河北衡水中学2020摸底联考过关试卷及答案(2020年3月)
河北省衡水中学2020届高三押题卷III文数学试题(含解析答案)
2019-2020年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题文科数学（Ⅲ）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合，，则为（）A. B. C. D.2. 已知是虚数单位，，且的共轭复数为，则在复平面内对应的点在（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 已知平面向量，的夹角为，且，，则（）A. 1B.C. 2D.4. 已知命题：“关于的方程有实根”，若为真命题的充分不必要条件为，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.5. 已知实数，满足则的最小值为（）A. 0B.C.D.6. 若表示不超过的最大整数，则图中的程序框图运行之后输出的结果为（）A. 48920B. 49660C. 49800D. 518677. 数列满足，（），则（）A. B. C. D.8. 《中国诗词大会》的播出引发了全民的读书热，某小学语文老师在班里开展了一次诗词默写比赛，班里40名学生得分数据的茎叶图如图所示.若规定得分不小于85分的学生得到“诗词达人”的称号，小于85分且不小于70分的学生得到“诗词能手”的称号，其他学生得到“诗词爱好者”的称号，根据该次比赛的成绩按照称号的不同进行分层抽样抽选10名学生，则抽选的学生中获得“诗词能手”称号的人数为（）A. 2B. 4C. 5D. 69. 某几何体的正视图和侧视图如图（1），它的俯视图的直观图是矩形（如图（2）），其中，，则该几何体的侧面积及体积为（）A. 24，B. 32，C. 48，D. 64，10. 已知函数（）的最小正周期为，且，则（）A. B. C. D.11. 已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，点在双曲线的右支上，且（），，双曲线的离心率为，则（）A. B. C. D. 学。
科。
网...12. 已知函数若关于的方程恰有四个不相等的实数根，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 在锐角中，角，所对的边长分别为，，若，则_________．14. 如图所示，在棱长为2的正方体中，，分别是，的中点，那么异面直线和所成角的余弦值等于__________．15. 若，都是正数，且，则的最小值为__________．16. 已知函数若函数有3个零点，则实数的取值范围是__________．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17. 在中，角，，的对边分别是，，，且. （1）求角的大小；（2）已知等差数列的公差不为零，若，且，，成等比数列，求的前项和.18. 如图，将直角三角形绕直角边旋转构成圆锥，四边形是的内接矩形，为母线的中点，.（1）求证：平面；（2）当时，求点到平面的距离.19. 在中学生综合素质评价某个维度的测评中，分优秀、合格、尚待改进三个等级进行学生互评.某校高一年级有男生500人，女生400人，为了了解性别对该维度测评结果的影响，采用分层抽样方法从高一年级抽取了45名学生的测评结果，并作出频数统计表如下：表一：男生表二：女生（1）从表二的非优秀学生中随机抽取2人交谈，求所选2人中恰有1人测评等级为合格的概率；（2）由表中统计数据填写下面的列联表，并判断是否有90%的把握认为“测评结果优秀与性别有关”.参考公式：，其中.参考数据：20. 已知椭圆：（）的上、下两个焦点分别为，，过的直线交椭圆于，两点，且的周长为8，椭圆的离心率为.（1）求椭圆的标准方程；（2）已知为坐标原点，直线：与椭圆有且仅有一个公共点，点，是直线上的两点，且，，求四边形面积的最大值.21. 已知函数（，）.（1）如果曲线在点处的切线方程为，求，的值；（2）若，，关于的不等式的整数解有且只有一个，求的取值范围. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22. 选修4-4：坐标系与参数方程已知直线的参数方程为（为参数），在以坐标原点为极点、轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，圆的极坐标方程为.（1）求直线被圆截得的弦长；（2）若的坐标为，直线与圆交于，两点，求的值.23. 选修4-5：不等式选讲已知（为常数）.（1）若，求实数的取值范围；（2）若的值域为，且，求实数的取值范围.2019-2020年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题文科数学（Ⅲ）解析版第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合，，则为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题得：所以为2. 已知是虚数单位，，且的共轭复数为，则在复平面内对应的点在（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】故在复平面内对应的点在第一象限3. 已知平面向量，的夹角为，且，，则（）A. 1B.C. 2D.【答案】A【解析】根据条件：，∴，∴，故选A.4. 已知命题：“关于的方程有实根”，若为真命题的充分不必要条件为，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】命题p：，为，又为真命题的充分不必要条件为，故5. 已知实数，满足则的最小值为（）A. 0B.C.D.【答案】D【解析】作出可行域：所以当取B时目标函数取得最小值-4-1=-56. 若表示不超过的最大整数，则图中的程序框图运行之后输出的结果为（）A. 48920B. 49660C. 49800D. 51867【答案】C【解析】根据题意：表示不超过的最大整数，且所以该程序运行后输出的结果中是：39个0与40个1,40个2,40 个3，……，40个49，个50的和，所以输出的结果为学.科.网...7. 数列满足，（），则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为数列满足，（），所以所以是公比为2的等比数列，所以8. 《中国诗词大会》的播出引发了全民的读书热，某小学语文老师在班里开展了一次诗词默写比赛，班里40名学生得分数据的茎叶图如图所示.若规定得分不小于85分的学生得到“诗词达人”的称号，小于85分且不小于70分的学生得到“诗词能手”的称号，其他学生得到“诗词爱好者”的称号，根据该次比赛的成绩按照称号的不同进行分层抽样抽选10名学生，则抽选的学生中获得“诗词能手”称号的人数为（）A. 2B. 4C. 5D. 6【答案】B【解析】由题得：诗词达人有8人，诗词能手有16人，诗词爱好者有16人，分层抽样抽选10名学生，所以诗词能手有人9. 某几何体的正视图和侧视图如图（1），它的俯视图的直观图是矩形（如图（2）），其中，，则该几何体的侧面积及体积为（）A. 24，B. 32，C. 48，D. 64，【答案】C【解析】有三视图可知该几何体为一个四棱柱：因为它的的直观图时矩形，所以它的俯视图直观图面积为3，所以它的俯视图面积为，它的俯视图是边长为3的菱形，棱柱高为4，所以侧面积为，体积为10. 已知函数（）的最小正周期为，且，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题可知：由最小正周期为2可得又代入可得：，，，则11. 已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，点在双曲线的右支上，且（），，双曲线的离心率为，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由得，由双曲线的定义可知：，，由双曲线的离心率可得双曲线的焦距为，在中由勾股定理可得：得点睛：首先要熟悉双曲线的定义，求解离心率主要是建立等式关系，可根据几何关系一般是找勾股定理或代坐标或利用正余弦定理建立等式12. 已知函数若关于的方程恰有四个不相等的实数根，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】作出函数图像：又直线恒过（0，-0.5）当直线经过点A时恰好三个交点此时斜率k=0.5，当直线与lnx相切时为第二个临界位置，设切点为，故切线方程为：过（0，-0.5）得故选D点睛：本题解题关键是画出函数的草图，然后找到符合题意的临界值求解即可第Ⅱ卷（共90分）学.科.网...二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 在锐角中，角，所对的边长分别为，，若，则_________．【答案】【解析】由正弦定理根据边化角可得：，所以14. 如图所示，在棱长为2的正方体中，，分别是，的中点，那么异面直线和所成角的余弦值等于__________．【答案】【解析】以AD,DC,DD1建立空间直角坐标系，则：得直线和所成角的余弦值等于15. 若，都是正数，且，则的最小值为__________．【答案】【解析】由题可知：，故==当且仅当x=y时取得等号16. 已知函数若函数有3个零点，则实数的取值范围是__________．【答案】【解析】作出函数图像可知：当时有三个交点，故实数的取值范围是点睛：本题关键是画出函数图形，结合图像可得符合题意的范围即从而得出结论三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17. 在中，角，，的对边分别是，，，且. （1）求角的大小；（2）已知等差数列的公差不为零，若，且，，成等比数列，求的前项和.【答案】（1）.（2）.【解析】试题分析：（1）根据正弦定理边化角：得从而求出A（2）由，，成等比数列得，然后根据等差数列通项公式和性质可得求出d然后再用裂项相消求和即可试题解析：（1）由正弦定理可得，从而可得，即.又为三角形的内角，所以，于是，又为三角形的内角，所以.（2）设的公差为，因为，且，，成等比数列，所以，且，所以，且，解得，所以，所以，所以.点睛：解三角形问题要注意多结合正弦定理的边角互化原理变形求解即可，对于本题第二问可以得到通项的形式可得求和方法为裂项相消法学.科.网...18. 如图，将直角三角形绕直角边旋转构成圆锥，四边形是的内接矩形，为母线的中点，.（1）求证：平面；（2）当时，求点到平面的距离.【答案】（1）见解析;（2）.【解析】试题分析：（Ⅰ）借助题设条件运用线面平行的判定定理推证；（Ⅱ）借助题设条件运用等积法求解。
【衡水中学】2020年全国新高三第二次摸底联考英语试卷及答案
【衡水中学】2020年全国新高三第二次摸底联考英语试卷答案待公布查询试卷答案解析，微博搜索：答案家族微信搜索：高中生家族还可查询更多试卷答案！第一部分听力（共两节，满分30分）第一节（共5小题；每小题1.5分，满分7.5分）听下面5段对话。
每段对话后有一个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。
听完每段对话后，你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。
每段对话仅读一遍。
1.What’s the probable relationship between the speakers?A.Teacher and studentB.Boss and secretaryC.Customer and waitress2.What do we know about the population of the city?A.It has decreasedB.It has stayed the sameC.It has increased3.Where does the conversation take place?A.In a hospitalB.In a friend’s houseC.In the man’s house4.What does the woman want the man to do?A.To carry the box downstairsB.To put the box in a low positionC.To move the box to the upper shelf5.What’s the man probably?A.A clerkB.A customerC.A traveler第二节（共15小题；每小题1.5分，满分22.5分）听下面5段对话或独白。
每段对话或独白后有几个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。
河北省衡水中学2020届高三下学期3月10日周中测(文科)数学试卷(含解析)
2019-2020学年高三第二学期3月月考数学试卷（文科）一、选择题1．已知集合A＝{x|2x+1＞﹣3}，B＝{x|2x＜2}，则A∩B＝（）A．（﹣∞，﹣2）B．∅C．（﹣2，1）D．（1，+∞）2．设z＝i（i﹣3），则|z|＝（）A．B．3C．2D．3．已知向量＝（，1），＝（2，2），则向量，的夹角为（）A．B．C．D．4．曲线y＝sin x在点（0，0）处的切线方程为（）A．y＝2x B．y＝x C．y＝﹣2x D．y＝﹣x 5．“平面α内存在无数条直线与直线1平行”是“直线1∥平面α“的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．已知一组数据的茎叶图如图所示．下列说法错误的是（）A．该组数据的极差为12B．该组数据的中位数为21C．该组数据的平均数为21D．该组数据的方差为117．执行如图所示程序框图，则输出的S＝（）A．B．C．D．8．若将函数y＝sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，平移后所得图象为曲线y ＝f（x），下列四个结论：①f（x）＝sin（2x﹣）②f（x）＝sin（2x+）③曲线y＝f（x）的对称中心的坐标为（+，0），（k∈Z）④曲线y＝f（x）的对称中心的坐标为（+π，0）（k∈Z）其中所有正确的结论为（）A．①④B．②③C．②④D．①③9．在△ABC中．角A、B、C所对边分别为a、b、c，若a cos A sin C＝（2b﹣a）sin A cos C，则角C的大小为（）A．B．C．D．10．已知A，B为双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）上的两个不同点，M为AB的中点，O为坐标原点，若k AB•k OM＝，则双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．11．已知点A（0，），抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，射线FA与抛物线C 相交于点M，与其准线相交于点N．若|FM|：|MN|＝1：2，则p的值等于（）A．1B．2C．3D．412．已知函数f（x）是定义在R上的增函数，且函数y＝f（x﹣2）的图象关于点（2，0）对称．若不等式f（mx2+2m）+f（4x）＜0对任意x∈[1，2]恒成立，则实数m的取值范围是（）A．（﹣，）B．（﹣∞，﹣）C．（，+∞）D．（﹣∞，）二、填空题13．已知3sinα＝1，则的值为．14．若x，y满足，则z＝4x+3y的最小值是．15．已知甲、乙、丙三人恰好都去过北京、上海中的某一个城市，三人分别给出了以下说法：甲说：我去过北京，乙去过上海，丙去过北京；乙说：我去过上海，甲说的不完全对；丙说：我去过北京，乙说的对．若甲、乙、丙三人中恰好有1人说得不对，则去过北京的是．16．如图．圆形纸片的圆心为O，半径为4cm，该纸片上的正方形ABCD的中心为O．E，F，G，H为圆O上的点，ABE，△BCF，△CDG，△ADH分别是以AB，BC，CD，DA为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以AB，BC，CD，DA为折痕，折起△ABE，△BCF，△CDG，△ADH，使得E，F，G，H重合，得到一个四棱锥．当AB＝2cm时，该四棱锥的表面积为；该四棱锥的外接球的表面积为．三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，AB ＝AP＝PD＝2．（1）证明：AB⊥平面PAD；（2）求点B到平面PCD的距离．18．某高速路交通服务站点对拥挤等级与某时段（单位：天）的机动车通行数量m（单位：百辆）的关系规定如表：数量n n∈[0，100）n∈[100，200）n∈[200，300）n≥300等级优良拥堵严重拥堵该站点对一个月（30天）内每天的机动车通行数量作出如图的统计数据：（1）如表是根据统计数据得到的频率分布表．请估计一个月内通过该服务站点的所有机动车数量的平均值（同一组中的數据用该组区间的中点值为代表）；[0，100）[100，200）[200，300）[300，400]机动车数量（单位：百辆）天数a1041频率b（2）假设某家庭选择在该月1日至5日这5天中任选2天到景区游玩并通过该服务站点（这2天可以不连续）．求该家庭这2天遇到拥挤等级均为“优”的概率．19．已知S n为等差数列{a n}的前n项和，且S2＝2a2﹣2，S5＝3a5．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）令b n＝a n•2n﹣1，记数列{b n}的前n项和为T n，若T n＞300．求正整数n的取值范围．20．已知椭圆Γ：+＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2．短轴的两个顶点与F1，F2构成面积为2的正方形，（1）求Γ的方程：（2）如图所示，过右焦点F2的直线1交椭圆Γ于A，B两点，连接AO交Γ于点C，求△ABC面积的最大值．21．已知函数f（x）＝（x2+ax）lnx﹣x2﹣ax．（1）求函数f（x）的极值；（2）若f（x）＞0对x＞1恒成立，求a的取值范围．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中．