3.2-一维双原子链
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一维双原子链色散关系的非线性拟合分析
一维双原子链色散关系的非线性拟合分析一维双原子链是固体物理学中一个重要的模型系统，它可以用来研究晶格振动、声子色散关系等现象。
对于一维双原子链的色散关系进行非线性拟合分析，可以帮助我们更好地理解系统的动力学性质，揭示其内在规律。
在本文中，我们将介绍一维双原子链的基本模型和色散关系，然后利用非线性拟合方法对其进行分析，并探讨其应用和意义。
一、一维双原子链的模型$H = \frac{1}{2} \sum_{n} m_1 (\frac{du_n}{dt})^2 +\frac{1}{2} \sum_{n} m_2 (\frac{dv_n}{dt})^2 + \frac{1}{2} K (\Delta u_n)^2 + \frac{1}{2} K (\Delta v_n)^2 + \frac{1}{2} K' (\Delta u_{n-1}-\Delta u_n)^2 + \frac{1}{2} K' (\Delta v_{n-1}-\Delta v_n)^2$其中，$u_n$和$v_n$分别表示第$n$个原子的位移，$m_1$和$m_2$分别为两种原子的质量，$K$和$K'$为弹簧常数，$\Delta u_n = u_n -u_{n-1}$为相邻原子之间的位移差。
通过求解以上哈密顿量的运动方程，可以得到一维双原子链的色散关系。
在实际的研究中，我们通常会通过实验或计算得到一维双原子链的色散关系数据。
为了更好地理解和描述这些数据，我们需要进行非线性拟合分析。
一般来说，我们可以通过最小二乘法来拟合色散关系的数据，找到最优的拟合曲线。
首先，我们需要选择一个适当的拟合函数。
对于一维双原子链的色散关系，通常可以采用简谐振动模型来拟合：$\omega(q) = \sqrt{\frac{2K}{m_1}} ，sin(\frac{qa}{2})，$其中，$q$为波数，$a$为晶格常数。
然后，我们可以将实验或计算得到的色散关系数据代入上述拟合函数中，通过最小二乘法来得到最优的拟合参数$K$和$m_1$。
高二物理竞赛课件一维双原子链(基元由两种原子组成)
是无意义的.因为在 z na 至z n 1a
之间根本就没有原子!
假设上方程的解为
u2n u2n,0 expi 2kna t , u2n 1 u2n 1,0 expi k 2n 1a t ,
u2n ,0 u2n 2,0 AM , u2n 1,0 u2n 1,0 Am .. 将以上所设的方程的解代入运动方程，可
动方程.因此,驻波不会沿z方向传播.群速
度为零,这表示驻波能量稳定！！！
●平移倒格矢 G
2l
a
l 取整),色散曲
线可以从第一布里渊区移到第一布里渊
区之外.但是，
k G
4D M
sin
k
G a
2
4D M
sin
k
2 a
2
l a
4D M
sin
ka
2l
2
4D M
sin
ka
2
k .
k k G 格波频率相同.
一维双原子链（基元由两种原 子组成）
一维双原子链（基元由两种原子组成）
晶格常数为a 2a.
运动方程为
M
2u 2n 2t
D u2n 1 2u2n
u2n 1 .
m
2u2n 1 2t
D u2n 2
2u2n 1
u2n .
A 0 处,波节；A 2E0 处,波腹.
sin t 与 sinkz t 不同,是z=0处振
即k
2l 1
a
2l
1
2a
,l
0,1,2,
l
0,k
a
2a
（. 第一布里渊边界）
2
D
1
m
1
M
D
之间根本就没有原子!
假设上方程的解为
u2n u2n,0 expi 2kna t , u2n 1 u2n 1,0 expi k 2n 1a t ,
u2n ,0 u2n 2,0 AM , u2n 1,0 u2n 1,0 Am .. 将以上所设的方程的解代入运动方程，可
动方程.因此,驻波不会沿z方向传播.群速
度为零,这表示驻波能量稳定！！！
●平移倒格矢 G
2l
a
l 取整),色散曲
线可以从第一布里渊区移到第一布里渊
区之外.但是，
k G
4D M
sin
k
G a
2
4D M
sin
k
2 a
2
l a
4D M
sin
ka
2l
2
4D M
sin
ka
2
k .
k k G 格波频率相同.
