八年级秋季班-第10讲：函数的概念及表示法
【例6】 填空： （1） 函数 y 3x2 2 ，当 x =___________，函数 y 的值等于 0；
（2） 若函数 y
1
的自变量 x 的取值范围是一切实数，则 c 的取值范围是
x2 2x c
________．
【例7】 求下列函数的定义域： （1） y 1 x 3 ； | x | 4
（3）表示两个变量之间依赖关系的数学式子称为函数解析式．
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2.函数的定义域和函数值 （1）函数自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域． （2）函数自变量取遍定义中的所有值，对应的函数值的全体叫做这个函数的值域．
例题解析
【例1】 （1）在正方形的周长公式 l 4a 中，a 是自变量，_______是_________的函数， ______是常量；
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【例30】 m 取何值时，y 关于 x 的函数 y (m 3)x2m1 4x 是正比例函数．
【例31】 已知直角三角形 ABC 中，∠C=90°AC=6，AB=12，点 D、E、F 分别在边 BC、 AC、AB 上（点 E、F 与三角形 ABC 顶点不重合），AD 平分∠CAB，EF⊥AD，垂足为 点 H，设 CE=x，BF=y，求 y 与 x 之间的函数关系式．
【例32】 已知一正比例函数 y mx 图像上的一点 P 的纵坐标是 3，作 PQ⊥y 轴，垂足为点 Q，三角形 OPQ 的面积是 12，求此正比例函数的解析式．
【例33】 如图，在直角坐标系中，OA = 6，OB =8，直线 OP 与线段 AB 相交于点 P， （1） 若直线 OP 将△ABO 的面积等分，求直线 OP 的解析式； （2）若点 P 是直线 OP 与线段 AB 的交点，是否存在点 P，使△AOP 与△BOP 中，一个面
） B．长方形的面积一定时，长与宽 D．三角形面积和高
【例15】 下列函数中，是正比例函数的是（ ）
A． y 3 (k 0) k
B． y (k 2)x(k 2)
C． y 1 (k 0) kx
D． y kx2 (k 0)
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【例16】 （1）已知函数 y (m 2)xm2 3 是正比例函数，则 m=_________； （2）当 a_________时，函数 y (a 1)x 是正比例函数．
【例26】 已知三角形 ABC 的底边 AB 的长为 3，AB 边上的高为 x，面积为 y， （1） 写出 y 和 x 之间的函数关系式； （2） 画出函数的图像．
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【例27】 （1）已知直线 y ax 是经过第二、四象限的直线，且 a 3 在实数范围内有意 义，求 a 的取值范围；
a2
f (a 1)（a 1）的值． 3
【例9】 A、B 两地路程为 160 千米，若汽车以 50 千米/小时的速度从 A 地驶向 B 地，写 出汽车距离 B 地的路程 S（千米）与行驶的时间 t（小时）之间的函数关系式．
【例10】 已知水池的容量为 100 m3 ，每小时灌水量为 Q m3 ，灌满水池所需时间 t 小时， 求 t 关于 Q 的函数关系式，当每小时的灌水量为 5 m3 时，灌满水池需多少时间?
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模块二 正比例函数
知识精讲
1．正比例函数的概念 (1)如果两个变量的每一组对应值的比值是一个常数（这个常数不等于零），那么就说这
两个变量成正比例，用数学式子表示两个变量 x 、y 成正比例，就是 y k ，或表示为 y kx x
（ x 不等于 0）， k 是不等于零的常数. (2)解析式形如 y kx （ k 是不等于零的常数）的函数叫做正比例函数，其中常数 k 叫做
【例11】 如图，△ABC 与正方形 BDEF，其中∠C=90°，AC=BC=BD=8，且 BC 与 BD 均
在直线 L 上，将△ABC 沿直线以 2 个单位/秒向右平移，设移动的时间为 t，△ABC 与
正方形 BDEF 在移动的过程中重叠部分的面积为 s，求 s 与 t 的函数关系式，并写出定
义域?
