高中数学第二章推理与证明本章整合新人教B版选修2-2资料
高中数学 第二章 推理与证明本章整合 新人教B 版选修2-2 知识网络
专题探究
专题一 合情推理与演绎推理
1．归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳，然后提出猜想的推理，我们统称为合情推理．合情推理常常能为我们提供证明的思路和方向．归纳推理的思维过程大致如下： 实验，观察→概括，推广→猜测一般性结论
类比推理的思维过程大致如下：
观察，比较→联想，类推→猜测新的结论
2．演绎推理是由一般到特殊的推理，又叫逻辑推理．
其中三段论推理是演绎推理的主要形式．演绎推理具有如下特点：
(1)演绎的前提是一般性原理，演绎所得的结论完全蕴涵于前提之中．
(2)演绎推理中，前提与结论之间存在必然的联系，演绎推理是数学中严格证明的工具．
(3)演绎推理是一种收敛性的思维方法，它创造性较少，但却具有条理清晰、令人佩服的论证作用，有助于科学的理论化和系统化．
【例1】 证明下列各等式，并从中归纳出一个一般性的结论．
2cos π4
＝2， 2cos π8＝2＋2， 2cos π16＝2＋2＋ 2. 证明：2cos π4＝2×22
＝2，
2cos π8＝2×1＋cos π42＝2×1＋222＝2＋2， 2cos π16＝2×1＋cos π82＝2×1＋122＋22＝2＋2＋ 2.
…… 从以上各式归纳可得一般性的结论如下：
2cos π2n ＋1＝2＋2＋2＋… (n ∈N ＋，n ≥1)．
【例2】 已知椭圆具有性质：若M ，N 是椭圆C 上关于原点对称的两个点，点P 是椭圆上任意一点，当直线PM ，PN 的斜率都存在，并记为k PM ，k PN 时，那么k PM 与k PN 之积是与点P
的位置无关的定值．试对双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1写出具有类似特性的性质，并加以证明． 解：类似的性质为：若M ，N 是双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1上关于原点对称的两个点，点P 是双曲线上任意一点，当直线PM ，PN 的斜率都存在，并记为k PM ，k PN 时，那么k PM 与k PN 之积是与点P 的位置无关的定值．
证明：设点M ，P 的坐标为(m ，n )，(x ，y )，
则N (－m ，－n )．
因为点M (m ，n )在已知双曲线上，
所以n 2
＝b 2
a 2m 2－
b 2. 同理y 2
＝b 2
a 2x 2－
b 2. 因为k PM ·k PN ＝y －n x －m ·y ＋n x ＋m ＝y 2－n 2x 2－m 2＝b 2a 2·x 2－m 2x 2－m 2＝b 2
a 2
(定值)， 所以k PM 与k PN 之积是与点P 的位置无关的定值．
专题二 直接证明与间接证明
1．直接证明的两种基本方法是综合法与分析法．
综合法与分析法的区别与联系：
分析法的特点是：从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”，其逐步推理，实际上是要寻找它的充分条件．
综合法的特点是：从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，其逐步推理，实际上是寻找它的必要条件．
分析法与综合法各有其特点．有些具体的问题，用分析法或综合法都可以证明出来，人们往往选择比较简单的一种．
在解决问题时，我们经常把综合法和分析法结合起来使用．根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论Q ；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论P .若由Q 可以推出P 成立，就可以证明结论成立．
2．反证法是一种间接证明命题的方法，它的理论基础是互为逆否命题的两个命题为等价命题，反证法反映了“正难则反”的证明思想．
用反证法证明问题时要注意以下三点：
(1)必须先否定结论，即肯定结论的反面，当结论的反面呈现多样性时，必须罗列出各种可能的情况，缺少任何一种可能，反证都是不完全的；
(2)反证法必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推证，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法；
(3)推导出的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾，有的与假设矛盾，有的与已知事实矛盾等，推导出的矛盾必须是明显的．
【例3】 设集合S ＝{x |x ∈R 且|x |＜1}，若S 中定义运算“*”，使得a *b ＝a ＋b 1＋ab
. 证明：(1)如果a ∈S ，b ∈S ，那么a *b ∈S ；
(2)对于S 中的任何元素a ，b ，c ，都有(a *b )*c ＝a *(b *c )成立．
证明：(1)由a ∈S ，b ∈S ，则|a |＜1，|b |＜1，a *b ＝
a ＋
b 1＋ab ， 要证a *b ∈S ，即证|a *b |＝⎪⎪
⎪⎪⎪⎪a ＋b 1＋ab ＜1， 只需证|a ＋b |＜|1＋ab |，
即只需证(a ＋b )2＜(1＋ab )2，
即证(1－a 2)(1－b 2)＞0.
∵|a |＜1，|b |＜1，
∴a 2＜1，b 2＜1，
∴(1－a 2)(1－b 2)＞0成立，
∴a *b ∈S .
