一维单原子链
3.1 一维单原子链
一维无限原子链 —— 每个原子质量m，平衡时原子间距a —— 原子之间的作用力 第n个原子离开 平衡位置的位移 第n个原子和第n＋1 个原子间的相对位移
第n个原子和第n＋1个原子间的距离
03_02_一维单原子链 —— 晶格振动与晶体的热学性质
平衡位置时，两个原子间的互作用势能
发生相对位移
后，相互作用势能
a
a
—— 只研究清楚第一布里渊区的晶格振动问题 —— 其它区域不能提供新的物理内容
03_02_一维单原子链 —— 晶格振动与晶体的热学性质
玻恩－卡门（Born-Karman）周期性边界条件 —— 一维单原子晶格看作无限长，所有原子是等价的，每个 原子的振动形式都一样 —— 实际的晶体为有限，形成的链不是无穷长，链两头的 原子不能用中间原子的运动方程来描述
2 4 sin 2 ( aq )
m
2
格波的波速
—— 波长的函数
—— 一维简单晶格中格波的色散关系，即振动频谱
格波的意义
连续介质波
波数 q 2
—— 格波和连续介质波具有完全类似的形式
—— 一个格波表示的是所有原子同时做频率为的振动
03_02_一维单原子链 —— 晶格振动与晶体的热学性质
n Aei(tnaq) —— 简谐近似下，格波是简谐平面波
§3.1 一维单原子链
绝热近似 —— 用一个均匀分布的负电荷产生的常量势场来 描述电子对离子运动的影响 —— 将电子的运动和离子的运动分开 晶格具有周期性，晶格的振动具有波的形式 —— 格波 格波的研究 —— 先计算原子之间的相互作用力 —— 根据牛顿定律写出原子运动方程，最后求解方程
03_02_一维单原子链 —— 晶格振动与晶体的热学性质
一维单原子链推导
一维单原子链推导
一维单原子链是指一维无限长的单原子链，其中原子质量为m，原子间距为a。
热运动使得原子离开平衡位置，假设第n个原子离开平衡位置的位移为μn，它相对于a是一个很小的量，第n个原子到第n+1个原子间相对位移为δ，则：$\delta=μn+1-μn$。
当原子m在平衡位置时，两个原子相互作用势为$V(a)$；相对位移为$\delta$时，两个原子相互作用势为$V(a+\delta)$。
将$V(a+\delta)$在平衡位置用泰勒级数展开，可得：$\cdots(21)(222=+++=aaδaδdrdVaVdrVddrdVaVaVrVδ$。
由于考虑的是微振动，即$\delta$很小，展开式可以近似保留到$\delta^2$项，可得：$10(\cdots)!(\cdots)!2)(\cdots)('\theta'\theta'\theta'\theta'\theta'\approx++++ +++2222\delta\delta\delta$。
只考虑最近邻原子间的相对位移的二次项对系统总势能的贡献，则总势能写为：$\cdots212)(μ221−−=≈∑nnnVμββδ$。
第n个原子所受的力为：$\cdots2(11+−−−−=−≈∂δ∂−=nnnnVfμμμββδβ$，其中β是相邻原子间准弹性力的力常数，它直接由两个原子间的相互作用势能所决定，$a$是两个原子间的平衡间距。
若只考虑最近邻原子间的相互作用，则作用在第n个原子上的力为来自左边弹簧的张力β$(μn-μn-1)$与来自右边弹簧的张力β$(μn+1-μn)$之和。
固体物理(第5课)晶格振动一维单原子链
例题1 例题 解 答
β a qa ω sin sin q ⇒ ∴ =2 =2 m 2 m 2
2 1/ 2 qa a β β m ω dq cos ⋅ d q = a⋅ ⋅ 1− dω = 2 m 2 2 m 4β 2 1/ 2 ω cos qa = 1−sin2 qa = 1− m 2 4β 2
′ ′ δ = (rn+1 −rn) −(rn+1 −rn) ∴f = −β(xn+1 − xn) = r′+1 −r +1 −(r′ −r ) = xn+1 − xn n n n n
简谐近似下的运动方程
n号 子 受 ： 原 的 力 ＝ β f左 － (xn − xn−1) ＝ β f右 － (xn+1 − xn ) Qf左 f右 向 反 与 方 相 ∴f = f左− f右
