简化解析几何运算的九种常用策略
解析几何化减技巧
解析几何化减技巧解析几何是数学中一个重要的分支，它研究的是几何对象（如点、线、面）在坐标系中的表示和变换。
在解析几何中，我们经常需要化简一些复杂的表达式或方程，以提高计算的效率和准确性。
以下是一些常用的解析几何化简技巧：1. 代数运算：这是最基本的方法，包括加、减、乘、除、乘方等。
例如，对于两个向量的点积，我们可以使用分配律和结合律进行化简。
2. 坐标变换：如果我们有一个表达式涉及到多个坐标点或向量，我们可以考虑使用坐标变换来简化这个表达式。
例如，如果我们有两个参考系，并且知道它们之间的转换关系，我们就可以将一个坐标点从一种参考系转换到另一种参考系。
3. 向量运算：向量运算（如加法、数乘、点积、叉积等）在解析几何中非常常见。
理解这些运算的性质和规则可以帮助我们更有效地进行化简。
4. 矩阵运算：在解析几何中，矩阵经常被用来表示变换（如旋转、平移、缩放等）。
理解矩阵的运算法则（如乘法、转置、逆等）可以帮助我们更有效地进行化简。
5. 参数方程：对于一些复杂的几何形状（如椭圆、抛物线、双曲线等），我们经常使用参数方程来表示它们。
参数方程可以将一个复杂的几何问题转化为一个简单的代数问题，从而更容易进行化简。
6. 极坐标与直角坐标转换：在解析几何中，极坐标和直角坐标是两种常用的坐标系。
理解这两种坐标系之间的转换关系可以帮助我们更有效地进行化简。
7. 对称性：许多几何形状和表达式都具有对称性。
利用这些对称性可以帮助我们更有效地进行化简。
8. 代数恒等式：一些基本的代数恒等式（如平方差公式、完全平方公式等）在解析几何中非常有用。
掌握这些恒等式可以帮助我们更有效地进行化简。
9. 使用软件工具：现代的数学软件工具（如 MATLAB、Geometer's Sketchpad 等）可以帮助我们更方便地进行解析几何的化简和计算。
以上就是一些常用的解析几何化简技巧。
在实际应用中，我们需要根据具体的问题和情况选择合适的方法进行化简。
“设而不求”,简化运算
“设而不求”，简化运算
作者：朱建平
来源：《新高考·数学基础》2018年第07期
“设而不求”是指利用题设条件，巧妙设元，通过整体替换再消元或减元，达到运算中以简驭繁的目的的一种解题方法.它的实质是整体结构意义上的变式和整体思想的应用.
解析几何问题中“设而不求”的解题策略的常见方法有：设而不求整体化归、利用韦达定理、代点相减法等等.
1.利用中点坐标公式设而不求
点评利用“设而不求”，不仅可以简化计算，而且使解法灵活生动.其核心思想就是整体思想，所得结果恰好满足题意.
2.利用代点相减法设而不求
点评此题利用“点差法”和中点公式求出直线的斜率公式，解题过程思路清晰，运算简洁明快，是解析几何常用方法.
3.利用韦达定理设而不求
分析此题解法多样，处理角度也很多，通过适当转化后可以利用根与系数的关系，“设而不求，整体思想”去解决.
点评此类问题主要是通过直线与圆联立方程组，通过韦达定理利用“设而不求”思想整体代人，逐步转化为关于参数的方程或不等式问题，避免了繁琐的求解運算，也降低了出错率，是解析几何运算中最有代表性的运算方法之一.
“设而不求”是用代数方法解决问题的一个好手段.所谓设而不求，就是指在解题过程中根据需要设出变量，但是并不具体地去直接解出变量的值.它给解这一类题提供了较好的切人点和较少的运算量，此类方法是以“设”为基础，而“不求”是关键、是技巧，从而得到需要的结论，
采用设而不求的策略，往往能避免盲目推演而造成的无益的循环运算，从而达到准确、快速、简捷的解题效果，。
解析几何解题策略
用三角函数求最值要有主
元变换思想，把三角函数 化为单一三角函数是难点。
三．几何策略
若题目中的条件与结论能蕴涵特定的几何特征
及几何意义，那么不妨借助图形，利用几何性质或 定义来处理最值问题。
1． 赋予特定的几何意义
有些最值问题具有相应的几何意义，如求分数最值联想到斜率公式，求平 方和最值联想到距离公式，由
ห้องสมุดไป่ตู้
3．线性规划 当实数对x、y所应的点
在一个区域或一条线段上
时 ， 求 最 值题 可 以 从 线性 规划的角度去处理。如若x、
y满足 ，则–2 x + y 的最大
值是 （略解）
4．利用平面几何知识 解析几何与平面几何是
密切相关的，灵活运用平面
几何知识亦会使一些最值问 题易于解决。
设而不求是解析几何的重要解题策略，在许多题目的 解答中，常常可以起到简化计算的作用。许多同学会问：什 么情况下，可以通过设而不求解答问题呢？本文介绍设而不 求的若干实施途径，供大家参考。 一、利用直线方程的两点式求直线方程时，利用直线方程的定义，实现设而不求
二、解答有关点在圆锥曲线上的问题时，借助圆锥曲线定义，整体考虑，实现设而 不求
