材料设计—14-一维单原子链振动
所以：
最后的频率与n无关，即无穷多个联立方程归结为同一解。 也就是满足一定ω与q关系的格波解。
在长波近似（即q->0）下，qa很小，所以
这个结论与连续介质波动方程的解一致： 所以一维单原子链中的声速为： 长波极限下，波长很长，很显然原子的不连续性在这种长 波下已经不明显。晶体就类似于一个连续介质。
这是格波和连续波的区别，连续波中的q是没什么限制的。
由于晶体的不连续性，波的振幅只在分立的格点 上才有意义，两个波矢相差一个倒格矢的波，虽 然波长不一样，但他们描述格点上的原子的运动 情况是完全相同的。 要描述一个晶格常数为a的原子链的振动，只要考 虑波长大于2a的那些波就可。
考虑两个q
虚线
实线
我们可以看到，两个波的周期和振动方式完全不同，但如 果只考虑格点的运动，则两者是一样的。
在BZ区边界q=π/a，则
是一个驻波，相邻原子的振动完全相反，群速度是0。
格波特点
频谱成带结构，一个单原子链，相当于弹性 波的低通滤波器。 本征频率必须限制在一个有限值范围内，不 存在超过该最高频的本征频率。这种波不能 在系统中传播。
§3.2 一维单原子链振动
一、运动方程及其解
考虑一个最简单的晶格模型
原子质量M，间距a，原子沿着链的方向振动， 其偏离平衡位置的位移为un：
类似于胡克定理，相互作用力与原子位移差成正 比，则第n个原子受到合力为：
根据牛顿力学，第n个原子的运动方程是
只考虑最近邻近似：
这里已经考虑了平移对称性
考虑格波解：
三、波恩-卡曼(Born-Karman)边界条件
波矢和波矢密度
原则上前面讨论的一维原子链应该是无穷长的。 但实际晶体总是有限的，对于有限长度的原子链 ，上面的解原则上不适用。因为有限原子链两端 的原子的振动方程与内部原子不一致。
虽然只是少数几个方程不同，但由于所有方程必 须联立求解，使得问题变得很复杂。
当 时，频率取最小值： 0
一个确定的q和ω(q)确定系统的一个简正模。 任意两个相隔na的原子振动有确定的相位关系。
它具有格波的位形，通常取：
来表示系统的一个简正模。
q和q + Kh代表同一振动模，q属于1BZ（第 一布里渊区）
将所有独立的振动模式限制在一个倒格子元胞内。通常取第 一布里渊区（1BZ）。
就是简正坐标
这个在前面已经证明了。
既然Qq(t)是简正坐标，它应该能使得系统的哈密顿 对角化。在原子位移坐标下，系统的哈密顿为：
引入坐标变换
un为实位移：
在简正坐标下，系统哈密顿的动能项：
势能项
最后系统哈密顿为：
所以在简正坐标下，哈密顿已经对角化了。
二、一维单原子链格波特性
色散关系
把频率ω和波矢q联系起来，称为格波的色散关系。 格波的群速度定义为：
它是介质中能量传输的速度。
同时ω是倒空间的周期函数：
我们以倒空间的波矢q为横坐标，而把每个q对应 的频率ω为纵坐标，画出一维简单晶格的色散关系 ：
当
时，频率取最大值
系统的最大频率只和β和M有关，是系统内禀性质。
所以 h为整数，上式就是波恩-卡曼边界条件 根据波恩-卡曼边界条件，波矢q只能取分立值：
波矢q在第一布里渊区均匀分布，且只能取N个值。
N是元胞数，通常很大。所以其实波矢q的数目也是很 大的，近似上是连续的。
定义单位q空间的波矢数为波矢密度：
独立波矢数 = N （元胞数） 波矢密度=
波恩-卡曼条件下，所有的独立模式构成 正交、完备集:
证明第一个公式： 令
则
所以
同理可以证明第二个式子。
四、简正坐标
晶格振动的本征解：
它表示一个波矢q，频率为ω(q)的格波（系统的一 个简正模）所描述的晶格中原子的位移。 而原子的实际运动是所有格波的叠加：
其中
把上式稍微改写一下：
Байду номын сангаас
1. 2.