知识精讲
1、 函数的概念 （1）在问题研究过程中，可以取不同数值的量叫做变量；保持数值不变的量叫做常量； （2）在某个变化过程中有两个变量，设为 x 和 y ，如果在变量 x 允许的取值范围内，
变量 y 随着 x 变化而变化，他们之间存在确定的依赖关系，那么变量 y 叫做变量 x 的函数， x 叫做自变量.函数用记号 y f (x) 表示， f (a) 表示 x a 时的函数值；
2m 1 _________； （2）函数 y (1 k)x 的图像经过第一、三象限，那么 k 的取值范围_________． 【例20】 （1）已知 y 与 x 之间的函数关系式是 y 2x 1，那么 y 与 x___________（填“是” 或“不是”）正比例关系； （2）已知 3y x 9 ，y 与_____________成正比例关系，k=___________． 【例21】 （1）已知 2y 3 与 4x 5 成正比例，且当 x 1时，y 15 ，求 y 与 x 的函数关系式；
点（不与端点重合），且 DE⊥BC，设 BD = x，将△BDE 沿 DE 进行折叠后与梯形 ACDE
重叠部分的面积是 y：
A
（1） 求 y 和 x 的函数关系式，并写出定义域；
E
（2） 当 x 为何值时，重叠部分的面积是△ABC 面积的 1 ．
4
CD
B
A
C
B
备用图
A
C
B
备用图
A
C
B
备用图
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【例17】 （1）已知函数 y 与 x 成正比例关系，且当 x 1 时，y 2 ，当 x 3 时，y 2
_________； （2）已知 y 1与3x 成正比例，且当 x 1时，y 4 ，则 y 与 x 之间的函数关系式是 __________． 【例18】 （1）若点 B（b，-9）在函数 y 3x 的图像上，则 b= _________； （2）若将点 P（5，3）向下平移 1 个单位后，落在直线 y kx(k 0) 的图像上， 则 k=_________． 【例19】 （1）如果正比例函数 y x 的图像经过第二、四象限，那么 m 的取值范围是
比例系数.正比例函数 y kx 的定义域是一切实数.确定了比例系数，就可以确定一个正比例 函数的解析式 2.正比例函数的图象
(1)一般地，正比例函数 y kx ( k 是常数, k 0 )的图象是经过 (0，0) ，(1，k) 这两点的 一条直线，我们把正比例函数 y kx 的图象叫做直线 y kx ；
（2） y 2x2 ； x
（3） y 5x ； x 1
（4） y x 2 (x 5)0 ． x 1
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【例8】 将 x 2 y 1 写成 y f (x) 的形式，并求 f (0) ，f (3) ，f (1)(a 3，a 0) ，
3y 2
（2）已知函数 y (2m 1)x 的值随 x 的增大而减小，且函数 y (1 3m)x 的值随着 x 的 增大而增大，求 m 的取值范围．
【例28】 正比例函数的解析式为 y (k 2 1)x ， （1） 当 1 k 1 时，y 的值随 x 值的增大是增大还是减小？ （2） 若正比例函数的图像经过第一、三象限，k 的取值范围是什么？
（2）面积是 S(cm2 ) 的正方形地砖边长为 a（cm），S 与 a 之间的函数关系式是_________， 其
中自变量是____________． （3）圆的周长 C 与半径 r 之间的函数关系是______________，其中常量是__________，变 量是____________．
【例2】 在匀速运动中，若用 s 表示路程，v 表示速度，t 表示时间，那么式子 s vt ，下列
【例29】 已知正比例函数的自变量增加 4 时，对应的函数值增加 6， （1） 求这个函数解析式； （2） 当 x 6 时，求 y 的值； （3） 当 y 4 时，求 x 的值； （4） 当 2 x 4 时，求 y 的取值范围； （5） 当 6 y 6 时，求 x 的取值范围．
A
F
E
C
D
B
【例12】 已知等腰三角形周长为 24cm， （1） 若腰长为 x，底边长为 y，求 y 关于 x 的函数关系式及定义域； （2） 若底边长为 x，腰长为 y，求 y 关于 x 的函数关系式及定义域．
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【例13】 如图，在△ABC 中，BC = AC = 12，∠C = 90°，D、E 分别是边 BC、BA 上的动
（2）已知 y (k 2)x k 2 k 6 为正比例函数，求 k 的值及函数解析式．
【例22】 若 y1 (2 3t)x43t 是正比例函数，又 y2 7x 12 ，当 x 取何值时 y1 y2 ．
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【例23】 已知 y 是 x 的正比例函数，且当 x 3 时， y 1 ： （1） 求出这个函数的解析式； （2） 在直角坐标平面内，画出这个函数的图像； （3） 如果点 P（a，4）在这个函数图像上，求 a 的值； （4） 试问：点 A(6，2) 关于原点对称的点 B 是否在这个图像上?
说法中正确的是
（
）
A．s、v、t 三个量都是变量
B．s 与 v 是变量，t 是常量
C．v 与 t 是变量，s 是常量
D．s 与 t 是变量，v 是常量
【例3】 下列各式中，x 是自变量，y 表示对应的值，判断 y 是否是 x 的函数？为什么？
