2015-2016高中数学人教版选修2-2模块综合检测卷

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人教版高中数学选修2-2综合测试卷2

人教版高中数学选修2-2综合测试卷2一、选择题：每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．下面几种推理是合情推理的是（）①由圆的性质类比得出球的有关性质；②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180o； ③四边形内角和是360o ，五边形内角和是540o ，由此得出凸多边形内角和是(2)180n -og．Ａ．①② Ｂ．①③ Ｃ．②③ Ｄ．①②③ 2．曲线y x 1=-在点122⎛⎫- ⎪⎝⎭，处的切线方程为（）Ａ．44y x =-Ｂ．4y x = Ｃ．4(1)y x =+Ｄ．24y x =- 3．定义运算a b ad bc c d =- ，则符合条件1142i i z z -=+ 的复数z 为（）Ａ．3i - Ｂ．13i +Ｃ．3i + Ｄ．13i - 4．在复数集C 内分解因式2245x x -+，则分解为（）Ａ．(11x x -+-Ｂ．Ｃ．2(1i)(1i)x x -+--Ｄ．2(1i)(1i)x x +++- 5．设函数313y x ax c =-+在()-∞+∞，上单调递增，则（）Ａ．0a <且0c = Ｂ．0a >且c 是任意实数Ｃ．0a <且c 是任意实数Ｄ．0a <且0c ≠6．观察按下列顺序排列的等式：9011⨯+=，91211⨯+=，92321⨯+=，93431⨯+=，…，猜想第*()n n ∈N 个等式应为（）Ａ．9(1)109n n n ++=+Ｂ．9(1)109n n n -+=- Ｃ．9(1)101n n n +-=- Ｄ．9(1)(1)1010n n n -+-=- 7．曲线3πcos 02y x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭≤≤与x 轴以及直线3π2x =所围图形的面积为（）Ａ．4Ｂ．2 Ｃ．52 Ｄ．38．平面几何中，有边长为a 的正三角形内任一点到三边距离之和为定值2a ，类比上述命题，棱长为a 的正四面体内任一点到四个面的距离之和为（）9．复平面内点A B C ，，对应的复数分别为i 142i +，，，由A B C D →→→按逆时针顺序作平行四边形ABCD ，则BD 等于（）Ａ．510．已知函数()()()()f x x a x b x c =---，且()()1f a f b ''==，则()f c '等于（）Ａ．12- Ｂ．12 Ｃ．1- Ｄ．111．已知复数226(310)i()3a a z a a a a +-=+--∈+R 满足i 0z >或i 0z <，则a 等于（）Ａ．3 Ｂ．3- Ｃ．2或3- Ｄ．212．一个机器人每一秒钟前进一步或后退一步，程序设计师设计的程序是让机器人以先前进3步，然后再后退2步的规律移动．如果将机器人放在数轴的原点，面向正的方向在数轴上移动（1步的距离为1个单位长度）．令()P n 表示第n 秒时机器人所在位置的坐标，且记(0)0P =，则下列结论中错误的是（）Ａ．(3)3P =Ｂ．(5)1P = Ｃ．(2007)(2006)P P >Ｄ．(2003)(2006)P P < 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．13．*111()1()23f n n n =++++∈N L ，计算得3(2)2f =，(4)2f >，5(8)2f >，(16)3f >，7(32)2f >．由此推测，当2n >时，有． 14．变速运动的物体的速度为2()1m/s v t t =-（其中t 为时间，单位：s ），则它在前2s 内所走过的路程为m ．15．已知i 1i a z -=-，其中0a >，i 为虚数单位．复数(i)z z ω=+的虚部减去它的实部所得的差为32，则a = ．16．已知32()3f x x x a =++（a 为常数），在[33]-，上有最小值3，那么在[33]-，上()f x 的最大值是．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题13分）已知复数2(1i)3(1i)2iz ++-=+，若21i()z az b a b ++=+∈R ，，求a b +的值．18．（本小题13分）在圆222(0)x y r r +=>中，AB 为直径，C 为圆上异于A B ，的任意一点，则有1AC BCk k =-g ．你能用类比的方法得出椭圆22221(0)x y a b a b+=>>中有什么样的结论？19．（本小题15分）如图，抛物线2y x =上有一点2()A a a ，，(01)a ∈，，过点A 引抛物线的切线l 分别交x 轴与直线1x =于B C ，两点，直线1x =交x 轴于点D ．（1）求切线l 的方程；（2）求图中阴影部分的面积()S a ，并求a 为何值时，()S a 有最小值？20．（本小题14分）已知数列{}n a 的前n 项和*1()n n S na n =-∈N ．（1）计算1a ，2a ，3a ，4a ；（2）猜想n a 的表达式，并用数学归纳法证明你的结论．21．（本小题15分）某地区的一种特色水果上市时间仅能持续5个月，预测上市初期和后期会因供不应求使价格呈连续上涨态势，而中期又将出现供大于求使价格下跌．现有三种价格模拟函数：①()x f x p q =g ；②2()1f x px qx =++；③2()()f x x x q p =-+．（以上三式中p q ，均为常数，且1q >）（1）为准确研究其价格走势，应选哪种价格模拟函数，为什么？（2）若(0)4f =，(2)6f =，求出所选函数()f x 的解析式（注：函数的定义域是[05]，）．其中0x =表示4月1日，1x =表示5月1日，…，依此类推；（3）为保护果农的收益，打算在价格下跌期间积极拓宽外销，请你预测该果品在哪几个月内价格下跌．。

人教版数学高二-人教A版选修2-2模块综合检测(二)