三、解答与圆锥曲线的弦的中点、斜率有关的问题时，通过代点相减，实现设而不 求
四、对多元问题，围绕解题目标，通过逐步消元，实现设而不求
3．判别式
利用判别式求最值要有主元变换的思想，而且原方程必须存在实数解， 即原问题中的最值是存在的。
4．均值不等式
用均值不等式求最值要积累“配凑”技巧与方法，同时三条件“一正二定三 相等”缺一不可。
二．三角策略
圆、椭圆、双曲线的
参数方程，为我们将某些 最值问题转化为三角问题 且利用三角函数的有界性 来研究提供了可能性。利
减少解析几何运算量的常用策略
减少解析几何运算量的常用策略解析几何是在坐标系的基础上，用代数方法研究几何图形性质的一门数学学科，因此代数学运算就不可避免地出现在其中，如果解题时思维的起点与方法选择的不当，则不是繁琐就是出错，因此，运用解题的思维策略，选择恰当的思维起点与方法，以最大限度地减少解析几何的运算量1． 回到定义 定义、定理是对数学对象的本质属性的概括和内在规律的揭示，只有深刻地理解概念的本质和定理所揭示的内在规律，才能灵活运用它来简化解题过程．有的问题虽可以不依赖于定义，但如能回到定义，则常能使问题获得简捷的解法，波利亚就提倡“回到定义”．例1 一直线被两直线1l ：032=++y x 和2l ：0632=--y x 截得的线段的中点恰好是坐标的原点．求这条直线的方程．简析略解：此题的一般求解思路是：先求出l 分别与1l 、2l 的交点（用l k 表示），然后利用中点坐标公式求出l k ，进而得到l 的方程，这样运算量太大．如果我们对直线与方程的定义有深刻的理解，就会自觉地利用定义，并结合运用设而不求的技巧来寻求简捷解法． 设l 分别与1l 、2l 交于点M 、N ，又设M 的坐标为（11,y x ），则有03211=++y x ① 又因为M 、N 关于O 对称，所以点N 的坐标为（11,y x --），则有0632=-+-y x ② ①×２＋②，得05211=+y x ．可见M 11,(y x ）在l ：052=+y x 上，又此直线过原点，由两点确定一直线知所求直线的方程为052=+y x ．例2 已知12,F F 分别是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点，M 是该椭圆上的一动点，MN 是12F MF ∠的外角平分线，2F Q MN ⊥于Q ，求动点Q 的轨迹方程．略解：设(,)Q x y ，延长2F Q 和直线1F M 相 交于P ，则(2,2)P x c y -，且MPQ ∆≌2MF Q ∆．所以2MP MF =，2PQ F Q =，由椭圆的定义得：111F P MF MP MF =+=+所以 222(2)(2)(2)x c c y a -++=， 即222x y a +=所以，动点Q 的轨迹方程为222x y a +=．２．设而不求例３ 已知ABC ∆的三个顶点都在椭圆224580x y +=上，若(4,0)A ，ABC ∆重心是椭圆的右焦点，求直线BC 的方程．简析略解：因(4,0)A 为椭圆的短轴的顶点，右焦点(2,0)F 为ABC ∆重心，所以F 的坐标与三顶点,,A B C 的坐标有关，故设1122(,),(,)B x y C x y ，则又因为,B C 在椭圆上，故由①、②、③、④求出Ｂ、Ｃ两点的坐标，再求直线BC 的方程．对思维监控评价：这里解题的方向是正确的，但通过四个方程来求出四个坐标的运算是比较麻烦的，能否有比较简单的途径呢？由③－④得：121212124()()5()()0x x x x y y yy +-++-=． 由题意知：120x x -≠，将①、②整体代入得121265y y x x -=-，这个正好是直线BC 的斜率 121265BC y y k x x -==-，而BC 的中点坐标1212(,)22x x y y M ++，即(3,2)M -， 所以直线BC 的方程为：62(3)5y x +=-．问题之所以得到简捷地解答，就是用了设而不求的策略． ３．用好对称数学中的对称是广义的，有几何图形的对称，数量关系式结构的对称，对偶等，用起来比较灵活，而解析几何中的对称还是比较直观的，要是能灵活运用，可化繁为简，化难为易．例４ 如图2，在直线:90l x y -+=上任取一点M ，经过M 点且以椭圆221123x y +=的焦点为焦点作椭圆，问当M 在何处时，所作椭圆的长轴最短，并求出具有最短长轴的椭圆方程．简析略解： 椭圆两焦点为1(3,0)F -，2(3,0)F 作1F 关于直线l 的对称点'1F ，要使所作椭圆的长轴12023x x ++= 12003y y ++=126x x += ①124y y +=- ②⇒22114580x y += ③22224580x y += ④最短，即12MF MF +最短，也就是'12MF MF + 最短，故M 点应是直线'12F F 与已知直线l 的交点， 如图2．