5 圆周运动的向心力及其应用

圆周运动的向心力及其应用目标认知学习目标1、通过实验和理论两个方面理解向心力计算公式，学会探究向心力大小的决定因素;2、理解向心力的特点及其来源;3、理解匀速圆周运动的条件以及匀速圆周运动和变速圆周运动的区别;4、能够熟练地运用力学的基本方法解决圆周运动问题;5、理解外力所能提供的向心力和做圆周运动所需要的向心力之间的关系，以此为根据理解向心运动和离心运动。

学习的重点和难点1、理解匀速圆周运动的条件以及匀速圆周运动和变速圆周运动的区别;2、将前面学习过的力学中解决问题的基本方法，顺利的迁移圆周运动中来，熟练地解决圆周运动问题;3、理解向心力的来源，弄清实际的向心力和需要的向心力之间的大小关系决定着物体的运动情况。

知识要点梳理知识点一：物体做匀速圆周运动的条件要点诠释：物体做匀速圆周运动的条件：具有一定速度的物体，在大小不变且方向总是与速度方向垂直的合外力的作用下做匀速圆周运动。

说明：从物体受到的合外力、初速度以及它们的方向关系上探讨物体的运动情况，是理解运动和力关系的基本方法。

知识点二：关于向心力及其来源1、向心力要点诠释（1）向心力的定义：在圆周运动中，物体受到的合力在沿着半径方向上的分量叫做向心力。

（2）向心力的作用：是改变线速度的方向，产生向心加速度的原因。

（3）向心力的大小：向心力的大小等于物体的质量和向心加速度的乘积；确定的物体在半径一定的情况下，向心力的大小正比于线速度的平方，也正比于角速度的平方；线速度一定时，向心力反比于圆周运动的半径；角速度一定时，向心力正比于圆周运动的半径。

如果是匀速圆周运动则有：。

（4）向心力的方向：与速度方向垂直，沿半径指向圆心。

（5）关于向心力的说明：①向心力是按效果命名的，它不是某种性质的力；②匀速圆周运动中的向心力始终垂直于物体运动的速度方向，所以它只能改变物体的速度方向，不能改变速度的大小；③无论是匀速圆周运动还是变速圆周运动，向心力总是变力，但是在匀速圆周运动中向心力的大小是不变的，仅方向不断变化。

2、向心力的来源要点诠释（1）向心力不是一种特殊的力。

重力(万有引力)、弹力、摩擦力等每一种力以及这些力的合力或分力都可以作为向心力。

（2）匀速圆周运动的实例及对应的向心力的来源 (如表所示)：知识点三：匀速圆周运动与变速圆周运动的区别1、从向心力看匀速圆周运动和变速圆周运动要点诠释：（1）匀速圆周运动的向心力大小不变，由物体所受到的合外力完全提供，换言之也就是说物体受到的合外力完全充当向心力的角色。

例如月球围绕地球做匀速圆周运动，它受到的地球对它的引力就是合外力，这个合外力正好沿着半径指向地心，完全用来提供月球围绕地球做匀速圆周运动的向心力。

（2）在变速圆周运动中，向心力只是物体受到的合外力的沿着半径方向的一个分量。

例如用一根细线拴一个小球在竖直平面内做变速圆周运动，它的受力情况如图所示，物体受到线的拉力F拉和重力mg的作用，其合力分解为两个分量：向心力和切向力。

不难看出：向心力改变着速度的方向，产生向心加速度；切向力与线速度的方向相同或者相反，改变着线速度的大小使得物体做变速圆周运动。

2、从圆周运动的规律看匀速圆周运动和变速圆周运动要点诠释：（1）匀速圆周运动和变速圆周运动所适用的共同规律无论是匀速圆周运动还是变速圆周运动向心加速度的大小总是：。

（公式中的每一个量都是瞬时量，任何一个时刻或者任何一个位置都可以用公式计算向心加速度）换一种说法就是在圆周运动中的任何时刻或位置，牛顿运动定律都成立，即例如上面的例子，用一根细线拴一个小球在竖直平面内做变速圆周运动，在图中所示的位置用牛顿第二定律可得：（2）只适用于匀速圆周运动的计算公式：因为在匀速圆周运动的过程中各个量大小的平均值和瞬时值是相等的；如果将上式用在变速圆周运动中，计算的结果仅是一个意义不大的粗略的平均值。

