3-2一维单原子链
3.1 一维单原子链
一维无限原子链 —— 每个原子质量m，平衡时原子间距a —— 原子之间的作用力 第n个原子离开 平衡位置的位移 第n个原子和第n＋1 个原子间的相对位移
第n个原子和第n＋1个原子间的距离
03_02_一维单原子链 —— 晶格振动与晶体的热学性质
平衡位置时，两个原子间的互作用势能
发生相对位移
后，相互作用势能
a
a
—— 只研究清楚第一布里渊区的晶格振动问题 —— 其它区域不能提供新的物理内容
03_02_一维单原子链 —— 晶格振动与晶体的热学性质
玻恩－卡门（Born-Karman）周期性边界条件 —— 一维单原子晶格看作无限长，所有原子是等价的，每个 原子的振动形式都一样 —— 实际的晶体为有限，形成的链不是无穷长，链两头的 原子不能用中间原子的运动方程来描述
2 4 sin 2 ( aq )
m
2
格波的波速
—— 波长的函数
—— 一维简单晶格中格波的色散关系，即振动频谱
格波的意义
连续介质波
波数 q 2
—— 格波和连续介质波具有完全类似的形式
—— 一个格波表示的是所有原子同时做频率为的振动
03_02_一维单原子链 —— 晶格振动与晶体的热学性质
n Aei(tnaq) —— 简谐近似下，格波是简谐平面波
§3.1 一维单原子链
绝热近似 —— 用一个均匀分布的负电荷产生的常量势场来 描述电子对离子运动的影响 —— 将电子的运动和离子的运动分开 晶格具有周期性，晶格的振动具有波的形式 —— 格波 格波的研究 —— 先计算原子之间的相互作用力 —— 根据牛顿定律写出原子运动方程，最后求解方程
03_02_一维单原子链 —— 晶格振动与晶体的热学性质
03-02一维单原子链--(1)幻灯片
22
a / m q VEla q stic VElastic a /m
—— 格波的色散关系与连续介质中弹性波的一致
§3-2 一维单原子链 —— 晶格振动与晶体的热学性质
格波 —— 短波极限情况
q
a
2 /msin(aq)
2
max 2 /m
—— 格波的色散关系与连续介质中弹性波的不一致 —— 不同频率的格波传播速度不同
—— 格波的波形图 —— 向上的箭头代表 原子沿X轴向右振动 —— 向下的箭头代表 原子沿X轴向左振动
§3-2 一维单原子链 —— 晶格振动与晶体的热学性质
格波方程 格波波长
n Aei(tna)q
2 q
格波波矢 qv 2 nv
格波相速度
vp
q
不同原子间相位差 n'a qna (n q'n)aq
m2
a
频率极小值 min0
频率极大值 max 2 /m
0 q 02 /m
a
只有频率在 02 /m 之间的格波才能在晶体中传播，
其它频率的格波被强烈衰减 —— 低通滤波器
ωmax称为截止频率
§3-2 一维单原子链 —— 晶格振动与晶体的热学性质
格波 —— 长波极限情况 q0, a
2 sin(aq)
—— 实际的晶体为有限，形成的链不是无穷长，链两头 的原子不能用中间原子的运动方程来描述
§3-2 一维单原子链 —— 晶格振动与晶体的热学性质
—— N个原子头尾相接形成环链，保持所有原子等价特点 —— N很大，原子运动近似为直线运动 —— 处理问题时考虑
到环链的循环性
设第n个原子的位移 n
再增加N个原子之后
一维单原子链色散关系
一维单原子链色散关系
一维单原子链色散关系：
1、什么是一维单原子链色散关系？
一维单原子链色散关系是在一维晶体中，由相互连接的单原子链构成的量子力学模型。
它是一种解释物理现象的理论模型。
这种模型通过一维的单原子链的局部性，分析描述物理事件的过程变化，并对单原子链的扩散作用建立一种零级理论。
2、一维单原子链色散关系的用途
一维单原子链色散关系可以帮助我们研究一维晶体中的物质传输。
它能够揭示物理现象当中的各种动力学特性，比如材料的热阻和黏度，分析能帮助我们更好的理解物质的变化和性质，对材料的制备和应用都有一定的帮助作用。
3、一维单原子链色散关系的应用
一维单原子链色散关系可以应用于电子传导、载波传导、热传导、磁学和开关器件等领域。
例如，在芯片出现故障时，可以利用这种模型来分析发生故障的原因，借助这种模型来实现对电路板的修复和测
试。
同样，磁记录器也可以利用一维单原子链色散关系来调整自身的工作性能，提高记录的质量和效率。
4、一维单原子链色散关系的局限性
一维单原子链色散关系的局限性主要在于它只适用于一维晶体结构，无法用于模拟多原子晶体中的复杂物理现象。