直线'11F F 的方程为:30x y ++=，由方程组得点(6,3)P -，由中点坐标公式得'1(9,6)F -，故直线'12F F 的方程为:230x y +-=．解方程组 得所求M 点的坐标为（－５，４）．由于'122F F a ==，此时椭圆的方程为2214536x y +=． 注：怎样能使椭圆的长轴最短？当然想到椭圆的定义．最小――折线段的和最短――三点一直线――寻找对称点――对称变换．简明的解法找到了．对称，能提供一种清晰的想象力，这种想像力常能使我们看到并发现用别的方法也许较难发现的关系．４．活用平几由于解析几何就是用代数方法研究几何图形性质的一门数学学科，所以平面几何的许多知识就能使我们的思路来得直观明了．例5（2001年全国高考试题）设抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，经过F 的直线交抛物线于A ，B 两点，点C 在抛物线的准线上，且BC ∥x 轴，证明直线AC 经过原点O ．简析略证：如图３，记 x 轴与准线l 交点Ｅ，过Ａ作AD l ⊥，垂足为Ｄ，则AD ∥FE ∥BC ．连结AC ，与EF 相交于点N ，则由平几知识得：EN CN BF AD AC AB ==，NF AFBC AB=， 根据抛物线的几何性质，AF AD =，BF BC =， 所以 AD BF AF BCEN NF AB AB∙∙===，即N 是EF 的中点，与抛物线的顶点Ｏ重合，所以直线AC 经过原点O ．５．巧用向量向量是高中教材的新增内容，由于向量具有几何和代数的双重属性，以向量为工具，改变了传统的平面三角、解析几何、立体几何等内容的学习体系，使几何问题彻底代数化了，使数形结合思想体现的更深刻、更完善.30x y ++=90x y ++=30x y ++=90x y ++=E例６ （1999年全国高中数学联赛试题）已知点(1,2)A ，过点(5,2)D -的直线与抛物线24y x =交于Ｂ，Ｃ两点，试判断ABC ∆的形状．解：设211(,2)B t t ，222(,2)C t t ，12t t ≠，11t ≠，21t ≠，则有211(5,22)DB t t =-+，222(5,22)DC t t =-+．∵ Ｂ，Ｃ，Ｄ三点共线， ∴ DB ∥DC ．所以 212(5)(22)t t -+-221(5)(22)t t -+＝０⇒121250t t t t +++=⇒ 12(1)(1)4t t ++=-．又AB AC ∙=211(1,22)t t --∙222(1,22)t t --＝21(1)t -22(1)t -＋1(22)t -2(22)t -＝1(1)t -2(1)t -［1(1)t +2(1)t +＋４］＝０，所以 AB AC ⊥，故ABC ∆为直角三角形．例７ 已知圆22:4C x y +=和两个定点(1,0),(1,0)A B -，点Ｐ为圆Ｃ上的动点，过点Ｐ的圆Ｃ的切线为l ，点Ａ关于l 的对称点为/A ，求/AB 的最大值．分析：本题的常规解法是：首先求出点/A 的轨迹方程，再利用两点间距离公式去求/AB 的表达式（要运用点/A 的轨迹方程将二元函数问题转化为一元函数最值），进而求出/AB 的最大值．这里所用的纯解析法虽然思路很直接，但求出点/A 的轨迹方程是一个难点，很难突破，并且运算量大，过程繁琐．而平面向量的几何计算灵活方便，运用平面向量的运算法则合理安排运算，使问题的解决变得简洁．解：如图1，设/AA 与直线l 交于点Q ，连接OP 由,O Q 分别为',AB AA 的中点， 得OQ ∥'A B ，且/2A B OQ =．又',AA l OP l ⊥⊥，故OP ∥'AA ．设(0)AQ mOP m =>，2OP =，则OQ OA AQ OA mOP =+=+，(1)PQ OQ OP OA m OP =-=+-，由题意得OP PQ ⊥，则OP PQ ∙＝０，即OP ∙[(1)]OA m OP +-＝０， 即OP ∙2(1)OA m OP +-＝０，得 OP ∙4(1)OA m =-．又 22OQ OA mOP =+＝2222OA mOA OP m OP +∙+∙＝＝１＋224(1)4m m m ⨯-+＝－224814(1)5m m m ++=--+,∵ 0m >， ∴ 当1m =时，2max5OQ =，∴ maxOQ=．所以 /maxA B=max2OQ=，此时 AQ OP =，点P 的坐标为（０，±２），切线方程为y =±２，点'A 的坐标为（－１，±４）．６．