3.1 一维单原子链
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3.1一维晶格振动
时，它实际代表2N个方程的联立方程组。具有下面的格波解： i t 2 na q
2 n Ae
2 n1 Bei[t ( 2 n1) aq]
2.色散关系
把上面两个解带入下列方程组：
m 2 n ( 2 n 1 2 n 1 2 2 n ) M 2 n 1 ( 2 n 2 n 2 2 2 n 1 )
..
2n n1 n1 n1 n1 2n
每个原子对应一个方程，若原子链有N个原子，则有N个方
程，上式实际上代表着N个联立的线性齐次方程。
下面将验证方程具有格波形式的解。给出试探解：
nq Aei (t naq )
其中ω，A为常数。
π π q a a
n n N
晶格振动波矢的数 目=晶体的原胞数
3.1.2 一维双原子链(复式格)的振动
1. 运动方程和解 (1) 模型:一维无限长原子链，可以看作是最简单的复式 晶格：每个原胞含有两个不同的原子P、Q，质量为m和M，且 m<M。相邻原子间距均为a，(晶格常量为2a )恢复力系数为。 2n-2 2n-1 2n P 2n+1 2n+2
第n-2个原子
第n-1个原子
第n个原子
第n+1个原子
第n+2个原子
a
μn-2
μn-1
μn
μn+1
μn+2
用…μn-1、 μn、 μn+1 …分别表示序号为… n-1、 n、 n+1 …原 子在t时刻偏离平衡位置的位移。 (2)振动方程和解 假设只有近邻原子间存在相互作用，r=a+δ。其中δ表示 对平衡位置a的偏离。 u（r）为原子间的互作用势能。
2 n Ae
2 n1 Bei[t ( 2 n1) aq]
2.色散关系
把上面两个解带入下列方程组：
m 2 n ( 2 n 1 2 n 1 2 2 n ) M 2 n 1 ( 2 n 2 n 2 2 2 n 1 )
..
2n n1 n1 n1 n1 2n
每个原子对应一个方程，若原子链有N个原子，则有N个方
程，上式实际上代表着N个联立的线性齐次方程。
下面将验证方程具有格波形式的解。给出试探解：
nq Aei (t naq )
其中ω，A为常数。
π π q a a
n n N
晶格振动波矢的数 目=晶体的原胞数
3.1.2 一维双原子链(复式格)的振动
1. 运动方程和解 (1) 模型:一维无限长原子链，可以看作是最简单的复式 晶格：每个原胞含有两个不同的原子P、Q，质量为m和M，且 m<M。相邻原子间距均为a，(晶格常量为2a )恢复力系数为。 2n-2 2n-1 2n P 2n+1 2n+2
第n-2个原子
第n-1个原子
第n个原子
第n+1个原子
第n+2个原子
a
μn-2
μn-1
μn
μn+1
μn+2
用…μn-1、 μn、 μn+1 …分别表示序号为… n-1、 n、 n+1 …原 子在t时刻偏离平衡位置的位移。 (2)振动方程和解 假设只有近邻原子间存在相互作用，r=a+δ。其中δ表示 对平衡位置a的偏离。 u（r）为原子间的互作用势能。
3.1 简谐近似和简正坐标、一维单原子链PPT参考课件
N 就是一维单原子链的自由度数, 这表明已经得到链的全部振动模
玻恩-卡曼的模型起着一个边界条件的作用, 用这个 模型并未改变运动方程的解, 而只是对解提出一定条 件 , 称它为玻恩－卡曼条件, 或称为周期性边界条件27
色散关系的两点讨论:
2
2 [1 cos aq]
m
4
m
sin
2
体系的势能函数展开至位移坐标的二次方项, 称为 简谐近似
简正坐标是通过正交变换引入的, 使内能函数和动 能函数同时化为平方项之和而无交叉项的坐标
由简正坐标所代表的, 体系中所有原子一起参与的 共同振动, 常常称为一个振动模（或简正模） 14
§3-2 一维单原子链
晶格具有周期性, 因而晶格的振动模具有波的形式, 称为
3
以后的研究确立了晶格振动采取 "格波" 的形式
这一章的介绍格波的概念, 并在晶格振动理 论的基础上扼要讲述晶体的宏观热学性质
晶格振动是研究固体宏观性质 和微观过程的重要基础
