高中数学 2二项式定理
高中数学《二项式定理》课件
03
二项式定理的证明
数学归纳法的应用
数学归纳法是一种证明数学命题的重 要方法，尤其在证明二项式定理时， 它能够通过有限步骤来证明无限递推 关系。
然后，通过假设当$n=k$时二项式定 理成立，推导出当$n=k+1$时二项 式定理也成立。
在二项式定理的证明中，数学归纳法 首先证明基础步骤，即当$n=0$或 $n=1$时，二项式定理成立。
二项式定理的推导
二项式定理推导思路
通过组合数的性质，将二项式定理展开式中的每一项表示为组合数的形式，从而推导出二项式定理的 展开式。
二项式定理的推导过程
根据组合数的性质，将二项式定理展开式中的每一项表示为C(n, k)的形式，其中k表示二项式中某一 项的次数。通过计算，可以得到二项式定理的展开式为C(n, 0) + C(n, 1)x + C(n, 2)x^2 + ... + C(n, n)x^n。
C(n, m) = C(n, n-m)，即从n个不同元素中取出m个元素和取出n-m个元素的 组合数相等。
组合数的性质2
C(n+1, m) = C(n, m-1) + C(n, m)，即从n+1个不同元素中取出m个元素的组 合数等于从n个不同元素中取出m-1个元素的组合数加上从n个不同元素中取出 m个元素的组合数。
详细描述
二项式定理的应用场景非常广泛。在多项式的展开中，二项式定理可以用来求解形如$(x+y)^n$的多项式的展开 结果。在组合数学中，二项式定理可以用来计算组合数和排列数等。在概率论中，二项式定理可以用来计算事件 的概率和期望值等。此外，二项式定理在统计学、物理、工程等领域也有广泛的应用。
02
二项式定理的推导过程
高中数学 二项式定理 知识点与常见题型解法
《二项式定理》知识点与常见题型解法一．知识梳理1．二项式定理：(a ＋b )n ＝C 0n a n ＋C 1n a n －1b ＋…＋C r n a n －r b r ＋…＋C n n b n (n ∈N *)这个公式所表示的定理叫二项式定理，右边的多项式叫(a ＋b )n 的二项展开式．其中的系数C r n (r ＝0,1，…，n )叫二项式系数． 式中的r rn r n b a C -叫二项展开式的通项，用1r +T 表示，即通项1r +T =r rn rn b aC -.2．二项展开式形式上的特点(1)项数为n ＋1.(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n ，即a 与b 的指数的和为n .(3)字母a 按降幂排列，从第一项开始，次数由n 逐项减1直到零；字母b 按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n .(4)二项式的系数0n C ，C 1n ，...，C n －1n ，nn C .3．二项式系数的性质(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．即(2)增减性与最大值：二项式系数C k n ，当k ＜n ＋12时，二项式系数逐渐增大．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的；当n 是偶数时，中间一项2nnC 取得最大值；当n 是奇数时，中间两项2121+-=n nn nCC取得最大值．(3)各二项式系数和：C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C r n ＋…＋C n n＝2n ； C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝C 1n ＋C 3n ＋C 5n ＋…＝12-n （奇数项与偶数项的二项式系数和相等）.一个防范运用二项式定理一定要牢记通项1r +T =r rn rn b aC -，注意(a ＋b )n 与(b ＋a )n 虽然相同，但具体到它们展开式的某一项时是不同的，一定要注意顺序问题，另外二项展开式的二项式系数与该项的(字母)系数是两个不同的概念，前者只指C r n ，而后者是字母外的部分．前者只与n 和r 有关，恒为正，后者还与a ，b 有关，可正可负．一个定理二项式定理可利用数学归纳法证明，也可根据次数，项数和系数利用排列组合的知识推导二项式定理．因此二项式定理是排列组合知识的发展和延续．两种应用(1)通项的应用：利用二项展开式的通项可求指定的项或指定项的系数等．(2)展开式的应用：利用展开式①可证明与二项式系数有关的等式；②可证明不等式；③可证明整除问题；④可做近似计算等．三条性质(1)对称性；(2)增减性；(3)各项二项式系数的和；二．常见题型【题型一】求展开特定项例1：(1＋3x)n(其中n∈N*且n≥6)的展开式中x5与x6的系数相等，则n＝()A.6B.7C.8D.9例2：(2014·大纲)8⎪⎪⎭⎫⎝⎛-xyyx的展开式中x2y2的系数为________.(用数字作答)【题型二】求展开特定项例3：在(1－x)5＋(1－x)6＋(1－x)7＋(1－x)8的展开式中，含x3的项的系数是()A．