等边三角形八年级上数学导学案
新人教版八年级数学上册等边三角形(1)导学案
新人教版八年级数学上册等边三角形（1）导学案一、目标导学教学目标：1.经历剪纸、折纸等活动，进一步认识等边三角形，了解等边三角形是轴对称图形；2.能够探索、归纳、验证等边三角形的性质，并学会应用等边三角形的性质；3.培养数形结合、方程的思想和添加辅助线解决问题的能力。
二、自主学习阅读教材P79——80，完成下列问题：1、什么是等边三角形？2、等边三角形是等腰三角形吗？与其相比，特殊在哪里？3、归纳等边三角形的性质：⑴等边三角形具有的一切性质；⑵等边三角形的三个内角，并且。
4、归纳等边三角形的判定方法：⑴的三角形是等边三角形。
⑵的等腰三角形是等边三角形。
方法指导：温馨提示：（用时分钟）三、问题探究1.一个等腰三角形有三条对称轴，那么它就是＿＿＿三角形。
2.在△ABC中，AB＝AC，且∠A＝60°，则△ABC是＿＿＿三角形。
3.选择：下列叙述正确的是（）A、等腰三角形是等边三角形B、所有的等边三角形形状都相同，所以全等C、三个角之比为1：2：3的三角形是等腰三角形D、等边三角形的三条中线是它的三条对称轴方法指导：学生四人一小组讨论明确：温馨提示：（用时分钟）四、反 馈 提 升1、 已知：如图在等边△ABC 中，O 为三条高线的交点，连结OB 、OC求：那么∠BOC=OCBA方法指导：大胆发挥合理的想像温馨提示： （用时 分钟）五、 达 标 运 用1、 如图，△ABC 是等边三角形，BD 是中线， 延长BC 至E ，使CE=CD ，⑴求证：DB=DE ⑵如果把BD 改成角平分线或高，能否得出同样的结论？方法指导温馨提示： （限时 分钟）总 结 与 反 思 【知识梳理】【收获与反思】方法指导：通过本课时的学习，归纳收获，反思不足课题：等边三角形（2）学校：濮城镇中学主备人：苏文静审核人：陈校长审核时间：使用人：课时总编号：学科数学课题等边三角形年级八年级课型探究课流程具体内容方法指导一、目标导学教学目标：1、探索──发现──猜想──证明直角三角形中有一个角为30°的性质．2、有一个角为30°的直角三角形的性质的简单应用二、自主学习探究：有一个角为30°的直角三角形的性质问题：用两个全等的含30°角的直角三角尺，你能拼出一个怎样的三角形？•能拼出一个等边三角形吗？说说你的理由．2、由此你能想到，在直角三角形中，30°角所对的直角边与斜边有怎样的大小关系？你能证明你的结论吗？已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°求证：归纳：在直角三角形方法指导：温馨提示：（用时分钟）三、问题探究1、在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3，若AB=a，则BC=2.RT△ABC中，∠C＝90°，∠B＝2∠A，则∠A＝，∠B=_____,AB=___BC3.三角形的三个内角度数之比为1：2：3，最大边长是8，则最小边长为方法指导：学生四人一小组讨论明确：温馨提示：（用时分钟）CAB四、反馈提升1．已知：在Rt△ABC中，∠A=90°，∠ABC=2∠C，BD是∠ABC的平分线．求证：CD=2AD．方法指导：大胆发挥合理的想像温馨提示：（用时分钟）五、达标运用1、如图△A BC是等边三角形，AD为中线，AD＝AE，求∠EDC的度数ED CBA方法指导温馨提示：（限时分钟）总结与反思【知识梳理】【收获与反思】方法指导：通过本课时的学习，归纳收获，反思不足DCAB课题：等腰三角形（1）学校：濮城镇中学主备人：苏文静审核人：陈校长审核时间：使用人：课时总编号：学科数学课题等腰三角形(1) 年级八年级课型探究课流程具体内容方法指导一、目标导学教学目标：1.能够探究，归纳，验证等腰三角形的性质，并学会应用等腰三角形的性质2、经历剪纸，折纸等探究活动，进一步认识等腰三角形的定义和性质，知道等腰三角形是轴对称图形。
八年级数学上册《等边三角形的性质》教案、教学设计
（1）请学生完成教材第页的练习题，重点加强对等边三角形性质的记忆和理解。
（2）运用等边三角形的性质，计算给定等边三角形的面积和周长，并简要说明计算过程。
2.提高拓展题：
（1）探索等边三角形内角平分线、中线、高之间的关系，并运用这些性质解决பைடு நூலகம்际问题。
（2）在等边三角形中，若以一个顶点为圆心，边长为半径画圆，求圆内接三角形的其他顶点与该顶点的距离。
4.通过对等边三角形的性质的学习，让学生掌握几何图形的对称美和简洁美，提高他们对数学美的欣赏能力。
（二）过程与方法
1.采用问题驱动的教学方法，引导学生通过观察、猜想、验证等过程，自主发现等边三角形的性质。
2.利用几何画板等教学工具，让学生直观感受等边三角形的性质，提高他们对几何图形的理解能力。
3.通过小组合作、讨论交流等形式，培养学生合作学习的能力，提高他们解决问题的效率。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.引入实例：展示一幅美丽的等边三角形图案，如古代建筑中的窗花、艺术品等，引发学生对等边三角形的关注。
2.提出问题：请学生观察图案，思考等边三角形具有哪些特点？它们之间有何联系？
3.创设悬念：通过问题引导学生思考，为新课的学习做好铺垫，激发学生的探究欲望。
（二）讲授新知
6.课后作业，拓展延伸：布置具有挑战性的课后作业，使学生在课后继续巩固所学知识，同时培养他们的拓展思维能力。
7.教学评价，关注成长：在教学过程中，教师应关注学生的成长，采用多元化评价方式，如课堂表现、作业完成情况、小组合作表现等，全面评价学生的学习效果。
8.情感教育，培养兴趣：在教学过程中，注重激发学生对等边三角形性质的兴趣，引导学生体验数学发现的乐趣，培养他们热爱数学的情感。
《等边三角形的性质与判定》教案、导学案、同步练习
《第1课时等边三角形的性质和判定》教案教学目标（一）教学知识点经历探索等腰三角形成为等边三角形的条件及其推理证明过程．（二）能力训练要求1．经历运用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程，建立初步的符号感，发展抽象思维．2．经历观察、实验、猜想、证明的数学活动过程，发展合情推理能力和初步的演绎推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点．（三）情感与价值观要求1．积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲．2．在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心．教学重点等边三角形判定定理的发现与证明．教学难点1．等边三角形判定定理的发现与证明．2．引导学生全面、周到地思考问题．教学方法探索发现法．教具准备多媒体课件，投影仪．教学过程Ⅰ．提出问题，创设情境[师]我们在前两节课研究证明了等腰三角形的性质和判定定理，我们知道，在等腰三角形中有一种特殊的等腰三角形──三条边都相等的三角形，叫等边三角形．回答下面的三个问题．（演示课件）1．把等腰三角形的性质用到等边三角形，能得到什么结论？2．一个三角形满足什么条件就是等边三角形？3．你认为有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形吗？•你能证明你的结论吗？把你的证明思路与同伴交流．（教师应给学生自主探索、思考的时间）[生甲]由等边对等角的性质可知，等边三角形的三个角相等，又由三角形三内角和定理可知，等边三角形的三个角相等，并且都等于60°．