反三角函数
常用反三角函数公式
反三角函数公式反三角函数图像与特征1，该点切线斜率为－：反三角函数的定义域与主值范围，则式中n为任意整数.反三角函数的相互关系sin x = x-x3/3!+x5/5!-...(-1)k-1*x2k-1/(2k-1)!+... (-∞<x<∞)cos x = 1-x2/2!+x4/4!-...(-1)k*x2k/(2k)!+... (-∞<x<∞)arcsin x = x + 1/2*x3/3 + 1*3/(2*4)*x5/5 + ... (|x|<1)arccos x= π - ( x + 1/2*x3/3 + 1*3/(2*4)*x5/5 + ... ) (|x|<1)arctan x = x - x^3/3 + x^5/5 - ... (x≤1)ArcSin(x) 函数功能：返回一个指定数的反正弦值，以弧度表示，返回类型为Double。
语法：ArcSin(x)。
说明：其中，x的取值范围为[-1，1]，x的数据类型为Double。
程序代码：Function ArcSin(x As Double) As DoubleIf x >= -1 And x < -0.5 Then ArcSin = -Atn(Sqr(1 - x * x) / x) - 2 * Atn(1) If x >= -0.5 And x <= 0.5 Then ArcSin = Atn(x / Sqr(1 - x * x))If x > 0.5 And x <= 1 Then ArcSin = -Atn(Sqr(1 - x * x) / x) + 2 * Atn(1) End FunctionArcCos(x) 函数功能：返回一个指定数的反余弦值，以弧度表示，返回类型为Double。
语法：ArcCos(x)。
说明：其中，x的取值范围为[-1，1]，x的数据类型为Double。
反三角函数
反三角函数是一种基本初等函数。
它并不能狭义的理解为三角函数的反函数，是个多值函数。
它是反正弦arcsin x，反余弦arccos x，反正切arctan x，反余切arccot x，反正割arcsec x,反余割arccsc x这些函数的统称，各自表示其反正弦、反余弦、反正切、反余切,反正割，反余割为x的角。
三角函数的反函数不是单值函数，因为它并不满足一个自变量对应一个函数值的要求，其图像与其原函数关于函数y=x对称。
欧拉提出反三角函数的概念，并且首先使用了“arc+函数名”的形式表示反三角函数，而不是。
为限制反三角函数为单值函数，将反正弦函数的值y限在-π/2≤y≤π/2，将y作为反正弦函数的主值，记为y=arcsin x；相应地，反余弦函数y=arccos x的主值限在0≤y≤π；反正切函数y=arctan x的主值限在-π/2<y<π/2；反余切函数y=arccot x的主值限在0<y<π。
反三角函数反正弦函数x=sin y在[-π/2，π/2]上的反函数，叫做反正弦函数。
记作arcsinx，表示一个正弦值为x的角，该角的范围在[-π/2，π/2]区间内。
定义域[-1，1] ，值域[-π/2，π/2]。
反三角函数反余弦函数绿的为y=arccos(x) 红的为y=arcsin(x)x=cos y在[0，π]上的反函数，叫做反余弦函数。
记作arccosx，表示一个余弦值为x 的角，该角的范围在[0，π]区间内。
定义域[-1，1] ，值域[0，π]。
反三角函数反正切函数x=tan y在(-π/2，π/2）上的反函数，叫做反正切函数。
记作arctanx，表示一个正切值为x的角，该角的范围在（-π/2，π/2）区间内。
定义域R，值域（-π/2，π/2）。
反三角函数反余切函数x=cot y在（0，π）上的反函数，叫做反余切函数。
记作arccotx绿的为y=arccot(x) 红的为y=arctan(x) ，表示一个余切值为x的角，该角的范围在（0，π）区间内。
反三角函数的公式
反三角函数的公式1. 反正弦函数（arcsin）反正弦函数表示为y = arcsin(x)，它的定义域是[-1,1]，值域是[-π/2,π/2]。
反正弦函数的图像是一个沿y轴对称的开口向上的曲线，它在x=-1和x=1处有一个垂直渐近线。
