3-1一维单原子链振动解析
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3.1 一维单原子链
一维无限原子链 —— 每个原子质量m，平衡时原子间距a —— 原子之间的作用力 第n个原子离开 平衡位置的位移 第n个原子和第n＋1 个原子间的相对位移
第n个原子和第n＋1个原子间的距离
03_02_一维单原子链 —— 晶格振动与晶体的热学性质
平衡位置时，两个原子间的互作用势能
发生相对位移
后，相互作用势能
a
a
—— 只研究清楚第一布里渊区的晶格振动问题 —— 其它区域不能提供新的物理内容
03_02_一维单原子链 —— 晶格振动与晶体的热学性质
玻恩－卡门（Born-Karman）周期性边界条件 —— 一维单原子晶格看作无限长，所有原子是等价的，每个 原子的振动形式都一样 —— 实际的晶体为有限，形成的链不是无穷长，链两头的 原子不能用中间原子的运动方程来描述
2 4 sin 2 ( aq )
m
2
格波的波速
—— 波长的函数
—— 一维简单晶格中格波的色散关系，即振动频谱
格波的意义
连续介质波
波数 q 2
—— 格波和连续介质波具有完全类似的形式
—— 一个格波表示的是所有原子同时做频率为的振动
03_02_一维单原子链 —— 晶格振动与晶体的热学性质
n Aei(tnaq) —— 简谐近似下，格波是简谐平面波
§3.1 一维单原子链
绝热近似 —— 用一个均匀分布的负电荷产生的常量势场来 描述电子对离子运动的影响 —— 将电子的运动和离子的运动分开 晶格具有周期性，晶格的振动具有波的形式 —— 格波 格波的研究 —— 先计算原子之间的相互作用力 —— 根据牛顿定律写出原子运动方程，最后求解方程
03_02_一维单原子链 —— 晶格振动与晶体的热学性质
第三章 晶格的振动
i [ q ( 2 n2 ) at ]Be it Ae it
原胞内的不同原子以相同的振幅和位相做整体运动。
长声学波代表原胞质心的振动。
2）光频支 2 2 cos qaA ( 2 M ) B 0 两种原子的振幅比：
2 A 2 M2 ( )2 B 2 cos qa
玻恩—卡门边界条件： 晶格振动的波矢数等于晶体的原胞数。 晶格振动的频率数等于晶体的自由度数
（振动模式数）
2. 一维单原子链的波矢数
N M x N 1 x1 i q ( N 1) a t i qa t Ae Ae i qna t x Ae n ei qNa 1 Nqa 2l 2l q Na
光学波代表原胞中两个原子的相对运动。
三、玻恩—卡门边界条件 1. 玻恩—卡门假设和主要结果 a. 由N个原子构成的原子链为无限长的原子 链上的一段，这里N=mM m—每个原胞的原子数，M—原胞数。 b. 把这N个原子组成的一维原子链看成一个 闭合环，它包含有限数目的原子，但实际 上第N+1个原子就是第1个原子。 只要N足够大，圆环半径远远大于晶格常数就 局部看仍认为原子排列在一条直线上从而 得出结论。
0
U 1 2U 2 U ( x0 ) U ( x0 ) ( ) x0 x x0 ( 2 ) x0 x x0 ... x 2 x U 1 2U U ( x0 ) ( ) x0 ( 2 ) x0 2 ... x 2 x
2
mM
{(m M ) [m 2 M 2 2m M cos(2qa)] }
1 2
2. 振动方程及其试探解 类似于一维单原子链的讨论
3.1一维晶格振动
时，它实际代表2N个方程的联立方程组。具有下面的格波解： i t 2 na q
2 n Ae
2 n1 Bei[t ( 2 n1) aq]
2.色散关系
把上面两个解带入下列方程组：
m 2 n ( 2 n 1 2 n 1 2 2 n ) M 2 n 1 ( 2 n 2 n 2 2 2 n 1 )
..
