2017年秋季学期新版新人教版八年级数学上学期15.1.1、从分数到分式同步练习14
2017年秋季学期新版新人教版八年级数学上学期15.1.1、从分数到分式学案6
1．了解分式的概念。
2．能够通过分式的定义理解和掌握分式有意义的条件.
理解分式有意义的条件
准确找出分式有意义的条件
学习过程
批注
【合作复习】
1.整式的概念?
2.在代数式 中，单项式有____________________，多项式有_________________________,整式有_________________________________________________.
【课后反思】
(2)走一 段长10千米的路,步行用 小时,骑自行车所用时间比步行所用时间的一半0.2小时,骑自行车的平均速度为__________（）
(3 )甲完成一项工作需 小时,乙完成同样工作比甲少用1小时,乙的工作效率为_________( )
2.下列各式中,哪些是整式,哪些是分式?整式下面划“√”,分式下面划“×”
2. 下列各式中,哪些是分式,哪些是整式?整式下面划“√”,分式下面划“×”
3.下列分式中的字母满足什么条件时分式有意义?
(1) (2) (3) (4)
(5) (6) (7)
4.下列分式中的字母满足什么条件时分式无意义?
(1) (2) (3)
5.选做题:下列分式中的字母满足什么 条件时分式的值为零?
(1) (2)
【合作交 流】
要求:1.将自己在自学中遇到的问题在组内提 出,请求帮助.
2.组内订正“自学检测”,讨论得出解决各类型题的方法,完成下列 各题.
1.判断一个式子是否为分式关键是____________________________
2.对于分式 ：
( 1)当________时,分式有意义.
3．当 ___________时,分式 有意义;
2017年秋季学期新版新人教版八年级数学上学期15.1.1、从分数到分式教案17
16.1.1从分数到分式一、 教学目标1． 了解分式、有理式的概念.2．理解分式有意义的条件，分式的值为零的条件；能熟练地求出分式有意义的条件，分式的值为零的条件.二、重点、难点1．重点：理解分式有意义的条件，分式的值为零的条件.2．难点：能熟练地求出分式有意义的条件，分式的值为零的条件.三、课堂引入1．让学生填写P4[思考]，学生自己依次填出：710，a s ，33200，sv .2．学生看P3的问题：一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时，它沿江以最大航速顺流航行100千米所用实践，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的流速为多少？请同学们跟着教师一起设未知数，列方程.设江水的流速为x 千米/时.轮船顺流航行100千米所用的时间为v +20100小时，逆流航行60千米所用时间v-2060小时，所以v +20100=v-2060.3. 以上的式子v +20100，v -2060，a s ，sv ，有什么共同点？它们与分数有什么相同点和不同点？五、例题讲解P5例1. 当x 为何值时，分式有意义.[分析]已知分式有意义，就可以知道分式的分母不为零，进一步解出字母x 的取值范围.[提问]如果题目为：当x 为何值时，分式无意义.你知道怎么解题吗？这样可以使学生一题二用，也可以让学生更全面地感受到分式及有关概念.(补充)例2. 当m 为何值时，分式的值为0？ （1） （2） (3) [分析] 分式的值为0时，必须同时．．满足两个条件：○1分母不能为零；○2分子为零，这样求出的m 的解集中的公共部分，就是这类题目的解.[答案] （1）m=0 （2）m=2 （3）m=1六、随堂练习1．判断下列各式哪些是整式，哪些是分式？ 9x+4, x 7 , 209y +, 54-m , 238y y -，91-x 2. 当x 取何值时，下列分式有意义？（1） （2） （3） 3. 当x 为何值时，分式的值为0？ （1） （2） (3) 1-m m 32+-m m 112+-m m 4522--x x x x 235-+23+x x x 57+xx 3217-x x x --221七、课后练习1.列代数式表示下列数量关系，并指出哪些是正是？哪些是分式？(1）甲每小时做x 个零件，则他8小时做零件 个，做80个零件需 小时.（2）轮船在静水中每小时走a 千米，水流的速度是b 千米/时，轮船的顺流速度是 千米/时，轮船的逆流速度是 千米/时.(3)x 与y 的差于4的商是 .2．当x 取何值时，分式 无意义？ 3. 当x 为何值时，分式的值为0？ 八、答案：六、1.整式：9x+4, 209y +, 54-m 分式： x 7 , 238y y -，91-x 2．(1）x ≠-2 （2）x ≠ （3）x ≠±2 3．（1）x=-7 （2）x=0 (3)x=-1七、1．18x, ,a+b, b a s +,4y x -; 整式：8x, a+b, 4y x -; 分式：x80, b a s + 2． X = 3. x=-1课后反思：x 802332xx x --12312-+x x。
八年级数学上册 15.1 分式 15.1.1 从分数到分式教学设计 (新版)新人教版
八年级数学上册 15.1 分式 15.1.1 从分数到分式教学设计（新版）新人教版一. 教材分析《八年级数学上册》第15.1节主要介绍分式的概念。
通过这一节的学习，学生能够理解分数与分式的联系，掌握分式的基本性质，并能够进行简单的分式运算。
本节内容是整个分式部分的基础，对于学生来说具有重要的意义。
二. 学情分析八年级的学生已经掌握了分数的基本知识，对于分数的加减乘除等运算也有一定的了解。
但是，学生对于分数与分式的区别和联系可能还不是很清楚，对于分式的运算也可能会感到困惑。
因此，在教学过程中，需要引导学生理解分数与分式的关系，并通过具体的例子让学生掌握分式的运算方法。
三. 教学目标1.知识与技能：学生能够理解分数与分式的联系，掌握分式的基本性质，并能够进行简单的分式运算。
2.过程与方法：学生通过观察、思考、操作等活动，培养自己的观察能力、思维能力和动手能力。
3.情感态度与价值观：学生能够积极参与课堂活动，对数学产生兴趣，培养自己的抽象思维能力。
四. 教学重难点1.重点：分数与分式的联系，分式的基本性质，分式的运算方法。
2.难点：分式的运算规律，分式方程的解法。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作法。
通过设置问题引导学生思考，通过具体的案例让学生理解分式的概念和运算方法，通过小组合作让学生互相交流和探讨，提高学生的学习效果。
六. 教学准备1.教学课件：制作精美的教学课件，帮助学生直观地理解分式的概念和运算方法。
2.教学案例：准备一些具体的案例，让学生通过观察和操作来理解分式的运算方法。
3.练习题：准备一些练习题，让学生在课堂上进行练习，巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过提问方式引导学生回顾分数的基本知识，如分数的定义、分数的加减乘除等。
然后引导学生思考分数与分式的关系，引出分式的概念。
2.呈现（15分钟）利用教学课件呈现分式的定义和基本性质，让学生直观地理解分式的概念。
【人教版】2017年秋八上数学：第15章《分式》全章教案
2017年八年级数学上册第十五章 分式15．1 分 式 15．1.1 从分数到分式1．以描述实际问题中的数量关系为背景抽象出分式的概念，建立数学模型，并理解分式的概念．2．能够通过分式的定义理解和掌握分式有意义的条件．重点理解分式有意义的条件及分式的值为零的条件． 难点能熟练地求出分式有意义的条件及分式的值为零的条件．一、复习引入1．什么是整式？什么是单项式？什么是多项式？ 2．判断下列各式中，哪些是整式？哪些不是整式？①8m ＋n 3；②1＋x ＋y 2；③a 2b ＋ab 23；④a ＋b 2；⑤2x 2＋2x ＋1；⑥3a 2＋b 2；⑦3x 2－42x .二、探究新知 1．分式的定义(1)学生看教材的问题：一艘轮船在静水中的最大航速为30千米/时，它沿江以最大航速顺流航行90千米所用时间，与以最大航速逆流航行60千米所用的时间相等，江水的流速为多少？分析：设江水的流速为v 千米/时．轮船顺流航行90千米所用的时间为9030＋v 小时，逆流航行60千米所用时间为6030－v 小时，所以9030＋v ＝6030－v.(2)学生完成教材第127页“思考”中的题．观察：以上的式子9030＋v ，6030－v ，S a ，Vs ，有什么共同点？它们与分数有什么相同点和不同点？可以发现，这些式子都像分数一样都是AB (即A÷B)的形式．分数的分子A 与分母B 都是整数，而这些式子中的A ，B 都是整式，并且B 中都含有字母．归纳：一般地，如果A ，B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子AB 叫做分式．