对晶体的电学性质、光学性质、超导电
性、磁性、结构相变… …等一系列物理
问题, 晶格振动都有着很重要的作用
4
§3-1 简谐近似和简正坐标
E
3N i 1
i
3N i 1
ni
1 2
hi
3N
(Q1，Q2，L ，Q3N ) ni (Qi ) i 1
可见只要能找到该体系的简正坐 标, 或者说振动模, 问题就解决了
下面将结合简单的例子, 把这里的一般性结论具体化13
§3-1 简谐近似和简正坐标 小结
每个原子的位移画在 垂直链的方向
玻恩-卡曼的模型起着一个边界条件的作用, 用这个 模型并未改变运动方程的解, 而只是对解提出一定条 件 , 称它为玻恩－卡曼条件, 或称为周期性边界条件27
色散关系的两点讨论:
2
2 [1 cos aq]
m
4
m
sin
2
体系的势能函数展开至位移坐标的二次方项, 称为 简谐近似
简正坐标是通过正交变换引入的, 使内能函数和动 能函数同时化为平方项之和而无交叉项的坐标
由简正坐标所代表的, 体系中所有原子一起参与的 共同振动, 常常称为一个振动模（或简正模） 14
§3-2 一维单原子链
晶格具有周期性, 因而晶格的振动模具有波的形式, 称为
3
以后的研究确立了晶格振动采取 "格波" 的形式
这一章的介绍格波的概念, 并在晶格振动理 论的基础上扼要讲述晶体的宏观热学性质
晶格振动是研究固体宏观性质 和微观过程的重要基础
对晶体的电学性质、光学性质、超导电
性、磁性、结构相变… …等一系列物理
问题, 晶格振动都有着很重要的作用
4
§3-1 简谐近似和简正坐标
E
3N i 1
i
3N i 1
ni
1 2
hi
3N
(Q1，Q2，L ，Q3N ) ni (Qi ) i 1
可见只要能找到该体系的简正坐 标, 或者说振动模, 问题就解决了
下面将结合简单的例子, 把这里的一般性结论具体化13
§3-1 简谐近似和简正坐标 小结
每个原子的位移画在 垂直链的方向
《固体物理基础》晶格振动与晶体的热学性质
一、三维简单格子
二、三维复式格子
三、第一布里渊区
四、周期性边界条件
◇一个原胞内有P
个不同原子，则
有3P个不同的振
动模式，其中3支 声学波。
◇具有N个原胞的 晶体中共有3PN个
振动模式，其中
3N个声学波， 3N(P-1)个光学波。
四、周期性边界条件 总结
§ 3.4 声子
声子：晶格振动中格波的能量量子
二、一维单原子链的振动
格波
二、一维单原子链的振动
色散关系
二、一维单原子链的振动
色散关系
二、一维单原子链的振动
第一布里渊区
二、一维单原子链的振动
第一布里渊区
二、一维单原子链的振动
第一布里渊区
二、一维单原子链的振动
周期性边界条件
玻恩—卡曼边界条件
二、一维单原子链的振动
周期性边界条件
即q有N个独立的取值—晶格中的原胞数第一布
◇非弹性X射线散射、非弹性中子散射、可见光 的非弹性散射。
§ 3.4 声子
§ 3.4 声子
90K下钠晶体沿三个方向的色散关系
§ 3.5 晶格热容
一、晶格振动的平均能量
热力学中，固体定容热容：
根据经典理论，每一个自由度的平均能量是kBT， kBT/2为平均动能，kBT/2为平均势能，若固体有
N个原子，总平均能量： 取N=1摩尔原子数,摩尔热容是：
二、一维单原子链的振动
一维单原子链的振动
二、一维单原子链的振动
简谐近似下的运动方程
二、一维单Hale Waihona Puke 子链的振动简谐近似下的运动方程
在简谐近似下，原子的相互作用像一个弹 簧振子。一维原子链是一个耦合谐振子，各原 子的振动相互关联传播，形成格波。
31一维单原子解析
3 – 1 一维单原子链
第三章 晶格振动与晶体的热学性质
第三章、晶格振动与晶体热学性质
主要内容
§3-1一维单原子晶格振动（掌握） • §3-2一维双原子晶格振动 • §3-3 三维晶格振动（理解） • §3-4 声子,声子谱的测定 • §3-6 晶格热容 • §3-7 非简谐效应
吉林建筑工程学院材料学院
主 要 内 容