[生乙]等腰三角形已有两边分别相等，所以我认为只要腰和底边相等，等腰三角形就是等边三角形了．[生丙]等边三角形的三个内角都相等，且分别都等于60°，我认为等腰三角形的三个内角都等于60°，也就是说这个等腰三角形就是等边三角形了．（此时，部分同学同意此生看法，部分同学不同意此生看法，引起激烈的争论，•教师可让同学代表发表自己的看法）[生丁]我不同意这个同学的看法，•因为任何一个三角形满足这个条件都是等边三角形．根据等角对等边，三个内角都是60°，所以它们所对的边一定相等，但这一问题中“已知是等腰三角形，满足什么条件时便是等边三角形”，•我觉得他给的条件太多，浪费![师]给三个角都是60°，这个条件确实有点浪费，那么给什么条件不浪费呢？•下面同学们可以在小组内交流自己的看法．Ⅱ．导入新课探索等腰三角形成等边三角形的条件．[生]如果等腰三角形的顶角是60°，那么这个三角形是等边三角形．[师]你能给大家陈述一下理由吗？[生]根据三角形的内角和定理，顶角是60•°，•等腰三角形的两个底角的和就是180°-60°=120°，再根据等腰三角形两个底角是相等的，•所以每个底角分别是120°÷2=60°，则三个内角分别相等，根据等角对等边，•则此时等腰三角形的三条边是相等的，即顶角为60°的等腰三角形为等边三角形．[生]等腰三角形的底角是60°，那么这个三角形也是等边三角形，同样根据三角形内角和定理和等角对等边、等边对等角的性质．[师]从同学们自主探索和讨论的结果可以发现：•在等腰三角形中，•不论底角是60°，还是顶角是60°，那么这个等腰三角形都是等边三角形．•你能用更简洁的语言描述这个结论吗？[生]有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．（这个结论的证明对学生来说可能有一定的难点，难点是意识到分别讨论60°的角是底角和顶角两种情况．这是一种分类讨论的思想，教师要关注学生得出证明思路的过程，引导学生全面、周到地思考问题，并有意识地向学生渗透分类的思想方法）[师]你在与同伴的交流过程中，发现了什么或受到了何种启示？[生]我发现我的证明过程没有意识到“有一个角是60°”，在等腰三角形中有两种情况：（1）这个角是底角；（2）这个角是顶角．也就是说我们思考问题要全面、周到．[师]我们来看有多少同学意识到分别讨论60°的角是底角和顶角的情况，•我们鼓掌表示对他们的鼓励．今天，我们探索、发现并证明了等边三角形的判定定理；有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形，我们在证明这个定理的过程中，还得出了三角形为等边三角形的条件，是什么呢？[生]三个角都相等的三角形是等边三角形． [师]下面就请同学们来证明这个结论． （投影仪演示学生证明过程）已知：如图，在△ABC 中，∠A=∠B=∠C ． 求证：△ABC 是等边三角形． 证明：∵∠A=∠B ， ∴BC=AC （等角对等边）． 又∵∠A=∠C ，∴BC=AC （等角对等边）．∴AB=BC=AC ，即△ABC 是等边三角形．[师]这样，我们由等腰三角形的性质和判定方法就可以得到． （演示课件）AB等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°； 三个角都相等的三角形是等边三角形． 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．[师]有了上述结论，我们来学习下面的例题，体会上述定理． （演示课件）[例4]如图，课外兴趣小组在一次测量活动中，测得∠APB=60°，AP=BP=200m ，•他们便得出一个结论：A 、B 之间距离不少于200m ，他们的结论对吗？分析：我们从该问题中抽象出△APB ，由已知条件∠APB=60°且AP=BP ，•由本节课探究结论知△APB 为等边三角形．解：在△APB 中，AP=BP ，∠APB=60°， 所以∠PAB=∠PBA=（180°-∠APB ）=（180°-60°）=60°． 于是∠PAB=∠PBA=∠APB ．从而△APB 为等边三角形，AB 的长是200m ，•由此可以得出兴趣小组的结论是正确的．Ⅲ．随堂练习（一）课本P54练习 1、2．1．等边三角形是轴对称图形吗？它有几条对称轴？它们分别是什么线段？ 答案：等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，它们分别是三个角的平分线（或是三条边上的中线或三条边上的高线）．2．如图，等边三角形ABC 中，AD 是BC 上的高，∠BDE=∠CDF=60°，•图中有哪些与BD 相等的线段？答案：BD=DC=BE=EA=CF=FA=DE=DF ． （二）补充练习1212E DCA BF如图，△ABC 是等边三角形，∠B 和∠C 的平分线相交于D ，BD 、CD•的垂直平分线分别交BC 于E 、F ，求证：BE=CF ．证明：连结DE 、DF ，则BE=D E ，DF=CF ．由△ABC 是等边三角形，BD 平分∠ABC ，得∠1=30°，故∠2=30°，从而∠DEF=60°．同理∠DFE=60°， 故△DEF 是等边三角形． DE=DF ， 因而BE=CF ． Ⅳ．课时小结这节课，我们自主探索、思考了等腰三角形成为等边三角形的条件，•并对这个结论的证明有意识地渗透分类讨论的思想方法．这节课我们学的定理非常重要，在我们今后的学习中起着非常重要的作用．Ⅴ．课后作业（一）课本P56─5、6、7、10题． （二）预习P55～P56． Ⅵ．活动与探究探究：如图，在等边三角形ABC 的边AB 、AC 上分别截取AD=AE ．△ADE 是等边三角形吗？试说明理由．过程：通过分析、讨论，让学生进一步了解等边三角形的性质及判定． 结果：已知：三角形ABC 为等边三角形．D 、E 为边AB 、AC 上两点，且AD=AE ．判断△A DE•是否是等边三角形，并说明理由．解：△ADE 是等边三角形，21E DCABFE DCAB∵△ABC是等边三角形，∴∠A=60°．又∵AD=AE，∴△ADE是等腰三角形．∴△ADE是等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形）．板书设计§12．3．2 等边三角形（一）一、探索等边三角形的性质及判定问题：一个等腰三角形满足什么条件时便成为等边三角形二、等边三角形的性质及判定三、应用例题讲解四、随堂练习五、课时小结六、课后作业备课资料等腰三角形（含等边三角形）的性质与判定．等腰三角形（含等边三角形）参考例题1．已知，如图，房屋的顶角∠BAC=100°，过屋顶A的立柱AD⊥BC．屋椽AB=AC，求顶架上∠B、∠C、∠BAD、∠CAD的度数．解：在△ABC中，∵AB=AC（已知），DA B∴∠B=∠C （等边对等角）． ∴∠B=∠C=（180°-∠BAC ）=40°（三角形内角和定理）． 又∵AD ⊥BC （已知），∴∠BAD=∠CAD （等腰三角形顶角的平分线与底边上的高互相重合）． ∴∠BAD=∠CAD=50°．2．已知：如图，△ABC 是等边三角形，BD 是中线，延长BC 到E ，使CE=CD ． 求证：DB=DE ．证明：∵△ABC 是等边三角形，且BD 是中线， ∴BD ⊥AC ，∠ACB=60°，∠DBC=30°． 又∵CD=CE ， ∴∠CDE=∠E=∠ACB=30°． ∴∠DBC=∠E ． ∴DB=DE ．3．已知：如图，△ABC 是等边三角形，DE ∥BC ，交AB 、AC 于D 、E ．求证：△ADE 是等边三角形．