晶格的一般振动是所有独立模式 简正坐标定义
的线性组合
所以这里的 而变换矩阵的矩阵元就是： 只不过这里用n,q替代了以前的i,j。 这里的矩阵元也满足正交完备条件：
虽然晶体是有限的，但其中的原子数目仍然是非 常大的，可以认为是无穷多。为此波恩-卡曼提出 了周期性边界条件，来避免两端原子与中间原子 的区别。
设想把含有N个元胞的原子链，将它首尾相连，构 成一个环。如果N足够大，则这个环的半径非常大 ，波在这个环中的传播，等价于波在一个无限长 原子链中传播。
第1个元胞与第N个元胞相连接，避免了实际中第1 个和第N个元胞处在边界上这个难处理的情况。 这要求原子指标n增加到n+N时，振动完全复原。 数学上要求系统的振动满足：
3.1 一维单原子链
一维无限原子链 —— 每个原子质量m，平衡时原子间距a —— 原子之间的作用力 第n个原子离开 平衡位置的位移 第n个原子和第n＋1 个原子间的相对位移
第n个原子和第n＋1个原子间的距离
03_02_一维单原子链 —— 晶格振动与晶体的热学性质
平衡位置时，两个原子间的互作用势能
发生相对位移
后，相互作用势能
a
a
—— 只研究清楚第一布里渊区的晶格振动问题 —— 其它区域不能提供新的物理内容
03_02_一维单原子链 —— 晶格振动与晶体的热学性质
玻恩－卡门（Born-Karman）周期性边界条件 —— 一维单原子晶格看作无限长，所有原子是等价的，每个 原子的振动形式都一样 —— 实际的晶体为有限，形成的链不是无穷长，链两头的 原子不能用中间原子的运动方程来描述
2 4 sin 2 ( aq )
m
2
格波的波速
—— 波长的函数
—— 一维简单晶格中格波的色散关系，即振动频谱
格波的意义
连续介质波
波数 q 2
—— 格波和连续介质波具有完全类似的形式
—— 一个格波表示的是所有原子同时做频率为的振动
03_02_一维单原子链 —— 晶格振动与晶体的热学性质
n Aei(tnaq) —— 简谐近似下，格波是简谐平面波
§3.1 一维单原子链
绝热近似 —— 用一个均匀分布的负电荷产生的常量势场来 描述电子对离子运动的影响 —— 将电子的运动和离子的运动分开 晶格具有周期性，晶格的振动具有波的形式 —— 格波 格波的研究 —— 先计算原子之间的相互作用力 —— 根据牛顿定律写出原子运动方程，最后求解方程
03_02_一维单原子链 —— 晶格振动与晶体的热学性质
一维单原子链晶格振动解析步骤
一维单原子链晶格振动解析步骤一维单原子链模型是固体物理中的经典模型之一，用于描述晶体中原子的振动行为。
在这个模型中，原子由质量为m的核和劲度系数为K的弹性相互作用构成。
通过对一维单原子链的晶格振动进行分析，可以更好地理解固体中的声子模式和声子色散关系。
下面将介绍一维单原子链晶格振动解析步骤：第一步：建立模型首先，我们要建立一维单原子链的模型。
假设晶格常数为a，原子间距为a/2，一维晶格中的每个原子都沿着x轴定位。
原子间的相互作用由弹簧模型描述，即相邻原子间的相互作用劲度系数为K。
这个模型是一个简单的原子链模型，可以通过它来研究晶格振动的基本性质。
第二步：求解运动方程接下来，我们需要求解原子在这个一维单原子链中的运动方程。
假设第n个原子的位移为Un(t)，那么根据牛顿第二定律，可以得出该原子的运动方程为：m*Un’’(t) = -K*(Un(t+0) - 2*Un(t) + Un(t-0))上式中，Un’’(t)表示Un对时间的二阶导数，-K*(Un(t+0) -2*Un(t) + Un(t-0))表示受到的弹性相互作用力。
第三步：假设解的形式由于原子在一维单原子链中的振动属于谐振动问题，我们可以假设原子的位移满足解的形式为：Un(t) = An*exp(i*(k*n*a - ω*t))其中，An是振幅，k是波数，ω是角频率，n是原子的编号。
将这个解代入到运动方程中，可以得到关于角频率ω和波数k的关系式，即声子色散关系。