• • • • • 3-1.1介绍一维单原子链体系及参数； 3-1.2体系恢复力与相对位移关系； 3-1.3写出运动方程(根据牛顿定律)； 3-1.4解出一维单原子链的色散关系； 3-1.5讨论一维单原子链晶格振动特点
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3 – 1 一维单原子链
第三章 晶格振动与晶体的热学性质
Fn1,n n1,n ( xn xn1 ) Fn1,n n1,n ( xn1 xn ) F Fn1,n Fn1,n n1,n ( xn xn1 ) [ n1,n ( xn1 xn )] F ( xn1 xn1 2 xn ) n ( xn1 xn1 2 xn ) m x
3 – 1 一维单原子链
第三章 晶格振动与晶体的热学性质
绝热近似
固体是由大量原子组成的，原子又由价电子和离子实 组成，所以固体实际上是由电子和离子实组成的多粒 子体系。由于电子之间、电子与离子实以及离子实之 间的相互作用，要严格求解这种复杂的多体总量是不 可能的。但注意到电子与离子实的质量相差很大，离 子实的运动速度比电子慢得多(3个数量级)可以近似 地把电子的运动与离子实的运动分开来考虑， 这种近似方法称为绝热近似-Born-Oppenheimer 近似-1927年
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第三章 晶格振动与晶体的热学性质
第三章、晶格振动与晶体热学性质
主要内容
§3-1一维单原子晶格振动（掌握） • §3-2一维双原子晶格振动 • §3-3 三维晶格振动（理解） • §3-4 声子,声子谱的测定 • §3-6 晶格热容 • §3-7 非简谐效应
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主 要 内 容
• • • • • 3-1.1介绍一维单原子链体系及参数； 3-1.2体系恢复力与相对位移关系； 3-1.3写出运动方程(根据牛顿定律)； 3-1.4解出一维单原子链的色散关系； 3-1.5讨论一维单原子链晶格振动特点
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第三章 晶格振动与晶体的热学性质
Fn1,n n1,n ( xn xn1 ) Fn1,n n1,n ( xn1 xn ) F Fn1,n Fn1,n n1,n ( xn xn1 ) [ n1,n ( xn1 xn )] F ( xn1 xn1 2 xn ) n ( xn1 xn1 2 xn ) m x
3 – 1 一维单原子链
第三章 晶格振动与晶体的热学性质
绝热近似
固体是由大量原子组成的，原子又由价电子和离子实 组成，所以固体实际上是由电子和离子实组成的多粒 子体系。由于电子之间、电子与离子实以及离子实之 间的相互作用，要严格求解这种复杂的多体总量是不 可能的。但注意到电子与离子实的质量相差很大，离 子实的运动速度比电子慢得多(3个数量级)可以近似 地把电子的运动与离子实的运动分开来考虑， 这种近似方法称为绝热近似-Born-Oppenheimer 近似-1927年
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3 – 1 一维单原子链
3.1一维晶格振动
2
aq 2 sin m 2
可以发现，上面的解与n无关，表明N个联立方程都归结
为同一个方程。只要ω与q之间满足上式的关系，我们给定的
试探解就表示了联立方程的解。 通常把ω与q之间的关系称为色散关系。或者把ω(q)作为q的
函数称为晶格振动谱，可以通过实验的方法测得或根据原子
间相互作用力的模型从理论上进行计算。
§3.1 一维晶格的振动
3.1.1 一维单原子链的振动
晶格具有周期性，因此晶格的振动模具有波的形式， 称为格波。格波和一般连续介质波有共同的特征，但也有
它不同的特点。
1.一维单原子链的振动方程及其解
(1)模型：一维无限长的单原子链，原子间距为a（即
