2011福建莆田中考数学及答案

秘密★启用前2011年福建莆田初中毕业、升学考试试卷数学试题（满分150分，考试时间120分钟）注意事项：本试卷分为“试题”和“答题卡”两部分，答题时请按答题卡中的“注意事项”要求认真作答，答案写在答题卡上的相应位置。

一、精心选一选（本大题共有8个小题，每小题4分，共2分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，答对的得4分，答错、不答或答案超过一个的一律得0分）1．（2011福建莆田，1，4分）-2011的相反数是（）A．-2011 B．－12011C．2011 D．12011【答案】C2．（2011福建莆田，2，4分）下列运算中，正确的是（）A．2x-x=2B．(x3) 3=x6C．x8÷x2=x4D．x+x=2x【答案】D3．（2011福建莆田，3，4分）已知点P（a,a-1）在平面直角坐标系的第一象限，则a的取值范围在数轴上可表示为（）【答案】A4．（2011福建莆田，4，4分）在平行四边形、等边三角形、菱形、等腰梯形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．平行四边形B．等边三角形C．菱形D．等腰梯形【答案】C5．（2011福建莆田，5，4分）抛物母y=-6x2可以看作是由抛物线y=-6x2+5按下列何种变换得到（）A．向上平移5个单位 B.向下平移5个单位C．向左平移5个单位 D.向右平移5个单位【答案】B6．（2011福建莆田，6，4分）如图所示的是某几何体的三视图，则该几何体的形状是（）A.长方体B.三棱柱C.圆锥D.正方体【答案】B7．（2011福建莆田，7，4分）等腰三角形的两条边长分别为3、6，那么它的周长为（）A.15B.12C.12或15D.不能确定【答案】A8．（2011福建莆田，8，4分）如图，在矩形ABCD中，点E在AB边上，沿CE折叠矩形ABCD，使点B落在AD边上的点F处，若AB=4，BC=5，则tan∠AFE的值为（）A．43B．35C．34D．45【答案】C二、细心填一填：本大题共8小题，每小题4分，共32分．9．（2011福建莆田，9，4分）一天有86400秒，用科学记数法表示为_ ▲秒．【答案】8.64×10410．（2011福建莆田，10，4分）数据1，2，x，-1，-2的平均数是1，则这组数据的中位数是_ ▲．【答案】111．（2011福建莆田，11，4分）⊙O1和⊙O2的半径分别为3cm和4cm，若⊙O1和⊙O2相外切，则圆心距O1O2=_ ▲cm．【答案】712．（2011福建莆田，12，4分）若一个正多边形的一个外角为40º，则这个正多边形是_ ▲边形．【答案】913．（2011福建莆田，13，4分）在围棋盒中6颗黑色棋子和n颗白色棋子，随机地取出一颗棋子，如果它是黑色棋子的概率是35，则n=_ ▲．【答案】414．（2011福建莆田，14，4分）如图，线段AB、DC分别表示甲、乙两座建筑物的高，AB ⊥BC，DC⊥BC，两建筑物间距离BC=30米，若甲建筑物高AB=28米，在A点测得D 点的仰角α=45º,则乙建筑物高DC_ ▲米．【答案】58 15．（2011福建莆田，15，4分）如图，一束光线从A （3，3）出发，经过y 轴上的点C 反射后经过点B （1，0），则光线从A 点到B 点经过的路线长是_ ▲ ．【答案】516．（2011福建莆田，16，4分）已知函数2()1f x x=+，其中f (a )表示x =a 时对应的函数值， 如2(1)11f =+，2(2)12f =+，2()1f a a=+， 则(1)(2)(3)(100)f f f f _ ▲ ．【答案】5151三、耐心做一做：本大题共有9个小题，共86分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（2011福建莆田，17，8分）计算：0(3)3π-+-+【答案】原式＝1+3-18．（2011福建莆田，18，8分）化简求值：24362a a a --+-，其中a=-5． 【答案】原式=(2)(2)362a a a a +--+-=a +2-3a +6=-2a +8 当a =-5时，原式=2(5)818-⨯-+=19．（2011福建莆田，19，8分）如图，在△ABC 中，D 是AB 的中点，E 是CD 的中点，过点C 作CF//AB 交AE 的延长线于点F ，连接BF. (1)(4分)求证:DB=CF(2)(4分)如果AC=BC,试判断四边形BDCF 的形状,并证明你的结论.【答案】（1）证明：∵CF//AB∴∠DAE=∠CFE，又∵DE=CE，∠AED=∠FEC∴△ADE≌△FCE，∴AD=CF，∵AD=DB，∴DB=CF（2）解：四边形BDCF是矩形证明：∵DB=CF，DB//CF∴四边形BDCF为平行四边形∵AC=BC，AD=DB ∴CD⊥AB∴四边形BDCF是矩形20．（2011福建莆田，20，8分）“国际无烟日”来临之际,小敏同学就一批公众在餐厅吸烟所持的态度(彻底禁烟、建立吸烟室、其他)进行了调查,并把调查结果绘制成如图1、2的统计图,请根据下面图中的信息回答下列问题:图1 图2(1)(2分)被调查者中,不吸烟者中赞成彻底禁烟的人数有___________;(2)(2分)本次抽样调查的样本容量为_____________;(3)(2分)被调查者是,希望建立吸烟室的人数有_____________人;(4)(2分)某市现有人口约300万人,根据图中的信息估计造成在餐厅彻底禁烟的人数约有________万人.【答案】（1）82 （2）200 （3）56 （4）15921．（2011福建莆田，21，8分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90º，O、D分别为AB、BC 上的点，经过A、D两点的⊙O分别交AB、AC于点E、F，且D为 EF的中点。