证明：∵△ABC 是等边三角形（已知）， ∴∠A=∠B=∠C （等边三角形各角相等）． ∵DE ∥BC ，∴∠ADE=∠B ，∠AED=∠C （两直线平行，同位角相等）． ∴∠A=∠ADE=∠AED ．∴△ADE 是等边三角形（三个角都相等的三角形是等边三角形）．§12．3．2 等边三角形（二）教学目标（一）教学知识点1．探索──发现──猜想──证明直角三角形中有一个角为30°的性质． 2．有一个角为30°的直角三角形的性质的简单应用．1212ED ABDCAE B（二）能力训练要求1．经历“探索──发现──猜想──证明”的过程，•引导学生体会合情推理与演绎推理的相互依赖和相互补充的辩证关系．2．培养学生用规范的数学语言进行表达的习惯和能力．（三）情感与价值观要求1．鼓励学生积极参与数学活动，激发学生的好奇心和求知欲．2．体验数学活动中的探索与创新、感受数学的严谨性．教学重点含30°角的直角三角形的性质定理的发现与证明．教学难点1．含30°角的直角三角形性质定理的探索与证明．2．引导学生全面、周到地思考问题．教学方法探索发现法．教具准备两个全等的含30°角的三角尺；多媒体课件；投影仪．教学过程Ⅰ．提出问题，创设情境[师]我们学习过直角三角形，今天我们先来看一个特殊的直角三角形，看它具有什么性质．大家可能已猜到，我让大家准备好的含30°角的直角三角形，•它有什么不同于一般的直角三角形的性质呢？问题：用两个全等的含30°角的直角三角尺，你能拼出一个怎样的三角形？•能拼出一个等边三角形吗？说说你的理由．由此你能想到，在直角三角形中，30°角所对的直角边与斜边有怎样的大小关系？你能证明你的结论吗？Ⅱ．导入新课（让学生经历拼摆三角尺的活动，发现结论，同时引导学生意识到，通过实际操作探索出来的结论，还需要给予证明）[生]用含30°角的直角三角尺摆出了如下两个三角形．其中，图（1）是等边三角形，因为△ABD ≌△ACD ，所以AB=AC ，又因为Rt △ABD 中，∠BAD=60°，所以∠ABD=60°，有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．[生]图（1）中，∠B=∠C=60°，∠BAC=∠BAD+∠CAD=30°+30°=60°，所以∠B=∠C=∠BAC=60°，即△ABC 是等边三角形．[师]同学们从不同的角度说明了自己拼成的图（1）是等边三角形．由此你能得出在直角三角形中，30°角所对的直角边与斜边的关系吗？[生]在直角三角形中，30°角所对直角边是斜边的一半． [师]我们仅凭实际操作得出的结论还需证明，你能证明它吗？[生]可以，在图（1）中，我们已经知道它是等边三角形，所以AB=BC=AC ．•而∠ADB=90°，即AD ⊥BC ．根据等腰三角形“三线合一”的性质，可得BD=DC=BC ．所以BD=AB ，•即在Rt △ABD 中，∠BAD=30°，它所对的边BD 是斜边AB 的一半．[师生共析]这位同学能结合前后知识，把问题思路解释得如此清晰，很了不起．•下面我们一同来完成这个定理的证明过程．定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，•那么它所对的直角边等于斜边的一半．已知：如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠BAC=30°． 求证：BC=AB ． (1)D C AB(2)D CAB121212分析：从三角尺的摆拼过程中得到启发，延长BC 至D ，使CD=BC ，连接AD ． 证明：在△ABC 中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，则∠B=60°． 延长BC 至D ，使CD=BC ，连接AD （如下图） ∵∠ACB=60°， ∴∠ACD=90°． ∵AC=AC ，∴△ABC ≌△ADC （SAS ）．∴AB=AD （全等三角形的对应边相等）．∴△ABD 是等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形）． ∴BC=BD=AB ． [师]这个定理在我们实际生活中有广泛的应用，因为它由角的特殊性，揭示了直角三角形中的直角边与斜边的关系，下面我们就来看一个例题．（演示课件）[例5]右图是屋架设计图的一部分，点D 是斜梁AB 的中点，立柱BC 、DE 垂直于横梁AC ，AB=7.4m ，∠A=30°，立柱BD 、DE 要多长？分析：观察图形可以发现在Rt △AED 与Rt △ACB 中，由于∠A=30°，所以DE=AD ，BC=AB ，又由D 是AB 的中点，所以DE=AB ．解：因为DE ⊥AC ，BC ⊥AC ，∠A=30°，由定理知BC=AB ，DE=AD ， 所以BD=×7.4=3.7（m ）．又AD=AB ，所以DE=AD=×3.7=1.85（m ）．答：立柱BC 的长是3.7m ，DE 的长是1.85m ．ABDC A1212121214121212121212D C AEB[师]再看下面的例题．[例]等腰三角形的底角为15°，腰长为2a ，求腰上的高． 已知：如图，在△ABC 中，AB=AC=2a ，∠ABC=∠ACB=15°，CD 是腰AB 上的高．求：CD 的长．分析：观察图形可以发现，在Rt △ADC 中，AC=2a ，而∠DAC 是△ABC 的一个外角，•则∠DAC=15°×2=30°，根据在直角三角形中，30°角所对的边是斜边的一半，•可求出CD ．解：∵∠ABC=∠ACB=15°， ∴∠DAC=∠ABC+∠BAC=30°． ∴CD=AC=a （在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半）．[师]下面我们来做练习． Ⅲ．随堂练习 （一）课本P56练习Rt △ABC 中，∠C=90°，∠B=2∠A ，∠B 和∠A 各是多少度？边AB 与BC•之间有什么关系？答案：∠B=60°，∠A=30°，AB=2BC ． （二）补充练习1．已知：如图，△ABC 中，∠ACB=90°，CD 是高，∠A=30°． 求证：BD=AB ． 证明：在Rt △ABC 中，∠A=30°， ∴BC=AB ． 在Rt △BCD 中，∠B=60°， ∴∠B CD=30°．∴BD=BC ． ∴BD=AB ．2．已知直角三角形的一个锐角等于另一个锐角的2倍，这个角的平分线把1214121214DC AD CAB对边分成两条线段．求证：其中一条是另一条的2倍．已知：在Rt △ABC 中，∠A=90°，∠ABC=2∠C ，BD 是∠ABC 的平分线． 求证：CD=2AD ．证明：在Rt △ABC 中，∠A=90°，∠ABC=2∠C ， ∴∠ABC=60°，∠C=30°． 又∵BD 是∠ABC 的平分线， ∴∠ABD=∠DBC=30°． ∴AD=BD ，BD=CD ． ∴CD=2AD ． Ⅳ．课时小结这节课，我们在上节课的基础上推理证明了含30°的直角三角形的边的关系．这个定理是个非常重要的定理，在今后的学习中起着非常重要的作用．Ⅴ．课后作业（一）课本P58─11、12、13、14题． （二）预习P60～P61，并准备活动课．1．找出若干个成轴对称的汉字、英文字母、阿拉伯数字． 2．思考镜子对实物的改变． Ⅵ．活动与探究在三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°．过程：可以从证明“在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半”．