模块综合检测(二)(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分) 1．(辽宁高考)设复数z 满足(z －2i)(2－i)＝5，则z ＝( ) A ．2＋3i B ．2－3i C ．3＋2iD ．3－2i解析：选A z ＝52－i ＋2i ＝5(2＋i )(2－i )(2＋i )＋2i ＝2＋i ＋2i ＝2＋3i.2．已知 2＋23＝223， 3＋38＝338， 4＋415＝4415，…，类比这些等式，若6＋ab ＝6ab (a ，b 均为正实数)，则a ＋b ＝( )A ．40B ．41C ．43D ．47 解析：选B 观察下列等式2＋23＝223， 3＋38＝338， 4＋415＝4415，…，第n 个应该是 n ＋1＋n ＋1(n ＋1)2－1＝(n ＋1)n ＋1(n ＋1)2－1，则第5个等式中：a ＝6，b＝a 2－1＝35，a ＋b ＝41.3．三段论：“①所有的中国人都坚强不屈；②雅安人是中国人；③雅安人一定坚强不屈”中，其中“大前提”和“小前提”分别是( )A ．①②B ．①③C ．②③D ．②①解析：选A 解本题的关键是透彻理解三段论推理的形式和实质：大前提是一个“一般性的命题(①所有的中国人都坚强不屈)”，小前提是“这个特殊事例是否满足一般性命题的条件(②雅安人是中国人)”，结论是“这个特殊事例是否具有一般性命题的结论(③雅安人一定坚强不屈)”．故选A.4．设函数f (x )＝x m ＋ax 的导函数f ′(x )＝2x ＋1，则∫21f (－x )d x 的值等于( ) A.56 B.12 C.23D.16解析：选A 由于f (x )＝x m ＋ax 的导函数f ′(x )＝2x ＋1，所以f (x )＝x 2＋x ，于是∫21f (－x )d x ＝∫21(x 2－x )d x ＝⎝⎛⎭⎫13x 3－12x 221＝56. 5．在数列{a n }中，a 1＝13，且S n ＝n (2n －1)a n ，通过求a 2，a 3，a 4，猜想a n 的表达式为( )A.1(n －1)(n ＋1) B.12n (2n ＋1) C.1(2n －1)(2n ＋1)D.1(2n ＋1)(2n ＋2)解析：选C 由a 1＝13，S n ＝n (2n －1)a n 求得a 2＝115＝13×5，a 3＝135＝15×7，a 4＝163＝17×9.猜想a n ＝1(2n －1)(2n ＋1).6．已知函数f (x )＝x 3＋bx 的图象在点A (1，f (1))处的切线的斜率为4，则函数g (x )＝3sin 2x ＋b cos 2x 的最大值是( )A ．1B ．2 C. 2D. 3解析：选B ∵f ′(x )＝3x 2＋b ，∴f ′(1)＝3＋b ＝4， ∴b ＝1.∴g (x )＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6≤2. 7．p ＝ab ＋cd ，q ＝ma ＋nc ·b m ＋dn(m 、n 、a 、b 、c 、d 均为正数)，则p 、q 的大小为( )A ．p ≥qB ．p ≤qC ．p >qD ．不确定解析：选B q ＝ ab ＋mad n ＋nbcm ＋cd ≥ab ＋2abcd ＋cd ＝ab ＋cd ＝p .8．在[12，2]上，函数f (x )＝x 2＋px ＋q 与g (x )＝3x 2＋32x 在同一点处取得相同的最小值，那么f (x )在[12，2]上的最大值是()A.134 B ．4 C ．8D.54解析：选B 因为g (x )＝3x 2＋32x，且x ∈[12，2]，则g (x )≥3，当且仅当x ＝1时，g (x )min ＝3.又f ′(x )＝2x ＋p ， ∴f ′(1)＝0，即2＋p ＝0，得p ＝－2，∴f (x )＝x 2－2x ＋q .又f (x )min ＝g (1)＝3，∴1－2＋q ＝3，∴q ＝4. ∴f (x )＝x 2－2x ＋4＝(x －1)2＋3，x ∈12，2.∴f (x )max ＝f (2)＝4.9．若函数y ＝x 3－2ax ＋a 在(0,1)内有极小值没有极大值，则实数a 的取值范围是( ) A ．(0,3) B ．(－∞，3) C ．(0，＋∞)D.⎝⎛⎭⎫0，32 解析：选D f ′(x )＝3x 2－2a ， ∵f (x )在(0,1)内有极小值没有极大值，∴⎩⎪⎨⎪⎧f ′(0)<0f ′(1)>0⇒⎩⎪⎨⎪⎧－2a <0，3－2a >0.即0<a <32.10．设f (x )＝kx －kx －2ln x ，若f (x )在其定义域内为单调增函数，则k 的取值范围是( )A ．(－∞，1]B ．[1，＋∞)C ．(－∞，－1]D ．[－1，＋∞)解析：选B 由f ′(x )＝k ＋k x 2－2x ＝kx 2－2x ＋kx 2，令h (x )＝kx 2－2x ＋k ，要使f (x )在其定义域(0，＋∞)上单调递增，只需h (x )在(0，＋∞)内满足h (x )≥0恒成立．由h (x )≥0得kx 2－2x ＋k ≥0，即k ≥2x x 2＋1＝2x ＋1x在x ∈(0，＋∞)上恒成立，∵x >0，∴x ＋1x ≥2.∴2x ＋1x ≤1.∴k ≥1.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)11．设a ＝3＋22，b ＝2＋7，则a ，b 的大小关系为____________．解析：a ＝3＋22，b ＝2＋7两式的两边分别平方，可得a 2＝11＋46，b 2＝11＋47，显然，6<7.∴a <b .答案：a <b12．复数z ＝i1＋i(其中i 为虚数单位)的虚部是________．解析：化简得z ＝i 1＋i ＝i (1－i )(1＋i )(1－i )＝12＋12i ，则虚部为12.答案：1213．若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1在x ＝1处取极值，则a ＝________.解析：f ′(x )＝2x 2＋2x －x 2－a (x ＋1)2＝x 2＋2x －a(x ＋1)2.因为f (x )在x ＝1处取极值，所以1是f ′(x )＝0的根，将x ＝1代入得a ＝3.答案：314．已知f (x )＝xe x ，定义f 1(x )＝f ′(x )，f 2(x )＝[f 1(x )]′，…，f n ＋1(x )＝[f n (x )]′，n ∈N.经计算f 1(x )＝1－x e x ，f 2(x )＝x －2e x ，f 3(x )＝3－xex ，…，照此规律，则f n (x )＝________.解析：观察各个式子，发现分母都是e x ，分子依次是－(x －1)，(x －2)，－(x －3)，(x －4)，…，前边是(－1)n ，括号里是x －n ，故f n (x )＝(－1)n (x －n )e x .答案：(－1)n (x －n )e x三、解答题(本大题共4小题，共50分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分12分)用数学归纳法证明：12＋32＋52＋…＋(2n －1)2＝13n (4n 2－1)．证明：(1)当n ＝1时，左边＝12＝1，右边＝13×1×(4－1)＝1，等式成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N *)时等式成立，即12＋32＋52＋…＋(2k －1)2＝13k (4k 2－1)．则当n ＝k ＋1时，12＋32＋52＋…＋(2k －1)2＋(2k ＋1)2＝13k (4k 2－1)＋(2k ＋1)2＝13k (4k 2－1)＋4k 2＋4k ＋1 ＝13k [4(k ＋1)2－1]－13k ·4(2k ＋1)＋4k 2＋4k ＋1 ＝13k [4(k ＋1)2－1]＋13(12k 2＋12k ＋3－8k 2－4k )＝13k [4(k ＋1)2－1]＋13[4(k ＋1)2－1] ＝13(k ＋1)[4(k ＋1)2－1]．即当n ＝k ＋1时等式也成立．由(1)，(2)可知，对一切n ∈N *，等式都成立．16．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝a3x 3＋x 2－2ax －1，f ′(－1)＝0.(1)求函数f (x )的单调区间；(2)如果对于任意的x ∈[－2,0)，都有f (x )≤bx ＋3，求b 的取值范围．解：(1)因为f ′(x )＝ax 2＋2x －2a ，因为f ′(－1)＝0，所以a ＝－2.所以f ′(x )＝－2x 2＋2x ＋4＝－2(x 2－x －2)＝－2(x ＋1)(x －2)．令f ′(x )＝0，解得x 1＝－1，x 2＝2.随着x 的变化，f ′(x )和f (x )的变化情况如下：(2)因为对于任意的x ∈[－2,0)，都有f (x )≤bx ＋3，即bx ＋3≥－23x 3＋x 2＋4x －1，所以b ≤－23x 2＋x ＋4－4x .设h (x )＝－23x 2＋x ＋4－4x .则h ′(x )＝－43x ＋1＋4x2，因为x ∈[－2,0)，所以－43x >0，4x 2>0.所以h ′(x )>0.所以h (x )在[－2,0)上单调递增．所以h min (x )＝h (－2)＝43.即b ≤43.故b 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－∞，43.17．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝m ·⎝⎛⎭⎫x －1x ＋2ln x (m ∈R)． (1)若m ＝1，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (2)讨论函数f (x )的单调性．解：(1)当m ＝1时，函数f (x )＝x －1x ＋2ln x ，函数的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝x 2＋2x ＋1x 2，∴f (1)＝0，f ′(1)＝4，所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为4x －y －4＝0.(2)函数的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝mx 2＋2x ＋mx 2，当m ≥0时，f ′(x )>0在x ∈(0，＋∞)时恒成立， ∴f (x )在(0，＋∞)上单调递增．当m <0时，①当m ≤－1时，f ′(x )≤0在x ∈(0，＋∞)时恒成立，∴f (x )在(0，＋∞)上单调递减， ②当－1<m <0时，由f ′(x )＝0得x 1＝－1＋1－m 2m ，x 2＝－1－1－m 2m，且0<x 1<x 2， x (0，x 1) x 1 (x 1，x 2) x 2 (x 2，＋∞)f ′(x ) － 0 ＋ 0 － f (x )减增减所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－1＋1－m 2和⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－1－m 2，＋∞，＋∞上单调递减，f (x )在上单调递增．18．(本小题满分14分)已知函数f (x )＝x 3－x －x . (1)判断f (x )x 的单调性；(2)求函数y ＝f (x )的零点的个数；(3)令g (x )＝ax 2＋ax f (x )＋x ＋ln x ，若函数y ＝g (x )在⎝⎛⎭⎫0，1e 内有极值，求实数a 的取值范围．解：(1)设φ(x )＝f (x )x ＝x 2－1－1x(x >0)，φ′(x )＝2x ＋12x 3>0，所以y ＝φ(x )在(0，＋∞)上单调递增． (2)由(1)知φ(1)＝－1，φ(2)＝3－12>0且y ＝φ(x )在(0，＋∞)上单调递增，所以y ＝φ(x )在(1,2)上有一个零点，又f (x )＝x 3－x －x ＝xφ(x )，显然x ＝0是f (x )＝0的一个零点，所以y ＝f (x )在[0，＋∞)上有两个零点．(3)因为g (x )＝ax 2＋axf (x )＋x ＋ln x ＝ax 2＋ax x 3－x ＋ln x ＝ax －1＋ln x ，所以g ′(x )＝－a(x －1)2＋1x ＝x 2－(2＋a )x ＋1(x －1)2x，设h (x )＝x 2－(2＋a )x ＋1，则h (x )＝0有两个不同的根x 1，x 2，且一根在⎝⎛⎭⎫0，1e 内，不妨设0<x 1<1e，由于x 1·x 2＝1，所以，x 2>e ，由于h (0)＝1，则只需h ⎝⎛⎭⎫1e <0，即1e 2－(2＋a )1e ＋1<0，解得a >e ＋1e －2，即a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫e ＋1e －2，＋∞.。

2015-2016学年度第一学期高二数学(理)《选修2》模块学习学段检测试卷及答题卡

高二数学（理）·第1页（共2页）2015-2016学年度第一学期高二数学（理）《选修2》模块学习学段检测试卷一、选择题（每小题5分，共60分）1．抛物线218y x =-的准线方程是（） A ．132x = B ．2y = C ． 132y = D ．2y =-2.设函数)(x f 可导，则0(1)(1)lim 3x f x f x∆→+∆-∆=（）A ．(1)f 'B ．1(1)3f 'C ．)1(3'f D ．)1(31'f -3.对命题“”2000,240x R x x ∃∈-+≤的否定正确的是（）A ．2000,240x R x x ∃∈-+>B ． 2,240x R x x ∀∈-+≤C ．2,240x R x x ∀∈-+> D ．2,240x R x x ∀∈-+≥4．已知向量)2,0,1(),0,1,1(-==b a ，且b a k +与b a -2互相垂直，则k 的值是（）A ．1B ．51C ．53D ．575．设a R ∈，则1a >是11a< 的（）A ．充分但不必要条件B ．必要但不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 6.设2()ln 1f x x =+，则'(2)f =（）A ．45 B ．25 C ．15 D ．357.一个四面体的四个顶点在空间直角坐标系xyz o -中的坐标分别是)0,0,0(，)0,2,1(，)2,2,0(，)1,0,3(，则该四面体中以yoz 平面为投影面的正视图的面积为（）A ． 3B ．25 C ．2 D ．278．曲线x y e =在点2(2,)e 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（）A ．294eB ．22eC ．2eD ．22e9.设12F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点，P 为直线32ax =上一点，12PF F ∆是底角为30的等腰三角形，则E 的离心率为（） A ．12 B ．23 C ．34 D ．4510．在长方体1111ABCD A B C D -中，如果，1AB BC ==12AA =，那么A 到直线1AC 的距离为（） A ．263 B ．362 C ．233D ．6311.在抛物线24y x =-上求一点P ，使其到焦点F 的距离与到()1,2-A 的距离之和最小，则该点坐标为（） A ．1,14⎛⎫- ⎪⎝⎭ B ． 1,14⎛⎫⎪⎝⎭C ．()2,22-- D ．()2,22- 12.点P 在曲线323y x x =-+上移动，设点P 处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是（） A ．0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．30,,24πππ⎡⎫⎡⎫⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭ C ．3,4ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D ．3,24ππ⎛⎤⎥⎝⎦二、填空题（每空5分，共20分）13.已知F 是双曲线C ：223(0)x my m m -=>的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为 .14.命题“,R x ∈∀0322>+-ax ax 恒成立”是假命题，则实数a 的取值范围是 .高二数学（理）·第2页（共2页）NM ABDCO15. 如果椭圆221369x y +=的弦被点)2,4(平分，则这条弦所在的直线方程是___________. 16．对正整数n ，设曲线(1)n y x x =-在2=x 处的切线与y 轴交点的纵坐标为n a ，则数列1n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和=n S 三、解答题17.（本小题满分10分）已知曲线32y x x =+- 在点0p 处的切线1l 平行直线410x y --=，且点0p 在第三象限. （1）求0p 的坐标；（2）若直线1l l ⊥，且l 也过切点0p ，求直线l 的方程.18.（本小题满分12分）已知命题:p 函数()(73)xf x m =-是增函数，命题:q 方程244(2)10x m x +-+=无实根。