一维双原子链（基元由两种原 子组成）
一维双原子链（基元由两种原子组成）
晶格常数为a 2a.
运动方程为
M
2u 2n 2t
D u2n 1 2u2n
u2n 1 .
m
2u2n 1 2t
D u2n 2
2u2n 1
u2n .
A 0 处,波节；A 2E0 处,波腹.
sin t 与 sinkz t 不同,是z=0处振
即k
2l 1
a
2l
1
2a
,l
0,1,2,
l
0,k
a
2a
（. 第一布里渊边界）
2
D
1
m
1
M
D
一维双原子链
—— ω 与q之间存在着两 种不同的色散关系 —— 一维复式格子存在 两种独立的格波
2 − 2β B mω + —— 光学波 ( )+ = − A 2β cos aq
2 B mω − − 2β —— 声学波 ( )− = − A 2 β cos aq
05/ 20
q的取值 M和 m原子振动方程 相邻原胞之间位相差 波矢 q的值
2 ω− =β
(m + M ) 4mM {1 − [1 − sin 2 aq ]2 } mM ( m + M )2
1 (m + M ) 4mM {1 + [1 − sin 2 aq ] 2 } mM (m + M )2
1
2 ω+ =β
—— A、 B有非零的解，系数行列式为零
1
2 ω− =β
1 (m + M ) 4mM {1 − [1 − sin 2 aq] 2 } mM (m + M )2
33一维双原子链声学波和光学波一维复式格子的情形一维无限长链两种原子m和m构成一维复式格子m原子位于2n12n12n3同种原子间的距离2a晶格常数系统有n个0120n个原胞有2n个独立的方程两种原子振动的振幅a和b一般来说是不同的第2n1个m原子的方程第2n个m原子的方程方程解的形式iaqiaqiaqiaqab有非零的解系数行列式为零第2n1个m原子第2n个m原子方程的解aqaqmmaqmmmmaqmmmmaqmm与q之间存在着两种不同的色散关系一维复式格子存在两种独立的格波光学波声学波0520mmaqmmmmaqmm光学波声学波mmaqmm相邻原胞之间位相差aqm和m原子振动方程q的取值布里渊区大小2aq第一布里渊区允许的q值的数目晶体中的原胞数目对应一个q有两支格波
最新固体物理一维双原子链课件PPT
1 2
1 2
2122 m mM M m m M M m m22 M M22 22m mM M ccoo22ssqq(()a)a1212
两 种 色 散 关系12 qq::声 光学 学波 波 设M m， 则 ：
1min 0 1max
2
M
2min
2max
2
m
2(m M)
mM
3.2.3 声学波和光学波
找和明确与主要话题（主概念）相对应的谓语动词或总结性的词语。
• 3．将几个词语连缀成句(主谓结构)。话题和谓语等词句选定后，我们 可将几个词语稍稍连缀成一个谓结构的句子。
• 4．筛选，提炼出关键词。最后，我们把连缀成的句子放入文段中检验， 如能基本表达出文段的中心内容，即可筛选并敲定关键词。
• 二：寻找中心句入手具体阐释：把握语段的中心， 关键是找到中心句。中心句往往是语段中表示中 心语义的句子，是语段的核心。中心句有时是起 始句，有时是终止句，有时又可能在展开部分。 这些句子，或提起下文，或总结上文，或承上启 下，我们要特别关注。在筛选时，我们可抓住这 个句子，顺藤摸瓜找到相关关键词。
你高到云层时，还会想到泥土的气息；也愿你低到 泥土中，还会留有云层的味道。
• 检测问题2： • 材料里对象是什么？ • 关键词、关键句是什么？
•
• 检测2答案：对象是人生处境的“高与低”
• 关键词、句是：词：云层和泥土；句子： 愿你高到云层时，还会想到泥土的气息； 也愿你低到泥土中，还会留有云层的味道.