2n n1 n1 n1 n1 2n
每个原子对应一个方程，若原子链有N个原子，则有N个方
程，上式实际上代表着N个联立的线性齐次方程。
下面将验证方程具有格波形式的解。给出试探解：
nq Aei (t naq )
其中ω，A为常数。
π π q a a
n n N
晶格振动波矢的数 目=晶体的原胞数
3.1.2 一维双原子链(复式格)的振动
1. 运动方程和解 (1) 模型:一维无限长原子链，可以看作是最简单的复式 晶格：每个原胞含有两个不同的原子P、Q，质量为m和M，且 m<M。相邻原子间距均为a，(晶格常量为2a )恢复力系数为。 2n-2 2n-1 2n P 2n+1 2n+2
第n-2个原子
第n-1个原子
第n个原子
第n+1个原子
第n+2个原子
a
μn-2
μn-1
μn
μn+1
μn+2
用…μn-1、 μn、 μn+1 …分别表示序号为… n-1、 n、 n+1 …原 子在t时刻偏离平衡位置的位移。 (2)振动方程和解 假设只有近邻原子间存在相互作用，r=a+δ。其中δ表示 对平衡位置a的偏离。 u（r）为原子间的互作用势能。
2 n Ae
2 n1 Bei[t ( 2 n1) aq]
2.色散关系
把上面两个解带入下列方程组：
m 2 n ( 2 n 1 2 n 1 2 2 n ) M 2 n 1 ( 2 n 2 n 2 2 2 n 1 )
..
2n n1 n1 n1 n1 2n
每个原子对应一个方程，若原子链有N个原子，则有N个方
程，上式实际上代表着N个联立的线性齐次方程。
下面将验证方程具有格波形式的解。给出试探解：
nq Aei (t naq )
其中ω，A为常数。
π π q a a
n n N
晶格振动波矢的数 目=晶体的原胞数
3.1.2 一维双原子链(复式格)的振动
1. 运动方程和解 (1) 模型:一维无限长原子链，可以看作是最简单的复式 晶格：每个原胞含有两个不同的原子P、Q，质量为m和M，且 m<M。相邻原子间距均为a，(晶格常量为2a )恢复力系数为。 2n-2 2n-1 2n P 2n+1 2n+2
第n-2个原子
第n-1个原子
第n个原子
第n+1个原子
第n+2个原子
a
μn-2
μn-1
μn
μn+1
μn+2
用…μn-1、 μn、 μn+1 …分别表示序号为… n-1、 n、 n+1 …原 子在t时刻偏离平衡位置的位移。 (2)振动方程和解 假设只有近邻原子间存在相互作用，r=a+δ。其中δ表示 对平衡位置a的偏离。 u（r）为原子间的互作用势能。
一维单原子链晶格振动解析步骤
一维单原子链晶格振动解析步骤一维单原子链模型是固体物理中的经典模型之一，用于描述晶体中原子的振动行为。
在这个模型中，原子由质量为m的核和劲度系数为K的弹性相互作用构成。
通过对一维单原子链的晶格振动进行分析，可以更好地理解固体中的声子模式和声子色散关系。
下面将介绍一维单原子链晶格振动解析步骤：第一步：建立模型首先，我们要建立一维单原子链的模型。
假设晶格常数为a，原子间距为a/2，一维晶格中的每个原子都沿着x轴定位。
原子间的相互作用由弹簧模型描述，即相邻原子间的相互作用劲度系数为K。
这个模型是一个简单的原子链模型，可以通过它来研究晶格振动的基本性质。
第二步：求解运动方程接下来，我们需要求解原子在这个一维单原子链中的运动方程。
假设第n个原子的位移为Un(t)，那么根据牛顿第二定律，可以得出该原子的运动方程为：m*Un’’(t) = -K*(Un(t+0) - 2*Un(t) + Un(t-0))上式中，Un’’(t)表示Un对时间的二阶导数，-K*(Un(t+0) -2*Un(t) + Un(t-0))表示受到的弹性相互作用力。
第三步：假设解的形式由于原子在一维单原子链中的振动属于谐振动问题，我们可以假设原子的位移满足解的形式为：Un(t) = An*exp(i*(k*n*a - ω*t))其中，An是振幅，k是波数，ω是角频率，n是原子的编号。
将这个解代入到运动方程中，可以得到关于角频率ω和波数k的关系式，即声子色散关系。
声子色散关系描述了声子的能量随波数变化的关系，是描述晶体中声子性质的重要工具。
第四步：得到声子色散关系将解的形式代入运动方程，我们可以得到关于角频率ω和波数k的关系式。
具体地，我们可以得到一维单原子链中的声子色散关系为：ω(k) = 2*sqrt(K/m)*|sin(ka/2)|声子色散关系描述了一维单原子链中的声子能量随波数变化的规律。
从这个关系式可以看出，一维单原子链中的声子有声学支和光学支两种振动模式，它们的能量随波数的变化方式不同。
3-1 一维单原子晶格的振动
(3-4)