知识点四：圆周运动的实例1、水平面上的圆周运动要点诠释：（1）圆锥摆运动：小球在细线的拉力和重力作用下的在水平面上的匀速圆周运动，如图所示：①向心力来源：物体重力和线的拉力的合力，沿着水平方向指向圆心。

②力学方程：③问题讨论：a.物体加速度与夹角的关系：，向心加速度越大时，夹角越大。

b.角速度与夹角的关系：，可见角速度越大时，夹角越大。

（2）在水平圆盘上随圆盘一起转动物体①向心力的来源：在竖直方向上重力和支持力平衡，物体做圆周运动的向心力由物体所受的静摩擦力提供。

②静摩擦力的方向：当物体做匀速圆周运动时，这个静摩擦力沿着半径指向圆心；当做变速圆周运动时，静摩擦力还有一个切线方向的分量存在，用来改变线速度的大小。

③静摩擦力的变化：当水平圆盘的转速增大时，物体受到的静摩擦力也随之增大，当物体所需要的向心力大于最大静摩擦力时，物体将相对于圆盘滑动，变为滑动摩擦力。

2、竖直平面内的圆周运动要点诠释：（1）汽车过拱形桥在竖直面内的圆周运动中可以分为：匀速圆周运动和变速圆周运动。

对于匀速圆周运动处理起来一般比较方便。

对于变速圆周运动，定量的计算通常是在圆周的最高点和最低点处用牛顿第二定律。

例如：汽车通过半圆的拱形桥，因为桥面对汽车提供的只能是支持力。

①汽车在点位置Ⅰ最高时，对车由牛顿第二定律得：为了驾驶安全，桥面对车的支持力必须大于零，即从而解得车的速度应满足关系思考与讨论：如果，在不计空气阻力的情况下，车将如何运动？（平抛运动）②汽车在位置Ⅱ时有又解得思考与讨论：汽车以恒定的速度从桥顶向下运动时，对桥的压力如何变化？（逐渐变小）（2）汽车通过圆弧型的凹处路面如图在最低点处，对车运用牛顿第二定律得：桥面对车的支持力思考与讨论：随着车的速度增大，路面对车的支持力如何变化？（变大）知识点五：圆周运动中的超重与失重1、超重与失重的判断标准要点诠释：（1）运动物体的加速度方向向上或者有向上的分量时，物体处于超重状态，物体对水平支持面的压力大于自身的重力。

（2）运动物体的加速度方向向下或者有向下的分量时，物体处于失重状态，物体对水平支持面的压力小于自身的重力。

2、圆周运动中的超重与失重现象要点诠释：（1）失重现象：在竖直面上的圆周运动，物体处在圆周的最高点附近时，向心加速度竖直向下，物体对支持物的压力小于自身重力。

例如在拱形桥顶运动的汽车，由上面计算有，它对于桥面的压力小于重力。

（2）超重现象：在竖直面上的圆周运动，物体处在圆周的最低点附近时，向心加速度竖直向上，物体对支持物的压力大于自身重力。

例如汽车通过圆弧型的凹处路面在最低点处，桥面对车的支持力大于自身重力。

知识点六：关于离心现象1、外力提供的向心力与做圆周运动需要的向心力之间的关系对物体运动的影响要点诠释：（1）外力提供的向心力：是某个力、几个力的合力或者是合力在半径方向上的分量，是实实在在的相互作用。

（2）做圆周运动需要的向心力：是指在半径为r的圆周上以速度v运动时，必须要这么大的一个力，才能满足速度方向改变的要求。

（3）供需关系对物体运动的影响：外力提供的向心力等于物体做圆周运动需要的向心力时，物体做圆周运动；外力提供的向心力小于物体做圆周运动需要的向心力时，物体做远离圆心的运动——离心运动；外力提供的向心力大于物体做圆周运动需要的向心力时，物体做靠近圆心的运动——也可称之为向心运动。

2、离心现象及其运用要点诠释：（1）被运用的离心现象：洗衣机甩干衣服：水珠和衣服之间的附着力不足以提供水珠高速转动时需要的向心力，而做离心运动从而脱离衣服，使得衣服变干。

