固体物理 03-03一维双原子链
最新固体物理一维双原子链课件PPT
1 2
1 2
2122 m mM M m m M M m m22 M M22 22m mM M ccoo22ssqq(()a)a1212
两 种 色 散 关系12 qq::声 光学 学波 波 设M m， 则 ：
1min 0 1max
2
M
2min
2max
2
m
2(m M)
mM
3.2.3 声学波和光学波
找和明确与主要话题（主概念）相对应的谓语动词或总结性的词语。
• 3．将几个词语连缀成句(主谓结构)。话题和谓语等词句选定后，我们 可将几个词语稍稍连缀成一个谓结构的句子。
• 4．筛选，提炼出关键词。最后，我们把连缀成的句子放入文段中检验， 如能基本表达出文段的中心内容，即可筛选并敲定关键词。
• 二：寻找中心句入手具体阐释：把握语段的中心， 关键是找到中心句。中心句往往是语段中表示中 心语义的句子，是语段的核心。中心句有时是起 始句，有时是终止句，有时又可能在展开部分。 这些句子，或提起下文，或总结上文，或承上启 下，我们要特别关注。在筛选时，我们可抓住这 个句子，顺藤摸瓜找到相关关键词。
你高到云层时，还会想到泥土的气息；也愿你低到 泥土中，还会留有云层的味道。
• 检测问题2： • 材料里对象是什么？ • 关键词、关键句是什么？
•
• 检测2答案：对象是人生处境的“高与低”
• 关键词、句是：词：云层和泥土；句子： 愿你高到云层时，还会想到泥土的气息； 也愿你低到泥土中，还会留有云层的味道.
•
• 找到主要对象和关键词句的方法：
• 一：从语段中心话题入手 • 解题基本流程：明确话题—寻找谓语—连缀成句—提取关键词 • 1.明确陈述的话题（对象）。任何语段，无论是记叙、议论或说明，它
固体物理（胡安）课后答案（可编辑）
固体物理(胡安)课后答案第一章晶体的结构及其对称性1.1石墨层中的碳原子排列成如图所示的六角网状结构,试问它是简单还是复式格子。
为什么?作出这一结构所对应的两维点阵和初基元胞。
解:石墨层中原子排成的六角网状结构是复式格子。
因为如图点A和点B的格点在晶格结构中所处的地位不同,并不完全等价,平移A→B,平移后晶格结构不能完全复原所以是复式格子。
1.2在正交直角坐标系中,若矢量,,,为单位向量。
为整数。
问下列情况属于什么点阵?(a)当为全奇或全偶时;(b)当之和为偶数时。
解:当为全奇或全偶时为面心立方结构点阵,当之和为偶数时是面心立方结构1.3 在上题中若奇数位上有负离子,偶数位上有正离子,问这一离子晶体属于什么结构?解:是离子晶体,属于氯化钠结构。
1.4 (a)分别证明,面心立方(fcc)和体心立方(bcc)点阵的惯用初基元胞三基矢间夹角相等,对fcc为,对bcc为(b)在金刚石结构中,作任意原子与其四个最近邻原子的连线。
证明任意两条线之间夹角θ均为解:(1)对于面心立方 (2)对于体心立方 (3)对于金刚石晶胞1.5 证明:在六角晶系中密勒指数为(h,k,l)的晶面族间距为证明:元胞基矢的体积倒格子基矢倒格矢:晶面间距1.6 证明:底心正交的倒点阵仍为底心正交的。
证明:简单六角点阵的第一布里渊区是一个六角正棱柱体底心正交点阵的惯用晶胞如图: 初级晶胞体积: 倒易点阵的基矢: 这组基矢确定的面是正交底心点阵1.7 证明:正点阵是其本身的倒易点阵的倒格子。
证明:倒易点阵初级元胞的体积:是初基元胞的体积而由于而或:现在证明: 又令又:代入同理 1.8 从二维平面点阵作图说明点阵不可能有七重旋转对称轴。
解: 1.9 试解释为什么:(a)四角(四方)晶系中没有底心四角和面心四角点阵。
(b)立方晶系中没有底心立方点阵。
(c)六角晶中只有简单六角点阵。
解:(a)因为四方晶系加底心,会失去4次轴。
(b)因为立方晶系加底心,将失去3次轴。
固体物理学第三章
3 1 !(d d 3 U 3)r a 3 ..... .n 1 !.(d d .n U .n)r .a.n
简谐近似—— 振动很微弱，势能展式中只保留到二阶项。