原胞体积为a），原子质量为m。原子限制在沿链的方向 运动。原子间的力常数均为β。
u (r ) u (a )
按一般简谐振动把近似互作用能保留到二次项
1 d 2u 2 du u (r ) u (a) 2 2 dr a dr a 2 du d u 在上式中 0, 2 dr a dr a
2n
Q原子： M
2n1 2n1 22n
2 n 1
2 n 1 2 n 2 2 n 1 2 n
2n2 2n 22n1
上面两个方程是原子运动的典型方程，当原子链包含N个原胞
π π q a a
上述q以外的值，并不能提供其它不同的波。
格波波数q的不唯一性特点可以如图说明：
a
4a
μ
a
4a 5
q 2a
5 xq 2a
aq 2 sin m 2
可以发现，上面的解与n无关，表明N个联立方程都归结
为同一个方程。只要ω与q之间满足上式的关系，我们给定的
试探解就表示了联立方程的解。 通常把ω与q之间的关系称为色散关系。或者把ω(q)作为q的
函数称为晶格振动谱，可以通过实验的方法测得或根据原子
间相互作用力的模型从理论上进行计算。
§3.1 一维晶格的振动
3.1.1 一维单原子链的振动
晶格具有周期性，因此晶格的振动模具有波的形式， 称为格波。格波和一般连续介质波有共同的特征，但也有
它不同的特点。
1.一维单原子链的振动方程及其解
(1)模型：一维无限长的单原子链，原子间距为a（即
原胞体积为a），原子质量为m。原子限制在沿链的方向 运动。原子间的力常数均为β。
u (r ) u (a )
按一般简谐振动把近似互作用能保留到二次项
1 d 2u 2 du u (r ) u (a) 2 2 dr a dr a 2 du d u 在上式中 0, 2 dr a dr a
2n
Q原子： M
2n1 2n1 22n
2 n 1
2 n 1 2 n 2 2 n 1 2 n
2n2 2n 22n1
上面两个方程是原子运动的典型方程，当原子链包含N个原胞
π π q a a
上述q以外的值，并不能提供其它不同的波。
格波波数q的不唯一性特点可以如图说明：
a
4a
μ
a
4a 5
q 2a
5 xq 2a
高二物理竞赛课件：一维单原子链模型
13
20赫兹---20000赫兹，高于20000赫兹的叫超声波
能量(eV)
0.01
0.1
1
100
10000
声子
• 离子实比电子重103~105倍，离子实振动速度比电子慢很多
• 将电子的运动和离子实的运动分开
V
O
• 电子对离子振动的影响，可用一个稳定的势场来替代
简谐近似：保留2次项，忽略高阶项 2
v
1 v
v(a ) v(a) ( ) a ( 2 ) a 2 ...
r
2 r
所有原子的振动没有影响
• 红线：q=π/2a
• 绿线：q=5π/2a
• 将波数q取值限制为 q
a
a
• 即波数q取值在简约布里渊区
（第一布里渊区）中
• 第一章内容：
简约布里渊区内的全部波矢代
表了晶体中所有的状态，区外
的波矢都可通过平移倒格矢在
该区内找到等价状态点；讨论
固体性质时，可以只考虑第一
ℏ被称为声子（Phonon）。这是晶格振动量子理论最重
要的结论！
3-2 一维单原子链模型
声子
1
振动能量的本征值为 n (nq 2 )q
q
其中nq为声子
数
➢ 声子是晶格振动的能量量子ℏ
➢ 声子具有能量ℏ，也具有准动量ℏ ，它的行为类似于电子或光子，具
有粒子的性质。但声子与电子或光子具有本质区别，声子只是反映晶体
获得ℏ的能量，则称晶格发射一个声子
➢ 声子与声子相互作用，或声子与其他粒子（电子或光子）相互作用时，
声子数目并不守恒。声子可以产生，也可以湮灭。其作用过程遵从能量
20赫兹---20000赫兹，高于20000赫兹的叫超声波
能量(eV)
0.01
0.1
1
100
10000
声子
• 离子实比电子重103~105倍，离子实振动速度比电子慢很多
• 将电子的运动和离子实的运动分开
V
O
• 电子对离子振动的影响，可用一个稳定的势场来替代
简谐近似：保留2次项，忽略高阶项 2
v
1 v
v(a ) v(a) ( ) a ( 2 ) a 2 ...
