计科09离散数学A
离散数学ppt课件
02
集合论基础
集合的基本概念
总结词
集合是离散数学中的基本概念， 是研究离散对象的重要工具。
详细描述
集合是由一组确定的、互不相同 的、可区分的对象组成的整体。 这些对象称为集合的元素。例如 ，自然数集、平面上的点集等。
集合的运算和性质
总结词
集合的运算和性质是离散数学中的重要内容，包括集合的交、并、差、补等基本运算，以及集合的确定性、互异 性、无序性等性质。
生，1表示事件一定会发生。
离散概率论的运算和性质
概率的加法性质
如果两个事件A和B是互斥的，那么P(A或B)等于P(A)加上 P(B)。
概率的乘法性质
如果事件A和B是独立的，那么P(A和B)等于P(A)乘以P(B) 。
全概率公式
对于任意的事件A，存在一个完备事件组{E1, E2, ..., En}， 使得P(Ai)>0 (i=1,2,...,n)，且E1∪E2∪...∪En=S，那么 P(A)=∑[i=1 to n] P(Ai)P(A|Ei)。
工程学科
离散数学在工程学科中也有着重要的 应用，如计算机通信网络、控制系统 、电子工程等领域。
离散数学的重要性
基础性
离散数学是数学的一个重要分支 ，是学习其他数学课程的基础。
应用性
离散数学在各个领域都有着广泛的 应用，掌握离散数学的知识和方法 对于解决实际问题具有重要的意义 。
培养逻辑思维
学习离散数学可以培养人的逻辑思 维能力和问题解决能力，对于个人 的思维发展和职业发展都有很大的 帮助。
详细描述
邻接矩阵是一种常用的表示图的方法，它是 一个二维矩阵，其中行和列对应于图中的节 点，如果两个节点之间存在一条边，则矩阵 中相应的元素为1，否则为0。邻接表是一 种更有效的表示图的方法，它使用链表来存 储与每个节点相邻的节点。
离散数学讲义
A
(1)
B
A
(2) A’ ) A’ )
B
A (3)
B
因此不能说(1.2)式与(3)式总是相等的.
AB = (A
(3)
AB = (A B’ )
(B B’ ) (B
(A
B)
(1.2)
§1.6集合成员表
前面定义的集合运算的交.并.补.显然对全集U运算 是封闭的.下面对这些概念以新的形式定义,使之数量 化.能够更新,更清晰,更具理论价值.先讨论基本成员表. a.集合A的补集可如下定义: A′的成员表
元素附加一个标号,以使描述这个元素在该集合中的
相应位置.如A={a,b,c}分别是一、二、三元素，在A 的子集中，常有一些元素出现，另一些元素不出现。
我们根据这一情况来指定集合中元素的次序,用
如下方式表示.如A的各子集表为: B000=φ, B 001={c}, B010={b}, B011={b,c}, B100={a},
全集因所讨论的问题不同可相异.例如:
讨论正整数范围内U可取作N;实数讨论问题U可取
作R. 定义2: 设A.B为二集合.属于A或B的所有元素构 成的集合称为A与B的并.记为A∪B.即 A∪B={u | u∈Aoru∈B}
既属于A又属于B的所有元素构成的集合称为A与
B的交. 记为A∩B.即 A∩B={u | u∈A且u∈B} 例 ( 略)
解: 如A={a,c }
B={b,c}
有A-B={a} , 2 A-B={φ,{a}}
2A={φ,{a},{c},{a,c}}
2B= {φ,{b},{c},{b,c}}
2A-2B= {{a},{a,c}} 与2A-B互不包含. 进一步可看到:
离散数学 概念
离散数学概念离散数学是一门研究离散结构的学科，其中的离散结构可以表示为离散对象或离散事件。
它是计算机科学的基础学科之一，在算法设计和系统分析中有着广泛的应用和深远的影响。
离散数学中的概念包括集合、关系、函数、图论、计数等。