反正弦函数具有以下性质：- 当x在[-1,1]之间取值时，y = arcsin(x)的值在[-π/2,π/2]之间。
-当x=0时，y=0。
-当x趋近于1时，y趋近于π/2-当x趋近于-1时，y趋近于-π/2反正弦函数的公式可以表示为arcsin(x) = sin^(-1)(x)。
2. 反余弦函数（arccos）反余弦函数表示为y = arccos(x)，它的定义域是[-1,1]，值域是[0,π]。
反余弦函数的图像是一个沿y轴对称的开口向下的曲线，它在x=-1和x=1处有一个水平渐近线。
反余弦函数具有以下性质：- 当x在[-1,1]之间取值时，y = arccos(x)的值在[0,π]之间。
-当x=1时，y=0。
-当x趋近于-1时，y趋近于π。
反余弦函数的公式可以表示为arccos(x) = cos^(-1)(x)。
3. 反正切函数（arctan）反正切函数表示为y = arctan(x)，它的定义域是(-∞,+∞)，值域是(-π/2,π/2)。
反正切函数的图像是一个关于y轴对称的S型曲线，它在x=0处有一个纵坐标为0的弧线。
反正切函数具有以下性质：- 当x在(-∞,+∞)之间取值时，y = arctan(x)的值在(-π/2,π/2)之间。
-当x=0时，y=0。
-当x趋近于+∞时，y趋近于π/2-当x趋近于-∞时，y趋近于-π/2反正切函数的公式可以表示为arctan(x) = tan^(-1)(x)。
以上是反三角函数的公式及其性质的简要总结。
这些反三角函数在数学和实际应用中都有广泛的应用，特别是在计算机图形学、物理学等领域中起到关键作用。
反三角函数的详细性质和推导可以通过进一步的学习和研究来深入了解。
三角函数的反函数
三角函数的反函数三角函数是在数学中常见的一类函数，包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。
而反函数则是指当一元函数的定义域和值域互换位置时得到的新函数。
在三角函数中，我们也可以定义其反函数，即反正弦函数、反余弦函数和反正切函数等。
下面将介绍三角函数的反函数及其性质。
一、反正弦函数（arcsin）反正弦函数是指对于给定的实数y，满足-1≤y≤1的情况下，求出对应的角x（单位为弧度），使得sin(x)=y。
反正弦函数常用符号为arcsin或sin^(-1)，其定义域为[-1,1]，值域为[-π/2,π/2]。
例如，根据反正弦函数的定义，当y=1时，sin(x)=1，所以x=π/2。
因此arcsin(1)=π/2。
二、反余弦函数（arccos）反余弦函数是指对于给定的实数y，满足-1≤y≤1的情况下，求出对应的角x（单位为弧度），使得cos(x)=y。
反余弦函数常用符号为arccos或cos^(-1)，其定义域为[-1,1]，值域为[0,π]。
例如，当y=0时，cos(x)=0，所以x=π/2或x=-π/2。
因此arccos(0)=π/2或arccos(0)=-π/2。
三、反正切函数（arctan）反正切函数是指对于给定的实数y，求出对应的角x（单位为弧度），使得tan(x)=y。
反正切函数常用符号为arctan或tan^(-1)，其定义域为(-∞,∞)，值域为(-π/2,π/2)。
例如，当y=1时，tan(x)=1，所以x=π/4。
因此arctan(1)=π/4。
值得注意的是，由于正弦函数、余弦函数和正切函数的周期性质，反三角函数的定义域通常会限制在一个特定的范围内。
此外，反三角函数也具有许多重要的性质，例如它们是单调递增的、处处可导的等。
总结起来，反三角函数是对于给定的函数值，求出对应的角度值的函数。
它们在解决三角函数方程、三角函数的应用问题等方面具有广泛的应用。
通过对反三角函数的了解与运用，我们能够更好地理解和应用三角函数及其相关概念。
反三角函数
4
反三角函数性质应用
Ex:求下列函数的定义域、值域和单调区间
1 y 2 a rcsin
1 x2
2
;
D = ， 3 ， ,A = ， 0 ， 1 0 1 ， ， 3 ，
2 y a rcta n ( x 3 x )
Ex:求函数 y (arccos x )
2
5 arccos x 在
1 2 ,1
上的最值.