r
2 r
所有原子的振动没有影响
• 红线：q=π/2a
• 绿线：q=5π/2a
• 将波数q取值限制为 q
a
a
• 即波数q取值在简约布里渊区
（第一布里渊区）中
• 第一章内容：
简约布里渊区内的全部波矢代
表了晶体中所有的状态，区外
的波矢都可通过平移倒格矢在
该区内找到等价状态点；讨论
固体性质时，可以只考虑第一
ℏ被称为声子（Phonon）。这是晶格振动量子理论最重
要的结论！
3-2 一维单原子链模型
声子
1
振动能量的本征值为 n (nq 2 )q
q
其中nq为声子
数
➢ 声子是晶格振动的能量量子ℏ
➢ 声子具有能量ℏ，也具有准动量ℏ ，它的行为类似于电子或光子，具
有粒子的性质。但声子与电子或光子具有本质区别，声子只是反映晶体
获得ℏ的能量，则称晶格发射一个声子
➢ 声子与声子相互作用，或声子与其他粒子（电子或光子）相互作用时，
声子数目并不守恒。声子可以产生，也可以湮灭。其作用过程遵从能量
固体物理第7课晶格振动一维单原子链-资料
晶格振动和声子
波的数学形式可以表示为波动函数 f(r,t)
波动函数形式复杂，某一种特殊的波，有一些基本 的传输模式，对固体中的振动模型，可以采用最简单 的一维单原子链的振动模型。 一维晶体中长度为a的原胞中只含有一个质量为m的 球，它们被弹性系数为k的弹簧联起来，某一个球随 时间作纵向振动，所有球都会振动。
则将形成驻波，L=n·λ/2，即1/λ = n / 2L。所以q只能取分
立值，q=2π/ λ= n π / L。
3.1 一维单原子链（一维布喇菲晶格）
1. 运动方程:简谐近似下的振动 （简谐振动）
原子质量：
原子标号：
平衡间距：
纵向位移：
向右
向左
m n a xn xn 0 xn 0
n 号原子的受力：
f 左＝－
f 右＝－
xn xn1 xn1 xn
f 左 与 f 右 方向相反
f f左 f右
(xn1xn12xn)mdd2xt2n mdd2xt2n (xn1xn12xn)
运动方程的解
由N个原子组成的一原维子链中有N个这样方的程
1.简谐近似
f ：常系数 ＝ a a 0： f 0，吸引力 0： f 0，排斥力
(rn1rn)(rn1rn)
rn1rn1(rnrn)xn1xn
f (xn1xn)
简谐近似下的运动方程
，方向沿波的传播方向
(2)
可a取任q
意实数
，且只可
a
取分立值
x：连续介质中任意点的 位置 (3) na ：格点的位置
3.1.3 晶格振动的色散关系
m
固体物理答案3
= β (10ν n + ν n −1 − 11 μ n )
色散关系(ω2--κ)图如 右，这是一个双原子 （例如H2）晶体。
M ν n = β ( μ n + 1 − ν n ) − 10 β (ν n − μ n )
= β ( μ n + 1 + 10 μ n − 11ν n )
设试探解为：
μ n = μ e − i (ω t − naq )
ω+ = ω− =
4β aq cos m 2 4β aq sin m 2
长波极限情况下 q → 0
对应一个q有两支格波：一支声学波和一支光学波， 总的格波数目为2N 。
sin(
qa qa )≈ 2 2
ω− = (2
β
m
)q
与一维单ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ子晶格格波的色散关系一致
3.3 质量相同两种原子形成一维双原子链，最近邻原子间 的力常数交错等于c和10c，令两种原子的质量相等，并且 最近邻间距是a/2，试求在k=0和k=π/a 处的ω(k)。并粗 略画出色散关系。本题模拟双原子分子晶体，如H2。 解：绿色标记的原子位于2n-1， 2n+1， 2n+3 …… 红色标记原子位于 2n， 2n+2， 2n+4 ……
2 j
=
2 kT Nm ω
2 j
1 = m∑α 2ω 2 cos2 (ω j t + nαq j + δ j ) j j 2 n
kT 1 2 αj = 2 Nm ω 2 j
=
1 mα 2ω 2 N j j 4
其中：M=ρL
所以，每个原子的平方平均位移：
2 μ n = ∑ μ nj = ∑ α 2 = j
色散关系(ω2--κ)图如 右，这是一个双原子 （例如H2）晶体。