U (r) U (a ) (d)U 1(d 2 U ) 2 da r 2 !d2ra U(r)U(a)1 2(dd2U 2r)a2
此处N=5,代入上式即得：
ei(5a)q 1 5aqn2（n为整数）
由于格波波矢取值范围：
q
a
a
则：5n5
22
故n可取－2，－1，0，1，2这五个值
相应波矢：4,2,0,2,4
5a 5a 5a 5a
由于，2 sinqa
m2
代入，β，m及q值 则得到五个频率依次为（以rad/sec为单位） 8.06×1013，4.99×1013，0，4.99×1013，8.06×1013
f du(d2u) d 2u 为恢复力常数
dr d2r
dr 2
周期边界条件
N 2 a l q l 为 整 N /2 h N 数 /2 且
3.1 一维单原子链的振动
3.1.1 一维单原子链的振动
设原子链为一维，则：原子间距为a; 第n个原子的平衡位置为rn=na 第n个原子离开平衡位置的位移为xn
格波的应用：
晶体的弹性力常数β约为15N/m，若一个原 子的质量为6×10-27Kg，则晶格振动的最大圆频 率为ωm=1014弧度/秒，最大频率γm约为1013Hz即 10THz。THz波段在微波与红外光之间。
不同材料的晶格振动频谱具有各自的特征， 可以作为这个材料的 “指纹”，THz谱技术作为 一种有效的无损探测方法，通过晶格振动频谱可 以鉴别和探测材料。
3.1.2 格波频率与波矢关系——色散关系
《固体物理学》房晓勇主编教材-思考题解答参考03第三章_晶体振动和晶体的热学性质
第三章晶体振动和晶体的热学性质3.1相距为某一常数（不是晶格常数）倍数的两个原子，其最大振幅是否相同？解答：（王矜奉3.1.1，中南大学3.1.1）以同种原子构成的一维双原子分子链为例, 相距为不是晶格常数倍数的两个同种原子, 设一个原子的振幅A, 另一个原子振幅B, 由《固体物理学》第79页公式，可得两原子振幅之比(1)其中m原子的质量. 由《固体物理学》式（3-16）和式（3-17）两式可得声学波和光学波的频率分别为, (2). (3)将(2)(3)两式分别代入(1)式, 得声学波和光学波的振幅之比分别为, (4). (5)由于=，则由(4)(5)两式可得,1B A=. 即对于同种原子构成的一维双原子分子链, 相距为不是晶格常数倍数的两个原子, 不论是声学波还是光学波, 其最大振幅是相同的.3.2 试说明格波和弹性波有何不同？解答：晶格中各个原子间的振动相互关系3.3 为什么要引入玻恩-卡门条件？解答：（王矜奉3.1.2，中南大学3.1.2）（1）方便于求解原子运动方程.由《固体物理学》式（3-4）可知, 除了原子链两端的两个原子外, 其它任一个原子的运动都与相邻的两个原子的运动相关. 即除了原子链两端的两个原子外, 其它原子的运动方程构成了个联立方程组. 但原子链两端的两个原子只有一个相邻原子, 其运动方程仅与一个相邻原子的运动相关, 运动方程与其它原子的运动方程迥然不同. 与其它原子的运动方程不同的这两个方程, 给整个联立方程组的求解带来了很大的困难.（2）与实验结果吻合得较好.对于原子的自由运动, 边界上的原子与其它原子一样, 无时无刻不在运动. 对于有N 个原子构成的的原子链, 硬性假定的边界条件是不符合事实的. 其实不论什么边界条件都与事实不符. 但为了求解近似解, 必须选取一个边界条件. 晶格振动谱的实验测定是对晶格振动理论的最有力验证(《固体物理学》§3.1与§3.6). 玻恩卡门条件是晶格振动理论的前提条件. 实验测得的振动谱与理论相符的事实说明, 玻恩卡门周期性边界条件是目前较好的一个边界条件.3.4 试说明在布里渊区的边界上()/q π=a ，一维单原子晶格的振动解n x 不代表行波而代表驻波。
固体物理-一维双原子链 声学波和光学波
的声子所用的
对应电磁波的能量和波长
EO max
0.442 eV
2.8 m
E v 2 2c T