巩固练习：教材第129页练习第2题．2．自学教材第128页思考：要使分式有意义，分式中的分母应满足什么条件？分式的分母表示除数，由于除数不能为0，所以分式的分母不能为0，即当B ≠0时，分式AB才有意义． 学生自学例1.例1 下列分式中的字母满足什么条件时分式有意义？(1)23x ；(2)x x －1；(3)15－3b ；(4)x ＋y x －y. 解：(1)要使分式23x 有意义，则分母3x ≠0，即x ≠0；(2)要使分式xx －1有意义，则分母x －1≠0，即x ≠1；(3)要使分式15－3b 有意义，则分母5－3b ≠0，即b ≠53；(4)要使分式x ＋yx －y有意义，则分母x －y ≠0，即x ≠y.思考：如果题目为：当x 为何值时，分式无意义．你知道怎么解题吗？ 巩固练习：教材第129页练习第3题．3．补充例题：当m 为何值时，分式的值为0? (1)mm －1；(2)m －2m ＋3；(3)m 2－1m ＋1. 思考：当分式为0时，分式的分子、分母各满足什么条件？分析：分式的值为0时，必须同时满足两个条件：(1)分母不能为零；(2)分子为零． 答案：(1)m ＝0；(2)m ＝2；(3)m ＝1. 三、归纳总结 1．分式的概念．2．分式的分母不为0时，分式有意义；分式的分母为0时，分式无意义． 3．分式的值为零的条件：(1)分母不能为零；(2)分子为零． 四、布置作业教材第133页习题15.1第2，3题．在引入分式这个概念之前先复习分数的概念，通过类比来自主探究分式的概念，分式有意义的条件，分式值为零的条件，从而更好更快地掌握这些知识点，同时也培养学生利用类比转化的数学思想方法解决问题的能力．15．1.2 分式的基本性质(2课时)第1课时 分式的基本性质1．了解分式的基本性质，灵活运用分式的基本性质进行分式的变形． 2．会用分式的基本性质求分式变形中的符号法则．重点理解并掌握分式的基本性质． 难点灵活运用分式的基本性质进行分式变形．一、类比引新 1．计算：(1)56×215；(2)45÷815. 思考：在运算过程中运用了什么性质？教师出示问题．学生独立计算后回答：运用了分数的基本性质． 2．你能说出分数的基本性质吗？分数的分子与分母都乘(或除以)同一个不为零的数，分数的值不变． 3．尝试用字母表示分数的基本性质：小组讨论交流如何用字母表示分数的基本性质，然后写出分数的基本性质的字母表达式． a b ＝a·c b·c ，a b ＝a÷cb÷c.(其中a ，b ，c 是实数，且c ≠0) 二、探究新知1．分式与分数也有类似的性质，你能说出分式的基本性质吗？分式的基本性质：分式的分子与分母乘(或除以)同一个不为零的整式，分式的值不变． 你能用式子表示这个性质吗？A B ＝A·C B·C ，A B ＝A÷C B÷C .(其中A ，B ，C 是整式，且C ≠0) 如x 2x ＝12，b a ＝aba2，你还能举几个例子吗？ 回顾分数的基本性质，让学生类比写出分式的基本性质，这是从具体到抽象的过程． 学生尝试着用式子表示分式的性质，加强对学生的抽象表达能力的培养． 2．想一想下列等式成立吗？为什么？ －a －b ＝a b ；－a b ＝a －b＝－a b .教师出示问题．学生小组讨论、交流、总结．例1 不改变分式的值，使下列分式的分子与分母都不含“－”号： (1)－2a －3a；(2)－3x 2y ；(3)－－x 2y .例2 不改变分式的值，使下列分式的分子与分母的最高次项的系数都化为正数： (1)x ＋1－2x －1；(2)2－x －x 2＋3；(3)－x －1x ＋1. 引导学生在完成习题的基础上进行归纳，使学生掌握分式的变号法则． 例3 填空：(1)x 3xy ＝（ ）y ，3x 2＋3xy6x 2＝x ＋y （ ）； (2)1ab ＝（ ）a 2b ，2a －b a 2＝（ ）a 2b.(b ≠0) 解：(1)因为x 3xy 的分母xy 除以x 才能化为y ，为保证分式的值不变，根据分式的基本性质，分子也需除以x ，即x 3xy ＝x 3÷x xy ÷x ＝x 2y. 同样地，因为3x 2＋3xy6x2的分子3x 2＋3xy 除以3x 才能化为x ＋y ，所以分母也需除以3x ，即3x 2＋3xy 6x 2＝（3x 2＋3xy ）÷（3x ）6x 2÷（3x ）＝x ＋y2x . 所以，括号中应分别填入x 2和2x.(2)因为1ab 的分母ab 乘a 才能化为a 2b ，为保证分式的值不变，根据分式的基本性质，分子也需乘a ，即1ab ＝1·a ab·a ＝a a 2b. 同样地，因为2a －ba 2的分母a 2乘b 才能化为a 2b ，所以分子也需乘b ，即2a －b a 2＝（2a －b ）·b a 2·b＝2ab －b 2a 2b . 所以，括号中应分别填a 和2ab －b 2.在解决例题1，2的第(2)小题时，教师可以引导学生观察等式两边的分母发生的变化，再思考分式的分子如何变化；在解决例2的第(1)小题时，教师引导学生观察等式两边的分子发生的变化，再思考分式的分母随之应该如何变化．三、课堂小结1．分式的基本性质是什么？ 2．分式的变号法则是什么？3．如何利用分式的基本性质进行分式的变形？ 学生在教师的引导下整理知识、理顺思维． 四、布置作业教材第133页习题15.1第4，5题．通过算数中分数的基本性质，用类比的方法给出分式的基本性质，学生接受起来并不感到困难，但要重点强调分子分母同乘(或除)的整式不能为零，让学生养成严谨的态度和习惯．第2课时 分式的约分、通分1．类比分数的约分、通分，理解分式约分、通分的意义，理解最简公分母的概念． 2．类比分数的约分、通分，掌握分式约分、通分的方法与步骤．重点运用分式的基本性质正确地进行分式的约分与通分． 难点通分时最简分分母的确定；运用通分法则将分式进行变形．一、类比引新1．在计算56×215时，我们采用了“约分”的方法，分数的约分约去的是什么？分式a 2＋ab a 2b ，a ＋bab相等吗？为什么？利用分式的基本性质，分式a 2＋aba 2b 约去分子与分母的公因式a ，并不改变分式的值，可以得到a ＋b ab.教师点拨：分式a 2＋ab a 2b 可以化为a ＋bab ，我们把这样的分式变形叫做__分式的约分__．2．怎样计算45＋67？怎样把45，67通分？类似的，你能把分式a b ，cd变成同分母的分式吗？利用分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，我们把这样的分式变形叫做__分式的通分__．二、探究新知1．约分：(1)－25a 2bc 315ab 2c ；(2)x 2－9x 2＋6x ＋9；(3)6x 2－12xy ＋6y 23x －3y.分析：为约分，要先找出分子和分母的公因式． 解：(1)－25a 2bc 315ab 2c ＝－5abc ·5ac 25abc ·3b ＝－5ac 23b ；(2)x 2－9x 2＋6x ＋9＝（x ＋3）（x －3）（x ＋3）2＝x －3x ＋3； (3)6x 2－12xy ＋6y 23x －3y ＝6（x －y ）23（x －y ）＝2(x －y )．若分子和分母都是多项式，则往往需要把分子、分母分解因式(即化成乘积的形式)，然后才能进行约分．约分后，分子与分母没有公因式，我们把这样的分式称为__最简分式__．(不能再化简的分式)2．练习：约分：2ax 2y 3axy 2；－2a （a ＋b ）3b （a ＋b ）；（a －x ）2（x －a ）3；x 2－4xy ＋2y ；m 2－3m 9－m 2；992－198.学生先独立完成，再小组交流，集体订正．3．讨论：分式12x 3y 2z ，14x 2y 3，16xy4的最简公分母是什么？提出最简公分母概念．一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母，它叫做最简公分母．学生讨论、小组交流、总结得出求最简公分母的步骤： (1)系数取各分式的分母中系数最小公倍数； (2)各分式的分母中所有字母或因式都要取到； (3)相同字母(或因式)的幂取指数最大的；(4)所得的系数的最小公倍数与各字母(或因式)的最高次幂的积(其中系数都取正数)即为最简公分母．4．通分：(1)32a 2b 与a －b ab 2c ；(2)2x x －5与3xx ＋5 .分析：为通分，要先确定各分式的公分母．解：(1)最简公分母是2a 2b 2c . 32a 2b ＝3·bc 2a 2b ·bc ＝3bc2a 2b 2c ， a －b ab 2c ＝（a －b ）·2a ab 2c ·2a ＝2a 2－2ab2a 2b 2c . (2)最简公分母是(x －5)(x ＋5)． 2xx －5＝2x （x ＋5）（x －5）（x ＋5）＝2x 2＋10x x 2－25， 3x x ＋5＝3x （x －5）（x ＋5）（x －5）＝3x 2－15x x 2－25. 5．练习： 通分：(1)13x 2与512xy ；(2)1x 2＋x 与1x 2－x ；(3)1（2－x ）2与xx 2－4. 