•
• 找到主要对象和关键词句的方法：
• 一：从语段中心话题入手 • 解题基本流程：明确话题—寻找谓语—连缀成句—提取关键词 • 1.明确陈述的话题（对象）。任何语段，无论是记叙、议论或说明，它
一维双原子链色散关系
一维双原子链色散关系
一维双原子链是指由两种不同原子组成的周期性排列的链状结构。
考虑这个链的色散关系，可以通过考虑光子在这个链上的传播来推导。
我们可以定义一个周期长度为a的单元胞，其中含有两个原子
A和B。
假设原子A和B分别具有质量mA和mB，以及势能
函数V(x)，其中x表示原子的位置。
根据牛顿第二定律和胡克定律，可以得到链中原子A和B的
运动方程。
假设原子A和B的位移分别为uA(x, t)和uB(x, t)，则有以下运动方程：
mA∂²uA(x, t)/∂t² = - ∂V(x)/∂uA - ∂V(x)/∂uB + K(uB(x, t) - uA(x, t - a))
mB∂²uB(x, t)/∂t² = - ∂V(x)/∂uB - ∂V(x)/∂uA + K(uA(x, t) - uB(x, t - a))
其中K为劲度系数，表示原子之间的相互作用强度。
为了求解这个运动方程，我们可以假设原子位移的时间和空间依赖关系为：
uA(x, t) = A exp(i(qx - ωt))
uB(x, t) = B exp(i(qx - ωt))
将这些位移形式代入运动方程，并解出A、B和ω之间的关系，就得到了这个双原子链的色散关系。
色散关系描述了光子在固体中传播的频率与波矢之间的关系。
对于一维双原子链，色散关系可以通过求解运动方程得到，具体形式会依赖于势能函数V(x)的具体形式以及链的结构。
固体物理学第三章
非简谐项：
3 1 !(d d 3 U 3)r a 3 ..... .n 1 !.(d d .n U .n)r .a.n
简谐近似—— 振动很微弱，势能展式中只保留到二阶项。
U (r) U (a ) (d)U 1(d 2 U ) 2 da r 2 !d2ra U(r)U(a)1 2(dd2U 2r)a2
此处N=5,代入上式即得：
ei(5a)q 1 5aqn2（n为整数）
由于格波波矢取值范围：
q
a
a
则：5n5
22
故n可取－2，－1，0，1，2这五个值
相应波矢：4,2,0,2,4
5a 5a 5a 5a
由于，2 sinqa
m2
代入，β，m及q值 则得到五个频率依次为（以rad/sec为单位） 8.06×1013，4.99×1013，0，4.99×1013，8.06×1013
f du(d2u) d 2u 为恢复力常数
dr d2r
dr 2
周期边界条件
N 2 a l q l 为 整 N /2 h N 数 /2 且
3.1 一维单原子链的振动
3.1.1 一维单原子链的振动
设原子链为一维，则：原子间距为a; 第n个原子的平衡位置为rn=na 第n个原子离开平衡位置的位移为xn
格波的应用：
晶体的弹性力常数β约为15N/m，若一个原 子的质量为6×10-27Kg，则晶格振动的最大圆频 率为ωm=1014弧度/秒，最大频率γm约为1013Hz即 10THz。THz波段在微波与红外光之间。
不同材料的晶格振动频谱具有各自的特征， 可以作为这个材料的 “指纹”，THz谱技术作为 一种有效的无损探测方法，通过晶格振动频谱可 以鉴别和探测材料。
3.1.2 格波频率与波矢关系——色散关系
3 1 !(d d 3 U 3)r a 3 ..... .n 1 !.(d d .n U .n)r .a.n
简谐近似—— 振动很微弱，势能展式中只保留到二阶项。
U (r) U (a ) (d)U 1(d 2 U ) 2 da r 2 !d2ra U(r)U(a)1 2(dd2U 2r)a2
此处N=5,代入上式即得：