从辅助线的作法中得到启示．结果：已知：如图（1），在Rt △ABC 中，∠C=90°，BC=AB ． 求证：∠B AC=30°．证明：延长BC 到D ，使CD=BC ，连结AD ． ∵∠ACB=90°， ∴∠ACD=90°．1212DCAB(1)C AB又∵AC=AC ，∴△ACB ≌△ACD （SAS ）． ∴AB=AD ． ∵CD=BC ，∴BC=BD ． 又∵BC=AB ，∴AB=BD ． ∴AB=AD=BD ，即△ABD 为等边三角形． ∴∠B=60°．在Rt △ABC 中，∠BAC=30°． 板书设计§12．3．2 等边三角形（二） 一、定理的探究定理：在直角三角形中，有一个锐角是30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．二、范例分析 三、随堂练习 四、课时小结 五、课后作业 备课资料 参考例题1．已知，如图，点C 为线段AB 上一点，△ACM 、△CBN 是等边三角形． 求证：AN=BM ．证明：△ACM 与△CBN 是等边三角形． ∴∠ACM=∠BCN ．∴∠ACM+∠MCN=∠BCN+∠NCM ， 即∠ACN=∠MCB ． 在△ACN 和△MCB 中，1212(2)DC ABCBMN∴△ACN≌△MCB（SAS）．∴AN=BM．2．一个直角三角形房梁如图所示，其中BC⊥AC，∠BAC=30°，AB=10cm，•CB1⊥AB，B1C⊥AC1，垂足分别是B1、C1，那么BC的长是多少？解：在Rt△ABC中，∠CAB=30°，AB=10cm．∴BC=AB=5cm．∵CB1⊥AB，∴∠B+∠BCB1=90°．又∵∠A+∠B=90°，∴∠BCB1=∠A=30°．在Rt△ACB1中，BB1=BC=2.5cm．∴AB1=AB-BB1=10-2.5=7.5（cm）．∴在Rt△AB1C1中，∠A=30°．∴B1C1=AB1=×7.5=3.75（cm）．13.3.2 等边三角形《第1课时等边三角形的性质和判定》教案教学目的1．使学生熟练地运用等腰三角形的性质求等腰三角形内角的角度。
等边三角形导学案(第1课时)导学案人教版数学八年级上册
《13.3.2等边三角形》导学案（第1课时）
日期 班级 姓名 组别 评价
【学习目标】
1． 经历探索等腰三角形成为等边三角形的条件及其推理证明过程
2． 等腰三角形成为等边三角形的区别与联系
3.等边三角形性质的发现与证明（学习重点）
【学习过程】
一、【自学质疑】
1．等腰三角形的定义： 2.观察上图：如果△ABC 是等边三角形，有那些相等关系：
相等的边有： 。
相等的角：
3．等腰三角形有 条边相等。
等边三角形有 条边相等。
二、【合作与展示】
［任务一］等边三边形的性质：
1.如图：如果△ABC 是等边三角形，则每个内角是 度
证明： 你们小组得到什么结论？ ［任务二］等边三边形的判定：
1．如果∠B=∠C ，则有AC= 。
如果有∠A=∠B=∠C ，则有 = =
三角形，三个角相等的三角形是 三角形。
△ABC 中，AB=AC ，请你加一个条件：
可以证明△ABC 是等边三角形。
你们小组得到什么结论？
三【训练反馈】
1. 等边三角形是轴对称图形吗？它有几条对称轴？它们分别是什么线段？
2. 如图，等边三角形ABC 中，AD 是BC 上的高，∠BDE=∠CDF=60°，•图中有哪些与BD 相等的线段？
3. 三角形ABC 为等边三角形．D 、E 为边AB 、AC 上两点，且AD=AE ．判断△ADE•是否是等边三角形，并说明理由．
四、【归纳拓展】
五、【作业】
C A
B C A
C
A B E D C A B。
等边三角形的性质与判定(导学案)-八年级数学上册同步备课系列(人教版)
学习笔记记录区_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________11.1.1三角形的边导学案一、学习目标：1.知道等边三角形的定义，等边三角形与等腰三角形的关系.2.掌握等边三角形的性质和判定方法.3.熟练地运用等边三角形的性质和判定方法解决问题.重点：探索等边三角形的性质与判定.难点：等边三角形性质和判定的应用.二、学习过程：课前自测小明想制作一个三角形的相框，他有四根木条长度分别为10cm ，10cm ，10cm ，6cm ，你能帮他设计出几种形状的三角形？自主学习在等腰三角形中，有一种特殊的情况，就是_____与______相等，这时，三角形______相等.我们把三条边都相等的三角形叫做学习笔记记录区___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________(________).思考：把等腰三角形的性质用于等边三角形，能得到什么结论？一个三角形的三个内角满足什么条件才是等边三角形？性质探索问题1.等边三角形的三个内角都相等吗？为什么？已知：如图，AB =AC =B C.求证：∠A =∠B =∠C.【归纳】性质：_______________________________________________.问题2.等边三角形是轴对称图形吗？若是，它有几条对称轴？【归纳】性质：_______________________________________________.问题3.等边三角形每边上的中线，高和所对角的平分线都三线合一吗？为什么？_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________【归纳】性质：_______________________________________________.判定探索问题1.三个角都相等的三角形是等边三角形吗？为什么？已知：如图，∠A =∠B =∠C.求证：△ABC 是等边三角形.【归纳】判定方法：_______________________________________________.问题2.有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.你能证明这个结论吗？思考：假若AB =AC ，则∠B =∠C ，一个角为60°，有几种情况？（请独立思考，小组内交流分享）_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________【归纳】判定方法：_______________________________________________.典例解析例1.如图，△ABC 是等边三角形，DE ∥BC ，分别交AB ，AC 于点D ，E .求证：△ADE 是等边三角形.例2.如图，△ABC 是等边三角形，E 是AC 上一点，D 是BC 延长线上一点，连接BE ，DE ，若∠ABE ＝40°，BE ＝DE ，求∠CED的度数．【针对练习】如图，△ABC 是等边三角形，BD 平分∠ABC ，延长BC 到E ，使得CE =C D ．求证：BD =DE ．_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________例3.△ABC 为正三角形，点M 是BC 边上任意一点，点N 是CA 边上任意一点，且BM ＝CN ，BN 与AM 相交于Q 点，∠BQM等于多少度？例4.等边△AB C 中，点P 在△ABC 内，点Q 在△ABC 外，且∠ABP ＝∠ACQ ，BP ＝CQ ，问△APQ是什么形状的三角形？试证明你的结论．【针对练习】如图，等边△AB C 中，D 、E 、F 分别是各边上的一点，且AD =BE =CF ．求证：△DEF 是等边三角形．