即第n个原子的加速度不仅与Un有关，且与 Un-1,Un+1有关，这意味着原子运动之间的耦合, 由于对每一个原子都有一个类似的方程，n共可 取N个值，故该式实为N个方程组成的方程组， 可有N个解，而此时晶体的总自由度也为N。
五．解方程
设λ>>a, 相邻原子的相位差小―― 可把晶体看作 是连续媒质. na x a Δx U(x,t) U(x+Δx,t) Δx 为小量 Un(t)=U(na,t)
∴ qNa = 2πm（m=0,±1，±2．．．） 得（3－10）式
2 q m Na
（3－10）
结论：
1. 格波的波矢q不连续; 2. q点的分布均匀, 相邻q点的间 距为 2π ／(Νa); 3. λ＝2π／q =Na/ m
七、讨论
（Hale Waihona Puke ）格波由（3－8）表示的是一个格波，它是 简谐 行波，又称为简正格波，简正模式。格波 相速度vp（等相位面移动的速度） 设t1时刻，n1a处振动，某一确定的相 位面到t2 时刻传到n2a处，则
ω(q)= ω(q+Kh)
其中Kh为倒格矢。
倒格子平移对称性
（3－16）
由式（3－11）还可知： ω(q)= ω（－q）－―倒格子反演对称性 关于色散关系的倒格子平移对称性和反 演对称性的这两个结论对三维晶格也是 适用的。 说明：
1. q和－q对应相同的ω，但q和－q代表 了不同的格 波，与唯一性不 矛盾。 2. q的不唯一性是由晶体的不连续性所致。
把式（3－8）代入式（3－4）并用尤拉公 式整理得到 （3－11）式 2 4 2 2 qa (1 cos qa) sin m m 2
4 m
《固体物理基础》晶格振动与晶体的热学性质
一、三维简单格子
二、三维复式格子
三、第一布里渊区
四、周期性边界条件
◇一个原胞内有P
个不同原子，则
有3P个不同的振
动模式，其中3支 声学波。
◇具有N个原胞的 晶体中共有3PN个
振动模式，其中
3N个声学波， 3N(P-1)个光学波。
四、周期性边界条件 总结
§ 3.4 声子
声子：晶格振动中格波的能量量子
二、一维单原子链的振动
格波
二、一维单原子链的振动
色散关系
二、一维单原子链的振动
色散关系
二、一维单原子链的振动
第一布里渊区
二、一维单原子链的振动
第一布里渊区
二、一维单原子链的振动
第一布里渊区
二、一维单原子链的振动
周期性边界条件
玻恩—卡曼边界条件
二、一维单原子链的振动
周期性边界条件
即q有N个独立的取值—晶格中的原胞数第一布
◇非弹性X射线散射、非弹性中子散射、可见光 的非弹性散射。
§ 3.4 声子
§ 3.4 声子
90K下钠晶体沿三个方向的色散关系
§ 3.5 晶格热容
一、晶格振动的平均能量
热力学中，固体定容热容：
根据经典理论，每一个自由度的平均能量是kBT， kBT/2为平均动能，kBT/2为平均势能，若固体有
N个原子，总平均能量： 取N=1摩尔原子数,摩尔热容是：
二、一维单原子链的振动
一维单原子链的振动
二、一维单原子链的振动
简谐近似下的运动方程
二、一维单Hale Waihona Puke 子链的振动简谐近似下的运动方程
在简谐近似下，原子的相互作用像一个弹 簧振子。一维原子链是一个耦合谐振子，各原 子的振动相互关联传播，形成格波。
固体物理学第三章
非简谐项：
3 1 !(d d 3 U 3)r a 3 ..... .n 1 !.(d d .n U .n)r .a.n
简谐近似—— 振动很微弱，势能展式中只保留到二阶项。
U (r) U (a ) (d)U 1(d 2 U ) 2 da r 2 !d2ra U(r)U(a)1 2(dd2U 2r)a2
此处N=5,代入上式即得：
ei(5a)q 1 5aqn2（n为整数）
由于格波波矢取值范围：
q
a
a
则：5n5
22
故n可取－2，－1，0，1，2这五个值
相应波矢：4,2,0,2,4
5a 5a 5a 5a
由于，2 sinqa
m2
代入，β，m及q值 则得到五个频率依次为（以rad/sec为单位） 8.06×1013，4.99×1013，0，4.99×1013，8.06×1013
f du(d2u) d 2u 为恢复力常数
dr d2r
dr 2
周期边界条件
N 2 a l q l 为 整 N /2 h N 数 /2 且
3.1 一维单原子链的振动
3.1.1 一维单原子链的振动
设原子链为一维，则：原子间距为a; 第n个原子的平衡位置为rn=na 第n个原子离开平衡位置的位移为xn
格波的应用：
晶体的弹性力常数β约为15N/m，若一个原 子的质量为6×10-27Kg，则晶格振动的最大圆频 率为ωm=1014弧度/秒，最大频率γm约为1013Hz即 10THz。THz波段在微波与红外光之间。