声子色散关系描述了声子的能量随波数变化的关系，是描述晶体中声子性质的重要工具。
第四步：得到声子色散关系将解的形式代入运动方程，我们可以得到关于角频率ω和波数k的关系式。
具体地，我们可以得到一维单原子链中的声子色散关系为：ω(k) = 2*sqrt(K/m)*|sin(ka/2)|声子色散关系描述了一维单原子链中的声子能量随波数变化的规律。
从这个关系式可以看出，一维单原子链中的声子有声学支和光学支两种振动模式，它们的能量随波数的变化方式不同。
一维原子链的晶格振动方程
一维原子链的晶格振动方程晶体是由原子或分子组成的周期性排列的结构，其内部的原子或分子通过振动相互作用，从而产生晶格振动。
晶格振动方程描述了一维原子链中原子的振动行为，对研究固体物理和材料科学具有重要意义。
一维原子链的晶格振动方程可以通过简化模型来描述。
我们假设原子链中的原子质量相同，且原子间的相互作用力为弹簧力。
在平衡位置附近，原子的位移可以用小量近似表示，即位移量远小于原子间距。
此时，可以利用胡克定律，将原子间的相互作用力近似为线性弹簧力。
根据胡克定律，弹簧的力与其伸长（或缩短）的长度成正比，且方向与伸长（或缩短）的方向相反。
对于一维原子链中相邻两个原子，其相互作用力可以表示为：F = -k(x - a) - k(x + a)其中，F为相互作用力，k为弹簧常数，x为原子的位移量，a为原子间距。
根据牛顿第二定律，物体的加速度与作用力成正比，与物体的质量成反比。
在一维原子链中，每个原子的加速度与相邻原子的相互作用力有关，可以表示为：m(d^2x/dt^2) = -k(x - a) - k(x + a)其中，m为原子的质量，d^2x/dt^2为原子的加速度，t为时间。
将上述方程进行简化，可得：d^2x/dt^2 = -k/m * (2x - a - a)化简后得到：d^2x/dt^2 = -2k/m * (x - a/2)这就是一维原子链的晶格振动方程。
从中可以看出，原子的加速度与位移量成正比，且与原子间距和弹簧常数有关。
当原子受到外力作用时，晶格振动方程可以进一步进行修正。
一维原子链的晶格振动方程可以通过求解微分方程得到解析解，也可以通过数值模拟方法进行计算。
对于周期性边界条件下的一维原子链，可以采用傅里叶变换的方法，将晶格振动分解为一系列特定频率的波动模式。
晶格振动在固体物理和材料科学中具有广泛的应用。
通过研究晶格振动，可以揭示物质的热力学性质、电子结构和传热传电等基本行为。
此外，晶格振动还与声学性质、热导率、热膨胀和热容等宏观性质密切相关，对于材料的设计和优化具有重要意义。
一维单原子的振动
晶格振动虽是一个十分复杂的多粒子问题，但在一定条 件下，依然可以在经典范畴求解，一维原子链的振动就是最 典型的例子，它的振动既简单可解，又能较全面地表现出晶 格振动的基本特点。
1. 一维单原子点阵的振动
(1)模型：一维无限长的单原子链，原子间距(晶格常量)为 a，原子质量为M。
第s-2个原子 第s-1个原子 第s个原子 第s+1个原子 第s+2个原子
= −ω 2 Ae −i(ωt − sak )
过
M xn = − M Aω e2 −i(ωt − sak )
程
{ } = C Ae −i ⎡⎣ωt −(s −1)ak ⎤⎦ + Ae −i ⎡⎣ωt −(s+1)ak ⎤⎦ − 2 Ae −i(wt − sak )
M ω 2 = C(2 − e−iaq − eiaq )
a
us-2
us-1
us
us+1
us+2
简谐近似 描述1: 力的角度
这一章我们要考虑原子在平衡位置附近的振动。 这种考虑是建立在简谐近似的基础之上的，所谓 简谐近似即认为振动是小振动，振幅很小，这种 振动的位移与力之间是满足线性关系的。
F=-cx
简谐近似 描述2：能量角度
从能量的角度来看，认为原子间有了相对位 移后，两原子间的相互作用势也有了变化将势能 展开成级数：