74 B．121 C．－74 D．－121【题型三】求展开特定项例4：已知(1＋ax)(1＋x)5的展开式中x2的系数为5，则a＝()A.－4B.－3C.－2D.－1例5：在(1＋x)6(1＋y)4的展开式中，记x m y n项的系数为f(m，n)，则f(3，0)＋f(2，1)＋f(1，2)＋f(0，3)＝()A．45 B．60 C．120 D．210例6：已知数列是等差数列，且，则在的展开式中，的系数为_______.【题型四】求展开特定项例7：求5212⎪⎭⎫⎝⎛++xx(x>0)的展开式经整理后的常数项.例8：若将展开为多项式，经过合并同类项后它的项数为（）．A．11B．33C．55D．66 例9：(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为()A．10 B．20 C．30 D．60【题型五】二项式展开逆向问题例10：若C1n＋3C2n＋32C3n＋…＋3n－2C n－1n＋3n－1＝85，则n的值为()A.3B.4C.5D.6【题型六】赋值法求系数（和）问题例11：已知(1－2x )7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7.求：(1)a 1＋a 2＋…＋a 7； (2)a 1＋a 3＋a 5＋a 7；(3)a 0＋a 2＋a 4＋a 6； (4)||a 0＋||a 1＋||a 2＋…＋||a 7.例12：设nx 222⎪⎪⎭⎫⎝⎛+＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2n x 2n ，则(a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 2n )2－(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2n －1)2＝_______________________.例13：已知(x ＋1)2(x ＋2)2014＝a 0＋a 1(x ＋2)＋a 2(x ＋2)2＋…＋a 2016(x ＋2)2016，则a 12＋a 222＋a 323＋…＋a 201622016的值为______.【题型七】平移后系数问题例14：若将函数f (x )＝x 5表示为f (x )＝a 0＋a 1(1＋x )＋a 2(1＋x )2＋…＋a 5(1＋x )5, 其中a 0，a 1，a 2，…，a 5为实数，则a 3＝____________.【题型八】二项式系数、系数最大值问题例15：nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+21的展开式中第五项和第六项的二项式系数最大，则第四项为________．例16：把(1－x )9的展开式按x 的升幂排列，系数最大的项是第________项A ．4B ．5C ．6D ．7例17：(1＋2x )n 的展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项.【题型九】两边求导法求特定数列和例18：若(2x －3)5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5，则a 1＋2a 2＋3a 3＋4a 4＋5a 5＝________．【题型十】整除问题例19：设a ∈Z ，且0≤a <13，若512 012＋a 能被13整除，则a ＝( )A ．0B ．1C ．11D ．12例20：已知m 是一个给定的正整数，如果两个整数a ，b 除以m 所得的余数相同，则称a 与b 对模m 同余，记作a ≡b (mod m )，例如：5≡13(mod 4).若22015≡r (mod 7)，则r 可能等于( )A.2013B.2014C.2015D.2016答案解析例1：解析 由条件得C 5n 35＝C 6n 36，∴n ！5！（n －5）！＝n ！6！（n －6）！×3， ∴3(n －5)＝6，n ＝7.故选B.例2：解析 8⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-x y y x 展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 8rrx y y x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-8＝()42323881---r r r r y xC ， 令8－32r ＝2，解得r ＝4，此时32r －4＝2，所以展开式中x 2y 2的系数为(－1)4C 48＝70.故填70. 例3：解析 展开式中含x 3项的系数为C 35(－1)3＋C 36(－1)3＋C 37(－1)3＋C 38(－1)3＝－121. 例4：解析 (1＋ax )(1＋x )5的展开式中x 2项为C 25x 2＋ax ·C 15x ＝10x 2＋5ax 2＝(10＋5a )x 2.∵x 2的系数为5， ∴10＋5a ＝5，a ＝－1.故选D.例5：解析 在(1＋x )6的展开式中，x m 的系数为C m 6，在(1＋y )4的展开式中，y n 的系数为C n 4，故f (m ，n )＝C m 6·C n 4.从而f (3，0)＝C 36＝20，f (2，1)＝C 26·C 14＝60，f (1，2)＝C 16·C 24＝36，f (0，3)＝C 34＝4，所以f (3，0)＋f (2，1)＋f (1，2)＋f (0，3)＝120，故选C. 例6：解析的系数为。