另外，由于晶体表面厚度的影响，从某些特定角度来看，色散关系也有限制性，不能描述表面效应的精细结构。
固体物理基础第3章-晶格振动与晶体的热学性质
3-2 一维单原子链模型
格波的色散关系 4 2 2 aq sin ( )
m 2 • ω取正值，则有 (3)
(q)
aq 2 sin( ) m 2 • 频率是波数的偶函数
• 色散关系曲线具有周期性， 仅取简约布里渊区的结果即可 • 由正弦函数的性质可知，只有满足 0 2 / m 的格波 才能在一维单原子链晶体中传播，其它频率的格波将被强
原子n和原子n+1间的距离
非平衡位置
原子n和原子n+1间相对位移
a n1 n
n1 n
3-2 一维单原子链模型
• 忽略高阶项，简谐近似考虑原子 振动，相邻原子间相互作用势能 1 d 2v v(a ) ( 2 ) a 2 2 dr • 相邻原子间作用力 dv d 2v f , ( 2 )a d dr • 只考虑相邻原子的作用，第n个原 子受到的作用力
• 连续介质中的波（如声波）可表示为 Ae ，则可看出 • 格波和连续介质波具有完全类似的形式 • 一个格波表示的是所有原子同时做频率为ω的振动 • 格波与连续介质波的主要区别在于(2)式中，aq取值任意加减 2π的整数倍对所有原子的振动没有影响，所以可将波数q取值 限制为 q a a
V
O
a
r
• 第n个原子的运动方程
(n1 n ) (n n1 ) (n1 n1 2n )
(1)
平衡位置
d 2 n m 2 ( n1 n 1 2n ) dt
非平衡位置
——牛顿第二定律F=ma
3-2 一维单原子链模型
• 上述(1)式的解（原子振动位移）具有平面波的形式
a
)
一维单原子链推导
一维单原子链推导
一维单原子链是指一维无限长的单原子链，其中原子质量为m，原子间距为a。
热运动使得原子离开平衡位置，假设第n个原子离开平衡位置的位移为μn，它相对于a是一个很小的量，第n个原子到第n+1个原子间相对位移为δ，则：$\delta=μn+1-μn$。
当原子m在平衡位置时，两个原子相互作用势为$V(a)$；相对位移为$\delta$时，两个原子相互作用势为$V(a+\delta)$。
将$V(a+\delta)$在平衡位置用泰勒级数展开，可得：$\cdots(21)(222=+++=aaδaδdrdVaVdrVddrdVaVaVrVδ$。
由于考虑的是微振动，即$\delta$很小，展开式可以近似保留到$\delta^2$项，可得：$10(\cdots)!(\cdots)!2)(\cdots)('\theta'\theta'\theta'\theta'\theta'\approx++++ +++2222\delta\delta\delta$。
只考虑最近邻原子间的相对位移的二次项对系统总势能的贡献，则总势能写为：$\cdots212)(μ221−−=≈∑nnnVμββδ$。
第n个原子所受的力为：$\cdots2(11+−−−−=−≈∂δ∂−=nnnnVfμμμββδβ$，其中β是相邻原子间准弹性力的力常数，它直接由两个原子间的相互作用势能所决定，$a$是两个原子间的平衡间距。
若只考虑最近邻原子间的相互作用，则作用在第n个原子上的力为来自左边弹簧的张力β$(μn-μn-1)$与来自右边弹簧的张力β$(μn+1-μn)$之和。
Ch3-2 一维单原子链
HUBEI UNIVERSITYCh3.2 一维单原子链31D monatomic chain 个原子的平衡位置为n x 个原子间的距离相对位移后，相互作用势能——平衡条件——振动很微弱很小，势能展式中只保留到——恢复力常数相邻原子间的作用力是正比于相对位移的弹性恢复力最近邻第n个原子的运动方程——每一个原子运动方程类似Ch3.2 一维单原子链5个原子的运动方程设方程组的解为：naq—第n个原子振动相位因子将试探解代入振动方程：Ch3.2 一维单原子链7无关，表明N 个方程都归结为同一个方程。
通连续介质中的机械波波数格波和连续介质波具有完全类似的形式, X-na 取值不同同原子之间有位相差，相邻原子位相差为aq 。