(2)(a *b )*c ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫a ＋b 1＋ab *c ＝a ＋b ＋c ＋abc 1＋ab ＋ac ＋bc ， 同理a *(b *c )＝a *⎝
⎛⎭⎪⎫b ＋c 1＋bc ＝a ＋b ＋c ＋abc 1＋ab ＋ac ＋bc ， ∴(a *b )*c ＝a *(b *c )．
【例4】 有10只猴子共分了56个香蕉，每只猴子至少分到1个香蕉，最多分到10个香蕉，试证：至少有两只猴子分到同样多的香蕉．
证明：假设10只猴子分到的香蕉都不一样多．
∵每只猴子最少分到一个香蕉，至多分到10个香蕉，
∴只能是分别分到1,2,3，…，10个香蕉．
此时10只猴子共分了：1＋2＋3＋…＋10＝55(个)，这与共分了56个香蕉相矛盾， 故至少有两只猴子分得同样多的香蕉．
专题三 归纳—猜想—证明的方法
探索性命题是近几年高考试题中经常出现的一种题型，此类问题未给出问题结论，需要由特殊情况入手，猜想、证明一般结论．它的解题思路是：从所给条件出发，通过观察、试验、归纳、猜想，探索出结论，然后再对归纳、猜想的结论进行证明．
【例5】 若不等式1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋…＋13n ＋1＞a 24
对一切正整数n 都成立，求正整数a 的最大值，并证明你的结论．
解：取n ＝1，11＋1＋11＋2＋13×1＋1＝2624
. 令2624＞a 24
，得a ＜26，而a ∈N ＋， 所以取a ＝25，下面用数学归纳法证明
1n ＋1＋1n ＋2＋…＋13n ＋1＞2524
. (1)当n ＝1时，已证结论正确．
(2)假设当n ＝k (k ∈N ＋)时，结论成立，
即1k ＋1＋1k ＋2＋…＋13k ＋1＞2524
， 则当n ＝k ＋1时，有
1 k ＋1 ＋1＋1 k ＋1 ＋2＋…＋13k ＋1＋13k ＋2＋13k ＋3＋13 k ＋1 ＋1
＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ＋1＋1k ＋2＋…＋13k ＋1＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫13k ＋2＋13k ＋3＋13k ＋4－1k ＋1 ＞2524＋⎣⎢⎡⎦
⎥⎤13k ＋2＋13k ＋4－23 k ＋1 . 因为13k ＋2＋13k ＋4＝6 k ＋1 9k 2＋18k ＋8＞6 k ＋1 9 k 2＋2k ＋1 ＝23 k ＋1
， 所以13k ＋2＋13k ＋4－23 k ＋1
＞0， 所以1 k ＋1 ＋1＋1 k ＋1 ＋2＋…＋13 k ＋1 ＋1＞2524
， 即当n ＝k ＋1时，结论也成立．
由(1)(2)可知，对一切n ∈N ＋，
都有1n ＋1＋1n ＋2＋…＋13n ＋1＞2524， 故a 的最大值为25.。
高二数学选修2-2(B版)_总结归纳：推理与证明
推理与证明对于数学的学习，应具备“能力”，其中本章的“推理与证明”就是一种重要的“逻辑思维”能力形式．通过本章的复习，要有着扎实的推理、论证能力，以增强对问题的敏锐的观察，深刻的理解、领悟能力．一．推理部分1．知识结构：2．和情推理：归纳推理与类比推理统称为和情推理．①归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或有个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理．②类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理．③定义特点；归纳推理是由特殊到一般、由部分到整体的推理；而类比推理是由特殊到特殊的推理；都能由已知推测、猜想未知，从而推理结论．但是结论的可靠性有待证明．例如：已知2()53f n n n =-+-，可以(1)10f =>，(2)30,f =>(3)30,(4)10f f =>=>，于是推出：对入任何n N *∈，都有()0f n >；而这个结论是错误的，显然有当5n =时，(5)30f =-<．因此，归纳法得到的结论有待证明．例如：“在平面内与同一条直线垂直的两条直线平行”；类比线与线得到：“在空间与同一条直线垂直的两条直线平行“；显然此结论是错误的”．类比线与面得到：在空间与同一个平面垂直的两个平面平行；显然此结论是错误的．④推理过程：从具体问题出发 观察、分析、比较、联想 归纳、类比 猜想．3．演绎推理：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理称为演绎推理（逻辑推理）．①定义特点：演绎推理是由一般到特殊的推理；②数学应用：演绎推理是数学中证明的基本推理形式；推理模式：“三段论”：ⅰ大前提：已知的一般原理（M 是P ）；ⅱ小前提：所研究的特殊情况（S 是M ）；ⅲ结论：由一般原理对特殊情况作出判断（S 是P ）；集合简述：ⅰ大前提：x ∈M 且x 具有性质P ；ⅱ小前提：y ∈S 且S ⊆M ；ⅲ结论： y 也具有性质P ；例题1．若定义在区间D 上的函数()f x 对于D 上的n 个值12,,n x x x ，总满足[]12121()()()()n n x x x f x f x f x f n n ++++++≤，称函数()f x 为D 上的凸函数；现已知()sin f x x =在(0,)π上是凸函数，则ABC ∆中，sin sin sin A B C ++的最大值是 ．解答：由[]12121()()()()n n x x x f x f x f x f n n ++++++≤（大前提）因为()sin f x x =在(0,)π上是凸函数 （小前提）得()()()3()3A B C f A f B f C f ++++≤ （结论）即sin sin sin 3sin 3A B C π++≤=因此，sin sin sin A B C ++的最大值是2 注：此题是一典型的演绎推理“三段论”题型4.和情推理与演绎推理的关系：①和情推理是由特殊到一般的推理，演绎推理是由一般到特殊的推理；②它们又是相辅相成的，前者是后者的前提，后者论证前者的可靠性；例2．