BD＝CD，∴△ABD 周长﹣△ADC 的周长＝（BA+BD+AD）﹣（AC+AD+CD）＝BA﹣AC，∵△ABD 周长与△ADC 的周长相差2cm，∴|BA﹣5|＝2，∴解得BA＝7 或3．故答案为：3 或7．16.解：设AC＝x，则AB＝2x，∵BD 是中线，∴AD＝DC＝x，由题意得，2x+x＝30，解得，x＝12，则AC＝12，AB＝24，∴BC＝20﹣×12＝14．答：AB＝24，BC＝14．17.解：∵BD 是中线，∴AD＝CD＝AC，∵△ABD 的周长比△BCD 的周长大6cm，∴（AB+AD+BD）﹣（BD+CD+BC）＝AB﹣BC＝6cm①，∵△ABC 的周长是21cm，AB＝AC，∴2AB+BC＝21cm②，联立①②得：AB＝9cm，BC＝3cm．18．解：（1）①∵∠MON＝40°，OE 平分∠MON，∴∠AOB＝∠BON＝20°，∵AB∥ON，∴∠ABO＝20°，②∵∠BAD＝∠ABD，∴∠BAD＝20°，∵∠AOB+∠ABO+∠OAB＝180°，∴∠OAC＝120°，∵∠BAD＝∠BDA，∠ABO＝20°，∴∠BAD＝80°，∵∠AOB+∠ABO+∠OAB＝180°，∴∠OAC＝60°；故答案为：①20°；②120，60；（2）①当点D 在线段OB 上时，∵OE 是∠MON 的角平分线，∴∠AOB＝∠MON＝20°，∵AB⊥OM，∴∠AOB+∠ABO＝90°，∴∠ABO＝70°，若∠BAD＝∠ABD＝70°，则x＝20若∠BAD＝∠BDA＝（180°﹣70°）＝55°，则x＝35若∠ADB＝∠ABD＝70°，则∠BAD＝180°﹣2×70°＝40°，∴x＝50②当点D 在射线BE 上时，因为∠ABE＝110°，且三角形的内角和为180°，所以只有∠BAD＝∠BDA，此时x＝125．综上可知，存在这样的x 的值，使得△ADB 中有两个相等的角，且x＝20、35、50、125．19．解：∵AC＝5，DE＝2，∴△ADC 的面积为＝5，∵AD 是△ABC 的中线，∴△ABD 的面积为5，∴点D 到AB 的距离是．故选：A．20.解：∵由于E、F 分别为AD、CE 的中点，∴△ABE、△DBE、△DCE、△AEC 的面积相等，∴S△BEC＝2S△BEF＝8（cm2），∴S△ABC＝2S△BEC＝16（cm2）．故选：D．21.解：∵AD 是△ABC 的中线，∴S△ABD＝S△ABC＝×18＝9，∵BE 是△ABD 的中线，∴S△ABE＝S△ABD＝×9＝4.5．故选：B．22.解：∵D 为BC 的中点，∴S△ABD＝S△ACD＝S△ABC，∵E，F 分别是边AD，AC 上的中点，∴S△BDE＝S△ABD，S△ADF＝S△ADC，S△DEF＝S△ADF，∴S△BDE＝S△ABC，S△DEF＝S△ADC＝S△ABC，S△BDE+S△DEF＝S△ADC+ S△ABC＝S△ABC，∴S△ABC＝S 阴影部分＝×3＝8．故选：D．23．解：①如图1，当P 在AB 上时，∵△APE 的面积等于5，∴x•3＝5，x＝；②当P 在BC 上时，∵△APE 的面积等于5，∴S 长方形ABCD﹣S△CPE﹣S△ADE﹣S△ABP＝5，∴3×4﹣（3+4﹣x）×2﹣×2×3﹣×4×（x﹣4）＝5，x＝5；③当P 在CE 上时，∴ （4+3+2﹣x）×3＝5，x＝＜3+4，此时不符合；故答案为：或5．24.解：∵折叠后面积减少，∴阴影部分的面积占三角形纸的面积的（1﹣﹣）＝，∴三角形纸的面积＝50÷ ＝200 平方厘米＝2 平方分米．故答案为：2．25.解：加上EF 后，原图形中具有△AEF 了，故这种做法根据的是三角形的稳定性．故选：B．26.解：根据三角形具有稳定性，只要图形分割成了三角形，则具有稳定性．显然B 选项中有四边形，不具有稳定性．故选：B．27.解：过八边形的一个顶点作对角线，可以做5 条，把八边形分成6 个三角形，因为三角形具有稳定性．故选：C．28.解：三角形的重心是三条中线的交点，故选：A．29.解：∵AD 是斜边BC 边上的中线，∴AD＝BC＝×6＝3，∵G 是△ABC 重心，∴＝2，∴AG＝AD＝×3＝2．故答案为2．30.解：3+4＜8，则3，4，8 不能组成三角形，A 不符合题意；5+6＝11，则5，6，11 不能组成三角形，B 不合题意；5+6＞10，则5，6，10 能组成三角形，C 符合题意；1+2＝3，则1，2，3 不能组成三角形，D 不合题意，故选：C．31.解：连接AB，根据三角形的三边关系定理得：15﹣10＜AB＜15+10，即：5＜AB＜25，∴A、B 间的距离在 5 和25 之间，∴A、B 间的距离不可能是5 米；故选：A．32.解：解不等式①，可得x＜a，解不等式②，可得x≥4，∵不等式组至少有两个整数解，∴a＞5，又∵存在以3，a，7 为边的三角形，∴4＜a＜10，∴a 的取值范围是5＜a＜10，∴a 的整数解有4 个，故选：A．33．解：∵|a﹣4|+ ＝0，∴a﹣4＝0，a＝4；b﹣2＝0，b＝2；则4﹣2＜c＜4+2，2＜c＜6，5 符合条件；故选：A．34．解：设第三边的长为x，∵三角形两边的长分别是4 和10，∴10﹣4＜x＜10+4，即6＜x＜14．故选：C．35．解：根据题意得：3x﹣2x＜10＜3x+2x，解得：2＜x＜10．故答案为：2＜x＜10．36．解：因为4﹣2＜AC＜4+2，所以2＜AC＜6，因为AC 长是偶数，所以AC 为4，故答案为：4．37．解：∵a、b 满足+（b﹣2）2＝0，∴a＝9，b＝2，∵a、b、c 为三角形的三边，∴7＜c＜11，∵第三边c 为奇数，∴c＝9，故答案为9．38．解：x2﹣13x+40＝0，（x﹣5）（x﹣8）＝0，所以x1＝5，x2＝8，而三角形的两边长分别是3 和4，所以三角形第三边的长为5，所以三角形的周长为3+4+5＝12．故答案为12．39.证明：延长ED 到H，使DE＝DH，连接CH，FH，∵AD 是△ABC 的中线，∴BD＝DC，∵DE、DF 分别为∠ADB 和∠ADC 的平分线，∴∠1＝∠2＝∠ADB，∠3＝∠4＝∠ADC，∴∠1+∠4＝∠2+∠3＝∠ADB+ ∠ADC＝×180°＝90°，∵∠1＝∠5，∴∠5+∠4＝90°，即∠EDF＝∠FDH＝90°，在△EFD 和△HFD 中，，∴△EFD≌△HFD（SAS），∴EF＝FH，在△BDE 和△CDH 中，，∴△BDE≌△CDH（SAS），∴BE＝CH，在△CFH 中，由三角形三边关系定理得：CF+CH＞FH，∵CH＝BE，FH＝EF，∴BE+CF＞EF．40.解：如图，延长AD 到E，使DE＝AD，∵AD 是BC 边上的中线，∴BD＝CD，在△ABD 和△ECD 中，，∴△ABD≌△ECD（SAS），∴CE＝AB，∵AB＝5，AC＝3，∴5﹣3＜AE＜5+3，即2＜AE＜8，1＜AD＜4．故答案为：1＜AD＜4．。
2021年苏科新版七年级数学下册7.4认识三角形自主学习同步测评1(附答案)
2021年苏科新版七年级数学下册7.4认识三角形自主学习同步测评1（附答案）1．如图，图中三角形的个数是（）A．7B．6C．5D．42．下列说法：①三角形按边分类可分为三边不等的三角形、等腰三角形和等边三角形；②等边三角形是特殊的等腰三角形；③等腰三角形是特殊的等边三角形；④有两边相等的三角形一定是等腰三角形；其中，说法正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个3．下列四个图形中，线段BE是△ABC的高的是（）A．B．C．D．4．若线段AM、AN分别是△ABC中BC边上的高线和中线，则（）A．AM＞AN B．AM＞AN或AM＝ANC．AM＜AN D．AM＜AN或AM＝AN5．如图，将三角形ABC沿直线AB向右平移后得到三角形BDE，连接CD，CE，若三角形ACD的面积为10，则三角形BCE的面积为（）A．4B．5C．6D．106．如图，△ABC的面积为30cm2，AE＝ED，BD＝2DC，则图中四边形EDCF的面积等于（）A．6cm2B．8cm2C．9cm2D．10cm27．下列图形中，不具有稳定性的是（）A．B．C．D．8．如图，△ABC中，三条中线AD，BE，CF相交于点O，若△ABC的面积是10，则△OCD 的面积是（）A．2B．1.5C．D．59．如图，D、E分别是△ACB的边AB、AC上的中点，BE、CD相交于点O，则S△DOE与S的比是（）△COBA．1：2B．2：1C．1：4D．4：110．如图，△ABC的两条中线AD、CE交于点G，联结BG并延长，交边AC于点F，那么下列结论不正确的是（）A．AF＝FC B．GF＝BGC．AG＝2GD D．EG＝CE11．图中有个三角形．12．已知△ABC的周长是24cm，若三边a，b，c满足b：c＝3：4，且a＝2c﹣b，则边a的长度是．13．如图，以AD为高的三角形共有个．14．已知BD是△ABC的中线，AB＝7，BC＝3，且△ABD的周长为15，则△BCD的周长为．15．如图，△ABC的面积是16，点D，E，F，G分别是BC，AD，BE，CE的中点，则△AFG的面积是．16．已知D、E分别是△ABC的边BC和AC的中点，若△ABC的面积＝24cm2，则△DEC 的面积为．17．下列图①、②、③中，具有稳定性的是图．18．如图，自行车的主框架采用了三角形结构，这样设计的依据是三角形具有．19．如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝3，G是△ABC重心，则S△AGC＝．20．已知点G是△ABC的重心，AB＝AC＝5，BC＝8，那么AG＝．21．如图所示，图中共有多少个三角形？请写出这些三角形并指出所有以E为顶点的角．22．图中一共有多少个三角形？锐角三角形、直角三角形、钝角三角形各有多少个？用符号表示这些三角形．23．如图所示，BD是△ABC的中线，AD＝2，AB+BC＝5，求△ABC的周长．24．如图，在△ABC中（AB＞BC），AB＝2AC，AC边上中线BD把△ABC的周长分成30和20两部分，求AB和BC的长．25．如图，在△ABC中，AC＝6，BC＝8，AD⊥BC于D，AD＝5，BE⊥AC于E，求BE的长．26．如图，有一时钟，时针OA长为6cm，分针OB长为8cm，△OAB随着时间的变化不停地改变形状．求：（1）13点时，△OAB的面积是多少？（2）14点时，△OAB的面积比13点时增大了还是减少了？为什么？（3）问多少整点时，△OAB的面积最大？最大面积是多少？请说明理由．（4）设∠BOA＝α（0°≤α≤180°），试归纳α变化时△OAB的面积有何变化规律（不证明）27．如图这是一个由七根长度相等木条钉成的七边形木框．为使其稳定，请用四根木条（长短不限）将这个木框固定不变形，请你设计出三种方案．28．若一个三角形的三边长分别是a，b，c，其中a和b满足方程，若这个三角形的周长为整数，求这个三角形的周长．29．已知a，b，c是三角形的三边长．（1）化简：|a﹣b﹣c|+|b﹣c﹣a|+|c﹣a﹣b|；（2）在（1）的条件下，若a＝10，b＝8，c＝6，求这个式子．30．已知△ABC中，三边长a、b、c，且满足a＝b+2，b＝c+1（1）试说明b一定大于3；（2）若这个三角形周长为22，求a、b、c．参考答案1．解：BC上有6条线段，所以有6个三角形．故选：B．2．解：①三角形按边分类可分为三边不等的三角形、等腰三角形和等边三角形；错误．②等边三角形是特殊的等腰三角形；正确．③等腰三角形是特殊的等边三角形；错误．④有两边相等的三角形一定是等腰三角形；正确，故选：B．3．解：线段BE是△ABC的高的图是选项C．故选：C．4．解：如图，∵AM⊥BC，∴根据垂线段最短可知：AM≤AN，故选：D．5．解：∵△ABC沿直线AB向右平移后到达△BDE的位置，∴AB＝BD，BC∥DE，∴S△ABC＝S△BCD＝S△ACD＝×10＝5，∵DE∥BC，∴S△BCE＝S△BCD＝5．故选：B．6．解：如图，连接DF，∵AE＝ED，BD＝2DC，∴△AEF的面积等于△EFD的面积，△ABE的面积等于△BED的面积，△BDF的面积等于△FDC的面积的2倍，△ABD的面积等于△ADC面积的2倍．设△AEF面积为x，△BDE面积为y，则x+x+y+y+（x+y）＝30；①2y＝2[2x+②得出x+y＝12．解得x＝2．y＝10，故四边形CDEF的面积等于x+（x+y）＝8cm2，故选：B．7．解：因为三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性，故选：D．8．解：∵△ABC中，三条中线AD，BE，CF相交于点O，∴＝，CD＝BD，∴S△ACD＝S△ABD＝S△ABC＝＝5，∴S△OCD＝S△ACD＝＝，故选：C．9．解：∵D，E分别是AB，AC的中点，∴DE为△ABC的中位线，∴DE∥BC，DE＝BC，∵DE∥BC，∴△DOE∽△COB，∴．故选：C．10．解：如图连接DE．∵△ABC的两条中线AD、CE交于点G，∴点G是△ABC的重心，∴DF也是△ABC的中线，∴AF＝FC，故A不符合题意，∵BE＝AE，BD＝CD，∴DE∥AC，DE＝AC，∴＝＝＝，∴AG＝2DG，EG＝CE，故C，D不符合题意，故选：B．11．解：如图底边上有4个点，组成的线段的数量为：3+2+1＝6（条），所以三角形的个数为6个答：图中有6个三角形．故答案为：6．12．解：由题意得，，解得：，故答案为：10cm．13．解：∵AD⊥BC于D，而图中有一边在直线CB上，且以A为顶点的三角形有6个，∴以AD为高的三角形有6个．故答案为：614．解：∵BD是△ABC的中线，∴AD＝CD，∵△ABD的周长为15，AB＝7，BC＝3，∴△BCD的周长是15﹣（7﹣3）＝11，故答案为：1115．解：∵点D是BC的中点，∴AD是△ABC的中线，∴△ABD的面积＝△ADC的面积＝×△ABC的面积，同理得：△AEF的面积＝×△ABE的面积＝×△ABD的面积＝×△ABC的面积＝＝2，△AEG的面积＝2，△BCE的面积＝×△ABC的面积＝8，又∵FG是△BCE的中位线，∴△EFG的面积＝×△BCE的面积＝＝2，∴△AFG的面积是2×3＝6，故答案为：6．16．