晶体中的格波波长Ch3.2 一维单原子链99⁄波矢的格波中，原子的振动完全相同的整数倍，所有原子的振动完全相同，这表可以限制在只需研究清楚第一布里渊区的晶格振动问题——其它区域不能提供新的物理内容4.玻恩－卡曼（Born-Karman ）周期性边界条件一维单原子晶格看作无限长，所有原子是等价的，每个原子的振动形式都一样实际的晶体为有限，形成的链不是无穷长，链两头的原子不能用中间原子的运动方程来描述——N 个原子头尾相接形成环链，保持所有原子等价特点——处理问题时考虑到环链的循环周期性——N 很大，原子运动近似为直线运动Ch3.2 一维单原子链11——第一布里渊区包含状态数,就有一个Ch3.2 一维单原子链13——频率是波数的偶函数色散关系——q 空间的周期——一维单原子晶体可以做低通滤波器只有频率在之间的格波才能在晶体中传播，其它频率的格波被强烈衰减）长波极限情况 , ——连续介质的弹性模量和介质密度格波传播速度晶格可以看成是连续介质色散曲线开始偏离直线向下弯曲。
时，色散曲线变得平坦，格波的色散关系与连续介质中弹性波的不一致不同频率的格波传播速度不同Ch3.2 一维单原子链15——晶格可看作是连续介质个原子位移个原子总的位移Ch3.2 一维单原子链17原子坐标和简正坐标的变换线性变换系数——线性变换为么正变换为实数————N项独立的模式Ch3.2 一维单原子链19——哈密顿量代入得到晶格振动的总能量可以表示为N 个独立简谐振子的能量之和Ch3.2 一维单原子链21晶格振动的能量量子；或格波的能量量子的谐振模式对应不同种类的声子Ch3.2 一维单原子链23一维无限长原子链，m ，a ，β一维单原子晶格振动波矢的数目＝晶体的原胞数，原子链自由度。
J-3.2一维单原子链的振动-30
相速和群速： 相速度是单色波单位时间内一定的振动位相所传播的距离。群 速度是平均频率为ω，平均波矢为q 的波包的传播速度，它是合成波 能量和动量的传播速度。 vp f q
d dq
vq
1 1 sin aq aq 2 2
随着q的增长，ω数值逐渐偏离线性关系，变得平缓，在布里渊 区边界，格波频率达到极大值。
a
q
a
2a
这就避免了某一频率的格波有很多波长与之对应的问题
1 4a
1 2a 4 2 5 2 a q2 5 2 2a
q1
2
由蓝线所代表的波不能给出比黑
线更多的信息，为了表示这个运动，
只需要大于2a的波长。
q=/2a 是1BZ， q=5/2a在1BZ外。 由图明显看出两个不同波长的格波只表示晶体原子的一种振动状态，q 只需要在第一布里渊区内取值即可，这是与连续介质弹性波的重大区别。
周期性边界条件并没有改变方程解的形式只是对解提出一定的条aeae引入周期性边界条件后波矢q不能任意取值只能取分立的轴上相邻两个q的取值相距即在q轴上每一个q的取值所占的空间为
3.2 一维单原子链振动
一、运动方程及其解 单原子链看作是一个最简单的晶格! ① 计算相邻原子间作用力
(a) N 个质量为m 的原子组成一维布拉菲格子； 设：
(q)
Na L 2 2
L＝Na 为晶体链的长度。
第一布里渊区中波矢q 的取值总数等于晶体链的原胞个数，即：
晶格振动格波的总数=N· 1= 晶体链的总自由度数。
2 2 Na (q) N a a 2
总结：玻恩-卡曼边界条件
3.1 简正模和格波 3.1 简正模和格波
§3-2 一维双原子链的晶格振动
允许的波矢数＝晶体的初基原胞数 格波总数＝晶体振动的总自由度数
以后可以看到，此结论对三维晶体也是适用的。
(二) .长波极限
当|q∣→0, λ→∞时, 相邻原胞间的振动相位差qa→0。 利用 cosqa ≈1 －（1/2）（qa）2 （1－x）1/2 ≈1－(x/2) （x为小量） 式（3－23）中 ωA2=（β1＋β2）/m- (β12＋β22＋2β1β2cosqa)1/2 /m 可简化为
2 1 A＝ m
12
(3-33)
即在第一布里渊区边界上，存在格波频率“间隙” 在第一布里渊区边界上，由式（3－30）
A2 1e 2 iqd e iqa A 1e 2 1
iqa
可得 对光学支 A2＝－A1 e iqd 当d＜＜a , A2≈－A1 对声学支 A2＝A1 e iqd 当d＜＜a , A2≈A1 由于q→π/a，相邻原胞运动的相位差 qa→π。
(3-30)自推
正号对应声学支，负号对应光学支。当q→0时 A 2＝A 1 声学支 A2＝－A1 光学支 在长波极限情况下，
声学格波描写原胞内原子的同相运动， 光学格波描写原胞内原子的反相运动。
两支格波最重要的差别：
分别描述了原子不同的运动状态。
参见FD动画
45