p
只考虑最近邻原子的作用，设其力常数为C，则
F = Mu = C（us+1 + us+1 − 2us）
给出试探解 us = Ae−（i ωt−ska）
原子都以同一频率ω，同一振幅A振动,相邻原子间的位相差
为k·a。晶格中各个原子间的振动相互间都存在着固定的位相关
一维单原子链
起的位移为 nj aj sin( jt _ naqj j ) ， j 为任意个
相位因子，并已知在较高温度下每个格波的平均能量 为kT，具体计算每个原子的平方平均位移(P580,3-1)。
03_02_一维单原子链 —— 晶格振动与晶体的热学性质
—— 实数形式的简正坐标 令
T 1 [a2(q) b2(q)]
2 q0
U
1 2
2 q
[a2
(q)
q0
b2 (q)]
哈密顿量
H
1 [a&2(q) b&2(q)] 2 q0
1 2
q2[a2(q) b2(q)]
q0
03_02_一维单原子链 —— 晶格振动与晶体的热学性质
能量本征值 本征态函数
a
a
j
波矢的取值范围，第一布里渊区
aa
—— 只研究清楚第一布里渊区 的晶格振动问题
—— 其它区域不能提供新的物 2
O
理内容
a
q
2
a
03_02_一维单原子链 —— 晶格振动与晶体的热学性质
7. 玻恩－卡门（Born-Karman）周期性边界条件 目标：求出q=?
—— 一维单原子晶格看作无限长，所有原子是等价的 每个原子的振动形式都一样
t 2
x 2
03_02_一维单原子链 —— 晶格振动Leabharlann 晶体的热学性质波动方程的通解：
• 它是一个简谐波，q=2π/λ是波矢。从物理上讲，视为 “连续”，要求波长λ>>原子间距;
•如果 λ～a，――不连续。必须直接求解方程
m
d 2n
dt 2
一维单原子链的频率分布
一维单原子链的频率分布一维单原子链是指由相同类型的原子按照一定的规则排列成的链状结构。
频率分布是指在单原子链中各个振动模式的频率出现的分布情况。
本文将从单原子链的基本特征、频率的计算方法以及频率分布的特点三个方面来详细探讨一维单原子链的频率分布。
一、单原子链的基本特征一维单原子链是凝聚态物理中常见的模型系统，它具有以下基本特征：1. 原子之间的相互作用力：在单原子链中，相邻原子之间存在着弹性力和相互作用力，这些力决定了原子在链中的振动行为。
2. 间距和质量的均匀性：单原子链中的原子间距相等，原子质量也相等，这使得单原子链具有均质性，便于分析和计算。
3. 边界条件：单原子链的两端通常会施加边界条件，如固定边界条件或周期性边界条件，以模拟实际情况中的约束条件。
二、频率的计算方法在一维单原子链中，原子的振动可以通过离散化简化为谐振子模型，通过求解谐振子的本征值问题可以得到振动频率。
对于一维单原子链，振动频率的计算方法如下：1. 利用牛顿第二定律：应用牛顿第二定律，可以得到原子的运动方程。
通过求解运动方程可以得到振动频率。
2. 应用弹性势能：利用弹性势能的定义，可以将原子的振动视为在势能函数中寻找最小值的过程。
通过求解势能函数的最小值问题，可以得到振动频率。
3. 应用量子力学：在一维单原子链中，可以将原子的振动量子化，利用量子力学的方法求解振动频率。
具体的计算方法可以通过哈密顿算符的对角化来实现。
三、频率分布的特点在一维单原子链中，频率分布具有以下特点：1. 频率的离散性：由于单原子链的离散结构，振动频率呈现出离散的特点。
频率分布通常由一系列离散的振动模式组成，每个模式对应一个特定的频率。
2. 频率的对称性：对于一维周期性边界条件的单原子链，频率分布具有对称性。
即频率分布在频率为零的点处对称，且对称轴上的频率相等。
3. 频率的分布范围：频率分布的范围取决于原子之间的相互作用力和边界条件。
不同的相互作用力和边界条件将导致不同的频率分布范围。
一维单原子链和双原子链晶格振动色散关系的联系