设()2x x a a f x -+=，()2x xa a g x --=（其中0a >且1a ≠） （1）5＝2＋3请你推测(5)g 能否用(2),(3),(2),(3)f f g g 来表示；（2）如果（1）中获得了一个结论，请你推测能否将其推广.解答:（1）由(3)(2)(3)(2)f g g f +＝332a a -+222a a --＋332a a --222a a -+ ＝552a a -- 又(5)g ＝552a a -- 因此，(5)g ＝(3)(2)(3)(2)f g g f +（2）由(5)g ＝(3)(2)(3)(2)f g g f +即(23)g +＝(3)(2)(3)(2)f g g f +于是推测()g x y +＝()()()()f x g y g x f y + 证明：因为：()2x x a a f x -+=，()2x xa a g x --=（大前提） 所以()g x y +＝2x y x ya a ++-， ()g y ＝2y y a a --，()f y ＝2y ya a -+，（小前提及结论） 所以()()()()f x g y g x f y +＝2x x a a -+2y y a a --＋2x x a a --2y ya a -+ ＝2x y x ya a ++-＝()g x y + 解题评注：此题是一典型的由特殊到一般的推理，构造(23)g +＝(3)(2)(3)(2)f g g f +是此题的一大难点，要经过观察、分析、比较、联想而得到；从而归纳推出一般结论()g x y +＝()()()()f x g y g x f y +．二．证明部分1．知识结构2．综合法与分析法①综合法；利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等出发，经过一系列推理论证，推导出所要证明的结论成立．②分析法：从要证明的结论出发逐步寻求使它成立的充分条件，直至把要证明的结论归结为判别一个明显成立的条件为止．③综合应用：在解决问题时，经常把综合法与分析法和起来使用；使用分析法寻找成立的条件，再用综合法写出证明过程．例3．已知：0a b >>，求证：22()()828a b a b a b ab a b-+-<-< 证明：因为0a b >> 所以22()()828a b a b a b ab a b-+-<< ⇔222()()()44a b a b a b a b--<< ⇔|22a b a b<< ⇔2a b a b a b<< ⇔121b a a b < ⇔1b a a b<又由已知0a b >>1b a a b<<成立． 由于以上分析步步等价，因此步步可逆．故结论成立．解题评注：(1)以上解答采用恒等变形，其实质从上往下属于分析法，反之属于综合法．(2)1b a a b<,(0a b >>)是结论成立的充要条件,当然找到了结论成立的充分条件就可以了.例4.求证抛物线22(0)y px p =>，以过焦点的弦为直径的圆必与2p x =-相切. 证明：（如图）作AA ／、BB ／垂直准线，取AB 的中点M ，作MM ／垂直准线. 要证明以AB 为直径的圆与准线相切只需证｜MM ／｜＝12｜AB ｜ 由抛物线的定义：｜AA ／｜＝｜AF ｜，｜BB ／｜＝｜BF ｜所以｜AB ｜＝｜AA ／｜＋｜BB ／｜因此只需证｜MM ／｜＝12（｜AA ／｜＋｜BB ／｜） 根据梯形的中位线定理可知上式是成立的. 所以以过焦点的弦为直径的圆必与2p x =-相切. 以上解法同学们不难以综合法作出解答.解题评注:分析法是从结论出发寻找证题思路的一种重要的思维方法,特别是题设和结论相结合,即综合法与分析法相结合,可使很多较为复杂的问题得到解决.3.数学归纳法一般地，证明一个与正整数ｎ有关的命题的步骤如下：（1）（归纳奠基）证明当ｎ取第一个值ｎ0时命题成立；（2）（归纳递推）假设ｎ＝k （0(,)k n k n ≥∈*时命题成立，证明当1n k =+ 时命题也成立。
2020学年高中数学第2章推理与证明章末复习课讲义新人教B版选修2-2(2021-2022学年)
第２章推理与证明合情推理2．类比推理的特点及一般步骤【例１】观察式子：1+错误!＜错误!，1＋错误!＋错误!＜错误!未定义书签。
，1＋错误!＋错误!未定义书签。
+错误!〈错误!,……，由此可归纳出的式子为（ )A.１＋错误!＋错误!未定义书签。
＋…＋错误!〈错误!未定义书签。
B.1+错误!未定义书签。
+错误!未定义书签。
+…＋错误!<错误!未定义书签。
C．1+错误!未定义书签。
＋错误!未定义书签。
+…+错误!未定义书签。
<错误!未定义书签。
ﻬD.1＋错误!未定义书签。
＋132＋…+错误!〈错误!未定义书签。
(2）两点等分单位圆时,有相应正确关系为siｎα＋sin（π+α)=0；三点等分单位圆时,有相应正确关系为siｎα+sin错误!未定义书签。
＋sin错误!=0,由此可以推知,四点等分单位圆时的相应正确关系为＿＿_＿___＿＿_.[思路探究］ (１)观察各式特点，找准相关点,归纳即得．(2）观察各角的正弦值之间的关系得出结论．[解析] (1)由各式特点，可得１＋错误!未定义书签。
＋错误!＋…＋错误!〈错误!.故选C.（2)用两点等分单位圆时，关系为siｎα＋sin(π+α)=0,两个角的正弦值之和为0,且第一个角为α,第二个角与第一个角的差为(π＋α)-α=π，用三点等分单位圆时，关系为sｉｎα+sｉn错误!未定义书签。
+sｉn错误!=0,此时三个角的正弦值之和为0，且第一个角为α,第二个角与第一个角的差与第三个角与第二个角的差相等，即有错误!未定义书签。
-错误!未定义书签。
＝错误!－α=错误!。
依此类推，可得当四点等分单位圆时，为四个角正弦值之和为0，且第一个角为α,第二个角为错误!未定义书签。
+α=错误!未定义书签。
+α，第三个角为错误!未定义书签。
＋α+错误!=π＋α,第四个角为π＋α+错误!未定义书签。
＝＼ｆ（３π,2)+α，即其关系为sin α+sin错误!+ｓin(α+π）+sin错误!＝0.［答案］(1）C(2）sin α＋sin错误!＋ｓｉn（α＋π)＋ｓin错误!未定义书签。
高中数学 第2章 推理与证明 2.1.2 演绎推理讲义 新人教B版选修2-2-新人教B版高二选修2-