利用极坐标例８ 已知椭圆1162422=+y x ，直线l ：1812=+yx ． Ｐ是l 上一点，射线OP 交椭圆于Ｒ，又点Ｑ在OP 上且满足 OQ 上移动时，求点Ｑ的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．(1995年全国高考压轴题)解题的策略分析：本题是求动点Ｑ),(y x 的轨迹方程，即找到关于y x ,的等式，可以用一般法来解，即设点Ｑ),(y x ，Ｑ),(Q Q y x ，Ｒ),(R R y x ，再布立方程组来解．但必须看到这里有y x ,，Q Q y x ,，R R y x ,六个末知量，这样，所立的方程组中不下五个方程，因此，即使可解，也该暂缓，看有否别的方法？从条件2OR OP OQ =⋅知，这是一个与长度与角度有关的问题，故可用参数法求解比较简单．但不要就此停步，再看是否还有别的方法？的确，用极坐标法来解将会显得更简捷．在分辩了方法间的优劣之后，策略层面的问题已经解决，但仍不要大意，要继续细心分辩，因为在选择极坐标法来解后，还有个极点选在原点还是在椭圆左焦点的问题，它关系到极坐标方程是用统一式还是用互化式的问题，这是一个学生用极坐标法来解时常常难以选择．这里考虑到OR OP OQ ,,都是从原点出发的线段长度，故选用以坐标原点为极点来解，即不用统一式而用互化式．这样，分辩清了，简捷的方法、合理的运算和要运用的知识也就自然择优而定了． ７．用好焦半径公式例９ 如图已知梯形ABCD 中AB =2CD , 点E 分有向线段AC 所成的比为λ，双曲线过C 、D 、E 三点,且以A ,B 为焦点，当32≤λ≤43时，求双曲线的离心率e 的取值范围.(2000年全国高考试题)解题的策略分析：一看到这个题，不要说当年一些普通考生望题兴叹，就是一些基础不错的考生也没了头绪，这不但是由于它是一个双参数范围问题，而且是在未知双曲线方程的情况下来求离心率e 的取值范围，再加上大家期望要用上的已知条件：32≤λ≤43中的λ，又是大家在日常解题中着实有点感到后怕的“点E 分有向线段AC 所成的比”．这时，一些有思维策略的学生就有了用武之地：他们首先从审题后看到题设中无系无方程，因此，用分而治之的策略，从建立坐标系，确立方程的形式入手：如图以AB 的垂直平分线为y 轴, 以AB 所在的直线为x 轴,建立 直角坐标系xoy ,则CD ⊥y 轴. 因为双曲线过C 、D ,且以A ,B 为焦点,由双曲线的对称性知C 、D 关于y 轴对称，并设双曲线方程为22a x —22b y =1 (a ＞0,b＞0), 则离心率e =a c． 在做好这一基础性工作的前题下，如何由λ的范围来求e 的范围就成了解决本题的思维核心，他们看到在本题这个双参数问题中，λ和e 既互相制约，又在一个矛盾中统一(统一在一个方程里)，这是考查学生在解题某个阶段视哪一个为主元，哪一个辅元，而在解题另一个阶段，又需要主辅互换，反客为主，真是个考查辩证思维的绝妙押轴题．这虽难，但也正是考生一显身手，展示自己思维能力的好地方，也是与众考生一决高下的分水岭．因此，他们根据λ的范围已知这一条件，进而确立：先视λ为主元，再视e 为主元，找出两个参数之间的关系λ=)(e f ，将问题转化归为已知范围，再解不等式，由此求出参数e 的范围这样一个整体的思路和思维策略．于是，他们先视λ为主元，找λ的关系式： 依题意，记 A (c -,0 ) , C (2c ,h )，E (0x ,0y )，其中c =AB 21为双曲线的半焦距，h 是梯形的高.由定比分点公式得：0x =λλ++-12c =)1(2)2(λλ+-c ， 0y =λλ+1h ．但在如何再视e 为主元，找出两个参数之间的关系λ=)(e f 上，是又一次体现思维水平的层次性和思维策略的重要性．视角一：视点C 、E 为直线ＡＣ与双曲线的交点，这时，虽能把方程2()3hy x c c=+代入22a x —22by =1得：22222222222(94)8(49)0b c a h x a h cx a h a b ---+=．这一常规思路虽正确，解题方向也不错，但要用上这一方程不但难，而且繁，在应试的情况下当然应另辟蹊径．思路敏锐的学生在不代前就暂时放弃了．视角二：视点C 、E 在双曲线上，将C 、E 的坐标和e =ac代入双曲线的方程,得 42e —22b h =1 ① 42e ·2)12(λλ+-—2)1(λλ+22b h =1 ②由①得：22b h =42e — 1 ③将③式代入②式整理得: 42e (4λ4-)=1+2λ, 故得λ=1232+-e .由题设32≤λ≤43 , 得 32≤1232+-e ≤43 ,故得 7≤e ≤10.所以双曲线的离心率e 的取值范围是[7.10]．