解：∵D、E分别是△ABC的边BC和AC的中点，∴S△ABC＝2S△ADC又∵D是△ABC的边BC的中点，S△ABC＝24cm2，∴S△DEC＝S△ABC＝6cm2．故答案为：6cm2．17．解：∵三角形具有稳定性，∴①②具有稳定性，故答案为①②．18．解：自行车的主框架采用了三角形结构，这样设计的依据是三角形具稳定性，故答案为：稳定性．19．解：延长AG交BC于E．∵∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝3，∴S△ABC＝•AB•AC＝9，∵G是△ABC的重心，∴AG＝2GE，BE＝EC，∴S△AEC＝×9＝4.5，∴S△AGC＝×S△AEC＝3，故答案为320．解：如图所示：连接AG并延长交BC于点D，∵G是△ABC的重心，AB＝AC＝5，BC＝8，∴AD⊥BC，BD＝BC＝×8＝4，∴AD＝＝＝3，∴AG＝AD＝×3＝2．故答案为：2．21．解：图中共有7个，△AEF，△ADE，△DEB，△ABF，△BCF，△ABC，△ABE，以E 为顶点的角是∠AEF，∠AED，∠DEB，∠DEF，∠AEB，∠BEF．22．解：如图，共有6个三角形．其中锐角三角形有2个：△ABE，△ABC；直角三角形有3个：△ABD，△ADE，△ADC；钝角三角形有1个：△AEC．23．解：因为BD是△ABC的中线，所以点D是AC的中点，所以AC＝2AD＝4，所以△ABC的周长为AB+BC+AC＝5+4＝9．24．解：设AC＝x，则AB＝2x，∵BD是中线，∴AD＝DC＝x，由题意得，2x+x＝30，解得，x＝12，则AC＝12，AB＝24，∴BC＝20﹣×12＝14．答：AB＝24，BC＝14．25．解：∵S△ABC＝AC•BE，S△ABC＝BC•AD，∴AC•BE＝BC•AD，∴BE＝＝．26．解：（1）如图①，过点B作BE⊥OA于点E．在13点时，∠BOA＝30°，∴BE＝OB＝4（cm），∴S△OAB＝OA•BE＝×6×4＝12（cm2）；（2）如图②，过点B作BE⊥DA于点E．在14点时，∠BOA＝60°，＝sin60°，BE＝8×＝4（cm），∴S△OAB＝×4×6＝12（cm2）．∵12＞12，∴14点时比13点时△OAB的面积增大了；（3）3点时（即15时）或9点时（即21时）时△OAB的面积最大，如图③④．∵此时BE最长，BE＝OB＝8 cm，而OA不变，∴S＝OA•OB＝×6×8＝24（cm2）；（4）当α＝0°、180°时不构成三角形；当0°＜α≤90°时，S△OAB的值随α增大而增大；当90°＜α＜180°时，S△OAB的值随α增大而减小．27．解：三种方案如图所示：28．解：由，解得，∴3＜c＜5，∵周长为整数，∴c＝4，∴周长＝4+4+1＝9．29．解：（1）∵a，b，c是三角形的三边长，∴b+c＞a，c+a＞b，a+b＞c，∴a﹣b﹣c＜0，b﹣c﹣a＜0，c﹣a﹣b＜0，|a﹣b﹣c|+|b﹣c﹣a|+|c﹣a﹣b|＝b+c﹣a+c+a﹣b+a+b﹣c＝a+b+c，（2）把a＝10，b＝8，c＝6，代入a+b+c＝10+8+6＝24．30．解：（1）∵a＝b+2，b＝c+1，∴b＝a﹣2，b＝c+1，∴a﹣2＝c+1，a﹣c＝3，∴b一定大于3；（2）∵b＝c+1，∴c＝b﹣1，∴b+2+b+b﹣1＝22，解得b＝7，∴a＝b+2＝9，c＝b﹣1＝6。
苏科版数学七年级下册7.4认识三角形同步练习含详细答案
7.4 认识三角形一．选择题（共8小题）1．下列每组数分别是三根木棒的长度，能用它们摆成三角形的是（）A．3cm，4cm，8cm B．8cm，7cm，15cmC．5cm，5cm，11cm D．13cm，12cm，20cm2．若一个三角形的两边长分别为3和7，则第三边长可能是（）A．6 B．3 C．2 D．113．下列长度的三条线段不能组成三角形的是（）A．5，5，10 B．4，5，6 C．4，4，4 D．3，4，54．如图，过△ABC的顶点A，作BC边上的高，以下作法正确的是（）A．B．C．D．5．如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=BC=2，E、F分别是AD、CD的中点，连接BE、BF、EF．若四边形ABCD的面积为6，则△BEF的面积为（）A．2 B．C．D．36．如图，△ABC的面积为16，点D是BC边上一点，且BD=BC，点G是AB上一点，点H在△ABC内部，且四边形BDHG是平行四边形，则图中阴影部分的面积是（）A．3 B．4 C．5 D．67．下列四个图形中，线段BE是△ABC的高的是（）A．B．C．D．8．如图1，M是铁丝AD的中点，将该铁丝首尾相接折成△ABC，且∠B=30°，∠C=100°，如图2．则下列说法正确的是（）A．点M在AB上B．点M在BC的中点处C．点M在BC上，且距点B较近，距点C较远D．点M在BC上，且距点C较近，距点B较远二．填空题（共7小题）9．各边长度都是整数、最大边长为8的三角形共有个．10．一个三角形的两边长分别是2和3，若它的第三边长为奇数，则这个三角形的周长为．11．若一个三角形三边长分别为2，3，x，则x的值可以为（只需填一个整数）12．如图，D、E分别是△ABC边AB、BC上的点，AD=2BD，BE=CE，设△ADC=6，则S1﹣S2的值为．的面积为S1，△ACE的面积为S2，若S△ABC13．如图，△ABC三边的中线AD、BE、CF的公共点为G，若S△ABC=12，则图中阴影部分的面积是．14．如图，三个正方形的边长分别为2，6，8；则图中阴影部分的面积为．15．由6根钢管首尾顺次铰接而成六边形钢架ABCDEF，相邻两钢管可以转动．已知各钢管的长度为AB=DE=1米，BC=CD=EF=FA=2米．（铰接点长度忽略不计）（1）转动钢管得到三角形钢架，如图1，则点A，E之间的距离是米．（2）转动钢管得到如图2所示的六边形钢架，有∠A=∠B=∠C=∠D=120°，现用三根钢条连接顶点使该钢架不能活动，则所用三根钢条总长度的最小值是米．三．解答题（共5小题）16．如图，已知△ABC．（1）请你在BC边上分别取两点D，E（BC的中点除外），连接AD，AE，写出使此图中只存在两对面积相等的三角形的相应条件，并表示出面积相等的三角形；（2）请你根据使（1）成立的相应条件，证明AB+AC＞AD+AE．17．两条平行直线上各有n个点，用这n对点按如下的规则连接线段；①平行线之间的点在连线段时，可以有共同的端点，但不能有其它交点；②符合①要求的线段必须全部画出；图1展示了当n=1时的情况，此时图中三角形的个数为0；图2展示了当n=2时的一种情况，此时图中三角形的个数为2；（1）当n=3时，请在图3中画出使三角形个数最少的图形，此时图中三角形的个数为个；（2）试猜想当n对点时，按上述规则画出的图形中，最少有多少个三角形？（3）当n=2006时，按上述规则画出的图形中，最少有多少个三角形？18．探索：在如图1至图3中，△ABC的面积为a．（1）如图1，延长△ABC的边BC到点D，使CD=BC，连接DA．若△ACD的面积为S1，则S1=（用含a的代数式表示）；（2）如图2，延长△ABC的边BC到点D，延长边CA到点E，使CD=BC，AE=CA，连接DE．若△DEC的面积为S2，则S2=（用含a的代数式表示），并写出理由；（3）在图2的基础上延长AB到点F，使BF=AB，连接FD、FE，得到△DEF （如图3）．若阴影部分的面积为S3，则S3=（用含a的代数式表示）．发现：像上面那样，将△ABC各边均顺次延长一倍，连接所得端点，得到△DEF（如图3），此时，我们称△ABC向外扩展了一次．可以发现，扩展一次后得到的△DEF 的面积是原来△ABC面积的倍．应用：去年在面积为10m2的△ABC空地上栽种了某种花卉．今年准备扩大种植规模，把△ABC向外进行两次扩展，第一次由△ABC扩展成△DEF，第二次由△DEF 扩展成△MGH（如图4）．求这两次扩展的区域（即阴影部分）面积共为多少平方米？19．在平面内，分别用3根、5根、6根…火柴首尾依次相接，能搭成什么形状的三角形呢？通过尝试，列表如下所示，问：（1）4根火柴能搭成三角形吗？（2）8根、12根火柴能搭成几种不同形状的三角形？并画出它们的示意图．20．某课题研究小组就图形面积问题进行专题研究，他们发现如下结论：（1）有一条边对应相等的两个三角形面积之比等于这条边上的对应高之比；（2）有一个角对应相等的两个三角形面积之比等于夹这个角的两边乘积之比；…现请你继续对下面问题进行探究，探究过程可直接应用上述结论．（S表示面积）问题1：如图1，现有一块三角形纸板ABC，P1，P2三等分边AB，R1，R2三等分边AC．经探究知=S△ABC，请证明．问题2：若有另一块三角形纸板，可将其与问题1中的拼合成四边形ABCD，如之间的数量关图2，Q1，Q2三等分边DC．请探究与S四边形ABCD系．问题3：如图3，P1，P2，P3，P4五等分边AB，Q1，Q2，Q3，Q4五等分边DC．若S四边形ABCD=1，求．问题4：如图4，P1，P2，P3四等分边AB，Q1，Q2，Q3四等分边DC，P1Q1，P2Q2，P3Q3将四边形ABCD分成四个部分，面积分别为S1，S2，S3，S4．请直接写出含有S1，S2，S3，S4的一个等式．参考答案一．选择题（共8小题）1．（2016•西宁）下列每组数分别是三根木棒的长度，能用它们摆成三角形的是（）A．3cm，4cm，8cm B．8cm，7cm，15cmC．5cm，5cm，11cm D．13cm，12cm，20cm【分析】根据三角形的三边关系，两边之和大于第三边，即两短边的和大于最长的边，即可作出判断．【解答】解：A、3+4＜8，故以这三根木棒不可以构成三角形，不符合题意；B、8+7=15，故以这三根木棒不能构成三角形，不符合题意；C、5+5＜11，故以这三根木棒不能构成三角形，不符合题意；D、12+13＞20，故以这三根木棒能构成三角形，符合题意．故选D．【点评】本题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握三角形两边之和大于第三边．2．（2016•长沙）若一个三角形的两边长分别为3和7，则第三边长可能是（）A．6 B．3 C．2 D．11【分析】根据三角形三边关系，两边之和第三边，两边之差小于第三边即可判断．【解答】解：设第三边为x，则4＜x＜10，所以符合条件的整数为6，故选A．【点评】本题考查三角形三边关系定理，记住两边之和第三边，两边之差小于第三边，属于基础题，中考常考题型．3．（2016•河池）下列长度的三条线段不能组成三角形的是（）A．5，5，10 B．4，5，6 C．4，4，4 D．3，4，5【分析】根据三角形任意两边的和大于第三边，进行分析判断．【解答】解：A、5+5=10，不能组成三角形，故此选项正确；B、4+5=9＞6，能组成三角形，故此选项错误；C、4+4=8＞4，能组成三角形，故此选项错误；D、4+3=7＞5，能组成三角形，故此选项错误．故选：A．【点评】本题考查了能够组成三角形三边的条件．注意：用两条较短的线段相加，如果大于最长那条就能够组成三角形．4．（2015•长沙）如图，过△ABC的顶点A，作BC边上的高，以下作法正确的是（）A．B．C．D．【分析】根据三角形高线的定义：过三角形的顶点向对边引垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线解答．【解答】解：为△ABC中BC边上的高的是A选项．故选A．【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线、高线，熟记高线的定义是解题的关键．5．（2016•苏州）如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=BC=2，E、F 分别是AD、CD的中点，连接BE、BF、EF．若四边形ABCD的面积为6，则△BEF的面积为（）A．2 B．C．D．3【分析】连接AC，过B作EF的垂线，利用勾股定理可得AC，易得△ABC的面积，可得BG和△ADC的面积，三角形ABC与三角形ACD同底，利用面积比可得它们高的比，而GH又是△ACD以AC为底的高的一半，可得GH，易得BH，由中位线的性质可得EF的长，利用三角形的面积公式可得结果．【解答】解：连接AC，过B作EF的垂线交AC于点G，交EF于点H，∵∠ABC=90°，AB=BC=2，∴AC===4，∵△ABC为等腰三角形，BH⊥AC，∴△ABG，△BCG为等腰直角三角形，∴AG=BG=2∵S△ABC=•AB•AC=×2×2=4，∴S△ADC=2，∵=2，∴GH=BG=，∴BH=，又∵EF=AC=2，∴S△BEF=•EF•BH=×2×=，故选C．【点评】此题主要考查了三角形面积的运算，作出恰当的辅助线得到三角形的底和高是解答此题的关键．6．（2016•淄博）如图，△ABC的面积为16，点D是BC边上一点，且BD=BC，点G是AB上一点，点H在△ABC内部，且四边形BDHG是平行四边形，则图中阴影部分的面积是（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】设△ABC底边BC上的高为h，△AGH底边GH上的高为h1，△CGH 底边GH上的高为h2，根据图形可知h=h1+h2．利用三角形的面积公式结合平行S△ABC，由此即可得出结论．四边形的性质即可得出S阴影=【解答】解：设△ABC底边BC上的高为h，△AGH底边GH上的高为h1，△CGH 底边GH上的高为h2，则有h=h1+h2．S△ABC=BC•h=16，S阴影=S△AGH+S△CGH=GH•h1+GH•h2=GH•（h1+h2）=GH•h．∵四边形BDHG是平行四边形，且BD=BC，∴GH=BD=BC，∴S×（BC•h）=S△ABC=4．阴影=故选B．【点评】本题考查了三角形的面积公式以及平行四边形的性质，解题的关键是找S△ABC．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据三角出S阴影=形的面积公式找出阴影部分的面积与△ABC的面积之间的关系是关键．7．（2015•广安）下列四个图形中，线段BE是△ABC的高的是（）A．B．C．D．【分析】根据三角形高的画法知，过点B作AC边上的高，垂足为E，其中线段BE是△ABC的高，再结合图形进行判断．