爱因斯坦：固体比热容理论，将n个原子的振动简 化为3n个谐振子，量子化假设，得到了比热容温度公 式。 玻恩和卡门：原子振动以晶格波的形式存在，创立 了晶格动力学。 德拜：简化了上述理论。 晶格动力学被应用到热力学性质，热传导，电导、 介电、光学和X射线衍射等方面。 声子：晶格振动波的能量量子。
晶格动力学
一维单原子链（一维布喇菲晶格） 3.1 一维单原子链（一维布喇菲晶格） 1. 运动方程:简谐近似下的振动 （简谐振动）
原 质 ： 子 量 m 原 标 ： 子 号 n 平 间 ： 衡 距 a 纵 位 ：n 向 移 x 向 右 xn > 0 向 左 xn < 0
1.简谐近似 简谐近似
f ≈ −βδ 常 数 β： 系 δ a ＝ ′ −a δ ： ， 引 >0 f <0 吸 力 δ ： ， 斥 <0 f >0 排 力
一维单原子链
起的位移为 nj aj sin( jt _ naqj j ) ， j 为任意个
相位因子，并已知在较高温度下每个格波的平均能量 为kT，具体计算每个原子的平方平均位移(P580,3-1)。
03_02_一维单原子链 —— 晶格振动与晶体的热学性质
—— 实数形式的简正坐标 令
T 1 [a2(q) b2(q)]
2 q0
U
1 2
2 q
[a2
(q)
q0
b2 (q)]
哈密顿量
H
1 [a&2(q) b&2(q)] 2 q0
1 2
q2[a2(q) b2(q)]
q0
03_02_一维单原子链 —— 晶格振动与晶体的热学性质
能量本征值 本征态函数
a
a
j
波矢的取值范围，第一布里渊区
aa
—— 只研究清楚第一布里渊区 的晶格振动问题
—— 其它区域不能提供新的物 2
O
理内容
a
q
2
a
03_02_一维单原子链 —— 晶格振动与晶体的热学性质
7. 玻恩－卡门（Born-Karman）周期性边界条件 目标：求出q=?
—— 一维单原子晶格看作无限长，所有原子是等价的 每个原子的振动形式都一样
t 2
x 2
03_02_一维单原子链 —— 晶格振动Leabharlann 晶体的热学性质波动方程的通解：
• 它是一个简谐波，q=2π/λ是波矢。从物理上讲，视为 “连续”，要求波长λ>>原子间距;
•如果 λ～a，――不连续。必须直接求解方程
m
d 2n
dt 2
一维单原子链的频率分布
一维单原子链的频率分布一维单原子链是指由相同类型的原子按照一定的规则排列成的链状结构。
频率分布是指在单原子链中各个振动模式的频率出现的分布情况。
本文将从单原子链的基本特征、频率的计算方法以及频率分布的特点三个方面来详细探讨一维单原子链的频率分布。
一、单原子链的基本特征一维单原子链是凝聚态物理中常见的模型系统，它具有以下基本特征：1. 原子之间的相互作用力：在单原子链中，相邻原子之间存在着弹性力和相互作用力，这些力决定了原子在链中的振动行为。
2. 间距和质量的均匀性：单原子链中的原子间距相等，原子质量也相等，这使得单原子链具有均质性，便于分析和计算。
3. 边界条件：单原子链的两端通常会施加边界条件，如固定边界条件或周期性边界条件，以模拟实际情况中的约束条件。
二、频率的计算方法在一维单原子链中，原子的振动可以通过离散化简化为谐振子模型，通过求解谐振子的本征值问题可以得到振动频率。
对于一维单原子链，振动频率的计算方法如下：1. 利用牛顿第二定律：应用牛顿第二定律，可以得到原子的运动方程。
通过求解运动方程可以得到振动频率。
2. 应用弹性势能：利用弹性势能的定义，可以将原子的振动视为在势能函数中寻找最小值的过程。
通过求解势能函数的最小值问题，可以得到振动频率。
3. 应用量子力学：在一维单原子链中，可以将原子的振动量子化，利用量子力学的方法求解振动频率。
具体的计算方法可以通过哈密顿算符的对角化来实现。
三、频率分布的特点在一维单原子链中，频率分布具有以下特点：1. 频率的离散性：由于单原子链的离散结构，振动频率呈现出离散的特点。
频率分布通常由一系列离散的振动模式组成，每个模式对应一个特定的频率。
2. 频率的对称性：对于一维周期性边界条件的单原子链，频率分布具有对称性。
即频率分布在频率为零的点处对称，且对称轴上的频率相等。