教师引导：通分的关键是先确定最简公分母；如果分式的分母是多项式则应先将分母分解因式，再按上述的方法确定分式的最简公分母．学生板演并互批及时纠错．6．思考：分数和分式在约分和通分的做法上有什么共同点？这些做法的根据是什么？ 教师让学生讨论、交流，师生共同作以小结． 三、课堂小结1．什么是分式的约分？ 怎样进行分式的约分？ 什么是最简分式？2．什么是分式的通分？ 怎样进行分式的通分？ 什么是最简公分母？3．本节课你还有哪些疑惑？ 四、布置作业教材第133页习题15.1第6，7题．本节课是在学习了分式的基本性质后学的，重点是运用分式的基本性质正确的约分和通分，约分时要注意一定要约成最简分式，熟练运用因式分解；通分时要将分式变形后再确定最简公分母．15．2 分式的运算 15．2.1 分式的乘除(2课时) 第1课时 分式的乘除法1．理解并掌握分式的乘除法则．2．运用法则进行运算，能解决一些与分式有关的实际问题．重点掌握分式的乘除运算．难点分子、分母为多项式的分式乘除法运算．一、复习导入1．分数的乘除法的法则是什么？ 2．计算：35×1512；35÷152.由分数的运算法则知35×1512＝3×155×12；35÷152＝35×215＝3×25×15.3．什么是倒数？我们在小学学习了分数的乘除法，对于分式如何进行计算呢？这就是我们这节要学习的内容．二、探究新知问题1：一个水平放置的长方体容器，其容积为V ，底面的长为a ，宽为b 时，当容器的水占容积的mn时，水面的高度是多少？问题2：大拖拉机m 天耕地a hm 2，小拖拉机n 天耕地b hm 2，大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的多少倍？问题1求容积的高V ab ·m n ，问题2求大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的a m ÷bn 倍．根据上面的计算，请同学们总结一下对分式的乘除法的法则是什么？分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母． 分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘． a b ·c d ＝a·c b·d ；a b ÷c d ＝a b ·d c ＝a·d b·c . 三、举例分析 例1 计算：(1)4x 3y ·y 2x 3；(2)ab 32c 2÷－5a 2b 24cd. 分析：这道例题就是直接应用分式的乘除法法则进行运算．应该注意的是运算结果应约分到最简，还应注意在计算时跟整式运算一样，先判断运算符号，再计算结果．解：(1)4x 3y ·y 2x 3＝4xy 6x 3y ＝23x2；(2)ab 32c 2÷－5a 2b 24cd ＝ab 32c 2·4cd －5a 2b 2＝－4ab 3cd 10a 2b 2c 2＝－2bd 5ac . 例2 计算： (1)a 2－4a ＋4a 2－2a ＋1·a －1a 2－4； (2)149－m 2÷1m 2－7m. 分析：这两题是分子与分母是多项式的情况，首先要因式分解，然后运用法则． 解：(1)原式（a －2）2（a －1）2·a －1（a ＋2）（a －2）＝a －2（a －1）（a ＋2）；(2)原式1（7－m ）（7＋m ）÷1m （m －7）＝1（7－m ）（7＋m ）·m （m －7）1＝－m m ＋7.例3 “丰收1号”小麦试验田边长为a 米(a ＞1)的正方形去掉一个边长为1米的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为(a －1)米的正方形，两块试验田的小麦都收获了500千克．(1)哪种小麦的单位面积产量高？(2)高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？ 分析：本题的实质是分式的乘除法的运用． 解：(1)略．(2)500（a －1）2÷500a 2－1＝500（a －1）2·a 2－1500＝a ＋1a －1. “丰收2号”小麦的单位面积产量是“丰收1号”小麦的单位面积产量的a ＋1a －1倍．四、随堂练习1．计算：(1)c 2ab ·a 2b 2c ；(2)－n 22m ·4m 25n 3；(3)y 7x ÷(－2x )；(4)－8xy÷2y5x ；(5)－a 2－4a 2－2a ＋1·a 2－1a 2＋4a ＋4；(6)y 2－6y ＋9y ＋2÷(3－y)．答案：(1)abc ；(2)－2m 5n ；(3)－y14；(4)－20x 2；(5)－（a ＋1）（a －2）（a －1）（a ＋2）；(6)3－y y ＋2.2．教材第137页练习1，2，3题．五、课堂小结(1)分式的乘除法法则；(2)运用法则时注意符号的变化； (3)因式分解在分式乘除法中的应用；(4)步骤要完整，结果要最简．最后结果中的分子、分母既可保持乘积的形式，也可以写成一个多项式，如（a －1）2a 或a 2－2a ＋1a.六、布置作业教材第146页习题15.2第1，2题．本节课从两个具有实际背景的问题出发，使学生在解决问题的过程中认识到分式的乘除法是由实际需要产生的，进而激发他们学习的兴趣，接着，从分数的乘除法则的角度引导学生通过观察、探究、归纳总结出分式的乘法法则．有利于学生接受新知识，而且能体现由数到式的发展过程．第2课时 分式的乘方及乘方与乘除的混合运算1．进一步熟练分式的乘除法法则，会进行分式的乘、除法的混合运算．2．理解分式乘方的原理，掌握乘方的规律，并能运用乘方规律进行分式的乘方运算．重点分式的乘方运算，分式的乘除法、乘方混合运算．难点分式的乘除法、乘方混合运算，以及分式乘法、除法、乘方运算中符号的确定．一、复习引入1．分式的乘除法法则．分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，用分母的积作为积的分母． 分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘． 2．乘方的意义：a n ＝a·a·a·…·a(n 为正整数)． 二、探究新知例1(教材例4) 计算2x 5x －3÷325x 2－9·x5x ＋3.解：2x 5x －3÷325x 2－9·x 5x ＋3＝2x 5x －3·25x 2－93·x 5x ＋3(先把除法统一成乘法运算)＝2x 23.(约分到最简公式) 分式乘除运算的一般步骤： (1)先把除法统一成乘法运算；(2)分子、分母中能分解因式的多项式分解因式； (3)确定分式的符号，然后约分；(4)结果应是最简分式．1．由整式的乘方引出分式的乘方，并由特殊到一般地引导学生进行归纳． (1)(a b )2＝a b ·a b ＝a 2b2； ↑ ↑由乘方的意义 由分式的乘法法则 (2)同理： (a b )3＝a b ·a b ·a b ＝a 3b3； (a b )n ＝a b ·a b ·…·a b n 个＝a ·a ·…·an 个b ·b ·…·bn 个 ＝a n b n . 2．分式乘方法则： 分式：(a b )n ＝a nbn .(n 为正整数)文字叙述：分式乘方是把分子、分母分别乘方．3．目前为止，正整数指数幂的运算法则都有什么？ (1)a n ·a n ＝a m ＋n ；(2)a m ÷a n ＝a m －n ； (3)(a m )n ＝a mn ；(4)(ab)n ＝a n b n ；(5)(a b )n ＝a n b n . 三、举例分析 例2 计算： (1)(－2a 2b 3c )2；(2)(a 2b －cd 3)3÷2a d 3·(c 2a )2. (3)(－x 2y )2·(－y 2x )3÷(－y x )4；(4)a 2－b 2a 2＋b 2÷(a －b a ＋b)2. 解：(1)原式＝（－2a 2b ）2（3c ）2＝4a 4b 29c 2；(2)原式＝a 6b 3－c 3d 9·d 32a ·c 24a 2＝－a 3b 38cd 6；(3)原式＝x 4y 2·(－y 6x 3)·x 4y4＝－x 5；(4)原式＝（a ＋b ）（a －b ）a 2＋b 2·（a ＋b ）2（a －b ）2＝（a ＋b ）3（a －b ）（a 2＋b 2）.学生板演、纠错并及时总结做题方法及应注意的地方：①对于乘、除和乘方的混合运算，应注意运算顺序，但在做乘方运算的同时，可将除变乘；②做乘方运算要先确定符号．例3 计算： (1)b 3n －1c 2a 2n 1·a 2n －1b3n 2；(2)(xy －x 2)÷x 2－2xy ＋y 2xy ·x －y x2；(3)(a 2－b 2ab )2÷(a －b a)2.解：(1)原式＝b 3n －2·b ·c 2a 2n －1·a 2·a 2n －1b3n －2＝bc 2a 2；(2)原式＝－x （x －y ）1·xy（x －y ）2·x －y x 2＝－y ；(3)原式＝（a ＋b ）2（a －b ）2a 2b 2·a 2（a －b ）2＝a 2＋2ab ＋b 2b 2.