【初二上册数学】八年级秋季班-第10讲：函数的概念及表示法
函数是描述变化过程中的数量关系的工具，我们本章将以研究数量问题为起点，以正比例函数和反比例函数为载体，学习函数的初步知识．本节课的主要内容是对函数和正比例函数的概念进行讲解，重点是函数及正比例的概念理解，难点是正比例函数的图象和性质．1、函数的概念（1）在问题研究过程中，可以取不同数值的量叫做变量；保持数值不变的量叫做常量；（2）在某个变化过程中有两个变量，设为x和y，如果在变量x允许的取值范围内，变量y随着x变化而变化，他们之间存在确定的依赖关系，那么变量y叫做变量x的函数，x叫做自变量.函数用记号()y f x=表示，()f a表示x a=时的函数值；（3）表示两个变量之间依赖关系的数学式子称为函数解析式．函数的概念正比例函数知识结构模块一：函数的概念知识精讲内容分析2.函数的定义域和函数值（1）函数自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域．（2）函数自变量取遍定义中的所有值，对应的函数值的全体叫做这个函数的值域．【例1】 （1）在正方形的周长公式4l a =中，a 是自变量，_______是_________的函数，______是常量；（2）面积是2()S cm 的正方形地砖边长为a （cm ），S 与a 之间的函数关系式是_________， 其中自变量是____________．（3）圆的周长C 与半径r 之间的函数关系是______________，其中常量是__________，变量是____________．【例2】 在匀速运动中，若用s 表示路程，v 表示速度，t 表示时间，那么式子s vt =，下列说法中正确的是 （） A ．s 、v 、t 三个量都是变量B ．s 与v 是变量，t 是常量C ．v 与t 是变量，s 是常量D ．s 与t 是变量，v 是常量【例3】 下列各式中，x 是自变量，y 表示对应的值，判断y 是否是x 的函数？为什么？（1）2y x =；（2）|3|y x =；（3） （4）（例题解析 x 1 2 3 4y 1 1 2 2 y 1 2 3 4 x 1 1 2 2【例4】 下列各式中，不是函数关系式的是（）A ．y =B ．y =C ．y =D ．y =【例5】 判断下列变量之间是不是函数关系，如果是，写出函数关系式，如果不是，说明理由：（1） 长方形的宽a （cm ）固定，其面积S 与长b ；（2） 长方形的长a 固定，面积S 与周长c ；（3） 三角形一边上的高为4，三角形的面积y 与这边长x ；（4） 等腰三角形顶角的度数x 与底角的度数y ．【例6】 填空：（1） 函数232y x =-+，当x =___________，函数y 的值等于0；（2） 若函数y =x 的取值范围是一切实数，则c 的取值范围是________．【例7】 求下列函数的定义域：（1）1||4y x =- （2）22x y x =；（3）y ； （4）y =．【例8】 将2132y x y -=+写成()y f x =的形式，并求13(0)(3)()(0)2f f f a a a -≠≠，，，， 1(1)3f a a +≠-（）的值．【例9】 A 、B 两地路程为160千米，若汽车以50千米/小时的速度从A 地驶向B 地，写出汽车距离B 地的路程S （千米）与行驶的时间t （小时）之间的函数关系式．【例10】 已知水池的容量为1003m ，每小时灌水量为Q 3m ，灌满水池所需时间t 小时，求t 关于Q 的函数关系式，当每小时的灌水量为53m 时，灌满水池需多少时间?【例11】 如图，△ABC 与正方形BDEF ，其中∠C =90°，AC=BC =BD =8，且BC 与BD 均在直线L 上，将△ABC 沿直线以2个单位/秒向右平移，设移动的时间为t ，△ABC 与正方形BDEF 在移动的过程中重叠部分的面积为s ，求s 与t 的函数关系式，并写出定义域?【例12】 已知等腰三角形周长为24cm ，（1） 若腰长为x ，底边长为y ，求y 关于x 的函数关系式及定义域；（2） 若底边长为x ，腰长为y ，求y 关于x 的函数关系式及定义域．A CB D E F【例13】如图，在△ABC中，BC = AC = 12，∠C = 90°，D、E分别是边BC、BA上的动点（不与端点重合），且DE⊥BC，设BD = x，将△BDE沿DE进行折叠后与梯形ACDE 重叠部分的面积是y：（1）求y和x的函数关系式，并写出定义域；（2）当x为何值时，重叠部分的面积是△ABC面积的14．ABC DEABC备用图ABC备用图ABC备用图1．正比例函数的概念(1)如果两个变量的每一组对应值的比值是一个常数（这个常数不等于零），那么就说这两个变量成正比例，用数学式子表示两个变量x 、y 成正比例，就是y k x=，或表示为y kx =（x 不等于0），k 是不等于零的常数.(2)解析式形如y kx =（k 是不等于零的常数）的函数叫做正比例函数，其中常数k 叫做比例系数.正比例函数y kx =的定义域是一切实数.确定了比例系数，就可以确定一个正比例函数的解析式2.正比例函数的图象(1)一般地，正比例函数y kx =(k 是常数, 0k ≠)的图象是经过(00)，，(1)k ，这两点的一条直线，我们把正比例函数y kx =的图象叫做直线y kx =；(2)图像画法：列表、描点、连线．3．正比例函数的性质(1)当0k >时，正比例函数的图像经过第一、三象限；自变量x 的值逐渐增大时，y 的值也随着逐渐增大．(2)当0k <时，正比例函数的图像经过第二、四象限；自变量x 的值逐渐增大时，y 的 值则随着逐渐减小．