高考中的数学建模问题

高考中的数学建模问题【一】数学应用题的分析和处理（A）解应用题的基本程序：解应用题，首先要在阅读材料、理解题意的基础上，把实际问题抽象成数学问题，就是从实际出发，经过去粗取精、抽象概括，利用学过的数学知识建立相应的数学模型，再利用数学知识对数学模型进行分析、研究，得到数学结论后返回到实际问题中去验证。

思路如下图：转化为数学问题数学问题数学解答实际问题结论回到实际问题数学问题结论（B）解应用题的一般程序（1）读阅读理解文字表达的题意，分清条件和结论，理顺数量关系，这一关是基础（2）建将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型熟悉基本数学模型，正确进行建“模”是关键的一关（3）解求解数学模型，得到数学结论一要充分注意数学模型中元素的实际意义，更要注意巧思妙作，优化过程（4）答将数学结论还原给实际问题的结果( C ) 中学数学中常见应用问题与数学模型（1）优化问题实际问题中的“优选”“控制”等问题，常需建立“不等式模型”和“线性规划”问题解决（2）预测问题经济计划、市场预测这类问题通常设计成“数列模型”来解决（3）最（极）值问题工农业生产、建设及实际生活中的极限问题常设计成“函数模型”，转化为求函数的最值（4）等量关系问题建立“方程模型”解决（5）测量问题可设计成“图形模型”利用几何知识解决典型题例示范讲解题1:1.某大学的信息中心A 与大学各部门、各院系B ，C ，D ，E ，F ， G ，H ，I 之间拟建立信息联网工程，实际测算的费用如图所示 （单位：万元）。

请观察图形，可以不建部分网线，而使得中心 与各部门、院系彼此都能连通（直接或中转），则最少的建网费 用（万元）是B A ．12 B ．13 C ．14 D ．162. 某商场在元旦促销期间规定，商场内所有商品按标价的80%出售；同时，当顾客在该商场内消费满一定金额后，按如下方案获得相应金额的奖券：根据上述促销方法，顾客在该商场购物可以获得双重优惠，例如，购买标价为400元的商品，则消费金额为320元，获得的优惠额为：400×0.2+30=110(元).若顾客购买一件标价为1000元的商品，则所能得到的优惠额为BA ．130元 B.330元 C.360元 D.800元3. 我国发射的神舟6号飞船开始运行的轨道是以地球的中心F 为一个焦点的椭圆，测得近地点A 距地面200公里，远地点B 距地面350 公里，地球的半径为6371公里，则从椭圆轨道上一点看地球的最大 视角为 （ B ） （A ）67216371arcsin 2 （B ）65716371arcsin 2 （C ）67216371arccos 2 （D ）65716371arccos 24. 一张报纸的厚度为a ，面积为b ，现将报纸对折（即沿对边中点连线折叠）7次，这时报纸的厚度和面积分别为YCY （ C ）A ．b a 81,8B ．b a 641,64 C ．b a 1281,128 D ．b a 2561,2565. 2006年度某学科能力测试共有12万考生参加，成绩采用15级分，测试成绩分布图如下：人在6000，10000，14000，18000这四个数据中, 与成绩高于11级分的考生数最接近的是BA ．6000B ．10000C ．14000D ．180006.正四面体的四个表面上分别写有数字1,2,3,4.将3个这样均匀的四面体同时投掷于桌面上,与桌面接触的三个面上的数字的乘积能被3整除的概率为 C A .641 B . 6413 C. 6437D . 6461 7．已知A ，B ，C 是平面上不共线上三点，O 为ABC ∆外心，动点P 满足⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-+-=→→→→OC OB OA OP )21()1()1(31λλλ)0(≠∈λλ且R ,则P 的轨迹一定通过ABC ∆的DA 内心B 垂心C 重心D AB 边的中点8.一组数据中的每一个数据都减去80，得到一组新数据，若这组新数据的平均数是1.2，方差是4.4，则原来一组数据的平均数和方差分别是 AA ．81.2，4.4B ．78.8，4.4C ．81.2，84.4D ．78.8，75.6题2．(06广西重点中学)某家用电器厂根据其产品在市场上的销售情况，决定对原来以每件2000元出售的一种产品进行调价，并按新单价的八折优惠销售。

结果每件产品仍可获得实际销售价20%的利润。

已知该产品每件的成本是原销售价的60%。

（1）求调价后这种产品的新单价是每件多少元？让利后的实际销售价是每件多少元？（2）为使今年按新单价让利销售后的利润总额不低于20万元，今年至少应销售这种产品多少件？（每件产品利润=每件产品的实际销售价一每件产品的成本价）解：（1）设每件产品的新单价为x 元…………………………………………1分由已知：该产品的成本是2000×60%=1200元………………………………2分 由题意：x ·80%－1200=20%（80%·x ）……………………………………3分 解得：x=1875（元）……………………………………………………………4分 ∴80%·x=1500元………………………………………………………………5分所以，该产品调价后的新单价是每件1875元，让利后实际售价为每件1500元.……6分（2）设今年至少应生产这种电器m 件，则由题意，得m(1500－1200)≥200000…………………………………………………… 8分 解得：m ≥66632……………………………………………………………… 9分 ∵m ∈N ，∴m 的最小值应为667件…………………………………………11分 答：今年至少售出667件产品，才能使利润总额不低于20万元.……… 12分题3．(06北京海淀区)如图，a 是海面上一条南北方向的海防警戒线，在a 上一点A 处有一个水声监测点，另两个监测点B ，C 分别在A 的正东方20km 和54km 处。