注：换元转化成二次函数求最值， 注意相应范围变化
4 2 10 y m ax 0, y m in 9 3
Ex：求满足条件arcsin x arcsin (1 x )的实数 x
这组等式与 奇偶性相呼 a rcco s x , x 1, 1 应
1
利用性质
f(f
1
( x )) x , f
( f ( x )) x
又可推出下列等式：
a rcsin sin x x , x , 2 2 co s(a rcco s x ) x , x 1, 1 a rcco s co s x x , x 0 , ta n (a rcta n x ) x , x R 要注意主值区间，即等 a rcta n t a n x x , x , 2 2 式中x的规定范围。
sin (a rcsin x ) x , x 1, 1
用反三角的形式表示角
例:已知
sin x 2 3 , x , 5 2
用反正弦形式表示x.
a r c s in
反三角函数
(3) 有界性: 在D上有界。 (4)奇偶性: 奇 (5)单调性: 增函数。
-4 -3 -2
y
3
2.5
2
1.5
2
1
2
1
0.5
-1
2
x
3 4
2
-0.5
y arctan x, x R, y (
-1
-1.5
y arccos x cos y x
y=arccosx,x∈[-1，1]的图象与性质 (1)定义域： [-1，1]。 (2)值域: [0，π]。 (3) 有界性: 在D上有界。 (4)奇偶性: 非奇非偶。
-4 -3 -2 -1 5
y
y=arccosx
4.5
4
3.5
3
2.5
2
1.51Βιβλιοθήκη 0.5π1 2 3 4
x
(5)单调性:
减函数。
-1
-0.5
1
-1
y=cosx
反正切函数的定义:
3、y=tanx在(-π/2<x<π/2)上 的反函数名为“反正切函 数”，记作y=arctanx（x∈R， -π/2<y<π/2）
-4 -3
y tan x, x (
y
3
, ) 2 2 yR
2.5
(3) 有界性: 在D上有界。 (4)奇偶性: 非奇非偶 (5)单调性: 减函数。
几个重要的恒等式 f ( f ( x)) x, f ( f ( x )) x
, ] 2 2 x arcsin a, , x [ , ] 2 2
反三角函数知识点
反三角函数知识点反三角函数是一类与三角函数相反的函数，它们在数学和工程领域有着广泛的应用。
反三角函数包括反正弦函数（arcsin）、反余弦函数（arccos）、反正切函数（arctan）等。
以下是反三角函数的知识点概述：1.反三角函数的定义：反三角函数是三角函数的反函数，定义为：反正弦函数（arcsin）：y = arcsin(x) 表示一个角度x（弧度制），其正弦值为y。
反余弦函数（arccos）：y = arccos(x) 表示一个角度x（弧度制），其余弦值为y。
反正切函数（arctan）：y = arctan(x) 表示一个角度x（弧度制），其正切值为y。
2.反三角函数的性质：（1）定义域和值域：反三角函数的定义域和值域是有限的，并且在实数范围内是连续的。
例如，arcsin函数的定义域是[-1, 1]，值域是[-π/2, π/2]。
（2）奇偶性：反三角函数中的反正弦函数和反余弦函数是奇函数，而反正切函数是偶函数。