_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________例5.图①、图②中，点C 为线段AB 上一点，△ACM 与△CBN 都是等边三角形．(1)如图①，线段AN 与线段BM 是否相等？请说明理由；(2)如图②，AN 与MC 交于点E ，BM 与CN 交于点F ，探究△CEF 的形状，并证明你的结论．达标检测1.如图，△ABC 是等边三角形，点D 在AC 边上，∠DBC =35°，则∠ADB 的度数为()A.25°B.60°C.85°D.95°2.如图，△ABC 为等边三角形，AD ⊥BC ，AE =AD 则∠ADE 的度数为()A.30°B.60°C.45D.75°_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________3.下列推理中，错误的是()A.因为∠A =∠B =∠C ，所以△ABC 是等边三角形B.因为AB =AC 且∠B =∠C ，所以△ABC 是等边三角形C.因为∠A =60°，∠B =60°，所以△ABC 是等边三角形D.因为AB =AC ，∠B =60°，所以△ABC 是等边三角形4.已知AD 是等边△ABC 的高，且BD =1cm ,那么BC 的长是_____cm.5.若等边△ABC 的两条角平分线BD 与CE 交于点O ，则∠BOC 的度数为_____.6.如图，△ABC 是周长为6的等边三角形,BD 为中线，且BD =a,E 为BC 延长线上一点，CE =CD ，则△BDE 的周长为________.7.如图，等边三角形AB C 中，点D ，E 分别在边AB ，BC 上，把△BDE沿直线DE 翻折，使点B 落在点B ′处，DB ′，EB ′分别交AC 于点F ，G ，若∠ADF =80°，则∠EGC 的度数为______.8.如图，△ABC 和△BDE 都是等边三角形，且点E 在BC 上.求证:AE =C D._______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________9.如图，△ABC 是等边三角形，∠ABC 、∠ACB 的平分线交于点O ，OM ∥AB ，ON ∥A C.求证:BM =MN =CN.。
【最新】人教版八年级数学上册《13.3.2等边三角形》导学案
探究等边三角形的性质与判定方法， 等边三角形的性质与判定的运用 自主探究，合作交流 课件 学案 设计
教 学 过 程 设 计
一、 创设情境导入课题 活动 1：观察与思考 看一组图片：上海世博会永久性标志建筑之一世博轴、跳棋、警示牌、国旗、等，感受“等边
活动何关系？
3、例题：如图，△ABC 是等边三角形，若点 D、E 分别在 AB、AC 上，当点 D、E 满足什么条件 边三角形？请说明理由。
四、课时小结： 这节课我们有什么收获？
1、教科书 习题 13.3
13.3.1 等边三角形
一、探究 二、 等边三角形的性质 三、等边三角形判定 四、课堂练习
课 后 反 思
三、解决问题、巩固提高 1、 （1）等边三角形每个外角都等于 120° （2）有两个角是 60° 的三角形是等边三角形
教 学 过 程 设 计
（3）有一个角等于 60°的等腰三角形是等边三角形。 （4）有两个角相等的等腰三角形是等边三角形
2、如右图，课外活动小组在一次测量中测得∠AP B=60°，AP=BP=200 米，他们便能得到池塘 米，你能说明为什么吗？
新人教版八年级数学上册《13.3.2 等边三角形》导学案
知识目标 能力目标 情感目标 教学重点 教学难点 教学方法 教学准备 导案设计 经历 探究等边三角形的性质和判定方法的过程，并能进行简单的应用。
经历观察、猜想、证明等数学活动过程，发展合情推理能力和初步的演绎 积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲。
二、探究活动 活动 3： 探究等边三角形的性质 （1）等边三角形是轴对称图形吗？它有几条对称轴？ （2）通过折 叠你发现等边三角形的角有那些性质，你能证明吗 等边三角形的性质： 1、等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴 2、等边三角形的三个角都相等，并且每一个角都等于 60° 活动 4：探究等边三角形的判定 1、 思考：一个三角形满足什么条件就是等边三角形？ 2、 思考：一个等腰三角形满足什么条件就是等边三角形？ 3、动画演示说明。 小结等边三角形常用 的判定方法： 边：三边相等的三角形是等边三角形 角：三角相等的三角形是等边三角形 边角：有一个角等于 60°的等腰三角形是等边三角形
清远市师院附中八年级数学上册第十二章全等三角形12.2全等三角形的判定第1课时边边边导学案新版新人教
12.2 三角形全等的判定第1课时边边边一、新课导入1.导入课题：通过上节课的学习，大家知道：两个三角形全等时，三条对应边相等，三组对应角相等，那么判定两个三角形全等，是否一定需要满足六个条件呢?如果只满足上述六个条件中的一部分，是否也能保证两个三角形全等呢?从这节课开始，我们来探究全等三角形的判定.2.学习目标：（1）通过三角形的稳定性，体验三角形全等的“边边边”条件.（2）会运用“边边边”定理判定两个三角形的全等．3.学习重、难点：重点:寻求三角形全等的条件的方法.难点:寻求三角形全等的条件的依据.二、分层学习1.自学指导：（1）自学内容：探究1:两个三角形的六个对应元素中满足一个或两个对应元素相等的两个三角形是否一定全等.探究2:三条边对应相等的两个三角形是否一定全等.（2）自学时间：10分钟.（3）自学方法：按探究中的要求画三角形、剪三角形、重叠三角形，并观察归纳得出自己的结论.（4）探究提纲：动手画出符合给出条件的两个三角形，小组内比较一下，看画出的图形是否全等.a.小组长任意给出一个条件（一条边或一个角），小组的所有成员动手画出符合条件的三角形，小组内比较一下，你们画出的图形一样吗？b.小组长任意给出两个条件画三角形时，有几种可能的情况，每种情况下作出的三角形一定全等吗？发现按这些条件画出的两个三角形不能保证一定全等.c.给出三个条件画三角形，画画看有几种可能的情况.d.已知一个三角形的三条边长分别为6cm、8cm、10cm．你能画出这个三角形吗？把你画的三角形剪下与同伴画的三角形进行比较，它们全等吗？你能得出什么结论？通过上面的操作，你得出的结论：三边分别相等的两个三角形全等简写为“边边边”或“SSS”.2.自学：学生结合探究提纲进行探究式学习.3.助学：(1)师助生：①明了学情：学生对自学提纲中的a、b两种情形，能够很快得出不全等的结论，但对于自学参考提纲中的c情形，学生可以得出很多结论，因此教师在肯定学生的前提下，不要过多的停留在这个问题上，要迅速引导学生回到今天探讨的重点上.②差异指导：根据学生学习中存在的问题予以分类指导.(2)生助生：在动手画图的过程中，小组之内需要合作探究，相互交流帮助.4.强化：(1)定理的文字表述：三边分别相等的两个三角形全等.(2)定理的几何表述：如图，在△ABC和△DEF中，∵AB=DE，AC=DF，BC=EF，∴△ABC≌△DEF.（特别注意对应的顶点写在对应的位置上.）1.自学指导：(1)自学内容：教材第36页例1到教材第37页探究3前的内容.(2)自学时间：5分钟.(3)自学方法：认真阅读教材上的内容，思考回答自学提纲中的问题.(4)自学参考提纲：①判定两个三角形全等，今天学习了什么方法？SSS②图中D是BC的中点，你可以得出哪个结论？