（三）. q趋近第一布里渊区边界
三维晶体：原胞的总自由度数为3S,则 晶体中原子振动可能存在的运动形式 就有3S种，用3S支格波来描述。其中 在三维空间定性地描述原胞质心运动 的格波应有3支，也就是说应有3支声 学格波，其余3（S-1）支则为光学格 波。例如硅晶体属于金刚石结构，每 个初基原胞含两个原子，即S=2 , 它有 3支声学格波和3支光学格波。
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第一章 第二章 第三章 第四章 第五章 第六章 第七章 第八章
So lid S ta te Phy si cs
1 简正模 2 经典一维单原子链：格波 3 量子一维单原子链：声子 4 一维双原子链 5 三维晶格 6 离子晶体的长光学波 7 晶格振动谱的实验方法 8 非完整晶格振动：局域模 9 晶格的比热容 10 晶格状态方程和热膨胀
各个振子 un 的振动不独立
29
我们的目标
找到独立的振动模式 Qq
Q1 d1 0 0 Q 2 0 d2 0 d 2 Q3 0 0 d 3 m 2 dt QN 1 0 0 0 Q N 0 0 0 0 0 0 d N 1 0 0 Q1 0 Q2 0 Q3 0 QN 1 d N QN
7
波动方程的时间和空间离散化
连续介质波动方程
如果 ?
(1) 时间不离散化 (2) 把这里的 h 当作晶格间距 a
8
问题一：q = ？→ 什么边界条件？
N 个格点的体系：
开放边界，open boundary condition (OBC) 周期边界，periodic boundary condition (PBC) 猜的解是否成立？近似成立？
—— 晶格振动的问题 声子系统问题的研究 —— 每个振动模式在简谐近似条件下都是独立的 —— 声子系综是无相互作用的声子气组成的系统
39
2 (q ) (1 cos qa) M
2
进一步：… 哈密顿正则运动方程…
32
回忆
33
格波图像
un un un
34
短波极限
长波
Normal modes of vibration progression through a crystal. The amplitude of the motion has been exaggerated for ease of viewing; in an actual crystal, it is typically much smaller than the lattice spacing. 35
q q
—— 一个简正坐标对应一个谐振子方程，波函数是以简正 坐标为宗量的谐振子波函数 声子 —— 晶格振动的能量量子；或格波的能量量子 一个格波是一种振动模，称为一种声子，能量为 当这种振动模处于 时，说明有 个声子
38
格波的量子化 —— 声子
—— 声子是一种元激发，可与电子或光子发生作用
—— 声子具有能量、准动量，看作是准粒子（quasiparticle）
晶体结构 晶体的结合 晶格的热振动 能带论 金属电子论 半导体电子论 固体磁性 固体超导
1
经典一维单原子链 ：格波
经典视角：一维单原子链的格波解
出发点：力学运动方程 尝试解：格波 等价的能量观点 从有限到无限的过渡 能带：1st BZ 格波与连续介质波的关系 傅里叶（级数）变换 逆傅里叶变换
用两个耦合振子来理解 N → ∞？
36
Two coupled oscillators
• 这个问题的解是不是傅里叶变换？
37
最后，来憧憬一点‘谐振子量子力学’
能量本征值
1 nq (nq )h q 2
本征态函数
q 2 n (Qq ) exp( ) H n ( ) h么猜的解？
第一眼：像一个简谐振动 其次，这是一个波动方程：时间连续，空间不连续
所以猜“格波”解组
发现一个需要满足的条件 问题一： q
2
4 aq sin 2 ( ) m 2
=？
6
问题二：求解过程能否不用猜？
理解：连续方程的离散化
• 变成为一个线性代数+迭代求解问题！《计算物理》
20
—— 两种波矢的格波中， 原子的物理振动完全相同
相邻原子的位相差
—— 恰好是晶格的第一布里渊区 波矢的取值 q a a
巧合？
—— 只需研究清楚第一布里渊区的晶格振动问题 —— 其它区域不能提供新的物理内容
21
考察结果
q1 =/= q2 1 =/= 2
but
玻恩-卡门周期性边界条件
长波极限及短波极限的物理
