最新固体物理一维单原子链
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3.1 一维单原子链
一维无限原子链 —— 每个原子质量m，平衡时原子间距a —— 原子之间的作用力 第n个原子离开 平衡位置的位移 第n个原子和第n＋1 个原子间的相对位移
第n个原子和第n＋1个原子间的距离
03_02_一维单原子链 —— 晶格振动与晶体的热学性质
平衡位置时，两个原子间的互作用势能
发生相对位移
后，相互作用势能
a
a
—— 只研究清楚第一布里渊区的晶格振动问题 —— 其它区域不能提供新的物理内容
03_02_一维单原子链 —— 晶格振动与晶体的热学性质
玻恩－卡门（Born-Karman）周期性边界条件 —— 一维单原子晶格看作无限长，所有原子是等价的，每个 原子的振动形式都一样 —— 实际的晶体为有限，形成的链不是无穷长，链两头的 原子不能用中间原子的运动方程来描述
2 4 sin 2 ( aq )
m
2
格波的波速
—— 波长的函数
—— 一维简单晶格中格波的色散关系，即振动频谱
格波的意义
连续介质波
波数 q 2
—— 格波和连续介质波具有完全类似的形式
—— 一个格波表示的是所有原子同时做频率为的振动
03_02_一维单原子链 —— 晶格振动与晶体的热学性质
n Aei(tnaq) —— 简谐近似下，格波是简谐平面波
§3.1 一维单原子链
绝热近似 —— 用一个均匀分布的负电荷产生的常量势场来 描述电子对离子运动的影响 —— 将电子的运动和离子的运动分开 晶格具有周期性，晶格的振动具有波的形式 —— 格波 格波的研究 —— 先计算原子之间的相互作用力 —— 根据牛顿定律写出原子运动方程，最后求解方程
03_02_一维单原子链 —— 晶格振动与晶体的热学性质
03-02一维单原子链--(1)幻灯片
m2 当 q 0 sin(qa) qa
22
a / m q VEla q stic VElastic a /m
—— 格波的色散关系与连续介质中弹性波的一致
§3-2 一维单原子链 —— 晶格振动与晶体的热学性质
格波 —— 短波极限情况
q
a
2 /msin(aq)
2
max 2 /m
—— 格波的色散关系与连续介质中弹性波的不一致 —— 不同频率的格波传播速度不同
—— 格波的波形图 —— 向上的箭头代表 原子沿X轴向右振动 —— 向下的箭头代表 原子沿X轴向左振动
§3-2 一维单原子链 —— 晶格振动与晶体的热学性质
格波方程 格波波长
n Aei(tna)q
2 q
格波波矢 qv 2 nv
格波相速度
vp
q
不同原子间相位差 n'a qna (n q'n)aq
m2
a
频率极小值 min0
频率极大值 max 2 /m
0 q 02 /m
a
只有频率在 02 /m 之间的格波才能在晶体中传播，
其它频率的格波被强烈衰减 —— 低通滤波器
ωmax称为截止频率
§3-2 一维单原子链 —— 晶格振动与晶体的热学性质
格波 —— 长波极限情况 q0, a
2 sin(aq)
—— 实际的晶体为有限，形成的链不是无穷长，链两头 的原子不能用中间原子的运动方程来描述
§3-2 一维单原子链 —— 晶格振动与晶体的热学性质
—— N个原子头尾相接形成环链，保持所有原子等价特点 —— N很大，原子运动近似为直线运动 —— 处理问题时考虑
到环链的循环性
设第n个原子的位移 n
再增加N个原子之后
22
a / m q VEla q stic VElastic a /m
—— 格波的色散关系与连续介质中弹性波的一致
§3-2 一维单原子链 —— 晶格振动与晶体的热学性质
格波 —— 短波极限情况
q
a
2 /msin(aq)
2
max 2 /m
—— 格波的色散关系与连续介质中弹性波的不一致 —— 不同频率的格波传播速度不同
—— 格波的波形图 —— 向上的箭头代表 原子沿X轴向右振动 —— 向下的箭头代表 原子沿X轴向左振动
§3-2 一维单原子链 —— 晶格振动与晶体的热学性质
格波方程 格波波长
n Aei(tna)q
2 q
格波波矢 qv 2 nv
格波相速度
vp
q
不同原子间相位差 n'a qna (n q'n)aq
m2
a
频率极小值 min0
频率极大值 max 2 /m
0 q 02 /m
a
只有频率在 02 /m 之间的格波才能在晶体中传播，
其它频率的格波被强烈衰减 —— 低通滤波器
ωmax称为截止频率
§3-2 一维单原子链 —— 晶格振动与晶体的热学性质
格波 —— 长波极限情况 q0, a
2 sin(aq)
—— 实际的晶体为有限，形成的链不是无穷长，链两头 的原子不能用中间原子的运动方程来描述