等腰三角形“三线合一”.③你学会了证明两个三角形全等的基本格式了吗？④请仿照课本作图：已知∠AOB.a.求作：∠A′O′B′，使∠A′O′B′=∠AOB，认真阅读作法，理解什么是尺规作图？然后写出这样作图的理论依据.依据：三边分别相等的两个三角形全等（SSS）.b.剪下△COD和△C′O′D′，重叠地放置在一起，看一看有什么结果？全等.2.自学：学生可结合自学指导进行自学.3.助学：(1)师助生：①明了学情：重点了解学生对证明的符号语言的运用及作图中的作法表述规范完整.②差异指导：a.指导学生的证明过程；b.纠正学生尺规作图的作法不当之处；c.引导说明每步作图的目的和依据.(2)生助生：对尺规作图的理论依据及规范操作进行交流，对困难学生予以帮助.4.强化：(1)结论、方法、要领：①用：“SSS”判定两个三角形全等的依据.②用“SSS”证明两个三角形全等的表达格式.③符号“∵”“∴”表示的意义.④公共边是对应边.⑤等量的运用：等式性质.(2)练习：如图，A、D、B、F在一条直线上，BC=DE，AC=EF，BF=AD，求证：△ABC≌△FDE.证明：∵BF=AD,∴BF+BD=AD+DB,即DF=AB.在△ABC和△FDE中，BC=DE,AC=FE,AB=FD,∴△ABC=△FDE(SSS).三、评价1.学生的自我评价：通过本节课的学习，让学生代表谈谈自己的收获或困惑.2.教师对学生的评价：（1）表现性评价：对学生的学习态度、学习方法和收获进行点评.（2）纸笔评价：课堂评价检测.3.教师自我评价(教学反思):本课时教学时应抓住以下重点：(1)分类问题：教师让学生从实践入手，给定三角形三边，学生在薄纸上画，然后小组的同学看所画三角形是否重合，探索归纳、形成结论.(2)教师可用多媒体展示现实生活中的实际例子：如桥梁、铁塔、自行车的三角架等，从中体验三角形的稳定性，认识“边边边”可作为三角形全等的判定依据.(3)强调思路分析和书写规范.一、基础巩固（第1、2、3题每题10分，第4题20分，共50分）1.下面判断两个三角形全等的条件中，正确的是（D）A.一条边对应相等B.两条边对应相等C.三个角对应相等D.三边对应相等2.如图，△ABC中，AB=AC，EB=EC，则由SSS可以判定（B）A.△ABD≌△ACDB.△ABE≌△ACEC.△BDE≌△CDED.以上答案都不对3.如图，AB=AC，EB=CD，要使△ABE≌△ACD，依据SSS，则还需要添加条件AE=AD.4.如图，AB=AD，CB=CD，△ABC 与△ADC全等吗？为什么？解：全等.∵AB=AD,CB=CD,AC=AC,∴△ABC≌△ADC(SSS).二、综合应用（每题15分，共30分）5.如图，C是AB的中点，AD=CE，CD=BE，求证△ACD≌△CBE 证明：∵C是AB的中点，∴AC=CB.在△ACD和△CBE中，AC=CB,AD=CE,CD=BE,∴△ACD≌△CBE（SSS）.6.如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB=DE，AC=DF，BE=CF，求证：∠A=∠D.证明：∵BE=CF,∴BE+EC=CF+EC,即BC=EF,在△ABC和△DEF中，AB=DE,AC=DF,BC=EF,∴△ABC≌△DEF(SSS).∴∠A=∠D.三、拓展延伸（20分）7.已知∠AOB，点C是OB边上的一点，用尺规作图，画出经过点C与OA平行的直线. 解：作图如图所示：作法：（1）以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点D，E;（2）以点C为圆心，OD长为半径画弧，交OB于点F；（3）以点F为圆心，DE长为半径画弧，与第2步中所画的弧相交于点P;（4）过C，P两点作直线，直线CP即为要求作的直线.专题练习：图形的轴对称基础训练1．下列交通标志图案是轴对称图形的是(C)2．下列图形中，所有轴对称图形的对称轴条数之和为(B)(第2题图)A. 13B. 11C. 10D. 83．民族图案是数学文化中的一块瑰宝．下列图案中，既不是中心对称图形也不是轴对称图形的是(C)4．如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，左上角阴影部分是一个以格点为顶点的正方形(简称格点正方形)．若再作一个格点正方形，并涂上阴影，使这两个格点正方形无重叠面积，且组成的图形是轴对称图形，又是中心对称图形，则这个格点正方形的作法共有(C)(第4题图)A. 2种B. 3种C. 4种D. 5种5．如图，直线y＝－33x＋2与x轴，y轴分别交于A，B两点，把△AOB沿着直线AB翻折后得到△AO′B，则点O′的坐标是(A)(第5题图)A. (3，3)B. (3，3)C. (2，23)D. (23，4)6．若点A(m＋2，3)与点B(－4，n＋5)关于y轴对称，则m＋n＝__0__．(第7题图)7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB边上，将△CBD沿CD折叠，使点B 恰好落在AC边上的点E处．若∠A＝26°，则∠CDE＝71°．8．在如图所示的平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1的正方形，△ABC的顶点均在格点上，点A的坐标是(－3，－1)．(1)将△ABC沿y轴正方向平移3个单位得到△A1B1C1，画出△A1B1C1，并写出点B1坐标．(2)画出△A1B1C1关于y轴对称的△A2B2C2，并写出点C2的坐标．(第8题图)解：(1)如解图所示△A1B1C1即为所求，点B1的坐标为(－2，－1)．(2)如解图所示，△A2B2C2即为所求，点C2的坐标为(1，1)．(第8题图解)9．如图①，将矩形ABCD沿DE折叠，使顶点A落在DC上的点A′处，然后将矩形展平，沿EF折叠，使顶点A落在折痕DE上的点G处．再将矩形ABCD沿CE折叠，此时顶点B恰好落在DE上的点H处，如图②.(1)求证：EG＝CH.(2)已知AF＝2，求AD和AB的长．(第9题图)解：(1)证明：由折叠知AE ＝AD ＝EG ，BC ＝CH . ∵四边形ABCD 是矩形， ∴AD ＝BC ， ∴EG ＝CH .(2)∵∠ADE ＝45°，∠FGE ＝∠A ＝90°，AF ＝2， ∴DG ＝FG ＝2，DF ＝2， ∴AD ＝AF ＋DF ＝2＋2.由折叠知∠AEF ＝∠GEF ，∠BEC ＝∠HEC ，∴∠GEF ＋∠HEC ＝90°，∠AEF ＋∠BEC ＝90°， ∵∠AEF ＋∠AFE ＝90°， ∴∠BEC ＝∠AFE . 在△AEF 与△BCE 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠AFE ＝∠BEC ，∠A ＝∠B ＝90°，AE ＝BC ，∴△AEF ≌△BCE (AAS )， ∴AF ＝BE ，∴AB ＝AE ＋BE ＝22＋2.拓展提高10．如图，∠3＝30°，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时，必须保证∠1的度数为(C ),(第10题图))A. 30°B. 45°C. 60°D. 75°11．如图，四边形ABCD 中，AC 垂直平分BD ，垂足为点E ，下列结论不一定成立的是(C )(第11题图)A. AB ＝ADB. AC 平分∠BCDC. AB ＝BDD. △BEC ≌△DEC12．如图，在正方形方格中，阴影部分是涂黑7个小正方形所形成的图案，再将方格内空白的一个小正方形涂黑，使得到的新图案成为一个轴对称图形的涂法有_3_种．