【解答】解：线段BE是△ABC的高的图是选项D．故选D．【点评】本题主要考查了三角形的高，三角形的高是指从三角形的一个顶点向对边作垂线，连接顶点与垂足之间的线段．熟记定义是解题的关键．8．（2013•河北）如图1，M是铁丝AD的中点，将该铁丝首尾相接折成△ABC，且∠B=30°，∠C=100°，如图2．则下列说法正确的是（）A．点M在AB上B．点M在BC的中点处C．点M在BC上，且距点B较近，距点C较远D．点M在BC上，且距点C较近，距点B较远【分析】根据钝角三角形中钝角所对的边最长可得AB＞AC，取BC的中点E，求出AB+BE＞AC+CE，再根据三角形的任意两边之和大于第三边得到AB＜AD，从而判定AD的中点M在BE上．【解答】解：∵∠C=100°，∴AB＞AC，如图，取BC的中点E，则BE=CE，∴AB+BE＞AC+CE，由三角形三边关系，AC+BC＞AB，∴AB＜AD，∴AD的中点M在BE上，即点M在BC上，且距点B较近，距点C较远．故选：C．【点评】本题考查了三角形的三边关系，作辅助线把△ABC的周长分成两个部分是解题的关键，本题需要注意判断AB的长度小于AD的一半，这也是容易忽视而导致求解不完整的地方．二．填空题（共7小题）9．（2015•佛山）各边长度都是整数、最大边长为8的三角形共有20个．【分析】利用三角形三边关系进而得出符合题意的答案即可．【解答】解：∵各边长度都是整数、最大边长为8，∴三边长可以为：1，8，8；2，7，8；2，8，8；3，6，8；3，7，8；3，8，8；4，5，8；4，6，8；4，7，8；4，8，8；5，5，8；5，6，8；5，7，8；5，8，8；6，6，8；6，7，8；6，8，8；7，7，8；7，8，8；8，8，8；故各边长度都是整数、最大边长为8的三角形共有20个．故答案为：20．【点评】此题主要考查了三角形三边关系，正确分类讨论得出是解题关键．10．（2015•朝阳）一个三角形的两边长分别是2和3，若它的第三边长为奇数，则这个三角形的周长为8．【分析】首先设第三边长为x，根据三角形的三边关系可得3﹣2＜x＜3+2，然后再确定x的值，进而可得周长．【解答】解：设第三边长为x，∵两边长分别是2和3，∴3﹣2＜x＜3+2，即：1＜x＜5，∵第三边长为奇数，∴x=3，∴这个三角形的周长为2+3+3=8，故答案为：8．【点评】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边．11．（2014•淮安）若一个三角形三边长分别为2，3，x，则x的值可以为4（只需填一个整数）【分析】根据三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边可得x的取值范围．【解答】解：根据三角形的三边关系可得：3﹣2＜x＜3+2，即：1＜x＜5，所以x可取整数4．故答案为：4．【点评】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．12．（2013•济南）如图，D、E分别是△ABC边AB、BC上的点，AD=2BD，BE=CE，设△ADC的面积为S1，△ACE的面积为S2，若S△ABC=6，则S1﹣S2的值为1．【分析】根据等底等高的三角形的面积相等求出△AEC的面积，再根据等高的三角形的面积的比等于底边的比求出△ACD的面积，然后根据S1﹣S2=S△ACD﹣S△ACE计算即可得解．【解答】解：∵BE=CE，∴S△ACE=S△ABC=×6=3，∵AD=2BD，∴S△ACD=S△ABC=×6=4，∴S1﹣S2=S△ACD﹣S△ACE=4﹣3=1．故答案为：1．【点评】本题考查了三角形的面积，主要利用了等底等高的三角形的面积相等，等高的三角形的面积的比等于底边的比，需熟记．13．（2015•东莞）如图，△ABC三边的中线AD、BE、CF的公共点为G，若S△ABC=12，则图中阴影部分的面积是4．【分析】根据三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分，知△ABC的面积即为阴影部分的面积的3倍．【解答】解：∵△ABC的三条中线AD、BE，CF交于点G，∴S△CGE=S△AGE=S△ACF，S△BGF=S△BGD=S△BCF，∵S△ACF=S△BCF=S△ABC=×12=6，∴S△CGE=S△ACF=×6=2，S△BGF=S△BCF=×6=2，+S△BGF=4．∴S阴影=S△CGE故答案为4．【点评】根据三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分，该图中，△BGF 的面积=△BGD的面积=△CGD的面积，△AGF的面积=△AGE的面积=△CGE 的面积．14．（2016•广安）如图，三个正方形的边长分别为2，6，8；则图中阴影部分的面积为21．【分析】根据正方形的性质来判定△ABE∽△ADG，再根据相似三角形的对应线段成比例求得BE的值；同理，求得△ACF∽△ADG，AC：AD=CF：DG，即CF=5；然后再来求梯形的面积即可．【解答】解：如图，根据题意，知△ABE∽△ADG，∴AB：AD=BE：DG，又∵AB=2，AD=2+6+8=16，GD=8，∴BE=1，∴HE=6﹣1=5；同理得，△ACF∽△ADG，∴AC：AD=CF：DG，∵AC=2+6=8，AD=16，DG=8，∴CF=4，∴IF=6﹣4=2；=（IF+HE）•HI∴S梯形IHEF=×（2+5）×6=21；所以，则图中阴影部分的面积为21．【点评】本题主要考查的是相似三角形的判定及性质、以及梯形面积的计算，解决本题的关键是利用三角形的性质定理与判定定理．15．（2016•金华）由6根钢管首尾顺次铰接而成六边形钢架ABCDEF，相邻两钢管可以转动．已知各钢管的长度为AB=DE=1米，BC=CD=EF=FA=2米．（铰接点长度忽略不计）（1）转动钢管得到三角形钢架，如图1，则点A，E之间的距离是米．（2）转动钢管得到如图2所示的六边形钢架，有∠A=∠B=∠C=∠D=120°，现用三根钢条连接顶点使该钢架不能活动，则所用三根钢条总长度的最小值是3米．【分析】（1）只要证明AE∥BD，得=，列出方程即可解决问题．（2）分别求出六边形的对角线并且比较大小，即可解决问题．【解答】解：（1）如图1中，∵FB=DF，FA=FE，∴∠FAE=∠FEA，∠B=∠D，∴∠FAE=∠B，∴AE∥BD，∴=，∴=，∴AE=，故答案为．（2）如图中，作BN⊥FA于N，延长AB、DC交于点M，连接BD、AD、BF、CF．在RT△BFN中，∵∠BNF=90°，BN=，FN=AN+AF=+2=，∴BF==，同理得到AC=DF=，∵∠ABC=∠BCD=120°，∴∠MBC=∠MCB=60°，∴∠M=60°，∴CM=BC=BM，∵∠M+∠MAF=180°，∴AF∥DM，∵AF=CM，∴四边形AMCF是平行四边形，∴CF=AM=3，∵∠BCM=∠CBD+∠CDB=60°，∠CBD=∠CDB，∴∠CBD=∠CDB=30°，∵∠M=60°，∴∠MBD=90°，∴BD==2，同理BE=2，∵＜3＜2，∴用三根钢条连接顶点使该钢架不能活动，∴连接AC、BF、DF即可，∴所用三根钢条总长度的最小值3，故答案为3．【点评】本题考查三角形的稳定性、平行线的性质、平行四边形的判定和性质、勾股定理．等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是添加辅助线构造特殊三角形以及平行四边形，属于中考常考题型．三．解答题（共5小题）16．（2007•北京）如图，已知△ABC．（1）请你在BC边上分别取两点D，E（BC的中点除外），连接AD，AE，写出使此图中只存在两对面积相等的三角形的相应条件，并表示出面积相等的三角形；（2）请你根据使（1）成立的相应条件，证明AB+AC＞AD+AE．【分析】（1）由于都是以BC所在边为底，因此边上的高都相等．要两个三角形的面积相等，只需在BC上找出两条相等线段即可；（2）可通过构建全等三角形来求解．分别过点D、B作CA、EA的平行线，两线相交于F点，DF于AB交于G点．那么我们不难得出△AEC≌△FBD，此时AC=DF，AE=BF，那么只需在三角形BFG和ADG中找出它们的关系即可．【解答】（1）解：如图1，相应的条件就应该是BD=CE≠DE，这样，△ABD和△AEC的面积相等，由于BD=CE，因此BE=CD，那么△ADC和△ABE的面积就相等．（2）证明：如图2，分别过点D、B作CA、EA的平行线，两线相交于F点，DF与AB交于G点．∴∠ACE=∠FDB，∠AEC=∠FBD在△AEC和△FBD中，又CE=BD，∴△AEC≌△FBD，∴AC=FD，AE=FB，在△AGD中，AG+DG＞AD，在△BFG中，BG+FG＞FB，即AB+FD＞AD+FB∴AB+AC＞AD+AE．【点评】本题考查了三角形面积的求法，全等三角形的判定以及三角形三边的关系．本题（2）中通过构建全等三角形将已知和所求条件转化到相关的三角形中是解题的关键．17．（2006•贵阳）两条平行直线上各有n个点，用这n对点按如下的规则连接线段；①平行线之间的点在连线段时，可以有共同的端点，但不能有其它交点；②符合①要求的线段必须全部画出；图1展示了当n=1时的情况，此时图中三角形的个数为0；图2展示了当n=2时的一种情况，此时图中三角形的个数为2；（1）当n=3时，请在图3中画出使三角形个数最少的图形，此时图中三角形的个数为4个；（2）试猜想当n对点时，按上述规则画出的图形中，最少有多少个三角形？（3）当n=2006时，按上述规则画出的图形中，最少有多少个三角形？【分析】（1）根据题意，作图可得答案；（2）分析可得，当n=1时的情况，此时图中三角形的个数为0，有0=2（1﹣1）；当n=2时的一种情况，此时图中三角形的个数为2，有2=2（2﹣1）；…故当有n对点时，最少可以画2（n﹣1）个三角形；（3）当n=2006时，按上述规则画出的图形中，最少有2×（2006﹣1）=4010个三角形．【解答】解：（1）4个；（2）当有n对点时，最少可以画2（n﹣1）个三角形；（3）2×（2006﹣1）=4010个．答：当n=2006时，最少可以画4010个三角形．【点评】此题考查了平面图形的有规律变化，要求学生通过观察图形，分析、归纳发现其中的规律，并应用规律解决问题．18．（2006•河北）探索：在如图1至图3中，△ABC的面积为a．（1）如图1，延长△ABC的边BC到点D，使CD=BC，连接DA．若△ACD的面积为S1，则S1=a（用含a的代数式表示）；（2）如图2，延长△ABC的边BC到点D，延长边CA到点E，使CD=BC，AE=CA，连接DE．若△DEC的面积为S2，则S2=2a（用含a的代数式表示），并写出理由；（3）在图2的基础上延长AB到点F，使BF=AB，连接FD、FE，得到△DEF （如图3）．若阴影部分的面积为S3，则S3=6a（用含a的代数式表示）．发现：像上面那样，将△ABC各边均顺次延长一倍，连接所得端点，得到△DEF（如图3），此时，我们称△ABC向外扩展了一次．可以发现，扩展一次后得到的△DEF 的面积是原来△ABC面积的7倍．应用：去年在面积为10m2的△ABC空地上栽种了某种花卉．今年准备扩大种植规模，把△ABC向外进行两次扩展，第一次由△ABC扩展成△DEF，第二次由△DEF 扩展成△MGH（如图4）．求这两次扩展的区域（即阴影部分）面积共为多少平方米？【分析】（1）根据三角形的面积公式，等底同高的两个三角形的面积相等；（2）运用分割法：连接AD．根据三角形的面积公式进行分析：等底同高的两个三角形的面积相等；（3）在（2）的基础上，阴影部分的面积是（2）中求得的面积的3倍；再加上原来三角形的面积进行计算．应用：根据上述结论，即扩展一次后得到的三角形的面积是原三角形的面积的7倍，则扩展两次后，得到的三角形的面积是原三角形的面积的72=49倍．从而得到扩展的区域的面积是原来的48倍．【解答】解：（1）∵BC=CD，∴△ACD和△ABC是等底同高的，即S1=a；（2）2a；理由：连接AD，∵CD=BC，AE=CA，∴S△DAC=S△DAE=S△ABC=a，∴S2=2a；（3）结合（2）得：2a×3=6a；发现：扩展一次后得到的△DEF的面积是6a+a=7a，即是原来三角形的面积的7倍．应用：拓展区域的面积：（72﹣1）×10=480（m2）．【点评】命题立意：考查学生探索知识、发现知识、应用知识的综合创新能力．点评：本题的探索过程由简到难，运用类比方法可依次求出．从而使考生在身临数学的情境中潜移默化，逐渐感悟到数学思维的力量，使学生对知识的发生及发展过程、解题思想方法的感悟体会得淋漓尽致，是一道新课标理念不可多得的好题．19．（2002•宁德）在平面内，分别用3根、5根、6根…火柴首尾依次相接，能搭成什么形状的三角形呢？通过尝试，列表如下所示，问：（1）4根火柴能搭成三角形吗？（2）8根、12根火柴能搭成几种不同形状的三角形？并画出它们的示意图．【分析】（1）把4分成3个数只能分成1，1，2三个数，这三条线段不能组成三角形．（2）把8和12进行合理分解，得到的三条线段应能组成三角形．【解答】解：（1）4根火柴不能搭成三角形；（2）8根火柴能搭成一种三角形（3，3，2）；示意图：（等腰三角形）12根火柴能搭成3种不同三角形（4，4，4；5，5，2；3，4，5）．示意图：【点评】本题用到的知识点为：三角形任意两边之和大于第三边．20．（2011•连云港）某课题研究小组就图形面积问题进行专题研究，他们发现如下结论：（1）有一条边对应相等的两个三角形面积之比等于这条边上的对应高之比；（2）有一个角对应相等的两个三角形面积之比等于夹这个角的两边乘积之比；…现请你继续对下面问题进行探究，探究过程可直接应用上述结论．（S表示面积）问题1：如图1，现有一块三角形纸板ABC，P1，P2三等分边AB，R1，R2三等分边AC．经探究知=S△ABC，请证明．问题2：若有另一块三角形纸板，可将其与问题1中的拼合成四边形ABCD，如图2，Q1，Q2三等分边DC．请探究与S四边形ABCD之间的数量关系．问题3：如图3，P1，P2，P3，P4五等分边AB，Q1，Q2，Q3，Q4五等分边DC．