（1）（4分）求证：BC与⊙O相切（2）（4分）当CAD=30º时，求 AD的长。

【答案】（1）证明：连接OD ，则OD=OA∴∠OAD=∠ODA ∵ DEDF = ∴∠OAD=∠CAD ∴∠ODA=∠CAD ∴OD//AC 又∵∠C=90º ∴∠ODC=90º 即BC ⊥OD∴BC 与⊙O 相切（2）解：连接DE ，则∠ADE=90º ∵∠OAD=∠ODA=∠CAD=30º ∴∠AOD=120º 在Rt △ADE 中，AE=4cos AD EAD ==∠∴⊙O 的半径r=2 ∴ AD 的长l =120241803ππ⨯=22．（2011福建莆田，22，10分）如图，将一矩形OABC 放在直角坐标系中，O 为坐标原点，点A 在y 轴正半轴上，点E 是边AB 上的一个动点（不与点A 、B 重合），过点E的反比例函数ky x=（x >0）的图象与边BC 交于点F ， （1）（4分）若△OAE 、△OCF 的面积分别为S 1、S 2且S 1+S 2=2，求k 的值； （2）（6分）若OA=2，OC=4，问当点E 运动到什么位置时，四边形OAEF 的面积最大，其最大值为多少？【答案】解：∵点E 、F 在函数ky x=（x>0）的图象上 ∴设E 11(,)k x x （x 1>0）,F 2(2,)kx x （x 2>0） ∴111122k ks x x == ,222122k k s x x == .∵S 1+S 2=2，∴222k k+=,∴k=2. （2）∵四边形OABC 为矩形，OA=2，OC=4 设E (,2)2k ，F (4,)4k∴4,224k k BE BF =-=-，∴211(4)(2)422416BEF k k S k k =--=-+ ， ∵14,242OCF k kS =⨯⨯= S 矩形OABC =2⨯4=8.∴S 四边形OAEF =S 矩形OABC -S △BEF -S △OCF =22118-4)4162162k k k k k -+-=-++（=21(4)516k --+当k=4时，S 四边形OAEF=5，∴AE=2当点E 运动到AB 的中点时，四边形OAEF 的面积最大，最大值是5.23．（2011福建莆田，23，10分）某高科技公司根据市场需求，计划生产A 、B 两咱型号的医疗器械，其部分信息如下：信息一：A 、B 两咱型号的医疗器械共生产80台。