(第12题图)13．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，将边AC沿CE翻折，使点A落在AB上的点D处；再将边BC沿CF翻折，使点B落在CD的延长线上的点B′处，两条折痕与斜边AB分别交于点E，F，则线段B′F的长为4 5．(第13题图)14．如图，MN是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN＝30°，点B为劣弧AN 的中点．点P是直径MN上一动点，则PA＋PB的最小值是2．(第14题图)15．在▱ABCD中，AB＜BC，已知∠B＝30°，AB＝23，将△ABC沿AC翻折至△AB′C，使点B′落在▱ABCD所在的平面内，连结B′D.若△AB′D是直角三角形，则BC 的长为__4或6__．16．如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝6，BC＝8.把△BCD沿对角线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于点G，点E，F分别是C′D和BD上的点，线段EF交AD于点H，把△FDE沿EF折叠，使点D落在D′处，点D′恰好与点A重合．,(第16题图))(1)求证：△ABG≌△C′DG.(2)求tan∠ABG的值．(3)求EF的长．解：(1)证明：∵△BDC ′由△BDC 翻折而成，∴∠C ＝∠C ′＝∠BAG ＝90°，C ′D ＝AB ＝CD ，∠BGA ＝∠DGC ′. 在△ABG 与△C ′DG 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧∠BAG ＝∠C ′，∠AGB ＝∠C ′GD ，AB ＝C ′D ，∴△ABG ≌△C ′DG . (2)解：∵由(1)可知△ABG ≌△C ′DG ，∴GD ＝GB . 设AG ＝x ，则GB ＝GD ＝AD －AG ＝8－x .在Rt △ABG 中，∵AB 2＋AG 2＝BG 2，即62＋x 2＝(8－x )2，解得x ＝74，∴tan ∠ABG ＝AG AB ＝746＝724. (3)解：∵△AEF 是△DEF 翻折而成， ∴EF 垂直平分AD .∴HD ＝12AD ＝4.∴tan ∠ABG ＝tan ∠ADE ＝724.∴EH ＝HD ×724＝4×724＝76.∵EF 垂直平分AD ，AB ⊥AD ，∴HF 是△ABD 的中位线． ∴HF ＝12AB ＝12×6＝3.∴EF ＝EH ＋HF ＝76＋3＝256.17．如图，已知在Rt△ABC 中，∠C ＝90°，翻折∠C ，使点C 落在斜边AB 上某一点D处，折痕为EF (点E ，F 分别在边AC ，BC 上)．(第17题图)(1)若△CEF 与△ABC 相似．①当AC ＝BC ＝2时，AD 的长为__2__； ②当AC ＝3，BC ＝4时，AD 的长为．(2)当点D 是AB 的中点时，△CEF 与△ABC 相似吗？请说明理由． 解：(1)若△CEF 与△ABC 相似．(第17题图解①)①当AC ＝BC ＝2时，△ABC 为等腰直角三角形，如解图①，连结CD . 此时点D 为AB 边中点，AD ＝22AC ＝ 2.②当AC ＝3，BC ＝4时，有以下两种情况：(第17题图解②)(Ⅰ)若CE ∶CF ＝3∶4，如解图②所示．∵CE ∶CF ＝AC ∶BC ，∴EF ∥BC .由折叠性质可知，CD ⊥EF ，∴CD ⊥AB ，即此时CD 为AB 边上的高．在Rt△ABC 中，AC ＝3，BC ＝4，∴BC ＝5.∴cos A ＝35.AD ＝AC ·cos A ＝3×35＝1.8.(第17题图解③)(Ⅱ)若CF ∶CE ＝3∶4，如解图③所示，连结CD ，与EF 交于点Q .∵△CEF ∽△CBA ，∴∠CEF ＝∠B .由折叠性质可知，∠CEF ＋∠ECD ＝90°，又∵∠A ＋∠B ＝90°.∴∠A ＝∠ECD ，∴AD ＝CD .同理可得∠B ＝∠FCD ，CD ＝BD .∴此时AD ＝12AB ＝12×5＝2.5.综上所述，当AC ＝3，BC ＝4时，AD(2)当点D 是AB 的中点时，△CEF 与△ABC 相似．理由如下：如解图③.∵CD 是Rt△ABC 的中线，∴CD ＝DB ＝AD .∴∠DCB ＝∠B .由折叠性质可知，∠CQF ＝∠DQF ＝90°，∴∠DCB ＋∠CFE ＝90°.∵∠B ＋∠A ＝90°，∴∠CFE ＝∠A .又∵∠ECF ＝∠BCA ，∴△CEF ∽△CBA .第2课时 等腰三角形的判定1．理解并掌握等腰三角形的判定方法．2．运用等腰三角形的判定进行证明和计算．重点等腰三角形的判定方法．难点等腰三角形的判定方法的证明．一、提出问题出示教材第77页“思考”．学生思考，回答后教师提问：在一般三角形中，如果有两个角相等，那么它们所对的边有什么关系？学生猜想它们所对的边相等．即如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．如何证明？二、解决问题教师引导提示，学生根据提示画出图形，并写出已知、求证．已知：在△ABC 中，∠B ＝∠C.求证：AB ＝AC.与学生一起回顾等腰三角形中常添加的辅助线：高、顶角平分线、底边上的中线．让学生逐一尝试，发现可以作AD⊥BC，或AD 平分∠BAC，但不能作BC 边上的中线．学生口头证明后，选一种方法写出证明过程．如图，在△ABC 中，∠B ＝∠C，作△ABC 的角平分线AD.在△BAD 和△CAD 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠1＝∠2，∠B ＝∠C，AD ＝AD ，∴△BAD ≌△CAD(AAS )，∴AB ＝AC.归纳等腰三角形的判定方法：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等，简称：“等角对等边”．三、应用举例1．出示教材例2.引导学生根据命题画出图形，利用角平分线的性质及“等边对等角”来证明．学生讨论后，自己完成证明过程．例 2 求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形．已知：∠CAE是△ABC的外角，∠1＝∠2，AD∥BC.(如图所示)求证：AB＝AC.分析：要证明AB＝AC.可先证明∠B＝∠C.因为∠1＝∠2，所以可以设法找出∠B，∠C 与∠1，∠2的关系．证明：∵AD∥BC，∴∠1＝∠B(______________________)，∠2＝∠C(______________________)．而已知∠1＝∠2，所以∠B＝∠C.∴AB＝AC(______________)．2．出示教材例3.让学生自学例3.例3 已知等腰三角形底边长为a，底边上的高的长为h，求作这个等腰三角形．作法：(1)作线段AB＝a.(2)作线段AB的垂直平分线MN，与AB相交于点D.(3)在MN上取一点C，使DC＝h.(4)连接AC，BC，则△ABC就是所求作的等腰三角形．四、课堂小结1．等腰三角形的判定方法是什么？2．等腰三角形的性质与判定既有区别又有联系，你能总结一下吗？五、布置作业教材习题13.3第2，8，10题．学生刚刚学过等腰三角形的性质，对等腰三角形已经有了一定的了解和认识．因此在课堂教学中先引出等腰三角形的判定定理及推论，并能够灵活应用它进行有关论证和计算．发展学生的动手、归纳猜想能力；发展学生证明用文字表述的几何命题的能力；使它们进一步掌握归纳思维方法，领会数学分类思想、转化思想．。