若S四边形ABCD=1，求．问题4：如图4，P1，P2，P3四等分边AB，Q1，Q2，Q3四等分边DC，P1Q1，P2Q2，P3Q3将四边形ABCD分成四个部分，面积分别为S1，S2，S3，S4．请直接写出含有S1，S2，S3，S4的一个等式．【分析】问题1，图1中，连接P1R2，R2B，由三角形中线的性质得S△AP1R1=S△P1R1R2，S△P1R2P2=S△P2R2B，再由R1，R2为AC的三等分点，得S△BCR2=S△ABR2，根据图形的面积关系，得S△ABC与S四边形P1P2R2R1的数量关系，证明结论；问题2，图2中，连接AQ1，Q1P2，P2C，由三角形的中线性质，得S△AQ1P1=S△P1Q1P2，S△P2Q1Q2=S△P2Q2C，由Q1，P2为CD，AB的三等分点可知，S△ADQ1=S△AQ1C，S△BCP2=S△AP2C，得出S△ADQ1+S△BCP2与S四边形AQ1CP2的关系，再根据图形的面积关系，得S四边形ABCD 与S四边形P1Q1Q2P2的等量关系；问题3，图3中，依次设四边形的面积为S1，S2，S3，S4，S5，由问题2的结论可推出2S2=S1+S3，2S3=S2+S4，2S4=S3+S5，三式相加，得S2+S4=S1+S5，利用换元法求S1+S2+S3+S4+S5与S3的数量关系，已知S四边形ABCD=1，可求S四边形P2Q2Q3P3；问题4，图4中，由问题2的结论可知，2S2=S1+S3，2S3=S2+S4，两式相加得S1，S2，S3，S4的等量关系．【解答】解：问题1，证明：如图1，连接P1R2，R2B，在△AP1R2中，∵P1R1为中线，∴S△AP1R1=S△P1R1R2，同理S△P1R2P2=S△P2R2B，∴S△P1R1R2+S△P1R2P2=S△ABR2=S四边形P1P2R2R1，由R1，R2为AC的三等分点可知，S△BCR2=S△ABR2，∴S△ABC=S△BCR2+S△ABR2=S四边形P1P2R2R1+2S四边形P1P2R2R1=3S四边形P1P2R2R1，=S△ABC；∴S四边形P1P2R2R1=3S四边形P1Q1Q2P2．问题2，S四边形ABCD理由：如图2，连接AQ1，Q1P2，P2C，在△AQ1P2中，∵Q1P1为中线，∴S△AQ1P1=S△P1Q1P2，同理S△P2Q1Q2=S△P2Q2C，∴S△P1Q1P2+S△P2Q1Q2=S四边形AQ1CP2=S四边形P1Q1Q2P2，由Q1，P2为CD，AB的三等分点可知，S△ADQ1=S△AQ1C，S△BCP2=S△AP2C，∴S△ADQ1+S△BCP2=（S△AQ1C+S△AP2C）=S四边形AQ1CP2，∴S=S△ADC+S△ABC=S四边形AQ1CP2+S△ADQ1+S△BCP2=3S四边形P1Q1Q2P2，四边形ABCD=3S四边形P1Q1Q2P2；即S四边形ABCD问题3，解：如图3，由问题2的结论可知，3S2=S1+S2+S3，即2S2=S1+S3，同理得2S3=S2+S4，2S4=S3+S5，三式相加得，S2+S4=S1+S5，∴S1+S2+S3+S4+S5=2（S2+S4）+S3=2×2S3+S3=5S3。
7.4 认识三角形-2020-2021学年七年级数学下册同步课堂(苏科版)(解析版)
认识三角形知识点一、三角形的概念1. 三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.三角形用符号“△”表示，顶点为A、B、C的三角形记作“△ABC”，读作“三角形ABC”，注意单独的△没有意义；如图所示，△ABC的三边可以用大写字母AB、BC、AC来表示，也可以用小写字母a、b、c来表示，边BC用a表示，边AC、AB分别用b、c表示．2. 三角形的基本要素：①三角形的边：即组成三角形的线段．②三角形的角：即相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角．③三角形的顶点：即相邻两边的公共端点.例：如图，以BC为边的三角形有（）个．A．3 B．4 C．5 D．6【分析】根据三角形的定义（由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形）找出图中的三角形．【解答】解：以BC为边的三角形有△BCN，△BCO，△BMC，△ABC，故选：B．【点评】本题考查了三角形的定义．注意：题目要求找“图中以AB为边的三角形的个数”，而不是找“图中三角形的个数”．知识点二、三角形的分类1. 按内角大小分类：2. 按边的相等关系分类：例：在△ABC中，∠A是锐角，那么△ABC是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定【分析】三角形中最少有两个角是锐角，因此有一个角是锐角时，三角形的形状不能确定．【解答】解：在△ABC中，∠A是锐角，那么△ABC可能是直角三角形，也可能是锐角三角形或钝角三角形，故选：D．【点评】此题主要考查了三角形，关键是掌握三角形中锐角的个数．知识点三、三角形三边的关系1. 三角形三边关系：三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边.2. 理论依据：两点之间线段最短.3. 三边关系的应用：①判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围；②证明线段间的不等关系.例：下列长度的三根小木棒，能搭成三角形的是（）A．1，2，3 B．2，3，4 C．3，4，9 D．2，2，4【分析】根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边可知．【解答】解：A、1+2＝3，不满足三角形三边关系定理，故错误，不符合题意；B、2+3＞4，满足三边关系定理，故正确，符合题意；C、1+3＜4，不满足三边关系定理，故错误，不符合题意；D、2+2＝4，不满足三角形三边关系定理，故错误，不符合题意．故选：B．【点评】本题考查了三角形中三边的关系，其实用两条较短的线段相加，如果大于最长那条就能够组成三角形．知识点四、三角形的三条重要线段段．过点A作AD⊥BC于点D．取BC边的中点D，连接AD．作∠BAC的平分线AD，交BC于点D．1．AD是△ABC的高．1．AD是△ABC的中线．例：如图，在△ABC中，AC边上的高是（）A．BE B．AD C．CF D．AF【分析】根据三角形的高的定义得出即可．【解答】解：在△ABC中，AC边上的高是线段BE，故选：A．【点评】本题考查了三角形的高的定义，能熟记三角形的高的定义的内容是解此题的关键．知识点五、三角形的稳定性三角形的三条边确定后，三角形的形状和大小就确定不变了，这个性质叫做三角形的稳定性.（1）三角形的形状固定是指三角形的三个内角不会改变，大小固定指三条边长不改变．（2）三角形的稳定性在生产和生活中很有用．例如，房屋的人字梁具有三角形的结构，它就坚固而稳定；在栅栏门上斜着钉一条(或两条)木板，构成一个三角形，就可以使栅栏门不变形．大桥钢架、输电线支架都采用三角形结构，也是这个道理．（3）四边形没有稳定性，也就是说，四边形的四条边长确定后，不能确定它的形状，它的各个角的大小可以改变．四边形的不稳定性也有广泛应用，如活动挂架，伸缩尺．有时我们又要克服四边形的不稳定性，如在门框未安好之前，先在门框上斜着钉一根木板，使它不变形．例：如图，一扇窗户打开后，用窗钩AB可将其固定，这里所运用的几何原理是（）A．三角形的稳定性B．两点之间线段最短C．两点确定一条直线D．垂线段最短【分析】根据三角形的稳定性即可解决问题．【解答】解：根据三角形的稳定性可固定窗户．故选：A．【点评】本题考查了三角形的稳定性，熟练掌握三角形的稳定性是解题的关键．巩固练习一．选择题（共12小题）1．四组木条（每组3根）的长度分别如图，其中能组成三角形的一组是（）A．B．C．D．【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边”，进行分析．【解答】解：A、2+2＜5，不能构成三角形；B、2+2＝4，不能构成三角形；C、2+3＝5，不能组成三角形；D、3+2＞4，能够组成三角形．故选：D．【点评】此题考查了三角形的三边关系．判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数．2．下列长度的三条线段，能组成三角形的是（）A．2，3，5B．6，6，13C．5，8，2D．6，8，10【分析】根据三角形的三边满足两边之和大于第三边来进行判断．【解答】解：A、3+2＝5，不能构成三角形，不符合题意；B、6+6＜13，不能构成三角形，不符合题意；C、2+5＜8，不能构成三角形，不符合题意；D、6+8＞10，能构成三角形，符合题意．故选：D．【点评】此题主要考查了三角形的三边关系，在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．3．如果一个三角形的两边长分别为3和6，那么这个三角形第三边长可能是（）A．2B．4C．9D．10【分析】根据三角形的三边关系求得第三边的取值范围，再看哪个选项内的数在这个范围内即可．【解答】解：设第三边长为x根据三角形的三边关系，得3＜x＜9．4在第三边长的取值范围内．故选：B．【点评】考查三角形的边时，要注意三角形形成的条件：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．4．如果三角形的两边长分别为5和7，第三边长为偶数，那么这个三角形的周长可以是（）A．15B．16C．19D．26【分析】利用三角形三边关系定理，先确定第三边的范围，进而就可以求出第三边的长，从而求得三角形的周长．【解答】解：设第三边为a，根据三角形的三边关系知，2＜a＜12．由于第三边的长为偶数，则a可以为4或6或8或10．∴三角形的周长是5+7+4＝16或5+7+6＝18或5+7+8＝20或5+7+10＝22．故选：B．【点评】考查了三角形三边关系，要注意三角形形成的条件：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，当题目指代不明时，一定要分情况讨论，把符合条件的保留下来，不符合的舍去．5．如图，在△ABC中，BC边上的高为（）A．AD B．BE C．BF D．CG【分析】从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．根据三角形的高线的定义解答．【解答】解：由图可知，△ABC中，BC边上的高为AD，故选：A．【点评】本题考查了三角形的高线的定义，是基础题，准确识图并熟记高线的定义是解题的关键．6．如图，用三角板作△ABC的边AB上的高线，下列三角板的摆放位置正确的是（）A．B．C．D．【分析】根据高线的定义即可得出结论．【解答】解：A，C，D都不是△ABC的边AB上的高，故选：B．【点评】本题考查的是作图﹣基本作图，熟知三角形高线的定义是解答此题的关键．7．在下列各图的△ABC中，正确画出AC边上的高的图形是（）A．B．C．D．【分析】根据三角形的高的概念判断．【解答】解：AC边上的高就是过B作垂线垂直AC交AC的延长线于D点，因此只有C符合条件，故选：C．【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线和高，关键是利用基本作图作三角形高的方法解答．8．已知小敏家距学校5km，小飞家距小敏家3km．若小飞家距学校距离为xkm，则x满足（）A．x＝2B．2≤x≤8C．2≤x≤5D．2＜x＜8【分析】此题分两种情况讨论①当小敏家、小飞家、学校不在同一直线上时，根据三角形的三边关系可得x的取值范围，②当小敏家、小飞家、学校在同一直线上时，x＝5+3＝8或x＝5﹣3＝2，把两种情况综合可得答．【解答】解：①当小敏家、小飞家、学校不在同一直线上时：5﹣3＜x＜5+3，即：2＜x＜8，当小敏家、小飞家、学校在同一直线上时：x＝5+3＝8或x＝5﹣3＝2，∴2≤x≤8，故选：B．【点评】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是要考虑全面，注意分类讨论思想的运用．9．如图，AC⊥BC，CD⊥AB，DE⊥BC，垂足分别为C，D，E，则下列说法不正确的是（）A．BC是△ABC的高B．AC是△ABE的高C．DE是△ABE的高D．AD是△ACD的高【分析】根据三角形的高的定义判断即可．【解答】解：观察图象可知：BC是△ABC的高，AC是△ABE的高，AD是△ACD的高，DE是△BCD、△BDE、△CDE的高故A，B，D正确，C错误，故选：C．【点评】本题考查三角形的角平分线，中线，高等知识，记住从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高是解决问题的关键．10．如图，为了估计池塘两岸A，B间的距离，在池塘的一侧选取点P，测得P A＝15米，PB＝11米那么A，B 间的距离不可能是（ ）A ．5米B ．8.7米C ．27米D ．18米【分析】连接AB ，根据三角形的三边关系定理得出不等式，即可得出选项．【解答】解：连接AB ，设AB ＝x 米，∵P A ＝15米，PB ＝11米，∴由三角形三边关系定理得：15﹣11＜AB ＜15+11， 4＜AB ＜26，所以选项C 不符合，选项A 、B 、D 符合， 故选：C ．【点评】本题考查了三角形的三边关系定理，能根据三角形的三边关系定理得出不等式是解此题的关键． 11．已知n 是正整数，若一个三角形的三边长分别是n +2、n +8、3n ，则满足条件的n 的值有（ ） A ．4个B ．5个C ．6个D ．7个【分析】分三种情况讨论：①若n +2＜n +8≤3n ，②若n +2＜3n ≤n +8，③若3n ≤n +2＜n +8，分别依据三角形三边关系进行求解即可． 【解答】解：①若n +2＜n +8≤3n ，则 {n +2+n +8＞3n n +8≤3n， 解得{n ＜10n ≥4，即4≤n ＜10，∴正整数n 有6个：4，5，6，7，8，9； ②若n +2＜3n ≤n +8，则 {n +2+3n ＞n +83n ≤n +8， 解得{n ＞2n ≤4，即2＜n ≤4，∴正整数n 有2个：3和4；③若3n ≤n +2＜n +8，则不等式组无解；综上所述，满足条件的n 的值有7个， 故选：D ．