立体几何大题一-建系(没有1题2题)

立体几何大题题型一：基础题型3(2015·课标全国Ⅰ)如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC＝120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE＝2DF，AE⊥EC.(1)证明：平面AEC⊥平面AFC；(2)求直线AE与直线CF所成角的余弦值．(1)证明如图所示，连接BD，设BD∩AC＝G，连接EG，FG，EF.在菱形ABCD中，不妨设GB＝1.由∠ABC＝120°，可得AG＝GC＝ 3.由BE⊥平面ABCD，AB＝BC，可知AE＝EC.又AE⊥EC，所以EG＝3，且EG⊥AC.在Rt △EBG中，可得BE＝2，故DF＝2 2.在Rt △FDG中，可得FG＝6 2.在直角梯形BDFE中，由BD＝2，BE＝2，DF＝22，可得EF＝322，从而EG2＋FG2＝EF2，所以EG⊥FG.又AC∩FG＝G，可得EG⊥平面AFC.因为EG ⊂平面AEC ，所以平面AEC ⊥平面AFC .(2)解 如图，以G 为坐标原点，分别以GB →，GC →的方向为x 轴，y 轴正方向，|GB →|为单位长度，建立空间直角坐标系Gxyz ，由(1)可得A (0，－3，0)，E (1,0，2)， F ⎝⎛⎭⎫－1，0，22，C (0，3，0)， 所以AE →＝(1，3，2)，CF →＝⎝⎛⎭⎫－1，－3，22.故cos 〈AE →，CF →〉＝AE →·CF →|AE →||CF →|＝－33.所以直线AE 与直线CF 所成角的余弦值为33. 4. 如图，在四棱锥P ­ABCD 中，侧面P AD 是正三角形，底面ABCD 是直角梯形，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AD ＝2BC ＝2，CD ＝3，平面P AD ⊥底面ABCD ，若M 为AD 的中点，E 是棱PC 上的点．(1)求证：平面EBM ⊥平面P AD ；(2)若∠MEC ＝90°，求二面角P ­BM ­E 的余弦值． 解：(1)证明：∵M 是AD 的中点， 且AD ＝2，∴MD ＝1， 又∵AD ∥BC ，BC ＝1， ∴四边形MBCD 为平行四边形． ∵∠ADC ＝90°，DC ∥MB ，∴∠AMB ＝90°，即BM ⊥AD .∵平面P AD ⊥平面ABCD ，BM ⊂平面ABCD ， ∴BM ⊥平面P AD . ∴平面EBM ⊥平面P AD .(2)∵△P AD 是正三角形，M 为AD 中点， ∴PM ⊥AD .又∵平面P AD ⊥平面ABCD ， ∴PM ⊥平面ABCD .如图，以M 为原点，以MA ，MB ，MP 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系M ­xyz ，则A (1，0，0)，B (0，3，0)，P (0，0，3)， C (－1，3，0)，PC →＝(－1，3，－3)， ∵E 在PC 上，设CE →＝λCP →(0<λ<1)， ∴ME →－MC →＝λ(MP →－MC →)． ∴ME →＝(λ－1，3－3λ，3λ)． ∵ME →·PC →＝0，∴λ＝47.∴ME →＝⎝⎛⎭⎫－37，337，437.设平面MBE 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则ME →·n ＝0，MB →·n ＝0，即⎩⎨⎧－3x ＋3y ＋4z ＝0，3y ＝0.令x ＝4，∴n ＝(4，0，3)．又平面PMB 的一个法向量为n 1＝(1，0，0)， ∴cos 〈n ，n 1〉＝416＋3＝41919.设平面PMB 与平面EMB 所成的角为θ，则cos θ＝41919.5．如图，在四棱锥O ABCD -中，底面ABCD 是边长为1的正方形，OA ⊥底面,2,ABCD OA M =为OA 中点．（1）求证：直线BD ⊥平面OAC ；（2）求直线MD 与平面OAC 所成角的大小； （3）求点A 到平面OBD 的距离．【答案】（1）证明见解析；（2）030；（3）23． 【解析】试题分析：（1）由OA ⊥底面ABCDO A BD ⇒⊥，又 BD AC ⊥⇒BD ⊥平面 OAC ；（2）做辅助线EM 可得DME ∠是直线MD 与平面 OAC 所成的角，计算求得所成的角为030；（3）作AH OE ⊥于点H ⇒BD ⊥平面 OAC ⇒BO AH ⊥⇒线段AH 的长就是点A 到平面OBD 的距离⇒2222332OA AE AH OE ===． 试题解析：（1）由OA ⊥底面,ABCD OA BD ⊥．底面ABCD 是边长为1的正方形， ∴BD AC ⊥，又ACOA A =，∴BD ⊥平面 OAC ．（2）设AC 与BD交于点E ，连结EM ，则DME ∠是直线MD 与平面 OAC 所成的角2MD DE ==， ∴直线MD 与平面OAC 所成的角为030．（3）作AH OE ⊥于点H ．BD ⊥平面 OAC ， ∴BO AH ⊥，线段AH 的长就是点A 到平面OBD 的距离．∴2222332OA AE AH OE ===，∴点A 到平面OBD 的距离为23． 考点：1、线面垂直；2、线面角；3、点到面的距离.【方法点晴】本题考线面垂直、线面角和点到面的距离，涉及数形结合思想，并考查空间想象能力和计算能力，具有一定的综合性，属于较难题型．第一小题由OA ⊥底面ABCDO A BD ⇒⊥，BD AC ⊥⇒BD ⊥平面OAC ；第二小题做辅助线EM 可得DME ∠是直线MD 与平面OAC 所成的角，计算求得所成的角为030；第三小题作AH OE ⊥于点H ⇒BD ⊥平面OAC ⇒BO AH⊥⇒线段AH 的长就是点A 到平面OBD 的距离，计算求得点A 到平面OBD 的距离为23．6．如图所示的几何体中，四边形CDEF 为正方形，四边形ABCD 为等腰梯形，AB ∥CD ，AC ＝3，AB ＝2BC ＝2，AC ⊥FB.（1）求证：DE AC ⊥； （2）求点C 到平面BDF 的距离.【答案】（1）详见解析；（2 【解析】 试题分析：（1）根据题中条件AC ＝3，AB ＝2，BC ＝1，所以222AC BC AB +=，所以AC BC ⊥，又因为已知AC FB ⊥，且BC FB B =，根据线面垂直判定定理可知，AC ⊥平面BCF ，因为CF ⊂平面BCF ，所以AC CF ⊥，又因为//CF DE ,所以可得AC DE ⊥；本问重点考查线面垂直判定定理。