【例14】 下列各变量成正比例函数关系的是（） A ．圆的面积与它的半径B ．长方形的面积一定时，长与宽C ．正方形的周长与边长D ．三角形面积和高【例15】 下列函数中，是正比例函数的是（ ）A ．3(0)y k k=≠ B ．(2)(2)y k x k =+≠- C ．1(0)y k kx =≠ D ．2(0)y kx k =≠例题解析 知识精讲 模块二 正比例函数【例16】 （1）已知函数23(2)m y m x -=-是正比例函数，则m =_________；（2）当a _________时，函数(1)y a x =+是正比例函数．【例17】 （1）已知函数y 与x 成正比例关系，且当122x y =-=时，，当3x y ==时， _________；（2）已知13y x -与成正比例，且当14x y =-=时，，则y 与x 之间的函数关系式是__________．【例18】 （1）若点B （b ，-9）在函数 3y x =的图像上，则b = _________；（2）若将点P （5，3）向下平移1个单位后，落在直线(0)y kx k =≠的图像上， 则k =_________．【例19】 （1）如果正比例函数21x y m =-的图像经过第二、四象限，那么m 的取值范围是_________；（2）函数(1)y k x =-的图像经过第一、三象限，那么k 的取值范围_________．【例20】 （1）已知y 与x 之间的函数关系式是21y x =-，那么y 与x___________（填“是”或“不是”）正比例关系；（2）已知39y x =-，y 与_____________成正比例关系，k =___________．【例21】 （1）已知2345y x -+与 成正比例，且当115x y ==时，，求y 与x 的函数关系式；（2）已知2(2)6y k x k k =-++-为正比例函数，求k 的值及函数解析式．【例22】 若431(23)t y t x +=-是正比例函数，又2712y x =-，当x 取何值时12y y >．【例23】已知y是x的正比例函数，且当3x=时，1y=-：（1）求出这个函数的解析式；（2）在直角坐标平面内，画出这个函数的图像；（3）如果点P（a，4）在这个函数图像上，求a的值；（4）试问：点(62)A-，关于原点对称的点B是否在这个图像上?【例24】已知正比例函数的图像过第四象限且过(23)a，两点，求此正比例函数-，和(6)a-的解析式．【例25】点燃的蜡烛，缩短的长度按照与时间成正比例缩短，一支长15cm的蜡烛，点燃3分钟后，缩短1.2cm，设蜡烛点燃x分钟后，剩余长度ycm，求y与x的函数解析式及x的取值范围．【例26】已知三角形ABC的底边AB的长为3，AB边上的高为x，面积为y，（1）写出y和x之间的函数关系式；（2）画出函数的图像．【例27】 （1）已知直线y ax =在实数范围内有意义，求a 的取值范围；（2）已知函数(21)y m x =+的值随x 的增大而减小，且函数(13)y m x =-的值随着x 的增大而增大，求m 的取值范围．【例28】 正比例函数的解析式为2(1)y k x =-，（1） 当11k -<<时，y 的值随x 值的增大是增大还是减小？（2） 若正比例函数的图像经过第一、三象限，k 的取值范围是什么？【例29】 已知正比例函数的自变量增加4时，对应的函数值增加6，（1） 求这个函数解析式；（2） 当6x =时，求y 的值；（3） 当4y =时，求x 的值；（4） 当24x -≤≤时，求y 的取值范围；（5） 当66y -≤≤时，求x 的取值范围．x【例30】 m 取何值时，y 关于x 的函数21(3)4m y m x x +=++是正比例函数．【例31】 已知直角三角形ABC 中，∠C =90°AC =6，AB =12，点D 、E 、F 分别在边BC 、AC 、AB 上（点E 、F 与三角形ABC 顶点不重合），AD 平分∠CAB ，EF ⊥AD ，垂足为点H ，设CE=x ，BF=y ，求y 与x 之间的函数关系式．【例32】 已知一正比例函数y mx =图像上的一点P 的纵坐标是3，作PQ ⊥y 轴，垂足为点Q ，三角形OPQ 的面积是12，求此正比例函数的解析式．【例33】 如图，在直角坐标系中，OA = 6，OB =8，直线OP 与线段AB 相交于点P ， （1） 若直线OP 将△ABO 的面积等分，求直线OP 的解析式；（2）若点P 是直线OP 与线段AB 的交点，是否存在点P ，使△AOP 与△BOP 中，一个面 积是另一个面积的3倍？若存在，求直线OP 的解析式；若不存在，请说明理由．【习题1】下列图像中，是函数图像的是（）．【习题2】在函数y=x的取值范围是（）．A．0x≥B．0x≤C．0x=D．任意实数【习题3】下列各点，不在函数23y x=-图像上的是（）．A．（1，23-）B．（3，-2）C．(23-，13) D．（-6，4）【习题4】（1）若函数22()my m m x=-是正比例函数，则m的值是_________________；（2）已知y kx=是正比例函数，且当x=2时y=3，则比例系数是_____________．【习题5】求下列函数的定义域：（1）23xyx=-；（2）y=（3）12y x=+；（4）y=．随堂检测A B C D【习题6】 若211y x y +=-，用含x 的式子表示y ；若()y f x =，试求(1)f ，(0)f ，(1)(3)f a a -≠，()(2)f x x -≠-的值．【习题7】 已知正比例函数23(1)ky k x -=-的值随自变量x 的增大而减小，求k 的值及函数解析式．