离心沉淀器：悬浊液在试管中高速转动时，密度大于液体密度的小颗粒做离心运动，密度小于液体密度的小颗粒做向心运动，从而使得液体很快被分离。

离心水泵：水在叶轮转动的作用下做离心运动，从而使得水从低处运动到高处，等等。

（2）需要防止的离心现象：高速转动的砂轮会因为离心运动而破碎，造成事故；火车或者汽车会因为转弯时的速度过大而出现侧滑、倾翻，造成人员伤亡等。

规律方法指导1、实际上解决圆周运动问题就是牛顿运动定律的应用的问题圆周运动就是动力学问题的一种情况，一般都涉及物体的受力分析、牛顿运动定律及圆周运动规律。

2、解决匀速圆周运动的步骤和一般方法（1）明确研究对象；（2）找出物体所在圆周的轨道平面，从中找出圆心和半径；（3）对研究对象进行受力分析，确定向心力的来源；（4）应用向心力公式（或者说是牛顿第二定律）建立方程；（5）求解并进行必要的讨论。

3、解决圆周运动的动力学问题，关键在于分析使物体做圆周运动的向心力（1）如果物体确实在做匀速圆周运动，比如大量的水平面内的圆周运动，那么受力分析的方向就很明确，合力一定指向圆心。

（2）如果物体只是在做圆周运动而不是匀速圆周运动，比如竖直面内的圆周运动，那么在大多数时刻物体所受的合外力并不指向圆心，这时合外力的径向分力才是向心力，切向分力改变速度的大小。

（3）做圆周运动的物体，当向心力突然消失或向心力不足时，物体就会做离心运动。

解决离心现象，要注意物体做圆周运动需要的向心力和实际能提供的向心力之间的差距。

典型例题透析类型一——水平面上在静摩擦力作用下的圆周运动1、在水平转动的圆盘上距转动中心10cm处放着一物块，物块随圆盘一起转动。

若物块质量，圆盘转速为，求物块与圆盘间的静摩擦力。

思路点拨：明确向心力的来源，知道向心加速度的大小此题便得到解决。

解析：由题意可知，物块m做匀速圆周运动，其向心加速度对圆周运动的物块受力分析：该物块除受重力和支持力（一对平衡力）外，还受一个沿圆盘平面的摩擦力，这个摩擦力就是物块受到的合力，也就是它做匀速圆周运动的向心力。

所以有摩擦力的方向指向圆心。

误区警示：静摩擦力提供物块做匀速圆周运动的向心力，方向沿着半径指向圆心，切不可认为与线速度的方向相反。

【变式１】（2011 山东德州模拟）如图所示是一玩具陀螺，a、b和c是陀螺表面上的三个点，当陀螺绕垂直与地面的轴线以角速度ω稳定旋转时，下列表述正确的是（）A.a、b和c的线速度大小相等B.b、c两点的线速度始终相同C．b、c两点的角速度比a的大D．b、c两点的加速度比a点的大解析：当陀螺绕垂直于地面的轴线以角速度ω稳定旋转时，a、b和c三点的角速度相同，a半径小，线速度要比b、c的小，A、C错；b、c两点的线速度大小始终相同，但方向不相同，B错；由a＝ω2r可得b、c两点的加速度比a点的大，D对．答案：Ｄ【变式2】（2011 上海浦东模拟）如图所示，正在匀速转动的水平转盘上固定有三个可视为质点的小物块A、B、C，它们的质量关系为mA ＝2mB＝2mC，到轴O的距离关系为rC＝2rA ＝2rB.下列说法中正确的是( )A．B的角速度比C小B．A的线速度比C大C．B受到的向心力比C小D．A的向心加速度比B大解析：正在匀速转动的水平转盘上固定有三个可视为质点的小物块A、B、C，它们的角速度相同，由v＝ωr可知，C的线速度最大，由a＝ω2r可知，C的向心加速度最大，由F＝mω2r可知，B受到的向心力比C小，所以答案选C.答案：Ｃ类型二——汽车转弯问题2、一辆4吨的汽车以36km/h的速度来到一个交叉路口，若它转弯的半径为25m，求地面对车轮提供的静摩擦力多大？思路点拨：汽车沿圆弧转弯可看作是圆周运动的一部分。