§3-2 一维单原子链 —— 晶格振动与晶体的热学性质
—— N个原子头尾相接形成环链，保持所有原子等价特点 —— N很大，原子运动近似为直线运动 —— 处理问题时考虑
到环链的循环性
设第n个原子的位移 n
再增加N个原子之后
固体物理学第三章
非简谐项：
3 1 !(d d 3 U 3)r a 3 ..... .n 1 !.(d d .n U .n)r .a.n
简谐近似—— 振动很微弱，势能展式中只保留到二阶项。
U (r) U (a ) (d)U 1(d 2 U ) 2 da r 2 !d2ra U(r)U(a)1 2(dd2U 2r)a2
此处N=5,代入上式即得：
ei(5a)q 1 5aqn2（n为整数）
由于格波波矢取值范围：
q
a
a
则：5n5
22
故n可取－2，－1，0，1，2这五个值
相应波矢：4,2,0,2,4
5a 5a 5a 5a
由于，2 sinqa
m2
代入，β，m及q值 则得到五个频率依次为（以rad/sec为单位） 8.06×1013，4.99×1013，0，4.99×1013，8.06×1013
f du(d2u) d 2u 为恢复力常数
dr d2r
dr 2
周期边界条件
N 2 a l q l 为 整 N /2 h N 数 /2 且
3.1 一维单原子链的振动
3.1.1 一维单原子链的振动
设原子链为一维，则：原子间距为a; 第n个原子的平衡位置为rn=na 第n个原子离开平衡位置的位移为xn
格波的应用：
晶体的弹性力常数β约为15N/m，若一个原 子的质量为6×10-27Kg，则晶格振动的最大圆频 率为ωm=1014弧度/秒，最大频率γm约为1013Hz即 10THz。THz波段在微波与红外光之间。
不同材料的晶格振动频谱具有各自的特征， 可以作为这个材料的 “指纹”，THz谱技术作为 一种有效的无损探测方法，通过晶格振动频谱可 以鉴别和探测材料。
3.1.2 格波频率与波矢关系——色散关系
3 1 !(d d 3 U 3)r a 3 ..... .n 1 !.(d d .n U .n)r .a.n
简谐近似—— 振动很微弱，势能展式中只保留到二阶项。
U (r) U (a ) (d)U 1(d 2 U ) 2 da r 2 !d2ra U(r)U(a)1 2(dd2U 2r)a2
此处N=5,代入上式即得：
ei(5a)q 1 5aqn2（n为整数）
由于格波波矢取值范围：
q
a
a
则：5n5
22
故n可取－2，－1，0，1，2这五个值
相应波矢：4,2,0,2,4
5a 5a 5a 5a
由于，2 sinqa
m2
代入，β，m及q值 则得到五个频率依次为（以rad/sec为单位） 8.06×1013，4.99×1013，0，4.99×1013，8.06×1013
f du(d2u) d 2u 为恢复力常数
dr d2r
dr 2
周期边界条件
N 2 a l q l 为 整 N /2 h N 数 /2 且
3.1 一维单原子链的振动
3.1.1 一维单原子链的振动
设原子链为一维，则：原子间距为a; 第n个原子的平衡位置为rn=na 第n个原子离开平衡位置的位移为xn
格波的应用：
晶体的弹性力常数β约为15N/m，若一个原 子的质量为6×10-27Kg，则晶格振动的最大圆频 率为ωm=1014弧度/秒，最大频率γm约为1013Hz即 10THz。THz波段在微波与红外光之间。
不同材料的晶格振动频谱具有各自的特征， 可以作为这个材料的 “指纹”，THz谱技术作为 一种有效的无损探测方法，通过晶格振动频谱可 以鉴别和探测材料。
3.1.2 格波频率与波矢关系——色散关系
31一维单原子解析
3 – 1 一维单原子链
第三章 晶格振动与晶体的热学性质
第三章、晶格振动与晶体热学性质
主要内容
§3-1一维单原子晶格振动（掌握） • §3-2一维双原子晶格振动 • §3-3 三维晶格振动（理解） • §3-4 声子,声子谱的测定 • §3-6 晶格热容 • §3-7 非简谐效应
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主 要 内 容
• • • • • 3-1.1介绍一维单原子链体系及参数； 3-1.2体系恢复力与相对位移关系； 3-1.3写出运动方程(根据牛顿定律)； 3-1.4解出一维单原子链的色散关系； 3-1.5讨论一维单原子链晶格振动特点
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3 – 1 一维单原子链
第三章 晶格振动与晶体的热学性质