2.1.2 演绎推理学习目标核心素养1．理解演绎推理的含义．(重点)2．掌握演绎推理的模式，会利用三段论进行简单的推理．(重点、易混点)通过演绎推理的学习、提升学生的逻辑推理、数学运算素养.一、演绎推理1．定义根据概念的定义或一些真命题，依照一定的逻辑规则得到正确结论的过程，叫做演绎推理．2．特征当前提为真时，结论必然为真．二、三段论1．三段论推理(1)三段论推理是演绎推理的一般模式．(2)三段论的构成：①大前提：提供一般性原理；②小前提：指出一个特殊的对象；③结论：结合大前提和小前提，得出一般性原理和特殊对象之间的内在联系．(3)“三段论”的常用格式大前提：M是P；小前提：S是M；结论：S是P.2．演绎推理的常见模式(1)三段论推理(2)传递性关系推理用符号表示推理规则是“如果aRb，bRc，则aRc”，其中“R”表示具有传递性的关系．(3)完全归纳推理把所有情况都考虑在内的演绎推理规则叫做完全归纳推理．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)“三段论”就是演绎推理．( )(2)演绎推理的结论是一定正确的．( )(3)演绎推理是由特殊到一般再到特殊的推理．( )[答案](1)×(2)×(3)×2．正弦函数是奇函数，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函数，因此f(x)＝sin(x2＋1)是奇函数，以上推理中“三段论”中的__________是错误的．[解析]f(x)＝sin(x2＋1)不是正弦函数，故小前提错误．[答案]小前提3．下列几种推理过程是演绎推理的是______(填序号)．①两条平行直线与第三条直线相交，内错角相等，如果∠A和∠B是两条平行直线的内错角，则∠A＝∠B；②金导电，银导电，铜导电，铁导电，所以一切金属都导电；③由圆的性质推测球的性质；④科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇．[解析]①是演绎推理；②是归纳推理；③④是类比推理．[答案]①把演绎推理写成三段论的形式(1)一切奇数都不能被2整除，75不能被2整除，所以75是奇数；(2)三角形的内角和为180°，Rt△ABC的内角和为180°；(3)通项公式为a n＝3n＋2(n≥2)的数列{a n}为等差数列．[解](1)一切奇数都不能被2整除．(大前提)75不能被2整除．(小前提)75是奇数．(结论)(2)三角形的内角和为180°.(大前提)Rt△ABC是三角形．(小前提)Rt△ABC的内角和为180°.(结论)(3)数列{a n}中，如果当n≥2时，a n－a n－1为常数，则{a n}为等差数列．(大前提)通项公式a n＝3n＋2，n≥2时，a n－a n－1＝3n＋2－[3(n－1)＋2]＝3(常数)．(小前提)通项公式为a n＝3n＋2(n≥2)的数列{a n}为等差数列．(结论)把演绎推理写成“三段论”的一般方法1．用“三段论”写推理过程时，关键是明确大、小前提，三段论中大前提提供了一个一般性原理，小前提提供了一种特殊情况，两个命题结合起来，揭示一般性原理与特殊情况的内在联系．2．在寻找大前提时，要保证推理的正确性，可以寻找一个使结论成立的充分条件作为大前提．1．将下列演绎推理写成三段论的形式．(1)平行四边形的对角线互相平分，菱形是平行四边形，所以菱形的对角线互相平分；(2)等腰三角形的两底角相等，∠A，∠B是等腰三角形的两底角，则∠A＝∠B.[解](1)平行四边形的对角线互相平分，大前提菱形是平行四边形，小前提菱形的对角线互相平分．结论(2)等腰三角形的两底角相等，大前提∠A，∠B是等腰三角形的两底角，小前提∠A＝∠B.结论演绎推理的综合应用【例2】如图所示，D，E，F分别是BC，CA，AB边上的点，∠BFD＝∠A，DE∥BA，求证：DE＝AF.写出“三段论”形式的演绎推理．[思路探究]用三段论的模式依次证明：(1)DF∥A E，(2)四边形A E DF为平行四边形，(3)DE＝AF.[解](1)同位角相等，两直线平行，(大前提)∠BFD和∠A是同位角，且∠BFD＝∠A，(小前提)所以DF∥A E.(结论)(2)两组对边分别平行的四边形是平行四边形，(大前提)DE∥BA且DF∥E A，(小前提)所以四边形AFDE为平行四边形．(结论)(3)平行四边形的对边相等，(大前提)DE和AF为平行四边形的对边，(小前提)所以DE＝AF.(结论)1．用“三段论”证明命题的步骤(1)理清证明命题的一般思路；(2)找出每一个结论得出的原因；(3)把每个结论的推出过程用“三段论”表示出来．2．几何证明问题中，每一步都包含着一般性原理，都可以分析出大前提和小前提，将一般性原理应用于特殊情况，就能得出相应结论．2．证明：如果梯形的两腰和一底相等，那么它的对角线必平分另一底上的两个角．[证明]已知在梯形ABCD中(如图所示)，AB＝DC＝AD，AC和BD是它的对角线，求证：CA平分∠BCD，BD平分∠CBA.证明：①等腰三角形的两底角相等，大前提△DAC是等腰三角形，DC＝DA，小前提∠1＝∠2.结论②两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，大前提∠1和∠3是平行线AD，BC被AC所截的内错角，小前提∠1＝∠3.结论③等于同一个量的两个量相等，大前提∠2，∠3都等于∠1，小前提∠2和∠3相等．结论即CA平分∠BCD.④同理BD 平分∠CBA .利用完全归纳推理证明问题[探究问题]1．演绎推理的结论一定正确吗？提示：演绎推理的结论不会超出前提所界定的X 围，所以在演绎推理中，只要前提和推理形式正确，其结论一定正确．2．利用完全归纳推理证明方程ax 2＋2x －a ＝0有实根，a 的值应分哪几种情况？ 提示：分a ＝0和a ≠0两种情况．【例3】 试证明函数f (x )＝ln(x ＋x 2＋1)的定义域为R ，并判断其奇偶性． [思路探究] 只须对x >0，x ＝0，x <0分别说明对数的真数均大于0即可． [解] 当x >0时，x ＋x 2＋1>0显然成立； 当x ＝0时，x ＋x 2＋1＝1>0成立； 当x <0时，x 2＋1>x 2＝|x |＝－x ， 所以x ＋x 2＋1>x ＋(－x )＝0.因此对x ∈R ，都有x ＋x 2＋1>0，即函数的定义域为R . 又因为f (－x )＝ln(－x ＋(－x )2＋1) ＝ln(x 2＋1－x )＝ln (x 2＋1－x )(x 2＋1＋x )x 2＋1＋x＝ln1x 2＋1＋x＝－ln(x 2＋1＋x )＝－f (x )．