2012届高三数学复习课件(广东文)第11章第2节__椭圆

由椭圆的定义可得 MF1 + MF2 = 2a = 10， 则 MF2 = 10 − MF1 = 10 − 2 = 8. 又ON 为∆MF1 F2的中位线， 1 所以 ON = MF2 = 4. 2
求椭圆的标准方程
例题2：求中心在原点，对称轴为坐标轴，长轴长为8， 1 离心率为 的椭圆的方程． 2
解析：如图，按小球所走路径分三种情况：
(1) A − C − A，此时小球走过的路程为2 ( a − c )； ( 2 ) A − B − D − B − A，此时小球走过的路程为2 ( a + c )； ( 3) A − P − B − Q − A，此时小球走过的路程为4a，
故选D.答案：D
x2 y 2 = 1上的点M 到焦点F1的距离 拓展练习：若椭圆 + 25 9 为2，N 为MF1的中点，则 ON (O为坐标原点)的值为 ( A ) 3 A． B． 4 2 C． 8 D. 2 解析：设椭圆的另一个焦点为F2 .
2
−2km m2 − 1 x1 + x2 = 2 ，x1 x2 = 2 . k +2 k +2 x1 + x2 = −2 x2 因为 AP = 3PB, 所以 − x1 = 3 x2 , 所以 . 2 x1 x2 = −3 x2
−2km 2 m2 − 1 所以3 ( x1 + x2 ) + 4 x1 x2 = 0, 即3i( 2 ) + 4i 2 = 0， k +2 k +2 1 整理得4k 2 m 2 + 2m 2 − k 2 − 2 = 0.当m 2 = 时,上式不成立； 4 1 2 − 2m 2 当m 2 ≠ 时，k 2 = . 2 4 4m − 1 2 − 2m 2 1 2 又k ≠ 0，所以k = ＞0，所以 − 1＜m＜ − 或＜m＜1. 2 4m − 1 2 容易验证k 2＞2m 2 − 2成立，所以 (*) 成立．
即y1 y2 + x1 x2 − 2 ( x1 + x2 ) + 4 = 0， 3(m 2 − 4k 2 ) 4(m 2 − 3) 16mk 即 + + + 4 = 0， 2 2 2 3 + 4k 3 + 4k 3 + 4k 化简得7 m 2 + 16mk + 4k 2 = 0， 2k 解得m1 = −2k ,m2 = − ,且满足3 + 4k 2 − m 2 > 0. 7 当m = −2k时,l：y = k ( x − 2 ) ,直线过定点 ( 2, 0 )，与已知矛盾； 2k 2 2 当m = − 时,l：y = k ( x − ),直线过定点( ， ． 0) 7 7 7 2 综上可知,直线l过定点,该定点的坐标为( ，． 0) 7
不是左、右顶点)，且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点D， 求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．
x2 y2 解析：1)由题意设椭圆的标准方程为 2 + 2 = 1( a > b > 0 )． ( a b 易知a + c = 3，a − c = 1，则a = 2，c = 1，故b 2 = 3. x2 y 2 = 1. 所以椭圆C的标准方程为 + 4 3 ( 2 ) 设A( x1，y1 )，B( x2，y2 )． y = kx + m 2 2 由 x ,得 ( 3 + 4k 2 ) x 2 + 8mkx + 4 ( m 2 − 3) = 0. y =1 + 3 4
因为∆ = 16m 2 − 12 ( 2m 2 − 2 ) = 8 ( −m 2 + 3) > 0， 所以 − 3 < m < 3. −4m 又x1 + x2 = ， 3 −4m 2m . 所以y1 + y2 = x1 + x2 + 2m = + 2m = 3 3 ③ 设A、B两点的坐标分别为( x1，y1 )、 2，y2 )． (x
2
2
5.如果方程x 2 + ky 2 = 2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实 (0,1) 数k的取值范围是
x2 y2 解析：椭圆的方程化为 + = 1.由于焦点在y轴上， 2 2 k 2 则 > 2，即k < 1.又k > 0，所以0 < k < 1. k
椭圆的定义的应用
例题1:椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点 出发的光线，经椭圆反射后，反射光线必经过椭圆 的另一个焦点．今有一个水平放置的椭圆形台球盘， 点A、B是它的两个焦点，长轴长为2a，焦距为2c. 静放在点A的小球(小球的半径不计)从点A沿直线出发， 经椭圆壁反弹后第一次回到点A时， 小球走过的路程是( ) A．a 4 C．( a + c ) 2 B．( a − c ) 2 D.以上答案均有可能
x2 y 2 拓展练习：已知椭圆C： 2 + 2 = 1( a > b > 0 )的离心率 a b 2 2 为 ，且过点(1， )． 2 2 (1) 求椭圆C的方程；
