三角形“四心”与向量练习题
向量与三角形四心
一．选择题（共13小题）1．（2014•河南模拟）在△ABC中，|AB|=3，|AC|=2，=，则直线AD通过△ABC的（）A ．垂心B．外心C．重心D．内心2．（2013•中山模拟）△ABC外接圆的半径为1，圆心为O，且2++=，||=||，则•等于（）A ．B．C．3 D．3．（2011•恩施州模拟）已知向量，，若与的夹角为60°，则直线与圆的位置关系是（）A ．相交但不过圆心B．相交过圆心C．相切D．相离4．（2010•浙江模拟）设G是△ABC的重心，且，则B的大小为（）A ．45°B．60°C．30°D．15°5．（2009•淄博一模）已知非零向量，和满足（+）•=0，且=，则三角形ABC是（）A ．等边三角形B．等腰非直角三角形C ．非等腰三角形D．等腰直角三角形6．已知O为平面上的一个定点，A、B、C是该平面上不共线的三个动点，点P满足条件，则动点P的轨迹一定通过△ABC的（）A ．重心B．垂心C．外心D．内心7．△ABC中，设，那么动点M的轨迹必通过△ABC的（）A ．垂心B．内心C．外心D．重心8．若O是△ABC所在平面上任一点，且满足：，则动点P的轨迹必经过△ABC的（）A内心B外心C重心D垂心．．．．9．若△ABC所在平面内一点P满足，则点P一定在（）A ．△ABC的一边上B．△ABC的一顶点处C．△ABC的外部D．△ABC的内部10．已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，AH为BC边上的高，以下结论：①；②为钝角三角形；③；④，其中正确的个数是（）A ．1 B．2 C．3 D．411．已知点P是△ABC的内心（三个内角平分线交点）、外心（三条边的中垂线交点）、重心（三条中线交点）、垂心（三个高的交点）之一，且满足•，则点P一定是△ABC的（）A ．内心B．外心C．重心D．垂心12．已知△ABC的三个顶点A、B、C及平面内一点P，若，则点P与△ABC的位置关系是（）A ．P在AC边上B．P在AB边上或其延长线上C ．P在△ABC外部D．P在△ABC内部13．O是非等边△ABC的外心，P是平面ABC内的一点且，则P是△ABC的（）A ．垂心B．重心C．内心D．外心必修四向量的高中数学组卷参考答案与试题解析一．选择题（共13小题）1．（2014•河南模拟）在△ABC中，|AB|=3，|AC|=2，=，则直线AD通过△ABC的（）A ．垂心B．外心C．重心D．内心考点：向量在几何中的应用．专题：综合题；平面向量及应用．分析：首先根据已知条件可知||=||=，又因为=，设=，=，由向量加法的平行四边形法则可知四边形AEDF为菱形，从而可确定直线AD通过△ABC的内心．解答：解：∵|AB|=3，|AC|=2∴||=||=．设=，=，则||=||，∴==+．由向量加法的平行四边形法则可知，四边形AEDF为菱形．∴AD为菱形的对角线，∴AD平分∠EAF．∴直线AD通过△ABC的内心．故选：D．点评：本题考查向量加法的平行四边形法则及其几何意义，属于中档题．2．（2013•中山模拟）△ABC外接圆的半径为1，圆心为O，且2++=，||=||，则•等于（）A ．B．C．3 D．考点：向量在几何中的应用；平面向量数量积的运算．专题：计算题．分析：利用向量的运算法则将已知等式化简得到，得到BC为直径，故△ABC为直角三角形，求出三边长可得∠ACB的值，利用两个向量的数量积的定义求出的值．解答：解：∵，∴，∴．∴O，B，C共线，BC为圆的直径，如图∴AB⊥AC．∵，∴=1，|BC|=2，|AC|=，故∠ACB=．则，故选C．点评：本题主要考查向量在几何中的应用、向量的数量积，向量垂直的充要条件等基本知识．求出△ABC为直角三角形及三边长，是解题的关键．3．（2011•恩施州模拟）已知向量，，若与的夹角为60°，则直线与圆的位置关系是（）A ．相交但不过圆心B．相交过圆心C．相切D．相离考点：向量在几何中的应用；直线与圆的位置关系．专题：计算题．分析：由已知中直线与圆的方程，我们易得到圆心到直线距离d的表达式，再由向量=（2cosα，2sinα），=（3cosβ，3sinβ），若向量与的夹角为60°，我们可以计算出d值，与圆半径比较，即可得到答案．解答：解：∵圆的方程为∴圆心坐标为（cosβ，﹣sinβ），半径为则圆心到直线距离d=|cosαcosβ+sinαsinβ+|=|cos（α﹣β）+|又∵=（2cosα，2sinα），=（3cosβ，3sinβ），向量与的夹角为60°，则2×3×cos60°=6cosαcosβ+6sinαsinβ即cosαcosβ+sinαsinβ=，∴d=|+|=1＞，故选D．点评：此题是个中档题．