故f (x )是奇函数．1．完全归纳推理不同于归纳推理，后者仅仅说明了几种特殊情况，它不能说明结论的正确性，但完全归纳推理则把所有情况都作了证明，因此结论一定是正确的．2．在利用完全归纳推理证明问题时，要对证明的对象进行合理的分类，且必须把所有情况都考虑在内．3．求证：n ∈N ，当1≤n ≤4时，f (n )＝(2n ＋7)·3n＋9能被36整除．[证明] 当n ＝1时，f (1)＝(2＋7)·3＋9＝36，能被36整除； 当n ＝2时，f (2)＝(2×2＋7)·32＋9＝108＝36×3，能被36整除； 当n ＝3时，f (3)＝(2×3＋7)·33＋9＝360＝36×10，能被36整除； 当n ＝4时，f (4)＝(2×4＋7)·34＋9＝1 224＝36×34，能被36整除． 综上，当1≤n ≤4时，f (n )＝(2n ＋7)·3n＋9能被36整除.1．下面几种推理过程是演绎推理的是( )A ．两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A 与∠B 是两条平行直线的同旁内角，则∠A ＋∠B ＝πB ．某校高三(1)班有55人，(2)班有54人，(3)班有52人，由此得出高三所有班级的人数都超过50人C ．由平面三角形的性质，推测出空间四面体的性质D ．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a n －1－1a n －1(n ≥2)，通过计算a 2，a 3，a 4猜想出a n 的通项公式[解析] A 是演绎推理，B ，D 是归纳推理，C 是类比推理． [答案] A2．用三段论证明命题：“任何实数的平方大于0，因为a 是实数，所以a 2＞0”，你认为这个推理( )A ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．是正确的[解析] 这个三段论推理的大前提是“任何实数的平方大于0”，小前提是“a 是实数”，结论是“a 2＞0”，显然结论错误，原因是大前提错误．[答案] A3．函数y ＝2x ＋5的图象是一条直线，用三段论表示为： 大前提：___________________________________________； 小前提：___________________________________________； 结论：_____________________________________________. [答案] 一次函数的图象是一条直线 函数y ＝2x ＋5是一次函数 函数y ＝2x ＋5的图象是一条直线4．如图所示，因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB＝CD，BC＝AD.又因为△ABC和△CDA的三边对应相等，所以△ABC≌△CDA.上述推理的两个步骤中分别省略了 ________、________.[答案]大前提大前提5．用三段论的形式写出下列演绎推理．(1)矩形的对角线相等，正方形是矩形，所以正方形的对角线相等；(2)y＝x2(x∈R)是偶函数．[解](1)因为矩形的对角线相等，大前提而正方形是矩形，小前提所以正方形的对角线相等．结论(2)因为x∈R，函数f(x)有f(－x)＝f(x)，则f(x)是偶函数，大前提而y＝x2满足x∈R，f(－x)＝f(x)，小前提∴y＝x2(x∈R)是偶函数．结论。
高中数学 第二章 推理与证明本章整合 新人教B版选修22
高中数学 第二章 推理与证明本章整合 新人教B 版选修2-2知识网络专题探究专题一 合情推理与演绎推理1．归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳，然后提出猜想的推理，我们统称为合情推理．合情推理常常能为我们提供证明的思路和方向．归纳推理的思维过程大致如下：实验，观察→概括，推广→猜测一般性结论 类比推理的思维过程大致如下：观察，比较→联想，类推→猜测新的结论 2．演绎推理是由一般到特殊的推理，又叫逻辑推理．其中三段论推理是演绎推理的主要形式．演绎推理具有如下特点： (1)演绎的前提是一般性原理，演绎所得的结论完全蕴涵于前提之中．(2)演绎推理中，前提与结论之间存在必然的联系，演绎推理是数学中严格证明的工具． (3)演绎推理是一种收敛性的思维方法，它创造性较少，但却具有条理清晰、令人佩服的论证作用，有助于科学的理论化和系统化．【例1】 证明下列各等式，并从中归纳出一个一般性的结论． 2cos π4＝2，2cos π8＝2＋2，2cos π16＝2＋2＋ 2.证明：2cos π4＝2×22＝2，2cos π8＝2×1＋cosπ42＝2×1＋222＝2＋2，2cos π16＝2×1＋cosπ82＝2×1＋122＋22＝2＋2＋ 2.……从以上各式归纳可得一般性的结论如下： 2cos π2n ＋1＝2＋2＋2＋… (n ∈N ＋，n ≥1)．【例2】 已知椭圆具有性质：若M ，N 是椭圆C 上关于原点对称的两个点，点P 是椭圆上任意一点，当直线PM ，PN 的斜率都存在，并记为k PM ，k PN 时，那么k PM 与k PN 之积是与点P的位置无关的定值．试对双曲线x 2a 2－y 2b2＝1写出具有类似特性的性质，并加以证明．解：类似的性质为：若M ，N 是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1上关于原点对称的两个点，点P 是双曲线上任意一点，当直线PM ，PN 的斜率都存在，并记为k PM ，k PN 时，那么k PM 与k PN 之积是与点P 的位置无关的定值．证明：设点M ，P 的坐标为(m ，n )，(x ，y )， 则N (－m ，－n )．因为点M (m ，n )在已知双曲线上，所以n 2＝b 2a2m 2－b 2.同理y 2＝b 2a2x 2－b 2.因为k PM ·k PN ＝y －n x －m ·y ＋n x ＋m ＝y 2－n 2x 2－m 2＝b 2a 2·x 2－m 2x 2－m 2＝b 2a 2(定值)，所以k PM 与k PN 之积是与点P 的位置无关的定值． 专题二 直接证明与间接证明1．直接证明的两种基本方法是综合法与分析法． 