ei(5a)q 1 5aqn2（n为整数）
由于格波波矢取值范围：
q
a
a
则：5n5
22
故n可取－2，－1，0，1，2这五个值
相应波矢：4,2,0,2,4
5a 5a 5a 5a
由于，2 sinqa
m2
代入，β，m及q值 则得到五个频率依次为（以rad/sec为单位） 8.06×1013，4.99×1013，0，4.99×1013，8.06×1013
f du(d2u) d 2u 为恢复力常数
dr d2r
dr 2
周期边界条件
N 2 a l q l 为 整 N /2 h N 数 /2 且
3.1 一维单原子链的振动
3.1.1 一维单原子链的振动
设原子链为一维，则：原子间距为a; 第n个原子的平衡位置为rn=na 第n个原子离开平衡位置的位移为xn
格波的应用：
晶体的弹性力常数β约为15N/m，若一个原 子的质量为6×10-27Kg，则晶格振动的最大圆频 率为ωm=1014弧度/秒，最大频率γm约为1013Hz即 10THz。THz波段在微波与红外光之间。
不同材料的晶格振动频谱具有各自的特征， 可以作为这个材料的 “指纹”，THz谱技术作为 一种有效的无损探测方法，通过晶格振动频谱可 以鉴别和探测材料。
3.1.2 格波频率与波矢关系——色散关系
半导体物理：2.2 一维双原子链(复式格)的振动
a
π q π
2a
2a
q 0时 :
o max
2(m M )
mM
2
Amin 0
折合质量
2
2
O
m
A
2
M
π
o
πq
2a
2a
q
π 时: 2a
o min
2
m
A max
2
M
这部分频率通 常对应红外
(2)波矢q的取值
由玻恩----卡门边界条件，设晶体有N个原胞，则：
x2n x2(n N ) ,
A e 2 i t ( n 1)aq
将试探解代入方程得:
M 2 A 1( A B) 2 ( A Beiaq ) m 2B 2 (B Aeiaq ) 1(B A)
1 2 M 2
A
1
eiaq 2
B0
1
eiaq
2
A
2 1 m 2
B0
1 2 M 2 1 2eiaq
x2n-2
x2n-1
x2n
x2n+1
x2n+2
(2)方程和解
m
..
xn
nk x n
xk
k
若只考虑最近邻原子的相互作用，则有：
..
M x 2n x2n x2n1 x 2n x2n1
x2n1 x2n1 2 x2n
..
x m 2n1 x2n1 x2n2 x 2n1 x2n
xn*(t) xn(t)
Qq(t) Qq*(t)
则：
T
1 m
2n
.
x
n
2
1
2q
.
Qq
2
π q π
2a
2a
q 0时 :
o max
2(m M )
mM
2
Amin 0
折合质量
2
2
O
m
A
2
M
π
o
πq
2a
2a
q
π 时: 2a
o min
2
m
A max
2
M
这部分频率通 常对应红外
(2)波矢q的取值
由玻恩----卡门边界条件，设晶体有N个原胞，则：
x2n x2(n N ) ,
A e 2 i t ( n 1)aq
将试探解代入方程得:
M 2 A 1( A B) 2 ( A Beiaq ) m 2B 2 (B Aeiaq ) 1(B A)
1 2 M 2
A
1
eiaq 2
B0
1
eiaq
2
A
2 1 m 2
B0
1 2 M 2 1 2eiaq
x2n-2
x2n-1
x2n
x2n+1
x2n+2
(2)方程和解
m
..
xn
nk x n
xk
k
若只考虑最近邻原子的相互作用，则有：
..
M x 2n x2n x2n1 x 2n x2n1
x2n1 x2n1 2 x2n
..
x m 2n1 x2n1 x2n2 x 2n1 x2n
xn*(t) xn(t)
Qq(t) Qq*(t)
则：
T
1 m
2n
.
x
n
2
1
2q
.