《等边三角形的性质与判定》导学案
第十三章三角形等腰三角形 是等边三角形要点归纳：_______个角都相等的三角形是等边三角形. 三、自学自测1.已知△ABC 为等边三角形，则∠A 的度数是（ ） A ．30° B ．45° C ．60° D ．90°2.已知△ABC 中，∠A=∠B=60°，AB=3cm ，则△ABC 的周长为______cm.3.△ABC 中，AB=AC ，∠A=∠C ，则∠B=______度. 四、我的疑惑____________________________________________________________________________________________________________________________________________________一、要点探究探究点1：等腰三角形的性质 典例精析例1：如图，△ABC 是等边三角形，E 是AC 上一点，D 是BC 延长线上一点，连接BE ，DE ，若∠ABE ＝40°，BE ＝DE ，求∠CED 的度数．方法总结：等边三角形是特殊的三角形，它的三个内角都是60°，这个性质常应用在求三角形角度的问题上，一般需结合“等边对等角”、三角形的内角和与外角的性质.变式训练：如图，△ABC 是等边三角形，BD 平分∠ABC ，延长BC 到E ，使得CE=CD ．求证：BD=DE ．例2：△ABC 为正三角形，点M 是BC 边上任意一点，点N 是CA 边上任意一点，且BM ＝CN ，BN 与AM 相交于Q 点，∠BQM 等于多少度？课堂探究教学备注 配套PPT 讲授1.问题引入 （见幻灯片3）2.探究点1新知讲授（见幻灯片6-14）方法总结：此题属于等边三角形与全等三角形的综合运用，一般是利用等边三角形的性质判定三角形全等，而后利用全等及等边三角形的性质，求角度或证明边相等.探究点2：等边三角形的判定想一想：小明认为还有第三种方法“两条边相等且有一个角是60°的三角形也是等边三角形”，你同意吗？为什么？1.顶角为60°的等腰三角形： 如图，在△ABC 中，AB=AC ，∠A=60°，求证：△ABC 是等边三角形. 证明：2.底角为60°的等腰三角形：证明：要点归纳：有一个角是_____的等腰三角形是等边三角形. 典例精析,在等边三角形ABC 中，点D 、E 在边AB 、AC 的延长线上，且 DE ∥BC ，求证：△ADE 是等边三角形.想一想： 若点D 、E 在边AB 、AC 的反向延长线上，且DE ∥BC ，结论依然成立吗？例4：等边△ABC 中，点P 在△ABC 内，点Q 在△ABC 外，且∠ABP ＝∠ACQ ，BP ＝CQ ，问△APQ 是什么形状的三角形？试证明你的结论．教学备注3.探究点2新知讲授（见幻灯片15-23）A B C A D E B C AD E BC方法总结：判定一个三角形是等边三角形有以下方法：一是证明三角形三条边相等；二是证明三角形三个内角相等；三是先证明三角形是等腰三角形，再证明有一个内角等于60°.针对训练1.△ABC中，∠B=60°，AB=AC，BC=3，则△ABC的周长为（）A.9B.8C.6D.132.如图，等边三角形ABC中，AD是BC上的高，∠BDE=∠CDF=60°，图中与BD相等的线段有（）A.5条B.6条C.7条D.8条第2题图第3题图3.如图，△ABC是等边三角形, DE ∥BC,则∠ADE=__________.4.如图，等边△ABC中，D、E、F分别是各边上的一点，且AD=BE=CF．求证：△DEF是等边三角形．【变式题】△ABC为等边三角形，且DE⊥BC，垂足为D，EF⊥AC，垂足为E，FD⊥AB，垂足为F，则△DEF是等边三角形吗？为什么？教学备注配套PPT讲授5.课堂小结AB C D E二、课堂小结等边三角形性质判定 三边相等，三个角都等于_______.三边相等 每一条边上的中线、高和这一边所对的角的平分线互相重合三角相等3条对称轴有一个角等于____的等腰三角形1.等边三角形的两条高线相交成钝角的度数是（ ）A ．105°B ．120°C ．135°D ．150°2.如图，等边三角形ABC 的三条角平分线交于点O ，DE ∥BC ，则这个图形中的等腰三角形共有（ ）A. 4个B. 5个C. 6个D. 7个第2题图 第3题图 第4题图 3.在等边△ABC 中，BD 平分∠ABC ，BD=BF ，则∠CDF 的度数是（ ） A ．10° B ．15° C ．20° D ．25° 4.如图,△ABC 和△ADE 都是等边三角形，已知△ABC 的周长为18cm,EC =2cm,则△ADE 的周长是__________cm.5.如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，以AB 为边在△ABC 外作等边△ABD ，E 是AB 的中点，连接CE 并延长交AD 于F ．求证：△AEF ≌△BEC ．6.如图，A 、O 、D 三点共线，△OAB 和△OCD 是两个全等的等边三角形，求∠AEB 的大小.当堂检测AC BDEACB DEO 教学备注 配套PPT 讲授6.当堂检测 （见幻灯片24-30）拓展提升7.图①、图②中，点C为线段AB上一点，△ACM与△CBN都是等边三角形．(1)如图①，线段AN与线段BM是否相等？请说明理由；(2)如图②，AN与MC交于点E，BM与CN交于点F，探究△CEF的形状，并证明你的结论．。
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等边三角形
学习目标：
1、理解并掌握等边三角形的定义，探索等边三角形的性质和判定方法
2、能够用等边三角形的知识解决相应的数学问题
3.掌握含30o角的直角三角形的性质，并能灵活运用这一性质解决实际问题。
4.极度热情、享受成功、感受数学就在身边。
重点：等边三角形判定定理的发现与证明
含30°角的直角三角形的性质定理的证明与运用．
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难点：等边三角形性质和判定的应用
预习案
使用说明&学法指导
1．诵读教材的内容，进行知识梳理；熟记基础知识,
2．完成教材助读设置的问题，然后结合课本基础知识的例题，完成与预习自测。
3．建议15分钟完成预习案，将预习中不能解决的问题标出来，并填写到后面的我的疑惑处。
Ⅰ旧知回顾
1、等腰三角形性质
2、等腰三角形判定
、
Ⅱ教材助读
认真阅读课本，完成预习自测。
1、等边三角形的性质
2、等边三角形的判定
3、在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，…
探究案
探究：
例1、如图，△ABD，△AEC都是等边三角形，
求证BE＝DC
-
例2、如图，AB＝AC，∠A＝40°，AB的垂直平分线MN交AC
于D，求∠DBC的度数。
？
例3等腰三角形的底角为15°，腰长为2a，求腰上的高
]
例4如图，△ABC为等边三角形，D、E分别是AC、BC上的点，
且AD=CE，AE与BD相交于点P，BF⊥AE于点F
求证:BP=2PF
'
自我检测
如图：等边三角形ABC的边长为4cm，点D从点C出发沿CA
向A运动，点E从B出发沿AB的延长线BF向右运动，已知点
D、E都以每秒0.5cm的速度同时开始运动，运动过程中DE与
BC相交于点P
(1)运动几秒后，△ADE为直角三角形
（2）求证：在运动过程中，点P始终为线段DE的中点。
P
F
E
>
B
A
P
D
C
B
A
E F。