1.集合集合是离散数学中最基础、最重要的概念之一。
集合是指具有某种共同特征的事物的总体，用括号{}括起来表示。
例如，一个集合A包含了元素a、b、c，则A={a,b,c}。
集合的基本运算包括：并集、交集、补集和差集。
并集指的是包含两个集合中所有元素的一个新集合，交集指的是两个集合中共有的元素构成的一个集合，补集则是指一个集合相对于另一个集合的所有不包含的元素构成的集合，差集则是指一个集合中除去另一个集合中共有的元素后所剩余的元素所构成的集合。
2.关系关系是指任意两个元素之间的一种有序的二元关系，用箭头表示，例如(x,y)表示x与y之间有一种特定关系。
关系可以是等于（=）、大于（>）、小于（<）等。
根据关系的定义，关系可以分为反对称、对称、传递等几种类型。
其中反对称关系是指如果(x,y) 且(y,x)，则x=y；对称关系是指如果(x,y) ，则(y,x)；而传递关系则是指如果(x,y)且(y,z)，则(x,z)。
3.函数函数是指一个集合中的每一个元素都对应于另一个集合中的唯一元素的一种映射关系。
函数通常用f(x)来表示，其中f为函数名称，x为变量名称。
例如，用f(x)=x^2表示一个函数，当x为2时，f(x)的值为4。
函数的性质包括：单调性、奇偶性、周期性等。
其中单调性是指函数在定义域内的增减情况；奇偶性则是指函数与自身的中心对称关系；周期性则是指函数图像的重复性。
4.图论图论是离散数学中最为重要和实用的一部分，它用数学语言对各种问题进行分析和解决，例如网络连接问题、旅行商问题等。
图由点和边组成，点表示对象，边表示对象之间的关系。
常用的图有有向图和无向图，有向图是指图中的边有一个方向，无向图则是指图中的边没有方向。
离散数学b和离散数学a
离散数学b和离散数学a离散数学是计算机科学中的基础学科，它研究的是离散化的数学对象和结构，与连续数学形成鲜明对比。
离散数学是计算机科学中的一颗明珠，也是计算机科学学习的重要组成部分。
离散数学又可以分为离散数学A和离散数学B两个部分，分别涵盖了不同的内容。
离散数学A主要包含了集合论、逻辑、数理逻辑、代数结构等基础数学知识。
在现代计算机科学中，集合论被广泛运用于描述和处理数据结构、算法和数据库等；而逻辑则是计算机科学的基石，是计算机程序正确性推理和代码验证的基础；数理逻辑则是数理化学、人工智能等领域的基础工具。
此外，代数结构也是离散数学A中的重要内容，它包括了研究和分类各种代数系统的内容，这些代数系统对计算机科学中的编码、密码学和数据传输等领域具有重要意义。
离散数学B则强调离散结构的理论和应用，包括了图论、布尔代数、关系代数等内容。
图论是离散数学B中最重要的内容之一，它研究的是由节点和边构成的图结构，广泛应用于计算机网络、社交网络和算法设计等领域。
布尔代数则是处理和运算逻辑值的一种代数系统，是计算机科学中逻辑运算和电路设计的基础工具。
关系代数是数据库系统中常用的数据操作和查询语言，研究的是关系数据和关系之间的运算。
离散数学在计算机科学中具有非常重要的作用。
它不仅提供了计算机科学领域所需的基础数学工具和方法，更重要的是培养了计算机科学家的抽象思维和分析解决问题的能力。
离散数学的学习可以帮助我们更好地理解计算机科学中的算法、数据结构和网络等概念，从而提高我们解决实际问题的能力。
对于计算机科学专业的学生来说，离散数学是一个必修课程，但它的学习对于其他理工科专业的学生也同样具有重要意义。
离散数学是一门高度抽象的数学学科，需要学生具备一定的数学思维和逻辑推理能力。
因此，在学习离散数学的过程中，我们应该注重培养自己的思维能力，通过反复演练和实际应用来提高我们的学习效果。