综合法与分析法的区别与联系：分析法的特点是：从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”，其逐步推理，实际上是要寻找它的充分条件．综合法的特点是：从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，其逐步推理，实际上是寻找它的必要条件．分析法与综合法各有其特点．有些具体的问题，用分析法或综合法都可以证明出来，人们往往选择比较简单的一种．在解决问题时，我们经常把综合法和分析法结合起来使用．根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论Q ；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论P .若由Q 可以推出P 成立，就可以证明结论成立．2．反证法是一种间接证明命题的方法，它的理论基础是互为逆否命题的两个命题为等价命题，反证法反映了“正难则反”的证明思想．用反证法证明问题时要注意以下三点：(1)必须先否定结论，即肯定结论的反面，当结论的反面呈现多样性时，必须罗列出各种可能的情况，缺少任何一种可能，反证都是不完全的；(2)反证法必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推证，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法；(3)推导出的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾，有的与假设矛盾，有的与已知事实矛盾等，推导出的矛盾必须是明显的．【例3】 设集合S ＝{x |x ∈R 且|x |＜1}，若S 中定义运算“*”，使得a *b ＝a ＋b 1＋ab.证明：(1)如果a ∈S ，b ∈S ，那么a *b ∈S ；(2)对于S 中的任何元素a ，b ，c ，都有(a *b )*c ＝a *(b *c )成立． 证明：(1)由a ∈S ，b ∈S ，则|a |＜1，|b |＜1，a *b ＝a ＋b1＋ab， 要证a *b ∈S ，即证|a *b |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋b 1＋ab ＜1，只需证|a ＋b |＜|1＋ab |， 即只需证(a ＋b )2＜(1＋ab )2， 即证(1－a 2)(1－b 2)＞0. ∵|a |＜1，|b |＜1， ∴a 2＜1，b 2＜1，∴(1－a 2)(1－b 2)＞0成立， ∴a *b ∈S . (2)(a *b )*c ＝⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 1＋ab *c ＝a ＋b ＋c ＋abc 1＋ab ＋ac ＋bc ，同理a *(b *c )＝a *⎝⎛⎭⎪⎫b ＋c 1＋bc ＝a ＋b ＋c ＋abc 1＋ab ＋ac ＋bc，∴(a *b )*c ＝a *(b *c )．【例4】 有10只猴子共分了56个香蕉，每只猴子至少分到1个香蕉，最多分到10个香蕉，试证：至少有两只猴子分到同样多的香蕉．证明：假设10只猴子分到的香蕉都不一样多．∵每只猴子最少分到一个香蕉，至多分到10个香蕉， ∴只能是分别分到1,2,3，…，10个香蕉．此时10只猴子共分了：1＋2＋3＋…＋10＝55(个)，这与共分了56个香蕉相矛盾， 故至少有两只猴子分得同样多的香蕉． 专题三 归纳—猜想—证明的方法探索性命题是近几年高考试题中经常出现的一种题型，此类问题未给出问题结论，需要由特殊情况入手，猜想、证明一般结论．它的解题思路是：从所给条件出发，通过观察、试验、归纳、猜想，探索出结论，然后再对归纳、猜想的结论进行证明．【例5】 若不等式1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋…＋13n ＋1＞a24对一切正整数n 都成立，求正整数a 的最大值，并证明你的结论．解：取n ＝1，11＋1＋11＋2＋13×1＋1＝2624.令2624＞a24，得a ＜26，而a ∈N ＋， 所以取a ＝25，下面用数学归纳法证明 1n ＋1＋1n ＋2＋…＋13n ＋1＞2524. (1)当n ＝1时，已证结论正确． (2)假设当n ＝k (k ∈N ＋)时，结论成立， 即1k ＋1＋1k ＋2＋…＋13k ＋1＞2524， 则当n ＝k ＋1时，有 1k ＋＋1＋1k ＋＋2＋…＋13k ＋1＋13k ＋2＋13k ＋3＋1k ＋＋1＝⎝⎛⎭⎪⎫1k ＋1＋1k ＋2＋…＋13k ＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13k ＋2＋13k ＋3＋13k ＋4－1k ＋1＞2524＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤13k ＋2＋13k ＋4－2k ＋. 因为13k ＋2＋13k ＋4＝k ＋9k 2＋18k ＋8＞k ＋k 2＋2k ＋＝2k ＋，所以13k ＋2＋13k ＋4－2k ＋＞0，所以1k ＋＋1＋1k ＋＋2＋…＋1k ＋＋1＞2524， 即当n ＝k ＋1时，结论也成立． 由(1)(2)可知，对一切n ∈N ＋，都有1n ＋1＋1n ＋2＋…＋13n ＋1＞2524， 故a 的最大值为25.。
高中数学(人教B版,选修22)第二章 推理与证明+课件+同步测试+本章整合+综合素质检测(13份)2
由此可知：等差数列{an}之所以有等式成立的性质，关键
在于在等差数列中有性质：an＋1＋a19－n＝2a10＝0，类似地，在
等比数列{bn}中，也有性质：bn＋1·b17－n＝b
2 9
＝1，因而得到答
案：b1b2…bn＝b1b2…b17－n(n<17，n∈N*)．
解法2：因为在等差数列中有“和”的性质a1＋a2＋…＋an
比
OA′ AA′
＋
OB′ BB′
＋
OC′ CC′
＝1得出结论，再类比“面积法”用
“体积法”进行证明．
[解析] 如图，设O为四面体V－BCD内任意一点，连接 VO、BO、CO、DO并延长交对面于V′、B′、C′、D′， 类比关系为OVVV′′＋OBBB′′＋OCCC′′＋ODDD′ ′＝1.