【点评】本题主要考查了三角形三边关系的运用，在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形． 12．如图，△ABC 的角平分线AD 、中线BE 相交于点O ，则①AO 是△ABE 的角平分线；②BO 是△ABD 的中线；③DE 是△ADC 的中线；④ED 是△EBC 的角平分线的结论中正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【分析】易得∠BAD ＝∠CAD ，AE ＝CE ，根据这两个条件判断所给选项是否正确即可． 【解答】解：∵△ABC 的角平分线AD 、中线BE 相交于点O ， ∴∠BAD ＝∠CAD ，AE ＝CE ，①在△ABE 中，∠BAD ＝∠CAD ，∴AO 是△ABE 的角平分线，故①正确； ②AO ≠OD ，所以BO 不是△ABD 的中线，故②错误； ③在△ADC 中，AE ＝CE ，DE 是△ADC 的中线，故③正确；④∠ADE 不一定等于∠EDC ，那么ED 不一定是△EBC 的角平分线，故④错误； 正确的有2个选项．故选：B ．【点评】用到的知识点为：三角形一个角的平分线与对边相交，顶点和交点之间的线段叫三角形的角平分线；连接三角形的顶点和对边中点的线段叫三角形的中线． 二．填空题（共12小题）13．一个三角形的3条边长分别为xcm ，（x ﹣1）cm ，（x ﹣2）cm ，它的周长不超过39cm ，则x 的取值范围为 3＜x ≤14 ．【分析】根据三角形两边之和大于第三边可得x ﹣1+x ﹣2＞x ，再根据周长不超过39cm 可得x +x ﹣1+x ﹣2≤39，联立两个不等式，求出公共解集即可． 【解答】解：由题意得：{x −1+x −2＞x x +x −1+x −2≤39，解得：3＜x ≤14， 故答案为：3＜x ≤14．【点评】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握三角形两边之和大于第三边．14．如果三角形的两边长为1和5，第三边长为整数，那么三角形的周长为11．【分析】先根据三角形的三边关系定理求得第三边的取值范围；再根据第三边是整数确定三角形的周长．【解答】解：设第三边为a，根据三角形的三边关系，得：5﹣1＜a＜5+1，即4＜a＜6，∵a为整数，∴a的值为5，则三角形的周长为1+5+5＝11．故答案为：11．【点评】此题考查了三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．15．已知三角形的三边分别为2，a﹣1，4，那么a的取值范围是3＜a＜7．【分析】可根据三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边列出不等式：4﹣2＜a ﹣1＜4+2，化简即可得出a的取值范围．【解答】解：依题意得：4﹣2＜a﹣1＜4+2，即：2＜a﹣1＜6，∴3＜a＜7．故答案为：3＜a＜7．【点评】此类求三角形第三边的范围的题，实际上就是根据三角形三边关系定理列出不等式，然后解不等式即可．16．△ABC三边的长a、b、c均为整数，a＞b＞c，a＝8，则满足条件的三角形共有9个．【分析】结合三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”和已知条件，进行分析．【解答】解：根据已知条件和三角形的三边关系，得当a＝8，b＝7时，则c＝6或5或4或3或2；当a＝8，b＝6时，则c＝5或4或3；当a＝8，b＝5时，则c＝4．则满足条件的三角形共有9个．故答案为：9．【点评】考查了三角形三边关系，此题要能够把已知条件和三角形的三边关系结合起来考虑．17．如图，平面内有五个点，以其中任意三个点为顶点画三角形，最多可以画10个三角形．【分析】根据题意画出图形即可得到结论．【解答】解：如图所示，以A，B为顶点，得△ABC，△ADB，△ABE，以A，C为顶点，得△ACD，ACE，以A，D为顶点，得△ADE，以B，C为顶点，得△BCE，△BCD，以B，D为顶点，得△BDE，以C，D为顶点，得△CDE，故以其中任意三个点为顶点画三角形，最多可以画10个三角形，故答案为：10．【点评】本题考查了三角形，正确的画出图形是解题的关键．18．已知a、b、c为△ABC的三边，化简：|a+b﹣c|﹣|a﹣b﹣c|+|a﹣b+c|＝3a﹣b﹣c．【分析】根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，来判定绝对值里的式子的正负值，然后去绝对值进行计算即可．【解答】解：∵a、b、c为△ABC的三边，∴a+b﹣c＞0，b+c﹣a＞0，a+c﹣b＞0|a+b﹣c|﹣|a﹣b﹣c|+|a﹣b+c|＝a+b﹣c+a﹣b﹣c+a﹣b+c＝3a﹣b﹣c．故答案为：3a﹣b﹣c．【点评】此题主要考查了三角形三边关系，以及绝对值的性质，关键是掌握三边关系定理．19．如图，要使四边形木架不变形，至少要钉上1根木条．【分析】当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性，而四边形不具有稳定性．【解答】解：根据三角形具有稳定性，在四边形的对角线上添加一根木条即可．故答案为：1【点评】本题主要考查了三角形的稳定性，解题时注意：三角形具有稳定性，这一特性主要应用在实际生活中．20．如图，△ABC中，∠ACB＞90°，AD⊥BC，BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别为D、E、F，则线段BE 是△ABC中AC边上的高．【分析】根据过三角形的一个顶点向对边引垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线解答．【解答】解：∵BE⊥AC，∴△ABC中AC边上的高是BE．故答案为：BE【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线和高，是基础题，熟记概念是解题的关键．21．如图，AD⊥BC于D，那么图中以AD为高的三角形有6个．【分析】由于AD⊥BC于D，图中共有6个三角形，它们都有一边在直线CB上，由此即可确定以AD 为高的三角形的个数．【解答】解：∵AD⊥BC于D，而图中有一边在直线CB上，且以A为顶点的三角形有6个，∴以AD为高的三角形有6个．故答案为：6【点评】此题主要考查了三角形的高，三角形的高可以在三角形外，也可以在三角形内，所以确定三角形的高比较灵活．22．如图，工人师傅砌门时，常用木条EF固定长方形门框ABCD，使其不变形，这样做的根据是三角形的稳定性．【分析】根据三角形的稳定性，可直接填空．【解答】解：加上EF后，原图形中具有△AEF了，故这种做法根据的是三角形的稳定性．故答案为：三角形的稳定性．【点评】本题考查三角形稳定性的实际应用，三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连接辅助线转化为三角形而获得．23．已知a、b、c为△ABC的三边，则化简|a+b+c|﹣|a﹣b﹣c|﹣|a﹣b+c|﹣|a+b﹣c|＝0．【分析】根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，来判定绝对值里的式子的正负值，然后去绝对值进行计算即可．【解答】解：|a+b+c|﹣|a﹣b﹣c|﹣|a﹣b+c|﹣|a+b﹣c|，＝（a+b+c）﹣（﹣a+b+c）﹣（a﹣b+c）﹣（a+b﹣c），＝a+b+c+a﹣b﹣c﹣a+b﹣c﹣a﹣b+c，＝0，故答案为：0．【点评】此题主要考查了三角形三边关系，以及绝对值的性质，关键是掌握三边关系定理．24．如图，以AD为高的三角形共有6个．【分析】由于AD ⊥BC 于D ，图中共有6个三角形，它们都有一边在直线CB 上，由此即可确定以AD 为高的三角形的个数．【解答】解：∵AD ⊥BC 于D ，而图中有一边在直线CB 上，且以A 为顶点的三角形有6个，∴以AD 为高的三角形有6个．故答案为：6【点评】此题主要考查了三角形的高，三角形的高可以在三角形外，也可以在三角形内，所以确定三角形的高比较灵活．三．解答题（共6小题）25．已知多项式x 2+4x +5可以写成（x ﹣1）2+m （x ﹣1）+n 的形式．（1）求m ，n ；（2）△ABC 的两边AB 、AC 的长分别是m 、n ，请直接写出第三条边BC 上的中线c 的取值范围．【分析】（1）根据（x ﹣1）（mx +n ）＝mx 2+（n ﹣m ）x ﹣n ＝x 2+2x ﹣3直接对应得出答案即可；（2）如图，延长AD 到E ，使AD ＝DE ，连接CE ，则可得△ABD ≌△ECD ，得出AB ＝CE ，在△ACE 中，由三角形三边关系，即可求解结论．【解答】解：（1）∵（x ﹣1）2+m （x ﹣1）+n ＝x 2+（m ﹣2）x +1﹣m +n ＝x 2+4x +5，∴{m −2=41−m +n =5， ∴{m =6n =10； （2）如图，延长AD 到E ，使AD ＝DE ，连接CE ，∵AD 是△ABC 中BC 边上的中线，∴BD ＝CD ，又AD ＝DE ，∠ADB ＝∠CDE ，∴△ABD ≌△ECD （SAS ），∴AB ＝CE ，在△ACE 中，AC ﹣CE ＜AE ＜AC +CE ，即AC ﹣AB ＜AE ＜AC +AB ，∵AB ＝m ＝6，AC ＝n ＝10，∴10﹣6＜AE ＜10+6，即4＜AE ＜16，∴2＜c ＜8．【点评】本题主要考查了因式分解的应用、全等三角形的判定及性质以及三角形三边关系问题，解决问题的关键是熟练掌握三角形的三边关系定理．26．若a，b，c是△ABC三边的长，化简：|a+b﹣c|+|b﹣a﹣c|﹣|c﹣a﹣b|．【分析】根据三角形的三边关系判断出a+b﹣c，b﹣a﹣c及c﹣a﹣b的符号，再去绝对值符号，合并同类项即可．【解答】解：∵a、b、c是△ABC的三边的长，∴a+b﹣c＞0，b﹣a﹣c＜0，c﹣a﹣b＜0，∴原式＝a+b﹣c﹣b+a+c+c﹣a﹣b＝a﹣b+c．【点评】本题考查的是三角形三边关系，熟知三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解答此题的关键．27．如图，AD是△ABC的中线，AB：AD：BC＝13：12：10，△ABD的周长是60cm．求AC．【分析】设AB＝13x，AD＝12x，BC＝10x，则BD＝CD＝5x，所以13x+12x+5x＝60，解得x＝2，根据勾股定理的逆定理可证明△ABD为直角三角形，∠ADB＝90°，所以AD垂直平分BC，从而得到AC＝AB＝26（cm）．【解答】解：设AB＝13x，AD＝12x，BC＝10x，∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD＝5x，∵△ABD的周长是60cm，∴13x+12x+5x＝60，解得x＝2，∴BD＝10，AD＝24，AB＝26，∵102+242＝262，∴BD2+AD2＝AB2，∴△ABD为直角三角形，∠ADB＝90°，∴AD⊥BC，而BD＝CD，∴AC＝AB＝26（cm）．【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线和高：正确理解三角形的角平分线、中线和高的定义．也考查了勾股定理的逆定理．28．如图，在△ABC中，点D在BC上，且∠BAD＝∠CAD，E是AC的中点，BE交AD于点F．图中哪条线段是哪个三角形的角平分线？哪条线段是哪个三角形的中线？【分析】利用角平分线和中线的定义解答即可．【解答】解：AD是△ABC的角平分线，AF是△ABE的角平分线；BE是△ABC的中线，DE是△ADC的中线．【点评】此题考查三角形的角平分线、高和中线，关键是利用角平分线和中线的定义解答．29．如图，已知△ABC．（1）若AB＝4，AC＝5，则BC边的取值范围是1＜BC＜9；（2）点D为BC延长线上一点，过点D作DE∥AC，交BA的延长线于点E，若∠E＝55°，∠ACD＝125°，求∠B的度数．【分析】（1）利用三角形的三边关系确定第三边的取值范围即可；（2）首先利用平行线的性质确定∠EDB的度数，然后利用三角形内角和定理确定∠B的度数即可．【解答】解：（1）∵AB＝4，AC＝5，∴5﹣4＜BC＜4+5，即1＜BC＜9，故答案为：1＜BC＜9；（2）∵∠ACD＝125°，∴∠ACB＝180°﹣∠ACD＝55°，∵DE∥AC，∴∠BDE＝∠ACB＝55°．∵∠E＝55°，∴∠B＝180°﹣∠E﹣∠BDE＝180°﹣55°﹣55°＝70°．【点评】本题考查了三角形的三边关系及平行线的性质，解题的关键是能够了解三角形的三边关系及两直线平行同位角相等的知识，难度不大．30．如图，在△ABC中，∠1＝∠2，点E、F、G分别在BC、AB、AC上．（1）若在△BCD中，BC＝5，BD＝4，设CD的长为奇数，则CD的取值是3，5，7；（2）若EF⊥AB，DG∥BC，请判断CD与AB的位置关系，并说明理由．【分析】（1）根据三角形三边关系定理求出CD取值范围，再根据CD的长为奇数即可得出CD的取值；（2）由平行线的性质和已知条件可证明CD∥EF，可求得∠CDB＝90°，可判断CD⊥AB．【解答】解：（1）∵在△BCD中，BC＝5，BD＝4，∴1＜CD＜9，∵CD的长为奇数，∴CD的取值是3，5，7．故答案为3，5，7；（2）CD⊥AB．理由如下：∴DG∥BC，∴∠1＝∠DCB，∵∠1＝∠2，∴∠2＝∠DCB，∴CD∥EF，∴∠CDB＝∠EFB，∵EF⊥AB，∴∠EFB＝90°，∴∠CDB＝90°，∴CD⊥AB．【点评】本题考查了三角形三边关系定理，平行线的性质和判定，掌握定理与性质是解题的关键．。
苏科新版七年级数学下学期 7.4 认识三角形 同步练习卷 包含答案