本例题是本节课运算题目的拓展，对于(1)指数为字母，不过方法不变；(2)(3)是较复杂的乘除乘方混合运算，要进一步让学生熟悉运算顺序，注意做题步骤．四、巩固练习教材第139页练习第1，2题． 五、课堂小结1．分式的乘方法则． 2．运算中的注意事项． 六、布置作业教材第146页习题15.2第3题．分式的乘方运算这一课的教学先让学生回忆以前学过的分数的乘方的运算方法，然后采用类比的方法让学生得出分式的乘方法则．在讲解例题和练习时充分调动学生的积极性，使大家都参与进来，提高学习效率．15．2.2 分式的加减(2课时)第1课时 分式的加减理解并掌握分式的加减法则，并会运用它们进行分式的加减运算．重点运用分式的加减运算法则进行运算． 难点异分母分式的加减运算．一、复习提问 1．什么叫通分？2．通分的关键是什么？ 3．什么叫最简公分母？4．通分的作用是什么？(引出新课) 二、探究新知1．出示教材第139页问题3和问题4. 教材第140页“思考”．分式的加减法与分数的加减法类似，它们的实质相同．观察下列分数加减运算的式子：15＋25＝35，15－25＝－15，12＋13＝36＋26＝56，12－13＝36－26＝16.你能将它们推广，得出分式的加减法法则吗？教师提出问题，让学生列出算式，得到分式的加减法法则． 学生讨论：组内交流，教师点拨． 2．同分母的分式加减法．公式：a c ±b c ＝a±b c.文字叙述：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减．3．异分母的分式加减法． 分式：a b ±c d ＝ad bd ±bc bd ＝ad±bcbd.文字叙述：异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，然后再加减． 三、典型例题例1(教材例6) 计算：(1)5x ＋3y x 2－y 2－2x x 2－y 2；(2)12p ＋3q ＋12p －3q . 解：(1)5x ＋3y x 2－y 2－2x x 2－y2＝5x ＋3y －2x x 2－y 2＝3x ＋3y x 2－y 2＝3x －y ； (2)12p ＋3q ＋12p －3q＝2p －3q （2p ＋3q ）（2p －3q ）＋2p ＋3q（2p ＋3q ）（2p －3q ）＝2p －3q ＋2p ＋3q （2p ＋3q ）（2p －3q ）＝4p4p 2－9q 2.小结：(1)注意分数线有括号的作用，分子相加减时，要注意添括号． (2)把分子相加减后，如果所得结果不是最简分式，要约分． 例2 计算： m ＋2n n －m ＋n m －n －2mn －m. 分析：(1)分母是否相同？(2)如何把分母化为相同的？(3)注意符号问题． 解：原式＝m ＋2n n －m －n n －m －2mn －m＝m ＋2n －n －2m n －m＝n －m n －m＝1.四、课堂练习1．教材第141页练习1，2题． 2．计算：(1)56ab －23ac ＋34abc ；(2)12m 2－9＋23－m ； (3)a ＋2－42－a ；(4)a 2－b 2ab －ab －b 2ab －ab 2.五、课堂小结1．同分母分式相加减，分母不变，只需将分子作加减运算，但注意每个分子是个整体，要适时添上括号．2．对于整式和分式之间的加减运算，则把整式看成一个整体，即看成是分母为1的分式，以便通分．3．异分母分式的加减运算，首先观察每个公式是否为最简分式，能约分的先约分，使分式简化，然后再通分，这样可使运算简化．4．作为最后结果，如果是分式则应该是最简分式．六、布置作业教材第146页习题15.2第4，5题．从直观的分数加减运算开始，先介绍同分母分式的加减运算的具体方法，通过类比的思想方法，由数的运算引出式的运算规律，体现了数学知识间具体与抽象、从特殊到一般的内在联系．而后，利用同样的类比方法，安排学习异分母的分式加减运算，这样由简到繁、由易到难，符合学生认知的发展规律，有助于知识的层层落实与掌握．第2课时 分式的混合运算1．明确分式混合运算的顺序，熟练地进行分式的混合运算． 2．能灵活运用运算律简便运算．重点熟练地进行分式的混合运算． 难点熟练地进行分式的混合运算．一、复习引入回忆：我们已经学习了分式的哪些运算？ 1．分式的乘除运算主要是通过( )进行的，分式的加减运算主要是通过( )进行的．2．分数的混合运算法则是( )，类似的，分式的混合运算法则是先算( )，再算( )，最后算( )，有括号的先算( )里面的．二、探究新知 1．典型例题 例1 计算：(x ＋2x －2＋4x 2－4x ＋4)÷x x －2. 分析：应先算括号里的． 例2 计算：x ＋2y ＋4y 2x －2y －4x 2yx 2－4y 2.分析：(1)本题应采用逐步通分的方法依次进行； (2)x ＋2y 可以看作x ＋2y1.例3 计算：12x －1x ＋y ·(x ＋y 2x－x －y)． 分析：本题可用分配律简便计算．例4 [1（a ＋b ）2－1（a －b ）2]÷(1a ＋b －1a －b)．分析：可先把被除式利用平方差公式分解因式后再约分． 例5(教材例7) 计算(2a b )2·1a －b －a b ÷b4.解：(2a b )2·1a －b －a b ÷b4＝4a 2b 2·1a －b －a b ·4b＝4a 2b 2（a －b ）－4a b 2＝4a 2b 2（a －b ）－4a （a －b ）b 2（a －b ） ＝4a 2－4a 2＋4ab b 2（a －b ）＝4ab b 2（a －b ）＝4aab －b 2. 点拨：式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减． 例6(教材例8) 计算： (1)(m ＋2＋52－m )·2m －43－m； (2)(x ＋2x 2－2x －x －1x 2－4x ＋4)÷x －4x .解：(1)(m ＋2＋52－m )·2m －43－m＝（m ＋2）（2－m ）＋52－m ·2m －43－m＝9－m 22－m ·2（m －2）3－m ＝（3－m ）（3＋m ）2－m ·－2（2－m ）3－m＝－2(m ＋3)；(2)(x ＋2x 2－2x －x －1x 2－4x ＋4)÷x －4x＝[x ＋2x （x －2）－x －1（x －2）2]·xx －4 ＝（x ＋2）（x －2）－（x －1）x x （x －2）2·xx －4＝x 2－4－x 2＋x（x －2）2（x －4） ＝1（x －2）2.分式的加、减、乘、除混合运算要注意以下几点：(1)一般按分式的运算顺序法则进行计算，但恰当地使用运算律会使运算简便．(2)要随时注意分子、分母可进行因式分解的式子，以备约分或通分时用，可避免运算烦琐．(3)注意括号的“添”或“去”、“变大”与“变小”． (4)结果要化为最简分式．强化练习，引导学生及时纠正在例题中出现的错误，进一步提高运算能力．三、巩固练习 1．(1)x 2x －1－x －1；(2)(1－2x ＋1)2÷x －1x ＋1；(3)2ab （a －b ）（a －c ）＋2bc （a －b ）（c －a ）； (4)(1x －y ＋1x ＋y )÷xy x 2－y 2.2．教材第142页第1，2题．四、课堂小结1．分式的混合运算法则是先算( )，再算( )，最后算( )，有括号先算( )里的．2．一些题应用运算律、公式能简便运算．五、布置作业1．教材第146页习题15.2第6题．2．先化简再求值1x ＋1－1x 2－1·x 2－2x ＋1x ＋1，其中x ＝2－1.分式的混合运算是分式这一章的重点和难点，涉及到因式分解和通分这两个较难的知识点，可根据学生的具体情况，适当增加例题、习题，让学生熟练掌握分式的运算法则并提高运算能力．15．2.3 整数指数幂1．知道负整数指数幂a －n ＝1a n .(a ≠0，n 是正整数)2．掌握整数指数幂的运算性质．3．会用科学记数法表示绝对值小于1的数．重点掌握整数指数幂的运算性质，会有科学记数法表示绝对值小于1的数． 难点负整数指数幂的性质的理解和应用．一、复习引入1．回忆正整数指数幂的运算性质：(1)同底数的幂的乘法：a m ·a n ＝a m ＋n (m ，n 是正整数)； (2)幂的乘方：(a m )n ＝a mn (m ，n 是正整数)；(3)积的乘方：(ab)n ＝a n b n (n 是正整数)；(4)同底数的幂的除法：a m ÷a n ＝a m －n (a ≠0，m ，n 是正整数，m ＞n)； (5)分式的乘方：(a b )n ＝a nb n (n 是正整数)．2．回忆0指数幂的规定，即当a ≠0时，a 0＝1. 二、探究新知(一)1.计算当a ≠0时，a 3÷a 5＝a 3a 5＝a 3a 3·a 2＝1a2，再假设正整数指数幂的运算性质a m ÷a n＝a m －n (a ≠0，m ，n 是正整数，m ＞n)中的m ＞n 这个条件去掉，那么a 3÷a 5＝a 3－5＝a －2.于是得到a －2＝1a2(a ≠0)．