本题考查的知识点是平面微量的数量积运算，及直线与圆的位置关系，若圆心到直线的距离为d，圆的半径为r，则：①当d＜r时，圆与直线相交；②当d=r时，圆与直线相切；③当d＞r时，圆与直线相离．4．（2010•浙江模拟）设G是△ABC的重心，且，则B的大小为（）A ．45°B．60°C．30°D．15°考点：向量在几何中的应用；三角形五心．专题：综合题；压轴题．分析：根据三角形重心对应的条件即，代入式子进行化简，根据向量不共线和正弦定理，判断出三角形的形状进而求出角B的值．解答：解：∵G是三角形ABC的重心，∴，则，代入得，（sinB﹣sinA）++（sinC﹣sinA）=，∵，不共线，∴sinB﹣sinA=0，sinC﹣sinA=0，则sinB=sinA=sinC，根据正弦定理知：b=a=c，∴三角形是等边三角形，则角B=60°．故选B．点评：本题考查了三角形重心对应的向量条件的应用，即把几何问题转化为向量问题，根据条件和正弦定理判断出三角形的形状，考查了转化思想．5．（2009•淄博一模）已知非零向量，和满足（+）•=0，且=，则三角形ABC是（）A ．等边三角形B．等腰非直角三角形C ．非等腰三角形D．等腰直角三角形考点：向量在几何中的应用．专题：计算题．分析：由非零向量，和满足（+）•=0，知∠A的角平分线与BC边垂直，由=，知cos∠C=，由此能导出△ABC为等腰直角三角形．解答：解：∵非零向量，和满足（+）•=0，∴∠A的角平分线与BC边垂直，∴△ABC为等腰三角形，∵=，∴cos∠C==，∴∠C为45度，故△ABC为等腰直角三角形．点评：本题考查向量在几何中的应用，是中档题．解题时要认真审题，仔细解答，注意平面向量数量积的合理运用．6．已知O为平面上的一个定点，A、B、C是该平面上不共线的三个动点，点P满足条件，则动点P的轨迹一定通过△ABC的（）A ．重心B．垂心C．外心D．内心考点：向量在几何中的应用．专题：计算题；平面向量及应用．分析：确定与垂直，设D为BC的中点，可得=+，从而可得结论．解答：解：∵•=﹣||+||=0∴与垂直，设D为BC的令=∵点P满足条件，∴=+∴点P在BC的垂直平分线上，即P经过△ABC的外心故选C．点评：本题主要考查了空间向量的加减法，以及三角形的外心的知识，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题7．△ABC中，设，那么动点M的轨迹必通过△ABC的（）A ．垂心B．内心C．外心D．重心考点：向量在几何中的应用．专题：平面向量及应用．分析：利用向量的运算法则、数量积与垂直的关系、三角形的外心定义即可得出．解答：解：如图所示：设线段BC的中点为D，则．∵=2，∴=，∴=0，∴，∴MD⊥BC且平分BC．因此动点M的轨迹必通过△ABC的外心．故选C．点评：熟练掌握向量的运算法则、数量积与垂直的关系、三角形的外心定义是解题的关键．8．若O是△ABC所在平面上任一点，且满足：，则动点P的轨迹必经过△ABC的（）A ．内心B．外心C．重心D．垂心考点：向量在几何中的应用．专题：探究型；平面向量及应用．分析：以AB，AC为两邻边作平行四边形ABDC，连AD交BC于E，则E是BC中点，利用条件可知P的轨迹是直线AD，而AE是△ABC的中线，由此可得结论．解答：解：以AB，AC为两邻边作平行四边形ABDC，连AD交BC于E，则E是BC中点，且由已知，∴即，∴P的轨迹是直线AD而AE是△ABC的中线，因此P的轨迹（即直线AD）过△ABC的重心故选C点评：本题考点是三角形的五心，考查了五心中重心的几何特征以及向量的加法与数乘运算，解答本题的关键是理解向量加法的几何意义，从而确定点的几何位置．9．若△ABC所在平面内一点P满足，则点P一定在（）A ．△ABC的一边上B．△ABC的一顶点处C．△ABC的外部D．△ABC的内部考点：向量在几何中的应用．专题：证明题．分析：根据向量减法的三角形法则可得=﹣，进而可将，化为，根据三点共线的向量法判断法则，可得P点是BC边上靠近C点的三等分点，进而可得到答案．解答：解：∵=﹣又∵==又∵+=1故P点一定在BC边上，故选A点评：本题考查的知识点是向量在几何中的应用，其中熟练掌握三点共线的向量法判断法则O为直线AB外一点，则A，B，P三点共线⇔（λ+μ=1），是解答本题的关键．10．已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，AH为BC边上的高，以下结论：①；②为钝角三角形；③；④，其中正确的个数是（）A ．1 B．2 C．3 D．4考点：向量在几何中的应用．专题：计算题．分析：根据向量数量积的运算法则，对四个答案进行逐一分析判断，不难得到正确答案．解答：解：AH为BC边上有高，∴AH⊥BC，∴①正确；的角A为锐角，但无法判断三角形ABC的形状，故②不正确；==bsinC=csinB，故③正确；==a2，故④正确．