3. 频率的分布范围：频率分布的范围取决于原子之间的相互作用力和边界条件。
不同的相互作用力和边界条件将导致不同的频率分布范围。
hezm
连续介质波： Ae
Aei ( t qx)
格波：
n Aei ( t naq)
晶格中格波和连续介质波具有完全类似的形式 一个格波表示的是所有的原子同时振动，振动频率为
格波描述的是所以原子的集体运动，不是某一个原子的运动 相邻原子间的位相差 aq 格波的波长：
n1,n n n1
第（n+1)个原子与第n个原子的相对位移：
n1,n n1 n
三、原子间的相互作用力
1. 势能：
（只考虑最近邻原子间的相互作用）
1）. 假设在平衡位置时，两个原子间的相互 作用势能是 v( a ) 2）. 产生相对位移 后，相互作用势能变 为 v( a )
九、色散关系
2
4 aq sin 2 m 2
由于频率是波数的偶函数，所以有
2
aq sin m 2
(6)
q 0,
min 0
q
a
,
max 2
m
图5 一维单原子链 的 ω-q 函数关系
当0 q
a
， 与其相应频率的变化范围： 0 2
一维单原子链晶格振动
一、知识点回顾
1. 格点：原子的平衡位置 2. 晶格振动：原子在格点附近的振动 3. 格波：晶格具有周期性，因而，晶格振动模 具有波的形式，称为格波 一维单原子链是学习格波的典型例子！ ▲关于格波的研究：先计算原子之间的相互作用力， 再根据牛顿第二定律列出原子的微分运动方程， 最后求解方程。
2 q
2 格波的波矢： q n
七、格波波矢的取值和布里渊区
一维单原子链有 支格波,且是 波(光学或声学)。
一维单原子链有支格波,且是波(光学或声学)一维单原子链是指所有原子都位于同一条直线上的晶格结构。
在这样的结构中，支格波是一种特殊的波动形式，它在晶格内传播，由于晶格的周期性结构而呈现出特定的性质。
支格波可以分为光学支格波和声学支格波两种类型，它们分别对应着不同的波动性质和传播特点。
在一维单原子链中，光学支格波是指在晶格中原子的振动与电磁波的耦合现象。
这种耦合导致了支格波在晶格中的传播，其频率范围通常高于声学支格波。
光学支格波的频率与晶格的结构有关，通常在布里渊区的边界处出现，对应着晶格的高频振动模式。
光学支格波通常具有较高的能量和传播速度，其在晶体中传播时能够产生材料的光学性质变化，例如光学吸收、光学色散等现象。
另声学支格波是指晶格中原子的振动与物质的机械性质耦合所形成的波动现象。
声学支格波的频率范围通常低于光学支格波，对应着晶格的低频振动模式。
声学支格波在晶格中的传播速度通常较慢，且具有较低的能量。
它们在晶体中的传播会导致声学性质的变化，例如声子散射、声子导热等现象。
对于一维单原子链中的支格波，其理论描述和实验观测都具有重要意义。
从理论上讲，通过研究支格波的频谱和传播特性，可以深入理解晶格动力学和固体材料的特性。
从实验上讲，通过光学或声学手段观测支格波的传播行为，可以验证理论模型，并且为材料科学和物理学的研究提供重要数据。
一维单原子链中的支格波是一种具有特殊传播性质的波动现象，包括光学支格波和声学支格波两种类型。
它们对应着晶格中的不同振动模式，具有重要的理论和实验意义。
通过深入研究支格波的特性，可以更好地理解固体材料的性质和行为，为材料科学和物理学的发展贡献重要的理论和实验成果。
在我看来，一维单原子链中的支格波是固体物理学中非常有趣且具有挑战性的研究课题。
通过对支格波的深入探索，我们可以揭示材料的微观结构和性质，为材料设计和应用提供新的思路和方法。
支格波的研究也可以深化我们对波动理论和晶格动力学的理解，拓展物理学的研究领域。
高二物理竞赛课件：一维单原子链模型
20赫兹---20000赫兹，高于20000赫兹的叫超声波
能量(eV)
0.01
0.1
1
100
10000
声子
• 离子实比电子重103~105倍，离子实振动速度比电子慢很多
• 将电子的运动和离子实的运动分开
V
O
• 电子对离子振动的影响，可用一个稳定的势场来替代
简谐近似：保留2次项，忽略高阶项 2
v
1 v
v(a ) v(a) ( ) a ( 2 ) a 2 ...