类比平面几何中的“面积法”，可用“体积法”来证明．
学法归纳总结
1．归纳推理 (1)归纳推理的一般步骤：①通过观察个别情况发现某些 相同性质；②从已知的相同性质中推出一个能明确表述的一 般性命题．简称为：观察、归纳、猜想． (2)归纳推理的特点：①归纳推理是从特殊到一般，具体 到抽象的推理形式，因而，由归纳所得的结论超越了前提所 包含的范围；②归纳推理是根据已知的条件(现象)推断未知 的结论(现象)，因而结论具有猜测的性质；③归纳推理是立 足于观察、经验或实验的基础上的．
把该数列的后一项减去前一项，得一新数列 1,2,2,3,3,4,4,5，….
把原数列的第一项2添在新数列的前面，得到 2,1,2,2,3,3,4,4,5，….
于是，原数列的第n项an，就等于上面数列的前n项和， 即
a1＝2＝1＋1＝2， a2＝2＋1＝1＋(1＋1)＝3， a3＝2＋1＋2＝1＋(1＋1＋2)＝5， a4＝2＋1＋2＋2＝1＋(1＋1＋2＋2)＝7， …，
(人教版)高中数学选修2-2课件：第2章 推理与证明2.1.2
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第二章 推理与证明
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4．下列推理是否正确，错误的请指出其错误之处： (1)求证：四边形的内角和等于360°. 证明：设四边形ABCD是矩形，则它的四个角都是直角， 有∠ A＋∠ B＋∠ C＋∠ D＝90°＋90°＋90°＋90°＝360°，所以 四边形的内角和为360°. (2)“因为过不共线的三点有且仅有一个平面(大前提)， 而A，B，C为空间三点(小前提)，所以过A，B，C三点只能确 定一个平面(结论)．” (3)“因为金属铜、铁、铝能够导电(大前提)，而金是金 属(小前提)，所以金能导电(结论)．”
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解析： (1)每个菱形的对角线相互垂直， 提)
正方形是菱形， 提)
所以，正方形的对角线相互垂直． (2)两个角是对顶角则两角相等， 提) ∠1和∠2不相等， 提) 所以，∠1和∠2不是对顶角．
(大前 (小前 (结论) (大前 (小前
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第二章 推理与证明
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(1)一切奇数都不能被2整除．
75不能被2整除．
提)
75是奇数．
(结论)
(2)三角形的内角和为180°.
Rt△ABC是三角形．
(小前提)
Rt△ABC的内角和为180°.
(大前提) (小前
(大前提) (结论)
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第二章 推理与证明
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高中数学 第二章 推理与证明课件 新人教版选修2-2
y1
y
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7
在平面直角坐标系中， 设三角形 ABC的顶点分别为
A(0, a), B(b,0), C(c,0),点P(0, p)在线段 AO上（异于端
点），设 a, b, c, p均为非零实数，直线 BP，CP分别交
AC，AB于点E，F，一同学已正确算出 OE的方程：
(1 1)x ( 1 1 ) y 0, bc pa
综合法 从“已知”看“未知”; 分析法 从“未知”看“需知” , 往往综合法与分析法相 互结合应用。
2)反证法 反设；归谬；结论。 运用反证法的关键是导 出矛盾。
3)数学归纳法用来证明些一与正整数有关的命。题 证题步骤： （1）验证初始值n n0时使命题成立； （2）假设当n k(k n0,k N*)时命题成立，
推理ห้องสมุดไป่ตู้证明
高二数学 选修2-2
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1
知识结构
合情推理
归纳推理
推理
类比推理
推
演绎推理
理
与
比较法
证 明
直接证明
综合法
证明
分析法
间接证明
反证法
数学归纳法
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2
题型一 合情推理与演绎推理
例1
B
小结: 合情推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义
、 公理、定理等）、实验和实践的结果，以及个人的经 验和直觉等推测某些结果的推理过程，归纳和类比是合情 推理常用的思维方法;归纳是由特殊到一般; 类比是由特殊 到特殊
证当n k 1时，命题也成立。 （3）明确结论。
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例4：在数列
an 、bn中，
a1
2, b1
高中数学 第二章 推理与证明 2.3 数学归纳法课件 新人教B版选修2-2.pptx
(3)用数学归纳法证明与n有关的不等式一般有两种具体形式：一是直 接给出不等式，按要求进行证明；二是给出两个式子，按要求比较它 们的大小，对第二类形式往往要先对n取前几个值的情况分别验证比 较，以免出现判断失误，最后猜出从某个n值开始都成立的结论，常 用数学归纳法证明. (4)用数学归纳法证明不等式的关键是由n＝k时成立得n＝k＋1时也成 立，主要方法有比较法、分析法、综合法、放缩法等.