总结来说，离散数学A和离散数学B是计算机科学中重要的学科，它们涵盖了集合论、逻辑、代数结构、图论、布尔代数等内容，为我们提供了解决实际问题的数学工具和方法。
计算机科技专业《离散数学》教学大纲
《离散数学》教学大纲安徽大学计算机科学与技术学院二OO六年六月前言《离散数学》课程是计算机科学与技术专业高等教育的专业基础课程。
《离散数学》是现代数学的一个重要分支，是学习计算机科学与技术专业理论必不可少的数学工具。
本课程主要研究离散对象的结构及相互关系，对提高学生的抽象思维与逻辑推理能力有重要作用。
设置本课程的目的是：培养学生的数学思维能力，使学生得到良好的数学训练，提高学生的抽象思维和逻辑推理能力，并使学生掌握处理离散结构所必须的描述工具和方法，为其从事计算机的应用提供坚实的理论基础。
学习本课程的要求是：通过本课程的学习，学生应正确理解和熟练掌握基本概念、基本定理及其证明方法，提高运用基本理论分析和解决实际问题的能力，为在后续专业课和实际工作中运用本课程的基本知识打下基础。
先修课程要求：高等数学。
本课程计划144学时，7学分，分两学期完成，分别称为离散数学（上）和离散数学（下）。
离散数学（上）计划72学时，3.5学分；离散数学（下）计划72学时，3.5学分。
选用教材：《离散数学》，方世昌，西安电子科技大学出版社，2000出版。
教学手段：多媒体教学。
考核方法：考试。
教学进程安排表：第一章数理逻辑一、学习目的通过本章的学习，理解命题、联结词、命题公式、（主）析/合取范式、个体、谓词、量词、谓词公式、指派等概念；掌握公式真值表的构造及命题符号化方法、常用的基本等值式及其应用、常用的永真蕴涵式及其在逻辑推理中的应用、（主）析/合取范式的计算、命题演算和谓词演算的推理规则和证明方法。
第一章计划26学时。
二、课程内容1.1 命题（一）命题的概念。
（二）命题联结词及其真值表。
（三）命题符号化。
（四）命题变元和命题公式的概念。
1.2 重言式（一）指派、重言式、逻辑恒等式、永真蕴含式等基本概念。
（二）常见的逻辑恒等式和永真蕴含式。
（三）逻辑恒等式和永真蕴含式的基本性质。
（四）命题演算的基本规则：代入规则、替换规则。
《离散数学概述》PPT课件
同 子代数 种
的 积代数 同
类 商代数 型
的 新代数系统
22
半群与群
广群 二元运算的封闭性
结合律
半群
交换律
交换半群
单位元 交换律
独异点
每个元素可逆 交换律
群
交换独异点 实例
Abel群
生成元
Klein群 循环群
有限个元素
有限群
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实例
n元置换群
23
图论
图论是离散数学的重要组成部分，是近代应用数学的重要分支。
由于在计算机内,机器字长总是有限的, 它代表离散的数或其
它离散对象，因此随着计算机科学和技术的迅猛发展,离散数
学就显得重要。
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5
离散数学的内容
数理逻辑： “证明”在计算科学的某些领域至关重要，构 造一个证明和写一个程序的思维过程在本质上是一样的。
组合分析：解决问题的一个重要方面就是计数或枚举对象。
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20
代数系统
近世代数，……，是关于运算的学说，是关于运算规则 的学说，但它不把自己局限在研究数的运算性质上，而 是企图研究一般性元素的运算性质。
——Ｍ.Klein
数学之所以重要，其中心原因在于它所提供的数学系统 的丰富多彩；此外的原因是，数学给出了一个系统，以 便于使用这些模型对物理现实和技术领域提出问题，回 答问题，并且也就探索了模型的行为。
