(11) 圆周运动及其应用

针对训练 4－1：如图 4－3－15 所示，A、B、C 三个物块放 在水平的圆盘上，它们的质量关系是 mA=2mB=2mC，它们与转轴的 距离的关系是 2rA=2rB=rC， 三个物块与圆盘表面的动摩擦因数都 为 μ ，且它们与圆盘间的最大静摩擦力与滑动摩擦力相等，当圆 盘转动时，A、B、C 都没有滑动，则下列判断正确的是（ ）
r
v
2
2
4π r
2
T
2
=mω v=m4π 2f 2r
2.匀速圆周运动 （1）定义：质点沿圆周运动，在相等的时间内 通过的弧长相等，这种运动叫匀速圆周运动. （2）特点 ①线速度的大小不变，角速度、周期和频率都 是恒定不变的，向心加速度和向心力的大小也是恒 定不变的. ②性质：是速度大小不变而方向时刻在变的变 速曲线运动，并且加速度大小不变，方向指向圆心， 也时刻在改变. ③合外力是产生向心加速度的力，充当向心力. ④条件：合外力大小不变，方向始终与速度垂 直.
图 4－3－8 A.a 点与 b 点的线速度大小相等 B.a 点与 b 点的角速度大小相等 C.a 点与 c 点的线速度大小相等 D.a 点与 d 点的向心加速度大小相等
思路点拨： 此题综合考查相关联物体在圆周运动问题 中的线速度、角速度、向心加速度的大小关系.关键要抓 住两点，一是皮带传动不打滑时，轮缘上各点的线速度大 小相等；二是同一转动物体上各点角速度相同，进而确定 其他关系.
典例研析
类型一：圆周运动的理解 【例 1】 匀速圆周运动属于（ ） A.匀速运动 B.匀加速运动 C.加速度不变的曲线运动 D.加速度变化的曲线运动 思路点拨：此题关键是考查对基本概念和知识的理 解，分析要从概念入手抓住概念的本质.
解析：线速度是矢量，在匀速圆周运动中，线速度大 小不变，但方向不断变化，所以匀速圆周运动是一个变速 曲线运动或者称为速率一定的曲线运动， 由于其加速度为 向心加速度，其方向始终指向圆心，因此加速度方向也不 断发生变化，所以选项 D 正确. 答案：D. 误区警示： 由于匀速圆周运动的线速度和加速度的大 小保持不变，因此若对线速度和加速度的矢量性理解不 清，就会出现类似选项 ABC 的错误，关键在于理解物理量 的含义.
解析：要使悬线碰钉后小球做完整的圆周运动，须使小球 到达以 P 点为圆心的圆周最高点 M，当刚能到达最高点 M 时，小
2
球只受重力 mg 作用，此时悬线拉力为零，即有 mg=m
v
min
，其中 R
R
为以 P 点为圆心的圆周的半径， min 为小球到达 M 点的最小速度， v 而根据机械能守恒定律，有 mg（L－2R）= mvmin2
解析： 选 项 诊断 结 论
vc=2rω ，vb=rω ，所以 vc=2vb，又 va=vc，所 A × 以 va=2vb B va=rω a，vb=rω b，由 va=2vb 得 ω a=2ω b × a、c 是皮带连接的两轮边缘上的点，线速度
C 大小相等 设 a 点线速度为 v，则 c 点线速度也为 v，对 √
g tan r 10 tan 37 0 .6
rad/s=3.5 rad/s.
当直杆和球的角速度 ω ＞3.5 rad/s 时，b 中才有张
答案：见解析 方法技巧：b 绳拉直前，a 绳拉力的水平分力提供向 心力，且 ω 增大时 θ 增大，直到 b 绳拉直有力作用时， θ 不再变化，两绳拉力在水平方向分力的合力提供向心 力.
针对训练 3－1：一质量为 m 的金属小球拴在长为 L 的细线下端，细线上端固定在 O 点处，在悬点 O 的正下方 P 处钉有一光滑钉子，如图 4－3－12 所示.现将小球拉至 悬线水平，然后释放.为使悬线碰到钉子后，小球能绕钉 子在竖直平面内做完整的圆周运动，则 OP 的最小距离是 多少？
图 4－3－12
2π
①周期是物体沿圆周运动 v 周期 一周的时间（T） 位：s 和转 ②转速是物体单位时间转 ②n 的 单 位 ： 速 过的圈数（n） r/s、r/min， f 的单位：Hz v 向心 ①描述速度方向变化快慢 ①an= =rω 2 加速 的物理量（a） r 度 ②方向指向圆心 ②单位：m/s2
2
①T=
2πr
，单
v ① 作用效果是产生向心加 2 ①F=mrω =m 向心 速度，只改变线速度的 r 力 方向， 不改变线速度的大小 ②单位：N ②方向指向圆心
2
①v=rω =
2
2π T
r=2π rf
2
4π v 相互 2 ②a= =rω =ω v= 关系 r T
r
2
=4π 2f 2r
③F=m =mrω =m
（3）条件：做圆周运动的质点，当它受到的沿着半 径指向圆心的合外力突然变为零或不足以提供圆周运动 所需向心力. （4）设质点质量为 m，做圆周运动的半径为 r，角速 度为 ω ，向心力为 F，如图 4－3－1 所示.
图 4－3－1 ①当 F=mω 2r 时，质点做匀速圆周运动； 2 ②当 F＜mω r 时，质点做离心运动； ③当 F=0 时，质点沿切线做直线运动； ④当 F＞mω 2r 时，质点做向心运动.