直线1的参数方程为（t为参数），以O为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρ2﹣4ρsinθ﹣12＝0，定点A（4，0）．点P是曲线C1上的动点．Q为AP的中点．（1）求点Q的轨迹C2的直角坐标方程；（2）直线1与曲线C2交于A．B两点，若|AB|＝，求实数a的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣3|．（1）若f（t+1）+f（2+t）≥3，求实数t的取值范围；（2）若∀x∈[1，2]，使得f（x）+|x+a|≤3成立，求实数a的取值范围．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A＝{x|2x+1＞﹣3}，B＝{x|2x＜2}，则A∩B＝（）A．（﹣∞，﹣2）B．∅C．（﹣2，1）D．（1，+∞）【分析】可以求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．解：∵A＝{x|x＞﹣2}，B＝{x|x＜1}，∴A∩B＝（﹣2，1）．故选：C．2．设z＝i（i﹣3），则|z|＝（）A．B．3C．2D．【分析】根据复数的基本运算进行化简，然后求出z的模．解：∵z＝i（i﹣3）＝﹣1﹣3i，∴|z|＝．故选：A．3．已知向量＝（，1），＝（2，2），则向量，的夹角为（）A．B．C．D．【分析】根据向量的坐标即可求出，然后根据向量夹角的范围即可求出夹角的大小．解：＝，且，∴的夹角为．故选：D．4．曲线y＝sin x在点（0，0）处的切线方程为（）A．y＝2x B．y＝x C．y＝﹣2x D．y＝﹣x【分析】求出原函数的导函数，可得曲线在x＝0处的导数，再由直线方程的点斜式得答案．解：由y＝sin x，得y′＝cos x，可得切线的斜率k＝cos0＝1，∴曲线y＝sin x在点（0，0）处的切线方程为y＝x．故选：B．5．“平面α内存在无数条直线与直线1平行”是“直线1∥平面α“的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据直线和平面的关系以及充分必要条件判断即可．解：当直线l平行平面α内的无数条平行直线时，则直线a不一定平行于平面α，也可能l⊂α，当直线1∥平面α，则平面α内存在无数条直线与直线1平行，故“平面α内存在无数条直线与直线1平行”是“直线1∥平面α“的必要不充分条件，故选：B．6．已知一组数据的茎叶图如图所示．下列说法错误的是（）A．该组数据的极差为12B．该组数据的中位数为21C．该组数据的平均数为21D．该组数据的方差为11【分析】根据茎叶图，对选项进行排查，得到答案．解：由题意，极差为26﹣14＝12，中位数为21，平均数＝21，方差＝，D错误，故选：D．7．执行如图所示程序框图，则输出的S＝（）A．B．C．D．【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．解：模拟程序的运行，可得S＝0，n＝1满足条件n≤5，执行循环体，S＝0，n＝2满足条件n≤5，执行循环体，S＝，n＝3满足条件n≤5，执行循环体，S＝+，n＝4满足条件n≤5，执行循环体，S＝++，n＝5满足条件n≤5，执行循环体，S＝+++＝，n＝6此时，不满足条件n≤5，退出循环，输出S的值为．故选：D．8．若将函数y＝sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，平移后所得图象为曲线y ＝f（x），下列四个结论：①f（x）＝sin（2x﹣）②f（x）＝sin（2x+）③曲线y＝f（x）的对称中心的坐标为（+，0），（k∈Z）④曲线y＝f（x）的对称中心的坐标为（+π，0）（k∈Z）其中所有正确的结论为（）A．①④B．②③C．②④D．①③【分析】先根据图象的平移变换，得到f（x）＝sin（2x﹣），于是可判断①②，再根据正弦函数的对称中心，求出函数f（x）的对称中心，可判断③④．解：y＝sin（2x+）的图象向右平移个单位得到f（x）＝sin[2（x﹣）+]＝sin（2x﹣），即①正确，②错误；令2x﹣＝kπ，得，即③正确，④错误，故选：D．9．在△ABC中．角A、B、C所对边分别为a、b、c，若a cos A sin C＝（2b﹣a）sin A cos C，则角C的大小为（）A．B．C．D．【分析】由a cos A sin C＝（2b﹣a）sin A cos C，得a sin B＝2b sin A cos C，由正弦定理得：ab ＝2ab cos C，从而求出C．解：由a cos A sin C＝（2b﹣a）sin A cos C，得a sin B＝2b sin A cos C，由正弦定理得：ab＝2ab cos C，∴cos C＝，又∵C∈（0，π），∴C＝，故选：C．10．已知A，B为双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）上的两个不同点，M为AB的中点，O为坐标原点，若k AB•k OM＝，则双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），利用点差法，结合M是线段AB的中点，可得，即可求出椭圆的离心率．解：设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2＝2x M，y1+y2＝2y M，由可得．∴，即k AB•k OM＝＝，则双曲线的离心率为e＝．故选：D．11．已知点A（0，），抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，射线FA与抛物线C 相交于点M，与其准线相交于点N．若|FM|：|MN|＝1：2，则p的值等于（）A．1B．2C．3D．4【分析】作出M在准线上的射影，根据|KM|：|MN|确定|KN|：|KM|的值，进而列方程求得a．解：依题意F点的坐标为（，0），设M在准线上的射影为K由抛物线的定义知|MF|＝|MK|，∵|FM|：|MN|＝1：2，∴|KN|：|KM|＝：1，∴p＝2，∴p＝2．故选：B．12．已知函数f（x）是定义在R上的增函数，且函数y＝f（x﹣2）的图象关于点（2，0）对称．若不等式f（mx2+2m）+f（4x）＜0对任意x∈[1，2]恒成立，则实数m的取值范围是（）A．（﹣，）B．（﹣∞，﹣）C．（，+∞）D．（﹣∞，）【分析】由y＝f（x）的图象可由y＝f（x﹣2）的图象向左平移2个单位可得，则f（x）为奇函数，且f（x）是定义在R上的增函数，可得f（mx2+2m）+f（4x）＜0即为mx2+2m ＜﹣4x，由参数分离和对勾函数的单调性，结合恒成立思想可得所求范围．解：函数y＝f（x﹣2）的图象关于点（2，0）对称，由y＝f（x）的图象可由y＝f（x﹣2）的图象向左平移2个单位可得，则f（x）的图象关于原点对称，即f（x）为奇函数，且f（x）是定义在R上的增函数，f（mx2+2m）+f（4x）＜0即为f（mx2+2m）＜﹣f（4x）＝f（﹣4x），由f（x）为R上的增函数，可得mx2+2m＜﹣4x，即有m＜﹣对任意x∈[1，2]恒成立，又2≤x+≤3，有2≤≤3，即≤≤，即﹣≤﹣≤﹣，则m＜﹣，故选：B．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知3sinα＝1，则的值为．【分析】由已知利用二倍角的三角函数公式可得cos2α的值，进而得解．解：∵3sinα＝1，∴sinα＝，可得cos2α＝1﹣2sin2α＝1﹣＝，∴＝＝．故答案为：．14．若x，y满足，则z＝4x+3y的最小值是．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义即可得到结论解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z＝4x+3y得y＝﹣x+z，平移直线y＝﹣x+z，由图象可知当直线＝﹣x+z经过点A时，直线＝﹣x+z的截距最小，此时z最小．由，解得，即A（﹣，），代入目标函数z＝4x+3y得z＝．即目标函数z＝4x+3y的最小值为．故答案为：15．已知甲、乙、丙三人恰好都去过北京、上海中的某一个城市，三人分别给出了以下说法：甲说：我去过北京，乙去过上海，丙去过北京；乙说：我去过上海，甲说的不完全对；丙说：我去过北京，乙说的对．若甲、乙、丙三人中恰好有1人说得不对，则去过北京的是丙．【分析】若甲说得不对，则乙、丙说得对，若乙或丙说得不对，则得出与”甲、乙、丙三人中恰有1人说得不对“矛盾，从而得到去过北京的是丙．解：若甲说得不对，则乙、丙说得对，即乙一定去过上海，丙一定去过北京，甲只去过上海，若乙或丙说得不对，则得出与”甲、乙、丙三人中恰有1人说得不对“矛盾，故去过北京的是丙．故答案为：丙．16．如图．圆形纸片的圆心为O，半径为4cm，该纸片上的正方形ABCD的中心为O．E，F，G，H为圆O上的点，ABE，△BCF，△CDG，△ADH分别是以AB，BC，CD，DA为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以AB，BC，CD，DA为折痕，折起△ABE，△BCF，△CDG，△ADH，使得E，F，G，H重合，得到一个四棱锥．当AB＝2cm时，该四棱锥的表面积为16cm2；该四棱锥的外接球的表面积为．【分析】由已知求得四棱锥的高，设出球心，再由勾股定理列式求得外接球半径，由球的表面积公式及正四棱锥的表面积公式求解．解：连接OE交AB于点I，设E，F，G，H重合于点P，正方形的边长为2，则OI＝1，IE＝3，AE＝，设该四棱锥的外接球的球心为Q，半径为R，则OC＝，OP＝，则，解得R＝，外接球的表面积S＝cm2；该四棱锥的表面积为cm2．故答案为：16cm2；．三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，AB ＝AP＝PD＝2．（1）证明：AB⊥平面PAD；（2）求点B到平面PCD的距离．【分析】（1）由AB⊥AD，平面PAD⊥平面ABCD，能证明AB⊥平面PAD．（2）设点B到平面PCD的距离为d，由V P﹣BCD＝V B﹣PCD，能求出点B到平面PCD的距离．解：（1）证明：∵AB⊥AD，平面ABCD∩平面PAD＝AD，平面PAD⊥平面ABCD，∴AB⊥平面PAD．（2）解：∵AB⊥平面PAD，AB∥CD，∴CD⊥平面PAD，CD⊥PD，∵CD＝PD＝2，∴S△PCD ＝，设点B到平面PCD的距离为d，由V P﹣BCD＝V B﹣PCD ，得＝，解得d ＝，∴点B到平面PCD 的距离为．18．某高速路交通服务站点对拥挤等级与某时段（单位：天）的机动车通行数量m（单位：百辆）的关系规定如表：数量n n∈[0，100）n∈[100，200）n∈[200，300）n≥300等级优良拥堵严重拥堵该站点对一个月（30天）内每天的机动车通行数量作出如图的统计数据：（1）如表是根据统计数据得到的频率分布表．请估计一个月内通过该服务站点的所有机动车数量的平均值（同一组中的數据用该组区间的中点值为代表）；[0，100）[100，200）[200，300）[300，400]机动车数量（单位：百辆）天数a1041频率b（2）假设某家庭选择在该月1日至5日这5天中任选2天到景区游玩并通过该服务站点（这2天可以不连续）．求该家庭这2天遇到拥挤等级均为“优”的概率．【分析】（1）根据题意，求出a，b，再求出平均数；（2）根据古典概型求出即可．解：（1）因为有机动车通行数量在[0，100）范围内的天数为15天，所以a＝15，b ＝，通行数量的平均值为50×＝120（百辆）；（2）设该家庭这2天拥挤等级均为优的事件为A，从5天中任取两天的选择方案有10种情况，满足条件的有（1，4），（1，5），（4，5），有3种，故P（A）＝0.3．19．已知S n为等差数列{a n}的前n项和，且S2＝2a2﹣2，S5＝3a5．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）令b n＝a n•2n﹣1，记数列{b n}的前n项和为T n，若T n＞300．求正整数n的取值范围．【分析】本题第（1）题先设等差数列{a n}的公差为d，根据等差数列的通项公式和求和公式列出关于首项a1和公差d的方程，解出a1和d的值，即可得到数列{a n}的通项公式；第（2）题先根据第（1）题的结果计算出数列{b n}的通项公式，然后运用错位相减法计算出前n项和T n．再根据数列{T n}的单调性可计算出满足T n＞300时正整数n的取值范围．解：（1）由题意，设等差数列{a n}的公差为d，则，解得．∴a n＝2+2（n﹣1）＝2n，n∈N*．（2）由（1）知，b n＝a n•2n﹣1＝n•2n．则T n＝b1+b2+b3+…+b n＝1•21+2•22+3•23+…+n•2n，2T n＝1•22+2•23+…+（n﹣1）•2n+n•2n+1．两式相减，可得﹣T n＝2+22+23+…+2n﹣n•2n+1＝﹣n•2n+1＝（1﹣n）•2n+1﹣2．∴T n＝（n﹣1）•2n+1+2．构造数列{T n}：令T n＝（n﹣1）•2n+1+2，则T n+1﹣T n＝n•2n+2﹣（n﹣1）•2n+1＝（n+1）•2n+1＞0，故数列{T n}是单调递增数列．∵T5＝4•26+2＝258＜300，T6＝5•27+2＝642＞300，∴满足T n＞300的正整数n的取值范围为{n|n≥6，n∈N*}．20．已知椭圆Γ：+＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2．短轴的两个顶点与F1，F2构成面积为2的正方形，（1）求Γ的方程：（2）如图所示，过右焦点F2的直线1交椭圆Γ于A，B两点，连接AO交Γ于点C，求△ABC面积的最大值．【分析】（1）根据题意b＝c及，即可求得b的值，求得椭圆方程；（2）分类讨论，当直线的斜率存在，设直线方程，代入椭圆方程，根据韦达定理及弦长公式求得|AB|，表示出△ABC的面积，化简即可求得△ABC面积的最大值．解：（1）因为椭圆C的短轴的两个顶点与F1，F2构成面积为2的正方形，所以b＝c，S＝a2＝2，则，b＝c＝1，故椭圆Γ的方程；（2）①当直线AB的斜率不存在时，设直线AB的方程为y＝k（x﹣1），联立方程组，消去y，整理得（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣2＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），得，，所以，点O到直线kx﹣y﹣k＝0的距离，因为O到线段AC的中点，所以点C到直线AB的距离为，所以△ABC面积＝＝＜，②当直线AB的斜率不存在时不妨取，，，故△ABC面积为，综上，当直线AB的斜率不存在时，△ABC面积的最大值为．21．已知函数f（x）＝（x2+ax）lnx﹣x2﹣ax．（1）求函数f（x）的极值；（2）若f（x）＞0对x＞1恒成立，求a的取值范围．【分析】（1）先对函数求导，然后结合a的范围取得导数的符号，进而可求函数的单调性，即可求解极值；（2）结合（1）中单调性的讨论，不等式的恒成立问题可转化为求解函数的最值或范围问题，可求．解：（1）函数的定义域（0，+∞），f′（x）＝（x+a）lnx，①a≥0时，x+a＞0，当0＜x＜1时，f′（x）＜0，函数单调递减，当x＞1时，f′（x）＞0，函数单调递增，故当x＝1时，函数取得极小值f（1）＝；②当﹣1＜a＜0时，0＜x＜﹣a时，f′（x）＞0，函数单调递增，﹣a＜x＜1时，f′（x）＜0，函数单调递减，当x＞1时，f′（x）＞0，函数单调递增，故当x＝﹣a时，函数取得极小值f（﹣a）＝，当x＝1时，函数取得极大值f（1）＝﹣a﹣；③a＝﹣1时，0＜x＜1时，f′（x）＞0，函数单调递增，x＞1时，f′（x）＞0，函数单调递增，即函数为单调函数，没有极值；④当a＜﹣1时，0＜x＜1时，f′（x）＞0，函数单调递增，﹣a＞x＞1时，f′（x）＜0，函数单调递减，x＞﹣a时，f′（x）＞0，函数单调递增，故当x＝1时，函数取得极大值f（1）＝﹣a﹣，当x＝﹣a时，函数取得极小值f（﹣a）＝，综上可得，a≥0时，函数极小值f（1）＝，没有极大值；a＝﹣1时，没有极值；﹣1＜a＜0时，函数极小值f（﹣a）＝，函数取得极大值f（1）＝﹣a﹣；a＜﹣1时，函数极大值f（1）＝﹣a﹣，当x＝﹣a时，函数极小值f（﹣a）＝；（2）由（1）可得，当a≥﹣1时，f（x）在[1，+∞）上单调递增，x＞1时，f（x）＞f （1），由f（1）＝﹣a﹣＞0可得a，所以﹣1，当a＜﹣1时，由题意可知，只要f（﹣a）＝＞0，化简可得，ln（﹣a），即a＞﹣e，所以﹣e＜a＜﹣1，综上可得a的范围（﹣e，﹣]．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中．直线1的参数方程为（t为参数），以O为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρ2﹣4ρsinθ﹣12＝0，定点A（4，0）．点P是曲线C1上的动点．Q为AP的中点．（1）求点Q的轨迹C2的直角坐标方程；（2）直线1与曲线C2交于A．B两点，若|AB|＝，求实数a的值．【分析】（1）参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，曲线的伸缩变换的应用．（2）利用点到直线的距离公式的应用求出结果．解：（1）曲线C1的极坐标方程为ρ2﹣4ρsinθ﹣12＝0，转换为直角坐标方程为x2+y2﹣4y﹣12＝0．设P（x′，y′），Q（x，y），由中点坐标公式得：代入x2+y2﹣4y﹣12＝0，得到（x﹣2）2+（y﹣1）2＝4．（2）直线1的参数方程为（t为参数），转换为直角坐标方程为y＝ax，利用（x﹣2）2+（y﹣1）2＝4，由于|AB|＝，所以圆心到直线的距离公式的应用d＝，解得a＝1或．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣3|．（1）若f（t+1）+f（2+t）≥3，求实数t的取值范围；（2）若∀x∈[1，2]，使得f（x）+|x+a|≤3成立，求实数a的取值范围．【分析】（1）不等式化为|t﹣2|+|t﹣1|≥3，利用分段讨论法去掉绝对值，求出不等式的解集即可；（2）x∈[1，2]时不等式f（x）+|x+a|≤3化为|x+a|≤x，根据绝对值的定义求出不等式成立时a的取值范围．解：（1）函数f（x）＝|x﹣3|，所以不等式f（t+1）+f（2+t）≥3，化为|t﹣2|+|t﹣1|≥3，等价于，或，或；解得t≤0或t≥3；所以实数t的取值范围是（﹣∞，0]∪[3，+∞）．（2）当x∈[1，2]时，f（x）+|x+a|＝3﹣x+|x+a|；∀x∈[1，2]，使得不等式f（x）+|x+a|≤3成立，即|x+a|≤x成立，所以﹣x≤x+a≤x成立，所以﹣2x≤a≤0成立；所以∀x∈[1，2]，使得，所以实数a的取值范围是[﹣2，0]．。