（2）根据第（1）问，AC CF ⊥，又由正方形DC CF ⊥，且DC AC C =，所以CF ⊥平面ABCD ，则线段CF 为三棱锥F-BCD 的高，Rt ACB ∆中，AC ＝3，AB ＝2，BC ＝1，所以60ABC ∠==，30CAB ∠=，所以根据等腰梯形可得：CB ＝DC ＝1，120BCD ∠=，所以△BCD 的面积为S ＝34 ，则可以求出三棱锥F-BCD 的体积为312，由图可知F BCD C BDF V V --=，而13C BDF BDF V S d -∆=⋅，其中d 为点C 到平面BDF 的距离，又因为3,2====AC BD BF DF ，所以415=∆BDF S ，于是可以得到3F BCD BDF V d S -∆=，计算就可以求出d 的值，即得到点C 到平面BDF 的距离。

本问主要考查点到面的距离，常用等体积法解题。

试题解析：（1）证明：在△ABC 中，因为AC ＝3，AB ＝2，BC ＝1，则AB 2＝AC 2＋BC 2， 所以AC ⊥BC ，又因为AC ⊥FB ，且FB ∩BC ＝B ，所以AC ⊥平面FBC. 所以CF AC ⊥,又因为//CF DE ， 所以DE AC ⊥（2）解 因为AC ⊥平面FBC ，所以AC ⊥FC.因为CD ⊥FC ，且CD ∩AC ＝C ， 所以FC ⊥平面ABCD.则FC 为四面体F －BCD 的高，在等腰梯形ABCD 中可得CB ＝DC ＝1， 所以FC ＝1，所以△BCD 的面积为S ＝34所以四面体F －BCD 的体积为V F －BCD ＝13S ·FC ＝312又因为3,2====AC BD BF DF ，所以415=∆BDF S由CBD F BDF C V V --=，得点C 到平面BDF 的距离为55.(2015·湖北)《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．在如图所示的阳马P ABCD 中，侧棱PD ⊥底面ABCD ，且PD ＝CD ，点E 是PC 的中点，连接DE 、BD 、BE .(1)证明：DE ⊥平面PBC .试判断四面体EBCD 是否为鳖臑．若是，写出其每个面的直角(只需写出结论)；若不是，请说明理由；(2)记阳马P ABCD 的体积为V 1，四面体EBCD 的体积为V 2，求V 1V 2的值．(1)证明 因为PD ⊥底面ABCD ，所以PD ⊥BC ， 由底面ABCD 为长方形，有BC ⊥CD ，而PD ∩CD ＝D ， 所以BC ⊥平面PCD .而DE ⊂平面PCD ， 所以BC ⊥DE .又因为PD ＝CD ，点E 是PC 的中点，所以DE ⊥PC .而PC ∩BC ＝C ，所以DE ⊥平面PBC .由BC ⊥平面PCD ，DE ⊥平面PBC ，可知四面体EBCD 的四个面都是直角三角形，即四面体EBCD 是一个鳖臑，其四个面的直角分别是∠BCD ，∠BCE ，∠DEC ，∠DEB . (2)解 由已知得，PD 是阳马P ABCD 的高， 所以V 1＝13S ABCD ·PD ＝13BC ·CD ·PD .由(1)知，DE 是鳖臑DBCE 的高，BC ⊥CE ， 所以V 2＝13S △BCE ·DE ＝16BC ·CE ·DE .在Rt △PDC 中，因为PD ＝CD ，点E 是PC 的中点，所以DE ＝CE ＝22CD ， 于是V 1V 2＝13BC ·CD ·PD 16BC ·CE ·DE ＝2CD ·PD CE ·DE＝4.。