人教新课标版数学高二-2015年春数学选修2-2作业模块综合检测

模块综合检测(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在△ABC 中，E ，F 分别为AB ，AC 的中点，则有EF ∥BC ．这个命题的大前提为( )A ．三角形的中位线平行于第三边B ．三角形的中位线等于第三边的一半C ．EF 为中位线D ．EF ∥CB答案：A2.⎠⎛01(e x ＋2x )d x ＝( ) A ．1B ．e －1C ．eD ．e ＋1解析：选C ．⎠⎛01(e x ＋2x)d x ＝(e x ＋x 2)10＝e ，故选C ． 3．复数(1－i 2)2＝a ＋b i (a ，b ∈R ，i 是虚数单位)，则a 2－b 2的值为( ) A ．0B ．1C ．2D ．－1解析：选D ．(1－i 2)2＝1－2i ＋i 22＝－i ＝a ＋b i.所以a ＝0，b ＝－1，所以a 2－b 2＝0－1＝－1. 4．下列求导运算正确的是( ) A ．(x ＋3x )′＝1＋3x2 B ．(log 2x )′＝1x ln 2 C ．(3x )′＝3x log 3e D ．(x 2cos x )′＝－2x sin x 解析：选B.(x ＋3x )′＝1－3x2，所以A 不正确； (3x )′＝3x ln 3，所以C 不正确；(x 2cos x )′＝2x cos x ＋x 2·(－sin x )，所以D 不正确；(log 2x )′＝1x ln 2，所以B 正确．故选B. 5．用反证法证明命题：“若(a －1)(b －1)(c －1)＞0，则a ，b ，c 中至少有一个大于1”时，下列假设中正确的是( )A ．假设a ，b ，c 都大于1B ．假设a ，b ，c 都不大于1C ．假设a ，b ，c 中至多有一个大于1D ．假设a ，b ，c 中至多有两个大于1解析：选B.a ，b ，c 中至少有一个大于1的否定为a ，b ，c 都不大于1.6．已知函数f (x )＝2x ＋1x ＋2，则函数y ＝f (x )的单调增区间是( ) A ．(－∞，＋∞)B ．(－∞，－2)C ．(－2，＋∞)D ．(－∞，－2)和(－2，＋∞)解析：选D ．据解析式可知函数f (x )的定义域为{x |x ∈R ，x ≠－2}，由于f ′(x )＝3(x ＋2)2＞0，故函数f (x )在(－∞，－2)和(－2，＋∞)上分别为增函数．7．已知集合A ＝{x |x 2＋y 2＝4}，集合B ＝{x ||x ＋i|＜2，i 为虚数单位，x ∈R }，则集合A 与B 的关系是( )A ．AB B ．B AC ．A ∩B ＝AD ．A ∩B ＝∅解析：选B.|x ＋i|＝x 2＋1＜2，即x 2＋1＜4，解得－3＜x ＜3，∴B ＝(－3，3)，而A ＝[－2,2]，∴B A ，故选B.8．用数学归纳法证明12＋22＋…＋(n －1)2＋n 2＋(n －1)2＋…＋22＋12＝n (2n 2＋1)3时，从n ＝k 到n ＝k ＋1，等式左边应添加的式子是( )A ．(k －1)2＋2k 2B ．(k ＋1)2＋k 2C ．(k ＋1)2D ．13(k ＋1)[2(k ＋1)2＋1] 解析：选B.n ＝k 时，左边＝12＋22＋…＋(k －1)2＋k 2＋(k －1)2＋…＋22＋12，n ＝k ＋1时，左边＝12＋22＋…＋(k －1)2＋k 2＋(k ＋1)2＋k 2＋(k －1)2＋…＋22＋12，∴从n ＝k 到n ＝k ＋1，左边应添加的式子为(k ＋1)2＋k 2.9．若P ＝a ＋a ＋7，Q ＝a ＋3＋a ＋4(a ≥0)，则P ，Q 的大小关系为( )A ．P ＞QB ．P ＝QC ．P ＜QD ．由a 的取值确定解析：选C ．要比较P 与Q 的大小，只需比较P 2与Q 2的大小，只需比较2a ＋7＋2a (a ＋7)与2a ＋7＋2(a ＋3)(a ＋4)的大小，只需比较a 2＋7a 与a 2＋7a ＋12的大小，即比较0与12的大小，而0＜12，故P ＜Q .10．如图，阴影部分的面积为( )A ．⎠⎛ab [f (x )－g (x )]d x B ．⎠⎛ac [g (x )－f (x )]d x ＋⎠⎛c b [f (x )－g (x )]d x C ．⎠⎛a c [f (x )－g (x )]d x ＋⎠⎛cb [g (x )－f (x )]d x D ．⎠⎛ab [g (x )－f (x )]d x 解析：选B .∵在区间(a ，c )上g (x )＞f (x )，而在区间(c ，b )上g (x )＜f (x )．∴S ＝⎠⎛a c [g (x )－f (x )]d x ＋⎠⎛cb [f (x )－g (x )]d x ，故选B . 11．设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数y ＝(1－x )f ′(x )的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是( )A ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (1)B ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (1)C ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (－2)D ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (2)解析：选D ．由题图可知，当x ＜－2时，f ′(x )＞0；当x ＝－2时，f ′(x )＝0；当－2＜x ＜1时，f ′(x )＜0；当1＜x ＜2时，f ′(x )＜0；当x ＝2时，f ′(x )＝0；当x ＞2时，f ′(x )＞0.由此可以得到函数f (x )在x ＝－2处取得极大值，在x ＝2处取得极小值．12．观察数表：1 2 3 4 … 第一行2 3 4 5 … 第二行3 4 5 6 … 第三行4 5 6 7 … 第四行… … … …第一列第二列第三列第四列根据数表中所反映的规律，第n 行与第n －1列的交叉点上的数应该是( )A ．2n －1B ．2n ＋1C ．n 2－1D ．2n －2解析：选D ．根据数表可知，第1行第1列上的数为1，第2行第2列上的数为3，第3行第3列上的数为5，第4行第4列上的数为7，那么，由此可以推导出第n 行与第n 列交叉点上的数应该是2n －1，故第n 行与第n －1列的交叉点上的数应为2n －2.二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中的横线上)13．设复数i 满足i(z ＋1)＝－3＋2i(i 为虚数单位)，则z 的实部是________．解析：由i(z ＋1)＝－3＋2i ，得到z ＝－3＋2i i－1＝2＋3i －1＝1＋3i. 答案：114．已知某商品生产成本C 与产量q 的函数关系式为C ＝100＋4q ，价格p 与产量q 的函数关系式为p ＝25－18q ，则产量q ＝________时，利润L 最大．解析：收入R ＝q ·p ＝q (25－18q )＝25q －18q 2. 利润L ＝R －C ＝(25q －18q 2)－(100＋4q )＝－18q 2＋21q －100(0＜q ＜200)， L ′＝－14q ＋21，令L ′＝0，即－14q ＋21＝0，求得唯一的极值点q ＝84. ∴产量q 为84时，利润L 最大．答案：8415．已知圆的方程是x 2＋y 2＝r 2，则经过圆上一点M (x 0，y 0)的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2.类比上述性质，可以得到椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1类似的性质为________．解析：圆的性质中，经过圆上一点M (x 0，y 0)的切线方程就是将圆的方程中的一个x 与y 分别用M (x 0，y 0)的横坐标与纵坐标替换．故可得椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1类似的性质为：过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上一点P (x 0，y 0)的切线方程为x 0x a 2＋y 0y b 2＝1. 答案：经过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上一点P (x 0，y 0)的切线方程为x 0x a 2＋y 0y b 2＝1 16．(2014·山东省实验中学月考)给出下列四个命题：①若f ′(x 0)＝0，则x 0是f (x )的极值点；②“可导函数f (x )在区间(a ，b )上不单调”等价于“f (x )在区间(a ，b )上有极值”；③若f (x )＞g (x )，则f ′(x )＞g ′(x )；④如果在区间[a ，b ]上函数y ＝f (x )的图象是一条连续不断的曲线，则该函数在[a ，b ]上一定能取得最大值和最小值．其中真命题的序号是________(把所有真命题的序号都填上)．解析：②④显然正确；对f (x )＝x 3，有f ′(0)＝0，但x ＝0不是极值点，故①错；f (x )＝x ＋1＞g (x )＝x ，但f ′(x )＝g ′(x )＝1，故③错．答案：②④三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)已知复数z 1＝2－3i ，z 2＝15－5i (2＋i )2. 求：(1)z 1＋z 2；(2)z 1·z 2；(3)z 1z 2. 解：z 2＝15－5i (2＋i )2＝15－5i 3＋4i ＝5(3－i )(3－4i )(3＋4i )(3－4i )＝5－15i 5 ＝1－3i.(1)z 1＋z 2＝(2－3i)＋(1＋3i)＝3.(2)z 1·z 2＝(2－3i)(1－3i)＝2－9－9i ＝－7－9i.(3)z 1z 2＝2－3i 1－3i ＝(2－3i )(1＋3i )(1－3i )(1＋3i )＝2＋9＋3i 10＝1110＋310i. 18．(本小题满分12分)求函数f (x )＝e xx －2的单调区间．解：函数f (x )的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)．f ′(x )＝e x (x －2)－e x (x －2)2＝e x (x －3)(x －2)2. 因为x ∈(－∞，2)∪(2，＋∞)，所以e x ＞0，(x －2)2＞0.由f ′(x )＞0，得x ＞3，所以函数f (x )的单调递增区间为(3，＋∞)；由f ′(x )＜0，得x ＜3，又定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)，所以函数f (x )的单调递减区间为(－∞，2)和(2,3)．19．(本小题满分12分)已知a ，b ，c ＞0，且a ＋b ＋c ＝1，求证：(1)a 2＋b 2＋c 2≥13； (2)a ＋b ＋c ≤ 3.证明：(1)∵a 2＋19≥23a ，b 2＋19≥23b ，c 2＋19≥23c ， ∴(a 2＋19)＋(b 2＋19)＋(c 2＋19)≥23a ＋23b ＋23c ＝23. ∴a 2＋b 2＋c 2≥13. (2)∵a ·13≤a ＋132，b ·13≤b ＋132，c ·13≤c ＋132，三式相加得a 3＋b 3＋c 3≤12(a ＋b ＋c )＋12＝1， ∴a ＋b ＋c ≤ 3.20．(本小题满分12分)已知数列{a n }满足S n ＋a n ＝2n ＋1.(1)写出a 1，a 2，a 3，并推测a n 的表达式；(2)用数学归纳法证明所得的结论．解：(1)由S n ＋a n ＝2n ＋1，当n ＝1时，S 1＝a 1，∴a 1＋a 1＝2×1＋1，得a 1＝32. 当n ＝2时，S 2＝a 1＋a 2，则a 1＋a 2＋a 2＝5，将a 1＝32代入得a 2＝74. 同理可得a 3＝158.∴a n ＝2n ＋1－12n ＝2－12n. (2)证明：当n ＝1时，结论成立．假设n ＝k 时，命题成立，即a k ＝2－12k ；当n ＝k ＋1时，S n ＋a n ＝2n ＋1，则a 1＋a 2＋…＋a k ＋2a k ＋1＝2(k ＋1)＋1.∵a 1＋a 2＋…＋a k ＝2k ＋1－a k ，∴2a k ＋1＝4－12k ，a k ＋1＝2－12k ＋1成立． ∴当n ＝k ＋1时，结论也成立．∴根据上述知对于任意自然数n ∈N *，结论成立．21．(本小题满分13分)设函数f (x )＝x 3＋ax 2＋x ＋1，a ∈R .(1)若x ＝1时，函数f (x )取得极值，求函数f (x )在x ＝－1处的切线方程；(2)若函数f (x )在区间(12，1)内不单调，求实数a 的取值范围．解：(1)由已知得f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋1，f ′(1)＝0，故a ＝－2， ∴f (x )＝x 3－2x 2＋x ＋1，当x ＝－1时，f (－1)＝－3，即切点坐标为(－1，－3)．又f ′(－1)＝8，∴切线方程为8x －y ＋5＝0.(2)f (x )在区间(12，1)内不单调，即f ′(x )＝0在(12，1)内有解，令f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋1＝0，则2ax ＝－3x 2－1.由x ∈(12，1)，得2a ＝－3x －1x. 令h (x )＝－3x －1x ，由h ′(x )＝－3＋1x 2＝0，知h (x )在(33，1)上单调递减，在(12，33]上单调递增， ∴h (1)＜h (x )≤h (33)，即h (x )∈(－4，－23]． ∴－4＜2a ≤－23，即－2＜a ≤－ 3.而当a ＝－3时，f ′(x )＝3x 2－23x ＋1＝(3x －1)2≥0，不满足题意．综上，实数a 的取值范围为(－2，－3)．22．(本小题满分13分)已知函数f (x )＝38x 2－2x ＋2＋ln x . (1)求函数y ＝f (x )的单调区间；(2)若函数y ＝f (x )在[e m ，＋∞)(m ∈Z )上有零点，求m 的最大值．解：(1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)．f ′(x )＝34x －2＋1x ＝(3x －2)(x －2)4x，当f ′(x )＞0时，x ∈(0，23)∪(2，＋∞)；当f ′(x )＜0时，x ∈(23，2)，所以函数f (x )的单调递增区间为(0，23)和(2，＋∞)，单调递减区间为[23，2]． (2)由(1)知y 极大值＝f (23)＝56＋ln 23＞0，y 极小值＝f (2)＝ln 2－12＞0. 当x ＞0且x →0时f (x )＜0，故f (x )在定义域上存在唯一零点x 0，且x 0∈(0，23)．若m ≥0，则e m ≥1，[e m ，＋∞)⊂(23，＋∞)，此区间不存在零点，舍去，故m ＜0. 当m ＝－1时，x ∈[1e ，＋∞)，f (1e )＝1＋38e 2－2e＞0，又(1e ，23)为增区间，此区间不存在零点，舍去．当m ＝－2时，x ∈[1e 2，＋∞)，f (1e 2)＝1e 2(38e 2－2)＜0，又(1e 2，23)为增区间，且y ＝f (23)＞0，故x 0∈(1e 2，23)．综上，m 的最大值为－2.。