不同材料的晶格振动频谱具有各自的特征， 可以作为这个材料的 “指纹”，THz谱技术作为 一种有效的无损探测方法，通过晶格振动频谱可 以鉴别和探测材料。
3.1.2 格波频率与波矢关系——色散关系
3 1 !(d d 3 U 3)r a 3 ..... .n 1 !.(d d .n U .n)r .a.n
简谐近似—— 振动很微弱，势能展式中只保留到二阶项。
U (r) U (a ) (d)U 1(d 2 U ) 2 da r 2 !d2ra U(r)U(a)1 2(dd2U 2r)a2
此处N=5,代入上式即得：
ei(5a)q 1 5aqn2（n为整数）
由于格波波矢取值范围：
q
a
a
则：5n5
22
故n可取－2，－1，0，1，2这五个值
相应波矢：4,2,0,2,4
5a 5a 5a 5a
由于，2 sinqa
m2
代入，β，m及q值 则得到五个频率依次为（以rad/sec为单位） 8.06×1013，4.99×1013，0，4.99×1013，8.06×1013
f du(d2u) d 2u 为恢复力常数
dr d2r
dr 2
周期边界条件
N 2 a l q l 为 整 N /2 h N 数 /2 且
3.1 一维单原子链的振动
3.1.1 一维单原子链的振动
设原子链为一维，则：原子间距为a; 第n个原子的平衡位置为rn=na 第n个原子离开平衡位置的位移为xn
格波的应用：
晶体的弹性力常数β约为15N/m，若一个原 子的质量为6×10-27Kg，则晶格振动的最大圆频 率为ωm=1014弧度/秒，最大频率γm约为1013Hz即 10THz。THz波段在微波与红外光之间。
不同材料的晶格振动频谱具有各自的特征， 可以作为这个材料的 “指纹”，THz谱技术作为 一种有效的无损探测方法，通过晶格振动频谱可 以鉴别和探测材料。
3.1.2 格波频率与波矢关系——色散关系
3.1一维单原子
格波解：晶体中所有原子共同参与的一种频率相 同的振 动，不同原子间有振动位相差，这种振动 以波 的形式在整个晶体中传播，称为格波。
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3 – 1 一维单原子链
第三章 晶格振动与晶体的热学性质
n Aei (t naq )
—— 格波的波形图
—— 简谐近似下，格波是简谐平面波
3 – 1 一维单原子链
第三章 晶格振动与晶体的热学性质
第三章、晶格振动与晶体热学性质
主要内容
§3-1一维单原子晶格振动（掌握） • §3-2一维双原子晶格振动 • §3-3 三维晶格振动（理解） • §3-4 声子,声子谱的测定 • §3-6 晶格热容 • §3-7 非简谐效应
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e
i[ 2n )]
=1
e cos x i sin x
ix
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3 – 1 一维单原子链
第三章 晶格振动与晶体的热学性质
1 2 sin aq m 2
两种波矢的格波中，原子的振动完 全相同
- 2a -
a
0
a
2 a
波矢的取值
波矢q的周期:
2 / a
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3 – 1 一维单原子链
第三章 晶格振动与晶体的热学性质
基本概念
1、晶格振动：晶体中的原子、离子实际上不是静止 在晶格平衡位置上，而是围绕平衡位置作微振动，即为 晶格振动；
2、关于热学性质(热容、热膨胀、热传导)：对晶格 振动的研究是从解释固体的热学性质开始的。最初认为 固体比热容服从杜隆—珀替定律；1907年爱因斯坦提出 固体比热容的量子理论；1912年德拜提出固体的比热容 理论，把固体当成连续介质处理；此后，玻恩及其学派 建立与发展了比较系统的晶格振动理论。
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——其它区域不能提供新的物理内容
1 2 sin aq m 2
-/a
9
第一Brillouin区
/(4m)
1/2
——两种波矢的格波中，原子的振动完全相同。 相邻原子的位相差取 aq
q
1.0
波矢取
First Brillouin
0.8 0.6 0.4 0.2 0.0
a a ——第一Brillouin区
q1
q2
——只研究第一Brillouin晶格振动问题 色散关系：
第n个原子的运动方程
2 un m 2 n 1 n 1 2n t
a
n-2 n-1
a
n
n+1
n+2
：力常数
—— 每一个原子运动方程类似 —— 方程的数目和原子数相同
5