其中正确的个数是3故选C．点评：本题比较综合的考查了三角形和平面向量的相关性质，做为解析几何的基础知识点，平面向量在判断三角形形状，证明三角形的相关性质方面有较广的应用，特别是平面向量垂直的充要条件和平面向量夹角公式，一定要引起大家足够的重视．11．已知点P是△ABC的内心（三个内角平分线交点）、外心（三条边的中垂线交点）、重心（三条中线交点）、垂心（三个高的交点）之一，且满足•，则点P一定是△ABC的（）A ．内心B．外心C．重心D．垂心考点：向量在几何中的应用．专题：计算题；平面向量及应用．分析：设D为BC的中点，可得=2．根据向量数量积的运算性质，将•化简，得到2•（﹣）=0，从而得到•=0，即⊥，从而得到P在BC的垂直平分线上．由此根据三角形外心的性质，结合题意可得答案．解答：解：设D为BC的中点，可得=2∵=∴点P满足•=2•（）∵向量=∴•=2•，移项得2•（﹣）=0即•=0，得⊥．结合D为BC的中点，可得P在BC的垂直平分线上又∵点P是△ABC的内心、外心、重心和垂心之一∴结合三角形外接圆的性质，得点P是△ABC的外心故选：B点评：本题给出三角形中的点P满足的向量等式，求点P是三角形四心中的哪一个．着重考查了向量的线性运算法则、向量的数量积及其运算性质和三角形的四心等知识，属于中档题．12．已知△ABC的三个顶点A、B、C及平面内一点P，若，则点P与△ABC的位置关系是（）A ．P在AC边上B．P在AB边上或其延长线上C ．P在△ABC外部D．P在△ABC内部考点：向量在几何中的应用．专题：平面向量及应用．分析：利用条件，结合向量的线性运算，可得，由此即可得到结论．解答：解：∵∴=∴∴∴P在AC的三等分点上故选A．点评：本题考查向量的线性运算，考查向量共线定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．13．O是非等边△ABC的外心，P是平面ABC内的一点且，则P是△ABC的（）A ．垂心B．重心C．内心D．外心考点：向量在几何中的应用．专题：计算题；平面向量及应用．分析：设AB的中点为D，根据题意可得OD⊥AB．由题中向量的等式化简得=2，从而得到⊥AB，即CP在AB边的高线上．同理可证出AP在BC边的高线上，故可得P是三角形ABC的垂心．解答：解：在△ABC中，O为外心，可得OA=OB=OC，∵平面内点P满足，∴，设AB的中点为D，则OD⊥AB，=2，∴⊥AB，可得CP在AB边的高线上．同理可证，AP在BC边的高线上，故P是三角形ABC两高线的交点，可得P是三角形ABC的垂心，故选：A点评：本题给出三角形中的向量等式，判断点P是三角形的哪一个心．着重考查了向量加法法则、三角形的外接圆性质和三角形“五心”的判断等知识点，属于中档题．。
【新整理】三角形“四心”向量形式的结论及证明(附练习答案)(可编辑修改word版)
AB AC e 1e 2+ += ⇔ 三角形“四心”向量形式的充要条件应用在学习了《平面向量》一章的基础内容之后，学生们通过课堂例题以及课后习题陆续接触了有关三角形重心、垂心、外心、内心向量形式的充要条件。
现归纳总结如下： 一． 知识点总结 1）O 是ABC 的重心OAOBOC 0 ;若 O 是ABC 的重心，则 S BO C S AOC S AOB1 S 3 ABC 故OA OBOC0 ;1PG = 3 (PA + PB + PC ) ⇔ G 为∆ABC 的重心.2）O 是ABC 的垂心OA OBOB OCOC OA ; 若 O 是ABC (非直角三角形)的垂心，则S BOC：SAOC：SAOBtan A ：tan B ：tan C故tan AOAtan BOBtan COC 0 3）O 是ABC 的外心| OA || OB || OC | (或OA2OB2OC 2)若 O 是ABC 的外心 则SBOC：SAOC：SAOBsinBOC ：sin AOC ：sin AOB sin 2A : sin 2B : sin 2C故sin 2AOA sin 2BOB sin 2COC 04）O 是内心ABC 的充要条件是OA (AC ) OB ( A CBA | BA |OC (CA | CA |引进单位向量，使条件变得更简洁。