（3）周期性：反三角函数不是周期函数，但它们可以在一定范围内表现出周期性。
例如，arctan函数在实数范围内是周期函数，其周期为π。
3.反三角函数的计算：（1）利用三角函数的性质计算：反三角函数可以通过三角函数的性质进行计算。
例如，利用三角恒等式和三角函数的单调性可以求解反三角函数的值。
（2）利用反三角函数的定义计算：反三角函数的定义可以用于求解反三角函数的值。
例如，对于arcsin(x)，可以通过解方程sin(y) = x来求解y的值。
4.反三角函数的应用：（1）在几何学中的应用：反三角函数可以用于解决一些几何问题，例如计算角度、距离等。
（2）在物理学中的应用：反三角函数可以用于解决一些物理问题，例如振动、波动等。
（3）在工程学中的应用：反三角函数可以用于解决一些工程问题，例如信号处理、图像处理等。
5.反三角函数的图像和性质：反三角函数的图像和性质可以通过图像法和公式法进行描述。
反三角函数
例5 求下列各式的值. 3 2 3 (1) cos arcsin ; *(2) tan arcsin +arcsin . 5 5 2 解 (1) 设 arcsin 3, 5 所以为在 - , 内的且正弦值为3的角, 5 2 2
附录B
反三角函数
反三角函数
根据反函数的定义，三角函数在它们的定义域内是没有 反函数的.如果把它们的定义域分成若干个小区间，使它们在 每个小区间上都是一一对应的，那么三角函数在每个小区间上 都分别有反函数. 下面，我们分别讨论反正弦、反余弦、反正切、反余切四 个反三角函数.
一、反正弦函数
正弦函数 y sin x 的定义域是 , ,值域是 -1,1由于正
例7 把下列各等式写成反余弦形式的等式. (1) cos 3 ; (2) cos =-1; (3) cos 0. 6 2 2 解 因为 , , 都在区间0, 上,所以 6 2 (1) arccos 3 ; (2) arccos(-1)=; (3) arccos0= . 2 6 2
例9 求下列各式的值. 2 2 (1) arccos ; (2) arccos - . 2 2 解 (1) 因为cos 2 ,且 0, ,所以arccos 2 ; 4 2 4 2 4 (2) 因为cos 3 cos cos 2 ,且 3 0, , 4 4 4 2 4
图5-3 y= cos x的图像
定义2 余弦函数y=cos x在0, 上的反函数称为反余弦函 数,记作x=arccos y(或x=cos-1 y).
反三角函数
5。反三角函数： 1 y arcsin x, 2 y arccos x, 3 y arctan x, 4 y arc cot x. 记忆反三角函数图形的方法： 含 “正” 字的值域从 字的值域从
2
2
， 过值域中点 0, 0 点； 含 “余”
0 ，过值域中点 0, 点。 2
（3）当 x
2
, y R 时： tan x y x arctan y;arctan(tan x) x; tan(arctan y) y.
（4）当 0 x , y R 时：
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
cot x y x arccot y;arccot(cot x) x;cot(arccot y) y.