某时刻，监测点B 收到发自静止目标P 的一个声波，8s 后监测点A ，20s 后监测点C 相继收到这一信号。

在当时的气象条件下，声波在水中的传播速度是1.5km/s.（1）设A 到P 的距离为x km ，用x 表示B ，C 到P 的距离，并求x 的值； （2）求静止目标P 到海防警戒线a 的距离（结果精确到0.01km ）。

（1）依题意，有PA-PB=1.5×8=12(km). PC-PB=1.5×20=30(km) ∴PB=(x-12)(km),PC=30+(x-12)=(18+x)(km). 在△PAB 中，AB=20kmAB PA PB AB PA PAB ⋅-+=∠2cos 222xx x x x 5323202)12(20222+=⋅--+=同理，xxPAC 372cos -=∠ ∵,cos cos PAC PAB ∠=∠∴xxx x 3725323-=+ 解之，得)(7132km x = (2)作PD D ，a 于⊥在△ADP 中，).(71.17532713235323cos km xx x APD PA PD ≈+⨯=+⋅=∠= 答：静止目标P 到海防警戒线a 的距离约为17.71km题4(06山东省潍坊)某地区的一种特色水果上市时间仅能持续5个月，预测上市初期和后期会因供不应求使价格呈连续上涨态势，而中期又将出现供大于求使价格连续下跌,现有三种价格模拟函数. ① f(x)=p · q x; ② f(x)=px 12++qx ;③ f(x)=x(x-q)2+p.（以上三式中p 、q 均为常数，且q ＞1）. (1)为准确研究其价格走势，应选哪种价格模拟函数，为什么？（2）若f(0)=4，f(2)=6，求出所选函数f(x)的解析式（注：函数的定义域是[0，5]，其中x=0表示4月1日，x=1表示5月1日，…，以此类推）；（3）为保证果农的收益，打算在价格下跌期间积极拓宽外销，请你预测该果品在哪几个月份内价格下跌.（1）应选f(x)=x(x-q)2+p.因为①f(x)=p ·q x 是单调函数；②f(x)=px 2+qx+1的图象不具有先升再降后升特征；③f(x)=x(x-q)2+p 中,f ′(x)=3x 2-4qx+q 2, 令f ′(x)=0，得x=q,x=3q,f(x)有两个零点. 可以出现两个递增区间和一个递减区间.(2)由f(0)=4,f(2)=6得⎩⎨⎧+-==,)2(26,42p q p 解之得⎩⎨⎧==,3,4q p （其中q=1舍去）.∴函数f(x)=x(x-3)2+4，即f(x)=x 49623++-x x （0≤x ＜5） （3）由f(x) ＜0，解得1＜x ＜3∴函数f(x)=x 49623++-x x 在区间（1，3）上单调递减， ∴这种果品在5月，6月份价格下跌.题5(06广西钦州)已知有三个居民小区A 、B 、C 构成△ABC ，AB ＝700m 、BC ＝800m 、AC ＝300m ．现计划在与A 、B 、C 三个小区距离相等处建造一个工厂，为不影响小区居民的正常生活和休息，需在厂房的四周安装隔音窗或建造隔音墙．据测算，从厂房发出的噪音是85分贝，而维持居民正常生活和休息时的噪音不得超过50分贝．每安装一道隔音窗噪音降低3分贝，成本3万元，隔音窗不能超过3道；每建造一堵隔音墙噪音降低15分贝，成本10万元；距离厂房平均每25m 噪音均匀降低1分贝．（1）求∠C 的大小；（2）求加工厂与小区A 的距离．（精确到1m ）；（3）为了不影响小区居民的正常生活和休息且花费成本最低，需要安装几道隔音窗，建造几堵隔音墙?（计算时厂房和小区的大小忽略不计） 解：（1）由余弦定理得cos ∠C ＝12，∠C ＝60º； ························································ 3分 （2）由题设知，所求距离为△ABC 外接圆半径R ，··········································· 4分由正弦定理得R ＝7002sin C∠＝404． ··························································· 6分答：加工厂与小区A 的距离约为404m ； ················································· 7分 （3）设需要安装x 道隔音窗，建造y 堵隔音墙，总成本为S 万元，由题意得：40485315150,2503,0,,N .x y x y x y *⎧---⨯≤⎪⎪⎪≤≤⎨⎪≥⎪∈⎪⎩即5 6.28,03,0,,N .x y x y x y *+≥⎧⎪≤≤⎪⎨≥⎪⎪∈⎩········································· 9分 其中S ＝3x ＋10y ，当x ＝2，y ＝1时，S 最小值为16万元．················· 11分 答：需安装2道隔音窗，建造1堵隔音墙即可． ····································· 12分题6(06上海徐汇区))人口问题其实是许多国家的政府都要面对的问题。