7.4 认识三角形一．选择题（共17小题）1．三角形的3边长分别是xcm、（x+1）cm、（x+2）cm，它的周长不超过33cm．则x的取值范围是（）A．x≤10 B．x≤11 C．1＜x≤10 D．2＜x≤112．已知三角形的两边长分别为4和9，则此三角形的第三边长可能为（）A．9 B．4 C．5 D．133．用下列长度的三根木棒首尾相接，不能做成三角形框架的是（）A．2cm、4cm、3cm B．6cm、12cm、5cmC．4cm、5cm、3cm D．4cm、5cm、8cm4．下面各组线段中，能组成三角形的是（）A．2，3，4 B．4，4，8 C．5，4，10 D．6，7，145．如图，为了估计一池塘岸边两点A，B之间的距离，小丽同学在池塘一侧选取了一点P，测得PA＝5m，PB＝4m，那么点A与点B之间的距离不可能是（）A．6m B．7m C．8m D．9m6．能把一个任意三角形分成面积相等的两部分是（）A．角平分线B．中线C．高D．A、B、C都可以7．如图，△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，AC＝8，点E是AB的中点，CD＝BC，则△BDE 的面积是（）A．6 B．7 C．10 D．128．长为11，8，6，4的四根木条，选其中三根组成三角形，有（）种选法．A．1 B．2 C．3 D．49．如图，△ABC中，AD⊥BC于点D，BE⊥CA于点E，则AC边上的高是（）A．AD B．AB C．DC D．BE10．a，b，c为△ABC的三边，化简|a+b+c|﹣|a﹣b﹣c|﹣|a﹣b+c|﹣|a+b﹣c|，结果是（）A．0 B．2a+2b+2c C．4a D．2b﹣2c11．画△ABC的边AB上的高，下列画法中，正确的是（）A．B．C．D．12．已知三角形的三边分别为4、a、7，且a是奇数，那么周长是（）A．16 B．16或18C．16或18或20 D．以上答案都错13．两根木棒分别长5cm、7cm，第三根木棒与这两根木棒首尾依次相接构成三角形．如果第三根木棒的长是偶数（单位：cm），则一共可以构成不同的三角形有（）A．4个B．5个C．8个D．10个14．如图，∠ACB＞90°，AD⊥BC，BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别为点D、点E、点F，△ABC 中AC边上的高是（）A．CF B．BE C．AD D．CD15．若三角形中的一条边是另一条边的2倍，且有一个角为30°，则这个三角形是（）A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．以上都不对16．如图，工人师傅砌门时，常用木条EF固定矩形门框ABCD，使其不变形，这种做法的根据是（）A．两点之间线段最短B．矩形的对称性C．矩形的四个角都是直角D．三角形的稳定性17．三角形的边长都是整数，并且唯一的最长边是6，则这样的三角形共有（）A．5个B．6个C．7个D．12个二．填空题（共10小题）18．如图，网格中的小正方形的边长是1，那么阴影部分的面积是．19．如图，△ABC中，点E是BC上的一点，EC＝3BE，点D是AC中点，若S△ABC＝36，则S﹣S△BEF＝．△ADF20．如图，为了使一扇旧木门不变形，木工师傅在木门的背后加钉了一根木条，这样做的道理是．21．如图△ABC中，分别延长边AB，BC，CA，使得BD＝AB，CE＝2BC，AF＝3CA，若△ABC 的面积为1，则△DEF的面积为．22．三角形的两边长分别是3、5，第三边长为偶数，则第三边长为．23．如图，AD，AE分别是△ABC的中线和高，BC＝6cm，AE＝4cm，则△ABC的面积为，△ABD的面积为．24．如图，将△ABC的各边都延长一倍至A′、B′、C′，连接这些点，得到一个新的三角形△A′B′C′，若△ABC的面积为3，则△A′B′C′的面积是．25．AD是△ABC的一条高，如果∠BAD＝65°，∠CAD＝30°，则∠BAC＝．26．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，6），点B（4，3），P是x轴上的一个动点．作OQ⊥AP，垂足为点Q，连接QB，则△AQB的面积的最大值为．27．如图，△ABC中，D、E分别为AB、AC上的点，BE、CD相交于点G，若G为△ABC的重心，则DE：BC＝，△BDG的面积：△BEC的面积＝．参考答案与试题解析一．选择题（共17小题）1．【解答】解：∵一个三角形的3边长分别是xcm，（x+1）cm，（x+2）cm，它的周长不超过33cm，∴，解得1＜x≤10．故选：C．2．【解答】解：设第三边为x，则9﹣4＜x＜9+4，5＜x＜13，符合的数只有9，故选：A．3．【解答】解：A、2+3＞4，能组成三角形，故本选项错误；B、6+5＝11＜12，不能组成三角形，故本选项正确；C、3+4＞5，能组成三角形，故本选项错误；D、5+4＞8，能组成三角形，故本选项错误．故选：B．4．【解答】解：A、2+3＞4，能组成三角形；B、4+4＝8，不能组成三角形；C、5+4＜9，不能组成三角形；D、6+7＜14，不能组成三角形．故选：A．5．【解答】解：∵PA、PB、AB能构成三角形，∴PA﹣PB＜AB＜PA+PB，即1m＜AB＜9m．故选：D．6．【解答】解：三角形的中线把三角形分成等底等高的两个三角形，面积相等，所以，能把一个任意三角形分成面积相等的两部分是中线．故选：B．7．【解答】解：连接CE，∵在△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，AC＝8，E是AB的中点，∴S△BEC＝S△ABC，∵CD＝BC，∴S△BDE＝S△BEC＝×××4×8＝6，故选：A．8．【解答】解：其中三根组成三角形有4种选法，它们分别是①4，6，8②4，6，11③4，8，11④6，8，11．再根据三角形的三边关系，显然②不符合．故有3种选法，即①4，6，8；③4，8，11；④6，8，11．故选：C．9．【解答】解：AC边上的高是BE，故选：D．10．【解答】解：|a+b+c|﹣|a﹣b﹣c|﹣|a﹣b+c|﹣|a+b﹣c|＝（a+b+c）﹣（b+c﹣a）﹣（a﹣b+c）﹣（a+b﹣c）＝a+b+c﹣b﹣c+a﹣a+b﹣c﹣a﹣b+c＝0故选：A．11．【解答】解：过点C作边AB的垂线段，即画AB边上的高CD，所以画法正确的是D．故选：D．12．【解答】解：根据三角形的三边关系，得7﹣4＜a＜7+4，即3＜a＜11．又a是奇数，则x＝5或7或9．则三角形的周长是4+7+5＝16或4+7+7＝18或4+7+9＝20．故选：C．13．【解答】解：根据三角形的三边关系，得第三根木棒的长大于2cm而小于12cm．又第三根木棒的长是偶数，则应为4cm，6cm，8cm，10cm．共可以构成4个不同的三角形故选：A．14．【解答】解：△ABC中，画AC边上的高，是线段BE．故选：B．15．【解答】解：如图：（1）当AB是30°角所对的边AC的2倍时，△ABC是直角三角形；（2）当AB是30°角相邻的边AC的2倍时，△ABC是钝角三角形．所以三角形的形状不能确定．故选：D．16．【解答】解：加上EF后，原不稳定的四边形ABCD中具有了稳定的△EAF，故这种做法根据的是三角形的稳定性．故选：D．17．【解答】解：当2边长分别为6，5时，1＜第3边＜6，可取2，3，4，5共4个数；当2边长为6，4时，2＜第3边＜6，可取3，4，5共3个数；当2边长为6，3时，3＜第3边＜6，可取4，5共2个数；当2边长为6，2时，4＜第3边＜6，可取5一个数；去掉重合的6，5，4；6，5，3；6，5，2；6，4，3，4组，这样的三角形共有4+3+2+1﹣4＝6（组）．故选B．二．填空题（共10小题）18．【解答】解：如图所示：S四边形形BEHK＝S正方形ABCD﹣S梯形ABEF﹣S△EFH﹣S△HCK﹣S△BDK＝3×3﹣﹣﹣﹣＝9﹣2﹣﹣1﹣＝4故答案为4．19．【解答】解：如图1所示，连接CF，∵EC＝3BE，AD＝DC，∴3S△BEF＝S△EFC，S△DCF＝S△ADF，S△BDC＝＝18，S△AEC＝×36＝27 设S△BEF＝x，则S△EFC＝3x，设S△DCF＝S△ADF＝y，则有，解得，∴S△ADF﹣S△BEF＝9．故答案为：9．20．【解答】解：这样做的道理是利用三角形的稳定性．21．【解答】解：连接AE和CD，∵BD＝AB，∴S△ABC＝S△BCD＝1，S△ACD＝1+1＝2，∵AF＝3AC，∴FC＝4AC，∴S△FCD＝4S△ACD＝4×2＝8，同理可以求得：S△ACE＝2S△ABC＝2，则S△FCE＝4S△ACE＝4×2＝8；S△DCE＝2S△BCD＝2×1＝2；∴S△DEF＝S△FCD+S△FCE+S△DCE＝8+8+2＝18．22．【解答】解：∵三角形的两边的长分别为3和5，∴第三边的取值范围为：2＜x＜8，∴符合条件的偶数为4或6，故答案为：4或623．【解答】解：∵AD，AE分别是△ABC的中线和高，BC＝6cm，AE＝4cm，∴S△ABC＝BC•AE＝＝12，∴S△ABD＝S△ABC＝6，故答案为：12，6．24．【解答】解：连接C′B，∵AA′＝2AB，∴S△A′C′A＝2S△BAC′，∵CC′＝2AC，∴S△ABC′＝S△ABC＝3，∴S△A′C′A＝6，同理：S△A′BC＝S△CC′B′＝6，∴△A′B′C′的面积是6+6+6+3＝21，故答案为：21．25．【解答】解：当AD在三角形的内部时，∠BAC＝∠BAD+∠CAD＝65°+30°＝95°；当AD在三角形的外部时，∠BAC＝∠BAD﹣∠CAD＝65°﹣30°＝35°．故答案为：95°或35°．26．【解答】解：∵点A（0，6），点B（4，3），∴AB＝＝5，∴当Q点AB的距离最大时△AQB的面积的最大，作BH⊥OA于H，则H（0，3），∴H点为OA的中点，∵OQ⊥PA，∴∠OQA＝90°，∴点Q在以OA为直径的圆上，∴当QH⊥BC时，Q点AB的距离最大，如图，Q′H⊥AB于C，则HC＝＝，∴CQ′＝3+＝，∴△AQB的面积的最大值＝×5×＝．故答案为．27．【解答】解：∵G为△ABC的重心，∴D、E分别为AB、AC上的中点，∴DE∥BC，DE＝BC，∴△BDG的面积＝△CGE的面积，∵G为△ABC的重心，∴EG＝EB，∴△CEG的面积：△BEC的面积＝1：3，∴△BDG的面积：△BEC的面积＝1：3，故答案为：1：2；1：3．。
苏科版七年级数学下册7.4认识三角形同步测试(包含答案)
第七章平面图形认识（二）第6课时认识三角形一、选择题1．已知一个三角形的两边长分别是2和3，则以下数据中，可作为第三边的长的是【】A．1B．3C．5D．72．以下哪组数据能构成三角形的三边【】A．1cm、2cm、3cm B．2cm、3cm、4cm C．4cm、4cm、9cm D．1cm、2cm、4cm3．一个三角形三边长分别为3、4、x，则x的取值范围是【】A．x＞2B．x＜5C．3＜x＜5D．1＜x＜74．三角形的两边长分别为3和5，第三边长是偶数，则第三边长能够是【】A．2B．3C．4D．85．若三角形的三边长分别为3，4，x-1，则x的取值范围是【】A．0＜x＜8B．2＜x＜8C．0＜x＜6D．2＜x＜6 6．以下说法中正确的选项是【】．有且只有一条直线垂直于已知直线．相互垂直的两条线段必定订交．三角形的高、中线、角均分线都是线段7．三角形的高线是【】A．直线B．线段C．射线D．三种状况都可能8．在三角形中，交点必定在三角形内部的有①三角形的三条高线②三角形的三条中线③三角形的三条角均分线④三角形的外角均分线【】A．①②③④B．①②③C．①④D．②③9．以下说法中：①三条线段构成的图形叫做三角形；②三角形的角均分线是射线；③三角形的三条高所在的直线订交于一点，这一点不在三角形的内部，就在三角形的外面；④三角形的三条中线订交于一点，且这点必定在三角形的内部．此中正确的有【】A．4个B．3个C．2个D．1个10．三角形的以下四种线段中必定能将三角形分红面积相等的两部分的是【】A．角均分线B．中位线C．高D．中线二、填空题11．已知三角形的两边长为4，8，则第三边的长度能够是_________（写出一个即可）．12．假如三角形的两条边长分别为23cm和10cm，第三边与此中一边的长相等，那么第三边的长为_________．12．若一个边长都是整数的三角形周长是15cm，则知足条件的三角形有_________种．14．小明有两根3cm、7cm的木棒，他想以这两根木棒为边做一个等腰三角形，还需再采用一根_________．长的木棒15．已知：在△ABC中，AB=3，AC=7，BC长是正整数，当△ABC的周长最大时，此时BC的长为_________．16．假如三角形的三条高的交点落在一个极点上，那么它的形状是_________．17．已知BD是△ABC的一条中线，△ABD与△BCD的周长分别为24，17，则AB-BC的长是_________．18．如图，AD、BE、CF ABC的3条中线，若AF=2cm，则AB=____cm,若BD=5cm,则BC=____cm,若是AE=2cm，则AC=____cm.则ABC的周长是_______cm．AAEFCB DBDE CF第20题第18题第19题19．如图，在△ABC 中，AD 是高，AE 是角均分线，BF 是中线，则∠＝∠＝90o；∠＝∠＝1BAC ；＝＝ 1AC ．2220．如图，（1）△ABC 的边BC 上的高是 ；（2）△ADC 的边DC 上的高是；cm 2．（3）△EBC 的边EC 上的高是 ；（4）AB ＝2cm ，CF ＝2cm ，△ABC 的面积S ＝_____三、解答题21．等腰三角形的两边长分别为3和6，求这个等腰三角形的周长22．已知a 、b 、c 是△ABC 的三边长，化简|a+b-c|+|a-b-c|23．已知三角形的两边a=3，b=7，第三边是c ，且a ＜b ＜c ，求c 的取值范围？24．小亮家离学校1千米，小明家离学校 3千米，假如小亮家与小明家相距 x 千米，那么求x 的取值范围？25．如图，线段AB=CD ，AB 与CD 订交于?，且∠A?C=60°，CE 是由AB 平移所得，判断AC+BD 与AB 的大小关系？并说明原因。