M ν n = β ( μ n + 1 − ν n ) − 10 β (ν n − μ n )
= β ( μ n + 1 + 10 μ n − 11ν n )
设试探解为：
μ n = μ e − i (ω t − naq )
ω+ = ω− =
4β aq cos m 2 4β aq sin m 2
长波极限情况下 q → 0
对应一个q有两支格波：一支声学波和一支光学波， 总的格波数目为2N 。
sin(
qa qa )≈ 2 2
ω− = (2
β
m
)q
与一维单ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ子晶格格波的色散关系一致
3.3 质量相同两种原子形成一维双原子链，最近邻原子间 的力常数交错等于c和10c，令两种原子的质量相等，并且 最近邻间距是a/2，试求在k=0和k=π/a 处的ω(k)。并粗 略画出色散关系。本题模拟双原子分子晶体，如H2。 解：绿色标记的原子位于2n-1， 2n+1， 2n+3 …… 红色标记原子位于 2n， 2n+2， 2n+4 ……
2 j
=
2 kT Nm ω
2 j
1 = m∑α 2ω 2 cos2 (ω j t + nαq j + δ j ) j j 2 n
kT 1 2 αj = 2 Nm ω 2 j
=
1 mα 2ω 2 N j j 4
其中：M=ρL
所以，每个原子的平方平均位移：
2 μ n = ∑ μ nj = ∑ α 2 = j
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一维无限原子链 —— 每个原子质量m，平衡时原子间距a —— 原子之间的作用力 第n个原子离开 平衡位置的位移 第n个原子和第n＋1 个原子间的相对位移
第n个原子和第n＋1个原子间的距离
03_02_一维单原子链 —— 晶格振动与晶体的热学性质
平衡位置时，两个原子间的互作用势能
发生相对位移
后，相互作用势能
a
a
—— 只研究清楚第一布里渊区的晶格振动问题 —— 其它区域不能提供新的物理内容
03_02_一维单原子链 —— 晶格振动与晶体的热学性质
玻恩－卡门（Born-Karman）周期性边界条件 —— 一维单原子晶格看作无限长，所有原子是等价的，每个 原子的振动形式都一样 —— 实际的晶体为有限，形成的链不是无穷长，链两头的 原子不能用中间原子的运动方程来描述
2 4 sin 2 ( aq )
m
2
格波的波速
—— 波长的函数
—— 一维简单晶格中格波的色散关系，即振动频谱
格波的意义
连续介质波
波数 q 2
—— 格波和连续介质波具有完全类似的形式
—— 一个格波表示的是所有原子同时做频率为的振动
03_02_一维单原子链 —— 晶格振动与晶体的热学性质
n Aei(tnaq) —— 简谐近似下，格波是简谐平面波
§3.1 一维单原子链
绝热近似 —— 用一个均匀分布的负电荷产生的常量势场来 描述电子对离子运动的影响 —— 将电子的运动和离子的运动分开 晶格具有周期性，晶格的振动具有波的形式 —— 格波 格波的研究 —— 先计算原子之间的相互作用力 —— 根据牛顿定律写出原子运动方程，最后求解方程
03_02_一维单原子链 —— 晶格振动与晶体的热学性质
03_02_一维单原子链 —— 晶格振动与晶体的热学性质
N个原子头尾相接形成一个环链，保持了所有原子等价的 特点
N很大，原子运动 近似为直线运动
处理问题时要考虑 到环链的循环性
03_02_一维单原子链 —— 晶格振动与晶体的热学性质
设第n个原子的位移 再增加N个原子之后，第N+n个原子的位移 则有
动能的正则坐标表示 势能的正则坐标表示
——正交性
T 1
2
q
Q q 2
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势能
03_02_一维单原子链 —— 晶格振动与晶体的热学性质
03_02_一维单原子链 —— 晶格振动与晶体的热学性质
格波的色散关系
2 sin( aq )
m2
频率是波数的偶函数 色散关系曲线具有周期性
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色散关系