2 1
联立解得 R= L，此为小球以 P 点为圆心的最大半径，所以
5
2
OP=L－R= L 为 OP 间的最小距离.
5
3
故 OP 段的最小距离是 L.
5
3
答案： L
5
3
类型四：圆周运动中的临界问题 【例 4】 如图 4－3－13 所示，把一个质量 m=1 kg 的物体通过两根等长的细绳与竖直杆上 A、B 两个固定点 相连接，绳 a、b 长都是 1 m，AB 长度是 1.6 m，直杆和 2 球旋转的角速度为多少时，b 绳上才有张力?（g=10 m/s ）
针对训练 1－1： 如图 4－3－7 所示， 木板 B 托着木板 A 在竖直平面内做匀速圆周运动，从水平位置 a 到最高点 b 的过程中（ ）
图 4－3－7 A.B 对 A 的支持力越来越大 B.B 对 A 的支持力越来越小 C.B 对 A 的摩擦力越来越大 D.B 对 A 的摩擦力越来越小
解析： 此题紧紧围绕匀速圆周运动所需向心力等于物 体所受合外力来分析.在 a 处时，摩擦力等于向心力，此 时支持力等于重力，在向 b 点运动过程中，合外力大小不 变，方向逐渐向下指向圆心，故摩擦力逐渐减小，支持力 逐渐减小，当到达 b 点时，摩擦力为零，支持力最小. 答案：BD.
3.离心运动 （1）定义：做圆周运动的物体，在所受合外力突然 消失或不足以提供圆周运动所需向心力情况下， 就做远离 圆心的运动，这种运动叫离心运动. （2）本质 ①离心现象是物体惯性的表现. ②离心运动并非沿半径方向飞出的运动， 而是运动半 径越来越大的运动或沿切线方向飞出的运动. ③离心运动并不是受到什么离心力.
FxLM－2mgR= mv2
2
1
解得 F=8 N. 答案：8 N 方法技巧： （1）正确理解 A 物体“刚好能通过 Q 点” 的含义是解决本题的关键.常用来表达临界状态的词语还 有“恰好”“恰能”“至少”“至多”等， 同学们在审题 时必须高度注意.小球沿圆弧 M→P→Q 通过最高点 Q 时， 应服从圆周运动的规律， 即应从向心力与线速度的关系求 解小球经过 Q 点的临界速度. （2）圆周运动常与机械能守恒定律、动能定理、电 荷在磁场中的偏转等知识相联系，构成综合性较强的题 目.
12 15 48
N
1
1
，
N
2
rad/s=3.75 rad/s≈3.8 rad/s.
答案：B.
类型三：竖直面内的圆周运动问题 【例 3】 如图 4－3－10 所示，LMPQ 是光滑轨道，LM 水平，长为 5.0 m，MPQ 是一半径为 R=1.6 m 的半圆，QOM 在同一竖直线上，在恒力 F 作用下，质量 m=1 kg 的物体 A 由静止开始运动，当达到 M 时立即停止用力.欲使 A 刚好 2 能通过 Q 点，则力 F 大小为多少？（取 g=10 m/s ）
图 4－3－9 名称 齿数 N/ 个 48 链轮 38 28 15 16 飞轮 18 21 24 28
A.1.9 rad/s C.6.5 rad/s
B.3.8 rad/s D.7.1 rad/s
解析：车行进速度与前、后车轮边缘的线速度相等，故后轮 边缘的线速度为 4 m/s，后轮的角速度 ω =v/R=
4 330 10
3
rad/s≈12 rad/s.
飞轮与后轮为同轴装置，故飞轮的角速度 ω 1=ω =12 rad/s. 飞轮与链轮是用链条连接的，故链轮与飞轮线速度相同，所 以 ω 1r1=ω 2r2 ， r1 、 r2 分 别 为 飞 轮 和 链 轮 的 半 径 ， 轮 周 长 L=NΔ L=2π r，N 为齿数，Δ L 为两邻齿间的弧长，故 r∝N，所以 ω 1N1=ω 2N2. 又踏板与链轮同轴， 脚踩踏板的角速度 ω 3=ω 2， ω 3= 则 要使 ω 3 最小，则 N1=15，N2=48， 故 ω 3=
第三单元
圆周运动及其应用
基础整合
1.描述圆周运动的物理量 描述圆周运动的物理量主要有线速度、角速度、周期、频 率、转速、向心加速度、向心力等，现比较如下表： 定义、意义 公式、单位 l 2π ①描述做圆周运动的物体沿圆 ①v= 弧运动快慢的物理量（v） t T 线速度 ②是矢量，方向和半径垂直，和 ②单位：m/s 圆周相切 描述物体绕圆心转动快慢的物 t T 角速度 理量（ω ） ②单位：rad/s -1 或s ①ω =
图 4－3－15 A.C 的向心加速度最大 B.B 所受的摩擦力最小 C.当圆盘转速增大时，B 比 A 先滑动 D.当圆盘转速增大时，C 比 B 先滑动
解析：， C 向心加速度最大.三个物块 做圆周运动的向心力由静摩擦力 Ff 提供，Ff=mω 2r，B 与 A 相比，r 相同，m 小；B 与 C 相比，m 相同，r 小，所以 B 受的静摩擦力最小.当圆盘转速增大时，物块将要滑动， 静摩擦力达到最大值，最大静摩擦力提供向心力， μ mg=mω 2r， ω = g 即 答案：ABD.