1736年是图论历史元年，因为在这一年瑞士数学家欧拉(Euler) 发表了图论的首篇论文——《哥尼斯堡七桥问题无解》，所以人
们普遍认为欧拉是图论的创始人。
1936年，匈牙利数学家寇尼格（Konig）出版了图论的第一部专 著《有限图与无限图理论》，这是图论发展史上的重要的里程碑 ，它标志着图论将进入突飞猛进发展的新阶段。
离散数学知识点总结
离散数学知识点总结离散数学是现代数学的一个重要分支，它在计算机科学、信息科学、物理学等领域都有着广泛的应用。
下面就来对离散数学中的一些重要知识点进行总结。
一、集合论集合是离散数学的基础概念之一。
集合是由一些确定的、互不相同的对象组成的整体。
集合的表示方法有列举法和描述法。
集合之间的关系包括子集、真子集、相等。
集合的运算有并集、交集、补集等。
集合的并集是由属于两个或多个集合中的所有元素组成的集合。
交集则是由同时属于两个或多个集合的元素组成的集合。
补集是在给定的全集 U 中，不属于某个集合 A 的元素组成的集合。
集合的运算遵循一些基本的定律，如交换律、结合律、分配律等。
这些定律在解决集合相关的问题时非常有用。
二、关系关系是集合论中的一个重要概念，它描述了两个集合元素之间的某种联系。
关系可以用集合的形式表示，也可以用关系矩阵和关系图来表示。
关系的性质包括自反性、反自反性、对称性、反对称性和传递性。
不同性质的关系在实际应用中有着不同的意义。
等价关系是一种特殊的关系，它同时具有自反性、对称性和传递性。
等价关系可以将集合中的元素进行分类，形成等价类。
偏序关系也是一种常见的关系，它具有自反性、反对称性和传递性。
偏序关系可以用来描述元素之间的顺序关系，例如在集合的包含关系中。
三、函数函数是一种特殊的关系，它对于定义域中的每个元素，在值域中都有唯一的元素与之对应。
函数的类型包括单射函数、满射函数和双射函数。
函数的复合是将两个函数依次作用，得到一个新的函数。
函数的逆是在函数是双射的情况下存在的，并且逆函数的复合等于原函数。
四、图论图是由顶点和边组成的结构。
图可以分为无向图和有向图。
图的基本概念包括顶点的度、路径、回路、连通性等。
图的存储方式有邻接矩阵和邻接表。
邻接矩阵适合表示稠密图，而邻接表适合表示稀疏图。
图的遍历算法有深度优先搜索和广度优先搜索。
这两种算法在图的处理中经常被用到，例如寻找图中的路径、判断图的连通性等。
《离散数学教案》课件
《离散数学教案》PPT课件第一章：离散数学简介1.1 离散数学的定义离散数学是研究离散结构及其相互关系的数学分支。
离散数学与连续数学相对，主要研究对象是集合、图、逻辑等。
1.2 离散数学的应用离散数学在计算机科学、信息技术、密码学等领域有广泛应用。
学习离散数学能够为编程、算法设计、数据结构等课程打下基础。
第二章：集合与逻辑2.1 集合的基本概念集合是由明确定义的元素组成的整体。
集合的表示方法：列举法、描述法、图示法等。
2.2 集合的基本运算集合的并、交、差运算。
集合的幂集、子集、真子集等概念。
2.3 逻辑基本概念命题：可以判断真假的陈述句。
逻辑联结词：与、或、非等。
逻辑等价式与蕴含式。
第三章：图论基础3.1 图的基本概念图是由点集合及连接这些点的边集合组成的数学结构。
图的表示方法：邻接矩阵、邻接表等。
3.2 图的基本运算图的邻接、关联、度等概念。
图的遍历：深度优先搜索、广度优先搜索。
3.3 图的应用图在社交网络、路径规划、网络结构等领域有广泛应用。
学习图论能够帮助我们理解和解决现实世界中的问题。
第四章：组合数学4.1 排列与组合排列：从n个不同元素中取出m个元素的有序组合。
组合：从n个不同元素中取出m个元素的无序组合。