频率极小值 min 0 频率极大值 max 2 / m
—— q空间的周期
只有频率在
要求
q 2 h
Na
波矢的取值范围
—— h为整数
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N h N
2
2
波矢 q 2 h
Na
h — N个整数值，波矢q —— 取N个不同的分立值
—— 第一布里渊区包含N个状态
每个波矢在第一布里渊区占的线度 q 2
Na
第一布里渊区的线度 2
a
第一布里渊区状态数 2 / a N 2 / Na
之间的格波才能在晶体中传播，
其它频率的格波被强烈衰减
—— 一维单原子晶格看作成低通滤波器
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格波 —— 长波极限情况 当
VElasticq
—— 一维单原子格波的色散关系与连续 介质中弹性波的色散关系一致
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原子位移和简正坐标的关系 第q个格波引起第n个原子位移
第n个原子总的位移
令 原子坐标和简正坐标的变换
mn (1/ N )einaqQq
q
3N
mn anjQ j
j 1
—— 线性变换为么正变换
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动能和势能的形式 原子位移
为实数 ——
—— N项独立的模式，具有正交性
相邻原子之间的作用力
长波极限情况
格波传播速度 c a K m/a
连续介质弹性波相速度 VElastic K /
—— 伸长模量
—— 连续介质的弹性模量和介质密度
—— 长波极限下，一维单原子晶格格波可以看作是弹性波 —— 晶格可以看成是连续介质
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格波 —— 短波之间的位相差
—— 一个波长内包含许多原子，晶格看作是连续介质 短波极限下
—— 相邻两个原子振动的位相相反
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长波极限下 相邻两个原子振动位相差
短波极限下
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—— 格波的波形图 —— 向上的箭头代表 原子沿X轴向右振动 —— 向下的箭头代表 原子沿X轴向左振动
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格波方程 格波波长
格波波矢 格波相速度 不同原子间位相差 相邻原子的位相差
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格波 波矢的取值和布里渊区
—— 每一个原子运动方程类似
—— 方程的数目和原子数相同
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方程解和振动频率
设方程组的解
naq — 第n个原子振动位相因子
得到
2 4 sin2( aq)
m
2
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格波方程 n Aei(tnaq)
相邻原子位相差 —— 原子的振动状态相同 格波1(Red)波矢 相邻原子位相差 格波2(Green)波矢
2 4 sin 2 ( aq )
m
2
相邻原子的位相差
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—— 两种波矢的格波中， 原子的振动完全相同
相邻原子的位相差
波矢的取值 q —— 第一布里渊区
—— 常数
—— 平衡条件
简谐近似 —— 振动很微弱，势能展式中只保留到二阶项 相邻原子间的作用力
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原子的运动方程 —— 只考虑相邻原子的作用，第n个原子受到的作用力
第n个原子的运动方程
m
d 2n
dt 2
(n1 n1 2n )
(n 1, 2, 3 , N )