编辑本段公式
反三角函数其他公式： cos(arcsinx)=(1-x^2)^0.5 arcsin(-x)=-arcsinx arccos(-x)=π -arccosx arctan(-x)=-arctanx arccot(-x)=π -arccotx arcsinx+arccosx=π /2=arctanx+arccotx sin(arcsinx)=cos(arccosx)=tan(arctanx)=cot(arccotx)=x arcsin x = x + x^3/(2*3) + (1*3)x^5/(2*4*5) + 1*3*5(x^7)/(2*4*6*7）„„+(2k+1)!!*x^(2k-1)/(2k!!*(2k+1))+„„ （|x|<1) !！表示双阶乘
最简单的三角方程的解： （1） sin x a x k 1 arcsin a;
反三角函数大全
反三角函数Inverse trigonometric functions第1节反三角函数·概述原创/O客把反正弦函数y=arc sinx，反余弦函数y=arc cosx，反正切函数y=arc tanx，反余切函数y=arc cotx统称为反三角函数。
它们都是三角函数的反函数。
严格地说，准确地说，它们是三角函数在某个单调区间上的反函数。
以反正弦函数为例，其他反三角函数同理可推。
●反正弦的值域先从反正弦函数的原函数正弦函数说起。
正弦函数y=sinx在定义域R上没有反函数。
因为它在定义域R上不单调，是分段单调。
从逆向映射来看，正弦函数y=sinx的每一个函数值y，对应着无数个自变量x的值。
当我们从y=sinx中解出x后，x与y不能构成函数关系，所以不存在反函数。
但是，当我们取正弦函数y=sinx的一个单调区间，如[-π/2,π/2]。
这时，每一个函数值y，对应着唯一的一个自变量x的值。
当我们从y=sinx中解出x后，x与y构成函数关系，所以存在反函数。
记为y=arc sinx。
把原函数y=sinx,x∈[-π/2,π/2]的值域[-1,1],叫做反函数y=arc sinx的定义域。
并把原函数y=sinx,x∈[-π/2,π/2]的定义域[-π/2,π/2],叫做反函数y=arc sinx的值域。
●请参考我的三角函数salonhttp://hi.baidu./ok%B0%C9/blog/category/%C8%FD%BD%C7%BA%AF%CA%FDsal on第2节 反三角函数·理解与转化原创/O 客以反正弦函数为例，其他反三角函数同理可推。
●符号理解初学反三角函数者往往被它那长长的字符串所迷惑，很不习惯。
一方面，arc sinx 这七个字母是一个整体，缺一不可。
另一方面，符号arc sinx 可以用下面的三句话来理解：①它是一个角。
即一个实数。
arc sinx ∈R .②这个角在-π/2到π/2之间(含端点)。
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sin 2α = 2 sin α cos α, cos 2α = cos2 α − sin2 α = 2 cos2 α − 1 = 1 − 2 sin2 α. 1). 积化和差公式 2 sin α cos β = sin(α + β ) + sin(α − β ), 2 cos α sin β = sin(α + β ) − sin(α − β ), 2 sin α sin β = − cos(α + β ) + cos(α − β ), 2 cos α cos β = cos(α + β ) + cos(α − β ). 2). 和差化积公式 x+y x−y cos , 2 2 x+y x−y sin x − sin y = 2 cos sin , 2 2 x+y x−y cos x + cos y = 2 cos cos , 2 2 x−y x+y cos x − cos y = −2 sin sin . 2 2 sin x + sin y = 2 sin
例子0.1. 求下列各式的值:
( √ ) 3 (1) arcsin − . 2 ( ) 3 (2) cos arcsin . 5 ( ( )) 3 (3) sin 2 arcsin − . 5
2. 反余弦函数
类似于正弦函数, 对余弦函数也可以在其主值区间 [0, π ] 上定义其反函数, 记 为 y = arccos x 为 y = cos x 的反函数, 称其为反余函数, 其定义域为 [−1, 1], 值域为
在开区间 (0, π ) 上, 余切函数 y = cot x 的反函数称作反余切函数, 记为 y =
arccot x, 其定义域为 R, 值域为 (0, π ).
它们具有如下性质:
(1) tan(arctan x) = x, x ∈ R. (2) cot(arccot x) = x, x ∈ R. (3) arctan x 为奇函数, 即 arctan(−x) = − arctan x. (4) arccot x 为非奇非偶函数, 但 arccot (−x) = π − arccot x. (5) 反正切函数 y = arctan x 为 (−∞, +∞) 上的增函数. (6) 反余切函数 y = arccot x 为 (−∞, +∞) 上的减函数.