r
2 r
所有原子的振动没有影响
• 红线：q=π/2a
• 绿线：q=5π/2a
• 将波数q取值限制为 q
a
a
• 即波数q取值在简约布里渊区
（第一布里渊区）中
• 第一章内容：
简约布里渊区内的全部波矢代
表了晶体中所有的状态，区外
的波矢都可通过平移倒格矢在
该区内找到等价状态点；讨论
固体性质时，可以只考虑第一
ℏ被称为声子（Phonon）。这是晶格振动量子理论最重
要的结论！
3-2 一维单原子链模型
声子
1
振动能量的本征值为 n (nq 2 )q
q
其中nq为声子
数
➢ 声子是晶格振动的能量量子ℏ
➢ 声子具有能量ℏ，也具有准动量ℏ ，它的行为类似于电子或光子，具
有粒子的性质。但声子与电子或光子具有本质区别，声子只是反映晶体
获得ℏ的能量，则称晶格发射一个声子
➢ 声子与声子相互作用，或声子与其他粒子（电子或光子）相互作用时，
声子数目并不守恒。声子可以产生，也可以湮灭。其作用过程遵从能量
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第n-2个原子第n-1个原子第n+1个原子第n+2个原子
第n个原子
m
a
µn-2µn-1µnµn+1µn+2
第n-2个原子第n-1个原子第n+1个原子第n+2个原子
第n个原子
m
a
µn-2µn-1µnµn+1µn+2
a
一维晶格仅考虑最近邻原子间相互作用时的色散关系
q
v p ω=
2
.
2
1∑=q
q
Q 2
21∑⎟
⎠
⎞⎜⎝⎛=•n n m T μ∑
•
•
=
q
iqna q n t Q Nm
t ,
)e (1)(μ∑∑∑′−′−′
=n
q q
inaq q .
q ina q .
,
t Q t Q
N T )e ()e (21∑∑∑′
+′−′
=
q n
q q ina q
q .
q .,
N
t Q t Q
)
(e
1)
()(2
1∑∑′
−′′
=q q
q
q q
q t Q
t Q
,
)()(21,.
.
δ
∑−=
q
q
q
t Q
t Q
)
()(2
1.
.
∑
=q
q
q
t Q
t Q
)
()(2
1
.
*.)
()(*
t Q t Q q q =−动能的正则坐标表示：
势能∑−=
q
inaq
q n e
Q N
m 1μ∑−−−=
'
'
)1('
11q aq n i q n e Q
N
m μ∑−−=
n
n n U 21)(21
μμβ1
(')'(')
','
1{[1]}(
)
2N ia q q iaq iaq ina q q q q q q n U Q Q e e e e
m
N
β
−++==
+−−∑∑}2{2∑−−−−=
q
iaq iaq q
q e e Q Q m
β
{1cos()}
q q
q
Q Q
aq m
β
−=
−∑代入上式，得：
*{1cos()}q
q
q
U Q Q aq m
β
=
−∑利用
)}cos(1{22aq m
q −=
β
ω2*
12q q q q
U Q Q ω=
∑2
221∑=
q
q q Q U ω系统势能所以
2
2
21∑=
q
q q Q U ω哈密顿量
2221()2q q q
q
H T U Q Q ω=+=
+∑ ——系统复数形式的简正坐标
t
i q q q e
A Nm Q ω=势能
动能
∑=
q
q Q T 2
21 1
()[()()]2
Q q a q ib q =
+)]()([2
1
)(*q ib q a q Q −=
∑=
q
q Q T 2
21
2
2
21∑=
q
q q Q U ω∑>+=
22)]()([21q q b q a T 实数形式的简正坐标令∑>+=
222
)]()([21q q q b q a U ω能量本征值
q
q n n q
ωε=)2
1
(+=2
()/exp()()
2
q
q n q q n Q H ξϕωξ=−
=本征态函数
一个简正坐标对应一个谐振子方程，波函数是以简正
坐标为宗量的谐振子波函数。
哈密顿量:
2222200
11[()()][()()]22q q q H a q b q a q b q ω>>=
+++∑∑
声子系综是无相互作用的声子气组成的系统，每个振动模式在简谐近似条件下都是独立的，晶格振动的问题转化为声子系统问题的研究。
9.声子
晶格振动的能量量子；或格波的能量量子。
一个格波也就是一种振动模式，称为一种声子。
当这种振动模处于时，说明有个声子。
q q n ω=)2
1
(+q n q ω=声子具有能量
、准动量
，可以看作是准粒子，
声子是一种元激发，可与电子或光子发生作用。
q
G =模型运动方程试探解
色散关系
波矢q 范围
一维无限长原子链，m ，a ，β晶格振动波矢的数
目=晶体的原胞数
B--K 条件波矢的数目
()()
11..
+−−−−−=n n n n n m μμβμμβμ()
naq t i n A −=ωμe 2sin
2
aq m
β
ω=a
q a π
π≤<−
N
n n +=μμn -2n
n +1
n +2
n -1a
m m
o a π−a
πω
m
2
β总结：本节研究思路。