4.2 计数原理分类计数原理、分步计数原理。
函数：求排列组合问题的有效工具。
4.3 鸽巢原理与包含-排除原理包含-排除原理：解决计数问题时，通过加减来排除某些情况。
第五章：命题逻辑与谓词逻辑5.1 命题逻辑命题逻辑关注命题及其逻辑关系。
命题逻辑的基本运算：联结词、逻辑等价式、蕴含式等。
5.2 谓词逻辑谓词逻辑是命题逻辑的推广，引入量词和谓词。
谓词逻辑的基本结构：个体、谓词、量词、逻辑运算等。
5.3 谓词逻辑的应用谓词逻辑在计算机科学中用于描述和验证程序正确性。
学习谓词逻辑能够提高对问题本质的理解和表达能力。
第六章：组合设计6.1 组合设计的基本概念组合设计是指从给定的有限集合中按照一定规则选取元素，构成满足特定条件的组合。
离散数学考试试题(A、B卷及答案)
离散数学考试试题(A 卷及答案）一、证明题（10分） 1) (P ∧Q ∧AC )∧(A P ∨Q ∨C ) (A ∧(P Q ))C 。
P<->Q=(p->Q)合取（Q->p ）证明: (P ∧Q ∧A C )∧(A P ∨Q ∨C ) (P ∨Q ∨A ∨C )∧(A ∨P ∨Q ∨C )((P ∨Q ∨A )∧(A ∨P ∨Q ))∨C 反用分配律 ((P ∧Q ∧A )∨(A ∧P ∧Q ))∨C( A ∧((P ∧Q )∨(P ∧Q )))∨C 再反用分配律( A ∧(PQ ))∨C(A ∧(P Q ))C 2) (PQ)PQ 。
证明：(P Q)((P ∧Q))(P ∨Q))PQ 。
二、分别用真值表法和公式法求(P (Q ∨R ))∧(P ∨(Q R ))的主析取范式与主合取范式，并写出其相应的成真赋值和成假赋值（15分）。
主析取范式与析取范式的区别：主析取范式里每个括号里都必须有全部的变元。
主析取范式可由 析取范式经等值演算法算得。
证明：公式法：因为(P (Q ∨R ))∧(P ∨(Q R ))(P ∨Q ∨R )∧(P ∨(Q ∧R )∨(Q ∧R ))(P ∨Q ∨R )∧(((P ∨Q )∧(P ∨R ))∨(Q ∧R ))分配律 (P ∨Q ∨R )∧(P ∨Q ∨Q )∧(P ∨Q ∨R )∧(P ∨R ∨Q )∧(P ∨R ∨R )(P ∨Q ∨R )∧(P ∨Q ∨R )∧(P ∨Q ∨R )4M ∧5M ∧6M 使（非P 析取Q 析取R ）为0所赋真值，即100，二进制为4 0m ∨1m ∨2m ∨3m ∨7m所以，公式(P (Q ∨R ))∧(P ∨(Q R ))为可满足式，其相应的成真赋值为000、001、010、011、111：成假赋值为：100、101、110。
真值表法：P Q RQRP(Q∨R)P∨(Q R)(P(Q∨R))∧(P∨(Q R ))0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 1 1111111111111111111111为000、001、010、011、111：成假赋值为：100、101、110。
离散数学知识点总结
离散数学知识点总结离散数学是数学的一个分支，主要研究离散的数学结构和离散的数学对象。
它包括了许多重要的概念和技术，是计算机科学、通信工程、数学和逻辑学等领域的基础。
本文将对离散数学的一些核心知识点进行总结，包括命题逻辑、一阶逻辑、图论、集合论和组合数学等内容。
1. 命题逻辑命题逻辑是离散数学的一个重要分支，研究命题之间的逻辑关系。
命题是一个陈述语句，要么为真，要么为假，而且不能同时为真和为假。
命题逻辑包括逻辑运算和逻辑推理等内容，是离散数学的基础之一。
1.1 逻辑运算逻辑运算包括与（∧）、或（∨）、非（¬）、蕴含（→）和双条件（↔）等运算。