—— 要激发的声子所用的电磁波波长在近红外线波段 （Near Infrared）(NIR)
1 2
)i
本征态函数 ni (Qi )
i
exp(
2
2
)
H
ni
(
)
m d 2n
dt 2
(n1 n1 2n )
(n 1, 2, 3 , N )
得到
2 4 sin2( aq)
m
2
§3.3 一维双原子链 声学波和光学波 一维复式格子的情形 —— 一维无限长链 —— 两种原子m和M _( M > m) ____ 构成一维复式格子 —— M原子位于2n-1， 2n+1， 2n+3 …… —— m原子位于2n， 2n+2， 2n+4 …… —— 同种原子间的距离2a____晶格常数
4) 如果用电磁波激发光学波，要激发的声子所用的电磁波
波长在什么波段？
1) 声学波的最大频率
A max
3 1014
rad / s
光学波的最大频率
O max
5
2
M
6.7 1014
rad / s
光学波的最小频率
O min
2
m
6 1014 rad / s
2）相应声子的能量
EA max
0.198 eV
EO max
0.442 eV
EO min
0.396 eV
3) 某一特定谐振子具有激发能
的几率
根据归一化条件
归一化常数
固体物理：3_3 一维双原子链 声学波和光学波
m2 2 2 cos aq
在长波极限下， q 0
2 max
2
(M Mm
m)
2
B ( A)
m
2
2
2 cosqa
m M
表明：长波光学模中原胞内两原子作相对振动，而且原胞
质心保持不动。这一点很重要，例如离子晶体中，原胞内正、 负离子振动方向相反，产生迅速变化的电偶极矩，与光波耦 合必然影响其光学性质，这就是为什么称为光学模的原因。
2 min
m 2
m
2
(
B A)
m2 2 2 cos aq
B ( A)
m2 2 2 cosqa
0
表明基元中相邻原子作相对振动，这是光 学模的振动特点。
东北师范大学物理学院
3 – 3 一维双原子链
第三章 晶格振动与晶体的热学性质
相邻原子的运动情况
（声学支Acoustic branches）
24516710gmk???maxoeminoemaxaemino?15nm??maxo?4mm?maxa?41510dyncm?第三章晶格振动与晶体的热学性质33一维双原子链东北师范大学物理学院1声学波的最大频率14max310arads???光学波的最大频率光学波的最小频率14610rads??max2am???4mm?15nm??max2o????02mmmmm????14max256710oradsm?????min2om???cmgs2m???radsgdyncm第三章晶格振动与晶体的热学性质33一维双原子链东北师范大学物理学院max0442oeev?min0396oeev?max0198aeev?2相应声子的能量minminooe??min2om???maxmaxooe??max2o????max2am???maxmaxaae??第三章晶格振动与晶体的热学性质33一维双原子链东北师范大学物理学院6周期性边界条件periodicboundarycondition表明
固体物理学教学大纲
《固体物理学》教学大纲（适用于本科物理学专业）课程编码：140613040学时：64学分：4开课学期：第七学期课程类型：专业必修课先修课程：理论力学，电动力学，热力学与统计物理，量子力学教学手段：多媒体一、教学目的与任务：本课程是物理学专业本科生的专业选修课。
通过本课程的学习，使学生了解固体物理学发展的基本情况，以及固体物理学对于近代物理和近代科技的发展起的作用，培养学生的科学素质和科学精神；了解固体物理所研究的基本内容和固体物理研究前沿领域的概况，培养学生的现代意识和科学远见；掌握固体物理学的基本概念和基本规律，培养掌握科学知识的方法；掌握应用固体物理学理论分析和处理问题的手段和方法，培养科学研究的方法。