格波解
格波的实空间图像
简正模
不要忘了“两个耦合谐振子”实例
2
重要性
在上一小节，我们似乎没学到实质的东西！
在物理探索研究中，原型 (Prototype/paradigm) 显得非常重要，原型（雏形）思想：最小模型 本节内容似乎只是一道习题，但是重要得需要用 一节来描述，在下下节我们还会做一道习题 本节的内容或结论将会以各种改头换面的形式出 现在更进一步的现代物理 (包括实验物理和理论物 理) 的各个角落 —— 场论、量子场论
连续介质波
色散关系
cs q cs
— 声速
2 波数 q
16
为何说这是个能带？
退耦
N
0
m
N/2 N/2
aq 低通滤波器 q 20 sin( ) 2
• 回想塞曼效应、斯塔克效应 • 书上没这么说？是因为在经典物理中， 不是能量
17
波动的方式：格波
纵波
• 向上的箭头代表原 子沿 x 轴向右振动 向下的箭头代表原 子沿 x 轴向左振动
长波极限下
相邻两个原子振动位相差
短波极限下
• 短波反映微观结构
27
问题二：求解过程能否不用猜？
倒格子 傅里叶（级数）变换 牛顿力学观点 vs. 能量观点
28
观察牛顿力学运动方程的结构
写成矢量、矩阵形式：三对角
u1 2 1 0 u 2 1 2 1 0 1 2 d 2 u3 m 2 dt u N 1 0 0 0 1 0 0 u N 1 u1 0 0 u2 0 0 u3 2 1 u N 1 1 2 u N 0
un(q1) = un(q2) (q1) = (q2)
q1 = 2 / na + q2
只需挑出第一布里渊区（1st BZ）进行计算
22
两个重要的极限情况
长波极限 短波极限
23
长波极限
当
cq
—— 回到连续介质中弹性波的色散关系
24
相邻原子之间的作用力 长波极限情况
格波传播速度 连续介质弹性波的速度
解：Qq (t ) Qqeit
引入“格点傅里叶变换”能实现这个目标！
Qq Qq*
q 取哪些值？
1st-BZ !《固体理论》-第一章 周期性结构 (李正中)
30
把格点傅里叶变换写成矩阵？
自己动手，丰衣足食！
31
从哈密顿力学来看
二次型！
格点傅里叶变换使之对角化
1 * * H T V QqQq 2 (q)QqQq , 2 q1stBZ
14
频率极小值 频率极大值
min 0
max 2 / m
只有频率在 其它频率的格波被强烈衰减
之间的格波才能在晶体中传播，
—— 一维单原子晶格看作成低通滤波器
15
对比：连续介质波
un q, t Aei ( q )t naq
q
4 aq sin( ) m 2
•
如何确定波长？最长是多长？最短是多短？
注意指标 n
18
格波方程 格波波长
格波波矢
格波相速度
不同原子间位相差
相邻原子的位相差
19
格波 波矢的取值和布里渊区 相邻原子位相差 —— 原子的振动状态相同 格波1(Red)波矢 相邻原子位相差 格波2(Green)波矢 相邻原子的位相差
当 q2 = n 2 /a + q1 会出现什么情况？
2 q m Na
—— h 为整数
波矢的取值范围
N = even/odd ？
11
12
点要一个一个描
aq q 20 sin( ) 2
N/2 N/2
态密度？
13
色散关系 = 振动频谱 = 能谱 = 能带
• 准连续，N ∞ • 具有第一布里渊区的周期性
4 aq q sin( ) m 2
c
a
m/a
K
—— 伸长模量
VElastic K /
—— 连续介质的弹性模量和介质密度 —— 长波极限下，一维单原子晶格格波可以看作是弹性波 —— 晶格可以看成是连续介质
25
短波极限
短波极限下 —— 相邻两个原子振动的位相相反 而长波极限下 ，相邻两个原子之间的位相差
—— 一个波长内包含许多原子，晶格看作是连续介质 26
3
第一出发点
牛顿力学模型
d 2un m 2 (un1 un1 2un ) dt
位移前
晶格间距 (晶格常数): a
位移后
4
尝试解方法
设方程组的尝试解 naq — 第n个原子振动位相因子
代入得到
un q, t Ae
i ( q )t naq
4 2 aq sin ( ) m 2
为何要提出这个问题？
实际体系是怎样的？ limit (N infinity) 的计算意义
9
玻恩-卡门周期性边界条件
Born-Karman
N 个原子头尾相接形成一个环链，保持了所有原 子等价的特点
N 很大，原子运动近似为直线运动