图 ３双原 子链 Ｍ＝ ｍ 时 色散 关 系 图 进一 步 讨论 ： １ ． 当 ｋ为 偶 数 时
（ ａ ） 单 原子 链
图 １一 维 晶 格 模 型 色散 关 系 图 如 图 ２所 示 。
ｍ
●
将（ ５ ） 带 回方 程组 （ １ ） 可得 ： ２ ［ ３ ｃ ｏ ｓ （ ｑ ａ ） （ Ａ ＋ Ｂ ） 。 ０ １ ２ ￣ ｃ ｏ ｓ （ ｑ ａ ） ｆ Ｂ ＋ Ａ １ ＝ Ｏ Ｊ 此时 ２ １ ３ ｃ ｏ ｓ （ ｑ ａ ） 不 恒为 零 ， 即只 能 Ｂ ＋ Ａ ＝ ０ 。 所 以 有 Ａ＝ － Ｂ（ 恒成立） ， 与振 幅 Ａ 、 Ｂ 必 须 同 时 不 小 于零 相 矛盾 ， 故‘ Ｉ ） ＋ 表 示 的 曲线 当舍去 。
【 关键词 】 一维 晶格振动 色散关系 【 基金 项 目】 电子 科技 大 学教 学改 革 重点 项 目资 助 。 【 中图分类号】 Ｇ６ ４ 【 文献标识码 】 Ａ
一
【 文章编号】 ２ ０ ９ ５ — ３ ０ ８ ９ （ ２ ０ １ ３ ） ０ ９ — ０ ２ ４ １ — ０ ２
２ ． 当 ｋ为 奇 数 时
ｍ‘
●
将（ ６ ） 带 回方 程 组（ １ ） 可得 ： ２ １ ￣ ｃ ｏ ｓ （ ｑ ａ ） （ Ａ ＋ Ｂ ） ０ １ ， ２ ｌ ￣ ｃ ｏ ｓ （ ｑ ａ ） （ Ｂ ＋ Ａ ） ＝ Ｏ Ｊ 、 ／ 同理 ， ２ ｌ ？ ， ｃ ｏ ｓ （ ｑ ａ ） ￣ 恒 为零 ， Ａ＝ － Ｂ （ 恒成立） ， 与振 幅 Ａ 、 Ｂ必 须 同时不 小 于零相 矛盾 。 ∞ 一 表 示 的 曲线 当舍去 。 （ ａ ） 单原 子链 （ ｂ） 双 原 子链 综 上 可得 ， 在 中央布 区和偶 数 布 区里 的 光 学 支部 分 当舍 去 。 图 ２一 维 晶 格 色散 关 系 图 奇数 布 区里 的声 学 支部 分 当舍去 。 方面 ， 双 原 子链 中 当 Ｍ＝ ｍ 时应 满足 图 ２中的 （ ａ ） ； 另一 方 画 出讨 论后 的 ‘ １ ） ￣ ｑ关 系图如 图 ４ 。其 中虚 线表 示舍 去 的 不 面 如 果 Ｍ 不 断趋 近 于 ｍ ， 图２ （ ｂ ） 中光 学 支不 断接 近 声 学 支 ， Ｍ＝ 满足 题 意的部 分 曲线 。 ｍ 时两支相接 ， 其 色散 关 系就 存 在 两条 曲 线 ， 显然与 图 ２ （ ａ ） 不 同。这 也 是 学生 学 习 中不 易理 解 的难 点 。
hezm
连续介质波： Ae
Aei ( t qx)
格波：
n Aei ( t naq)
晶格中格波和连续介质波具有完全类似的形式 一个格波表示的是所有的原子同时振动，振动频率为
格波描述的是所以原子的集体运动，不是某一个原子的运动 相邻原子间的位相差 aq 格波的波长：
n1,n n n1
第（n+1)个原子与第n个原子的相对位移：
n1,n n1 n
三、原子间的相互作用力
1. 势能：
（只考虑最近邻原子间的相互作用）
1）. 假设在平衡位置时，两个原子间的相互 作用势能是 v( a ) 2）. 产生相对位移 后，相互作用势能变 为 v( a )
九、色散关系
2
4 aq sin 2 m 2
由于频率是波数的偶函数，所以有
2
aq sin m 2
(6)
q 0,
min 0
q
a
,
max 2
m
图5 一维单原子链 的 ω-q 函数关系
当0 q
a
， 与其相应频率的变化范围： 0 2
一维单原子链晶格振动
一、知识点回顾
1. 格点：原子的平衡位置 2. 晶格振动：原子在格点附近的振动 3. 格波：晶格具有周期性，因而，晶格振动模 具有波的形式，称为格波 一维单原子链是学习格波的典型例子！ ▲关于格波的研究：先计算原子之间的相互作用力， 再根据牛顿第二定律列出原子的微分运动方程， 最后求解方程。
2 q
2 格波的波矢： q n
七、格波波矢的取值和布里渊区