人教版高中数学《二项式定理》教学课件(全国一等奖)
所以
x3
的系数是
(
1)3
C
3 9
84
．
回顾总结
二项式定理，通项，二项式系数；
由特殊到一般；观察、归纳、类比、 猜想、证明．
课下作业
一、P36: 1~3
二、1.求 ( x 3 )12 的展开式的中间一项； 3x
2.求 (1
1 )10 2x
展开式中含1 x5ຫໍສະໝຸດ 的项的系数．思维延伸：
探究 (a b c)5 的展开式中 a2b2c 的系数．
ab ab ab
问题2：展开式中各项是如何得到的？
ab ab ab ab ab ab ab ab ab
问题2：展开式中各项是如何得到的？
ab ab ab ab ab ab ab ab ab
问题2：展开式中各项是如何得到的？
ab ab ab
问题2：展开式中各项是如何得到的？
(a b)4
(a b)(a b)(a b)(a b)
问题3：展开式中各项的系数是如何确定的？
(a b)2 a2 2ab b2
(a b)(a b)
a2 ab ba b2 1个a2 2个ab 1个b2
展开式的每一项都是从 这两个因式中各取一个 字母相乘得到．
问题3：展开式中各项的系数是如何确定的？
(a b)3
(a b)(a b)(a b)展开式的每一项都是从
艾萨克·牛顿 Isaac Newton (1643—1727) 英国科学 家．他被誉为人类历史上最伟大的科学家之一．他不仅是一 位物理学家、天文学家，还是一位伟大的数学家．
(a b)2 a2 2ab b2
(a b)3 a3 3a2b 3ab2 b3 (a b)4 a4 4a3b 6a2b2 4ab3 b4
二项式定理知识点总结及例题分析-高中数学2018版
高中数学-二项式定理知识点总结及例题分析一、 基本知识点1．二项式定理(1)0≤k ≤n 时，C k n 与C n －k n 的关系是C k n ＝C n －kn .(2)二项式系数先增后减中间项最大当n 为偶数时，第n 2＋1项的二项式系数最大，最大值为C n2n ；当n 为奇数时，第n ＋12项和n ＋32项的二项式系数最大，最大值为C n －12n 或C n ＋12n. (3)各二项式系数和：C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C nn ＝2n ； C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝C 1n ＋C 3n ＋C 5n ＋…＝2n －1. 方法分析1．二项式系数最大项的确定方法(1)如果n 是偶数，则中间一项⎝⎛⎭⎫第⎝⎛⎭⎫n 2＋1项的二项式系数最大； (2)如果n 是奇数，则中间两项(第n ＋12项与第⎝⎛⎭⎫n ＋12＋1项)的二项式系数相等并最大． 2．二项展开式系数最大项的求法：如求(a ＋bx )n (a ，b ∈R )的展开式系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各项系数分别为A 1，A 2，…，A n ＋1，且第k 项系数最大，应用⎩⎪⎨⎪⎧A k ≥A k －1，A k ≥A k ＋1，从而解出k 来，即得．例题讲解考点一求二项展开式中的项或项的系数 1 (1)⎝⎛⎭⎫12x －2y 5的展开式中x 2y 3的系数是( ) A ．－20 B ．－5 C ．5 D ．20(2)二项式⎝⎛⎭⎪⎫x －13x n的展开式中第4项为常数项，则常数项为( )A ．10B ．－10C ．20D ．－20解析： (1)由二项展开式的通项可得，第四项T 4＝C 35⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2(－2y )3＝－20x 2y 3，故x 2y3的系数为－20.(2)由题意可知常数项为T 4＝C 3n (x )n －3⎝⎛⎭⎪⎪⎫－13x 3＝(－1)3C 3n x 3n －156，令3n －15＝0，可得n ＝5.故所求常数项为T 4＝(－1)3C 35＝－10，选B.答案： (1)A (2)B 变式练习1．若二项式⎝⎛⎫2x ＋a x 7的展开式中1x 3的系数是84，则实数a ＝( ) A ．2 B ．54 C ．1 D ．242.⎝⎛⎭⎫x －13x 10的展开式中含x 的正整数次幂的项数是( ) A ．0 B ．2 C ．4 D ．6 3.