二、课程的基本内容：1.晶体的结构2.固体的结合3.晶格振动与晶体的热学性质4.能带理论5.晶体中电子在电场和磁场中的运动6.金属电子论三、课程的教学要求：（1）掌握晶体的空间点阵，晶体基矢的表达，倒易点阵，晶面、晶向的概念以及正点阵和倒易点阵的关系。
（2）掌握晶体的结合类型和结合性质。
（3）掌握一维晶体振动模式的色散关系，晶格振动的量子化、声子的概念。
爱因斯坦模型和德拜模型解释固体的比热性质。
（4）掌握自由电子气的概念，自由电子气的费密能量，布洛赫波以及自由电子模型。
（5）掌握布里渊区的概念以及近自由电子近似和紧束缚近似方法计算能带的理论。
（6）了解晶体的对称操作类型，了解非谐效应，确定振动谱的实验方法以及晶格的自由能。
（7）了解金属中电子气的热容量，金属、半导体、绝缘体以及空穴的概念。
四、课程学时分配：第一章晶体结构(8学时)【教学目的】通过本章的教学，使学生了解晶格结构的一些实例；理解和掌握晶体结构的周期性特征及其描述方法；理解和掌握晶体结构的对称性特征及其描述方法；理解和掌握倒格子的定义及其与正格子的关系。
【重点难点】重点：晶体结构的周期性特征及其描述方法、晶体结构的对称性特征及其描述方法、倒格子及其与正格子的关系。
3.3 一维双原子链振动 一、运动方程及其解
������������������������������������������������ ������������������������′ ′ ′
0
应用经典力学中的拉格朗日方法，得到运动方程：
其中
为力常数
它表示第 l’个元胞中第j’个原子在 σ’方向上的单位位移对第l个元胞中第j 个原子在σ方向上产生的力，是一个张量。 实际上它只与两个元胞之间的相对位置有关，而与绝对位置无关，所以：
定义位移矢量的分量， 代表第l个元胞中第j个原子在σ方向上 的相对于平衡位置的移动。 令该原子的质量为Mj。 系统有3nN个位移分量，3nN个自由度。每个元胞内有3n个自由度
系统动能： 系统势能：
������������
=
�
1 2
������������������������̇ ���2���������������������������������
子链：
独立模式数 = 2N = 自由度数
q趋近于0时两支模式的区别在于，光学波模式是描写原胞中两个原子相对运 动的振动模式，若这两个原子组成一个分子，光学波模式实际上是分子振动 模式，描写的是同一个分子中的原子的相对运动情况，声学波模式代表同一 原胞中原子的整体运动，若初基晶胞中的两个原子组成一个分子的话，声学 波模式则代表分子的整体运动模式，这种振动模式的色散关系类似于声波。 但它不是声波。 LA
三、波恩-卡曼边界条件
对于N个元胞的有限双原子链，采用波恩-卡曼边界条件
类似前面的单原子链，得到
h为整数，
得到
q在第一布里渊区中均匀分布，取N个值。 独立的波矢数 = 元胞数 (N)。 波矢密度 =
因为一个确定的q和
确定了一个独立的模式，其中s为格波的支
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—— 长声学波中相邻原子的振动
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—— 原胞中的两个原子振动的振幅相同，振动方向 一致 —— 代表原胞质心的振动
长波极限
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光学波
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5、将试探解代入运动方程，求出色散关系；
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课堂练习： 设质量为m的同种原子组成的一维双原子分子 链, 分子内部的力系数为1, 分子间相邻原子的力 系数为2, 分子的两原子的间距为d, 晶格常数为a, 1. 列出原子运动方程. 2. 求出格波的振动谱(q).