如果记 AB, BC, CA 的单位向量为e 1 , e 2 , e 3 ，则刚才 O 是 ABC 内心的充要条件可以写成： OA (e 1 e 3 ) OB (e 1 e 2 ) OC (e 2 e 3 ) 0O 是ABC 内心的充要条件也可以是aOA bOB cOC 0若 O 是ABC 的内心，则S BOC ：S AOC ：S AOB a ：b ：cA故 aOA bOB cOC 0或sin AOA sin BOB sin COC 0 ; | AB | PC | BC | PA | CA | PB 0 P ∆ABC 的内心; 向量(A B + A C )(≠ 0) 所在直线过∆ABC 的内心(是∠BAC 的角平分 | AB | | AC |C线所在直线)； B二． 范例P(一)．将平面向量与三角形内心结合考查例 1．O 是平面上的一定点，A,B,C 是平面上不共线的三个点，动点 P 满足OP = OA + ( AB + AC) ，∈[0,+∞)则 P 点的轨迹一定通过∆ABC 的（）（A ）外心（B ）内心（C ）重心（D ）垂心HABBC2 2 2 2解析：因为AB 是向量 的单位向量设 与方向上的单位向量分别为 e 和 e ，又AB AB AC 1 2OP - OA = AP ，则原式可化为 AP = (e 1 + e 2 ) ，由菱形的基本性质知 AP 平分∠BAC ，那么在∆ABC中，AP 平分∠BAC ，则知选 B.点评：这道题给人的印象当然是“新颖、陌生”，首先AB是什么？没见过！想想，一个非零向量除以它的模不就是单位向量？ 此题所用的都必须是简单的基本知识，如向量的加减法、向量的基本定理、菱形的基本性质、角平分线的性质等，若十分熟悉，又能迅速地将它们迁移到一起， 解这道题一点问题也没有。
三角形“四心”向量形式的结论及证明(附练习答案)
三角形“四心”向量形式的充要条件应用在学习了《平面向量》一章的基础容之后，学生们通过课堂例题以及课后习题陆续接触了有关三角形重心、垂心、外心、心向量形式的充要条件。
现归纳总结如下：一． 知识点总结 1）O 是ABC ∆的重心⇔0OC OB OA =++;若O 是ABC ∆的重心，则ABC AOB AOC BOC S 31S S S ∆∆∆∆===故0OC OB OA =++;1()3PG PA PB PC =++⇔G 为ABC ∆的重心.2）O 是ABC ∆的垂心⇔OA OC OC OB OB OA ⋅=⋅=⋅;若O 是ABC ∆(非直角三角形)的垂心，则C tan B tan A tan S S S AOB AOC BOC ：：：：=∆∆∆ 故0OC C tan OB B tan OA A tan =++3）O 是ABC ∆的外心⇔|OC ||OB ||OA |==(或222OC OB OA ==)若O 是ABC ∆的外心则C 2sin :B 2sin :A 2sin AOB sin AOC sin BOC sin S S S AOB AOC BOC =∠∠∠=∆∆∆：：：： 故0OC C 2sin OB B 2sin OA A 2sin =++4）O 是心ABC ∆的充要条件是|CB |CB |CA |CA OC |BC |BC |BA |BA OB ACAC |AB |AB OA =-⋅=-⋅=-⋅引进单位向量，使条件变得更简洁。
如果记CA ,BC ,AB 的单位向量为321e ,e ,e ，则刚才O 是ABC ∆心的充要条件可以写成：0)e e (OC )e e (OB )e e (OA 322131=+⋅=+⋅=+⋅ O 是ABC ∆心的充要条件也可以是0OC c OB b OA a =++ 若O 是ABC ∆的心，则c b a S S S AOB AOC BOC ：：：：=∆∆∆故 0OC C sin OB B sin OA A sin 0OC c OB b OA a =++=++或; ||||||0AB PC BC PA CA PB P ++=⇔ABC ∆的心;向量()(0)||||AC AB AB AC λλ+≠所在直线过ABC ∆的心(是BAC ∠的角平分线所在直线)；二． 例(一)．将平面向量与三角形心结合考查例1．O 是平面上的一定点，A,B,C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足AC AB OA OP ++=λ，[)+∞∈,0λ则P 点的轨迹一定通过ABC ∆的（ ）BCHA图6（A ）外心（B ）心（C ）重心（D ）垂心 解析：因为ABAB 是向量AB 的单位向量设AB 与AC 方向上的单位向量分别为21e e 和，又AP OA OP =-，则原式可化为)(21e e AP +=λ，由菱形的基本性质知AP 平分BAC ∠，那么在ABC ∆中，AP 平分BAC ∠，则知选B.点评：这道题给人的印象当然是“新颖、陌生”，首先ABAB 是什么？没见过！想想，一个非零向量除以它的模不就是单位向量？ 此题所用的都必须是简单的基本知识，如向量的加减法、向量的基本定理、菱形的基本性质、角平分线的性质等，若十分熟悉，又能迅速地将它们迁移到一起，解这道题一点问题也没有。
与三角形“四心”相关的向量问题
家乡特色红桃粿作文哎,想起家乡那香喷喷的红桃粿,就让我口水直流啊!这可不是一般的点心,而是我们那一带独一无二的美味佳肴。
红桃粿这个名字,听起来就很有意思吧?它的形状长长的,有点像馒头,但是个头小多了。