Fn1,n n1,n ( xn xn1 ) Fn1,n n1,n ( xn1 xn ) F Fn1,n Fn1,n n1,n ( xn xn1 ) [ n1,n ( xn1 xn )] F ( xn1 xn1 2 xn ) n ( xn1 xn1 2 xn ) m x
3 – 1 一维单原子链
第三章 晶格振动与晶体的热学性质
绝热近似
固体是由大量原子组成的，原子又由价电子和离子实 组成，所以固体实际上是由电子和离子实组成的多粒 子体系。由于电子之间、电子与离子实以及离子实之 间的相互作用，要严格求解这种复杂的多体总量是不 可能的。但注意到电子与离子实的质量相差很大，离 子实的运动速度比电子慢得多(3个数量级)可以近似 地把电子的运动与离子实的运动分开来考虑， 这种近似方法称为绝热近似-Born-Oppenheimer 近似-1927年
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3 – 1 一维单原子链
第三章 晶格振动与晶体的热学性质
第三章、晶格振动与晶体热学性质
主要内容
§3-1一维单原子晶格振动（掌握） • §3-2一维双原子晶格振动 • §3-3 三维晶格振动（理解） • §3-4 声子,声子谱的测定 • §3-6 晶格热容 • §3-7 非简谐效应
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主 要 内 容
• • • • • 3-1.1介绍一维单原子链体系及参数； 3-1.2体系恢复力与相对位移关系； 3-1.3写出运动方程(根据牛顿定律)； 3-1.4解出一维单原子链的色散关系； 3-1.5讨论一维单原子链晶格振动特点
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3 – 1 一维单原子链
第三章 晶格振动与晶体的热学性质
Fn1,n n1,n ( xn xn1 ) Fn1,n n1,n ( xn1 xn ) F Fn1,n Fn1,n n1,n ( xn xn1 ) [ n1,n ( xn1 xn )] F ( xn1 xn1 2 xn ) n ( xn1 xn1 2 xn ) m x
3 – 1 一维单原子链
第三章 晶格振动与晶体的热学性质
绝热近似
固体是由大量原子组成的，原子又由价电子和离子实 组成，所以固体实际上是由电子和离子实组成的多粒 子体系。由于电子之间、电子与离子实以及离子实之 间的相互作用，要严格求解这种复杂的多体总量是不 可能的。但注意到电子与离子实的质量相差很大，离 子实的运动速度比电子慢得多(3个数量级)可以近似 地把电子的运动与离子实的运动分开来考虑， 这种近似方法称为绝热近似-Born-Oppenheimer 近似-1927年
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3 – 1 一维单原子链
固体物理第7课晶格振动一维单原子链_OK
m
d 2xn dt2
(xn1
xn1 2xn )
xn Aei(tqna)
将xn代入上式若发现如果有下式成立
m 2 2 1 cos(qa) 4 sin 2 qa
2
(q) 2 sin qa 则满足振动方程
m 2 ω 和q的这种关系称为色散关系或色散曲线.
当
q
2
a
l： (q)min
0
：物质的线密度
16
短波
当q值较大时，即对于短波来说，晶体间隔相对于波长已 不具有连续性，晶体已不能作为连续介质来处理，则ω 是q的正弦函数．周期为２π/a。
17
3.1.4 周期性边界条件
波恩－卡门 周期性边界 条件
x1 xN 1 Aei(tqa) Aei[tq( N 1)a] eiqNa 1
波长不同，但是位移情况相同，即振动模式是相同的，
15
长波近似
(q) 2 sin qa
m 2
当q 0，即 时：
(q) q a (q) a 常数 即波速u 常数
m
q
m
此时波长比原子间隔大很多,此时格波可看成是在连续 介质中传播的弹性波
固体中纵波的波速：
u
Y 常数
Y：杨氏模量
的平面波，称之为格波。
10
比较
弹簧振子的简谐振动：
F
Kx
m
d2x dt 2
Kx
令2＝K
m
d2x dt 2
2x
0，其解为：x
Acos(t
)
（简谐振动）
连续介质中的简谐平面 波：
Ae i (t x )
A cos t
x u
Acost
x
3.1一维单原子
格波解：晶体中所有原子共同参与的一种频率相 同的振 动，不同原子间有振动位相差，这种振动 以波 的形式在整个晶体中传播，称为格波。
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第三章 晶格振动与晶体的热学性质