总结：负整数指数幂的运算性质：一般的，我们规定：当n 是正整数时，a －n ＝1a n (a ≠0)．2．练习巩固：填空：(1)－22＝________， (2)(－2)2＝________， (3)(－2)0＝________， (4)20＝________，(5)2－3＝________， (5)(－2)－3＝________． 3．例1 (教材例9) 计算：(1)a －2÷a 5；(2)(b 3a2)－2；(3)(a －1b 2)3；(4)a －2b 2·(a 2b －2)－3.解：(1)a －2÷a 5＝a－2－5＝a －7＝1a7；(2)(b 3a 2)－2＝b －6a－4＝a 4b －6＝a 4b 6；(3)(a －1b 2)3＝a －3b 6＝b 6a3；(4)a －2b 2·(a 2b －2)－3＝a －2b 2·a －6b 6＝a －8b 8＝b 8a8.[分析] 本例题是应用推广后的整数指数幂的运算性质进行计算，与用正整数指数幂的运算性质进行计算一样，但计算结果有负指数幂时，要写成分式形式．4．练习：计算：(1)(x 3y －2)2；(2)x 2y －2·(x －2y)3；(3)(3x 2y －2)2÷(x －2y)3.5．例2 判断下列等式是否正确？(1)a m ÷a n ＝a m ·a －n ；(2)(a b)n ＝a n b －n .[分析] 类比负数的引入使减法转化为加法，得到负指数幂的引入可以使除法转化为幂的乘法这个结论，从而使分式的运算与整式的运算统一起来，然后再判断等式是否正确．(二)1.用科学记数法表示值较小的数因为0.1＝110＝10－1；0.01＝________＝________；0．001＝________＝________……所以0.000 025＝2.5×0.000 01＝2.5×10－5. 我们可以利用10的负整数次幂，用科学记数法表示一些绝对值较小的数，即将它们表示成a ×10－n的形式，其中n 是正整数，1≤|a|＜10.2．例3(教材例10) 纳米是非常小的长度单位，1纳米＝10－9米，把1纳米的物体放到乒乓球上，就如同把乒乓球放到地球上.1立方毫米的空间可以放多少个1立方纳米的物体？(物体之间的间隙忽略不计)[分析] 这是一个介绍纳米的应用题，是应用科学记数法表示小于1的数． 3．用科学记数法表示下列各数：0．00 04，－0.034，0.000 000 45，0.003 009. 4．计算：(1)(3×10－8)×(4×103)；(2)(2×10－3)2÷(10－3)3. 三、课堂小结1．引进了零指数幂和负整数幂，指数的范围扩大到了全体整数，幂的性质仍然成立． 2．科学记数法不仅可以表示一个值大于10的数，也可以表示一些绝对值较小的数，在应用中，要注意a 必须满足1≤|a|＜10，其中n 是正整数．四、布置作业教材第147页习题15.2第7，8，9题．本节课教学的主要内容是整数指数幂，将以前所学的有关知识进行了扩充．在本节的教学设计上，教师重点挖掘学生的潜在能力，让学生在课堂上通过观察、验证、探究等活动，加深对新知识的理解．15．3 分式方程(2课时) 第1课时 分式方程的解法1．理解分式方程的意义．2．理解解分式方程的基本思路和解法．3．理解解分式方程时可能无解的原因，并掌握解分式方程的验根方法．重点解分式方程的基本思路和解法． 难点理解解分式方程时可能无解的原因．一、复习引入问题：一艘轮船在静水中的最大航速为30 km /h ，它以最大航速沿江顺流航行90 km 所用时间，与以最大航速逆流航行60 km 所用的时间相等，江水的流速为多少？[分析]设江水的流速为x 千米/时，根据题意，得9030＋v ＝6030－v.① 方程①有何特点？[概括]方程①中含有分式，并且分母中含有未知数，像这样的方程叫做分式方程． 提问：你还能举出一个分式方程的例子吗？ 辨析：判断下列各式哪个是分式方程．(1)x ＋y ＝5；(2)x ＋25＝2y －z 3；(3)1x ；(4)y x ＋5＝0；(5)1x ＋2x ＝5.根据定义可得：(1)(2)是整式方程，(3)是分式，(4)(5)是分式方程． 二、探究新知1．思考：怎样解分式方程呢？为了解决本问题，请同学们先思考并回答以下问题：(1)回顾一下解一元一次方程时是怎么去分母的，从中能否得到一点启发？ (2)有没有办法可以去掉分式方程的分母把它转化为整式方程呢？ [可先放手让学生自主探索，合作学习并进行总结]方程①可以解答如下：方程两边同乘以(30＋v)(30－v)，约去分母，得90(30－v)＝60(30＋v)． 解这个整式方程，得v ＝6.所以江水的流度为6千米/时．[概括]上述解分式方程的过程，实质上是将方程的两边乘以同一个整式，约去分母，把分式方程转化为整式方程来解．所乘的整式通常取方程中出现的各分式的最简公分母．2．例1 解方程：1x －5＝10x 2－25.②解：方程两边同乘(x 2－25)，约去分母，得x ＋5＝10. 解这个整式方程，得x ＝5.事实上，当x ＝5时，原分式方程左边和右边的分母(x －5)与(x 2－25)都是0，方程中出现的两个分式都没有意义，因此，x ＝5不是分式方程的根，应当舍去，所以原分式方程无解．解分式方程的步骤：在将分式方程变形为整式方程时，方程两边同乘一个含未知数的整式，并约去了分母，有时可能产生不适合原分式方程的解(或根)，这种根通常称为增根．因此，在解分式方程时必须进行检验．3．那么，可能产生“增根”的原因在哪里呢？解分式方程去分母时，方程两边要乘同一个含未知数的式子(最简公分母)．方程①两边乘(30＋v)(30－v)，得到整式方程，它的解v ＝6.当v ＝6时，(30＋v)(30－v)≠0，这就是说，去分母时，①两边乘了同一个不为0的式子，因此所得整式方程的解与①的解相同．方程②两边乘(x －5)(x ＋5)，得到整式方程，它的解x ＝5.当x ＝5时，(x －5)(x ＋5)＝0，这就是说，去分母时，②两边乘了同一个等于0的式子，这时所得整式方程的解使②出现分母为0的现象，因此这样的解不是②的解．4．验根的方法： 解分式方程进行检验的关键是看所求得的整式方程的根是否使原分式方程中的分式的分母为零．有时为了简便起见，也可将它代入所乘的整式(即最简公分母)，看它的值是否为零．如果为零，即为增根．如例1中的x ＝5，代入x 2－25＝0，可知x ＝5是原分式方程的增根．三、举例分析 例2(教材例1) 解方程2x －3＝3x. 解：方程两边乘x(x －3)，得2x ＝3x －9. 解得x ＝9.检验：当x ＝9时，x(x －3)≠0. 所以，原分式方程的解为x ＝9. 例3(教材例2) 解方程x x －1－1＝3（x －1）（x ＋2）. 解：方程两边乘(x －1)(x ＋2)，得 x(x ＋2)－(x －1)(x ＋2)＝3.。
2017年秋季学期新版新人教版八年级数学上学期15.1.1、从分数到分式课件26
知识点2
分式有意义的条件
1 3．(4 分)当 x____________ 时，分式 有意义． ≠－3 3＋x 4．(4 分)下列各式中，无论 x 取何值，分式都有意义的是 ( D ) 2x－1 x2 C. x2 D. 2 x ＋3 1 x A. B. 2x＋1 2－3x
x －1 5．(4 分)(2014· 大冶)分式 有意义，则 x （x－1）（x－2） 应满足的条件是( C ) A．x≠1 B．x≠2 D．以上结果都不对 C．x≠1 且 x≠2
x＝－3
11．当 x＝2 时，下面分式的值为零的是( A ) 1 1－ x x－2 2 A. B. 2x－2 4－2x 5x－10 x C. D. 2－x x＋2 x2＋2x 12．当 x＝－1 时，分式 的值为( B ) x＋2 A．0 B．－1 C．1 D．2
13．(2015· 黄石模拟)下列关于分式的判断，正确的是( D ) x＋1 A．x＝2 时， 的值为零 x－2 x－3 B．当 x≠3 时， x 有意义 3 C．无论 x 为何值， 不可能得整数值 x＋1 3 D．无论 x 为何值， 2 的值总为正数 x ＋1
－3 16 ． 分 式 的值为正数，则 x 的取值范围是 x－2 ______________ ． x＜2 a＋1 17．分式 无意义，则 a 的取值范围是 （a－2）（a＋5） _____________________. a＝2或a＝－5
2x－m 18．(8 分)已知分式 ，当 x＝3 时分式无意义，当 x x＋n m2＋n2 ＝－1 时，分式的值为零，求 的值． m－n
知识点1 分式的概念
5 a a2b 4 2 2x 1．(3 分)下列式子：①x，② ，③ 3 ，④－3xy ，⑤ . x －3 π 其中是分式的有( D ) A．①③⑤ B．①②⑤ C．②⑤ D．①② a－b x（x＋3） 5＋x a＋b 2．(3 分)(2015· 惠州模拟)在 2 ， ， ， ， x π a－b 1 a＋m中，是分式的有( C ) A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