人教版高中数学选修2-2综合测试卷C(含答案)

0
aT
f ( x)dx
T
； [ 来源 :]
其中正确命题的个数为 ( )
(A)1 (B)2 (C)3 (D)0
7. 若复数 (a2 a 2) ( a 1 1)i (a R) 不是纯虚数，则 a 的取值范围是 ( )
(A) a 1 或 a 2 (B) a 1 且 a 2 (C) a 1 (D) a 2
.
精品文档
1
20. ( 本小题满分 14 分 ) 已知函数 f (x) ln x ( x
g( x) 0) , 函数
af ( x)( x 0) f ( x)
⑴ 当 x 0 时 , 求函数 y g ( x) 的表达式 ;
⑵若 a 0 , 函数 y g(x) 在 (0, ) 上的最小值是 2 , 求 a 的值 ;
1 8. 设 0< a <b，且 f (x) ＝
1x
x
，则下列大小关系式成立的是 ( ).
ab
ab
(A)f ( a )< f (
2 )<f ( ab ) (B)f (
2 )<f (b)< f (
ab )
(C)f (
ab
ab )< f (
2 )<f ( a ) (D)f (b)< f (
ab 2 )<f ( ab )
2. 下列结论中正确的是 ( )
[ 来源:学 +科+网 Z+X+X+K]
(A) 导数为零的点一定是极值点
[ 来源:学 # 科#网 Z#X#X#K]
(B) 如果在 x0 附近的左侧 f ' ( x) 0 ，右侧 f ' (x) 0 ，那么 f ( x0 ) 是极大值

(人教版)高中数学选修2-2检测模块综合检测A Word版含答案

模块综合检测()一、选择题(本大题共小题，每小题分，共分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)．复数＝(为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为( )．第一象限．第二象限．第三象限．第四象限解析：∵＝＝＝＝－，∴复数对应的点的坐标为，在第四象限．答案：．函数()＝＋＋的图象在＝处的切线在轴上的截距为( )．．．－．－解析：′()＝＋，′()＝，()＝，－＝(－)，＝时，＝－.答案：．类比下列平面内的三个结论所得的空间内的结论成立的是( )①平行于同一直线的两条直线平行；②一条直线如果与两条平行直线中的一条垂直，则必与另一条垂直；③如果一条直线与两条平行直线中的一条相交，则必与另一条相交．．①②③．①③．①．②③解析：类比①的结论为：平行于同一个平面的两个平面平行，成立；类比②的结论为：一个平面如果与两个平行平面中的一个垂直，则必与另一个垂直，成立；类比③的结论为：如果一个平面与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个相交，成立．答案：．函数＝－－(－<<)有( )．极大值，极小值－．极大值，极小值－．极大值，无极小值．极小值－，无极大值解析：′＝－－＝，得＝－，＝，当<－时，′>；当>－时，′<.当＝－时，极大值＝，取不到，无极小值．答案：．函数＝＋的单调递增区间是( )．(，＋∞) ．(－∞，)．．(，＋∞)解析：令′＝－＝>，即(－)(＋＋)>，且≠，得>.答案：．下列计算错误的是( )．＝．))＝．＝．＝解析：由微积分基本定理或定积分的几何意义易得结果．答案：．用数学归纳法证明＋＋…＋>(∈＋)时，在验证＝时，左边的代数式为( ) ．＋＋．＋．．解析：当＝时，不等式左边为＋＋＝＋＋.答案：．函数＝－在(－∞，＋∞)上的减区间是[－]，则( )．＝．＝．＝．≤解析：∈[－]，′＝－≤，且′＝±＝，∴＝，＝.答案：．若，∈，则＋是( )．纯虚数．实数．虚数．不能确定解析：设＝＋，＝＋(，，，∈)，则＋＝(＋)(－)＋(－)(＋)＝(＋)∈.答案：．设＝(－－)＋(－)(∈)，若对应的点在直线－＋＝上，则的值是( ) ．±．．－．解析：(－－)－(－)＋＝，＝－，＝，＝±，而>，所以＝.答案：．函数()的定义域为，(－)＝，对任意∈，′()>，则()>＋的解集为( ) ．(－) ．(－，＋∞)．(－∞，－) ．(－∞，＋∞)解析：设()＝()－(＋)，。

高中数学选修2-2综合测试题(全册含答案)