2020届河北省衡水中学高三模拟(三)数学(文)试题(解析版)
2020届河北省衡水中学高三模拟（三）数学（文）试题一、单选题1．若a ，b 为实数，且4ibi ia +=-，则b =（ ） A ．2- B ．2C ．4-D ．4【答案】D【解析】根据复数的乘法运算，将原式化简，再由复数相等，即可得出结果. 【详解】 由4ibi ia +=-得，24i ai bi +=-，即4ib ai +=+， 所以4b =. 故选：D. 【点睛】本题主要考查由复数相等求参数的问题，熟记复数的乘法运算法则即可，属于基础题型. 2．已知全集{}1U x y x ==+，{}22150M x x x =-->，则UM =（ ）A ．()(),35,-∞+∞B ．(][),35,-∞+∞C ．()3,5-D ．[]3,5-【答案】D【解析】先求得集合U 、A ，再利用补集的运算可得选项. 【详解】因为{}1U x y x R ==+=，{5M x x =>或}3x <-，所以[]3,5UM =-.故选：D. 【点睛】本题考查集合的补集运算，属于基础题.3．已知某种商品的广告费支出x （单位：万元）与销售额y （单位：万元）之间有如下对应数据：根据表中提供的全部数据，用最小二乘法得出y 关于x 的线性回归方程为715y x =+，则表中m 的值为（ ） A ．45 B ．50C ．55D ．60【答案】A【解析】求得样本中心点的坐标(),x y ，将该点的坐标代入回归直线方程可得出关于m 的等式，即可解得实数m 的值. 【详解】由表格中的数据可得2456855x ++++==，3040657020555y m m ++==+++，将点(),x y 的坐标代入回归直线方程得2057515505m+=⨯+=，解得45m =. 故选：A. 【点睛】本题考查利用回归直线过样本的中心点求参数，考查计算能力，属于基础题. 4．设曲线sin 1cos x y x =-在点,12π⎛⎫⎪⎝⎭处的切线与直线210x ay ++=垂直，则实数a 的值为（ ） A ．2- B ．12-C ．12D ．2【答案】A【解析】利用导数求得曲线sin 1cos x y x =-在点,12π⎛⎫⎪⎝⎭处的切线斜率，根据切线与直线210x ay ++=垂直可得出关于实数a 的等式，由此可解得实数a 的值.【详解】由题意得()()221cos cos sin 1cos 11cos x x x y x x --'==--， 所以曲线sin 1cos x y x =-在点,12π⎛⎫⎪⎝⎭处的切线的斜率11k =-，又直线210x ay ++=的斜率22k a =-，由1221k k a==-，解得2a =-. 故选：A. 【点睛】本题考查利用函数图象的切线与直线垂直求参数，考查计算能力，属于基础题. 5．函数()()ln 3f x x =-的部分图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】采用排除法，先判断函数的奇偶性，排除部分选项，再根据函数值特点排除一些选项，可得选项. 【详解】易知函数()f x 的定义域为{}33x x -<<， 由()()()()ln 3ln 3f x xx f x -=-=-=，则函数()f x 为偶数，排除选项D ；当2x =时，()20f =，排除选项C ； 由()()ln 30f x x =-≥，排除选项A .故选：B . 【点睛】本题考查辨别函数的图象，一般从函数的奇偶性，函数的零点，特殊点的函数值，函数的单调性等方面运用排除法，属于基础题.6．已知直线l 与抛物线26y x =交于A 、B 两点，直线l 的斜率为3，线段AB 的中点M 的横坐标为12，则AB =（ ） A．3 B．3C．3D【答案】B【解析】设点()11,A x y 、()22,B x y 、01,2M y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，利用点差法求得点M 的坐标，进而可得出直线l 的方程，然后将直线l 的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，结合弦长公式可求得AB . 【详解】设()11,A x y 、()22,B x y \01,2M y ⎛⎫⎪⎝⎭， 则2116y x =，2226y x =，两式相减得()()()1212126y y y y x x +-=-，所以12121263AB y y k x x y y -===-+，解得122y y +=，得01y =，所以1,12M ⎛⎫⎪⎝⎭， 得直线1:32l y x =-，联立21326y x y x⎧=-⎪⎨⎪=⎩，得219904x x -+=，819720∆=-=>，由韦达定理得121x x =+，12136x x =，所以AB ===故选：B. 【点睛】本题考查点差法求线段中点坐标，同时也考查了直线截抛物线所得弦长的计算，考查了韦达定理设而不求法的应用，考查计算能力，属于中等题.7．榫卯（sǔn mǎo ）是古代中国建筑，家具及其它器械的主要结构方式，是在两个构件上采用凹凸部位相结合的一种连接方式，其中凸出部分叫榫（或，叫榫头）；凹进部分叫卯（或叫榫眼、榫槽），其特点是在物件上不使用钉子，利用卯榫加固物件，体现出中国古老的文化和智慧.如图所示的网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某榫卯构件的三视图，则该构件的体积为（ ）A ．163π+B ．2163π+ C ．8163π+ D ．4163π-【答案】B【解析】还原几何体，该构件是由榫（上部分为圆锥，下部分为圆柱的组合体）插入到卯（一个四棱柱）得到的几何体，结合体积公式计算即可. 【详解】由三视图可知，该构件是由榫（上部分为圆锥，下部分为圆柱的组合体）插入到卯（一个四棱柱）得到的几何体，如下图所示：结合图中的数据可知该构件的体积为212124221633ππ⨯⨯⨯+⨯⨯=+. 故选：B.【点睛】本题主要考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原几何体，属于中档题. 8．甲、乙、丙、丁四人参加完机器人设计编程比赛，当问到四人谁得第一时，甲说：“是乙或丙获得第一名”；乙说：“甲、丙都未获得第一名”；丙说：“我获得第一名”；丁说：“是乙获得第一名”.已知他们四人中只有两人说的是真话，根据以上信息可以判断得第一名的人是（ ） A ．甲 B ．乙C ．丙D ．丁【答案】C【解析】对甲、乙、丙、丁分别获得第一名进行分类讨论，结合条件“甲、乙、丙、丁四人中只有两人说的是真话”进行推理，可得出结论. 【详解】若甲获得第一名，则四人说的都是假话，不符合题意；若乙获得第一名，则甲、乙、丁都说真话，丙说假话，不符合题意； 若丁获得第一名，则甲、丁、丙都说假话，乙说真话，不符合题意； 若丙获得第一名，则甲、丙说的是假话，乙、丁说的是真话，符合题意. 故获得第一名的人是丙. 故选：C. 【点睛】本题考查合情推理，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.9．设变量x ，y 满足线性约束条件210,220,20,x y x y x y -+≤⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩，若z x ay =+取得最大值时的最优解不唯一，则实数a 的值为（ ） A ．12-或1 B ．1或2-C ．2-或12-D ．1-或2【答案】B【解析】作出不等式组所表示的可行域，分0a >，0a <和0a =三种情况分别讨论，根据z x ay =+取得最大值时的最优解不唯一，可求出答案. 【详解】作出不等式组所表示的可行域如图阴影部分所示， ①若0a >，z x ay =+可化为11=-+y x z a a， 因为10a -<，10a>，所以只需1y x a =-和直线20x y +-=平行，此时目标函数11=-+y x z a a取得最大值时的最优解不唯一，可得1a =； ②若0a <，z x ay =+可化为11=-+y x z a a， 因为10a ->，10a<， 所以只需1y x a=-和直线210x y -+=平行，此时目标函数z x ay =+取得最大值时的最优解不唯一，可得2a =-；③若0a =，则z x =，此时z 取得最大值的最优解只有一个，不符合题意. 综上，1a =或2a =-. 故选：B.【点睛】本题考查了线性规划，注意目标函数的几何意义是解题的关键，属于中档题. 10．已知在ABC 中，2AB AC ==，2AB CA ⋅=-，点P 满足1132CP CB CA =+，则PA PB ⋅=（ ） A ．89-B ．89C ．23-D ．23【答案】A【解析】根据向量的数量积的定义可得出ABC 为等边三角形，再建立直角坐标系，得出向量,PA PB 的坐标，运用向量的数量积的坐标运算可得选项. 【详解】因为2AB CA ⋅=-，所以()()cos 22cos 2AB CA AB CA A A π⋅=⨯⨯-=⨯⨯-=-，所以1cos 2A =，又0A π<<，所以3A π=，所以ABC 为等边三角形， 以AC 的中点O 为坐标原点，分别以OA ，OB 为x ，y 轴建立如图所示的直角坐标系，则1,0A ，(3B ，()1,0C -， 所以(1,3CB =，()2,0CA =，所以1143323CP CB CA ⎛=+= ⎝⎭，23,3PA CA CP ⎛=-= ⎝⎭，1233PB CB CP ⎛=-=- ⎝⎭，所以268999PA PB ⋅=--=-. 故选：A.【点睛】本题考查向量的数量积的定义和运算，建立直角坐标系，运用坐标运算是常用的方法，属于中档题.11．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且72nn S m -=-，若121n nb a a a =⋅⋅⋅，则数列{}n b 中最小的项为（ ） A ．5b B ．6bC ．7bD ．6b 或7b【答案】D【解析】由1n n n a S S -=-，求出7a ，6a ，从而求出数列{}n a 的通项公式，再根据121n nb a a a =⋅⋅⋅计算可得；【详解】解：因为72nn S m -=-，所以7761a S S =-=，6652a S S =-=.因为数列{}n a 是等比数列，所以12q =，即7772n n n a a q --==，所以()1321212n n n nb a a a -==⋅⋅⋅，所以当6n =或7时，n b 最小， 故选：D . 【点睛】本题考查等比数列的通项公式的应用，属于基础题.12．已知函数()2,04,0x x ae x e x f x x x a x ⎧--≥=⎨+-<⎩，若关于x 的不等式()0f x ≤在区间[)4,-+∞上恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．10,1e⎡⎤+⎢⎥⎣⎦B ．[]0,1C ．10,1e⎡⎤+⎢⎥⎣⎦D ．[)0,1【答案】B【解析】分0x ≥和0x <两种情况讨论，由()0f x ≤结合参变量分离法分别求得实数a 的取值范围，取交集可得出实数a 的取值范围.【详解】由()0f x ≤，当0x ≥时，1x x a e ≤+，令()1xg x x e =+，则()1x xg x e -'=， 由()0g x '>，得01x ≤<；由()0g x '<，得1x >，所以()y g x =在区间[)0,1上单调递增，在区间()1,+∞上单调递减，所以()max 11g x e=+.当0x =时，()1g x =，x →+∞，()1g x →，1a ∴≤；当40x -≤<时，24a x x ≥+，令()22424y x x x =+=+-，则max 0y =，所以0a ≥. 综上所述，实数a 的取值范围是[]0,1. 故选：B. 【点睛】本题考查利用函数不等式恒成立求参数的取值范围，考查了参变量分离法的应用，考查计算能力，属于中等题.二、填空题13．2020年抗击新冠肺炎疫情期间，为不影响学生的学习生活，学校实行停课不停学.为督促学生按时学习，某校要求所有学生每天打卡，全校学生的总人数为1200人.某日随机抽查200人，发现因各种原因未及时打卡的学生数为12，估计该日这个学校未及时打卡的学生数为______. 【答案】72【解析】根据所占比例可得答案. 【详解】 由题意得12120072200⨯=，所以该日这个学校未及时打卡的学生数为72. 故答案为：72. 【点睛】本题考查由部分估计总体，属于基础题.14．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，若()111x x a f a -+=，则()2f -=______. 【答案】310-【解析】由于函数()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()00f =，从而可求出a 的值，进而求出()2f -的值.【详解】解：由题意得()00f =，即1102a -=，解得2a =， 所以()11221x f x =-+， 所以()2122132110f -=-+-=-. 故答案为：310-【点睛】此题考查奇函数的性质，求函数的值，属于基础题.15．已知双曲线E ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点分别为1F ，2F ，过原点的直线与E 的左、右两支分别交于B ，A 两点，直线2AF 交双曲线E 于另一点C （A ，C 在2F 的两侧）.若222F C AF =，且260BF C ∠=，则双曲线E 的渐近线方程为______.【答案】y x = 【解析】连接1AF ，1BF ，1CF ，由双曲线的对称性得四边形12AF BF 是平行四边形，令12AF F B m ==，2AF n =，则22CF n =，结合双曲线的定义可得122CF a n =+，在1F AC △中，由余弦定理可得,m n 的关系，得到,m n 与a 的关系，进而在12F AF 中利用余弦定理可得,a c 的关系，进而求解. 【详解】连接1AF ，1BF ，1CF ，如图所示：由双曲线的对称性得四边形12AF BF 是平行四边形，所以21AF F B =，令12AF F B m ==，2AF n =，22CF n =， 由双曲线的定义，得12122CF CF AF AF a -=-=， 所以122CF a n =+，在1F AC △中，由260BF C ∠=及余弦定理得：()2221923222n m n n m a -⨯⨯=++， 代入2a m n =-化简可得85m n =，又2a m n =-得103n a =，163m a =. 在12F AF 中，2222cos604m n m n c +-⋅⋅=， 即2219649a c =，可得73c a =， ∴73c a =，210b =， 所以E 的渐近线方程为210y x =. 故答案为：210y x = 【点睛】本题考查双曲线的几何性质和渐近线，涉及余弦定理的运用，双曲线的定义的运用，关键是利用双曲线的对称性，定义，和余弦定理得到,a c 的关系.属中档题.三、双空题16．已知数列{}n a 中，611a =，且()111n n na n a +--=，则n a =______；2143n a n+的最小值为______.【答案】21n - 44【解析】根据()111n n na n a +--=得到()1211n n n a na +++-=，两式作差，判断数列{}n a 为等差数列，再求出首项与公差，即可得出通项公式；根据通项公式，化214314444n a n n n+=+-，由基本不等式，即可求出最值. 【详解】因为()111n n na n a +--=，所以()1211n n n a na +++-=， 两式相减得1220n n n na na na ++-+=，所以212n n n a a a +++=， 所以数列{}n a 为等差数列.当1n =时，由()111n n na n a +--=得11a =， 由611a =，得公差2d =， 所以()12121n a n n =+-=-，所以()222114314314444444n n a n n n n -++==+-≥=，当且仅当1444n n=，即6n =时等号成立. 故答案为：21n -；44. 【点睛】本题主要考查求等差数列的通项公式，以及利用基本不等式求和的最值，属于常考题型.四、解答题17．已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足cos cos 2cos a B b A c C +=.（1）求C ；（2）若2b =，ABC ABC 的周长.【答案】（1）3π；（2）5【解析】（1）首先利用正弦定理得到sin cos sin cos 2sin cos A B B A C C +=，从而得到1cos 2C =，即可得到答案. （2）首先根据面积公式得到3a =，再利用余弦定理即可得到答案.（1）由题意及正弦定理得sin cos sin cos 2sin cos A B B A C C +=， 即()sin 2sin cos A B C C +=，即sin 2sin cos C C C =. 又因为0C π<<，所以sin 0C ≠，所以1cos 2C =，所以3C π=. （2）因为1sin 2ABC S ab C =，又由（1）得3C π=，所以3312sin 223a π=⨯⨯⨯，解得3a =. 又由余弦定理得22212cos 9423272c a b ab C =+-=+-⨯⨯⨯=， 所以7c =，ABC 的周长为57+.【点睛】本题第一问考查正弦定理的边化角公式，第二问考查正弦定理的面积公式和余弦定理解三角形，属于简单题.18．如图，矩形ABCD 所在平面垂直于直角梯形ABPE 所在平面，3EP =，2BP =，1AD AE ==，AE EP ⊥，//AE BP ，G ，F 分别是EP ，DC 的中点.