人教版八年级数学上册同步教案：15.1.1 从分数到分式
15.1 分式(第1课时)一、内容和内容解析1．内容分式的概念．2．内容解析本节课是“分式”一章的起始课. 分式属于“数与代数”领域的“数与式”部分，它是在学生学习了整式的基础上学习的另一种刻画数量关系的代数式，是整式和分数的延伸和拓广．分式与分数具有类似的形式，类比小学学过的分数的知识来学习分式，从具体到抽象，从特殊到一般，有助于学生把握本章的内容，这样的学习过程对于培养学生良好的学习方法有指导作用．分式的概念是建立在整式和分数概念的基础上的，是代数式中重要的基本概念．分式概念的学习同样要类比分数的概念．通过从实际问题抽象出分式概念的过程，体会分式可以表示更多的数量关系；通过分数的概念得到分式的概念，体会类比的数学思想．基于以上分析，可以确定本课的教学重点是：分式的概念．二、目标和目标解析1．目标(1)了解分式的概念，能用分式表示实际问题中的数量关系；(2)能确定分式有意义的条件．2．目标解析达成目标(1)的标志是：学生知道分式的特征，能从代数式中识别分式；能依据具体情境中的数量关系列出分式；达成目标(2)的标志是：学生能依据分式的分母不等于0建立不等式，确定分式有意义的条件．三、教学问题诊断分析尽管学生对分数、整式的内容很熟悉，但是学生毕竟是首次接触分式的概念，对于分母中含有字母的的式子——分式来描述数量关系会感到困难，存在心理准备不足的问题．分数是分式的特殊化，分式是分数的一般化，这种一般与特殊以及“数式相通”的类比思想学生不易掌握，教师在教学中应重视分式与分数的联系．学生在确定分式有意义的条件时，不论题目中的分母含有一个字母或含有两个字母，解题时都要从分母不等于0入手，解一个带有“≠”号的不等式．这是学生不熟悉的新情境，学生对此内容的接受会有很大困难．具体表现在学生能依据分式列出不等式，但不会解．教学时教师要适当放慢讲解的速度，以便学生认真体会解题的过程．本课的教学难点是：根据条件列出分式，准确确定分式有意义的条件．四、教学过程设计1．了解本章的学习内容问题1一艘轮船在静水中的最大航速为30 km/h，它沿江以最大航速顺流航行90 km 所用时间，与以最大航速逆流航行60 km所用时间相等，江水的流速为多少？师生活动：学生审题后，教师提问：(1)顺流航行的速度、逆流航行的速度与轮船在静水中的速度、水流速度之间有什么关系？(2)这个问题的等量关系是什么？(3)应怎样设未知数？如何根据等量关系列出方程？教师展示问题，让学生思考，独立完成分析、列方程．设计意图：通过实际问题引入，让学生体会分式、分式方程来源于实际生活．追问：式子、与分数有什么相同点和不同点？它们与你学过的整式有什么不同？师生活动：学生通过观察，发现这两个式子的分母中都含有字母，教师指出这就是我们本章学习的内容．教师板书课题——分式，并指出本章所要学习的主要内容．设计意图：通过观察分析得出本章要研究的主要内容，为学生的后续学习做好铺垫．2．了解分式的概念问题2填空：(1)长方形的面积为10 cm2，长为7 cm，宽应为cm；长方形的面积为S，长为a，宽应为．(2)把体积为200 cm3的水倒入底面积为33 cm2的圆柱形容器中，水面高度为cm；把体积为V的水倒入底面积为S的圆柱形容器中，水面高度为．师生活动：教师提出问题后巡视指导，学生独立思考，自主解答．教师在巡视中，针对学生出现的“S÷a”的写法，可以适当加以指导：教师补充说明与5÷3可以写成一样，式子A÷B可以写成的形式．设计意图：教师通过设计具体的实际问题，学生列出相应的代数式，让学生进一步体会数学与实际生活是紧密联系的，同时为归纳概括分式的概念埋下伏笔．追问1：上面问题中得到的式子，，，，哪些不是我们学过的整式？师生活动：学生观察后回答．设计意图：利用产生的认知冲突，激发学习新知识的兴趣，为分式得出概念做铺垫．追问2：式子，，，与以前学过的整式不同，这些代数式有什么共同的特征？师生活动：学生先独立思考，然后小组合作讨论，小组派代表发言．教师巡视，指导学生归纳和表述．在讨论交流的基础上，教师引导学生归纳分式的概念，教师板书分式的概念．此环节教师应关注：(1)学生能否类比分数，来寻找出这些式子的共同点；(2)学生能否从式子的形式上进行观察，得出判断分式的两条标准：①从整体上看，它们都是的形式；②从分子、分母单独看，分子、分母都是整式，并且分母中都含有字母．(3)由于字母可以表示不同的数，所以分式比分数更具有一般性．设计意图：在观察、比较中，类比分数发现分式的共同特征，归纳出分式的定义．体会从具体到抽象，从特殊到一般的概念形成过程．练习下列式子中，哪些是分式？哪些是整式？两类式子的区别是什么？师生活动：学生独立思考后回答问题．设计意图：让学生用分式的概念作判断，加深对分式概念本质的理解．3．分式概念的应用问题3 我们知道，要使分数有意义，分数中的分母不能为0．要使分式有意义，分式中的分母应满足什么条件？为什么？师生活动：教师提出问题，学生独立思考．师生共同归纳得出分式有意义的条件及其理由：用字母代表数，分式的分母表示除数，由于除数不能为0，所以分式的分母不能为0，即当B≠0时，分式才有意义．设计意图：教师引导学生通过回顾分数有意义的条件，类比思考分式有意义的条件．再次感受类比思想，体会数式通性．例1．下列分式中的字母满足什么条件时分式有意义？(1)；(2)； (3)．解：(1)当分母即时，分式有意义．师生活动：学生先尝试独立解答，然后学生说出解题思路，教师板书(1)，规范书写格式. 师生共同归纳确定分式有意义的条件的方法：不论题目中的分母中含有一个字母或含有两个字母，解题时都要从分母不等于0入手，解一个带有“≠”号的不等式.学生独立书写(2)(3)小题，两名学生板书.设计意图：加强对分式有意义的条件的认识，归纳求解的方法.练习1．下列分式中的字母满足什么条件时分式有意义？(1)； (2)； (3)； (4).设计意图：进一步强化求分式有意义的方法，加深对概念的理解.2．下列分式中的x满足什么条件时，分式的值为0？(1) ； (2).设计意图：强化对分式“值为0”的认识，再次加深对分式概念的理解.5.小结教师与学生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：(1)本节课学习了哪些主要内容？(2)你能举例说明什么是分式吗？(3)如何确定分式有意义的条件？设计意图：通过小结，使学生梳理本节课所学内容，理解本节课的核心——分式的概念，引导学生从知识内容和学习过程两个方面总结自己的收获，通过建立知识之间的联系，促进学生数学思维品质的优化．6.布置作业教科书习题15.1第1，2，3题．五、目标检测设计1.下列式子中，是分式的是( ).A．B．C．D．设计意图：检测学生对分式概念的理解情况．2.列式表示下列各量：(1)某村现有n个人，耕地40 hm2，则人均耕地面积为hm2；(2)若△ABC的面积为S，BC边的长为a，则高AD的长为．(3)一辆汽车b h行驶了a km，它的平均速度为km/h；一列火车行驶a km 比这辆汽车少用1h，它的平均速度为km/h．设计意图：检测学生对应用分式表示数量关系的情况．3.填空：(1)当x时，分式有意义；(2)当x时，分式有意义；(3)当x时，分式有意义．设计意图：检测学生对求分式有意义的条件的方法的掌握情况．4.填空：(1)当x时，分式的值为0；(2)当y时，分式的值为0．设计意图：检测学生对求分式的值为0的条件的理解和运用的情况．。
2017年秋季学期新版新人教版八年级数学上学期15.1.1、从分数到分式课件33
分解因式步骤：
（1）提公因式； （2）用公式： 两项（平方差公式） 三项（完全平方公式） （3）看结果： 各因式： 无中括号、 无同类项、 无公因式、 无平方差、 无完全平方式
填空： 10 （1）长方形的面积为10 cm2，长为7 cm，宽应为 cm. 7 S 长方形的面积为S，长为a， 宽应为 cm. a （2）把体积为200 cm3的水倒入底面积为33 cm2的圆柱
a
1 a2 1
a a2 1
…
-2 -1
-1
0
1
2
…
2 a
…
… …
-2 无意义
-1
-2
Hale Waihona Puke 无意义1…… …
1 无意义 3
2 5 1 2
0
2
1 2
1 3
2 5
问题6：上述分式何时值为0？
2x 1 x 1 （） 1 ；（2） ． x 3 x
以下分式何时有意义？何时值为0？
x 1 2b x 1 , , 2 . x 1 3a b x 1
形容器中，水面高度为
把体积为V 的水倒入底面积为S 的圆 柱形容器中，水面 高度为 V . S 10 S 200 V 问题1:上面问题中得到的式子 , , , 33 S 7 a
200 cm； 33
哪些是整式，哪些不是整式？
15.1 分式
15.1.1 从分数到分式
10 S 200 V , , , 问题2:式子 33 S 7 a 200 S V 10 分数有： 分式有： 33
7
a
你认为分数与分式的相同点与不同点是什么？
S
问题3:请你描述什么是分式.