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7.4 认识三角形一．选择题（共8小题）1．下列每组数分别是三根木棒的长度，能用它们摆成三角形的是（）A．3cm，4cm，8cm B．8cm，7cm，15cmC．5cm，5cm，11cm D．13cm，12cm，20cm2．若一个三角形的两边长分别为3和7，则第三边长可能是（）A．6 B．3 C．2 D．113．下列长度的三条线段不能组成三角形的是（）A．5，5，10 B．4，5，6 C．4，4，4 D．3，4，54．如图，过△ABC的顶点A，作BC边上的高，以下作法正确的是（）A．B．C．D．5．如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=BC=2，E、F分别是AD、CD的中点，连接BE、BF、EF．若四边形ABCD的面积为6，则△BEF的面积为（）A．2 B．C．D．36．如图，△ABC的面积为16，点D是BC边上一点，且BD=BC，点G是AB 上一点，点H在△ABC内部，且四边形BDHG是平行四边形，则图中阴影部分的面积是（）A．3 B．4 C．5 D．67．下列四个图形中，线段BE是△ABC的高的是（）A．B．C．D．8．如图1，M是铁丝AD的中点，将该铁丝首尾相接折成△ABC，且∠B=30°，∠C=100°，如图2．则下列说法正确的是（）A．点M在AB上B．点M在BC的中点处C．点M在BC上，且距点B较近，距点C较远D．点M在BC上，且距点C较近，距点B较远二．填空题（共7小题）9．各边长度都是整数、最大边长为8的三角形共有个．10．一个三角形的两边长分别是2和3，若它的第三边长为奇数，则这个三角形的周长为．11．若一个三角形三边长分别为2，3，x，则x的值可以为（只需填一个整数）12．如图，D、E分别是△ABC边AB、BC上的点，AD=2BD，BE=CE，设△ADC 的面积为S1，△ACE的面积为S2，若S△ABC=6，则S1﹣S2的值为．13．如图，△ABC三边的中线AD、BE、CF的公共点为G，若S△ABC=12，则图中阴影部分的面积是．14．如图，三个正方形的边长分别为2，6，8；则图中阴影部分的面积为．15．由6根钢管首尾顺次铰接而成六边形钢架ABCDEF，相邻两钢管可以转动．已知各钢管的长度为AB=DE=1米，BC=CD=EF=FA=2米．（铰接点长度忽略不计）（1）转动钢管得到三角形钢架，如图1，则点A，E之间的距离是米．（2）转动钢管得到如图2所示的六边形钢架，有∠A=∠B=∠C=∠D=120°，现用三根钢条连接顶点使该钢架不能活动，则所用三根钢条总长度的最小值是米．三．解答题（共5小题）16．如图，已知△ABC．（1）请你在BC边上分别取两点D，E（BC的中点除外），连接AD，AE，写出使此图中只存在两对面积相等的三角形的相应条件，并表示出面积相等的三角形；（2）请你根据使（1）成立的相应条件，证明AB+AC＞AD+AE．17．两条平行直线上各有n个点，用这n对点按如下的规则连接线段；①平行线之间的点在连线段时，可以有共同的端点，但不能有其它交点；②符合①要求的线段必须全部画出；图1展示了当n=1时的情况，此时图中三角形的个数为0；图2展示了当n=2时的一种情况，此时图中三角形的个数为2；（1）当n=3时，请在图3中画出使三角形个数最少的图形，此时图中三角形的个数为个；（2）试猜想当n对点时，按上述规则画出的图形中，最少有多少个三角形？（3）当n=时，按上述规则画出的图形中，最少有多少个三角形？18．探索：在如图1至图3中，△ABC的面积为a．（1）如图1，延长△ABC的边BC到点D，使CD=BC，连接DA．若△ACD的面积为S1，则S1=（用含a的代数式表示）；（2）如图2，延长△ABC的边BC到点D，延长边CA到点E，使CD=BC，AE=CA，连接DE．若△DEC的面积为S2，则S2=（用含a的代数式表示），并写出理由；（3）在图2的基础上延长AB到点F，使BF=AB，连接FD、FE，得到△DEF （如图3）．若阴影部分的面积为S3，则S3=（用含a的代数式表示）．发现：像上面那样，将△ABC各边均顺次延长一倍，连接所得端点，得到△DEF（如图3），此时，我们称△ABC向外扩展了一次．可以发现，扩展一次后得到的△DEF 的面积是原来△ABC面积的倍．应用：去年在面积为10m2的△ABC空地上栽种了某种花卉．今年准备扩大种植规模，把△ABC向外进行两次扩展，第一次由△ABC扩展成△DEF，第二次由△DEF 扩展成△MGH（如图4）．求这两次扩展的区域（即阴影部分）面积共为多少平方米？19．在平面内，分别用3根、5根、6根…火柴首尾依次相接，能搭成什么形状的三角形呢？通过尝试，列表如下所示，问：（1）4根火柴能搭成三角形吗？（2）8根、12根火柴能搭成几种不同形状的三角形？并画出它们的示意图．20．某课题研究小组就图形面积问题进行专题研究，他们发现如下结论：（1）有一条边对应相等的两个三角形面积之比等于这条边上的对应高之比；（2）有一个角对应相等的两个三角形面积之比等于夹这个角的两边乘积之比；…现请你继续对下面问题进行探究，探究过程可直接应用上述结论．（S表示面积）问题1：如图1，现有一块三角形纸板ABC，P1，P2三等分边AB，R1，R2三等分边AC．经探究知=S△ABC，请证明．问题2：若有另一块三角形纸板，可将其与问题1中的拼合成四边形ABCD，如图2，Q1，Q2三等分边DC．请探究与S四边形ABCD之间的数量关系．问题3：如图3，P1，P2，P3，P4五等分边AB，Q1，Q2，Q3，Q4五等分边DC．若S四边形ABCD=1，求．问题4：如图4，P1，P2，P3四等分边AB，Q1，Q2，Q3四等分边DC，P1Q1，P2Q2，P3Q3将四边形ABCD分成四个部分，面积分别为S1，S2，S3，S4．请直接写出含有S1，S2，S3，S4的一个等式．参考答案一．选择题（共8小题）1．（•西宁）下列每组数分别是三根木棒的长度，能用它们摆成三角形的是（）A．3cm，4cm，8cm B．8cm，7cm，15cmC．5cm，5cm，11cm D．13cm，12cm，20cm【分析】根据三角形的三边关系，两边之和大于第三边，即两短边的和大于最长的边，即可作出判断．【解答】解：A、3+4＜8，故以这三根木棒不可以构成三角形，不符合题意；B、8+7=15，故以这三根木棒不能构成三角形，不符合题意；C、5+5＜11，故以这三根木棒不能构成三角形，不符合题意；D、12+13＞20，故以这三根木棒能构成三角形，符合题意．故选D．【点评】本题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握三角形两边之和大于第三边．2．（•长沙）若一个三角形的两边长分别为3和7，则第三边长可能是（）A．6 B．3 C．2 D．11【分析】根据三角形三边关系，两边之和第三边，两边之差小于第三边即可判断．【解答】解：设第三边为x，则4＜x＜10，所以符合条件的整数为6，故选A．【点评】本题考查三角形三边关系定理，记住两边之和第三边，两边之差小于第三边，属于基础题，中考常考题型．3．（•河池）下列长度的三条线段不能组成三角形的是（）A．5，5，10 B．4，5，6 C．4，4，4 D．3，4，5【分析】根据三角形任意两边的和大于第三边，进行分析判断．【解答】解：A、5+5=10，不能组成三角形，故此选项正确；B、4+5=9＞6，能组成三角形，故此选项错误；C、4+4=8＞4，能组成三角形，故此选项错误；D、4+3=7＞5，能组成三角形，故此选项错误．故选：A．【点评】本题考查了能够组成三角形三边的条件．注意：用两条较短的线段相加，如果大于最长那条就能够组成三角形．4．（•长沙）如图，过△ABC的顶点A，作BC边上的高，以下作法正确的是（）A．B．C．D．【分析】根据三角形高线的定义：过三角形的顶点向对边引垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线解答．【解答】解：为△ABC中BC边上的高的是A选项．故选A．【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线、高线，熟记高线的定义是解题的关键．5．（•苏州）如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=BC=2，E、F分别是AD、CD的中点，连接BE、BF、EF．若四边形ABCD的面积为6，则△BEF 的面积为（）A．2 B．C．D．3【分析】连接AC，过B作EF的垂线，利用勾股定理可得AC，易得△ABC的面积，可得BG和△ADC的面积，三角形ABC与三角形ACD同底，利用面积比可得它们高的比，而GH又是△ACD以AC为底的高的一半，可得GH，易得BH，由中位线的性质可得EF的长，利用三角形的面积公式可得结果．【解答】解：连接AC，过B作EF的垂线交AC于点G，交EF于点H，∵∠ABC=90°，AB=BC=2，∴AC===4，∵△ABC为等腰三角形，BH⊥AC，∴△ABG，△BCG为等腰直角三角形，∴AG=BG=2∵S△ABC=•AB•AC=×2×2=4，∴S△ADC=2，∵=2，∴GH=BG=，∴BH=，又∵EF=AC=2，∴S△BEF=•EF•BH=×2×=，故选C．【点评】此题主要考查了三角形面积的运算，作出恰当的辅助线得到三角形的底和高是解答此题的关键．6．（2016•淄博）如图，△ABC的面积为16，点D是BC边上一点，且BD= BC，点G是AB上一点，点H在△ABC内部，且四边形BDHG是平行四边形，则图中阴影部分的面积是（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】设△ABC底边BC上的高为h，△AGH底边GH上的高为h1，△CGH 底边GH上的高为h2，根据图形可知h=h1+h2．利用三角形的面积公式结合平行S△ABC，由此即可得出结论．四边形的性质即可得出S阴影=【解答】解：设△ABC底边BC上的高为h，△AGH底边GH上的高为h1，△CGH底边GH上的高为h2，则有h=h1+h2．S△ABC=BC•h=16，S阴影=S△AGH+S△CGH=GH•h1+GH•h2=GH•（h1+h2）=GH•h．∵四边形BDHG是平行四边形，且BD=BC，∴GH=BD=BC，×（BC•h）=S△ABC=4．∴S阴影=故选B．【点评】本题考查了三角形的面积公式以及平行四边形的性质，解题的关键是找S△ABC．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据三角形出S阴影=的面积公式找出阴影部分的面积与△ABC的面积之间的关系是关键．7．（2015•广安）下列四个图形中，线段BE是△ABC的高的是（）A．B．C．D．【分析】根据三角形高的画法知，过点B作AC边上的高，垂足为E，其中线段BE是△ABC的高，再结合图形进行判断．【解答】解：线段BE是△ABC的高的图是选项D．故选D．【点评】本题主要考查了三角形的高，三角形的高是指从三角形的一个顶点向对边作垂线，连接顶点与垂足之间的线段．熟记定义是解题的关键．8．（2013•河北）如图1，M是铁丝AD的中点，将该铁丝首尾相接折成△ABC，且∠B=30°，∠C=100°，如图2．则下列说法正确的是（）A．点M在AB上B．点M在BC的中点处C．点M在BC上，且距点B较近，距点C较远D．点M在BC上，且距点C较近，距点B较远【分析】根据钝角三角形中钝角所对的边最长可得AB＞AC，取BC的中点E，求出AB+BE＞AC+CE，再根据三角形的任意两边之和大于第三边得到AB＜AD，从而判定AD的中点M在BE上．【解答】解：∵∠C=100°，∴AB＞AC，如图，取BC的中点E，则BE=CE，∴AB+BE＞AC+CE，由三角形三边关系，AC+BC＞AB，∴AB＜AD，∴AD的中点M在BE上，即点M在BC上，且距点B较近，距点C较远．故选：C．【点评】本题考查了三角形的三边关系，作辅助线把△ABC的周长分成两个部分是解题的关键，本题需要注意判断AB的长度小于AD的一半，这也是容易忽视而导致求解不完整的地方．二．填空题（共7小题）9．（2015•佛山）各边长度都是整数、最大边长为8的三角形共有20个．【分析】利用三角形三边关系进而得出符合题意的答案即可．【解答】解：∵各边长度都是整数、最大边长为8，∴三边长可以为：1，8，8；2，7，8；2，8，8；3，6，8；3，7，8；3，8，8；4，5，8；4，6，8；4，7，8；4，8，8；5，5，8；5，6，8；5，7，8；5，8，8；6，6，8；6，7，8；6，8，8；7，7，8；7，8，8；8，8，8；故各边长度都是整数、最大边长为8的三角形共有20个．故答案为：20．【点评】此题主要考查了三角形三边关系，正确分类讨论得出是解题关键．10．（2015•朝阳）一个三角形的两边长分别是2和3，若它的第三边长为奇数，则这个三角形的周长为8．【分析】首先设第三边长为x，根据三角形的三边关系可得3﹣2＜x＜3+2，然后再确定x的值，进而可得周长．【解答】解：设第三边长为x，∵两边长分别是2和3，∴3﹣2＜x＜3+2，即：1＜x＜5，∵第三边长为奇数，∴x=3，∴这个三角形的周长为2+3+3=8，故答案为：8．【点评】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边．11．（2014•淮安）若一个三角形三边长分别为2，3，x，则x的值可以为4（只需填一个整数）【分析】根据三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边可得x的取值范围．【解答】解：根据三角形的三边关系可得：3﹣2＜x＜3+2，即：1＜x＜5，所以x可取整数4．故答案为：4．【点评】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．12．（2013•济南）如图，D、E分别是△ABC边AB、BC上的点，AD=2BD，BE=CE，设△ADC的面积为S1，△ACE的面积为S2，若S△ABC=6，则S1﹣S2的值为1．【分析】根据等底等高的三角形的面积相等求出△AEC的面积，再根据等高的三角形的面积的比等于底边的比求出△ACD的面积，然后根据S1﹣S2=S△ACD﹣S△ACE计算即可得解．