高中数学选修2-2综合测试题(时间90分钟，满分120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分) 1．设z ＝10i3＋i，则z 的共轭复数为( ) A ．－1＋3i B ．－1－3i C ．1＋3iD ．1－3i2．若函数f (x )＝e x cos x ，则此函数的图象在点(1，f (1))处的切线的倾斜角为( ) A ．0 B ．锐角 C.π2D ．钝角3．用反证法证明命题“若函数f (x )＝x 2＋px ＋q ，那么|f (1)|，|f (2)|，|f (3)|中至少有一个不小于12”时，反设正确的是( )A ．假设|f (1)|，|f (2)|，|f (3)|都不小于12B ．假设|f (1)|，|f (2)|，|f (3)|都小于12C ．假设|f (1)|，|f (2)|，|f (3)|至多有两个小于12D ．假设|f (1)|，|f (2)|，|f (3)|至多有一个小于124．设a ＝⎠⎛01x －13d x ，b ＝1－⎠⎛01x 12d x ，c ＝⎠⎛01x 3d x ，则a ，b ，c 的大小关系( )A ．a ＞b ＞cB ．b ＞a ＞cC ．a ＞c ＞bD ．b ＞c ＞a5.由①y ＝2x ＋5是一次函数；②y ＝2x ＋5的图象是一条直线；③一次函数的图象是一条直线．写一个“三段论”形式的正确推理，则作为大前提、小前提和结论的分别是( )A ．②①③B ．③①②C ．①②③D ．②③①6.如图，我们知道，圆环也可以看作线段AB 绕圆心O 旋转一周所形成的平面图形，又圆环的面积S ＝π(R 2－r 2)＝(R －r)×2π×R ＋r2，所以，圆环的面积等于以线段AB ＝R －r为宽，以AB 中点绕圆心O 旋转一周所形成的圆的周长2π×R ＋r2为长的矩形面积．请你将上述想法拓展到空间，并解决下列问题：若将平面区域M ＝{}(x ，y )|(x －d )2＋y 2≤r 2(其中0<r<d)绕y 轴旋转一周，则所形成的旋转体的体积是( )A ．2πr 2dB ．2π2r 2dC ．2πrd 2D ．2π2rd 27．观察下列各式：55＝3 125,56＝15 625,57＝78 125，…，则52 015的末四位数字为( ) A ．3 125 B ．5 625 C ．0 625D ．8 1258．下面给出了关于复数的四种类比推理：①复数的加减法运算，可以类比多项式的加减法运算法则；②由向量a 的性质|a |2＝a 2，可以类比得到复数z 的性质：|z |2＝z 2；③方程ax 2＋bx ＋c ＝0，(a ，b ，c ∈R ，且a ≠0)有两个不同的实数根的条件是b 2－4ac >0，类比可得方程ax 2＋bx ＋c ＝0，(a ，b ，c ∈C 且a ≠0)有两个不同的复数根的条件是b 2－4ac >0；④由向量加法的几何意义，可以类比得到复数加法的几何意义．其中类比得到的结论正确的是( ) A ．①③ B ．②④ C ．②③D ．①④9．设x ＞0，y ＞0，A ＝x ＋y 1＋x ＋y ，B ＝x 1＋x ＋y1＋y，则A 与B 的大小关系为( )A ．A ＞B B ．A ≥BC ．A ＜BD ．A ≤B10．设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数f (x )在x ＝－2处取得极小值，则函数y ＝xf ′(x )的图象可能是( )二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 11．若复数z 满足z ＋i ＝3＋ii，则|z |＝________.12．直线y ＝kx ＋1与曲线y ＝x 3＋ax ＋b 相切于点A (1,3)，则2a ＋b 的值为________． 13．我们把1,4,9,16,25，…这些数称作正方形数，这是因为这些数目的点可以排成一个正方形，如下图所示：第n 个正方形数是________．14．若O 为△ABC 内部任意一点，连接AO 并延长交对边于A ′，则AO AA ′＝S 四边形ABOCS △ABC，同理连接BO ，CO 并延长，分别交对边于B ′，C ′，这样可以推出AO AA ′＋BO BB ′＋COCC ′＝________；类似地，若O 为四面体ABCD 内部任意一点，连接AO ，BO ，CO ，DO 并延长，分别交相对的面于A ′，B ′，C ′，D ′，则AO AA ′＋BO BB ′＋CO CC ′＋DODD ′＝________.三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出文字说明、证明过程或运算步骤) 15．(本小题满分12分)已知F (x )＝1x－t (t －4)d t ，x ∈(－1，＋∞)．(1)求F (x )的单调区间； (2)求函数F (x )在[1,5]上的最值．16．(本小题满分12分)在△ABC 中，AB ⊥AC ，AD ⊥BC 于D ，求证：1AD 2＝1AB 2＋1AC 2.在四面体A -BCD 中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明理由．17．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2－3x (a ∈R )． (1)若函数f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数，求实数a 的取值范围；(2)若x ＝13是函数f (x )的极值点，是否存在实数b ，使得函数g (x )＝bx 的图象与函数f (x )的图象恰有3个交点？若存在，请求出b 的取值范围；若不存在，试说明理由．18．(本小题满分14分)已知数列{a n }满足a 1＝a ，a n ＋1＝12－a n. (1)求a 2，a 3，a 4；(2)猜想数列{a n }的通项公式，并用数学归纳法证明．高中数学选修2-2综合测试题参考答案1．选D ∵z ＝10i3＋i ＝10i (3－i )(3＋i )(3－i )＝1＋3i ，∴z ＝1－3i.2．选D f ′(x )＝e x ·cos x ＋e x ·(－sin x )＝e x (cos x －sin x )．当x ＝1时，cos x －sin x ＜0，故f ′(1)＜0，所以倾斜角为钝角．3．选B “|f (1)|，|f (2)|，|f (3)|中至少有一个不小于12”的反设为“|f (1)|，|f (2)|，|f (3)|都小于12”． 4．解析：选A 由题意可得a ＝⎠⎛01x －13d x ＝x 113－＋－13＋110＝32x 2310＝32；b ＝1－⎠⎛01x 12d x ＝1－x 323210＝1－⎝⎛⎭⎫23－0＝13；c ＝⎠⎛01x 3d x ＝x 4410＝14.综上，a ＞b ＞c .5．选B 该三段论应为：一次函数的图象是一条直线(大前提)，y ＝2x ＋5是一次函数(小前提)，y ＝2x ＋5的图象是一条直线(结论)．6．选B 平面区域M 的面积为πr 2，由类比知识可知：平面区域M 绕y 轴旋转一周得到的旋转体类似于为实心的车轮内胎，旋转体的体积等于以圆(面积为πr 2)为底，以O 为圆心、d 为半径的圆的周长2πd 为高的圆柱的体积，所以旋转体的体积V ＝πr 2×2πd ＝2π2r 2d .7．选D ∵55＝3 125,56＝15 625,57＝8 125， 58＝390 625,59＝1 953 125,510＝9 765 625，…∴5n (n ∈Z ，且n ≥5)的末四位数字呈周期性变化，且最小正周期为4，记5n (n ∈Z ，且n ≥5)的末四位数字为f (n )，则f (2 015)＝f (502× 4＋7)＝f (7)．∴52 015与57的末四位数字相同，均为8 125.8．选D ②中|z |2∈R ，但z 2不一定是实数．③中复数集不能比较大小，不能用b 2－4ac 来确定根的个数．9．选Cx 1＋x ＋y 1＋y ＞x 1＋x ＋y ＋y1＋x ＋y ＝x ＋y 1＋x ＋y.10．选C 由函数f (x )在x ＝－2处取得极小值可知x <－2，f ′(x )<0，则xf ′(x )>0；x >－2，f ′(x )>0，则－2<x <0时，xf ′(x )<0，x >0时，xf ′(x )>0.11．解析：∵z ＝3＋i i －i ＝(3＋i )(－i )－i 2－i ＝－i 2－3i －i ＝1－4i ，∴z ＝1＋4i.∴|z |＝12＋42＝17.答案：1712．解析：∵直线y ＝kx ＋1与曲线y ＝x 3＋ax ＋b 相切于点A (1,3)，y ＝x 3＋ax ＋b 的导数y ′＝3x 2＋a .∴⎩⎪⎨⎪⎧3＝k ×1＋13＝13＋a ×1＋b ， k ＝3×12＋a ，解得a ＝－1，b ＝3，∴2a ＋b ＝1. 答案：113．解析：观察前5个正方形数，正好是序号的平方，所以第n 个正方形数应为n 2. 答案：n 214．解析：根据面积公式，在△ABC 中， AO AA ′＝AA ′－OA ′AA ′＝1－OA ′AA ′ ＝1－S △OBC S △ABC ＝S 四边形ABOC S △ABC ，所以AO AA ′＋BO BB ′＋CO CC ′＝3－S △OBC ＋S △OAC ＋S △OABS △ABC＝3－S △ABCS △ABC＝2.根据体积分割方法，同理可得在四面体ABCD 中， AO AA ′＋BO BB ′＋CO CC ′＋DODD ′＝4－V O -ABD ＋V O -ACD ＋V O -ABC ＋V O -BCDV A -BCD＝4－V A -BCDV A -BCD ＝3.答案：2 3 15．解：F(x )＝1x⎰－ (t 2－4t )d t ＝⎝⎛⎭⎫13t 3－2t 21x -＝13x 3－2x 2－⎝⎛⎭⎫－13－2 ＝13x 3－2x 2＋73(x >－1)． (1)F ′(x )＝x 2－4x ，由F ′(x )>0，即x 2－4x >0，得－1<x <0或x >4；由F ′(x )<0，即x 2－4x <0，得0<x <4， ∴F (x )的单调递增区间为(－1,0)和(4，＋∞)，单调递减区间为(0,4)．(2)由(1)知F(x )在[1,4]上递减，在[4,5]上递增，∵F (1)＝13－2＋73＝23，F (4)＝13×43－2×42＋73＝－253，F (5)＝13×53－2×52＋73＝－6，∴F (x )在[1,5]上的最大值为23，最小值为－253.16．证明：如图所示，由射影定理AD 2＝BD ·DC ，AB 2＝BD ·BC ，AC 2＝BC ·DC ，∴1AD 2＝1BD ·DC＝BC 2BD ·BC ·DC ·BC ＝BC 2AB 2·AC 2. 又BC 2＝AB 2＋AC 2， ∴1AD 2＝AB 2＋AC 2AB 2·AC 2＝1AB 2＋1AC2.所以1AD 2＝1AB 2＋1AC2.猜想：类比AB ⊥AC ，AD ⊥BC 猜想四面体A -BCD 中，AB ，AC ，AD 两两垂直，AE ⊥平面BCD ，则1AE 2＝1AB 2＋1AC 2＋1AD2.如图，连接BE 并延长交CD 于F ，连接AF .∵AB ⊥AC ，AB ⊥AD ，∴AB ⊥平面ACD .而AF ⊂平面ACD ，∴AB ⊥AF . 在Rt △ABF 中，AE ⊥BF ， ∴1AE 2＝1AB 2＋1AF2. 在Rt △ACD 中，AF ⊥CD ，∴1AF 2＝1AC 2＋1AD 2.∴1AE 2＝1AB 2＋1AC 2＋1AD2，故猜想正确． 17．解：(1)f ′(x )＝3x 2＋2ax －3， ∵f (x )在[1，＋∞)上是增函数， ∴在[1，＋∞)上恒有f ′(x )≥0， ∴－a3≤1，且f ′(1)＝2a ≥0.∴a ≥0.故实数a 的取值范围为[0，＋∞)． (2)由题意知f ′⎝⎛⎭⎫13＝0，即13＋2a3－3＝0， ∴a ＝4.∴f (x )＝x 3＋4x 2－3x .若函数g (x )＝bx 的图象与函数f (x )的图象恰有3个交点，即方程x 3＋4x 2－3x ＝bx 恰有3个不等实根．∵x ＝0是其中一个根，∴方程x 2＋4x －(3＋b )＝0有两个非零不等实根．∴⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝16＋4(3＋b )>0，－(3＋b )≠0.∴b >－7，且b ≠－3.∴满足条件的b 存在，其取值范围是(－7，－3)∪(－3，＋∞)． 18．解：(1)由a n ＋1＝12－a n 可得a 2＝12－a 1＝12－a ，a 3＝12－a 2＝12－12－a ＝2－a3－2a，a 4＝12－a 3＝12－2－a 3－2a＝3－2a 4－3a . (2)推测a n ＝(n －1)－(n －2)an －(n －1)a.下面用数学归纳法证明：①当n ＝1时，左边＝a 1＝a ，右边＝(1－1)－(1－2)a 1－(1－1)a＝a ，结论成立．②假设n ＝k 时等式成立，有a k ＝(k －1)－(k －2)ak －(k －1)a ，则当n ＝k ＋1时， a k ＋1＝12－a k＝12－(k －1)－(k －2)a k －(k －1)a＝k －(k －1)a2[k －(k －1)a ]－[(k －1)－(k －2)a ]＝k －(k －1)a(k ＋1)－ka.故当n ＝k ＋1时，结论也成立．由①②可知，对任何n ∈N *都有a n ＝(n －1)－(n －2)a n －(n －1)a.。