视角三：视AC 、AE 为点C 、E 到焦点Ａ的距离，由焦半径公式得：2c eaAC a ex a =+=+， (2)2(1)E e c AE a ex a λλ-=--=--+．而AC 、AE 同号，从而11AC AC AEAE λ==+． 所以 ()121(2)21ca ec a e λλλ++=---+ ⇒ 2213211e λλλ+==-+--． 由题设32≤λ≤43 , 得 32≤1232+-e ≤43 ,故得 7≤e ≤10.所以双曲线的离心率e的取值范围是[7.10]．这里同是C、E二点，但由于解题思维策略的运用，从不同的视角出发，使解题的切入点和解题的方向各不相同，对同一问题解答所用的知识、方法和也不同．，其中视角二下的方法比较简单，而视角三下的方法，运用焦半径公式来解，在简捷中更显得灵活，真是：“横看成岭侧成峰，远近高低无一同”．简化解答虽不是突破性的进展和创造，却也是对已经取得成果的改造和推进. 对学生来说, 则是一种对所学知识的灵活运用和高超驾驭基础上的创新, 是一种精神的升华和对数学美的追求. 从中体现出思维的批判性、深刻性、广阔性、敏捷性和解题的艺术性. 因此, 培养学生的求简精神, 不仅是正确、迅速解题的需要和保证，而且是优化思维品质、领悟数学精神、提高创新能力的有效途径.。
谈解析几何简化运算的策略
｛ － １，狔２
－ ３）， 所 以
１－狓１ ＝－λ（狓２ －１），即 ３－狔１ ＝－λ（狔２ －３），
｛狓１ －λ狓２ ＝１－λ， ①因 为犆→犙 ＝λ犙→犇，同 理 可
狔１ －λ狔２ ＝３（１－λ）．②
｛得 狓１ ＋λ狓２ ＝（１＋λ）狓，③ 狔１ ＋λ狔２ ＝（１＋λ）狔． ④
① × ③ ，得 狓２１ －λ２狓２２ ＝（１－λ２）狓．⑤
② × ④ ，得狔２１ －λ２狔２２ ＝３（１－λ２）狔．⑥
⑤ ＋ ⑥ ，得狓２１ ＋狔２１ －λ２（狓２２ ＋狔２２）＝（１－λ２）（狓
＋３狔）．因 为 点犆，犇 在 圆犗 上 ，所 以狓２ １ ＋狔２１ ＝３，狓２ ２ ＋狔２ ２ ＝３，所 以３（１－λ２）＝（１－λ２）（狓 ＋３狔）．因 为λ ≠±１，所以狓＋３狔＝３，故点犙 在定直线狓＋３狔－３＝ ０上． ２ 有效利用条件
设而不求法是 一 个 大 的 解 题 策 略，在 具 体 操 作
时为简化运算也 常 常 会 有 一 些 一 般 化 思 考．如 设 直 线方程或点的坐 标 时，根 据 具 体 的 条 件 考 虑 选 择 合
适的形式，典型 的 情 况 就 是 如 果 一 条 直 线 的 斜 率 可
能不存在但其与狓 轴 必 相 交 时，常 考 虑 把 直 线 方 程 设为狓 ＝犿狔＋犫 形式．除了一般化思考外，笔者认为 如能注意如下一 些 小 的 技 巧 的 运 用，在 解 析 几 何 运
分析 本 题 的 常 规 解 法 是 设 犘（犪，犫），再 利 用 题 中 两 个条 件 各 列 一 个 方 程，通 过 解
方程组 得 到 点 犘 的 坐 标方 程．这
样做 有 一 定 的 计 算 量，考 虑 优
图１
例析高考中解析几何简化运算量的常用策略
评析:解析几何的计算常涉及一个参数或多个参数的运算。根据几何图形的特征,选择合适的参数,可使解题简捷巧妙。
四、先猜后证，绝处逢生
例4：（2009年高考山东卷理科22题）
设椭圆E:＋ ＝1（a,b>0）过M（2，2）、N(6,1）两点，O为坐标原点。
（1）求椭圆E的方程。
（2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A、B且OA⊥OB？若存在，写出该圆的方程，并求|AB|的取析：设而不求，利用韦达定理整体代换可避免冗长的运算，这是直线与圆锥曲线位置关系问题常用处理办法。
三、引入参数，化繁为简
例3：（2016年高考全国卷Ⅰ理科20题）
设圆x2+y2+2x-15=0的圆心为A，直线l过点B（1,0）且与x轴不重合，l交圆A于C、D两点，过B作AC的平行线交AD于点E。
解析:（1）略。
（2）设∠MBA=θ〔θ∈（0，π）〕,则在△MAB中，|MA|2=|MB|2+|AB|2-2|MB|·|AB|·cosθ。结合|MA|+|MB|=4可得|MB|=。同理可得|NB|=，从而|MN|=。
此时,直线PQ的倾斜角为π-θ,方程为xcosθ=ysinθ+cosθ,|PQ|=44-cos2θ,所以S四边形PNQ=|MN|·|PQ|=，所以四边形的取值范围是[12，83）。
例析高考中解析几何简化运算量的常用策略
近年来，解析几何解答题往往在最后两题出现，是高考中区分中上层学生数学成绩的一个关键考点，能顺利解答解析几何题是数学分数跃上新台阶的重要条件。解析几何的主要特征是“算”，考生如果对运算方法运用不当，面临繁杂的运算将无从下手，最终只能望运算而兴叹，以失败告终。