【习题8】 （1）已知32y x -+与成正比例，当x =3时，y =7，求y =9时，x 的值；（2）正比例函数(0)y kx k =≠的图像过A （1，a ）、B （a +1，6），求函数的解析式．【习题9】 已知122y y y =-，21y x 与成正比例，231y x +与成正比例．且当15x y ==时，当13x y =-=时，求y 关于x 的函数关系式．【习题10】 已知正比例函数的图像过点(．（1） 若点(a ，，)b 在图像上，求a 、b 的值；（2） 过图像上一点P 作y 轴 的垂线，垂足为Q (0，，试求三角形OPQ 的面积．【习题11】 在直角三角形ABC 中，AC =12，BC =16，AB =20，∠ACB =90°，CD ⊥AB 于D ，在CD 上取一点P （不与C 、D 重合），设三角形APB 的面积是y ，CP 的长为x ，求y 和x 的函数关系式，并写出函数的定义域．【习题12】 如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，CD =5，AD =7，BC =13，40ABCD S =梯，P 是一动点，沿AD 、DC 由A 经D 点向C 点移动，设P 点移动的路程是x ．（1） 当P 在AD 上运动的时候，设PAB S y ∆=，求y 与x 之间的函数关系式及定义域，并画出函数图像；（2） 当点P 继续沿DC 向C 移动时，设PAB S y ∆=，求y 与x 之间的函数关系式．ABCDPPABCD【作业1】 三角形ABC 中∠A =90°，AB =4，BC =5，P 是AC 边上一动点，点P 不与A 、C重合，则该图中线段____________是常量，线段_______________是变量；若AP=x ，设BPC S y ∆=，写出y 关于x 的函数关系式______________，自变量x 的取值范围是______________．【作业2】 下列变量之间的变化是函数关系的是______________（只填序号）．（1） 正方形的面积和它的周长； （2）长方形的面积和它的周长； （3）0)y x =≥；（4）||y x =；（5）0)y x <【作业3】 （1）已知()2(2)6f x x f a =-=，，则a 的值是_____________；（2）已知2231()21()2(1)()()42f x xg x x f g =-=-+-+=，，则___________．【作业4】 （1）函数|3|y x =+的定义域为______________；（2）函数0y =的定义域为______________；（3）函数0y =的定义域为________________．【作业5】 23y x -与成正比例，当x =2时，y =11，求y 与x 之间的函数关系．【作业6】 （1）已知直线22(3)9k y m x m =++-是正比例函数，求mk 的值；课后作业（2）已知2215(4)my m m x -=-是正比例函数，求m 的值；（3）已知直线2(2)5y k x k k =-+-经过原点，且y 的值随x 的值的增大而减小，求k 的值．【作业7】 等腰钝角三角形ABC 中，底边长为8，面积是S ，底边上高AD 为h ，试求出S与h 的函数关系式及函数的定义域，并画出函数的图像．【作业8】 （1）某同学用20元钱买水笔，其单价为3.5元，求买水笔余下的钱y 与买水笔的数量x 之间的函数关系式；（2）靠墙（墙长为18cm ）的地方围成一个矩形的养鸡场，另三边用篱笆围成，如果竹篱笆总长为35cm ，求养鸡场的一边长为y （cm ）与另一边长x （cm ）之间的函数关系式，并写出函数的定义域．ABCDxy墙【作业9】 已知直线y kx =过点（12- ，3），A 为y kx =图像上的一点，过点A 向x 轴引垂线，垂足为点B ，5AOB S ∆= （1） 求函数的解析式；（2） 在平面直角坐标系内画出函数的图像； （3） 求点A 、B 的坐标．【作业10】 过正比例函数图像上的一点Q (35)a a --，在第二象限，（1（2）若a 的值是整数，求正比例函数的解析式，并判断点()k k -，在不在函数图像上．【作业11】 已知正比例函数过点A （4，-2），点P 在正比例函数图像上，B （0，4）且10ABP S ∆=，求点P 的坐标．。
八年级函数及其图像知识点
八年级函数及其图像知识点
函数是数学中的一个重要概念，可以描述两个变量之间的关系。
在八年级学习函数和图像的过程中，需要掌握以下知识点：
一、函数的概念
函数可以看作是输入和输出之间的一个规律或者关系，其中输
入称为自变量，输出称为函数值或因变量。
在函数的定义中，每
一个自变量会产生唯一的函数值，这也是函数的一条重要特征。
二、函数的表达式
函数可以通过表达式来表示，例如 y = 2x + 1 就是一个函数表
达式，其中 x 是自变量，y 是函数值。
在函数表达式中，可以用符号表示函数的性质，例如 y = f(x) 中的 f(x) 就表示函数名。
三、函数的性质
函数有很多相关的性质，包括奇偶性、单调性、周期性等。
其中奇偶性表示函数的对称性，单调性表示函数的增减变化趋势，周期性表示函数的周期规律。
四、函数的图像
函数的图像也是非常重要的，可以通过图象的形状和位置来描述函数的性质。
例如 y = sin x 的图像呈现出一条波浪形，表示函数的周期性特征。
图像的位置和斜率还可以表示函数的变化趋势和变化速率。
五、函数的应用
函数在数学和现实生活中都有广泛的应用。
例如在数学中，函数可以用于描述各种变化规律，例如物理运动、生物生长等。