一维单原子链
第n-2个原子第n-1个原子第n+1个原子第n+2个原子第n个原子maµn-2µn-1µnµn+1µn+2第n-2个原子第n-1个原子第n+1个原子第n+2个原子第n个原子maµn-2µn-1µnµn+1µn+2a一维晶格仅考虑最近邻原子间相互作用时的色散关系qv p ω=2.21∑=qqQ 221∑⎟⎠⎞⎜⎝⎛=•n n m T μ∑••=qiqna q n t Q Nmt ,)e (1)(μ∑∑∑′−′−′=nq qinaq q .q ina q .,t Q t QN T )e ()e (21∑∑∑′+′−′=q nq q ina qq .q .,Nt Q t Q)(e1)()(21∑∑′−′′=q qqq qq t Qt Q,)()(21,..δ∑−=qqqt Qt Q)()(21..∑=qqqt Qt Q)()(21.*.)()(*t Q t Q q q =−动能的正则坐标表示：势能∑−=qinaqq n eQ Nm 1μ∑−−−='')1('11q aq n i q n e QNm μ∑−−=nn n U 21)(21μμβ1(')'(')','1{[1]}()2N ia q q iaq iaq ina q q q q q q n U Q Q e e e emNβ−++==+−−∑∑}2{2∑−−−−=qiaq iaq qq e e Q Q mβ{1cos()}q qqQ Qaq mβ−=−∑代入上式，得：*{1cos()}qqqU Q Q aq mβ=−∑利用)}cos(1{22aq mq −=βω2*12q q q qU Q Q ω=∑2221∑=qq q Q U ω系统势能所以2221∑=qq q Q U ω哈密顿量2221()2q q qqH T U Q Q ω=+=+∑ ——系统复数形式的简正坐标ti q q q eA Nm Q ω=势能动能∑=qq Q T 221 1()[()()]2Q q a q ib q =+)]()([21)(*q ib q a q Q −=∑=qq Q T 2212221∑=qq q Q U ω∑>+=22)]()([21q q b q a T 实数形式的简正坐标令∑>+=222)]()([21q q q b q a U ω能量本征值qq n n qωε=)21(+=2()/exp()()2qq n q q n Q H ξϕωξ=−=本征态函数一个简正坐标对应一个谐振子方程，波函数是以简正坐标为宗量的谐振子波函数。
3.1一维晶格振动 固体物理研究生课程讲义
A 2 cos aq B 2 m 2
对于声学支格波:
A 2 cos(aq)
BA
2
m
2 A
π q π
2a
2a
cos( aq ) 0, A
2
M
, 所以2
m
2 A
0,
A 0 BA
声学支格波，相邻原子都是沿着同一方向振动的。
q 0, cosaq 1； 0 A B A
长声学波，相邻原子的位移相同，原胞内的不同原子以相 同的振幅和位相作整体运动。因此，可以说，长声学波代表了 原胞质心的运动。
2
2 sin aq
m
2
2.色散关系
当
q ,aຫໍສະໝຸດ max2; m
当 q 0, min 0
由色散关系式可画图如下:
m
2 sin aq
m
2
2π / a π / a
0
π/a
2π / a
是波矢q的周期性函数,且(-q)= (q)。
m
2 sin aq
m
2
2π a
π a
若A，B不全为零，必须其系数行列式为零，即:
2 cos aq m 2 2
M 2 2 0 2 cos aq
2 {(m M ) m 2 M 2 2mM cos 2aq }
mM
2 o
mM
m M
m 2 M 2 2mM
cos
2aq
1 2
2 A
mM
m M
m 2 M 2 2mM
解:设最近邻原子间的恢复力系数为，则:
m
..
xn
xn
xn1
xn
x n1
xn Ae i t naq