人教版高中数学选修2-2模块综合检测 Word版含解析

模块综合检测(时间分钟满分分)一、选择题(本大题共小题，每小题分，共分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)．已知复数＝＋，＝＋，则在复平面内对应的点位于( )．第一象限．第三象限．第四象限．第二象限解析：选＝＝－，对应点在第四象限．．下面几种推理中是演绎推理的为( )．由金、银、铜、铁可导电，猜想：金属都可导电．猜想数列，，，…的通项公式为＝(∈＋)．半径为的圆的面积＝π，则单位圆的面积＝π．由平面直角坐标系中圆的方程为(－)＋(－)＝，推测空间直角坐标系中球的方程为(－)＋(－)＋(－)＝解析：选由演绎推理的概念可知正确．．函数＝( )的导数是( )．′＝ ·．′＝( )．′＝．′＝( )解析：选′＝[( )]′＝( )·( )′＝( )· ·＝× · ··＝· ·，故选.．设()＝，若′()＝，则的值为( )．．)．解析：选由()＝，得′()＝＋. 根据题意知＋＝，所以＝，因此＝.．观察下列等式，＋＝＋＋＝＋＋＋＝，根据上述规律，＋＋＋＋＋＝( )．．．．解析：选归纳得＋＋＋＋＋＝＝..函数()的图象如图，则函数的单调递增区间是( )．(－∞，－]．[－]解析：选由题图可知＝.不妨取＝，∵()＝＋＋，∴′()＝＋＋.由图可知′(－)＝，′()＝，∴－＋＝＋＋＝，∴＝－，＝－.∴＝－－，′＝－. 当＞时，′＞，∴＝－－的单调递增区间为.故选.．设曲线＝上任一点(，)处切线的斜率为()，则函数＝()的部分图象可以为( )解析：选根据题意得()＝，∴＝()＝为偶函数．又＝时，＝，故选.．设函数()在上可导，()＝′()－，则(－)与()的大小关系是( )．(－)＝() ．(－)>()．不确定．(－)<()解析：选因为()＝′()－，所以′()＝′()－，则′()＝′()－，解得′()＝，所以()＝－，所以()＝－，(－)＝，故(－)>().．若不等式≥－＋－对∈(，＋∞)恒成立，则实数的取值范围是( )．(－∞，) ．(－∞，]．[，＋∞)．(，＋∞)解析：选由≥－＋－，得≤＋＋，设()＝＋＋(＞)，则′()＝.当∈()时，′()＜，函数()单调递减；当∈(，＋∞)时，′()＞，函数()单调递增，所以()＝()＝.所以≤()＝.故的取值范围是(－∞，]．．定义在上的函数()满足：′()＞()恒成立，若＜，则()与()的大小关系为( )．()＞()．()＜()．()＝()。

人教版高中数学选修2-2习题模块综合评价(二)

模合价 (二 )( ： 120 分分： 150分 )一、 (本大共12 小，每小5 分，共 60 分．在每小出的四个中，只有一切合目要求 )1． (2015 · 全国Ⅰ卷 ) 复数 z 足1 ＋ z＝ i ， |z|＝ ( )1－ zA ． D ． 2分析：由 1＋ z＝ i 得 z ＝－ 1＋ i （－ 1＋ i ）（ 1－ i ）＝（ 1＋ i ）（ 1－ i ） 1－ z 1＋ i 所以 |z|＝ 1. 答案： A22．若 z ＝ cos θ－ isin θ，使 z ＝－ 1 的 θ 可能是 (πA ． 0B.2C ． πD ． 2π＝ i ，)分析： z 2＝ (cos θ－ isin θ)2＝ cos 2θ－ isin 2θ，又 z 2＝－ 1，所以 cos 2θ＝－ 1， sin 2θ＝0，π知 θ＝ .2答案： B3． f(x)＝ 10x ＋ lg x ， f ′(1)等于 ( )A ． 10B ． 10ln 10 ＋ lg e 10＋ ln 10D ． 11ln 10C.ln 10分析： f ′(x)＝ 10xln 10 ＋1，所以 f ′(1)＝ 10ln 10＋1＝ 10ln 10＋ lg e.xln 10ln 10答案： B4．用数学法明 “1＋1 1 ＋ ⋯ ＋ 1 *， n ＞ 1) ” ，由 n ＝ k(k ＞ 1)不等式2 ＋ n ＜ n(n ∈ N3 2 － 1建立，推 n ＝ k ＋ 1 ，左增添的数是()A ． 2k －1 B ． 2k － 1 C ． 2kD ． 2k ＋ 1分析：左的特色是分母逐增添1，末 n 1；由 n ＝ k ，末 k 1到 n ＝ k ＋12 － 12 － 1末k ＋1＝ k1k ，所以增添的数k1－ 1＋2 2 .2 － 1 2答案： C5．用反法明命： “若 a ，b ∈ N ，ab 能被 3 整除，那么 a ，b 中起码有一个能被 3 整除 ” ，假 ()A ． a ， b 都能被 3 整除B ． a ， b 都不可以被3 整除C ． a ， b 不都能被 3 整除D ． a 不可以被 3 整除分析：因 “起码有一个 ”的否认 “一个也没有 ”．答案： B6．若 a ＞ 0， b ＞ 0，且函数 f( x)＝ 4x 3－ ax 2－ 2bx ＋ 2 在 x ＝ 1 有极，ab 的最大等于 ()A ．2B ．3C ．6D ．9分析：因 f ′(x)＝ 12x 2－ 2ax － 2b ，又因在 x ＝1 有极，所以a ＋b ＝ 6，因 a ＞ 0，2a ＋ b＝ 9，当且当 a ＝ b ＝ 3 取等号，所以ab 的最大等于 9.b ＞ 0，所以 ab ≤ 2答案： D7．察数列 1，2，2， 3，3，3，4，4，4，4，⋯的特色，按此律，第 100 ( ) A ．10 B ．14 C ． 13 D ．100分析： n ∈N *，数字 n 共有 n 个，所以n （n ＋ 1）≤ 100，即 n(n ＋ 1) ≤200，又因 n ∈ N * ，2所以 n ＝ 13，到第13 个 13 共有13× 14＝ 91，从第 92 开始 14，故第 10014.2答案： B8．已知函数32f(x)＝－ x＋ ax － x － 1 在 (－ ∞，＋ ∞)上是函数，数 a 的取范是()A ． (－ ∞，－ 3)∪ ( 3，＋ ∞)B ． (－ 3， 3)C ． (－ ∞，－ 3)∪ [ 3，＋ ∞)D ．分析： f ′(x)＝－ 3x 2＋ 2ax － 1，因 f(x)在 (－ ∞，＋ ∞)上是函数，且f ′(x)的象是张口向下的抛物，所以f ′(x)≤0恒建立，所以＝ 4a 2－ 12≤0，所以－ 3≤ a ≤ 3. 答案： D9．若 f(x)＝ x2＋ 2∫01f(x)dx ，∫01f(x)dx ＝ ()11A ．－ 1B ．－ 3 C.3 D ． 1分析： ∫ 10f(x)dx ＝ m ， f(x)＝ x 2 ＋ 2m ，3m ＝ ∫ 10f(x)dx ＝ ∫ 10(x 2＋ 2m)dx ＝ x 3 ＋ 2mx |10＝ 1＋ 2m ，解得 m ＝－ 1.3 3答案： B10．已知函数 f(x)的导函数 f ′(x)＝ a(x － b) 2＋ c 的图象以下图，则函数 f(x)的图象可能是( )分析：由导函数图象可知，当x ＜ 0 时，函数f(x)递减，清除A ，B ；当0＜ x ＜ x 1 时， f ′(x)＞ 0，函数f(x)递加．所以，当x ＝ 0 时， f(x)获得极小值，所以选项D 正确．答案： D11.已知函数 f(x)知足f(0) ＝ 0，导函数f ′(x)的图象以下图，则f(x)的图象与 x 轴围成的关闭图形的面积为( )1 4 A.3B.38C ． 2D. 3 分析：由 f ′(x)的图象知， f ′ (x)＝ 2x ＋ 2，设 f(x)＝ x 2＋ 2x ＋ c ，由 f(0) ＝ 0 知， c ＝ 0，所以 f(x)＝ x 2＋ 2x ，由 x 2＋ 2x ＝ 0 得 x ＝ 0 或 x ＝－ 2.故所求面积∫ 02＝－ 1 32 0＝ 4－＋＋ x－S ＝－2( x 2x)dx 3x| 2 3.答案： B12．若对于 x 的方程 x 3－ 3x ＋ m ＝ 0 在上有根，则实数 m 的取值范围是 ()A ．B ．C ．D ． (－ ∞，－ 2)∪ (2，＋ ∞)分析：令f( x)＝ x 3－ 3x ＋ m ，则 f ′(x)＝ 3x 2－ 3＝ 3(x ＋ 1)(x －1)，明显当 x ＜－ 1 或 x ＞ 1 时， f ′ (x)＞ 0， f(x)单一递加，当－ 1＜ x ＜ 1 时，f ′ (x)＜ 0，f(x)单一递减，所以在 x ＝－ 1 时，f(x)取极大值 f(－ 1)＝ m ＋ 2，在 x ＝ 1 时，f(x)取极小值 f(1)＝ m － 2.由于 f(x)＝ 0 在上有解，f （ 1） ≤0，所以m － 2≤0，所以解得－ 2≤m ≤2.f （ 2） ≥0，m ＋ 2≥0，答案： A二、填空题 (本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分．把答案填在题中横线上 )13． (2015 江·苏卷 )设复数 z 知足 z 2＝ 3＋ 4i(i 是虚数单位 )，则 z 的模为 ________．分析： |z 2|＝|3＋ 4i|＝ 5， |z|2＝ 5，所以 |z|＝ 5. 答案： 5→→ →14．