（1）证明：//FG 平面PCB ； （2）求多面体ABCDEP 的体积. 【答案】（1）证明见解析；（2）536.【解析】（1）取AB 的中点H ，连接GH ，FH ，根据线面平行的判定定理，证明//GH 平面PCB ，//FH 平面PCB ，再由面面平行判定定理，得到平面//GFH 平面PCB ，从而可证明结论成立；（2）连接HP ，根据面面垂直的性质定理，得到DA ⊥平面ABPE ，HP ⊥平面ABCD ，将多面体ABCDEP 分成四棱锥D ABPE -和P BCD -，分别求出体积再求和，即可得出结果.（1）证明：取AB 的中点H ，连接GH ，FH ，如图所示. 因为G 是EP 的中点， 所以//GH BP .又因为GH ⊄平面PCB ，BP ⊂平面PCB ， 所以//GH 平面PCB . 同理//FH 平面PCB .又因为GH FH H ⋂=，所以平面//GFH 平面PCB ， 所以//FG 平面PCB .（2）连接HP ，因为平面ABCD ⊥平面ABPE ， 平面ABCD平面ABPE AB =，DA AB ⊥，所以DA ⊥平面ABPE ，由题意知易得直角梯形ABPE 的面积为()1331232⨯+=，3ABP π∠=， 所以133313D ABPE V -=⨯=在BHP 中，由余弦定理得241221cos603HP =+-⨯⨯⨯=， 所以222BP HP HB =+，所以HP AB ⊥. 因为平面ABCD ⊥平面ABPE ，平面ABCD 平面ABPE AB =，所以HP ⊥平面ABCD ， 所以13133P BCD V -=⨯=， 所以多面体ABCDEP 的体积为53D ABPE P BCD V V --+=【点睛】本题主要考查证明线面平行，求组合体的体积，熟记线面平行、面面平行的判定定理和性质，以及棱锥体积公式即可，属于常考题型.19．某企业对某种产品的生产线进行了改造升级，已知该种产品的质量以其质量指标值m衡量，并依据质量指标值m划分等级如下表：质量指标值m300350m≤<250300m≤<或350400m≤<150250m≤<或400450m≤≤等级一等品二等品三等品该企业从生产的这种产品中随机抽取100件产品作为样本，检测其质量指标值，得到如下的频率分布直方图.（1）根据频率分布直方图估计这100件产品的质量指标值m的平均数x（同一区间数据用该区间数据的中点值代表）；（2）用分层抽样的方法从样本质量指标值m在区间[)150,200和[]200,250内的产品中随机抽取4件，再从这4件中任取2件作进一步研究，求这2件都取自区间[]200,250的概率；（3）该企业统计了近100天中每天的生产件数，得下面的频数分布表：件数[)55006500,[)65007500,[)7500,8500[]8500,9500天数20304010该企业计划引进新的设备对该产品进行进一步加工，有A，B两种设备可供选择.A设备每台每天最多可以加工30件，每天维护费用为500元/台；B设备每台每天最多可以加工4件，每天维护费用为800元/台.该企业现有两种购置方案： 方案一：购买100台A 设备和800台B 设备； 方案二：购买200台A 设备和450台B 设备.假设进一步加工后每件产品可以增加25元的收入，在抽取的这100天的生产件数（同一组数据用该区间数据的中点值代表）的前提下，试依据使用A ，B 两种设备后的日增加的利润（日增加的利润=日增加的收入-日维护费用）的均值为该公司决策选择哪种方案更好？【答案】（1）312.5；（2）12；（3）方案二. 【解析】（1）根据频率分布直方图中的数据计算即可；（2）首先得到应从区间[)150,200上抽取1件，记为1A ，从区间[]200,250上抽取3件，记为1B ，2B ，3B ，然后用列举法求解即可；（3）根据给出的条件分别计算出两种方案下的日增加的利润均值即可得到答案. 【详解】 （1）由题意得1750.052250.152750.23250.33750.24250.1312.5x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.（2）因为区间[)150,200和[]200,250上的频率之比为1:3，所以应从区间[)150,200上抽取1件，记为1A ，从区间[]200,250上抽取3件，记为1B ，2B ，3B ，则从中任取两件的情况有()11,A B ，()12,A B ，()13,A B ，()12,B B ，()13,B B ，()23,B B 共6种，其中两件都取自区间[]200,250上的情况有()12,B B ，()13,B B ，()23,B B ，共3种， 所以其概率3162P ==. （3）每天生产件数的频数分布表为：若采用方案一，使用100台A 设备和800台B 设备每天可进一步加工的件数为3010048006200⨯+⨯=，可得实际加工件数的频数分布表为所以方案一中使用A ，B 设备进一步加工后的日增加的利润均值为()600020620080255001008080040000100⨯+⨯⨯-⨯-⨯=；若采用方案二，使用200台A 设备和450台B 设备每天可进一步加工的件数为3020044507800⨯+⨯=，可得实际加工件数的频数分布表为所以方案二中使用A ，B 设备进一步加工后的日增加的利润均值为()600020700030780050255002008045044000100⨯+⨯+⨯⨯-⨯-⨯=.综上所述，公司应该选择方案二. 【点睛】本题主要考查的是频率分布直方图和古典概型的知识，考查了学生的数据处理能力，属于基础题.20．如图，椭圆Γ：22221x y a b +=（0a b >>）的离心率为2，直线l ：240x y +-=与Γ只有一个公共点M .（1）求椭圆Γ的方程.（2）不经过原点O 的直线l '与OM 平行且与Γ交于A ，B 两点，记直线MA ，MB 的斜率分别为1k ，2k ，证明：12k k +为定值.【答案】（1）22182x y +=；（2）证明见解析. 【解析】（1）由椭圆的离心率为32，可得12b a =，再由直线与椭圆只有一个公共点，可把直线与椭圆方程联立成方程组消元后，判别式等于零，可求出28a =，从而可得椭圆的方程；（2）由（1）可求出点()2,1M ，从而可得直线l '的方程为12y x m =+，设()11,A x y ，()22,B x y ，直线l '的方程与椭圆的方程联立成方程组，化简后利用根与系数的关系可得122x x m +=-，21224x x m =-，而1211221122y x k k y x +--+=--化简变形可得结果. 【详解】 （1）解：由3c e a ==3c =，由222a c b -=，得12b a =， 所以Γ的方程为222241x y a a+=，即2224x y a +=，与l ：240x y +-=联立得22816160y y a -+-=， 令()221632160a∆=--=，得28a=，所以椭圆Γ的方程为22182x y +=.（2）证明：由（1）得281680y y -+=，所以()2,1M ，设l '：12y x m =+，()11,A x y ，()22,B x y ， 联立方程组221,21,82y x m x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 整理得222240x mx m ++-=，()2244240m m ∆=-->，得22m -<<，则122x x m +=-，21224x x m =-，1211221122y x k k y x +--+=-- 121211112222x m x m x x +-+-=+--12112222m m x x =+++-- ()()()12124122m x x x x +--=-+()()1212121424m x x x x x x +--+=++()222441404m m m m =--=-+++，所以120k k +=. 【点睛】此题考查的是求椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查计算能力，属于中档题. 21．已知函数()()2ln 211x ax x f x a a =-+-+-（a R ∈）.（1）讨论()f x 的单调性.（2）证明：当1a =时，()1111ln 2ln 3ln 4ln 1n n n n n n ++++<+++⋅⋅⋅++（n *∈N ）. 【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析. 【解析】（1）()f x 的定义域为()0,∞+.求出()'f x ，分12a <-，12a =-，102a -<<和0a ≥四种情况讨论()f x 的单调性；（2）当1a =时，由（1）可知，()()max 10f x f ==，即2ln 0x x x -+≤，故()ln 1x x x ≤-.当1x >时，由()1111ln 11x x x x x>=---.令2,3,,1x n =⋅⋅⋅+，所得各式两端分别相加，得()111111ln 2ln 3ln 4ln 111n n n n +++⋅⋅⋅+>-=+++，即得 ()1111ln 2ln 3ln 4ln 1n n n n n n ++++<+++⋅⋅⋅++（n *∈N ）. 【详解】（1）()f x 的定义域为()0,∞+.()()()()()222112111221ax a x ax x ax a x f xx x -+-+-+'-=-+-==（0x >）， 当12a <-时，令()0f x '>，得102x a <<-或1x >；令()0f x '<，得112x a -<<，()f x ∴在区间10,2a ⎛⎫-⎪⎝⎭，()1,+∞上单调递增，在区间1,12a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减.当12a =-时，()()210x f x x-'=>，()f x ∴在区间()0,∞+上单调递增. 当102a -<<时，令()0f x '>，得01x <<或12x a >-；令()0f x '<，得112x a <<-，()f x ∴在区间()0,1，1,2a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在区间11,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减.当0a ≥时，令()0f x '>，得01x <<；令()0f x '<，得1x >，()f x ∴在区间()0,1上单调递增，在区间()1,+∞上单调递减.综上，当12a <-时，()f x 在区间10,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，()1,+∞上单调递增，在区间1,12a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减；当12a =-时，()f x 在区间()0,∞+上单调递增，无单调递减区间； 当102a -<<时，()f x 在区间()0,1，1,2a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在区间11,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减；当0a ≥时，()f x 在区间()0,1上单调递增，在区间()1,+∞上单调递减.（2）证明：当1a =时，由（1）可知，()f x 在区间()0,1上单调递增，在区间()1,+∞上单调递减，()()max 10f x f ∴==，2ln 0x x x ∴-+≤，即()ln 1x x x ≤-.当1x >时，()1111ln 11x x x x x>=---， 令2,3,,1x n =⋅⋅⋅+，得111ln 22>-， 111ln 323>-， 111ln 434>-，…， ()111ln 11n n n >-++，以上各式两端分别相加，得()111111ln 2ln 3ln 4ln 111n n n n +++⋅⋅⋅+>-=+++， ()1111ln 2ln 3ln 4ln 1n n n n n n ++++∴<+++⋅⋅⋅++（n *∈N ）. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，利用导数证明不等式，属于难题.22．在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为33x m y =+⎧⎪⎨=⎪⎩（m 为参数）.以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为()222cos 1004r r ρρθ=++-<<.（1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线l 与x 轴交于点M ，与曲线C 交于A 、B两点，且11MA MB +=，求r 的值.【答案】（1）:30l x -=， ()()222:104C x y r r ++=<<；（2）3. 【解析】（1）在直线l 的参数方程中消去参数m ，可得出直线l 的普通方程，利用222cos x y xρρθ⎧=+⎨=⎩可将曲线C 的极坐标方程转化为普通方程； （2）将直线l的参数方程表示为312x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），设点A 、B 对应的参数分别为1t 、2t ，将直线l 的参数方程与曲线C的普通方程联立，列出韦达定理，结合等式11MA MB +=可得出关于r 的等式，结合04r <<可求得r 的值. 【详解】（1）将l的参数方程33x m y =+⎧⎪⎨=⎪⎩（m 为参数），消去参数m ，得直线l的普通方程为30x --=.因为222cos x y xρρθ⎧=+⎨=⎩，代入()222cos 1004r r ρρθ=++-<<，所以曲线C 的直角坐标方程为()()222104x y r r ++=<<；（2）由（1）得点()3,0M ，设直线l的参数方程为312x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）， 代入()()222104x y r r ++=<<中得()22210424t r r ⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭<⎝<⎭，整理得()2216004t r r +=<+<-，()22484164160rr∆=--=->，04r <<，可得24r <<，设点A 、B 对应的参数分别为1t 、2t，则12t t +=-21216t t r =-，所以12121212121111t t t t t t t t t M t A MB ++=+==+==，解得3r =. 故所求r 的值为3. 【点睛】本题考查参数方程、极坐标方程与普通方程之间的转化，同时也考查了利用直线的参数方程的几何意义解决实际问题，考查计算能力，属于中等题. 23．已知函数()31f x x x =--+.（1）若关于x 的不等式()25f x a a ≥+恒成立，求实数a 的取值范围；（2）求不等式()2f x x ≤的解集.【答案】（1）{}41a a -≤≤-；（2）12x x ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭. 【解析】（1）根据函数解析式，先得到函数最小值，将原不等式化为2540a a ++≤，求解，即可得出结果；（2）根据分类讨论的方法，分别讨论3x ≥，1x ≤-，13x 三种情况，求出不等式的解集，再求并集，即可得出结果. 【详解】（1）因为()4,3,3122,13,4,1,x f x x x x x x -≥⎧⎪=--+=--<<⎨⎪≤-⎩所以()min 4f x =-，又不等式()25f x a a ≥+恒成立，所以只需()2min 5f x a a ≥+，即2540a a ++≤，解得41a -≤≤-； 所以实数a 的取值范围为{}41a a -≤≤-；（2）因为()4,3,22,13,4,1,x f x x x x -≥⎧⎪=--<<⎨⎪≤-⎩当3x ≥时，不等式()2f x x ≤可化为42x ≤，解得2x ≥，所以3x ≥； 当1x ≤-时，不等式()2f x x ≤可化为42x ≤，解得2x ≥，所以无解； 当13x时，不等式()2f x x ≤可化为222x x -≤，若1x <，则222x x -≤，解得：12x ≥，所以112x ≤<；若1x ≥，则222x x -≤，即20-≤，显然成立，所以13x ≤<，因此132x ≤<， 综上，12x ≥，所以不等式()2f x x ≤的解集为12x x ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭. 【点睛】本题主要考查由绝对值不等式求参数的问题，以及分类讨论的方法解含绝对值不等式，属于常考题型.。
【精准解析】河北省衡水中学2020届高三模拟(三)数学(理)试题
③
f
16 3
f
1 2 ；④关于
x 的方程
f
x t
0（0t
1）在区间 2, 7 上的所有实根
之和是 12. A. ①④ 【答案】A 【解析】
B. ①②④
C. ③④
D. ①②③
【分析】
由题意可知 f x 的图象关于直线 x 1 对称，①正确；利用 f x 2 f x 0 和函数的
（）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
-1-
C. 充要条件 【答案】A 【解析】 【分析】
D. 既不充分也不必要条件
本题首先可以根据圆的方程确定圆心与半径，然后通过证明当 m 2 时直线 l 与圆 O 相切即
可得出“ m 2 ”是“直线 l 与圆 O 相切”的充分条件，最后通过求解当直线 l 与圆 O 相切 时 m 的值即可得出“ m 2 ”不是“直线 l 与圆 O 相切”的必要条件，即可得出结果.
1
，则
A
B
（
）
4 x2
A. 2,1
B. 2,1
C. , 2
D.
, 2
【答案】A 【解析】 【分析】 化简集合 B,根据交集的定义求解即可.
【详解】由题意知 B x 2 x 2 ，则 A B x 2 x 1 .故选 A.
【点睛】本题考查了集合的运算,以及函数的性质,属于基础题.