简化解析几何运算方法
简化解几运算八法解析几何的本质特征是几何问题代数化，就是将抽象的几何问题转化为易于计算的代数问题，这提供了许多便利；但也不可避免地造成许多计算的繁琐，同时对运算能力提出较高要求。
其实，只要有简化运算的意识，注意探索简捷运算的技巧，并适时进行有关的规律总结，许多较为繁琐的计算过程是可以简化甚至避免的。
1.回归定义圆锥曲线的定义是圆锥曲线的本质属性。
许多美妙而有趣的性质和结论都是在其定义的基础上展开的，在分析求解时若考虑回归定义，可以使许多问题化繁为简。
例1 过椭圆左焦点倾斜角为60的直线交椭圆于点B A ,且FB FA 2=，则此椭圆离心率为._____解析 本题的常规解法是：联立⎪⎩⎪⎨⎧+==+)(3,12222c x y b y a x 再结合条件FB FA 2=求解，运算量大，作为填空题，不划算！如图1，考虑使用椭圆的定义和有关平面几何性质来求解：)2(31)(31B B A A B B A A B B FM '+'='-'+'=(31e AF +=另一方面，在F C B Rt '∆中C F BF C BF '=⇒='∠260, 故.2BFe BF M C C F FM +='+'=于是 =+)2(31e BFe AF 2BF e BF FM +=， 又FB FA 2=，所以可得.32=e例2 一种酒杯是抛物线22(0)x py y =>绕y 轴旋转而成的，将长为l 的玻璃棒（质地均匀）随意的放入酒杯内（杯壁足够高，能没入玻璃棒）解析：确定平衡位置即求玻璃棒中点M 到x 轴距离的最小值，如图2，应用抛物线的定义进行简捷求解：当p l AB 2≥=AB 可以经过焦点F ，如图2所示：AF A A BF B B ='=',，所以.2)2(22min pl d p d M M B B A A BF AF AB l -=⇒+='='+'=+≤= 显然当p l AB 2<=时平行于x 轴时最小为.82m i n pl d = 2．活用平几性质解决解析几何的运算问题，往往需要求解涉及含多个参数的两个以上方程组成的方程组，运算较为复杂，运算能力稍差的同学难以准确迅速求解，甚至半途而废；若能联想题目所涉及图形的几何性质，并利用有关几何性质来解决问题，常常可以峰回路转，收简捷巧妙解题之效果.例3 已知点P 到两定点)0,1(),0,1(N M -的距离比为2，点N 到直线PM 的距离为1，求直线PN 的方程。
浅谈解析几何中简化运算的常用策略
浅谈解析几何中简化运算的常用策略解析几何难在运算，要想突破这一难关，除了平时要注意培养良好的意志品质外，更主要的是要掌握一些有效减少运算量的方法，希望以下几种方法，对大家能有所帮助。
策略一追根溯源，回归定义圆锥曲线定义反映了圆锥曲线的本质特性，揭示了它们存在的条件及其所包含的性质，用定义解题，简捷明快，省时高效。
例1设是抛物线的焦点，直线过交抛物线于、两点，点满足条件；(1) 证明：以为直径的圆与抛物线的准线相切；(2) 若是抛物线上一点，且的最小值为5，求、的值。
分析：本题如果不用定义，就势必用点到直线的距离公式和两点间的距离公式，如（2）中，在求最小值时，遇到了两根式函数和的最值问题，相当复杂。
解：（1）设中点为，分别过、、点作准线的垂线，垂足分别为、、，由抛物线定义可知：所以，以直径的圆与准线相切。
（2）过作于，交抛物线于点，则为所求评注：利用圆锥曲线解题，应注意以下几种情形：①涉及椭圆、双曲线上的点与两个焦点构成的三角形问题，常用第一定义结合正、余弦定理来解决；涉及焦点、准线、离心率、圆锥曲线上的点等问题，常用第二定义。
②研究有关点间的距离的最值问题时，常用第一定义把曲线上的点到焦点的距离转化为到另一焦点的距离或利用第二定义把曲线上的点到焦点的距离转化为到其相应准线的距离，再结合图形利用几何意义去解决有关的最值问题。
策略二抓住本质，合理转化转化是解题的精髓，就是从未知向已知，从复杂向简单的化归转化过程，它具有很强的灵活性。
常要求我们抓住问题的本质，解放思想，克服思维定势。
好的转化方法不仅可以减小运算量，而且可以让人叹为观止，使人的心灵受到美的熏陶。
例2已知点A(3,0) , B(0,3)和抛物线。
若抛物线和线段AB恰有一个公共点，求m的取值范围。
分析：本题可以先把两曲线交点问题，转化为方程根的个数问题，进一步再利用数形结合求解。
本题若利用方程根的分布求m 的范围，运算量会比较大。
解：把线段AB的方程y =3-x ( )代入抛物线，得，于是原题化归为方在[0,3]内恰有一解。
解析几何解答题的答题策略和技巧
解析几何解答题的答题策略和技巧解析几何解答题答题策略和技巧解析几何题目的解答通常涉及到代数和几何原理相结合。