下列各式中哪些是分式,哪些是整式? 整式下面划“√”,分式下面划“×”
人教版初中数学八年级上册15.1.1从分数到分式(教案)
2.教学难点
-分式的概念理解：学生可能难以理解从具体的分数到抽象的分式的过渡，特别是分母含有字母时的情况。
-分式的约分与通分：学生在约分和通分时容易出错，如忽略掉分子分母的公因数，或在通分时计算错误。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“分式在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
-分式的性质：掌握分式的基本性质，如分子分母同乘（除）一个非零常数，分式的值不变；分子分母互换，分式的值取倒数等。
-分式的约分与通分：学会对分式进行约分和通分，掌握其基本方法。
-分式的简单运算：掌握分式的加、减、乘、除等基本运算，并能够熟练运用。
举例解释：
-分式的定义及其结构：例如，分式$\frac{2x}{3y}$，重点讲解分子$2x$、分母$3y$的意义以及分式有意义的条件（分母不为零）。
4.增强数学运算和数据分析能力：在分式的约分、通分等运算过程中，培养学生的数学运算技能，提高数据处理和分析能力。
5.培养数学交流与合作能力：鼓励学生在学习过程中进行讨论、交流，共同解决分式相关问题，提升合作学习能力。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-分式的定义及其结构：理解分式的分子、分母以及分式有意义的条件，掌握分式的表示方法。
人教版数学八年级上册-第15章分式15.1.1《从分数到分式》教案
举例：在教学过程中，以速度、浓度等实际问题为例，引导学生将问题转化为分式表达式，如速度=路程÷时间，浓度=溶质质量÷溶液质量。
2.教学难点
a.分式的符号意识：理解分式中分数线、分子、分母的符号含义，掌握分式的表示方法。
b.分式与分数的区别：区分分式与分数在表达数学关系上的不同，明白分式可以表示变量之间的关系。
c.举例说明分式在实际问题中的应用，如速度、浓度等比例关系。
d.解释分式与分数的联系和区别，强调分式可以表示更广泛的数学关系。
e.通过练习题，让学生学会将实际问题转化为分式表达式，并解决相关问题。
二、核心素养目标
1.培养学生的符号意识：通过学习分式的概念，使学生能够理解和使用符号表达数学关系，提高数学表达和交流能力。
在小组讨论环节，同学们提出了很多有创意的想法，但也有一些小组在讨论过程中偏离了主题。为了提高讨论效果，我应该在下次课前明确讨论的要求和目标，并在讨论过程中加强引导，确保每个小组都能围绕主题展开讨论。
实践活动中的实验操作部分，我发现有些同学在操作过程中对分式的应用还不够熟练。这可能是因为他们在理论知识掌握上还有所欠缺。针对这个问题，我打算在接下来的课程中，增加一些与实际操作相结合的练习，帮助同学们更好地将理论知识运用到实践中。
此外，课堂总结环节，我觉得可以更多地让同学们参与进来，让他们谈谈自己在本节课中的收获和困惑。这样既能检验他们对知识点的掌握程度，也有利于我发现教学中的不足，及时进行调整。
人教版数学八年级上册-第15章分式15.1.1《从分数到分式》教案
一、教学内容
人教版数学八年级上册第15章分式15.1.1《从分数到分式》教案：
人教版数学八上 15.1.1从分数到分式 同步教案设计
15.1.1从分数到分式一、内容和内容解析1.内容分式的概念，分式有意义的条件.2.内容解析本节课是分式这一章的起始课，它是在学生学习了分数、整式运算、分解因式的基础上进行的，本节课的内容是进一步学习分式的性质、分式的运算、解方式方程以及后续学习反比例函数的基础.为了让学生体会分式的产生是从数到式的过程，在课题引入时用微课介绍了数式的发展过程，让学生思考整式与整式相除的结果还是整式吗？通过类比分数与分式，实现由“数”到“式”的过渡，体现了特殊到一般的数学思想.在教学中注重：(1)从分数到分式，是从具体到抽象形成过程；(2)类比分数的有关知识得到分式的相关知识是研究分式的基本方法．二、目标和目标解析1．目标（1）了解分式的概念，能确定分式有意义的条件，能确定使分式的值为0的条件．（2）结合实际情境体会分式是刻画现实世界中数量关系的一类代数式．（3）体会类比、从特殊到一般等数学思想或方法，获得代数学习的成功经验．2. 目标解析达成目标（1）的标志是：类比分数的知识，了解分式的概念，明确整式与分式的区别，能确定分式有意义的条件，能确定使分式的值为0的条件.达成目标（2）的标志是：能用分式表示实际问题中的数量关系，寻找简单分式的几何背景和实际意义，感悟分式的模型思想.达成目标（3）的标志是：学生在得到分式的概念、有意义、值为0等知识的过程中，能体会到类比、从特殊到一般等的重要作用．三、教学问题诊断分析学生在小学已经对分数有了比较深刻的认识，理解分数就是分子与分母的商，是除数、被除数、商之间数量关系的另一种表达方式.学生能正确理解分数的分母不能为零的事实，这给学习分式的基本概念和分式的基本性质、分式的基本运算打下了坚实的基础.类比分数的概念，实现从具体到抽象的过程，对学生来说是比较困难的，教学时教师要适时地通过追问、与学生交流等形式引导学生进行有效思考归纳，提高抽象思维能力.本节课的教学重点：分式的概念；本节课的教学难点：分式的概念的生成.四、教学过程设计1.感受学习分式的必要性播放微课视频《从数到式》,介绍正整数、0、分数、负数的产生过程，由数到代数的发展过程，回顾整式的学习内容，提出问题：整式除以整式结果还是整式吗？设计意图：体会从数到式的发展是实际生活的需要，感受学习的必要性，引出了本节课要研究的问题.2.通过类比得出分式概念教师出示四个整式：2，3，a ，1-a ；请同学们从以上四个整式中选取两个，写出它们相除的式子，并写出结果.师生活动：学生独立思考并把答案写在卡片纸上，教师挑选部分卡片纸贴到黑板上.教师提出问题：（1）这些式子的结果中，哪些是整式？（2）观察这些不是整式的式子，它们有什么共同点吗？（3）这些式子的结构特征和小学学习过的的哪个内容类似？（4）分数32的分子、分母分别是什么？ （5）式子1-a a 的分子、分母又分别是什么？ （6）你能给分式下个定义吗？分式定义：一般地，如果A 、B 都表示整式，且B 中含有字母，那么称BA 为分式，其中A 叫做分子，B 叫做分母.（7）整式与整式相除，结果是什么？设计意图：自己动手，建构分式，让学生经历认识分式到建构分式的过程，在这个过程中进一步明确分式概念的本质特征：一是分子分母都是整式，二是分母中含有字母.体现了从分数到分式、从整式到分式的过渡．体会数与式之间的联系.3.应用分式概念，了解分式实际意义练习1 下列式子中，哪些是分式？哪些是整式？两类式子的区别是什么？x 1，3x ，5342+b ，352-a ，11+-x x ，n m n m +-，)(3b a c -，π2c 练习2 列式表示下列各量（1）长方形的面积为S ，长为a , 则宽为_____.（2）一辆汽车b 小时行驶了a 千米，则它的平均速度为____千米/时；一列火车行驶 a 千米比这辆汽车少用1小时，则它的平均速度为_____千米/时.（3）某村有n 个人，耕地40公顷，则人均耕地面积为____ 公顷.（4）某图书馆有40万册书籍，管理员每天整理n 万册，则需要整理_____天.问题1：观察（3）（4）的结果，你有什么发现吗？问题2：你能给n40赋予新的实际意义吗？ 问题3：对于分式n 40，n 取不同的数值，你有什么发现吗？ 设计意图：分式是刻画现实生活的一种模型，寻找简单分式的几何背景和实际意义，能让学生更好的感受学习分式的必要性，较好的理解分式的来龙去脉，感受抽象与具体的关系，体会数学与生活的紧密联系，通过对n 的不同取值，感受分式可以表示分数，分式比分数更具一般性.4.探索分式有意义的条件 对于分式1-a a ,对于a 的值，请你选取不同类型的数，把分式的值填入表格.问题：观察表格，你有什么发现吗？师生活动：学生单独完成表格——汇报结果.教师通过问题，引导学生思考通过刚才的计算，对于分式的值出现了几种情况？学生在观察中发现，同一个分式，当x 取不同数值时出现了有意义、无意义、分式的值为零三种情况.继而去分析得出分式有意义、无意义、分式的值为零应满足什么条件.设计意图：通过填表探究，让学生在求值的过程主动的去触碰分式的值、分式无意义、有意义、值为0等知识，使其在解决问题的过程中产生困惑，并在老师的追问下实现对抽象知识的破解和吸纳.5.巩固应用分式有意义的条件例1 下列分式中的字母满足什么条件时分式有意义？ （1）x 32 （2）b351- （3）y x y x -+ 师生活动：教师通过例题讲解，板演（1）示以学生解题规范性，体现思维的逻辑性.学生独立完成（2），（3），落实知识点.学生板书，学生评判.练习1 （1）当x_______时，分式112--x x 有意义； （2）当x_______时，分式112--x x 无意义； （3）当x_______时，分式112--x x 值为0. 