在△ ABC 中， D 为边 BC 的中点，则 AO ＝1( AB ＋AC )．将上述命题类比到四周体中2去，获得一个类比命题： _______________ ．分析：将 “△ ABC ”类比为 “四周体 A-BCD ”，将 “D 为边 BC 的中点 ”类比为 “△ BCD 的重→ → → → 心 ”，于是有类比结论：在四周体A-BCD 中， G 为△ BCD 的重心，则 AG ＝1(AB ＋AC ＋ AD)．2→ → → → 答案：在四周体A-BCD 中， G 为△ BCD 的重心，则 AG ＝1(AB ＋AC ＋AD )2－1＝ 4.则可猜想 x2n ＋ x － 2n (n ∈N * )的个位数字是 ________．15．设 x ∈ R ，若 x ＋ x2 － 2－ 1 2－ 2＝ 14；分析： n ＝ 1 时， x ＋ x ＝( x ＋x)4 －42 － 2 22 ；n ＝2 时， x ＋ x ＝ (x ＋ x) －2＝ 14 －2＝1948－84－ 4 22n ＝3 时， x ＋ x ＝ (x ＋ x ) －2＝ 194 －2，由于 1942 的个位数字是 6，所以 1942－ 2 的个位数字是 4.猜想可得 x2n ＋ x － 2n (n ∈ N * )的个位数字是 4.答案： 416．已知 f (x)＝ x 3＋ 3x 2＋ a(a 为常数 )，在上有最小值3，那么在上 f(x)的最大值是 ________．2分析： f ′(x)＝ 3x ＋ 6x ＝ 3x(x ＋ 2)，当 x ∈时， f ′ (x)＞ 0，f(x)单一递加，当 x ∈ (－ 2，0)时，f ′ ( x)＜ 0， f (x)单一递减，所以极大值为 f(－ 2)＝ a ＋4，极小值为 f(0) ＝ a ，又 f(－ 3)＝ a ， f(3) ＝ 54＋ a ，由条件知 a ＝ 3，所以最大值为f(3)＝ 54＋ 3＝57.答案： 57三、解答题 (本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出必需的文字说明、证明过程或演算步骤 )17．(本小题满分 10 分 )已知 a ∈R ，问复数 z ＝ (a 2－ 2a ＋4)－ (a 2－ 2a ＋ 2)i 所对应的点在第几象限？复数 z 对应点的轨迹是什么？解：由 a 2－ 2a ＋ 4＝ (a － 1)2＋ 3≥3. － (a 2－ 2a ＋ 2)＝－ ( a － 1)2 － 1≤－ 1. 知 z 的实部为正数，虚部为负数，所以复数 z 的对应点在第四象限．x ＝ a 2－ 2a ＋ 4，设 z ＝ x ＋ yi(x ， y ∈R) ，则 y ＝－（ a 2－ 2a ＋2），由于 a 2－ 2a ＝ (a － 1)2－ 1≥－ 1，所以 x ＝ a 2－ 2a ＋ 4≥3，消去 a 2－ 2a ，得 y ＝－ x ＋ 2(x ≥3)，所以复数 z 对应点的轨迹是一条射线，其方程为 y ＝－ x ＋2(x ≥3)．18． (本小题满分 12 分 )设 a ， b ， c 为一个三角形的三边，S ＝ 1 (a ＋ b ＋ c)，且 S 2＝ 2ab ，2求证： S ＜ 2a.2证明：由于 S ＝ 2ab ，S 2只要证 S ＜ b ，即 b ＜ S. 由于 S ＝ 1(a ＋ b ＋ c)，2只要证 2b ＜ a ＋ b ＋ c ，即证 b ＜ a ＋ c.由于 a ， b ， c 为三角形三边，所以 b ＜ a ＋ c 建立，所以 S ＜2a 建立．→→19． (本小题满分 12 分 )设 O 为坐标原点，已知向量 OZ 1，OZ 2分别对应复数 z 1， z 2 ，且3 － (10－ a 2)i ，z 2＝ 2＋ (2a － 5)i ，a ∈ R ，若 z 1＋ z 2 能够与随意实数比较大小， → →z 1＝求 OZ 1·OZ 2 a ＋ 5 1－ a的值．解：依题意得 z 1＋ z 2 为实数，由于 z ＋ z ＝3＋ 2＋ i ，12a ＋ 5 1－ aa 2＋ 2a － 15＝ 0，所以 a ＋ 5≠0，解得 a ＝ 3.1－ a ≠0，3此时 z 1＝ 8－ i ， z 2＝－ 1＋ i ，→ →即OZ 1＝ 3，－ 1 ， OZ 2＝ (－ 1， 1)．8 → → 311所以 OZ 1· OZ ×1＝－2＝ × (－ 1)＋ (－ 1) 8 . 820． (本小题满分12 分 )设函数 22f(x)＝ tx ＋ 2t x ＋ t － 1(x ∈ R ， t ＞ 0)．(1)求 f( x)的最小值 h(t)；(2)若h(t)＜－ 2t ＋ m 对t ∈ (0， 2)恒建立，务实数m 的取值范围．23解： (1) ∵ f(x)＝ t(x ＋ t) － t ＋ t － 1(x ∈ R ， t ＞ 0)，3∴当 x ＝－ t 时， f(x)取最小值 f(－ t)＝－ t ＋ t － 1，3即 h( t)＝－ t ＋ t － 1.(2)令 g(t)＝ h(t)－ (－ 2t ＋ m)＝－ t 3＋ 3t － 1－m ，由 g ′(t)＝－ 3t 2＋ 3＝ 0 得 t ＝ 1 或 t ＝－ 1(不合题意，舍去 )．当 t 变化时， g ′ (t)， g(t)的变化状况以下表：t (0， 1) 1 (1， 2) g ′t ＋ 0－ g( t)单一递加极大值 1－m单一递减∴ g(t)在 (0， 2)内有最大值 g(1) ＝1－ m.h(t)＜－ 2t ＋ m 在 (0， 2)内恒建立等价于 g(t) ＜ 0 在 (0， 2)内恒建立，即等价于 1－ m ＜ 0，∴ m 的取值范围为 (1，＋ ∞)．21． (本小题满分12 分 )已知函数 f(x)＝ x 2－ 2(a ＋ 1)x ＋ 2aln x(a ＞ 0)．(1) 当 a ＝ 1 时，求曲线 y ＝ f (x)在点 (1， f(1))处的切线方程； (2) 求 f( x)的单一区间；(3) 若 f( x) ≤0在区间上恒建立，务实数a 的取值范围．解： (1) 由于 a ＝ 1，所以 f(x)＝ x 2－ 4x ＋ 2ln x ，2x 2－ 4x ＋ 2所以 f ′(x)＝ x(x ＞ 0)， f(1)＝－ 3， f ′ (1)＝ 0，所以切线方程为y ＝－ 3.2x 2－ 2（ a ＋1） x ＋ 2a 2（ x － 1）（ x － a ）(x ＞ 0)， (2)f ′(x)＝ x ＝x令 f ′(x)＝ 0 得 x 1＝ a ， x 2＝ 1，当 0＜a ＜ 1 时，在 x ∈ (0， a)或 x ∈ (1，＋ ∞)时， f ′ (x)＞ 0，在 x ∈ (a ， 1)时， f ′ (x)＜ 0，所以 f(x)的单一递加区间为(0， a)和 (1，＋ ∞)，单一递减区间为 (a ， 1)；2当 a ＝1 时， f ′ (x)＝2（x －1）≥ 0，所以 f(x)的单一递加区间为 (0，＋ ∞)；x当 a ＞ 1 时，在 x ∈ (0， 1)或 x ∈ (a ，＋ ∞)时， f ′ (x)＞ 0，在 x ∈ (1， a)时， f ′(x)＜ 0，所以 f(x)的单一增区间为 (0， 1)和 ( a ，＋ ∞)，单一递减区间为 (1， a)．(3)由 (2)可知， f (x)在区间上只可能有极小值点，所以f (x)在区间上的最大值必在区间端点取到，22 e － 2e所以 f(1)＝ 1－ 2(a＋ 1) ≤0且 f(e)＝ e－ 2(a＋ 1)e＋ 2a≤0，解得 a≥，所以 a 的取范2e－ 2e2－ 2e是 a|a≥2e－2 .22．(本小分12 分 )能否存在常数12＋22＋⋯＋n2a，b，使等式1×33× 5（ 2n－ 1）（ 2n＋ 1）＝an2＋ n*都建立？若不存在，明原因；若存在，用数学法明．全部 n∈Nbn＋ 21＝ a＋ 1，＋2解：假存在常数a， b 使等式建立，将 n＝ 1， n＝ 2 代入上式，有b1＋ 4 ＝4a＋ 2，315＋22b 得 a＝1， b＝ 4，即有12＋22＋⋯ ＋n22n＋ 1）＝n2＋n于全部 n∈N *都建立．1×3 3× 5（ 2n－ 1）（4n＋ 2明以下：(1)当 n＝ 1 ，左＝12＝1，右＝1＋ 1＝1，所以等式建立．1×334× ＋231(2)假 n＝ k( k≥1，且 k∈ N * )等式建立，即12＋ 22＋⋯＋k22k＋1）＝ k2＋ k ，1×3 3×5（ 2k－ 1）（4k＋ 2当 n＝ k＋ 1 ，222（ k＋1）21＋2＋⋯＋k＋＝2k＋1×3 3×5（ 2k－ 1）（1）（ 2k＋ 1）（2k＋ 3）k2＋ k ＋（ k＋1）2＝ k＋ 1 k＋ k＋ 1＝＋2（ 2k＋ 1）（ 2k＋ 3）2k＋122k＋34kk＋ 1·2k2＋ 5k＋ 2k＋ 1（ 2k＋ 1）（ k＋ 2）＝·2（ 2k＋ 3）＝2k＋ 12（ 2k＋ 3） 2k＋ 1（ k＋1）（ k＋ 2）（ k＋ 1）2＋ k＋ 1，4k＋ 6＝4（ k＋ 1）＋ 2也就是，当 n＝ k＋ 1 ，等式建立，上所述，等式任何n∈ N*都建立．。