在现实生活中，函数可以用于分析各种数据，例如统计数据、金融数据等。
八年级函数及其图像的知识点虽然较多，但只要认真学习，多
加练习，就能够掌握其中的精髓。
希望同学们能够善于发现问题，多思考，多探索，不断提升自己的数学能力。
函数的概念及其表示课件
复合函数及其运算
复合函数的概念
复合函数是由两个或多个基本函数通过嵌套方式组合而成的新函数。内部函数 的值作为外部函数的自变量，形成一个新的函数关系。
复合函数的运算
对复合函数进行运算时，需要遵循从内到外的顺序，先计算内部函数的值，再 将结果代入外部函数进行计算。
函数在实际问题中的应用举例
01
经济学领域应用
函数的性质
包括定义域、值域、单调性、奇偶性、周期 性等。这些性质帮助我们更深入地理解函数
的行为和特征。
02
函数的表示方法
表格法
定义
通过列表格的方式来表示函数关 系，列出输入值与对应输出值的
一种表示方法。
优点
表格法简单明了，能够直观地展示 函数输入输出之间的关系，方便查 找特定输入值对应的输出值。
函数关于y轴对称。
函数的奇偶性是函数的另一种重 要性质，它与函数的对称性有关 ，可以帮助我们更好地理解函数
的图像和性质。
04
函数的运算与应用
函数的加减乘除运算
函数加减运算
当两个函数的定义域相同时，可以进行加减运算，将对应自变量上的函数值相加 或相减得到新的函数。
函数乘除运算
函数乘除运算也是基于相同的定义域进行的，将对应自变量上的函数值相乘或相 除得到新的函数。需要注意的是，函数除法运算中，除数函数不能为0。
在生物学研究中，函数可以描述生物种群数量随时间的变化关系，通过 函数的建模和分析，可以揭示生态系统中种群的动态平衡规律，为生态 保护提供科学依据。
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图象法
定义
通过画图的方式来表示函数关系，将函数的输入值作为自 变量，输出值作为因变量，在坐标系中描点并连成曲线表 示函数关系的方法。
八年级函数基础知识点总结
八年级函数基础知识点总结一、函数的概念1. 什么是函数？函数是一种特殊的数学关系，它将每个自变量（输入值）映射到唯一的因变量（输出值）。
通俗地讲，函数就是一个“机器”，它能够将一个数映射成另一个数。
2. 函数的表示方法函数可以用各种不同的表示方法来表达，比如代数式、图形、表格、文字描述等。
3. 函数的符号表示用数学符号表示函数的一般形式为：f(x) = y。
其中，f(x)表示函数名，x表示自变量，y 表示因变量。
二、函数的图象1. 函数的图象函数的图象是函数在平面直角坐标系中的几何表现，通常用曲线来表示。
横坐标表示自变量，纵坐标表示因变量。
2. 函数的性质函数的图象具有一些特定的性质，比如单调性、奇偶性、周期性等。
这些性质可以通过函数的图象来进行判断和分析。
三、函数的运算1. 函数的四则运算函数之间可以进行加、减、乘、除等四则运算，这些运算的结果仍然是一个函数。
2. 复合函数复合函数是指将一个函数的输出作为另一个函数的输入，进行组合运算得到一个新的函数。
3. 反函数如果函数f将x映射为y，那么反函数f^(-1)将y映射为x。
反函数是原函数的逆运算。
四、函数的性质1. 函数的值域和定义域函数的值域是函数所有可能的输出值的集合，定义域是函数所有可能的输入值的集合。
2. 奇偶性函数f(x)的奇偶性是指当x为某个数时，函数f(-x)与f(x)的关系。
如果f(-x) = f(x)，则函数f(x)是偶函数；如果f(-x) = -f(x)，则函数f(x)是奇函数。
3. 单调性如果函数在定义域上的任意两个数x1、x2，若有x1 < x2，则f(x1)与f(x2)的关系。
如果f(x1) < f(x2)，则函数f(x)是增函数；如果f(x1) > f(x2)，则函数f(x)是减函数。
4. 周期性函数f(x)的周期是一个正数T，如果对于任意x，f(x+T) = f(x)。
五、函数的应用1. 实际问题中的函数函数在各个行业和领域中有着广泛的应用，比如物理学中的运动学函数、经济学中的收益函数、生物学中的生长函数等。
八年级(人教版)函数知识点总结
八年级(人教版)函数知识点总结1. 函数的概念1.1 函数的定义- 函数是一种具有特定输入和输出的关系。
1.2 函数的表示方法- 显式函数表达式- 隐式函数表达式- 函数图像2. 函数的性质2.1 奇偶性- 如果对于任何$x$，都满足$f(-x) = f(x)$，则称函数为偶函数。
- 如果对于任何$x$，都满足$f(-x) = -f(x)$，则称函数为奇函数。
2.2 周期性- 如果对于任何$x$，都满足$f(x+T) = f(x)$，则称函数为周期函数。
2.3 单调性- 如果对于$x_1 < x_2$，都满足$f(x_1) < f(x_2)$，则称函数为单调递增。
- 如果对于$x_1 < x_2$，都满足$f(x_1) > f(x_2)$，则称函数为单调递减。