3.已知直线 l ： y x m 和圆 O ： x2 y2 1 ，则“ m 2 ”是“直线 l 与圆 O 相切”的
f x 4 f x 2 f x ，所以 f x 是周期函数，其一个周期为 4，但不能说明 2 是
f x 的周期，故②错误；
由
f
x 的周期性和对称性可得
〖汇总3套试卷〗衡水市知名学校2020年中考三模数学试题
中考数学模拟试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．如图,A,B 两点分别位于一个池塘的两端,小聪想用绳子测量A,B 间的距离,但绳子不够长,一位同学帮他想了一个主意:先在地上取一个可以直接到达A,B 的点C,找到AC,BC 的中点D,E,并且测出DE 的长为10m,则A,B 间的距离为（ ）A ．15mB ．25mC ．30mD ．20m【答案】D【解析】根据三角形的中位线定理即可得到结果. 【详解】解:由题意得AB=2DE=20cm ， 故选D. 【点睛】本题考查的是三角形的中位线，解答本题的关键是熟练掌握三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．2．如图，一个斜边长为10cm 的红色三角形纸片，一个斜边长为6cm 的蓝色三角形纸片，一张黄色的正方形纸片，拼成一个直角三角形，则红、蓝两张纸片的面积之和是（ ）A ．60cm 2B ．50cm 2C ．40cm 2D ．30cm 2【答案】D【解析】标注字母，根据两直线平行，同位角相等可得∠B=∠AED ，然后求出△ADE 和△EFB 相似，根据相似三角形对应边成比例求出53DE BF =，即53EF BF =，设BF=3a ，表示出EF=5a ，再表示出BC 、AC ，利用勾股定理列出方程求出a 的值，再根据红、蓝两张纸片的面积之和等于大三角形的面积减去正方形的面积计算即可得解．【详解】解:如图，∵正方形的边DE ∥CF ， ∴∠B=∠AED ， ∵∠ADE=∠EFB=90°， ∴△ADE ∽△EFB ， ∴10563DE AE BF BE ===，∴53EF BF =， 设BF=3a ，则EF=5a ， ∴BC=3a+5a=8a ， AC=8a×53=403a ， 在Rt △ABC 中，AC 1+BC 1=AB 1，即（403a ）1+（8a ）1=（10+6）1， 解得a 1=1817，红、蓝两张纸片的面积之和=12×403a×8a-（5a ）1， =1603a 1-15a 1， =853a 1， =853×1817， =30cm 1． 故选D ． 【点睛】本题考查根据相似三角形的性质求出直角三角形的两直角边，利用红、蓝两张纸片的面积之和等于大三角形的面积减去正方形的面积求解是关键. 3．下列计算正确的是（ ） A ．235+= B ．a a a +=222C ．(1)x y x xy +=+D ．236()mn mn =【答案】C【解析】解：A 、不是同类二次根式，不能合并，故A 错误； B ．23a a a += ，故B 错误；C ．1x y x xy +=+（） ，正确； D ．2326mn m n =（），故D 错误．故选C ．4．下列几何体中，俯视图为三角形的是( ) A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】俯视图是从上面所看到的图形，可根据各几何体的特点进行判断． 【详解】A.圆锥的俯视图是圆，中间有一点，故本选项不符合题意，B.几何体的俯视图是长方形，故本选项不符合题意，C.三棱柱的俯视图是三角形，故本选项符合题意，D.圆台的俯视图是圆环，故本选项不符合题意， 故选C. 【点睛】此题主要考查了由几何体判断三视图，正确把握观察角度是解题关键． 5．若x ，y 的值均扩大为原来的3倍，则下列分式的值保持不变的是（ ）A ．2x x y+-B ．22y xC ．3223y xD ．222()y x y -【答案】D【解析】根据分式的基本性质，x ，y 的值均扩大为原来的3倍，求出每个式子的结果，看结果等于原式的即是答案．【详解】根据分式的基本性质，可知若x ，y 的值均扩大为原来的3倍， A 、23233x xx y x y ++≠--，错误；B 、22629y yx x ≠，错误； C 、3322542273y y x x ≠，错误； D 、()()22221829y y x y x y --＝，正确；故选D ． 【点睛】本题考查的是分式的基本性质，即分子分母同乘以一个不为0的数，分式的值不变．此题比较简单，但计算时一定要细心．6．不等式组325521x x +>⎧⎨-≥⎩的解在数轴上表示为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】先解每一个不等式，再根据结果判断数轴表示的正确方法． 【详解】解：由不等式①，得3x ＞5-2，解得x ＞1，由不等式②，得-2x≥1-5，解得x≤2，∴数轴表示的正确方法为C．故选C．【点睛】考核知识点：解不等式组.7．如图，以两条直线l1，l2的交点坐标为解的方程组是( )A．121x yx y-=⎧⎨-=⎩B．121x yx y-=-⎧⎨-=-⎩C．121x yx y-=-⎧⎨-=⎩D．121x yx y-=⎧⎨-=-⎩【答案】C【解析】两条直线的交点坐标应该是联立两个一次函数解析式所组成的方程组的解．因此本题需先根据两直线经过的点的坐标，用待定系数法求出两直线的解析式．然后联立两函数的解析式可得出所求的方程组．【详解】直线l1经过（2，3）、（0，-1），易知其函数解析式为y=2x-1；直线l2经过（2，3）、（0，1），易知其函数解析式为y=x+1；因此以两条直线l1，l2的交点坐标为解的方程组是：1 21 x yx y-=-⎧⎨-=⎩．故选C．【点睛】本题主要考查了函数解析式与图象的关系，满足解析式的点就在函数的图象上，在函数的图象上的点，就一定满足函数解析式．函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解．8．如图，已知▱ABCD中，E是边AD的中点，BE交对角线AC于点F，那么S△AFE：S四边形FCDE为( )A．1：3 B．1：4 C．1：5 D．1：6【答案】C【解析】根据AE∥BC，E为AD中点，找到AF与FC的比，则可知△AEF面积与△FCE面积的比，同时因为△DEC面积=△AEC面积，则可知四边形FCDE面积与△AEF面积之间的关系．【详解】解：连接CE，∵AE∥BC，E为AD中点，∴12 AE AFBC FC==．∴△FEC面积是△AEF面积的2倍．设△AEF面积为x，则△AEC面积为3x，∵E为AD中点，∴△DEC面积=△AEC面积=3x．∴四边形FCDE面积为1x，所以S△AFE：S四边形FCDE为1：1．故选：C．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质、平行四边形的性质，解题关键是通过线段的比得到三角形面积的关系．9．一个不透明的袋子里装着质地、大小都相同的3个红球和2个绿球，随机从中摸出一球，不再放回袋中，充分搅匀后再随机摸出一球．两次都摸到红球的概率是（）A．310B．925C．920D．35【答案】A【解析】列表或画树状图得出所有等可能的结果，找出两次都为红球的情况数，即可求出所求的概率：【详解】列表如下：红红红绿绿红﹣﹣﹣（红，红）（红，红）（绿，红）（绿，绿）红（红，红）﹣﹣﹣（红，红）（绿，红）（绿，红）红（红，红）（红，红）﹣﹣﹣（绿，红）（绿，红）绿（红，绿）（红，绿）（红，绿）﹣﹣﹣（绿，绿）绿（红，绿）（红，绿）（红，绿）（绿，绿）﹣﹣﹣∵所有等可能的情况数为20种，其中两次都为红球的情况有6种， ∴63P 2010==两次红， 故选A.10．如图，在三角形ABC 中，∠ACB=90°，∠B=50°，将此三角形绕点C 沿顺时针方向旋转后得到三角形A′B′C ，若点B′恰好落在线段AB 上，AC 、A′B′交于点O ，则∠COA ′的度数是（ ）A ．50°B ．60°C ．70°D ．80°【答案】B【解析】试题分析：∵在三角形ABC 中，∠ACB=90°，∠B=50°，∴∠A=180°﹣∠ACB ﹣∠B=40°． 由旋转的性质可知：BC=B′C ，∴∠B=∠BB′C=50°．又∵∠BB′C=∠A+∠ACB′=40°+∠ACB′，∴∠ACB′=10°，∴∠COA′=∠AOB′=∠OB′C+∠ACB′=∠B+∠ACB′=60°．故选B ． 考点：旋转的性质．二、填空题（本题包括8个小题） 11．已知21x y =⎧⎨=⎩是方程组ax 5{1by bx ay +=+=的解，则a ﹣b 的值是___________【答案】4;【解析】试题解析：把21x y =⎧⎨=⎩代入方程组得：25{21a b b a ++＝①＝②，①×2-②得：3a=9，即a=3， 把a=3代入②得：b=-1， 则a-b=3+1=4，12．如图，矩形ABCD ，AB=2，BC=1，将矩形ABCD 绕点A 顺时针旋转90°得矩形AEFG ，连接CG 、EG ，则∠CGE=________．【答案】45° 【解析】试题解析：如图，连接CE ， ∵AB=2，BC=1， ∴DE=EF=1，CD=GF=2， 在△CDE 和△GFE 中,CD GF CDE GFE DE EF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△CDE ≌△GFE(SAS)， ∴CE=GE ，∠CED=∠GEF ， 90AEG GEF ∠+∠=， 90CEG AEG CED ∴∠=∠+∠=，45.CGE ∴∠=故答案为45.13．观察图形，根据图形面积的关系，不需要连其他的线，便可以得到一个用来分解因式的公式，这个公式是________________【答案】222()2a b a ab b +=++【解析】由图形可得：()2222a b a ab b +=++14．如图，在平面直角坐标系中，已知点A （1，1），以点O 为旋转中心，将点A 逆时针旋转到点B 的位置，则AB 的长为_____．【答案】24π． 【解析】由点A(1，1)，可得OA 的长，点A 在第一象限的角平分线上，可得∠AOB=45°，，再根据弧长公式计算即可． 【详解】∵A(1，1)， ∴OA=22112+=，点A 在第一象限的角平分线上，∵以点O 为旋转中心，将点A 逆时针旋转到点B 的位置， ∴∠AOB=45°， ∴AB 的长为452180π⨯=24π，故答案为：24π． 【点睛】本题考查坐标与图形变化——旋转，弧长公式，熟练掌握旋转的性质以及弧长公式是解题的关键.本题中求出OA=2以及∠AOB=45°也是解题的关键． 15．若a 2+3＝2b ，则a 3﹣2ab+3a ＝_____． 【答案】1【解析】利用提公因式法将多项式分解为a(a 2+3)-2ab ，将a 2+3=2b 代入可求出其值． 【详解】解：∵a 2+3=2b ，∴a 3-2ab+3a=a(a 2+3)-2ab=2ab-2ab=1， 故答案为1． 【点睛】本题考查了因式分解的应用，利用提公因式法将多项式分解是本题的关键．16．每一层三角形的个数与层数的关系如图所示，则第2019层的三角形个数为_____．【答案】2．【解析】设第n层有a n个三角形（n为正整数），根据前几层三角形个数的变化，即可得出变化规律“a n＝2n﹣2”，再代入n＝2029即可求出结论．【详解】设第n层有a n个三角形（n为正整数），∵a2＝2，a2＝2+2＝3，a3＝2×2+2＝5，a4＝2×3+2＝7，…，∴a n＝2（n﹣2）+2＝2n﹣2．∴当n＝2029时，a2029＝2×2029﹣2＝2．故答案为2．【点睛】本题考查了规律型：图形的变化类，根据图形中三角形个数的变化找出变化规律“a n＝2n﹣2”是解题的关键．17．已知一个多边形的每一个内角都是144，则这个多边形是_________边形.【答案】十【解析】先求出每一个外角的度数，再根据边数=360°÷外角的度数计算即可．【详解】解：180°﹣144°=36°，360°÷36°=1，∴这个多边形的边数是1．故答案为十．【点睛】本题主要考查了多边形的内角与外角的关系，求出每一个外角的度数是关键．18．抛物线y=﹣x2+bx+c的部分图象如图所示，若y＞0，则x的取值范围是_____．【答案】－3＜x＜1【解析】试题分析：根据抛物线的对称轴为x=﹣1，一个交点为（1，0），可推出另一交点为（﹣3，0），结合图象求出y＞0时，x的范围．解：根据抛物线的图象可知：抛物线的对称轴为x=﹣1，已知一个交点为（1，0），根据对称性，则另一交点为（﹣3，0），所以y＞0时，x的取值范围是﹣3＜x＜1．故答案为﹣3＜x＜1．考点：二次函数的图象．三、解答题（本题包括8个小题）19．解分式方程：21133x x x-+=--． 【答案】2x =．【解析】试题分析：方程最简公分母为(3)x -，方程两边同乘(3)x -将分式方程转化为整式方程求解，要注意检验．试题解析：方程两边同乘(3)x -，得：213x x --=-，整理解得：2x =，经检验：2x =是原方程的解．考点：解分式方程．20．甲、乙两地相距300千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发驶向乙地，如图，线段OA 表示货车离甲地距离y （千米）与时间x （小时）之间的函数关系；折线OBCDA 表示轿车离甲地距离y （千米）与时间x （小时）之间的函数关系．请根据图象解答下列问题：当轿车刚到乙地时，此时货车距离乙地 千米；当轿车与货车相遇时，求此时x 的值；在两车行驶过程中，当轿车与货车相距20千米时，求x 的值．【答案】（1）30；（2）当x ＝3.9时，轿车与货车相遇；（3）在两车行驶过程中，当轿车与货车相距20千米时，x 的值为3.5或4.3小时．【解析】（1）根据图象可知货车5小时行驶300千米，由此求出货车的速度为60千米/时，再根据图象得出货车出发后4.5小时轿车到达乙地，由此求出轿车到达乙地时，货车行驶的路程为270千米，而甲、乙两地相距300千米，则此时货车距乙地的路程为：300﹣270＝30千米； （2）先求出线段CD 对应的函数关系式，再根据两直线的交点即可解答； （3）分两种情形列出方程即可解决问题． 【详解】解：（1）根据图象信息：货车的速度V 货＝300605=， ∵轿车到达乙地的时间为货车出发后4.5小时，∴轿车到达乙地时，货车行驶的路程为：4.5×60＝270（千米）， 此时，货车距乙地的路程为：300﹣270＝30（千米）． 所以轿车到达乙地后，货车距乙地30千米． 故答案为30；（2）设CD 段函数解析式为y ＝kx+b （k≠0）（2.5≤x≤4.5）． ∵C （2.5，80），D （4.5，300）在其图象上，2.5804.5300k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得110195k b =⎧⎨=-⎩， ∴CD 段函数解析式：y ＝110x ﹣195（2.5≤x≤4.5）；易得OA ：y ＝60x ，11019560y x y x=-⎧⎨=⎩，解得 3.9234x y ==， ∴当x ＝3.9时，轿车与货车相遇；（3）当x ＝2.5时，y 货＝150，两车相距＝150﹣80＝70＞20，由题意60x ﹣（110x ﹣195）＝20或110x ﹣195﹣60x ＝20，解得x ＝3.5或4.3小时．答：在两车行驶过程中，当轿车与货车相距20千米时，x 的值为3.5或4.3小时．【点睛】本题考查了一次函数的应用，对一次函数图象的意义的理解，待定系数法求一次函数的解析式的运用，行程问题中路程＝速度×时间的运用，本题有一定难度，其中求出货车与轿车的速度是解题的关键． 21．如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y ＝kx+b(k≠0)的图象与反比例函数y ＝n x(n≠0)的图象交于第二、四象限内的A 、B 两点，与x 轴交于点C ，点B 坐标为(m ，﹣1)，AD ⊥x 轴，且AD ＝3，tan ∠AOD ＝32．求该反比例函数和一次函数的解析式；求△AOB 的面积；点E 是x 轴上一点，且△AOE 是等腰三角形，请直接写出所有符合条件的E 点的坐标．【答案】（1）y ＝﹣6x ，y ＝﹣12x+2；（2）6；（3）当点E （﹣4，0130130）或（﹣134，0）时，△AOE 是等腰三角形． 【解析】（1）利用待定系数法，即可得到反比例函数和一次函数的解析式；（2）利用一次函数解析式求得C （4，0），即OC ＝4，即可得出△AOB 的面积＝12×4×3＝6； （3）分类讨论：当AO 为等腰三角形腰与底时，求出点E 坐标即可．