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模块综合检测卷(测试时间：120分钟评价分值：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2014·高考天津卷)i 是虚数单位，复数7＋i3＋4i ＝(A )A ．1－iB ．－1＋i C.1725＋3125i D ．－177＋257i 解析：7＋i3＋4i＝（7＋i ）（3－4i ）25＝25－25i 25＝1－i ，故选A.2．i 是虚数单位，在复平面上复数2－i1＋i 对应的点到原点的距离是(D )A.22B.52 C.62 D.102解析：2－i1＋i ＝（2－i ）（1－i ）2＝1－3i 2，所以复数2－i 1＋i在复平面上对应的点为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32，它到原点的距离为（12）2＋（－32）2＝102.故选D.3．(2015·广东江门调研)i 是虚数单位，则(32i －12)(－12＋32i)＝(D )A ．1B ．－12＋32iC.12－32i D ．－12－32i 解析：⎝ ⎛⎭⎪⎫32i －12⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i ＝－34i －34＋14－34i ＝－12－32i.故选D.4．数列2，5，11，20，x ，47，…中的x 等于(B ) A ．28 B ．32 C ．33 D ．27解析：由题中数字可发现：2＋3＝5，5＋6＝11，11＋9＝20，故20＋12＝32.5．(2015·海南省海南中学5月模拟改编)已知直线y ＝2x ＋1与曲线y ＝x 3＋ax ＋b 相切于点(1，3)，则实数b 的值为(C )A ．1B ．－3C ．3D ．－1解析：y ′＝3x 2＋a ，所以有⎩⎨⎧1＋a ＋b ＝3，3＋a ＝2，解得⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝3.故选C.6．(2014·高考山东卷)用反证法证明命题“设a ，b 为实数，则方程x 2＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”时，要做的假设是(A)A ．方程x 2＋ax ＋b ＝0没有实根B ．方程x 2＋ax ＋b ＝0至多有一个实根C ．方程x 2＋ax ＋b ＝0至多有两个实根D．方程x2＋ax＋b＝0恰好有两个实根解析：反证法的步骤第一步是假设命题反面成立，而“至少有一个根”的否定是“没有”，故选A.7．在复平面内，若复数z满足|z＋1|＝|1＋i z|，则z在复平面内对应点的轨迹是(A)A．直线B．圆C．椭圆D．抛物线解析：设z＝x＋y i(x、y∈R)，|x＋1＋y i|＝（x＋1）2＋y2，|1＋i z|＝|1＋i(x＋y i)|＝（y－1）2＋x2，则（x＋1）2＋y2＝（y－1）2＋x2.∴复数z＝x＋y i对应点(x，y)的轨迹为到点(－1，0)和(0，1)距离相等的直线．8．如图，阴影部分面积为(B)解析：9．一个物体的运动方程为s ＝1－t ＋t 2，其中s 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是(C )A ．7米/秒B ．6米/秒C ．5米/秒D ．8米/秒解析：s ′(t )＝2t －1，s ′(3)＝2×3－1＝5.10．(2015·安徽江淮十校4月联考)二次函数f (x )的图像经过点⎝⎛⎭⎪⎫0，32，且f ′(x )＝－x －1，则不等式f (10x )>0的解集为(D )A ．(－3，1)B ．(－lg3，0)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫11000，1 D ．(－∞，0) 解析：由f ′(x )＝－x －1知f (x )＝－x 2－x ＋m ，又f (0)＝32，所以m ＝32，即f (x )＝－12x 2－x ＋32，f (x )＝－12x 2－x ＋32>0⇒－3<x <1，所以10x <1，x <0，故选D.11．(2014·高考新课标全国Ⅰ卷)已知函数f (x )＝ax 3－3x 2＋1，若f (x )存在唯一的零点x 0，且x 0>0，则a 的取值范围是(C )A ．(2，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，－2)D ．(－∞，－1)解析：当a ＝0时，f (x )＝－3x 2＋1，函数f (x )有两个零点33和－33，不满足题意，舍去；当a >0时，f ′(x )＝3ax 2－6x ，令f ′(x )＝0 ，得x ＝0或x ＝2a ，x ∈(－∞，0)时，f ′(x )>0；x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2a 时，f ′(x )<0；x ∈⎝⎛⎭⎪⎫2a ，＋∞时，f ′(x )>0，且f (0)>0，此时在x ∈(－∞，0)必有零点，故不满足题意，舍去；当a <0时，x ∈⎝⎛⎭⎪⎫－∞，2a 时，f ′(x )<0，x ∈⎝⎛⎭⎪⎫2a ，0时，f ′(x )>0；x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )<0，且f (0)>0，要使得f (x )存在唯一的零点x 0，且x 0>0，只需f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a >0，即a 2>4，则a <－2，选C.12．若数列{a n }是等差数列，则数列{b n }⎝ ⎛⎭⎪⎫b n ＝a 1＋a 2＋…＋a n n 也为等差数列．类比这一性质可知，若正项数列{c n }是等比数列，且{d n }也是等比数列，则d n 的表达式应为(D)A ．d n ＝c 1＋c 2＋…＋c 12nB ．d n ＝c 1·c 2·…·c nnC ．d n ＝n c n 1＋c n 2＋…＋c nnnD ．d n ＝nc 1·c 2·…·c n解析：若{a n }是等差数列，则a 1＋a 2＋…＋a n ＝na 1＋n （n －1）2d ，∴b n ＝a 1＋（n －1）2d ＝d 2n ＋a 1－d2，即{b n }为等差数列；若{c n }是等比数列，则c 1·c 2·…·c n ＝c n 1·q1＋2＋…＋(n －1)＝c n 1·q n （n －1）2， ∴d n ＝nc 1·c 2·…·c n ＝c 1·q n －12，即{d n }为等比数列，故选D.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分；将正确答案填在题中的横线上)13．解析：答案：1214．已知函数f (x )＝3x －x 3，当x ＝a 时取得极大值b ，则a ＋b 等于______________．解析：由f ′(x )＝3－3x 2＝0，解得x ＝±1，当x ＜－1，f ′(x )＜0；当－1＜x ＜1，f ′(x )＞0；当x ＞1，f ′(x )＜0.故f (x )在x ＝1处取得极大值，所以a ＝1，b ＝3×1－13＝2，所以a ＋b ＝3.答案：315．若数列{}a n 的通项公式a n ＝1（n ＋1）2(n ∈N *)，记f (n )＝(1－a 1)(1－a 2)…(1－a n )，试通过计算f (1)，f (2)，f (3)的值，推测出f (n )＝________．解析：f (n )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－122⎝ ⎛⎭⎪⎫1－132…[1－1（n ＋1）2]＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13…(1－1n ＋1)(1＋1n ＋1)＝12×32×23×43×34×…×n n ＋1×n ＋2n ＋1＝n ＋22n ＋2.答案：n ＋22n ＋216．观察下图中各正方形图案，每条边上有n (n ≥2)个点，第n 个图案中圆点的总数是S n .n ＝2，S 2＝4，n ＝3，S 3＝8，n ＝4，S 4＝12，…，按此规律，推出S n 与n 的关系式为________．解析：依图的构造规律可以看出： S 2＝2×4－4， S 3＝3×4－4，S 4＝4×4－4(正方形四个顶点重复计算一次，应减去)． ……猜想：S n ＝4n －4(n ≥2，n ∈N *)．答案：S n ＝4n －4(n ≥2，n ∈N *)三、解答题(本大题共6小题，共70分；解答时应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤)17．(本小题满分11分)已知z 是复数，z ＋2i ，z2－i 均为实数，且(z ＋a i)2的对应点在第一象限，求实数a 的取值范围．解析：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R)．则z ＋2i ＝x ＋(y ＋2)i 为实数，∴y ＝－2.又＝z2－i ＝x －2i 2－i ＝15(x －2i)·(2＋i)＝15(2x ＋2)＋15(x －4)i 为实数，∴x ＝4，∴z ＝4－2i.又∵(z ＋a i)2＝(4－2i ＋a i)2＝(12＋4a －a 2)＋8(a －2)i 在第一象限，∴⎩⎨⎧12＋4a －a 2>0，8（a －2）>0，解得2<a <6，∴实数a 的取值范围是(2，6)．18．(本小题满分11分)设a 为实数，函数f (x )＝x 3－x 2－x ＋a ，若函数f (x )过点A (1，0)，求函数在区间[－1，3]上的最值．解析：因为函数过点A (1，0)，代入函数的解析式得a ＝1；f ′(x )＝3x 2－2x －1.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况见下表：所以f (x )的最大值是f (3)＝16，最小值是f (－1)＝f (1)＝0.19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝a x＋x －2x ＋1(a >1)．(1)证明：函数f (x )在(－1，＋∞)上为增函数； (2)用反证法证明方程f (x )＝0没有负根．证明：(1)f ′(x )＝a xln a ＋x ＋1－（x －2）（x ＋1）2＝a xln a ＋3（x ＋1）2，因为a ＞1，所以ln a ＞0，所以f ′(x )＞0在(－1，＋∞)上恒成立，即f (x )在(－1，＋∞)上为增函数．(2)设存在x 0＜0(x 0≠－1)满足f (x 0)＝0，则ax 0＝－x 0－2x 0＋1，且0＜ax 0＜1.所以0＜－x 0－2x 0＋1<1，即12＜x 0＜2，与假设x 0＜0矛盾．故方程f (x )＝0没有负数根．20．(本小题满分12分)已知f (x )＝－x 3＋ax ，其中a ∈R ，g (x )＝－12x 32，且f (x )<g (x )在(0，1]上恒成立．求实数a 的取值范围．解析：设F (x )＝f (x )－g (x )＝－x 3＋ax ＋12x 32，∵f (x )<g (x )在(0，1]上恒成立；F (x )<0在(0，1]上恒成立，∴a <x 2－12x 12，这样，要求a 的取值范围，使得上式在区间(0，1]上恒成立，只需求函数h (x )＝x 2－12x 12在(0，1]上的最小值．∵h ′(x )＝2x －14x ＝（2x －1）（4x ＋2x ＋1）4x，由h ′(x )＝0，(2x －1)(4x ＋2x ＋1)＝0.∵4x ＋2x ＋1>0，∴2x －1＝0，x ＝14.又∵x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14时，h ′(x )<0，x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤14，1时，h ′(x )>0，∴x ＝14时，h (x )有最小值h ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝－316，∴a <－316.21．(本小题满分12分)设f (x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，若a ＋b ＋c ＝0，f (0)·f (1)>0，求证：(1)方程f (x )＝0有实根； (2)－2<ba<－1；(3)设x 1，x 2是方程f (x )＝0的两个实根，则33≤|x 1－x 2|<23.证明：(1)若a ＝0，b ＝－c ，f (0)·f (1)＝c (3a ＋2b ＋c )＝－c 2≤0，与已知矛盾，所以a ≠0. 方程3ax 2＋2bx ＋c ＝0的判别式Δ＝4(b 2－3ac )，由条件a ＋b ＋c ＝0，消去b ，得Δ＝4(a 2＋c 2－ac )＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤（a －12c ）2＋34c 2>0.故方程f (x )＝0有实根．(2)由f (0)·f (1)>0，得c (3a ＋2b ＋c )>0.由条件a ＋b ＋c ＝0，消去c ，得(a ＋b )(2a ＋b )<0.∵a 2>0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋b a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋b a <0.故－2<b a <－1. (3)由条件，知x 1＋x 2＝－2b 3a ，x 1x 2＝c 3a ＝－a ＋b 3a， ∴(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝49⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋322＋13. ∵－2<b a <－1，∴13≤(x 1－x 2)2<49.故33≤|x 1－x 2|<23. 22．(本小题满分12分)(2015·佛山一模)设函数f (x )＝e x x －a 的导函数为f ′(x )(a 为常数，e ＝2.71828…是自然对数的底数)．(1)讨论函数f (x )的单调性；(2)求实数a ，使曲线y ＝f (x )在点(a ＋2，f (a ＋2))处的切线斜率为－a 3＋6a 2＋12a ＋74. 解析：(1)函数f (x )的定义域是(－∞，a )∪(a ，＋∞)，对f (x )求导得：f ′(x )＝e x （x －a －1）（x ＋a ）2，由f ′(x )>0得x >a ＋1；由f ′(x )<0得x <a 或a <x <a ＋1，所以f (x )在(－∞，a )，(a ，a ＋1)上单调递减，在(a ＋1，＋∞)上单调递增．(2)由(Ⅰ)得f ′(a ＋2)＝e a ＋24，令e a＋24＝－a3＋6a2＋12a＋74得e a＋2＋a3＋6a2＋12a＋7＝0………①令a＋2＝t，则有e t＋t3－1＝0，令h(t)＝e t＋t3－1，则h′(t)＝e t＋3t2>0，故h(t)是R上的增函数，又h(0)＝0，因此0是h(t)的唯一零点，即－2是方程①的唯一实数解，故存在唯一实数a＝－2满足题设条件．。