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系统有N个原胞，2N个原子
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第2n+1个M原子的方程 第2n个m原子的方程 —— N个原胞，有2N个独立的方程
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方程解的形式
—— 两种原子振动的振幅A和B一般来说是不同的
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讨论： 两种格波中m和M原子振动振幅之比
—— 声学波
—— 光学波
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01
时m和M原子振动的振幅
声学波
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—— m原子静止不动，Mm同向运动，相邻M原子振 动的相位相反
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1) 声学波的最大频率
光学波的最大频率
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光学波的最小频率
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2）相应声子的能量
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Solid State Ph发 用的电磁波波长在什么波段？ 对应电磁波的能量和波长
的声子所
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—— 要激发的声子所用的电磁波波长在近红外线波
段（Near Infrared）(NIR)
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—— 一维复式格子存在 两种独立的格波
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两种格波的振幅
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—— 光学波 —— 声学波
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q的取值
M和m原子方程：
相邻原胞相位差： 波矢q的值 周期性边界条件： —— 第一布里渊区 布里渊区大小
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例题 一维复式格子中，如果
计算 1) 光学波频率的最大值
和最小值 , 和 ；
，声学波
频率的最大值
2) 相应声子的能量
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；
3) 如果用电磁波激发光学波，要激发的声子所用的电 磁波波长在什么波段？
—— 在长波极限下，对于典型的和值
—— 对应于远红外的光波 —— 远红外光波激发离子 晶体，可引起晶体中 长光学波的共振吸收
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光波的频率
波矢远远小于一般格波的波矢，只有
学波可以与远红外的光波发生共振吸收
的长光
—— 将可以与光波作 用的长光学波声 子称为电磁声子
第2n+1个M原子
第2n个m原子
方程的解
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—— A、B有非零的解，系数行列式为零
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—— 一维复式晶格中存在两种独立的格波
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—— 声学波
—— 光学波
—— 与q之间存在着两 种不同的色散关系
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常见有机物中CH2组振动模式
对称伸缩
剪刀式摆动
上下摇摆
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非对称伸缩
左右摇摆
扭摆
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红外谱
4000～1350 cm−1 称为基频区，为化学键和官 能团的特征振动频率区，可作为鉴定基团的依据 。1350～650 cm−1 称为指纹区，与 C-C、C-O、 C-X 单键的伸缩振动和分子骨架的弯曲振动有关 ，因各种单键强度大致相同，故这一区域的光谱 非常复杂，适合于化合物的鉴别。
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长光学波同种原子振动相位一致，相邻原子振动相反 原胞质心保持不变的振动，原胞中原子之间相对运动
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两种格波中m和M原子振动振幅之比
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长光学波与电磁波的作用
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固体物理 Solid State Physics
第三章 晶格振动
§ 3.3 一维双原子链
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§3.3 一维双原子链 声学波和光学波 一维复式格子的情形 —— 一维无限长链
—— 两种原子m和M ( M > m) ____ 构成一维复式格子 —— M原子位于2n-1， 2n+1， 2n+3 …… —— m原子位于2n， 2n+2， 2n+4 …… —— 同种原子间的距离2a____晶格常数
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q的取值
—— h为整数
每个波矢在第一布里渊区占的线度
第一布里渊区允许的q值的数目 —— 晶体中的原胞数目
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—— 对应一个q有两支格波：一支声学波和一支光学波 —— 总的格波数目为2N ： 原子的数目: 2N
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苯乙醚的红外谱
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红外光谱仪
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一维原子链色散关系推导步骤
1、根据题义画出原子链的模型； 2、分析原子的受力情况，列出原子受力方程； 3、根据牛顿定律，写出原子的运动方程； 4、写出原子的运动方程的试探解；
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光学波
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—— M原子静止不动，Mm反向运动，相邻m原子 振动的相位相反
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02长波极限 声学波
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—— 声学波的色散关系与一 维布喇菲格子形式相同
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色散关系的特点
短波极限
两种格波的频率
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因为 M＞m
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—— 不存在格波 —— 频率间隙
( )min
( )max
—— 一维双原子晶格 叫做带通滤波器
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