外皮金黄透红,晶莹发亮,好像一颗颗红宝石镶嵌在上面。
轻轻咬一口,外壳酥脆,内里则柔软细腻,一股浓郁的糖香味扑面而来,甜而不腻,入口即化。
这独特的红色,可不是用什么人工色素染的哦。
它全靠我们当地特有的一种红糖浆熬制而成。
那红糖浆,可是用上等红糖加上秘制的香料煮制数小时才能做好的。
每一家每一户做红桃粿的红糖浆配方都不尽相同,各有绝活,所以口味也是家家不同。
我最喜欢我奶奶做的那一种。
她用的香料里面,除了桂皮、八角、丁香之外,还有一种我从来没见过的神秘香料。
我追问再三,她也只是神秘地笑而不语。
她做的红糖浆色泽红亮,香气扑鼻,甜而不腻,入口回味无穷。
做红桃粿可不是件容易的事。
先要把面团揉匀,然后分成小小的剂子,用掌心把它们一个个拍扁成圆片状。
这个工序可费力气了,一个不小心就会把面团拍破。
接着就是把扁平的面团在蒸锅里蒸熟,再抹上热腾腾的红糖浆。
这时候的红桃粿,就像一颗颗晶莹剔透的红宝石,散发着诱人的香气。
家乡的红桃粿啊,不但做工讲究,吃起来也是一门学问。
我们一家人吃的时候,都有一套特殊的方法。
先轻轻咬下一小口,细细品味糖浆的香甜;然后再大口吞下,任由那柔软的面团在嘴里绽放。
每一次回家,我都要狠狠地"犯戾"好几个红桃粿,才肯罢休。
啊,想想都让人垂涎欲滴。
不知道这次回家,奶奶会不会为我亲手做一些红桃粿呢?我已经迫不及待想品尝那独一无二的味道了!。
第6章平面向量专题5 三角形四心问题常考题型专题练习——【含答案】
1三角形四心问题三角形四心的向量形式设O 为△ABC 所在平面上一点,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,则(1) O 为△ABC 的外心⇔||=||=||=.(2)O 为△ABC 的重心⇔++=0.(2) O 为△ABC 的垂心⇔·=·=·.(4)O 为△ABC 的内心⇔a+b +c =0.1、已O 知是ABC ∆的外心，||4AB =，||2AC =，则()(AO AB AC += ) A ．10 B ．9C ．8D ．6【答案】A . 【解答】解：如图，O 是ABC ∆的外心，且||4AB =，||2AC =，则()AO AB AC AO AB AO AC +=+ 221111||||164102222AB AC =+=⨯+⨯=． 故选：A ．12、已知△ABC 和点M 满足.若存在实数m 使得成立，则m ＝__________.【答案】3【解析】由条件知是的重心，设是边的中点，则，而，所以，故选B.3、（多选）在给出的下列命题中，正确的是( )A. 设O A B C 、、、是同一平面上的四个点，若(1)(R)OA m OB m OC m =⋅+-⋅∈， 则点A B C 、、必共线B.若向量a b 和是平面α上的两个向量，则平面α上的任一向量c 都可以表示为(R)c a b λμμλ=+∈、，且表示方法是唯一的C ．已知平面向量OA OB OC 、、满足,||||AB AC OA OB OA OC AO AB AC λ⎛⎫⋅=⋅=+ ⎪⎝⎭则ABC △为等腰三角形D.已知平面向量OA OB OC 、、满足||||(0)OA OB OC r r ==>|=|，且0OA OB OC ++=， 则ABC ∆是等边三角形 【答案】ACD4．已知O 为ABC ∆的外心，1,,3cosA AO AB AC αβαβ==++若则的最大值为( )A ．13B ．12C ．23D ．341【分析】如图所示，以BC 边所在直线为x 轴，BC 边的垂直平分线为y 轴建立直角坐标系(D 为BC 边的中点）．由外接圆的性质可得BOD COD BAC ∠=∠=∠．由1cos 3A =，不妨设外接圆的半径3R =．则3OA OB OC ===．可得B ，C ，O 的坐标，设(,)A m n ．则ABC ∆外接圆的方程为：22(1)9x y +-=．(*)利用向量相等AO AB AC αβ=+，可得(2)(22)1m m m n n n αβαβ⎧-=-+⎪⎨-=--⎪⎩，又1αβ+≠时，否则CO CB α=，由图可知是不可能的．可化为22()11m n βααβ⎧-=⎪⎪⎨-⎪=⎪+-⎩，代入(*)可得22228()()9(1)(1)βααβαβαβ---+=+-+-，化为18()932αβαβ+=+，利用重要不等式可得218()932()2αβαβ+++，化为28()18()90αβαβ+-++，即可解出．【解答】解：如图所示，以BC 边所在直线为x 轴，BC 边的垂直平分线为y 轴建立直角坐标系(D 为BC 边的中点）．由外接圆的性质可得BOD COD BAC ∠=∠=∠．由1cos 3A =，不妨设外接圆的半径3R =．则3OA OB OC ===． 1cos 3OD COD OC ∠==，221.22OD DC OC OD ∴==-． (22,0)B ∴-，(22,0)C ，(0,1)O ，(,)A m n ．