n Aei (t naq )
—— 格波的波形图
—— 简谐近似下，格波是简谐平面波
3 – 1 一维单原子链
第三章 晶格振动与晶体的热学性质
第三章、晶格振动与晶体热学性质
主要内容
§3-1一维单原子晶格振动（掌握） • §3-2一维双原子晶格振动 • §3-3 三维晶格振动（理解） • §3-4 声子,声子谱的测定 • §3-6 晶格热容 • §3-7 非简谐效应
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e
i[ 2n )]
=1
e cos x i sin x
ix
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3 – 1 一维单原子链
第三章 晶格振动与晶体的热学性质
1 2 sin aq m 2
两种波矢的格波中，原子的振动完 全相同
- 2a -
a
0
a
2 a
波矢的取值
波矢q的周期:
2 / a
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第三章 晶格振动与晶体的热学性质
基本概念
1、晶格振动：晶体中的原子、离子实际上不是静止 在晶格平衡位置上，而是围绕平衡位置作微振动，即为 晶格振动；
2、关于热学性质(热容、热膨胀、热传导)：对晶格 振动的研究是从解释固体的热学性质开始的。最初认为 固体比热容服从杜隆—珀替定律；1907年爱因斯坦提出 固体比热容的量子理论；1912年德拜提出固体的比热容 理论，把固体当成连续介质处理；此后，玻恩及其学派 建立与发展了比较系统的晶格振动理论。
固体物理一维单原子链ppt课件
方程解和振动频率
设方程组的解
naq — 第n个原子振动位相因子
得到
格波方程
格波的波速
—— 波长的函数
—— 一维简单晶格中格波的色散关系，即振动频谱 格波的意义
连续介质波
波数
—— 格波和连续介质波具有完全类似的形式 —— 一个格波表示的是所有原子同时做频率为的振动
—— 简谐近似下，格波是简谐平面波 —— 格波的波形图
&原子位移和简正坐标的关系: 第q个格波引起第n个原子位移
第n个原子总的位移
令
则:
原子坐标和简正坐标的线性变换
—— 线性变换为么正变换
Q简正坐标: 动能和势能的形式都有平方和的形式.
原子位移
为实数 ,则:
……(1)
—— N项独立的模式，具有正交性
……(2) ——正交性
证明1):
……(1)
同时可写为:
N个原子头尾相接形成一个环链，保持了所有原子等价的特点
N很大，原子运动近似 为直线运动 处理问题时要考虑到 环链的循环性
设第n个原子的位移 再增加N个原子之后，第N+n个原子的位移 则有 要求
—— h为整数
波矢的取值范围
波矢 h — N个整数值，波矢q —— 取N个不同的分立值 每个波矢在第一布里渊区占的线度
采用波恩－卡曼边界条件:
波矢q:
x1
2h1 N1a1b1
x1
h1 N1
x2
2h2 N 2 a2b2
x2
h2 N2
x3
2h3 N3a3b3
x3
h3 N3
波矢空间一个点占据的体积
11、一维原子链(第二章)
则第n个原子受到的力为：
un2
un1
un
un1
un 2
f n ( un un1 ) ( un un1 ) ( un1 un1 2un )
第n个原子的牛顿运动方程为：
一维原子键振动
d 2 xn m 2 ( un1 un1 2un )(n 1,2, N )(1) dt
第三章
晶体振动与晶体的热学性质
第2页
§3.1 一维晶格的振动
晶格振动的根本原因是原子间存在着相互作用力。对于
一对原子而言，可以用彼此间的相互作用势能来表示。
一维单原子链的振动是简单可解的问题，又能体现晶格
振动的基本特点。
把一些主要方法和结论推广到三维情况。
第三章
晶体振动与晶体的热学性质
第3页
一、一维简单晶格
为了简单起见，采用简谐近似:即原子间相互作用力类似于弹性力， 正比于原子间距离对平衡距离的偏差，原子振动犹如弹簧振子。 设两原子间的互作 用势为U（r）,这两原 子间的互作用力为：
a
dU f dr
一维原子键振动
一般条件下，原子作微小振动， Un＜＜a， 为了取近似，将U（r）在平衡位置a附近展成泰勒级数：
子有不同的振动位相，相邻两原子的振动位相差为aq。若aq改变
2
的整数倍，这两个格波所描述的所有原子的振动状态完全相同。
第三章
晶体振动与晶体的热学性质
第 13 页
格波的波速
在长波区域，波矢
q 2
qa qa sin 2 2
(q ) 2 m a q m
格波：晶体中所有原子共同参与的一种频率相同的振动，不 同原子间有振动相位差，这种振动以波的形式在整个晶体中