设计意图：以变式填空的形式及时巩固知识，逐步养成学生深入反思数学问题的习惯，抓住数学问题的本质解决数学问题，进而发展学生的思维能力，同时体会整体思想的应用. 练习2 请你写出一个分式，使这个分式同时满足下列3个要求：（1）只含有一个字母 x ；（2）无论 x 取何值，分式总有意义 ；（3）当 x =-1时，分式的值为0 .师生活动：学生独立思考，分享设计结果；师生共同分析题意，分析每一个设计是否符合题意；最后教师引导学生分析归纳本题的本质内涵，加深对分式的理解.设计意图：按要求设计分式这一环节能够进一步提升对概念的理解，对分式有意义、值为0的深入思考，在相互质疑补充中让学生对分式的理解进一步升华.6.归纳小结教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答以下问题：（1）说一说本节课学习了什么知识？（2）我们是如何来学习分式的？（3）那么类比分数的学习，我们还将要学习研究分式的哪些知识？设计意图:通过逐步提问、层层推进的方式引导学生回顾整理本节课的学习内容、学习方法，进一步体会数式在学习方法、内容上的通性，以及对分式的后续学习起到一个引领的作用，最后使学生坚定自己的学习信心，让他们获得自信的积累.7.作业布置（1）完成课后作业（2）选做：有一个分式，三位同学分别说出了它的一些特点，甲：分式的值不可能为0；乙：分式有意义时x 的取值范围是x ≠±1；丙：当x=﹣2时，分式的值为1，请你写出满足上述全部特点的一个分式__________五．教学反思在本节课的教学活动中，笔者力求创设以学生为主体的学习环境，让学生成为课堂真正的主人.本节课呈现出一些亮点现归纳如下：（一）几点收获：1.情境引入，自然流畅 本节课采用微课导入，一方面充分考虑到学生年龄特征，把学生的思维从下课时的游离的状态及时调整过来，集中到本节课的课堂教学中；另一方面，让学生感受到从数到式的发展都是实际生活的需要，体会式在生活中的作用和意义，同时也在微课中让学生感悟数学的文化传承，增强学生学习数学学科的兴趣.最后提出整式与整式相除，结果还是整式吗？激发学生的求知欲望，为本节课的学习指明了方向.2.问题推进，突破难点本节课在类比分数得出分式概念的过程中，设置了6个问题，层层递进，让学生通过问 题自然地认识到分式的特征，得出分式的概念.在概念教学辨析之后，通过几个实际问题，让学生写出分式，感受分式的产生是具有实际意义的，发现同一个分式可以有不同的实际意义，通过对字母的赋值，体会分式比分数更具有一般性.整个过程自然流畅，从学生的思维的最近发展区切入，有效地突破难点，激发学生思维的发散，从而让学生明白分式学习的来龙去脉.3.自主探究，合作学习在概念教学辨析之后，通过设置填表探究活动——例题讲解——巩固练习，以期突破本节课的教学重点点（分式有意义的条件）.表格探究中让学生选取不同类型的数据代入求值，蕴含了分式的求值、分式无意义（有意义）、分式值为0等内容，让学生在问题解决中产生困惑，造成强烈的认知冲突.然后教师的追问下实现对分数有意义的类比，对抽象知识的理解和吸纳.最终通过例题教学和巩固练习深化学生对分式有（无）意义、值为0这一知识点的落实.（二）一些遗憾：1.问题设置不够精炼精练得当的语言，能准确表达教师的思想、情感；机智巧妙的语言，能够帮助学生更好的融入课堂，问题的指向性是否明确，是值得探讨的问题.在本节课概念的生成过程中，“这些式子（不是整式的式子）的结构特征和整式中的哪个结果很类似？”设问有点不恰当，指向不明确，学生的回答是a 2，而笔者的目的是引导学生回答分数32. 2.语言表达有待改进激情澎湃的语言能够激发学习的热情，感染学生积极向上的情绪.本节课的语言表达不够激情，教学节奏比较平缓，没有抑扬顿挫之感，给学生以轻重分明的感知和体会，在这方面笔者需要继续锻炼，学会艺术地表扬学生.。
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15.1.1 从分数到分式
要点感知1 一般地，如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子_____叫做分式.
预习练习1-1 在代数式
21，x 1，n m ，3b a +，b d c +中，分式的个数为( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
要点感知2 对于分式
B A ，当_____时，分式有意义；当_____时，分式无意义；当_____时，分式B
A 的值为零. 预习练习2-1 已知分式11-+x x ，当x_____时，分式有意义；当x=_____时，分式的值为零.
知识点1 分式的概念
1.列式表示下列各量：
(1)王老师骑自行车用了m 小时到达距离家n 千米的学校，则王老师的平均速度是_____千米/小时；若乘公共汽车则可少用0.2小时，则公共汽车的平均速度是_____千米/小时；
(2)某班在一次考试中，有m 人得90分，有n 人得80分，那么这两部分人合在一起的平均分是_____分；
(3)甲单独完成某项工作需要a 天，乙单独完成这项工作需要b 天，则甲乙合作3天的工作量为_____.
2.下列各式中，哪些是分式？哪些是整式？
x 2，2a +1，5x ，πx -3，21-x ，b
a a +2，xy xy 22.
知识点2 分式有无意义的条件
3.(贺州中考)分式1
2-x 无意义，则x 的取值范围是( ) A.x ≠1 B.x=1 C.x ≠-1 D.x=-1
4.下列分式中的字母满足什么条件时，分式有意义？ (1)x 5；(2)33-+x x ；(3)423+x x ；(4)b a -1；(5)x －2x 2＋2；(6)1
212+-a a .
知识点3 分式的值
5.(南宁中考)若分式x －2x ＋1
的值为0，则x 的值为( ) A ．－1 B ．0 C ．2 D ．－1或2
6.已知a=1,b=2，则
b a ab -的值是( ) A.21 B.-2
1 C.
2 D.-2 7.(毕节中考)若分式1
12--x x 的值为零，则x 的值为( ) A.0 B.1 C.-1 D.±1
8.当x_____时，分51+-x 的值为正；当x 为_____时，分式1
42+-x 的值为负.
9.当x 为任意实数时，下列分式一定有意义的是( ) A.1+x x B.x 4 C.112+-x x D.1
2-x x
10．(黔南中考)若分式|x|－1x ＋1
的值为0，则x 的值为_____． 11.某市对一段全长1 500米的道路进行改造.原计划每天修x 米，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时，每天修路比原计划的2倍还多35米，那么修这条路实际用了_____天.
12.若分式23
x
x -的值为负数，则x 的取值范围是_____. 13.指出下列各式哪些是整式?哪些是分式?
a 1，5
2y x ，72n m +，y x 34-，-21x+3，11-x .
14.当x 取什么值时，下列分式有意义？ (1)
18-x ;(2)922-x ;(3)422--x x .
15.若
1
3+a 的值是一个整数，则整数a 可以取哪些值？
16.当x 取何值时，分式)
1)(3(26-+-x x x 满足下列要求： (1)值为零；
(2)无意义；
(3)有意义.
17.已知x=-4时，分式
a x
b x +-无意义，x=2时分式的值为零，求a-b 的值.
挑战自我
18.分式
m
212+-x x 不论x 取何实数总有意义，求m 的取值范围.
参考答案
课前预习
要点感知1 B
A 预习练习1-1 C
要点感知2 B ≠0 B=0 A=0且B ≠0
预习练习2-1 ≠1 -1
当堂训练
1.(1)m n
2.0-m n (2)n m n m ++8090 （3）b
a 33+ 2.分式有：x 2，21-x ，
b a a +2，xy xy 22；整式有：2
a +1，5x ，πx -3. .3.B 4.(1)x ≠0.(2)x ≠3.(3)x ≠-2.(4)a ≠b.(5)x 取任何实数.(6)a ≠1.
5.C
6.D
7.C
8.＜5任意实数
课后作业 9.C 10.1 11.3521500+x 12.x<3且x ≠0 13. 整式有：5
2y x ，72n m +，-21x+3；分式有：a 1，y x 34-，11-x . 14.(1)x ≠1.(2)x ≠±3.(3)x ≠±2.
15.依题意，得a+1=±1或a+1=±3，∴整数a 可以取0，-2，2，-4.
16.(1)由题意，得6-2|x|=0,
(x+3)(x-1)≠0，解得x=3，∴当x=3时分式的值为0.(2)解(x+3)(x-1)=0，得x=-3或x=1，∴当x=-3或x=1时，分式无意义.(3)由(2)可知，当x ≠-3且x ≠1时，分式有意义.
17.由x=-4时，分式
a x
b x +-无意义，得-4+a=0，即a=4.由x=2时，分式a x b x +-的值为零，得2-b=0，即b=2.∴a-b=4-2=2. 18.m>1。