则ABC ∆外接圆的方程为：22(1)9x y +-=．(*) AO AB AC αβ=+，(m ∴-，1)(22,)(22,)n m n m n αβ-=--+-，旗开得胜1∴(22)(22)1m m m nn nαβαβ⎧-=--+-⎪⎨-=--⎪⎩， 1αβ+≠时，否则CO CB α=，由图可知是不可能的．∴可化为22()11m n βααβ⎧-=⎪⎪⎨-⎪=⎪+-⎩，代入(*)可得22228()()9(1)(1)βααβαβαβ---+=+-+-， 化为18()932αβαβ+=+，利用重要不等式可得218()932()2αβαβ+++，化为28()18()90αβαβ+-++，解得34αβ+或32αβ+． 又1αβ+<，故32αβ+应舍去． ∴34αβ+， 故αβ+的最大值为34． 故选：D ．。
【新整理】三角形“四心”向量形式的结论及证明(附练习答案)
三角形“四心 ”向量形式的充要条件应用在学习了《平面向量》一章的基础内容之后，学生们通过课堂例题以及课后习题陆续接触了有关三角形重心、垂心、外心、内心向量形式的充要条件。
现归纳总结如下：一． 知识点总结 1）O 是 ABC 的重心OA OB OC 0 ;S BOC S AOC S AOB 1若 O 是 ABC 的重心，则 S ABCOC 0 ;3 故 OA OB PG 1 ( PA PB PC) G 为 ABC 的重心 .32）O 是 ABC 的垂心OA OBOB OCOC OA ;若 O 是 ABC (非直角三角形 )的垂心，则 S BOC ： S AOC ： S AOB ： ：tan A tan B tan C故 tan AOA tan BOBtan COC 0 3）O 是 ABC 的外心 2 OB 2 OC 2| OA | | OB | | OC | (或 OA )若 O 是 ABC 的外心： ：： ：sin2A : sin2B : sin2C则 S BOCSAOC SAOB sin BOC sin AOC sin AOB故 sin2AOA sin2BOB sin2COC 0 4）O 是内心 ABC 的充要条件是OA ( AB AC ) OB ( BA BC ) OC ( CA CB ) 0| AB | AC | BA | | BC | | CA | | CB |引进单位向量，使条件变得更简洁。
如果记AB, BC,CA 的单位向量为 e 1 , e 2 ,e3 ，则刚才 O 是 ABC 内心的充要条件可以写成： O A ( e 1 e 3 ) O B ( e 1 e 2 )O C (e 2 e 3 ) 0 O 是 ABC 内心的充要条件也可以是 aOAbOB cOC 0若 O 是 ABC 的内心，则S BOC ：S AOC ：S AOB a ： b ：cA 故 aOA bOB cOC 0或 sinAOAsinBOB sinCOC 0 ;e 1| AB | PC | BC | PA | CA | PB 0 P ABC 的内心 ;e 2向量 ( ABAC )(0) 所在直线过 ABC 的内心 ( 是 BAC 的角平分 | AB | | AC |C 线所在直线 ) ；B二． 范例 (一)．将平面向量与三角形内心结合考查例 1． O 是平面上的一定点， A,B,C 是平面上不共线的三个点，动点PP 满足 OP OA ( AB AC ) ，0, 则 P 点的轨迹一定通过ABC 的（）AB AC（A ）外心（ B）内心（ C）重心（ D）垂心解析：因为AB 是向量AB 的单位向量设AB与AC 方向上的单位向量分别为e1和e2，又ABOP OA AP ，则原式可化为AP ABC 中， AP 平分BAC ，则知选( e1B.e2 ) ，由菱形的基本性质知AP 平分BAC ，那么在点评：这道题给人的印象当然是“新颖、陌生”，首先AB 是什么？没见过！想想，一个非零AB向量除以它的模不就是单位向量？此题所用的都必须是简单的基本知识，如向量的加减法、向量的基本定理、菱形的基本性质、角平分线的性质等，若十分熟悉，又能迅速地将它们迁移到一起，解这道题一点问题也没有。
【新整理】三角形“四心”向量形式的结论及证明(附练习答案)(最新整理)
求证 △P1P2P3 是正三角形.（《数学》第一册（下），复习参考题五 B 组第 6 题）
证明
由已知 OP1
+ OP2
=- OP3
，两边平方得 OP1
· OP2
=
1 2
，
同理
OP2
· OP3
= OP3
· OP1
=
1 2
，
∴| P1P2 |=| P2 P3 |=| P3 P1 |= 3 ，从而△P1P2P3 是正三角形.
例 2． H 是△ABC 所在平面内任一点， HA HB HB HC HC HA 点 H 是△ABC 的垂心.