3. 函数的基本图像与简单变形3.1 常函数$f(x) = C$3.2 一次函数$f(x) = kx + b$3.3 二次函数$f(x) = ax^2 + bx + c$，其中$a\neq 0$ 3.4 绝对值函数$f(x) = |x|$3.5 倒数函数$f(x) = \frac{1}{x}$3.6 反比例函数$f(x) = \frac{k}{x}$，其中$k\neq 0$ 4. 函数的运算4.1 函数的和、差、积、商- 设$f(x)$和$g(x)$是定义域为$D$的函数，则：- 和函数：$(f+g)(x) = f(x)+g(x)$，$D_{f+g} = D_f \cap D_g$ - 差函数：$(f-g)(x) = f(x)-g(x)$，$D_{f-g} = D_f \cap D_g$- 积函数：$(f\times g)(x) = f(x)\times g(x)$，$D_{f\times g} = D_f \cap D_g$- 商函数：$\left(\frac{f}{g}\right)(x) = \frac{f(x)}{g(x)}$，$D_{\frac{f}{g}} = \{x\in D_f \cap D_g|g(x)\neq 0\}$4.2 复合函数- 设$f(x)$和$g(x)$是定义域为$D$的函数，则：- $(f\circ g)(x) = f(g(x))$，$D_{f\circ g} = \{x\in D_g|g(x)\in D_f\}$5. 函数的应用5.1 解方程- 通过函数图像的交点来求解方程。
初二数学(秋季)讲义第10讲一次函数
无★代表普通高中、★代表重点高中、★★代表四大名校y=kx ＋b （k ，b 为常数，k ≠0）叫做x 的一次函数,其中x 是自变量，y 是因变量。
正比例函数： 函数y=kx （k 为常数，且（k ≠0）），此时b=0， y 叫做x 的正比例函数。
2.函数的三种表示方法：列表法 图像法 解析式法 3.作一次函数的图像：列表，描点，连线（1）作正比例函数y ＝kx 的图像常取点（0，0）和（1，k ）；（2）作一次函数)0(≠+=b b kx y 的图像常取（b ,0）和（0,k b-）两点，这两点是直线与坐标轴的交点。
4.一次函数y=kx+b 的图像和性质： y 随增大而_________随x 增大而_________例1．（1）下列函数关系中表示一次函数的有（ ）①12+=x y ②xy 1=③x x y -+=21④t s 60=⑤x y 25100-=A.1个B.2个C.3个D.4个 （2）已知3m22x )2m m (y -+=，如果y 是x 的正比例函数,则m 的值为( )A.2B.-2 C 2,-2 D.0初二数学（秋季）讲义 第十讲 一次函数变式练习1-1. 已知函数(1)3my m x =-+是一次函数，则m=＿＿＿变式练习1-2. 已知函数y=(2m-1)x+1-3m ，m 为何值时， ①这个函数是一次函数？ ②这个函数为正比例函数？例2. 已知y 与x-3成正比例，且x=2时，y=7。
（1）写出y 与x 之间的函数关系式 （2）当x=4时，求y 的值 （3）当y=4时，求x 的值变式练习2. 已知y-2与4x 成正比例，且当x=3时，y=6，写出y 与x 的函数关系式 。
例3．已知等腰三角形的周长为6，底边为y 表示，腰长为x（1）写出用x 表示y 的函数关系式 （2）在坐标系中画出函数图像(3)求它的图象与x 轴、y 轴所围成图形的面积;变式练习3. 在同一坐标系中作出， y=2x+1，x y 3=，的图像例4. 函数25+-=x y 与x 轴的交点是 ，与y 轴的交点是 ,与两坐标轴围成的三角形面积是 。
函数的概念及其表示法
时，有x=f^(-1)(y)，则称x=f^(-1)(y)为y=f(x)的反函数。
性质
02
原函数和反函数在相应的区间上单调性相同。
求导法则
03
原函数的导数等于反函数的导数的倒数。
05 函数的实际应用
一次函数的应用
01
02
03
线性回归分析
一次函数是线性回归分析 的基础，通过拟合数据点， 可以预测因变量的变化趋 势。
函数的概念及其表示法
目录
• 函数的基本概念 • 函数的表示法 • 函数的定义域和值域 • 函数的运算 • 函数的实际应用
01 函数的基本概念
函数的定义
01
函数是一种特殊的对应关系，它 使得集合A中的每一个元素都能通 过某种法则对应到集合B中的唯一 一个元素。
02
函数通常用大写字母表示，如f(x)， g(x)等，其中x是自变量，f(x)是因 变量。
初等函数
由代数函数和三角函数经过有限次四则运算 得到的函数。
三角函数
与三角学相关的函数，如正弦函数、余弦函 数等。
超越函数
不能表示为有限次四则运算的初等函数的函 数，如自然对数函数、正切函数等。
02 函数的表示法
解析法
解析法
使用数学表达式来表示函数，如 $f(x) = x^2 + 2x + 1$。解析法 精确地描述了函数与自变量之间的数学关系，适用于需要精确计算 的情况。
表格法
01 02
表格法
列出自变量和因变量的若干组对应数值，以表格的形式表示函数。适用 于已知部分函数值的情况，可以通过插值或拟合的方法确定其他点的函 数值。
优点
简单、直观，能够提供一定程度的近似值。
八年级函数的知识点总结
八年级函数的知识点总结函数是数学中的一种常见概念，也是数学中应用较为广泛的概念之一。
在八年级的数学学习中，学生们需要了解和掌握函数的相关知识。
本文将为大家总结八年级函数的知识点。
一、函数的概念函数是一种特殊的关系，对于定义域中的每一个元素，都有且只有一个值与之对应。
一般用f(x)来表示函数，其中x是自变量，f(x)是函数值。
例如，f(x) = x + 1就是一个简单的函数。
二、函数的图象函数的图象是函数在平面直角坐标系上的表示。
一般来说，如果一个点(x, y)属于函数的图象，那么y就是函数在x处的函数值。
函数的图象可以帮助我们更好地理解函数的性质和特点，如函数的单调性、奇偶性等。
三、一次函数中k和b都是常数。
一次函数的图象为一条直线，具有方程y = kx + b。
四、二次函数二次函数是函数的另一种特殊形式，其表达式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a≠0，a、b、c都是常数。
二次函数的图象为一条开口朝上或朝下的抛物线，其轴对称线为x = -b/2a。