要有效解决这些问题，遵循以下策略和技巧至关重要：理解题意仔细阅读题目，并确保理解要求。
确定您需要找到的内容，例如点的坐标、线的方程或图形的性质。
选择适当的坐标系根据问题中的信息，选择合适的坐标系。
笛卡尔坐标系（直线坐标系）通常用于描述二维空间，而极坐标系则适用于某些涉及角度或极半径的问题。
建立方程或不等式使用代数和几何原理建立方程或不等式。
这可能包括使用点-斜率形式、斜截距形式、点-线距离公式或其他相关概念。
求解方程或不等式运用代数技巧求解方程或不等式。
这可能涉及因子分解、平方、化简或三角函数的使用。
验证解将找到的解代回原始方程或不等式中，以确保其满足问题条件。
几何直觉在求解过程中，运用几何直觉来了解图形的形状和位置。
这可以帮助您做出假设和做出明智的决策。
技巧和注意事项简化问题：如果可能，将复杂的问题分解成更简单的部分，以便更容易解答。
利用对称性：在某些情况下，图形或方程可能具有对称性。
利用这些对称性可以简化问题。
使用图形计算器：图形计算器可以用于可视化图形并检查解。
保持整洁和有条理：使用清晰的数学符号并以有条理的方式显示您的工作步骤。
复查解：在完成解决方案后，花时间复查您的工作，以确保准确性和一致性。
特定类型问题的技巧点和线：使用点-斜率形式、斜截距形式或点-线距离公式求解点的坐标或线的方程。
圆：使用标准圆方程或圆心和半径来确定圆的性质。
双曲线：使用双曲线的标准方程或渐近线来求解焦点、顶点和渐近线。
抛物线：使用抛物线的标准方程来确定顶点、焦点和准线。
椭圆：使用椭圆的标准方程来确定中心、半轴和焦距。
通过遵循这些策略和技巧，您可以大大提高解析几何问题的解答能力。
记住，熟能生巧，因此定期练习和学习相关概念至关重要。
人教版数学-备课资料 解析几何中减少运算量的十种思维策略
解析几何中减少运算量的十种思维策略近几年的新课程高考数学试题，仍有运算量大的特点，解析几何部分显得尤为突出，这一点直接影响着考生的高考成绩。
事实上，如果我们能够充分利用几何图形、韦达定理、曲线系方程，以及运用“设而不求”等思维策略，往往能够减少计算量。
下面举例说明。
一. 充分利用几何图形的几何性质解析几何本身的创建过程就是“数”与“形”之间互相转化的过程。
解析几何把数学的主要研究对象数量关系与几何图形联系起来，把代数与几何融合为一体。
又因为解析几何研究的就是几何图形及其性质，所以在处理解析几何问题时，除了运用代数方程外，充分挖掘几何条件，并结合平面几何知识，这往往能减少计算量。
例1. 已知点P （5，0）和圆O ：x y 2216+=，过P 作直线l 与圆O 交于A 、B 两点，求弦AB 中点M 的轨迹方程。
解： 点M 是弦AB 中点，∴∠=︒∴OMP 90，点M 是在以OP 为直径的圆周上，此圆的圆心为(520，)，半径为52，所以其方程为()()x y -+=5252222，即x y x 2250+-=。
同时，点M 又在圆x y 2216+=的内部，∴+<x y 2216，即0516522≤=+<x x y ，所以所求的轨迹方程为x y x x 22500165+-=≤<()评注：此题若不能挖掘利用几何条件∠=︒OMP 90，点M 是在以OP 为直径的圆周上，而利用参数方程等方法，计算量将很大，并且比较麻烦。
例2.设直线340x y m ++=与圆x y x y 2220++-=相交于P 、Q 两点，O 为坐标原点，若OP OQ ⊥，求m 的值。
解： 圆x y x y 2220++-=过原点，并且OP OQ ⊥， ∴PQ 是圆的直径，圆心的坐标为M ()-121， 又M ()-121，在直线340x y m ++=上， ∴⨯-+⨯+=∴=-31241052()m m ，即为所求。
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由题 意
Ｙ２ Ｙｌ— ｋ －
， ，
，
距离 、 离心率 等 问题 ， 考虑使 用 圆锥 曲线 的 可 定 义 简化计 算．
２ 借 助平 几
所 以
ｚ ＋ ４ ｏ 一 ０ ０ ｙ志 ．
（） ３
例 ２ 过 点 Ａ（ １２ 作 圆 Ｘ 十 ＋２ 一 １ ，） 。 ｚ
４ １ ４ ０的 弦 ， 中 弦 长 为 整 数 的共 有 一 ６ — 其
（ ） ．
（） ３ 式与 Ｙ 一ｌ （ 一１ 联立 消去 忌得 。 一愚 。 ）
ｚ ＋４， ｏ ４ ｏ ． ３ 一 － ｙ 一０ ３ ３ （） ４ 当 ｌ — ２ ， 存 在 ， 时 ， ｏ １ Ｙ 时 ｋ不 此 ｚ ＝ ，ｏ
（ １ Ａ） ６条
（ ） ７条 Ｂ １
＝０ 也 满足 （ ） 故 弦 Ｐ 的 中 点 Ｍ 的 轨迹 ， ４， Ｑ