由 HA HB HB HC HB (HC HA) 0 HB AC 0 HB AC ,
同理 HC AB ， HA BC .故 H 是△ABC 的垂心. （反之亦然（证略））
S AOC S AOB ABC 的重心.
1 3 S ABC 故
3
OA OB OC 0 ;
2）O 是 ABC 的垂心 OA OB OB OC OC OA ; 若 O 是 ABC (非直角三角形)的垂心，则 SBOC：SAOC：SAOB tan A：tan B：tan C
故 tan AOA tan BOB tan COC 0
角形中线的内分点，所分这比为 2 。本题在解题的过程中将平面向量的有关运算与平行四边形 1
的对角线互相平分及三角形重心性质等相
关知识巧妙结合。
变式：已知 D， E， F 分别为 △ABC 的边 BC， AC， AB 的中点．则 AD BE CF 0 ．
证明：
AD
BE
CF
3
2 3
向量 ( AB AC )( 0) 所在直线过 ABC 的内心(是 BAC 的角平分
三角形四心的向量性质练习.doc
三角形“四心”的向量一、三角形的重心的向量表示及应用命题一已知 A，B，C是不共线的三点，G是△ABC内一点，若uuur uuur uuur0．则 G 是△ABC 的重心．GA GB GCuuur uuur uuur证明：如图 1 所示，因为GA GB GC 0，所以uuur uuur uuur GA (GB GC) ．uuur uuur以 GB ， GC 为邻边作平行四边形 BGCD ，uuur uuur uuur uuur uuur则有 GD GB GC ，所以 GD GA ．又因为在平行四边形BGCD 中， BC 交GD 于点E，uuur uuur uuur uuur所以 BE EC，GE ED ．所以 AE 是△ABC的边BC的中线．故G是△ABC的重心．点评：①解此题要联系重心的定义和向量加法的意义；②把平面几何知识和向量知识结合起来解决问题是解此类问题的常用方法．例 1uuur uuurb ，如图 2 所示，△ABC的重心为G，O为坐标原点，OA a ， OBuuur uuurOC c ，试用 a， b， c 表示 OG ．解：设 AG交 BC于点M，则M是 BC的中点，a OG GAb OG GBc OG GC图 2a b c OG GA GB GC而 a b c 3OG0a b cOG3变式：已知 D ，E ，F分别为 △ABC 的边 BC ，AC ，AB 的中点．则uuur uuur uuur AD BE CF0．证明：如图的所示，AD3GA2BE3 GB 2 CF3 GC2AD BE CF3 (GA GB GC)2GA GB GC 0uuur uuur uuurAD BE CF 0 ．．图 3变式引申：如图 4，平行四边形 ABCD 的中心为 O ，P 为该平面上任意一点，uuur 1 uuur uuur uuur uuur 则 PO ( PA PB PC PD)．4uuur 1 uuur uuur uuur 1 uuur uuur 证明： Q PO (PA PC) ， PO 2 (PB PD) ，2uuur 1 uuur uuur uuur uuurPO 4 (PA PB PC PD) ．点评：（ 1）证法运用了向量加法的三角形法则，证法 2 运用了向量加法的平行四边形法则． （ 2）若 Puuur uuur uuur uuur与 O 重合，则上式变为 OA OB OC OD 0．例 2. 已知 O 是平面内一点，A, B,C 是平面上不共线的三点，动点 P 满足OP1 ，0,，则动点 P 的轨迹一定通过ABC 的OAABBC2A. 重心B. 垂心C. 外心D. 内心题 2：已知 O 是平面上一定点， A、B、 C 是平面上不共线的三个点，动点P 满uuur uuur uuur uuur[0, ) .则P点的轨迹一定通过△ABC的( ) 足 OP OA (AB AC),A. 外心B. 内心C. 重心D. 垂心uuur uuur uuur解：由已知得 AP (AB AC ) ，设BC的中点为D，则根据平行四边形法则知点 P 在 BC的中线 AD 所在的射线上，故 P 的轨迹过△ ABC的重心，选 C.题 3：已知 O 是平面上的一定点， A、B、C 是平面上不共线的三个点，动点Puuur uuuruuur uuur( uuurABuuurAC) ,[0, ) ,则动点P的轨迹一定通过满足OP OA| AB | sin B| AC | sin C△ABC的()A. 重心B. 垂心C. 外心D. 内心uuuruuur uuur( uuurABuuurAC) ，解：由已知得 AP| AB | sin B | AC | sin Cuuur uuur uuuruuur uuur uuur由正弦定理知 | AB | sin B | AC | sin C ，∴ AP ( AB AC) ，| AB |sin B设 BC的中点为 D，则由平行四边形法则可知点 P 在 BC 的中线 AD 所在的射线上，所以动点 P 的轨迹一定通过△ ABC的重心，故选 A .题 7：已知 A、B、C 是平面上不共线的三点， O 为△ ABC的外心，动点 P 满足uuur uuur(1 uuur(1 2uuurR, 0) ，则P的轨迹一定OP 1 [(1 )OA )OB )OC] (3通过△ ABC的( )A. 内心B. 垂心C. 重心D. AB 边的中点uuur uuur uuur 1 uuur uuur2(1 uuur解： CP OP OC = [(1 )OA (1 )OB )OC]31 uuur uuur uuur uuur 1 uuur uuur= [( OA OC) (OB OC)] = (CA CB) ,由平行四边形法则3 3uuur uuur0 ，所以 P 的轨迹在 AB 边的中线上，知 CA CB 必过 AB 边的中点，注意到但不与重心重合，故选 D.uuur uuur uuur题 8：已知 O 是△ ABC 所在平面上的一点，若 OA OB OC =0, 则 O 点是△ABC的 ()A. 