(11) tan(arctan x) = x, x ∈ R. (12) cot(arctan x) = 1 , x ∈ R, x ̸= 0. x
(13) sin(arccot x) = √
1 , x ∈ R. 1 + x2 x (14) cos(arccot x) = √ , x ∈ R. 1 + x2 1 , x ∈ R, x ̸= 0. x
再考虑到正弦函数的周期性, 于是选定一个主值区间 − ,
反正弦函数的性质如下:
[ π π] (1) sin(arcsin x) = x, |x| ≤ 1; arcsin(sin x) = x, x ∈ − , . 2 2 (2) arcsin x 为奇函数, 即 arcsin(−x) = − arcsin x. (3) arcsin x 为区间 [−1, 1] 上的增函数.
二、 反三角函x) = sin x 给出了从实数集 R 到区间 [−1, 1] 上的实数之间的一 个对应
f : x → sin x = y.
反过来, 是否存在一个映射 φ : y → x 使得 y = sin x 成立呢? 可以看到, φ 不再是
[−1, 1] → R 上的一个映射. 1
一、 常用三角函数恒等式 中学数学学过正弦、 余弦、 正切函数的两角和与两角差公式以及倍角公式， 现 罗列如下：
cos(α + β ) = cos α cos β − sin α sin β, cos(α − β ) = cos α cos β + sin α sin β, sin(α + β ) = sin α cos β + cos α sin β, sin(α − β ) = sin α cos β − cos α sin β, tan(α ± β ) = tan α ± tan β , 1 ∓ tan α tan β
例子0.3. 计算下列各式:
( ( π )) (1) arctan tan − . 5 ( ) 1 . (2) sin 2 arctan 4 ( ) 1 1 (3) tan arctan + arctan . 7 3
4. 反三角函数的运算公式
将反三角函数的运算公式罗列如下:
(1) sin(arcsin x) = x, |x| ≤ 1. (2) cos(arcsin x) = √ 1 − x2 , |x| ≤ 1. x , |x| < 1. 1 − x2 3
但若限制在正弦函数单调区间
] [ π ] [π π 3π − + 2kπ, + 2kπ 和 + 2kπ, + 2kπ , k ∈ Z 2 2 2 2
上考虑问题, 则正弦函数存在反函数.
[ π π] 来研究它的反函 2 2 [ π π] 数. 在区间 − , 上, y = sin x 的反函数存在, 记作 y = arcsin x, 称为反正弦函数, 2 2 [ π π] 其定义域为 [−1, 1], 值域为 − , . 2 2 [ π π] 中的一个角度. 易见, 当 x 选定后, arcsin x 表示区间 − , 2 2
(3) tan(arcsin x) = √
√ (4) cot(arcsin x) = (5) sin(arccos x) = √
1 − x2 , |x| ≤ 1, x ̸= 0. x
1 − x2 , |x| ≤ 1.
(6) cos(arccos x) = x, |x| ≤ 1. √ 1 − x2 , |x| ≤ 1, x ̸= 0. (7) tan(arccos x) = x x (8) cot(arccos x) = √ , |x| < 1. 1 − x2 x (9) sin(arctan x) = √ , x ∈ R. 1 + x2 (10) cos(arctan x) = √ 1 , x ∈ R. 1 + x2
例子0.2. 求下列各式的值:
) 1 (1) arccos − . 2 2 (
√ )) 2 2 (2) sin arccos − . 3 ) 7 (3) tan arccos . 25 (
(
(
3. 反正切函数和反余切函数 ( π π) 上, 正切函数 y = tan x 的反函数称作反正切函数, 记为 在开区间 − , 2 2 ( π π) y = arctan x, 其定义域为 (−∞, +∞), 值域为 − , . 2 2
(15) tan(arccot x) =
(16) cot(arccot x) = x, x ∈ R. π . 2 π (18) arctan x + arccot x = . 2 (17) arcsin x + arccos x =
4
[0, π ].
反余弦函数的性质如下:
(1) cos(arccos x) = x, |x| ≤ 1; arccos(cos x) = x, x ∈ [0, π ]. (2) arccos x 为非奇非偶函数, 但 arccos(−x) = π − arccos x. (3) y = arccos x 为区间 [−1, 1] 上的减函数.