３ ２条 ．
注
解 析几 何 首 先 是 几 何 问题 ． 用代 在
数 方法研 究 曲线 间关 系 的 同时 ， 分 利 用好 充
— １ Ｆ ， ｚ为 ， Ｆ
图形 本身 所具 有 的平 面 几 何 性 质 ， 可 得简 常 捷 而优美 的解 法．
３ 设而 不求 例 ３ 求 过 椭 圆 Ｘ ＋ ４ １ ｙ 一 ６内一 点 Ａ（ ， ） 弦 ＰＱ 的中点 Ｍ 的轨迹 方程． １ １的 解 设 动弦 Ｐ 的方 程为 Ｙ— ｌ （ 一 Ｑ 一忌 ｚ １ ， Ｐ（ ｌＹ ）Ｑ（ ２ Ｙ ）Ｍ （ ｏ Ｙ ） 则 ： ）设 ｘ ， 】 ， ｚ ， ２ ， ｘ ，０ ，
（ ） （ ）得 １一 ２
（ ｌ Ｘ ） ｚｌ ｚ 十 ２ （ — ２ ）
（） １ （） ２
由余 弦定理 得
ｒ＋ 一２ ｌ２Ｏ － ＝８ ． ｝ ｒ７Ｃ ｓｙ ＂ － 。
（） （） １ 一 ２ 得
（） ２
一
４ ｙ ＋ Ｙ ） １ ｙ ） ｏ （ ｌ ２ （ － ２一 ，
值．
可 以设 直 线 Ｐ 的 方程 为 — 一 １ 设 点 Ｑ ，
Ｐ（ １Ｙ ） Ｑ（ ２ ｙ ） 则 ｘ ，１ ， ｘ ， ２ ，
解 （）＋ ＝． Ｉ 等１ 等
第 ３ 卷 第 ４期 １
２１ 年 ４ ０２ 月
数 学教 学 研 究
２ １
简化 解 析 几何 运 算 的九 种 常用 策略
王德 昌
（ 北 武 汉 华 中科 技 大 学 附 的 重 要 分 支 ， 多 很
问题 ， 人手 容易 ， 运算 困难 ， 致 许 多 学 生谈 导
为椭 圆右焦点 ） ．
（ 求椭 圆 Ｃ的方程 ； Ｉ）
（ Ｅ， Ⅱ） Ｆ是椭 圆 Ｃ 上 的两个 动 点 ， 果 如
直线 ＡＥ 的斜 率 与 ＡＦ 的斜 率 互 为相 反 数 ，
解 因为直线 Ｐ 不 与 Ｘ轴 重 合 ， 以 Ｑ 所
证 明直线 Ｅ 的斜 率 为定 值 ， 求 出这 个 定 Ｆ 并
斜率存 在 与不存在 两种情 况讨 论．
５ 巧施代换
注 涉 及直 线被 圆锥 曲线 所 截得 弦的弦
长 和弦 的中点 问 题 时 ， 可用 点 差 法实 现 设 而
不求 ， 简化计 算 ．
４ 合 设 方 程
例 知 圆 ：＋ ＝，线 过 ４已 椭 ｃ 等 １ ｚ 等 直
椭 圆左 焦点 Ｆ ， 不 与 Ｘ轴 重 合 ， 且 直线 ｌ 与 椭 圆交 于点 Ｐ， 直 线 ｚ 着 Ｆ。 转 ， 圆 Ｑ， 绕 旋 与
（ ） ２条 Ｃ３ 解
（ ３ Ｄ） ４条
易得 ， 圆心 为 Ｃ（ １ ２ ． 一 ， ） 由平 面几
解析 几何 色变 ． 在解 析几 何 教学 中 ， 能引 导 如 学生 根据具 体 问题 特点 ， 选择 合适 的方 法 ， 使 运算 得 以简化 ， 则可 使 学 生 增 强 学 好 数 学 的 信 心 ， 提高教 学质 量作 用 巨大 ． 文介绍 简 对 本 化解 析几 何计 算 的 ９ 常用 策 略 ， 参考 ． 种 供
２ ２
数 学教 学研 究
第 ３ 卷第 ４ １ 期
２１ ０ ２年 ４月
方程 为
ｘ ＋ ４ 。 ｚ一 ４ ＝Ｏ 。 ｙ 一 ＝ ． ：
学≤≤ ｓ 竽．
注 上 述解 法 ， 抓住 直 线 Ｐ 的倾 斜 角 Ｑ 属于 （ ， ） 巧设 其 方 程 为 ｚ＝ｍｙ １ 使 运 Ｏ７ ， ｃ ＝ 一 ， ＝ 算得 到很 大的 简化 ． 用 常 规方 法 做 则要 分 若
ｌ ＝ １ ２ ２．
当 ｚ ≠ｚ 时 ， ｌ ２
ｘｌ－ ｔ
— —
所 以
－ ２ ４． ！ ． 二 —０ ｘ
‘ ０ ‘
ｓ１一 ｒ 号 ３ △ 专Ｉｉ 一 ． Ｆ ｒｎ ２ ｓ
注 涉 及 圆锥 曲线 焦点 和 曲线上 的动 点
０
厶
工 ２
Ｘ ｌ
ｇ 知椭 ｃ 点 －， ， Ｊ ，圆 过 Ａ１ ） 个 ｓ已 ｆｆ 两 ，
焦点 为（ ｌＯ ， １ ０ ． 一 ，） （ ，）
０： 。 。 Ｘ ＋ｙ ＝５交 于 Ａ， Ｂ两 点 ， Ｉ ∈［ ， 若 Ｉ ４ ＡＢ ｖ西 ］ 求 △Ｆ Ｐ 厂 ， ２ Ｑ的 面 积 ｓ 的取 值 范 围 （ 。 Ｆ
１ 回归定 义 例 １ 已知 ： 圆 ２ 椭 ｘ
ｙ２
Ｔ
何知 识知 ： 弦过 点 Ａ（ １ ２ ， 一 １ ２ 时 ， 当 １ ， ） Ｃ（ ， ）
得最 大 弦 长 ２ ， 弦 与 ＡＣ垂 直 时 ， 最 短 ６当 得
弦 长为 １ ， ０ 则符 合 题 意 的弦 有 ： ５ １ ×２ ＋２ —
焦点， Ｐ为椭圆上一点， ＦＰ ２ 点 Ｆ 一要．
求 ： △ Ｆ． Ｓ Ｐ
解 设 ｌ ｌ ｒ ， ＰＦ Ｉ ｒ ， 由 椭 ＰＦ — ｌ 。 — 。 则 圆 定 义 得
ｒ＋ ｒ一 ｌ １ ２ ０， （） １
； ｙ 一１ ， ＋４ ｛ ６ Ｘ ＋４ ； ６ ； ＝１ ．