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(2)数学归纳法的框图表示
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题型探究
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类型一 用数学归纳法证明等式 例 1 用数学归纳法证明： 1×12 3＋3×22 5＋…＋2n－1n22n＋1＝2n2nn＋＋11.
10 证明
反思与感悟
用数学归纳法证明与正整数有关的命题时，关键在于先“看项”，弄 清等式两边的构成规律，等式的两边各有多少项，项的多少与n的取值 是否有关，由n＝k到n＝k＋1时，等式两边会增加多少项；再“两凑”， 将n＝k＋1时的式子转化成与归纳假设的结构相同的形式——凑假设， 然后利用归纳假设，经过恒等变形，得到结论所需的形式——凑结论.
12
跟踪训练 1 用数学归纳法证明当 n∈N＋时，1－12＋13－14＋…＋ 2n1－1－21n＝n＋1 1＋n＋1 2＋…＋21n.
13 证明
类型二 用数学归纳法证明不等式 例 2 用数学归纳法证明 1＋12＋13＋…＋21n>n＋2 1(n∈N＋).
16 证明
反思与感悟
(1)验证第一个n值时，要注意n0不一定为1，若n>k(k为正整数)，则n0 ＝k＋1. (2)证明不等式的第二步中，从n＝k到n＝k＋1的推导过程中，一定要 用到归纳假设，不应用归纳假设的证明不是数学归纳法，因为缺少归 纳假设.
最新人教版高中数学选修2-2第二章推理与证明整合2
-6-Βιβλιοθήκη 1.1 DNA重组技术的基本工具
专题一 专题二 专题三 专题四
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重点难点 基础知识 J知识网络 Z 专题归纳
ICHU ZHISHI
HONGDIAN NANDIAN
随堂练习 S 高考真题
UITANG LIANXI
解:如图,作与三棱柱 ABC-A1B1C1 侧棱 都垂直的截面 A'B'C',设∠B'A'C'=α,∠ A'B'C'=β,∠B'C'A'=γ,则 α,β,γ 分别为三个 侧面所成二面角的平面角.又设 ������平行四边形������1 BC ������1 =S1,������平行四边形������1 AC ������1 =S2,������平行四边形������1 AB ������1 =S3.猜 想三角形的正弦定理和余弦定理类比到三棱柱中分别为:
2 2 2 2 2 2 ������1 = ������2 + ������3 -2S2S3cos α,������2 = ������1 + ������3 -2S1S3cos β, 2 2 2 ������3 = ������1 + ������2 -2S1S2cos γ. 下面给出证明. ������'������' ������'������' ������'������' 证明:先证正弦定理.在△A'B'C'中,有 = = ,设三棱
,即
������1 sin������
=
������2 sin������
=
������3
sin������
人教版高中选修(B版)2-2第二章推理与证明课程设计
人教版高中选修(B版)2-2第二章推理与证明课程设计课程背景推理与证明是数学中的基础内容，也是高中数学中重要的知识点。
本课程为人教版高中选修(B版)2-2第二章推理与证明部分。
本章主要介绍了集合的含义、公式与命题的关系、命题的合取、析取和否定等基础概念，并引入了集合的推理和证明。
教学目标1.理解和掌握集合的概念。
2.掌握命题的合取、析取和否定。
3.理解集合的推理与证明方法，能够灵活运用集合的知识解决实际问题。
4.提高学生的逻辑思维能力和数学素养。
教学内容1.集合的概念和表示方法–集合的定义–集合的元素–集合的表示方法–空集、全集和子集的定义2.命题及其合取、析取和否定–命题的含义和表示方法–命题的真值和真假性–命题的合取、析取和否定3.集合的推理与证明–命题的推理–命题的证明–集合的运算法则–集合的推理和证明实例教学方法1.教师讲授2.学生合作小组讨论3.学生自主探究4.课堂互动教学过程第一节：集合的概念和表示方法1.教师介绍集合的概念，用图例和实例解释集合的定义、元素、表示方法、空集、全集和子集的概念。
2.学生在课堂上进行小组讨论，探讨集合的表示方法和特殊集合的定义，如空集、全集和子集。
3.教师进行概念总结，提出思考问题并进行讲解。
第二节：命题及其合取、析取和否定1.教师介绍命题的概念和表示方法，并用具体的例子解释命题的真值、真假性和命题的合取、析取和否定。
2.学生在课堂上进行小组讨论，探讨命题的含义和合取、析取和否定的知识点。
3.教师进行概念总结，提出思考问题并进行讲解。
第三节：集合的推理与证明1.教师介绍集合的运算法则和命题的推理和证明方法。
2.学生进行自主探究，根据所学知识进行实例分析和推理证明。
3.学生进行课堂展示和讨论，探讨集合的推理和证明实例。
4.教师进行概念总结，提出思考问题和启示，并进行讲解。
第四节：课堂互动1.学生进行个人思考，完成与本节课程相关的问题。
2.学生进行小组互动，探讨自己认为最有趣、最有挑战性的部分。