外心B. 内心C. 重心D. 垂心uuur uuur uuur uuur uuuruuur uuur uuur解：若 OA OB OC =0, 则 OA OBOC ，以 OA 、 OB 为邻边作平行四边形 OAC 1 ，设 1 与 交于点 ，则为的中点，有 uuur uuur uuuur ， AB D AB OA OB OC 1 B OC Duuuur uuur 得 OC 1 OC ，即 C 、O 、D 、 C 1 四点共线，同理 AE 、BF 亦为△ ABC 的中线，所以 O 是△ABC 的重心 . 选 C .uuur1 uuur uuur uuur题 9：已知 O 是△ ABC 所在平面上的一点，若 PO(PAPBPC)(其中 P 为平面上任意一点 ), 则 O 点是△ ABC 的()3A. 外心B. 内心C. 重心D. 垂心uuur uuuruuur uuur uuuruuur uuur 解：由已知得 3POOA OP OB OPOC OP ，uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur∴ 3PO 3OP OA OB OC ，即 OA OB OC = 0，由上题的结论知 O 点是△ ABC 的重心 . 故选 C .例 4. 证明：三角形重心与顶点的距离等于它到对边中点的距离的两倍。
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1．已知A 、B 、C 是平面上不共线的三点，O 是三角形ABC 的重心，动点P 满足 OP =31 (21OA +OB 2
1+2OC ),则点P 一定为三角形ABC 的（ B ） 边中线的中点 边中线的三等分点（非重心）
C.重心 边的中点
分析：取AB 边的中点M ，则OM OB
OA 2=+，由OP =31 (21OA +21+2)可得3MC OM OP 23+=，∴MC MP 3
2=，即点P 为三角形中AB 边上的中线的一个三等分点，且点P 不过重心，故选B. 2．在同一个平面上有ABC ∆及一点Ｏ满足关系式：222222OA BC OB CA OC AB +=+=+，
则Ｏ为ABC ∆的 （??D??）
Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心
3．已知△ABC 的三个顶点A 、B 、C 及平面内一点P 满足：0PA PB PC ++=，
则P 为ABC ∆的（??C??）
Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心
4．已知O 是平面上一?定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足：
)(AC AB OA OP ++=λ，则P 的轨迹一定通过△ABC 的（??C??）
Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心
5．已知△ABC ，P 为三角形所在平面上的动点，且动点P 满足：
0PA PC PA PB PB PC •+•+•=，则P 点为三角形的（??D? ?）
Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心
6．已知△ABC ，P 为三角形所在平面上的一点，且点P 满足：0a PA b PB c PC ⋅+⋅+•=，则P 点为三角
形的（?B???）
Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心
7．在三角形ABC 中，动点P 满足：•-=222，则P 点轨迹一定通过△ABC 的：
（ B ）
Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心
8.已知非零向量AB →与AC →满足(AB →|AB →| +AC →|AC →| )·BC →=0且AB →|AB →| ·AC →|AC →| =12
, 则△ABC 为( ) A.三边均不相等的三角形 B.直角三角形 C.等腰非等边三角形 D.等边三角形
解析：非零向量与满足(||||
AB AC AB AC +)·=0，即角A 的平分线垂直于BC ，∴ AB =AC ，又cos A =||||AB AC AB AC ⋅=12
，∠A =3π，所以△ABC 为等边三角形，选D ． 9.ABC ∆的外接圆的圆心为O ，两条边上的高的交点为H ，)(m ++=，则实数m = 1
10.点O 是三角形ABC 所在平面内的一点，满足OA OB OB OC OC OA ==，则点O 是ABC ∆的（B ）
（A ）三个内角的角平分线的交点 （B ）三条边的垂直平分线的交点
（C ）三条中线的交点 （D ）三条高的交点
11．O 是平面上的一定点，A,B,C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足(AC AB OA OP ++=λ，
[)+∞∈,0λ则P 点的轨迹一定通过ABC ∆的（ ）
（A ） 外心（B ）内心（C ）重心（D ）垂心
解析：因为是向量AB 的单位向量设AB 与AC 方向上的单位向量分别为21e e 和， 又
=-，则原式可化为)(21e e AP +=λ，由菱形的基本性质知AP 平分BAC ∠，那么在ABC ∆中，AP 平分BAC ∠，则知选B.。