与、或和非是三种基本的逻辑运算，蕴含和双条件则是基于这三种基本运算得到的复合运算。
1.2 逻辑等值式逻辑等值式是指在命题逻辑中具有相同真值的两个复合命题。
常见的逻辑等值式包括德摩根定律、双重否定定律、分配率等。
1.3 形式化证明形式化证明是命题逻辑的一个重要内容，研究如何利用逻辑规则和等值式来推导出给定命题的真值。
形式化证明包括直接证明、间接证明和反证法等方法，是离散数学中的常见技巧。
2. 一阶逻辑一阶逻辑是命题逻辑的延伸，研究命题中的量词和谓词等概念。
一阶逻辑包括量词、谓词逻辑和形式化证明等内容，是离散数学中的重要部分。
2.1 量词量词包括全称量词（∀）和存在量词（∃），用来对命题中的变量进行量化。
全称量词表示对所有元素都成立的命题，而存在量词表示至少存在一个元素使命题成立。
2.2 谓词逻辑谓词逻辑是一阶逻辑的核心内容，研究带有量词的语句和谓词的逻辑关系。
谓词是含有变量的函数，它可以表示一类对象的性质或关系。
2.3 形式化证明形式化证明在一阶逻辑中同样起着重要作用，通过逻辑规则和等值式来推导出给定命题的真值。
一阶逻辑的形式化证明和命题逻辑类似，但更复杂和抽象。
3. 图论图论是离散数学中的一个重要分支，研究图和图的性质。
图是由节点和边组成的数学对象，图论包括图的表示、图的遍历、最短路径、最小生成树等内容，是离散数学中的一大亮点。
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2010 至 2011 学年第 1 学期
离散数学
试卷A 卷
出卷教师：侯惠芳 王玉华 曹丹 适应班级：计科
0901-0906班
考试方式：闭卷 本试卷考试分数占学生总评成绩的 70 %
复查总分 总复查人
（本题 20 分，每小题2分）一、选择题（请将答案写在下面的表格中）
注意：答案可能不唯一。
1．一个简单连通无向图有n 个结点，它的边数至少有（ ）。
A .1条
B .n-1条
C . n 条
D .n+1条 2．若一个平面图的边数为8，则该图中所有面的次数之和为（ ）。
A .10 B .4 C .16 D .24 3．10阶有向竞赛图的边数为（ ）
A .10
B .90
C .45
D .110 4．设G 如右图：那么G 不是（ ）。
A .平面图
B .完全图
C .欧拉图
D .汉密尔顿图 5．无向树T 有3个3度，2个2度顶点，其余都是树叶，则T 中有（ ）片树叶。
A .9 B .10 C .8 D .5
6．设I 为整数集合，m 是任意正整数，Z m 是由模m 的同余类组成的同余类集合，在Z m 上定义运算 [i ]×m [j]=[(i ×j) mod m]，则系统<Z m,×m >最确切的性质是（ ）。
A ．代数系统 B ．半群 C ．独异点 D . 群 7．设集合A ＝{a ,b ,c }，代数系统)},,({⋃=A G φ和)},},,({{⋃=A b a G 同构的映射是( ) (A) A A f b a f H G f ==→)(,}),({,:φ (B) },{)(,)(,:b a A f A f H G f ==→φ (C) A A f b a f H G f ==→)(},,{)(,:φ (D)A b a f A f H G f ==→}),({,)(,:φ 8．循环群<I ，+>的生成元是( )
A. 0
B.1
C.-1
D.3
9．以下为群的代数系统是( )，I +为正整数集合，R 为实数集合。
A. <I +，+> B. <R ，+> C.
<R ，·> D. <R-{0}，·>
《离散数学》试卷 第 1 页 （ 共 6 页 ）
10．下列为分配格的是（ ）
A ．
B . D .