五、幂函数幂函数是函数的一种特殊形式，其表达式为f(x) = x^a，其中a 是常数。
当a>0时，幂函数的图象为上凸曲线；当a<0时，幂函数的图象为下凸曲线。
当a为偶数时，幂函数的图象会关于y轴对称。
六、指数函数a>0且a≠1。
指数函数的图象为单调递增或单调递减的曲线。
当a>1时，指数函数的图象上升；当0<a<1时，指数函数的图象下降。
七、对数函数对数函数是指满足f(x) = loga(x)(a>0且a≠1)的函数。
对数函数的图象为单调递增或单调递减的曲线。
当a>1时，对数函数的图象上升；当0<a<1时，对数函数的图象下降。
八、函数的运算函数之间可以进行运算，常见的函数运算包括函数加减、函数乘除、函数复合等。
函数的运算结果也是一个函数。
函数作为数学中较为重要的概念之一，可以应用到数学各个领域，如代数、微积分等。
八年级数学函数的相关概念知识点总结
八年级数学函数的相关概念知识点总结一、函数的概念：1、函数的定义：一般地，如果在一个变化过程中有两个变量 x 和 y，并且对于变量 X 的每一个值，变量 y 都有唯一的值与它对应，那么我们称 y 是 x 的函数 (function)，其中 x 是自变量。
例如某天的气温随时间变化的曲线如下图所示：从这条曲线可以看出温度是随时间变化的，也就是可以知道不同时间对应的温度和同一温度对应的未使用时间。
2、函数的表示法：可以用三种方法来表示函数: ① 图象法、② 列表法、③ 关系式法。
3、函数值：对于自变量在可取值范围内的一个确定的值 a , 函数有唯一确定的对应值,这个对应值称为当自变量等于 a 时的函数值。
二、理解函数概念时应注意的几点：① 在某一变化过程中有两个变量x与y；② 这两个变量互相联系,当变量x取一个确定的值时,变量y 的值就随之确定；③ 对于变量 x 的每一个值,变量 y 都有唯一的一个值与它对应。
如在关系式y^2 = x(x>0)中,当 x=9 时,y 对应的值为 3 或-3,不唯一 ,则 y不是 x的函数。
三、函数的应用：1、判别是否为函数关系；2、确定自变量的取值范围；3、确定实际背景下的函数关系式；4、由自变量的值求函数值；5.探究具体问题中的数量关系和变化规律。
四、典例讲解：例题1、下列各图像中，y 是 x 的函数的图像是（ D ）例题2、在函数变量为x , y，常量为 5 ，-3 ，自变量为x ，当 x = -1 时，函数值为 2 。
例题3、一名老师带领 x 名学生到动物园参观。
已知成人票每张 30 元，学生票每张 10 元。
若设门票的总费用为 y 元，则 y 与 x 的函数关系式为（A ）例题4、下面的表格列出了一个实验的统计数据，给出的是皮球从高处落下时弹跳高度 b 与下降高度 d 的关系。
下列能表示这种关系的式子是（ C）例题5、已知两个变量 x , y 满足 2x^2 - 3y + 5 = 0 , 试问：① y 是 x 的函数吗？② x 是 y 的函数吗？若是，写出 y 与 x 的关系式；若不是，请说明理由。
函数概念及表示法教案
(1) 理解函数的定义；(2) 理解函数值的概念及表示；(3) 理解函数的三种表示方法；.(4) 掌握利用“描点法”作函数图像的方法(1) 通过函数概念的学习，培养学生的数学思维能力；(2) 通过函数值的学习，培养学生的计算能力和计算工具使用技能；.(3) 会利用“描点法”作简单函数的图像，培养学生的观察能力和数学思维能力( 1) 函数的概念；.(2) 利用“描点法”描绘函数图像( 1) 对函数的概念及记号y f(x) 的理解；.(2) 利用“描点法”描绘函数图像（1）从复习初中学习过的函数知识入手，做好衔接；（2）抓住两个要素，突出特点，提升对函数概念的理解水平；（3）抓住函数值的理解与计算，为绘图奠定基础；（4）学习“描点法”作图的步骤，通过实践培养技能；.（5）重视学生独立思考与交流合作的能力培养教学课件2 课时．(90 分钟用的字母无关．如函数 y = x 与 s = t 表示的是同一个函数.求下列函数的定义域： f (x ) =； (2) f (x ) =.如果函数的对应法则是用代数式表示的，那么函数的定 义域就是使得这个代数式有意义的自变量的取值集合.(1) 由 x + 1 产 0 ，得 x 产 - 1 .因此函数的定义域为 {x | x 产 -1} ， 用区间表示为 (-伪, - 1) u (- 1, +伪) .(2) 由1 - 2x 0 ，得 x .因此函数的定义域为(|（-伪, | .归纳 代数式中含有分式，使得代数式有意义的条件是分母不等于零；代数式中含有二次根式，使得代数式有意义的条件是 被开方式大于或等于零. 2 设f (x ) =，求f (0) ， f (2) ， f (-5) ， f (b ) . 本题是求自变量 x = x 0 时对应的函数值，方法是将 x 0 代 入函数表达式求值.f (0) = 2 根30- 1 = - ，f (2) =2 根32- 1= 1 ， f (-5) =2 根 ( 5) - 1 = - ， f (b ) = 2 根3b- 1= . 3 指出下列各函数中，哪个与函数 y = x 是同一个函数： ） y = ；( x , x … 0, ．但是它们的对应法则不同，因此不是同*3.1.11 ．求下列函数的定义域：（1） f (x ) = x ) =2 ．已知 f (x ) = 3x - 2 ，求 f (0) ， f (1) ， f (a ) .3 ．判定下列各组函数是否为同一个函数： （1）f (x ) = x ， f (x ) = ；（2）f (x ) = x +1 ，f (x ) =.*= x =〈l -x ,x x < 0.曲线形象地反映出气温T （。