运动方程的解
试解（格波方程） 带入运动方程
m Ae
2
un Ae naq — 第n个原子振动位相因子
强烈地影响着物质的热学性质、电学性质、光学性质、超导电性、 磁性、结构相变等物理性质。
杜隆－珀替经验规律
能量均分原理, 趋于热平衡时，每个自由度的平均(动能)能量为kBT/2。 简谐振子的平均能量为kBT[平均动能+平均势能](从运动方程得出) 对N个原子，共有3N个简正模式，在温度T平衡时，晶格振动贡献 的内能为 E 3Nk BT 1 mol晶体的定容比热 CV ,m 3Nk B 3N 0 k B 但实际上，低温下比热随温度的降低而降低。
绝热近似 用一个均匀分布的负电荷产生的常量势场来描述电子对离子运动的 影响。 —— 将电子的运动和离子的运动分开
晶格具有周期性，晶格的振动具有波的形式 —— 格波
格波的研究 —— 先计算原子之间的相互作用力
—— 根据牛顿定律写出原子运动方程，最后求解方程
3
一维单原子链运动
一维单原子链晶格周期为a，原子质量m，相对各自平衡位置的 位移分别为un 平衡位置时，两个原子间的互作用势能 U(a) 发生相对位移 = un–un-1后，相互作用势能U(r)= U(a+)
a
n-2 n-1
a
n
势能展式中保留到二阶——简谐近似
n+1
n+2
d 2U 2 dr a
：力常数
dU ? f dr 4
一维单原子链运动
只考虑最近邻原子间的相互作用:
第n个原子受力
n-2
n-1
n
n+1
n+2
f n n1 n1 2n
格波的波形图（格波意义2）
向上的箭头代表原子沿X轴正向振动
向下的箭头代表原子沿X轴负向振动
q的物理意义： 波的传播方向（即沿q的方向）上， naq表示相位差
7
格波物理意义
格波 ——格波解 晶体中所有原子共同参与的一种频率相同、振幅相等的振动，不 同原子间存在位相差，每一确定q的解代表波长为2/|q|的集体运 动，这种振动以波的形式在整个晶体中传播，称为格波。 格波波长： 2 / q 格波波矢： q 2 n
§3 晶格振动和热学性质
3 Crystal Vibrations and Thermal Properites
一维单原子链
一维双原子链
简正坐标
三维晶格振动 晶格比热 晶体的热力学函数
本章研究内容
晶格振动的研究 —— 晶体的热学性质，热运动是晶体宏观性质的 表现 。研究固体宏观性质和微观过程的重要基础，
2 dU 1 d U 2 U (r ) U (a ) 2 High items 2 dr a dr a
考虑到平衡条件
n-2
n-1
n
n+1
n+2
dU U (a) constant , 0 dr a
1 d 2U 2 1 2 U 2 2 dr a 2
un Ae
i t naq
波矢表示波数，方向表示波的传播方向。q取不同的值，相邻两原 子间的振动位相差不同，则晶格振动状态不同 不同原子间位相差： n ' aq naq (n ' n)aq 相邻原子的位相差： (n 1)aq naq aq
8
不同波长的格波
如果
q q
23 23 3 6.02 10 1.38 10 24.9 热膨胀、传导和晶格振动的非谐效应密切相关。
2
绝热近似
讨论晶体结构时，我们把晶体内的原子看作是处于自己的平衡位置 上固定不动的，但实际上，物质是在不断运动的，量子力学告诉我 们，即使达到绝对零度，仍具有零点能的振动。 它强烈地影响着物质的比热、热导、热膨胀、光反射等物理性质。
2 l a
l为整数，则 q 和 q' 描述同一晶格振动状态 例如 波长
2 5 2 2 q1 , q2 , q2 q1 2a 1 2a 2 a
1 4a, 2 a
5
4
格波1(Red)相邻原子位相差
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
aq1 / 2 格波2(Green)相邻原子位相差 aq2 2 / 2
w/(4/m)
1 2 sin aq m 2
1.0
First Brillouin
0.8
1/2
0.6 0.4 0.2 0.0
解得色散关系——波的频率-波矢关系 真空中光波 = cq，空气中声波 = vq 而格波的色散关系是非线性的。
-/a
0
q
/a
2/a
6
格波物理意义
格波 i t naq u Ae 简谐近似下，格波是简谐平面波 n 格波意义： 1. 对于确定的n：第n个原子的位移随时间作简谐振动 2. 对于确定时刻t：不同的原子有不同的振动位相
i t naq
i t naq
Ae
2 un m 2 n 1 n 1 2n t
i t naq iaq
Ae
i t naq iaq
2 Ae
i t naq
化简得到
m 2 eiaq eiaq 2 2 cos aq 1