【解答】解：∵BE=CE，∴S△ACE=S△ABC=×6=3，∵AD=2BD，∴S△ACD=S△ABC=×6=4，∴S1﹣S2=S△ACD﹣S△ACE=4﹣3=1．故答案为：1．【点评】本题考查了三角形的面积，主要利用了等底等高的三角形的面积相等，等高的三角形的面积的比等于底边的比，需熟记．13．（2015•东莞）如图，△ABC三边的中线AD、BE、CF的公共点为G，若S△ABC=12，则图中阴影部分的面积是4．【分析】根据三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分，知△ABC的面积即为阴影部分的面积的3倍．【解答】解：∵△ABC的三条中线AD、BE，CF交于点G，∴S△CGE=S△AGE=S△ACF，S△BGF=S△BGD=S△BCF，∵S△ACF=S△BCF=S△ABC=×12=6，∴S△CGE=S△ACF=×6=2，S△BGF=S△BCF=×6=2，+S△BGF=4．∴S阴影=S△CGE故答案为4．【点评】根据三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分，该图中，△BGF 的面积=△BGD的面积=△CGD的面积，△AGF的面积=△AGE的面积=△CGE 的面积．14．（2016•广安）如图，三个正方形的边长分别为2，6，8；则图中阴影部分的面积为21．【分析】根据正方形的性质来判定△ABE∽△ADG，再根据相似三角形的对应线段成比例求得BE的值；同理，求得△ACF∽△ADG，AC：AD=CF：DG，即CF=5；然后再来求梯形的面积即可．【解答】解：如图，根据题意，知△ABE∽△ADG，∴AB：AD=BE：DG，又∵AB=2，AD=2+6+8=16，GD=8，∴BE=1，∴HE=6﹣1=5；同理得，△ACF∽△ADG，∴AC：AD=CF：DG，∵AC=2+6=8，AD=16，DG=8，∴CF=4，∴IF=6﹣4=2；=（IF+HE）•HI∴S梯形IHEF=×（2+5）×6=21；所以，则图中阴影部分的面积为21．【点评】本题主要考查的是相似三角形的判定及性质、以及梯形面积的计算，解决本题的关键是利用三角形的性质定理与判定定理．15．（2016•金华）由6根钢管首尾顺次铰接而成六边形钢架ABCDEF，相邻两钢管可以转动．已知各钢管的长度为AB=DE=1米，BC=CD=EF=FA=2米．（铰接点长度忽略不计）（1）转动钢管得到三角形钢架，如图1，则点A，E之间的距离是米．（2）转动钢管得到如图2所示的六边形钢架，有∠A=∠B=∠C=∠D=120°，现用三根钢条连接顶点使该钢架不能活动，则所用三根钢条总长度的最小值是3米．【分析】（1）只要证明AE∥BD，得=，列出方程即可解决问题．（2）分别求出六边形的对角线并且比较大小，即可解决问题．【解答】解：（1）如图1中，∵FB=DF，FA=FE，∴∠FAE=∠FEA，∠B=∠D，∴∠FAE=∠B，∴AE∥BD，∴=，∴=，∴AE=，故答案为．（2）如图中，作BN⊥FA于N，延长AB、DC交于点M，连接BD、AD、BF、CF．在RT△BFN中，∵∠BNF=90°，BN=，FN=AN+AF=+2=，∴BF==，同理得到AC=DF=，∵∠ABC=∠BCD=120°，∴∠MBC=∠MCB=60°，∴∠M=60°，∴CM=BC=BM，∵∠M+∠MAF=180°，∴AF∥DM，∵AF=CM，∴四边形AMCF是平行四边形，∴CF=AM=3，∵∠BCM=∠CBD+∠CDB=60°，∠CBD=∠CDB，∴∠CBD=∠CDB=30°，∵∠M=60°，∴∠MBD=90°，∴BD==2，同理BE=2，∵＜3＜2，∴用三根钢条连接顶点使该钢架不能活动，∴连接AC、BF、DF即可，∴所用三根钢条总长度的最小值3，故答案为3．【点评】本题考查三角形的稳定性、平行线的性质、平行四边形的判定和性质、勾股定理．等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是添加辅助线构造特殊三角形以及平行四边形，属于中考常考题型．三．解答题（共5小题）16．（2007•北京）如图，已知△ABC．（1）请你在BC边上分别取两点D，E（BC的中点除外），连接AD，AE，写出使此图中只存在两对面积相等的三角形的相应条件，并表示出面积相等的三角形；（2）请你根据使（1）成立的相应条件，证明AB+AC＞AD+AE．【分析】（1）由于都是以BC所在边为底，因此边上的高都相等．要两个三角形的面积相等，只需在BC上找出两条相等线段即可；（2）可通过构建全等三角形来求解．分别过点D、B作CA、EA的平行线，两线相交于F点，DF于AB交于G点．那么我们不难得出△AEC≌△FBD，此时AC=DF，AE=BF，那么只需在三角形BFG和ADG中找出它们的关系即可．【解答】（1）解：如图1，相应的条件就应该是BD=CE≠DE，这样，△ABD和△AEC的面积相等，由于BD=CE，因此BE=CD，那么△ADC和△ABE的面积就相等．（2）证明：如图2，分别过点D、B作CA、EA的平行线，两线相交于F点，DF与AB交于G点．∴∠ACE=∠FDB，∠AEC=∠FBD在△AEC和△FBD中，又CE=BD，∴△AEC≌△FBD，∴AC=FD，AE=FB，在△AGD中，AG+DG＞AD，在△BFG中，BG+FG＞FB，即AB+FD＞AD+FB∴AB+AC＞AD+AE．【点评】本题考查了三角形面积的求法，全等三角形的判定以及三角形三边的关系．本题（2）中通过构建全等三角形将已知和所求条件转化到相关的三角形中是解题的关键．17．（2006•贵阳）两条平行直线上各有n个点，用这n对点按如下的规则连接线段；①平行线之间的点在连线段时，可以有共同的端点，但不能有其它交点；②符合①要求的线段必须全部画出；图1展示了当n=1时的情况，此时图中三角形的个数为0；图2展示了当n=2时的一种情况，此时图中三角形的个数为2；（1）当n=3时，请在图3中画出使三角形个数最少的图形，此时图中三角形的个数为4个；（2）试猜想当n对点时，按上述规则画出的图形中，最少有多少个三角形？（3）当n=2006时，按上述规则画出的图形中，最少有多少个三角形？【分析】（1）根据题意，作图可得答案；（2）分析可得，当n=1时的情况，此时图中三角形的个数为0，有0=2（1﹣1）；当n=2时的一种情况，此时图中三角形的个数为2，有2=2（2﹣1）；…故当有n对点时，最少可以画2（n﹣1）个三角形；（3）当n=2006时，按上述规则画出的图形中，最少有2×（2006﹣1）=4010个三角形．【解答】解：（1）4个；（2）当有n对点时，最少可以画2（n﹣1）个三角形；（3）2×（2006﹣1）=4010个．答：当n=2006时，最少可以画4010个三角形．【点评】此题考查了平面图形的有规律变化，要求学生通过观察图形，分析、归纳发现其中的规律，并应用规律解决问题．18．（2006•河北）探索：在如图1至图3中，△ABC的面积为a．（1）如图1，延长△ABC的边BC到点D，使CD=BC，连接DA．若△ACD的面积为S1，则S1=a（用含a的代数式表示）；（2）如图2，延长△ABC的边BC到点D，延长边CA到点E，使CD=BC，AE=CA，连接DE．若△DEC的面积为S2，则S2=2a（用含a的代数式表示），并写出理由；（3）在图2的基础上延长AB到点F，使BF=AB，连接FD、FE，得到△DEF （如图3）．若阴影部分的面积为S3，则S3=6a（用含a的代数式表示）．发现：像上面那样，将△ABC各边均顺次延长一倍，连接所得端点，得到△DEF（如图3），此时，我们称△ABC向外扩展了一次．可以发现，扩展一次后得到的△DEF 的面积是原来△ABC面积的7倍．应用：去年在面积为10m2的△ABC空地上栽种了某种花卉．今年准备扩大种植规模，把△ABC向外进行两次扩展，第一次由△ABC扩展成△DEF，第二次由△DEF 扩展成△MGH（如图4）．求这两次扩展的区域（即阴影部分）面积共为多少平方米？【分析】（1）根据三角形的面积公式，等底同高的两个三角形的面积相等；（2）运用分割法：连接AD．根据三角形的面积公式进行分析：等底同高的两个三角形的面积相等；（3）在（2）的基础上，阴影部分的面积是（2）中求得的面积的3倍；再加上原来三角形的面积进行计算．应用：根据上述结论，即扩展一次后得到的三角形的面积是原三角形的面积的7倍，则扩展两次后，得到的三角形的面积是原三角形的面积的72=49倍．从而得到扩展的区域的面积是原来的48倍．【解答】解：（1）∵BC=CD，∴△ACD和△ABC是等底同高的，即S1=a；（2）2a；理由：连接AD，∵CD=BC，AE=CA，∴S△DAC=S△DAE=S△ABC=a，∴S2=2a；（3）结合（2）得：2a×3=6a；发现：扩展一次后得到的△DEF的面积是6a+a=7a，即是原来三角形的面积的7倍．应用：拓展区域的面积：（72﹣1）×10=480（m2）．点评：本题的探索过程由简到难，运用类比方法可依次求出．从而使考生在身临数学的情境中潜移默化，逐渐感悟到数学思维的力量，使学生对知识的发生及发展过程、解题思想方法的感悟体会得淋漓尽致，是一道新课标理念不可多得的好题．19．（2002•宁德）在平面内，分别用3根、5根、6根…火柴首尾依次相接，能搭成什么形状的三角形呢？通过尝试，列表如下所示，问：（1）4根火柴能搭成三角形吗？（2）8根、12根火柴能搭成几种不同形状的三角形？并画出它们的示意图．【分析】（1）把4分成3个数只能分成1，1，2三个数，这三条线段不能组成三角形．（2）把8和12进行合理分解，得到的三条线段应能组成三角形．【解答】解：（1）4根火柴不能搭成三角形；（2）8根火柴能搭成一种三角形（3，3，2）；示意图：（等腰三角形）12根火柴能搭成3种不同三角形（4，4，4；5，5，2；3，4，5）．示意图：【点评】本题用到的知识点为：三角形任意两边之和大于第三边．20．（2011•连云港）某课题研究小组就图形面积问题进行专题研究，他们发现如下结论：（1）有一条边对应相等的两个三角形面积之比等于这条边上的对应高之比；（2）有一个角对应相等的两个三角形面积之比等于夹这个角的两边乘积之比；…现请你继续对下面问题进行探究，探究过程可直接应用上述结论．（S表示面积）问题1：如图1，现有一块三角形纸板ABC，P1，P2三等分边AB，R1，R2三等分边AC．经探究知=S△ABC，请证明．问题2：若有另一块三角形纸板，可将其与问题1中的拼合成四边形ABCD，如图2，Q1，Q2三等分边DC．请探究与S四边形ABCD之间的数量关系．问题3：如图3，P1，P2，P3，P4五等分边AB，Q1，Q2，Q3，Q4五等分边DC．若S四边形ABCD=1，求．问题4：如图4，P1，P2，P3四等分边AB，Q1，Q2，Q3四等分边DC，P1Q1，P2Q2，P3Q3将四边形ABCD分成四个部分，面积分别为S1，S2，S3，S4．请直接写出含有S1，S2，S3，S4的一个等式．【分析】问题1，图1中，连接P1R2，R2B，由三角形中线的性质得S△AP1R1=S△P1R1R2，S△P1R2P2=S△P2R2B，再由R1，R2为AC的三等分点，得S△BCR2=S△ABR2，根据图形的面积关系，得S△ABC与S四边形P1P2R2R1的数量关系，证明结论；问题2，图2中，连接AQ1，Q1P2，P2C，由三角形的中线性质，得S△AQ1P1=S△P1Q1P2，S△P2Q1Q2=S△P2Q2C，由Q1，P2为CD，AB的三等分点可知，S△ADQ1=S△AQ1C，S△BCP2=S△AP2C，得出S△ADQ1+S△BCP2与S四边形AQ1CP2的关系，再根据图形的面积关系，得S四边形ABCD 与S四边形P1Q1Q2P2的等量关系；问题3，图3中，依次设四边形的面积为S1，S2，S3，S4，S5，由问题2的结论可推出2S2=S1+S3，2S3=S2+S4，2S4=S3+S5，三式相加，得S2+S4=S1+S5，利用换元法求S 1+S 2+S 3+S 4+S 5与S 3的数量关系，已知S 四边形ABCD =1，可求S 四边形P2Q2Q3P3； 问题4，图4中，由问题2的结论可知，2S 2=S 1+S 3，2S 3=S 2+S 4，两式相加得S 1，S 2，S 3，S 4的等量关系．【解答】解：问题1，证明：如图1，连接P 1R 2，R 2B ，在△AP 1R 2中，∵P 1R 1为中线，∴S △AP1R1=S △P1R1R2，同理S △P1R2P2=S △P2R2B ，∴S △P1R1R2+S △P1R2P2=S △ABR2=S 四边形P1P2R2R1，由R 1，R 2为AC 的三等分点可知，S △BCR2=S △ABR2， ∴S △ABC =S △BCR2+S △ABR2=S 四边形P1P2R2R1+2S 四边形P1P2R2R1=3S 四边形P1P2R2R1， ∴S 四边形P1P2R2R1=S △ABC ；问题2，S 四边形ABCD =3S 四边形P1Q1Q2P2．理由：如图2，连接AQ 1，Q 1P 2，P 2C ，在△AQ 1P 2中，∵Q 1P 1为中线， ∴S △AQ1P1=S △P1Q1P2，同理S △P2Q1Q2=S △P2Q2C ，∴S △P1Q1P2+S △P2Q1Q2=S 四边形AQ1CP2=S 四边形P1Q1Q2P2， 由Q 1，P 2为CD ，AB 的三等分点可知，S △ADQ1=S △AQ1C ，S △BCP2=S △AP2C ， ∴S △ADQ1+S △BCP2=（S △AQ1C +S △AP2C ）=S 四边形AQ1CP2， ∴S 四边形ABCD =S △ADC +S △ABC =S 四边形AQ1CP2+S △ADQ1+S △BCP2=3S 四边形P1Q1Q2P2， 即S 四边形ABCD =3S 四边形P1Q1Q2P2；问题3，解：如图3，由问题2的结论可知，3S 2=S 1+S 2+S 3，即2S 2=S 1+S 3，同理得2S 3=S 2+S 4，2S 4=S 3+S 5，三式相加得，S 2+S 4=S 1+S 5，∴S 1+S 2+S 3+S 4+S 5=2（S 2+S 4）+S 3=2×2S 3+S 3=5S 3。