【详解】（1）如图，在Rt △OAD 中，∠ADO ＝90°，∵tan ∠AOD ＝32AD OD=，AD ＝3，∴OD＝2，∴A（﹣2，3），把A（﹣2，3）代入y＝nx，考点：n＝3×（﹣2）＝﹣6，所以反比例函数解析式为：y＝﹣6x，把B（m，﹣1）代入y＝﹣6x，得：m＝6，把A（﹣2，3），B（6，﹣1）分别代入y＝kx+b，得：23 61k bk b-+=⎧⎨+=-⎩，解得：122kb⎧=-⎪⎨⎪=⎩，所以一次函数解析式为：y＝﹣12x+2；（2）当y＝0时，﹣12x+2＝0，解得：x＝4，则C（4，0），所以14362AOCS=⨯⨯=；（3）当OE3＝OE2＝AO=，即E20），E30）；当OA＝AE1＝OE1＝2OD＝4，即E1（﹣4，0）；当AE4＝OE4时，由A（﹣2，3），O（0，0），得到直线AO解析式为y＝﹣32x，中点坐标为（﹣1，1.5），令y＝0，得到y＝﹣134，即E4（﹣134，0），综上，当点E（﹣4，00）或（﹣134，0）时，△AOE是等腰三角形．【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握各自的性质是解题的关键．22．先化简22442x xx x-+-÷(x-4x),然后从x的值代入求值.【答案】当x=－1时，原式=1=11+2-；当x=1时，原式=11=1+23【解析】先将括号外的分式进行因式分解，再把括号内的分式通分，然后按照分式的除法法则，将除法转化为乘法进行计算．【详解】原式=22 (2)4 (2)x xx x x --÷-=()2(2)•(2)2(2)x x x x x x --+- =12x + ∵-5＜x ＜5，且x 为整数，∴若使分式有意义，x 只能取-1和1当x=1时，原式=13．或：当x=-1时，原式=1 23．如图1，2分别是某款篮球架的实物图与示意图，已知底座BC 的长为0.60m ，底座BC 与支架AC 所成的角∠ACB=75°，点A 、H 、F 在同一条直线上，支架AH 段的长为1m ，HF 段的长为1.50m ，篮板底部支架HE 的长为0.75m ．求篮板底部支架HE 与支架AF 所成的角∠FHE 的度数．求篮板顶端F 到地面的距离．(结果精确到0.1 m ；参考数据：cos75°≈0.2588，sin75°≈0.9659，tan75°≈3.732，3≈1.732，2≈1.414)【答案】（1）∠FHE ＝60°；（2）篮板顶端 F 到地面的距离是 4.4 米．【解析】（1）直接利用锐角三角函数关系得出cos ∠FHE=12HE HF =，进而得出答案； （2）延长FE 交CB 的延长线于M ，过A 作AG ⊥FM 于G ，解直角三角形即可得到结论．【详解】（1 ）由题意可得：cos ∠FHE ＝12HE HF =，则∠FHE ＝60°； （2）延长 FE 交 CB 的延长线于 M ，过 A 作 AG ⊥FM 于 G ，在 Rt △ABC 中，tan ∠ACB ＝AB BC， ∴AB ＝BC•tan75°＝0.60×3.732＝2.2392，∴GM ＝AB ＝2.2392，在 Rt △AGF 中，∵∠FAG ＝∠FHE ＝60°，sin ∠FAG ＝FG AF ， ∴sin60°＝2.5FG ＝32， ∴FG≈2.17（m ），∴FM ＝FG+GM≈4.4（米），答：篮板顶端 F 到地面的距离是 4.4 米．【点睛】本题考查解直角三角形、锐角三角函数、解题的关键是添加辅助线，构造直角三角形，记住锐角三角函数的定义.24．由于雾霾天气频发，市场上防护口罩出现热销，某医药公司每月固定生产甲、乙两种型号的防雾霾口罩共20万只，且所有产品当月全部售出，原料成本、销售单价及工人生产提成如表：若该公司五月份的销售收入为300万元，求甲、乙两种型号的产品分别是多少万只？公司实行计件工资制，即工人每生产一只口罩获得一定金额的提成，如果公司六月份投入总成本（原料总成本+生产提成总额）不超过239万元，应怎样安排甲、乙两种型号的产量，可使该月公司所获利润最大？并求出最大利润（利润=销售收入﹣投入总成本）【答案】（1）甲型号的产品有10万只，则乙型号的产品有10万只；（2）安排甲型号产品生产15万只，乙型号产品生产5万只，可获得最大利润91万元．【解析】（1）设甲型号的产品有x 万只，则乙型号的产品有（20﹣x ）万只，根据销售收入为300万元可列方程18x+12（20﹣x ）=300，解方程即可；（2）设安排甲型号产品生产y 万只，则乙型号产品生产（20﹣y ）万只，根据公司六月份投入总成本（原料总成本+生产提成总额）不超过239万元列出不等式，求出不等式的解集确定出y 的范围，再根据利润=售价﹣成本列出W 与y 的一次函数，根据y 的范围确定出W 的最大值即可．【详解】（1）设甲型号的产品有x 万只，则乙型号的产品有（20﹣x ）万只，根据题意得：18x+12（20﹣x ）=300，解得：x=10，则20﹣x=20﹣10=10，则甲、乙两种型号的产品分别为10万只，10万只；（2）设安排甲型号产品生产y 万只，则乙型号产品生产（20﹣y ）万只，根据题意得：13y+8.8（20﹣y）≤239，解得：y≤15，根据题意得：利润W=（18﹣12﹣1）y+（12﹣8﹣0.8）（20﹣y）=1.8y+64，当y=15时，W最大，最大值为91万元．所以安排甲型号产品生产15万只，乙型号产品生产5万只时，可获得最大利润为91万元. 考点：一元一次方程的应用；一元一次不等式的应用；一次函数的应用.25．如图所示，直线y=12x+2与双曲线y=kx相交于点A(2，n)，与x轴交于点C．求双曲线解析式；点P在x轴上，如果△ACP的面积为5，求点P的坐标.【答案】（1）6yx=；（2）（23-，0）或22,03⎛⎫-⎪⎝⎭【解析】（1）把A点坐标代入直线解析式可求得n的值，则可求得A点坐标，再把A点坐标代入双曲线解析式可求得k的值，可求得双曲线解析式；（2）设P（x，0），则可表示出PC的长，进一步表示出△ACP的面积，可得到关于x的方程，解方程可求得P点的坐标．【详解】解：（1）把A（2，n）代入直线解析式得：n=3，∴A（2，3），把A坐标代入y=kx，得k=6，则双曲线解析式为y=6x．（2）对于直线y=12x+2，令y=0，得到x=-4，即C（-4，0）．设P（x，0），可得PC=|x+4|．∵△ACP面积为5，∴12|x+4|•3=5，即|x+4|=2，解得：x=-23或x=-223，则P坐标为23⎛⎫- ⎪⎝⎭，或223⎛⎫-⎪⎝⎭，．26．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC＞BC，CD是Rt△ABC的高，E是AC的中点，ED的延长线与CB的延长线相交于点F．求证：DF是BF和CF的比例中项；在AB上取一点G，如果AE•AC=AG•AD，求证：EG•CF=ED•DF．【答案】证明见解析【解析】试题分析：（1）根据已知求得∠BDF=∠BCD，再根据∠BFD=∠DFC，证明△BFD∽△DFC，从而得BF：DF=DF：FC，进行变形即得；（2）由已知证明△AEG∽△ADC，得到∠AEG=∠ADC=90°，从而得EG∥BC，继而得EG BF ED DF=，由（1）可得BF DFDF CF=，从而得EG DFED CF=，问题得证.试题解析：（1）∵∠ACB=90°，∴∠BCD+∠ACD=90°，∵CD是Rt△ABC的高，∴∠ADC=∠BDC=90°，∴∠A+∠ACD=90°，∴∠A=∠BCD，∵E是AC的中点，∴DE=AE=CE，∴∠A=∠EDA，∠ACD=∠EDC，∵∠EDC+∠BDF=180°-∠BDC=90°，∴∠BDF=∠BCD，又∵∠BFD=∠DFC，∴△BFD∽△DFC，∴BF：DF=DF：FC，∴DF2=BF·CF；（2）∵AE·AC=ED·DF，∴AE AGAD AC=，又∵∠A=∠A，∴△AEG∽△ADC，∴∠AEG=∠ADC=90°，∴EG∥BC，∴EG BFED DF=，由（1）知△DFD∽△DFC，∴BF DFDF CF=，∴EG DFED CF=，∴EG·CF=ED·DF.中考数学模拟试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等．交易其一，金轻十三两．问金、银一枚各重几何？”．意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等．两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计）．问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，根据题意得（）A．11910813x yy x x y=⎧⎨+-+=⎩（）（）B．108 91311y x x y x y+=+⎧⎨+=⎩C．91181013x yx y y x （）（）=⎧⎨+-+=⎩D．91110813 x yy x x y=⎧⎨+-+=⎩（）（）【答案】D【解析】根据题意可得等量关系：①9枚黄金的重量=11枚白银的重量；②（10枚白银的重量+1枚黄金的重量）-（1枚白银的重量+8枚黄金的重量）=13两，根据等量关系列出方程组即可．【详解】设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，由题意得：91110813x yy x x y=⎧⎨+-+=⎩（）（），故选：D．【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．2．人的大脑每天能记录大约8 600万条信息，数据8 600用科学记数法表示为（）A．0.86×104B．8.6×102C．8.6×103D．86×102【答案】C【解析】科学记数法就是将一个数字表示成a×10的n次幂的形式，其中1≤|a|＜10，n表示整数．n为整数位数减1，即从左边第一位开始，在首位非零的后面加上小数点，再乘以10的n次幂．【详解】数据8 600用科学记数法表示为8.6×103故选C．【点睛】用科学记数法表示一个数的方法是（1）确定a：a是只有一位整数的数；（2）确定n：当原数的绝对值≥10时，n为正整数，n等于原数的整数位数减1；当原数的绝对值＜1时，n为负整数，n的绝对值等于原数中左起第一个非零数前零的个数（含整数位数上的零）．3．矩形ABCD与CEFG，如图放置，点B，C，E共线，点C，D，G共线，连接AF，取AF的中点H，连接GH．若BC=EF=2，CD=CE=1，则GH=（）A．1 B．23C．22D．5【答案】C【解析】分析：延长GH交AD于点P，先证△APH≌△FGH得AP=GF=1，GH=PH=12PG，再利用勾股定理求得PG=2，从而得出答案．详解：如图，延长GH交AD于点P，∵四边形ABCD和四边形CEFG都是矩形，∴∠ADC=∠ADG=∠CGF=90°，AD=BC=2、GF=CE=1，∴AD∥GF，∴∠GFH=∠PAH，又∵H是AF的中点，∴AH=FH，在△APH和△FGH中，∵PAH GFHAH FHAHP FHG∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△APH≌△FGH（ASA），∴AP=GF=1，GH=PH=12PG，∴PD=AD﹣AP=1，∵CG=2、CD=1，∴DG=1，则GH=12PG=12×22PD DG=22，故选：C．点睛：本题主要考查矩形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定与性质、矩形的性质、勾股定理等知识点．4．一个几何体的三视图如图所示，该几何体是()A．直三棱柱B．长方体C．圆锥D．立方体【答案】A【解析】根据三视图的形状可判断几何体的形状．【详解】观察三视图可知，该几何体是直三棱柱．故选A．本题考查了几何体的三视图和结构特征，根据三视图的形状可判断几何体的形状是关键．5．在平面直角坐标系中，若点A(a，－b)在第一象限内，则点B(a，b)所在的象限是()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】D【解析】先根据第一象限内的点的坐标特征判断出a、b的符号，进而判断点B所在的象限即可.【详解】∵点A(a，-b)在第一象限内，∴a>0，-b>0，∴b<0，∴点B((a，b)在第四象限，故选D．【点睛】本题考查了点的坐标，解决本题的关键是牢记平面直角坐标系中各个象限内点的符号特征：第一象限正正，第二象限负正，第三象限负负，第四象限正负．6．如图，一束平行太阳光线FA、GB照射到正五边形ABCDE上，∠ABG＝46°，则∠FAE的度数是（）A．26°．B．44°．C．46°．D．72°【答案】A【解析】先根据正五边形的性质求出∠EAB的度数，再由平行线的性质即可得出结论．【详解】解：∵图中是正五边形．∴∠EAB＝108°．∵太阳光线互相平行，∠ABG＝46°，∴∠FAE＝180°﹣∠ABG﹣∠EAB＝180°﹣46°﹣108°＝26°．故选A．【点睛】此题考查平行线的性质，多边形内角与外角，解题关键在于求出∠EAB.7．《九章算术》是我国古代第一部自成体系的数学专著，代表了东方数学的最高成就．它的算法体系至今仍在推动着计算机的发展和应用．书中记载：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”译为：“今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深1寸（ED=1寸），锯道长1尺（AB=1尺=10寸）”，问这块圆形木材的直径是多少？”如图所示，请根据所学知识计算：圆形木材的直径AC是（）A．13寸B．20寸C．26寸D．28寸【答案】C【解析】分析：设⊙O的半径为r．在Rt△ADO中，AD=5，OD=r-1，OA=r，则有r2=52+（r-1）2，解方程即可.详解：设⊙O的半径为r．在Rt△ADO中，AD=5，OD=r-1，OA=r，则有r2=52+（r-1）2，解得r=13，∴⊙O的直径为26寸，点睛：本题考查垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题8．如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象，其对称轴为x＝1，下列结论：①abc＞0；②2a＋b＝0；③4a ＋2b＋c＜0；④若(－，y1)，(，y2)是抛物线上两点，则y1＜y2，其中结论正确的是( )A．①②B．②③C．②④D．①③④【答案】C【解析】试题分析：根据题意可得：a0，b0，c0，则abc0，则①错误；根据对称轴为x=1可得：=1，则-b=2a，即2a+b=0，则②正确；根据函数的轴对称可得：当x=2时，y0，即4a+2b+c0，则③错误；对于开口向下的函数，离对称轴越近则函数值越大，则，则④正确.点睛：本题主要考查的就是二次函数的性质，属于中等题.如果开口向上，则a0，如果开口向下，则a0；如果对称轴在y轴左边，则b的符号与a相同，如果对称轴在y轴右边，则b的符号与a相反；如果题目中出现2a+b和2a-b的时候，我们要看对称轴与1或者-1的大小关系再进行判定；如果出现a+b+c，则看x=1时y的值；如果出现a-b+c，则看x=-1时y的值；如果出现4a+2b+c，则看x=2时y的值，以此类推；对于开口向上的函数，离对称轴越远则函数值越大，对于开口向下的函数，离对称轴越近则函数值越大. 9．一元二次方程x2+kx﹣3=0的一个根是x=1，则另一个根是（）A．3 B．﹣1 C．﹣3 D．﹣2【答案】C【解析】试题分析：根据根与系数的关系可得出两根的积，即可求得方程的另一根．设m、n是方程x2+kx ﹣3=0的两个实数根，且m=x=1；则有：mn=﹣3，即n=﹣3；故选C．【考点】根与系数的关系；一元二次方程的解．109153）A．2到3之间B．3到4之间C．4到5之间D．5到6之间【答案】D+，∵253，∴355到6之间．915335故选D．此题主要考查了估算无理数的大小，正确进行计算是解题关键．二、填空题（本题包括8个小题）11．如果53x x y =-，那么x y=______． 【答案】52； 【解析】先对等式进行转换，再求解.【详解】∵53x x y -＝ ∴3x ＝5x －5y∴2x ＝5y∴5.2x y ＝ 【点睛】本题考查的是分式，熟练掌握分式是解题的关键.12．若点A(1，m)在反比例函数y ＝3x 的图象上，则m 的值为________． 【答案】3【解析】试题解析：把A （1，m ）代入y ＝3x得：m=3. 所以m 的值为3.13．如图，正方形ABCD 边长为3，以直线AB 为轴，将正方形旋转一周．所得圆柱的主视图（正视图）的周长是_____．【答案】1．【解析】分析：所得圆柱的主视图是一个矩形，矩形的宽是3，长是2．详解：矩形的周长=3+3+2+2=1.