（本题 20分，每题2分，若一题两空，每空1分）二、填空题
1．完全图K 6需要删除_________条边才能把K 6变成一棵树。
2．任何图的点连通度)(G κ，边连通度)(G λ，最小点度)(G δ的关系为 。
3．代数系统<A,+,·>是环，若对运算“·”还满足 则<A,+,·>是整环。
4．零图是 ，平凡图是 。
5．设<G ,△>是群，G 的非空子集H ，若<H ,△>是<G ,△>的子群，当且仅当对任意x , y ∈H ， 有 。
6．一个图是平面图，当且仅当它不含有与 或 同胚的子图。
7．)(n K κ=
)(n N κ= 。
8．环<N 15,+15,×15>是零因子环，则零因子是 。
9．设<A,≤>是一个格，由格<A,≤>所诱导的代数系统<A,∨,∧>，设B ⊆A 且B ≠Ф上，如果A 中的 这两个运算∨和∧关于B 是 ，则称<B,≤>是<A,≤>10．右图的对偶图的面色数为 。
（本题20分，每小题2分）三、判断题
（请将答案写在下面的表格中，正误用√ × 表示）
1．G 为平面图，则一定满足欧拉公式，v-e+r=2。
（其中e 为结点数，e 为边数，r 为面数） 2．图G 是含有割点的图，则图G 一定是汉密尔顿图。
3．有补分配格中任一个元素的补元存在并且唯一。
4．设<S,*>是代数系统，S a ∈，若a 的左、右逆元均存在，则必相等。
5．欧拉图的点数一定等于边数。
6．群中没有零元。
7．若无向图G 中有n 个结点，n-1条边，则G 为树。
8．素数阶群一定是循环群。
《离散数学》试卷 第 2 页 （ 共 6 页 ）
学院名称 专业班级 姓名： 学号：
密 封 线 内 不 要 答 题
┃┃┃┃┃┃┃┃┃┃┃┃┃┃┃ 密
┃┃┃┃┃┃┃┃┃┃┃ 封
┃┃┃┃┃┃┃┃┃┃┃ 线
┃┃┃┃┃┃┃┃┃┃┃┃┃┃┃
e
c b
d
a
9．<A, ≤>是格，对于任意三个元素a,b,c ∈A ，a ∧b=a ∧c 和a ∨b=a ∨c ，当且仅当b=c 。
10．4阶群中必含有4阶元。
（本题 40分）三、按要求完成下列各题。
1．（10分）设G 是24的因子集合，“|”是G 上的整除关系。
（1）给出由其导出的代数系统的运算表。
（2）画出<G ，| >的所有5元素子格的哈斯图。
（3）上述子格各是什么格？（分配格，模格，有补格）
《离散数学》试卷 第 3 页 （ 共 6 页 ）
2.（6分）设T=<V,E>是一棵树，证明：若|V|>1，则T 中至少存在两片树叶。
3．（6分）高校某系某年级学生在某学期共选修6门公共选修课，期末考试前必须先考完这6门课程，设这6门课分别为C i ，i =1,2，…，6。
S(C i )为选修C i 的学生集合。
已知S(C i )∩S(C 6)≠∅，i =1,2,3,4,5, S(C i )∩S(C i+1)≠∅，i =1,2,3,4，S(C 5)∩S(C 1)≠∅，问这6门课程至少几天能考完？
《离散数学》试卷 第 4 页 （ 共 6 页 ）
学院名 专业班级： 姓名： 学号
密 封 线 内 不 要 答 题
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4．（10分）设<I 6，+6>是群，其中I 6＝{0,1,…,5}，+6表示模6的加法，求 （1）给出<I 6，+6>的运算表；
（2）证<I 6，+6>是循环群，并求出<I 6，+6>的所有生成元； （3）求出<I 6，+6>的所有子群； （4）求出I 6的子集{0,3}的左陪集。
《离散数学》试卷 第 5 页 （ 共 6 页 ）
5.（8分）<I ，+>是群，设},2{I n n x x I E ∈==，证明>+<,E I 是>+<,I 的一个子群。
《离散数学》试卷 第6页 （ 共 6 页 ）
学院名称 专业班级： 姓名 学号
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