( 2 )已知直线x − y + m = 0与椭圆C交于不同的两点A、B，
2 2
5 且线段AB的中点不在圆x + y = 内，求m的取值范围 9
(1) 求椭圆 C的方程； ( 2 ) 求 m的取值范围．
解析： )由题意可知椭圆C为焦点在y轴上的椭圆， (1 y 2 x2 故可设椭圆C的方程为 2 + 2 = 1(a＞b＞0)． a b 由条件知a = 1且b = c，又a 2 = b 2 + c 2， 2 解得a = 1，b = c = . 2 c 2 x2 故椭圆C的离心率e = = ，其标准方程为y 2 + = 1. 1 a 2 2
依题意,∆ = 64m 2 k 2 − 16 ( 3 + 4k 2 )( m 2 − 3) > 0， 8mk 4( m 2 − 3) 即3 + 4k 2 − m 2 > 0.又x1 + x2 = − ，x1 i x2 = ， 2 2 3 + 4k 3 + 4k 所以y1 y2 = ( kx1 + m )( kx2 + m ) 3( m 2 − 4k 2 ) = k 2 x1 x2 + mk ( x1 + x2 ) + m 2 = . 2 3 + 4k 因为以AB为直径的圆过椭圆的右顶点D ( 2, 0 )， 所以DAi DB = 0.DA = x1 − 2, y1） = ( x2 − 2，y2 )， （ DB 故 DAi DB = ( x1 − 2 )( x2 − 2 ) + y1 y2 = 0，
解析：把点(−2，3 )的坐标代入方程得b 2 = 4，所以 c = 16 − 4 = 12，所以c = 2 3.故焦距为2c = 4 3.
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x y 1 3.如果椭圆 + = 1的离心率是 ，那么 k +8 9 2 5 实数k的值为 4或 − 4
2
2
解析： ) 当焦点在x轴上时，a 2 = k + 8 > 0，b 2 = 9， (1 所以c 2 = a 2 − b 2 = k − 1 > 0，所以k > 1， c c2 k −1 1 且e = = = = ，解得k = 4. 2 a a k +8 2 ( 2 )当焦点在y轴上时，a 2 = 9，b 2 = k + 8 > 0， c 2 = a 2 − b 2 = 1 − k > 0，所以 − 8 < k < 1， c c2 1− k 1 5 且e = = = = ，解得k = − . a a2 9 2 4
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由③④得 − 3 < m ≤ −1或1 ≤ m < 3. 故m的取值范围为(− 3， ∪ [1，3)． -1]
椭圆的几何性质
例题 3： 已知 F1为椭圆的左焦点， A、 B分别为椭圆的 右顶点和上顶点， P为椭圆上的点，当 PF1 ⊥ F1 A， PO //AB (O为椭圆中心 )时，求椭圆的 离心率． O为椭圆中心 时，求椭圆的离心率．
2 2
c 反思小结：求椭圆的离心率，即求 ，只需求a、c的值 a 或a、c用同一个量表示．本例没有具体数值，因此只需 把a、c用同一量表示，利用椭圆方程及直线平行与垂直 的性质是解决本题的关键．
拓展练习：已知F1、F2是椭圆的两个焦点． 则椭圆离心率的取值范围是 ( C A．0,1) ( 1 B．， ] (0 2 满足 MF1 i MF2 = 0的点M 总在椭圆内部，
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1.平面内有两定点A，B及动点P， 设命题甲：PA + PB 是定值”， “ 命题乙： P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆”． “点 那么甲是乙成立的 ( ) B A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
x2 y 2 2.若椭圆 + 2 = 1过点(−2，3 )，则其焦距为( C ) 16 b A． 5 B． 3 C． 3 2 2 4 D． 5 4
)
2 C．， ) (0 2
2 D． ， [ 1) 2
解析：依题意，以F1 F2为直径的圆总在椭圆内部， c2 1 则b > c，所以b 2 > c 2，即a 2 − c 2 > c 2，则 2 < ， a 2 c 2 得0 < < . a 2
椭圆的综合应用
例题 4： 已知椭圆 C的中心为坐标原点 O，一个长轴端点 为 ( 0,1)，短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形， 直线 l与 y 轴交于点 P (0， m )，与椭圆 C 交于相异两点 A、 B , 且 AP = 3 PB .
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1 1 故m的取值范围为(−1， ) ∪ ( ，． − 1) 2 2