2
固体物理-一维双原子链 声学波和光学波
的声子所用的
对应电磁波的能量和波长
EO max
0.442 eV
2.8 m
E v 2 2c T
—— 要激发的声子所用的电磁波波长在近红外线波段 （Near Infrared）(NIR)
1 2
)i
本征态函数 ni (Qi )
i
exp(
2
2
)
H
ni
(
)
m d 2n
dt 2
(n1 n1 2n )
(n 1, 2, 3 , N )
得到
2 4 sin2( aq)
m
2
§3.3 一维双原子链 声学波和光学波 一维复式格子的情形 —— 一维无限长链 —— 两种原子m和M _( M > m) ____ 构成一维复式格子 —— M原子位于2n-1， 2n+1， 2n+3 …… —— m原子位于2n， 2n+2， 2n+4 …… —— 同种原子间的距离2a____晶格常数
4) 如果用电磁波激发光学波，要激发的声子所用的电磁波
波长在什么波段？
1) 声学波的最大频率
A max
3 1014
rad / s
光学波的最大频率
O max
5
2
M
6.7 1014
rad / s
光学波的最小频率
O min
2
m
6 1014 rad / s
2）相应声子的能量
EA max
0.198 eV
EO max
0.442 eV
EO min
0.396 eV
3) 某一特定谐振子具有激发能
的几率
根据归一化条件
归一化常数
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以上的结论，可以用声子的“语言”来表述
声子是指格波的量子, 它的能量等于 ħωq 一个格波，也就是一种振动模，称为一种声子
当这种振动模处于 nq
1 2
本q 征态时,
称有 nq 个声子, nq 为声子数
当电子(或光子)与晶格振动相互作用, 交换能量以 ħωq 为单元, 若电子从晶格获得 ħωq 能量, 称为吸收一个
anq
1 einaq N
Q(q) 是否确实是简正坐标，需要证明经过 变换后，动能和势能都具有平方和的形式
证明需要利用两个关系式
Q*(q) Q(q)
1
N
N 1
eina(qq ')
n0
qq'
第一个关系式可以从原子位移为实数的条件得到
n
写成 n
1
Q(q)einaq
Nm q
取复共轭 n*
模型 运动方程
试探解
色散关系
波矢q范围 B--K条件
波矢q取值
一维无限长原子链，m，a，
n-2 n-1 n mm
n+1 n+2
a
..
m xn xn xn1 xn xn1
x n A e i t naq
2 sin aq
m
2
2 m
πq π
a
a
xn xnN
π a
o
πa
晶格振动波矢的数 目=晶体的原胞数
也可以写出实数形式的简正坐标，令
Q(q) 1 a(q) ib(q)
2
a(q) 和 b(q) 分别表 示其实部和虚部
Q*(q) Q(q) 1 a(q) ib(q)
2
代回到动能和势能的表达式中得
T
1 2
q0
a2 (q)
b2 (q)
U
1 2
q2
q0
a2 (q)
b2 (q)
可见 a(q)，b(q) 即为实数形式的简正坐标
短波极限
可以证明，q=/2a时，在声学支格波上，质 量为m的轻原子保持不动；在光学支格波上，质 量为M的重原子保持不动。
q π 2a
声学波
q π 2a
光学波
§3-3 一维双原子链 小结
色散关系分为两支, 一个 q 对应两个 ω
2
mM mM
1
1
4mM (m M )2
sin2
aq
1/
2
一维双原子链的布里渊区
看作连续介质时的弹性波, 这也就是为什么称 ω－ 支 称为声学波的原因
对于长声学波, 当 q→0 时, ω－→0. 当 q 很小时, 因此
B A
1
B A
m2 2 2 cos aq
表明在长声学波时，原胞中两种原子的运 动是完全一致的，振幅和位相都没有差别
长声学波，相邻原子的位移相同，原胞内的不同 原子以相同的振幅和位相作整体运动。因此，可以说 ，长声学波代表了原胞质心的运动。
2. 简正坐标
上述根据牛顿定理用直接求解运动方程的方法, 求链的振动模, 与根据分析力学原理, 引入简正 坐标是等效的。这里讨论二者之间的关系
前面得到的本征解
A ei(qtnaq)
nq
q
表示第 q 个格波引起第 n 个原子的位移
原子的总位移为所有格波的叠加
变换一下形式
n
nq
A ei(qtnaq) q
1
Q(q)einaq
Nm q
1
Q* (q)einaq
Nm q
μn 是实数
n
* n
可知 Q*(q) Q(q)
第二个关系式实际上是线性变换系数的正交条件
N 1
1 e ina(qq ') N n0
qq '
q = q’时, 式子两边都等于 1, 显然是正确的 q ≠ q’ 时, 令 q’－q = s, 注意到 q h 2, h 为整数
4mM (m M
)2
sin 2
aq
4mM (m M
)2
(aq)2
1
将根式对 q² 展开
2
mM mM
1
1
4mM (m M )2
sin2
aq
1/
2
mM mM
1
1
1 2
4mM (m M )2
(aq)2
2
mM
(aq)2
2
2
mM
(aq)2
或
a
2 q
mM
可见声学波频率正比于波数, 长声学波就是把一维链
子振动方向是相反的。 动方向是相同的。
q 0 光学波 q 0 声学波
动画：晶体中的格波.