信息二：该公司所筹生产医疗器械资金不少于1800万元，且把所筹资金全部用于生产此两种医疗器械。

信息三：A 、B 两种医疗器械的生产成本和售价如下表：根据上述信息，解答下列问题(1)(6分)该公司对此两种医疗器械有哪几种生产方案？哪种生产方案能获得最大利润？ (2)(4分)根据市场调查，每台A 型医疗器械的售价将会提高a 万元（a>0），每台B 型医疗器械的售价不会改变，该公司应该如何生产可以获得最大利润？（注：利润=售价-成本）【答案】解：（1）设该公司生产A 种医疗器械x 台，则生产B 种医疗器械（80-x ）台，依题意得{2025(80)18002025(80)1810x x x x +-≥+-≤解得38≤x ≤40取整数得x=38,39,40∴该公司有3种生产方案；方案一：生产A 种器械38台，B 种器械42台；方案二：生产A 种器械39台，B 种器械41台；方案三：生产A 种器械40台，B 种器械40台。

公司获得利润：W=（24-20）x+(30-25)(80-x)=-x+400 当x=38时，W 有最大值∴当生产A 种器械38台，B 种器械42台时获得最大利润。

（2）依题意得：W=(4+a)x+5(80-x)=(a-1)x+400当a-1>0,即a>1时，生产A 种器械40台，B 种器械40台，获得最大利润； 当a-1=0，即a=1时，（1）中三种方案利润都为400万元；当a-1<0,即0<a<1时，生产A 种器械38台，B 种器械42台，获得最大利润。

24．（2011福建莆田，24，12分）已知抛物线y=ax2+bx+c 的对称轴为直线x=2,且与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，其中A （1，0），C （0，-3）。

（1）（3分）求抛物线的解析式（2）若点P 在抛物线上运动（点P 异于点A ）。

①（4分）如图1，当△PBC 面积与△ABC 面积相等时，求点P 的坐标； ②（5分）如图2，当∠PCB=∠BCA 时，求直线CP 的解析式。

【答案】解：（1）由题意，得0322a b c c b a⎧⎪++=⎪=-⎨⎪-=⎪⎩，解得：143a b c =-⎧⎪=⎨=-⎪⎩∴抛物线的解析式为y=-x 2+4x-3(2)①令-x 2+4x-3=0，得x 1=1、x 2=3,∴B(3,0) 当点P 在x 轴上方时，如图1过点A 作直线BC 的平行母交抛物线于点P 1，设直线BC 的解析式为y=kx+m ∵直线BC 过点B （3，0），C （0，-3） ∴{303k m m +==-，∴{13k m ==-∴直线BC 的解析式为y=x-3. ∴设直线AP 1的解析式为y=x+n ∵直线AP 1过点A （1，0），∴1+n=0 ∴n=-1 ∴直线AP 1的解析式为y=x-1 解方程组{2143y x y x x =-=-+-，得{{121212,01x x y y ====， ∴点P 1的坐标为（2，1）当点P 在x 轴下方时，如图1设直线AP 1交y 轴于点E （0，-1）把直线BC 向下平移2个单位，交抛物线于点P 2、P 3， 得直线P 2P 3的解析式为y=x-5解方程组{2543y x y x x =-=-+-，得111133x x y y ⎧⎧==⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎪⎪==⎪⎪⎩⎩ ∴P 2),P 3） 综上所述，点P 坐标为：P 1（2，1），P 2),P 3）②∵B （3，0），C （0，-3），∴OB=OC=3，∴∠OCB=∠OBC=45º设直线CP 的解析式为y=kx-3解法一：如图2，延长CP 交x 轴于点Q 设∠OCA=α，则∠ACB=45º-α ∵∠PCB=∠BCA ∴∠PCB=45º-α∴∠OQC=∠OBC-∠PCB=45º-（45º-α）=α ∴∠OCA=∠OQC又∵∠AOC=∠COQ=90º ∴Rt △AOC ∽Rt △COQ∴OA OC OC OQ =,∴133OQ=,∴OQ=9, ∴Q(9,0) ∵直线CP 过点Q （9，0），∴9k-3=0,∴k=13∴直线CP 的解析式为133y x =-解法二：如图3，过点B作x轴的垂线，交CP于点Q ∵∠ABC=45º，∴∠CBQ=45º∴∠ABC=∠QBC，又∵∠QCB=∠ACB，BC=BC∴△CAB≌△CQB，∴BQ=AB=2∴点Q的坐标为（3，-2）∵直线CP过点Q（3，-2），∴3k-3=-2∴13k=,∴直线CP的解析式为133y x=-25．（2011福建莆田，25，14分）已知菱形ABCD的边长为1，∠ADC=60º，等边△AEF 两边分别交DC、CB于点E、F。