点睛：本题比较容易，考查三视图和学生的空间想象能力以及计算矩形的周长．14．如图,利用标杆BE 测量建筑物的高度,已知标杆BE 高1.2m ,测得 1.6,12.4AB m BC m ==,则建筑物CD 的高是__________m ．【答案】10.5【解析】先证△AEB ∽△ABC ，再利用相似的性质即可求出答案.【详解】解：由题可知，BE ⊥AC ，DC ⊥AC∵BE//DC ，∴△AEB ∽△ADC ， ∴BE AB CD AC =， 即：1.2 1.61.612.4CD =+， ∴CD ＝10.5（m ）.故答案为10.5.【点睛】本题考查了相似的判定和性质.利用相似的性质列出含所求边的比例式是解题的关键.15．若不等式（a ﹣3）x ＞1的解集为13x a <-，则a 的取值范围是_____． 【答案】3a <．【解析】∵(a−3)x>1的解集为x<13a -， ∴不等式两边同时除以(a−3)时不等号的方向改变，∴a−3<0，∴a<3.故答案为a<3.点睛：本题考查了不等式的性质:在不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变.本题解不等号时方向改变,所以a-3小于0.16．如图，宽为(1020)m m <<的长方形图案由8个相同的小长方形拼成，若小长方形的边长为整数，则m 的值为__________．【答案】16【解析】设小长方形的宽为a ，长为b ，根据大长方形的性质可得5a=3b ，m=a+b= a+53a =83a ，再根据m 的取值范围即可求出a 的取值范围，又因为小长方形的边长为整数即可解答.【详解】解：设小长方形的宽为a，长为b，由题意得：5a=3b，所以b=53a，m=a+b= a+53a=83a，因为1020m<<，所以10<83a<20，解得：154<a<152，又因为小长方形的边长为整数，a=4、5、6、7，因为b=53a，所以5a是3的倍数，即a=6，b=53a=10，m= a+b=16.故答案为：16.【点睛】本题考查整式的列式、取值，解题关键是根据矩形找出小长方形的边长关系.17．若a+b=5，ab=3，则a2+b2=_____．【答案】1【解析】试题分析：首先把等式a+b=5的等号两边分别平方，即得a2+2ab+b2=25，然后根据题意即可得解．解：∵a+b=5，∴a2+2ab+b2=25，∵ab=3，∴a2+b2=1．故答案为1．考点：完全平方公式．18．分解因式: 22a b ab b-+=_________.【答案】【解析】先提取公因式b，再利用完全平方公式进行二次分解．解答：解：a1b-1ab+b，=b（a1-1a+1），…（提取公因式）=b（a-1）1．…（完全平方公式）三、解答题（本题包括8个小题）19．如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A作BC的平行线交CE的延长线与F，且AF=BD，连接BF。
精品解析：【全国百强校】河北省衡水中学2020届高三上学期摸底联考(全国卷)物理试题解析(解析版)
一、选择题1、在物理学的发展中，关于科学家和他们的贡献，下列说法中正确的是（）A．亚里士多德首先将实验事实和逻辑推理（包括数学推演）和谐地结合起来B．牛顿总结出了万有引力定律并用实验测出了引力常量C．哥白尼通过研究行星观测记录，发现了行星运动三大定律D．笛卡尔对牛顿第一定律的建立作出了贡献【答案】D【解析】考点：物理学史【名师点睛】本题考查物理学史，是常识性问题，对于物理学上重大发现、发明、著名理论要加强记忆，这也是考试内容之一。
2、在物理学的研究及应用过程中所用思维方法的叙述正确的是（）A．在不需要考虑物体本身的大小和形状时，用质点来代替物体的方法是猜想法B．速度的定义式xvt∆=∆，采用的是比值法，当t∆趋近于零时，xt∆∆就可以表示物体在t时刻的瞬时速度，该定义应用了理想模型法C．在探究电阻、电压和电流三者之间的关系时，先保持电压不变研究电阻与电流的关系，再保持电流不变研究电阻与电压的关系，该实验应用了类比法D．如图是三个实验装置，这三个实验都体现了放大的思想【答案】D【解析】考点：弹性形变和范性形变、质点的认识、物理模型的特点及作用【名师点睛】在高中物理学习中，我们会遇到多种不同的物理分析方法，这些方法对我们理解物理有很大的帮助；故在理解概念和规律的基础上，更要注重科学方法的积累与学习。
3、如图所示，两条曲线为汽车a 、b 在同一条平直公路上的速度时间图像，已知在2t 时刻，两车相遇，下列说法正确的是（ ）A ．a 车速度先减小后增大，b 车速度先增大后减小B ．1t 时刻a 车在前，b 车在后C ．12t t :汽车a 、b 的位移相同D ．a 车加速度先减小后增大，b 车加速度先减小后增大 【答案】D 【解析】试题分析：由图线可知，a 车的速度先增大后减小，b 车的速度先减小后增大，故A 错误；在2t 时刻，两车相遇，在12t t 时间内，a 图线与时间轴围成的面积大，则a 的位移大，可知1t 时刻，b 车在前，a 车在后，故BC错误；图线切线的斜率表示加速度，可知a车的加速度先减小后增大，b车的加速度先减小后增大，故D正确。
2020年河北省中考基础摸底检测试卷数学试题(解析版)
河北省2020年中考基础摸底检测试卷数学试卷一．选择题（共16小题）1.如图，数轴上有三个点A、B、C，若点A、B表示的数互为相反数，则图中点C对应的数是（）A. 、2B. 0C. 1D. 4【答案】C【解析】【分析】首先确定原点位置，进而可得C点对应的数．【详解】∵点A、B表示的数互为相反数，AB=6∴原点在线段AB的中点处，点B对应的数为3，点A对应的数为-3、又∵BC=2，点C在点B的左边，∴点C对应的数是1、故选C、【点睛】本题主要考查了数轴，关键是正确确定原点位置．2.肥皂泡的泡壁厚度大约是0.0007mm，0.0007用科学记数法表示为（）A. 0.7×10﹣3B. 7×10﹣3C. 7×10﹣4D. 7×10﹣5【答案】C【解析】【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【详解】解：0.0007=7×10﹣4故选C．【点睛】本题考查科学计数法，难度不大．3.由4个相同的小立方体搭成的几何体如图所示，则它的主视图是()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．【详解】解：几何体的主视图有2列，每列小正方形数目分别为2，1.故选A．【点睛】本题考查简单组合体的三视图．在画图时一定要将物体的边缘、棱、顶点都体现出来，看得见的轮廓线都画成实线，看不见的画成虚线，不能漏掉．本题画几何体的三视图时应注意小正方形的数目及位置．4.下列计算中，不正确的是（）A. a2•a5=a10B. a2﹣2ab+b2=（a﹣b）2C. ﹣（a﹣b）=b﹣aD. 3a3b2÷a2b2=3a【答案】A【解析】【详解】解：A、a2•a5=a7，不合题意，故A正确；B、a2﹣2ab+b2=（a﹣b）2，符合题意，故B错误；C、﹣（a﹣b）=b﹣a，符合题意，故C错误；D、3a3b2÷a2b2=3a，符合题意，故D错误；故选A．5.如图所示，用量角器度量∠AOB，可以读出∠AOB的度数为（）A. 45°B. 55°C. 135°D. 145°【答案】C【解析】【详解】解：由生活知识可知这个角大于90度，排除A、B，又OB边在130与140之间，所以度数应为135°．故选C．【点睛】本题考查用量角器度量角．6.计算22()()4x y x yxy+--的结果为（）A. 1B. 12C.14D. 0【答案】A【解析】【分析】把分子根据完全平方公式化简后与分母约分即可.【详解】原式=2222224144x xy y x xy y xyxy xy++-++==.故选A.【点睛】本题考查了分式的约分，熟练掌握分式的基本性质是解答本题的关键，本题也考查了完全平方公式.7.边长为5的菱形ABCD按如图所示放置在数轴上，其中A点表示数﹣2，C点表示数6，则BD＝（）A. 4B. 6C. 8D. 10【答案】B【解析】分析】 易求AC 的长为8，根据菱形的性质和勾股定理即可求出BD 的长，问题得解．【详解】解：如图，连接BD 交AC 于点E ，∵四边形ABCD 是菱形11,,22AE AC DE BD BD AC ∴==⊥ ∵A 点表示数﹣2，C 点表示数6，∴AC ＝8，4AE ∴=∵AD ＝5，在Rt ADE V 中，由勾股定理得DE =3，26BD DE ∴==故选：B ．【点睛】本题主要考查了菱形的性质，同时涉及到了勾股定理，灵活利用菱形的性质是求线段长度的关键. 8.下列说法正确的是（ ）A. “367人中有2人同月同日生”为必然事件B. 检测某批次灯泡的使用寿命，适宜用全面调查C. 可能性是1%的事件在一次试验中一定不会发生【D. 数据3，5，4，1，﹣2的中位数是4【答案】A【解析】【分析】直接利用概率的意义以及中位数的定义、随机事件，分别分析得出答案．【详解】解：A、“367人中有2人同月同日生”为必然事件，正确；B、检测某批次灯泡的使用寿命，适宜用抽样调查，故此选项错误；C、可能性是1%事件在一次试验中也有可能发生，故此选项错误；D、数据3，5，4，1，﹣2的中位数是3，故此选项错误；故选：A．【点睛】本题考查了对命题的判断，熟练掌握概率、中位数及随机事件等知识点是解题的关键.9.如图，在、ABC与、ADE中，、BAC=、D，要使、ABC与、ADE相似，还需满足下列条件中的()A. AC ABAD AE= B.AC BCAD DE= C.AC ABAD DE= D.AC BCAD AE=【答案】C 【解析】试题解析：∵∠BAC=∠D、AC AB AD DE＝、∴△ABC∽△ADE、故选C、10.一次函数y=kx、1的图象经过点P，且y的值随x值的增大而增大，则点P的坐标可以为（）A. 、、5、3、B. 、1、、3、C. 、2、2、D. 、5、、1、【答案】C【解析】的【分析】根据函数图象的性质判断系数k、0，则该函数图象经过第一、三象限，由函数图象与y轴交于负半轴，则该函数图象经过第一、三、四象限，由此得到结论．【详解】∵一次函数y=kx、1的图象的y的值随x值的增大而增大，∴k、0、A、把点（﹣5、3）代入y=kx、1得到：k=、45、0，不符合题意；B、把点（1、、3）代入y=kx、1得到：k=、2、0，不符合题意；C、把点（2、2）代入y=kx、1得到：k=32、0，符合题意；D、把点（5、、1）代入y=kx、1得到：k=0，不符合题意，故选C、【点睛】考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，根据题意求得k、0是解题的关键．11.A、B两地相距180km，新修的高速公路开通后，在A、B两地间行驶的长途客车平均车速提高了50%，而从A地到B地的时间缩短了1h．若设原来的平均车速为x km/h，则根据题意可列方程为A. 1801801(150%)x x-=+B.1801801(150%)x x-=+C. 1801801(150%)x x-=-D.1801801(150%)x x-=-【答案】A【解析】【分析】直接利用在A，B两地间行驶的长途客车平均车速提高了50%，而从A地到B地的时间缩短了1h，利用时间差值得出等式即可．【详解】解：设原来的平均车速为x km/h，则根据题意可列方程为：180 x ﹣180150%x+（）=1．故选A．【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，根据题意得出正确等量关系是解题的关键．12.如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是高，AM是△ABC外角∠CAE的平分线．以点D为圆心，适当长为半径画弧，交DA于点G，交DC于点H．再分别以点G、H为圆心，大于12GH的长为半径画弧，两弧在∠ADC内部交于点Q，连接DQ并延长与AM交于点F，则△ADF的形状是（）A. 等腰三角形B. 等边三角形C. 直角三角形D. 等腰直角三角形【答案】D【解析】【分析】根据画图过程可得：DF平分∠ADC，∠ADF＝∠CDF，根据AB＝AC，得∠B＝∠ACB，由AM是△ABC外角∠CAE的平分线，证得∠EAF＝∠B，得AF∥BC，进而证明△ADF的形状．【详解】解：根据画图过程可知：DF平分∠ADC，∴∠ADF＝∠CDF，∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∵AM是△ABC外角∠CAE的平分线，∴∠EAM＝∠CAM，∵∠EAC＝∠B+∠ACB，∴∠EAF＝∠B，∴AF∥BC，∴∠AFD＝∠FDC，∴∠AFD＝∠ADF，∴AF＝AD，∵AD是高，∴∠ADB＝90°，∴∠F AD＝∠ADB＝90°，∴△ADF的形状是等腰直角三角形．故选：D．【点睛】本题综合考查了角平分线的作图及性质、平行线的判定与性质、等腰三角形的性质，灵活的利用这些性质进行等角间的相互转化是解题的关键.13.如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的顶点在第一象限，且过点（0，1）和（﹣1，0），下列结论：、ab＜0，、b2﹣4ac＞0，、a﹣b+c＜0，、c＝1，、当x＞﹣1时，y＞0．其中正确结论的个数是（）A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个【答案】B【解析】【分析】根据函数图象和二次函数的性质可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题．【详解】解：由图象可知，图像开口朝下，对称轴在y轴右侧，所以a＜0，b＞0，则ab＜0，故①正确；图象与x轴两个交点，则b2﹣4ac＞0，故②正确；图象过点（﹣1，0），则a﹣b+c＝0，故③错误；图象过点（0，1），则c＝1，故④正确；由图象可知，当x＞﹣1时，一部分函数值大于0，有一个函数值等于0，还有一分部小于0，故⑤错误；综上可得，正确的结论是①②④，有3个；故选：B．【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质，灵活的将函数的图像与性质相结合是解题的关键.14.如图，一个边长为4cm的等边三角形ABC的高与⊙O的直径相等．⊙O与BC相切于点C，与AC相交于点E，则CE的长为( )A. 4cmB. 3cmC. 2cmD. 1.5cm【答案】B【解析】 连接OC ，过点O 作OF 、CE 于点F .Q AC=4、三角形ABC 为等边三角形,∴高和直径为OC ∴=、、ACB =60°∴ 、OCF =30°、cos、OCF =FC OC,2∴=,FC =32, 3CE ∴=.15.某工厂加工一批零件，为了提高工人工作积极性，工厂规定每名工人每次薪金如下：生产的零件不超过a 件，则每件3元，超过a 件，超过部分每件b 元，如图是一名工人一天获得薪金y （元）与其生产的件数x （件）之间的函数关系式，则下列结论错误的是（ ）A. a ＝20B. b ＝4C. 若工人甲一天获得薪金180元，则他共生产50件D. 若工人乙一天生产m （件），则他获得薪金4m 元【答案】D【解析】【分析】根据题意和函数图象可以求得a、b的值，从而可以判断选项A和B是否正确，根据C和D的数据可以分别计算出题目中对应的数据是否正确，从而可以解答本题．【详解】解：由题意和图象可得，a＝60÷3＝20，故选项A正确，b＝（140﹣60）÷（40﹣20）＝80÷20＝4，故选项B正确，若工人甲一天获得薪金180元，则他共生产：20+180604＝20+30＝50，故选项C正确，若工人乙一天生产m（件），当m≤20时，他获得的薪金为：3m元；当m＞20时，他获得的薪金为：60+（m﹣20）×4＝（4m﹣20）元，故选项D错误，故选：D．【点睛】本题主要考查了从函数图像获取信息，正确理解题意及函数图像，灵活利用图中所给数据是解题的关键.16.如图，一次函数与x轴，y轴的交点分别是A（﹣4，0），B（0，2）．与反比例函数的图象交于点Q，反比例函数图象上有一点P满足：、P A⊥x轴；、PO O为坐标原点），则四边形P AQO的面积为（）A. 7B. 10C.D. 4﹣【答案】C【解析】【分析】利用待定系数法求解函数解析式，求出P点的坐标，然后用待定系数法即可求出函数解析式；解方程组得到点Q的坐标，然后根据三角形的面积公式即可得到结论．【详解】解：∵一次函数y＝ax+b与x轴，y轴的交点分别是A（﹣4，0），B（0，2），∴﹣4a+b＝0，b＝2，∴a＝12，∴一次函数的关系式为y＝12x+2，设P（﹣4，n），=解得：n＝±1，由题意知n＝﹣1，n＝1（舍去），∴把P（﹣4，﹣1）代入反比例函数y＝mx，∴m＝4，反比例函数的关系式为：y＝4x，解1224y xyx⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩得，21xy⎧=-+⎪⎨=⎪⎩21xy⎧=--⎪⎨=-⎪⎩（舍去），∴Q（﹣+1），∴四边形P AQO的面积＝12×4×1+12⨯4×2+12⨯2×（﹣故选：C．