离子晶体中的长光学波有特别重要的作用, 因为，不同离子间的相对振动产生一定的 电偶极矩, 从而可以和电磁波相互作用
具体分析证明对于单声子过程的一级谱，电磁 波只和波数相同的格波相互作用，如果它们具 有相同的频率就可以发生共振
加起来共有 2N 个不同的格波， 数目正好等于链的自由度, 这表明已得到
链的全部振动模
2. 声学波和光学波
2
2 属于ω＋ 的格波称为光学波
m 属于ω－ 的格波称为光学波
2
q≈0 的长波在许多实际问
M
题中具有特别重要的作用
光学波和声学波的命名也 主要是由于它们在长波极
限的性质
声学波的长波极限 当 q→0时, ω－ →0. 当 q 很小时,
可以看作是以 A、B 为未知数的线性齐次方程
m2 2 A 2 cos aqB 0
2 cos aqA M2 2 B 0
它的有解条件是
m2 2 2 cos aq 2 cos aq M2 2
mM4 2 (m M )2 4 2 sin2 aq 0
可以看成是决定 ω2 的方程, 从而得到两个 ω2 值
'
q'
1 2
qq '
Q(q)Q(q
')
1 N
eian ( q q ')
n
1 2
Q(q)Q(q) q
1 Q(q)Q*(q) 1
2
Q(q)
2q
2q
U 1
2
n
(n n1)2
势能
1 2
n
1
Nm
q
Q(q)einaq
1 eiaq
Q(q ')einaq' 1 eiaq'
q'
Q(q) 1 eiaq 2m qq'
Q(q ') 1 eiaq'
1 N
n
eina(qq
')
Q(q) 1 eiaq Q(q) 1 eiaq 2m q
q
Q(q)Q*
(q)
2m
2
2
cos
aq
1
2
q
q2Q(q)Q* (q)
1 2
q
q2 Q(q) 2
因此 Q(q) 确实是系统复数形式的简正坐标
mA MB 0
光学波的长波极限
对于光学波, 两种原子振动有完全相反的位相, 长 光学波的极限实际上是 P 和 Q 两个格子的相对振 动, 振动中保持他们的质心不变
长光学波，原胞的质心保持不动。所以定性地说 ，长光学波代表原胞中两个原子的相对振动。
光学波
声学波
光学支格波，相邻原
声学支格波，相邻原子振
2
2 2
mM mM
1
1
4mM (m M )2
sin2
1/ aq
2
带回到方程组，可求出相应的 A 和 B 的解
B A
m2 2 2 cos aq
B A
m2 2 2 cos aq
Aei[t(2na)q] 2n
Be 2n1
i[t (2n1)aq]
由格波解可知相邻原胞之间（相邻原胞 内的同种原 子如P 原子）的位相差为 2aq, (原胞大小为 2a ) 。
仍采用周期性边界条件
N(2aq) 2 h, (h 整数） 即
q h 2
2Na
由于 q 的取值范围是由 －π/2a 到 π/2a , 所以上面 的 h 只能取由–N/2 到 N/2, 一共有 N 个不同取值
所以， 由 N 个原胞组成的一维双原子链
q 可以取 N 个不同的值， 每个 q 对应两个解，
程组
这个方程组有下列形式的格波解
Aei[t(2na)q] 2n
Be 2n1
i[t (2n1)aq]
代入到运动方程得到
m2 A (eiaq eiaq )B 2 A m2B (eiaq eiaq ) A 2 B
方程与 n 无关, 表明所有联立方程对 于格波形式的解都归结为同一对方程
声子, 若电子给晶格 ħωq 能量, 称为发射一个声子
利用声子的“语言”来描述晶格振动不仅可 以使表述简化, 而且有深刻的理论意义
声子不是真实的粒子，称为“准粒子”，它 反映的是晶格原子集体运动状态的激发单元
多体系统集体运动的激发单元，常称为元激发
在固体中有很多种类型的元激发, 处理这些元激发 的理论方法是相类似的, 声子是一种典型的元激发
光学波的长波极限 当 q→0时, 频率趋于下列有限值
2
mM
m M
2
mM mM
1
1
4mM (m M )2
sin2
aq
1/
2
m M 2
mM
得到
B A
m M
mA os aq
2m m M
mM
2
2
m
M M
1
m M
B A
m M