【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的综合，涉及了一次函数与反比例函数图像围成的图形的面积问题，灵活利用待定系数法求一次函数与反比例函数的解析式，将不规则图形的面积转化为几个三角形的面积和是解题的关键.二．填空题（共3小题）17.已知a、b满足|a﹣120，则a2b＝_____．【答案】1 2【解析】【分析】根据非负数的性质列式求出a、b的值，然后代入代数式进行计算即可求解．【详解】解：根据题意得，a﹣12＝0，b﹣2＝0，解得a＝12，b＝2，∴a2b＝（12）2×2＝12．故答案为：12．【点睛】本题考查了绝对值与算术平方根的非负性，灵活利用两者的非负性是解题的关键.18.如图，小明为了测量小河对岸大树BC的高度，他在点A测得大树顶端B的仰角是45°，沿斜坡走米到达斜坡上点D，在此处测得树顶端点B的仰角为30°，且斜坡AF的坡比为1︰2．则小明从点A走到点D的过程中，他上升的高度为____米；大树BC的高度为____米（结果保留根号）．【答案】(1). 2(2). .【解析】【分析】根据矩形性质得出DG=CH，CG=DH，再利用坡比及锐角三角函数的定义解直角三角形即可得答案．【详解】过点D作DG⊥BC于G，DH⊥CE于H，设上升的高度DH=x，∴四边形DHCG是矩形，∴DH=CG，DG=CH，∵斜坡AF的坡比为1︰2，、AH=2DH=2x，∴AH2+DH2=AD2，即(2x)2+x22，解得：x1=2，x2=-2(舍去)，∴他上升的高度为2米.∴AH=4，∵、BAC=45°，、ACB=90°，∴AC=BC ， 在Rt △BDG 中，tan30°=BG DG =BC CG AC AH -+=3，即：24BC BC -+=3，解得：∴树BC 高为.故答案为2；【点睛】本题考查了仰角、坡比的定义，解直角三角形的应用，能借助仰角构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形是解题的关键．19.将一列有理数﹣1，2，﹣3，4，﹣5，6，…，如图所示有序排列．根据图中的排列规律可知，“峰1”中峰顶的位置（C 的位置）是有理数4，那么，“峰6”中C 的位置是有理数_____，2008应排在A 、B 、C 、D 、E 中_____的位置．【答案】 (1). -29 (2). B 【解析】 【分析】由题意可知：每个峰排列5个数，求出5个峰排列的数的个数，再求出，“峰6”中C 位置的数的序数，然后根据排列的奇数为负数，偶数为正数解答；用（2008﹣1）除以5，根据商和余数的情况确定所在峰中的位置即可．【详解】解：∵每个峰需要5个数， ∴5×5＝25， 25+1+3＝29，∴“峰6”中C位置的数的是﹣29，∵（2008﹣1）÷5＝401…2，∴2008为“峰402”的第二个数，排在B的位置．故答案为：﹣29，B．【点睛】本题考查了图形的变化规律，确定已有图形的变化规律是解题的关键.三．解答题（共7小题）20.定义新运算：对于任意实数m、n都有m☆n＝m2n+n，等式右边是常用的加法、减法、乘法及乘方运算．例如：﹣3☆2＝（﹣3）2×2+2＝20．根据以上知识解决问题：（1）x☆4＝20，求x；（2）若2☆a的值小于0，请判断方程：2x2﹣bx+a＝0的根的情况．【答案】（1）x1＝2，x2＝﹣2；（2）方程2x2﹣bx+a＝0有两个不相等的实数根．【解析】【分析】（1）根据已知公式得出4x2+4＝20，解之可得答案；（2）由2☆a的值小于0知22a+a＝5a＜0，解之求得a＜0．再在方程2x2﹣bx+a＝0中由△＝（﹣b）2﹣8a≥﹣8a＞0可得答案．【详解】解：（1）∵x☆4＝20，∴4x2+4＝20，即4x2＝16，解得：x1＝2，x2＝﹣2；（2）∵2☆a的值小于0，∴22a+a＝5a＜0，解得：a＜0．在方程2x2﹣bx+a＝0中，△＝（﹣b）2﹣8a≥﹣8a＞0，∴方程2x2﹣bx+a＝0有两个不相等的实数根．【点睛】本题是和一元二次方程有关新定义题型，涉及了解一元二次方程及一元二次方程根的判别式，正确理解题中新定义是解题的关键.21.如图，已知△ABC，直线PQ垂直平分AC，与边AB交于点E，连接CE，过点C作CF∥BA交PQ于点F，连接AF．（2）求证：四边形AECF 是菱形．（3）若ED ＝6，AE ＝10，则菱形AECF 的面积是多少？【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）96 【解析】 【分析】（1）由PQ 为线段AC 的垂直平分线得到AE ＝CE ，AD ＝CD ，然后根据CF ∥AB 得到∠EAC ＝∠FCA ，∠CFD ＝∠AED ，利用ASA 证得两三角形全等即可；（2）根据全等得到AE ＝CF ，然后根据EF 为线段AC 的垂直平分线，得到EC ＝EA ，FC ＝F A ，从而得到EC ＝EA ＝FC ＝F A ，利用四边相等的四边形是菱形判定四边形AECF 为菱形；（3）由菱形的性质和勾股定理求出AD ，得出AC 的长，由菱形的面积公式即可得出结果． 【详解】（1）证明：∵PQ 为线段AC 的垂直平分线， ∴AE ＝CE ，AD ＝CD ， ∵CF ∥AB ，∴∠EAC ＝∠FCA ，∠CFD ＝∠AED ， 在△AED 与△CFD 中，EAC FCA CFD AED AD CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AED ≌△CFD （AAS ）；∴AE＝CF，∵EF为线段AC的垂直平分线，∴EC＝EA，FC＝F A，∴EC＝EA＝FC＝F A，∴四边形AECF为菱形；（3）解：∵四边形AECF是菱形，∴AC⊥EF，∵ED＝6，AE＝10，∴EF＝2ED＝12，AD8．∴AC＝2AD＝16，∴菱形AECF的面积＝12AC•EF＝12×16×12＝96．【点睛】本题是菱形的综合题，涉及了菱形的判定与性质及其面积公式、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、平行线的性质及勾股定理，灵活利用线段垂直平分线的性质判定三角形全等是解题的关键.22.如图，一次函数y＝kx+b与反比例函数y＝mx．（其中mk≠0）图象交于A（﹣4，2），B（2，n）两点．（1）求一次函数和反比例函数的表达式；（2）求△ABO的面积；（3）请直接写出当一次函数值大于反比例函数值时x的取值范围．【答案】（1）y＝﹣x﹣2，y＝﹣8x；（2）6；（3）x＜﹣4或0＜x＜2．【解析】【分析】（1）把A点坐标分别代入一次函数和反比例函数的解析式中，即可解得k、b、m、n的值；（2）求出一次函数y ＝kx +b 与x 轴的交点坐标，然后根据三角形的面积公式即可求出△ABO 的面积；（3）根据图象观察，当x ＜﹣4或0＜x ＜2时，一次函数值大于反比例函数值． 【详解】解：（1）∵一次函数y ＝kx +b 与反比例函数y ＝mx（mk ≠0）图象交于A （﹣4，2），B （2，n ）两点．根据反比例函数图象的对称性可知，n ＝﹣4，∴2442k bk b =-+⎧⎨-=+⎩，解得12k b =-⎧⎨=-⎩，故一次函数的解析式为y ＝﹣x ﹣2，又知A 点在反比例函数的图象上，故m ＝﹣8， 故反比例函数的解析式为y ＝﹣8x； （2）如图，设一次函数的图像与y 轴交于点C ，在y ＝﹣x ﹣2中，令x ＝0，则y ＝﹣2， ∴OC ＝2，∴S △AOB ＝BOC AOC S S +=V V 12×2×2+12×2×4＝6； （3）根据两函数的图象可知：当x ＜﹣4或0＜x ＜2时，一次函数值大于反比例函数值．【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数，涉及了一次函数与反比例函数的解析式、围成的三角形的面积及由图像法比较一次函数值与反比例函数值的大小，利用待定系数法求函数解析式是解题的关键. 23.垫球是排球队常规训练的重要项目之一．下列图表中的数据是甲、乙、丙三人每人十次垫球测试的成绩．测试规则为每次连续接球10个，每垫球到位1个记1分．运动员丙测试成绩统计表（1）若运动员丙测试成绩的平均数和众数都是7，则成绩表中的a＝，b＝；（2）若在他们三人中选择一位垫球成绩优秀且较为稳定的接球能手作为自由人，你认为选谁更合适？请用你所学过的统计量加以分析说明（参考数据：三人成绩的方差分别为S甲2＝0.81、S乙2＝0.4、S丙2＝0.8）（3）甲、乙、丙三人相互之间进行垫球练习，每个人的球都等可能的传给其他两人，球最先从乙手中传出，第二轮结束时球又回到乙手中的概率是多少？（用树状图或列表法解答）【答案】（1）a＝7，b＝7；（2）选乙更合适；（3）12．【解析】【分析】（1）根据众数、得到a、b中至少有一个为7，再根据平均数进而确定a＝b＝7；（2）求出甲、乙、丙的平均数、众数，通过平均数、众数比较得出乙、丙较好，再根据方差，得出乙的成绩较好，较稳定．（3）用树状图表示所有可能的情况，从中得出第二轮又回到乙手中的概率．【详解】解：（1）由众数的意义可知，a、b中至少有一个为7，又平均数是7，即（56+a+b）÷10＝7，因此，a＝7，b＝7，故答案为：7，7；（2）甲的平均数为：x甲＝526473810⨯+⨯+⨯+＝6.3分，众数是6分，乙的平均数为：x乙＝62768210⨯+⨯+⨯＝7分，众数为7分，丙的平均数为：x丙＝7分，众数为7分，从平均数上看，乙、丙的较高，从众数上看乙、丙较高，但S乙2＝0.4＜S丙2＝0.8，因此，综合考虑，选乙更合适．（3）树状图如图所示：∴第二轮结束时球又回到乙手中的概率P＝21 42 =．【点睛】本题主要考查了数据的收集与整理及概率，涉及了平均数、众数、方差的计算方法及其意义以及树状图或列表法求概率，灵活的从条形统计图、折线统计图以及表格中获取相关数据是解题的关键. 24.如图，在△ABC中，AB＝AC，O是边AC上的点，以OC为半径的圆分别交边BC、AC于点D、E，过点D作DF⊥AB于点F．（1）求证：直线DF是、O的切线；（2）若OC＝1，∠A＝45°，求劣弧DE的长．【答案】（1）详见解析；（2）34π．【解析】【分析】（1）连结OD，根据等腰三角形的性质得到OD∥AB，根据平行线的性质得到∠ODF＝90°，根据切线的判定定理证明；（2）根据平行线的性质得到∠AOD＝180°﹣45°＝135°，根据弧长公式计算即可．【详解】证明：如图，连结OD，∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∵OC＝OD，∴∠ODC＝∠ACB，∴∠B＝∠ODC，∴OD∥AB，∵DF⊥AB，∴∠ODF＝∠BFD＝90°，∵OD为半径，∴直线DF是、O的切线；（2）解：∵∠A＝45°，OD∥AB，∴∠AOD＝180°﹣45°＝135°，∴劣弧DE的长为1353 1804ππ⨯=．【点睛】本题主要考查了切线的判定及弧长的计算，熟练掌握切线的判定定理及弧长的计算公式是解题的关键.25.图1是某浴室花洒实景图，图2是该花洒的侧面示意图．已知活动调节点B可以上下调整高度，离地面CD的距离BC＝160cm．设花洒臂与墙面的夹角为α，可以扭动花洒臂调整角度，且花洒臂长AB＝30cm．假设水柱AE垂直AB直线喷射，小华在离墙面距离CD＝120cm处淋浴．（1）当α＝30°时，水柱正好落在小华的头顶上，求小华的身高DE．（2）如果小华要洗脚，需要调整水柱AE，使点E与点D重合，调整的方式有两种：、其他条件不变，只要把活动调节点B向下移动即可，移动的距离BF与小华的身高DE有什么数量关系？直接写出你的结论；、活动调节点B不动，只要调整α的大小，在图3中，试求α的度数．1.73，sin8.6°≈0.15，sin36.9°≈0.60，tan36.9°≈0.75）【答案】（1）125.4cm；（2）、BF＝DE；、61.7°．【解析】【分析】（1）过点A作AG⊥CB的延长线于点G，交DE的延长线于点H，利用含30度角的直角三角形的性质即可求出答案．（2）①由平行四边形的判定与性质即可知道BF＝DE；②由勾股定理可求出BD的长度，然后根据锐角三角函数的定义可求出∠1与∠2的度数，从而可求出α的度数．【详解】解：（1）如图，过点A作AG⊥CB的延长线于点G，交DE的延长线于点H，∵∠C＝∠D＝90°，∴四边形GCDH为矩形，∴GH＝CD＝120，DH＝CG，∠H＝90°，在Rt△ABG中，∠ABG＝α＝30°，AB＝30，∴AG＝15，∴AH＝120﹣15＝105，∵AE⊥AB，∴∠EAH＝30°，又∵∠H＝90°，∴EH＝AH⋅tan30°＝∴ED＝HD﹣HE＝﹣125.4（cm）（2）、BF＝DE；、如图，连接BD在Rt△BCD中，BD200，∴sin∠1＝120200＝0.6，∴∠1≈36.9°，在Rt△BAD中，AB＝30．∴sin∠2＝ABBD＝30200＝0.15，∴∠2≈8.6°，∴∠3≈90°﹣8.6°＝81.4°，∴α＝180°﹣∠1﹣∠3≈180°﹣36.9°﹣81.4°＝61.7°．【点睛】本题主要考查了解直角三角形，灵活利用锐角三角函数的定义是解题的关键.26.如图，直线OA与反比例函数的图象交于点A（3，3），向下平移直线OA，与反比例函数的图象交于点B（6，m）与y轴交于点C，（1）求直线BC的解析式；（2）求经过A、B、C三点的二次函数的解析式；（3）设经过A、B、C三点二次函数图象的顶点为D，对称轴与x轴的交点为E．问：在二次函数的对称轴上是否存在一点P，使以O、E、P为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）92y x=-；（2）219422y x x=-+-；（3）存在，点P的坐标为（4，43），（4，43-），（4，12），（4，﹣12）．【解析】【分析】（1）根据点A的坐标，即可确定直线OA以及反比例函数的解析式，根据所得反比例函数解析式即可确定点B的坐标，而OA、BC平行，那么它们的斜率相同，由此可确定直线BC的解析式；（2）根据直线BC的解析式可求得C点坐标，然后可利用待定系数法求得该抛物线的解析式；（3）根据（2）所得抛物线的解析式，可求得顶点D的坐标，即可得到BD、BC、CD的长，利用勾股定理逆定理即可判定△BCD是直角三角形，且∠BDC＝90°，根据抛物线对称轴方程可得到E点坐标，进而可求得OE的长，若以O、E、P为顶点的三角形与△BCD相似，已知∠BDC＝∠PEO＝90°，那么有两种情况需要考虑：、△PEO∽△BDC，、△OEP∽△BDC．根据上面两组不同的相似三角形所得不同的比例线段，即可得到PE的长，进而求出P点的坐标．（需要注意的是P点可能在E点上方也可能在E点下方）【详解】解：（1）由直线OA与反比例函数的图象交于点A（3，3），得直线OA为：y＝x，双曲线为：9yx =，的点B （6，m ）代入9y x=得32m =，点B （6，32）， 设直线BC 的解析式为y ＝x +b ，由直线BC 经过点B ，将x ＝6，32y =，代入y ＝x +b 得：92b =-， 所以，直线BC 的解析式为92y x =-； （2）由直线92y x =-得点C （0，92-）， 设经过A 、B 、C 三点的二次函数的解析式为292y ax bx =+-将A 、B 两点的坐标代入292y ax bx =+-，得： 993329336622a b a b ⎧+-=⎪⎪⎨⎪+-=⎪⎩， 解得124a b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ 所以，抛物线的解析式为219422y x x =-+-； （3）存在． 把219422y x x =-+-配方得217(4)22y x =--+， 所以得点D （4，72），对称轴为直线x ＝4 得对称轴与x 轴交点坐标为E （4，0）．由BDBC ，CD CD 2＝BC 2+BD 2，所以，∠DBC ＝90°又∠PEO ＝90°，若以O 、E 、P 为顶点的三角形与△BCD 相似，则有： ①OE PE BC DB ==43PE =，有P1（4，43），P2（4，43-） ②OE PE DB BC==PE ＝12，有P 3（4，12），P 4（4，﹣12） 所以，点P 的坐标为（4，43），（4，43-），（4，12），（4，﹣12）． 【点睛】本题考查了几何图形与函数的综合，涉及了待定系数法求一次函数与二次函数解析式、直角三角的形的判定、相似三角形的判定与性质以及分类讨论的数学思想，灵活的利用待定系数法求函数解析式是解题的关键.。