⎝⎛⎭⎫x 3－2x 4＋⎝⎛⎭⎫x ＋1x 8的展开式中的常数项为( ) A ．32 B ．34 C ．36 D ．384．(2014·山东卷)若⎝⎛⎭⎫ax 2＋bx 6的展开式中x 3项的系数为20，则a 2＋b 2的最小值为________．5．(2014·皖南八校联考)(x 2－4x ＋4)5的展开式中x 的系数是________． 答案1C 2.B 3.D 42 5-5120 考点二 二项式系数及项的系数问题(1)(2014·辽宁五校联考)若⎝⎛⎭⎫x ＋2x 2n 展开式中只有第6项的二项式系数最大，则展开式的常数项是A ．360B ．180C ．90D ．45(2)(2014·河北衡水中学五调)已知(x －m )7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7的展开式中x 4的系数是－35，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 7＝________.解析： (1)展开式中只有第6项的二项式系数最大，则展开式总共11项，所以n ＝10，通项公式为T r ＋1＝C r 10(x )10－r·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2r ＝C r 102rx 5－52r ，所以r ＝2时，常数项为180.(2)∵T r ＋1＝C r 7x7－r(－m )r,0≤r ≤7，r ∈Z ，∴C 37(－m )3＝－35，∴m ＝1，令x ＝1，a 0＋a 1＋…＋a 7＝(1－1)7＝0，令x ＝0，a 0＝(－1)7＝－1，∴a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 7＝1.答案： (1)B (2)1变式练习1．设二项式⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋3x n 的展开式各项系数的和为a ，所有二项式系数的和为b ，若a ＋2b＝80，则n 的值为( )A ．8B ．4C ．3D ．22．若(x ＋2＋m )9＝a 0＋a 1(x ＋1)＋a 2(x ＋1)2＋…＋a 9(x ＋1)9，且(a 0＋a 2＋…＋a 8)2－(a 1＋a 3＋…＋a 9)2＝39，则实数m 的值为( )A ．1或－3B ．－1或3C ．1D ．－3考点三 二项式定理的应用、设a ∈Z ，且0≤a ＜13，若512 012＋a 能被13整除，则a ＝( ) A ．0 B ．1 C ．1 1D ．12 解析： 512 012＋a ＝(52－1)2 012＋a ＝522 012＋C 12 012×522 011×(－1)＋…＋C 2 0112 012×52×(－1)2 011＋(－1)2 012＋a 能被13整除，只需(－1)2 012＋a ＝1＋a 能被13整除即可．∵0≤a <13，∴a ＝12，故选D.答案： D。
二项式定理与组合数学
二项式定理与组合数学在高中数学中，我们学习了很多数学定理和概念，其中二项式定理和组合数学是我们经常接触到的两个重要知识点。
本文将详细介绍二项式定理和组合数学，并探讨它们在数学领域中的应用。
一、二项式定理的表述二项式定理是一种展开表示二项式幂的公式，它通常用于展开(x + y)^n的形式。
根据二项式定理，我们可以得出以下等式：(x + y)^n = C(n,0) * x^n * y^0 + C(n,1) * x^(n-1) * y^1 + C(n,2) * x^(n-2) * y^2 + ... + C(n,n) * x^0 * y^n其中C(n,k)表示选择k个元素的组合数。
组合数的计算方法可以通过下面的公式得出：C(n,k) = n! / (k! * (n-k)!)二、组合数学的概念组合数学是一门研究选择、排列和组合的数学学科。
在组合数学中，我们关注的是从给定集合中选择或排列对象的方式和数量。
组合数学中的基本概念包括排列、组合和二项式系数等。
排列指的是从给定的n个元素中选择k个元素，并按照一定的顺序进行排列的方式。
排列数可以通过下面的公式进行计算：P(n,k) = n! / (n-k)!组合指的是从给定的n个元素中选择k个元素，但不考虑元素的顺序。
组合数可以通过下面的公式进行计算：C(n,k) = n! / (k! * (n-k)!)二项式系数即为二项式定理中的C(n,k)，它表示选择k个元素的组合数。
三、二项式定理与组合数学的应用1. 组合数学在概率论中的应用概率论是研究随机事件发生的可能性的一门学科，而组合数学在计算概率时发挥着重要作用。
例如，在排列组合中，我们可以用组合数计算从一副扑克牌中抽取一手牌的可能性。
2. 二项式定理在代数中的应用二项式定理在代数中常用于展开多项式，研究多项式的性质。
通过二项式定理，我们可以快速计算(x + y)^n的展开式。
这在代数运算中非常有用，特别是在多项式乘法、多项式函数的求导和积分等操作中。
高中数学2二项式定理
二项式定理一．二项式定理1.右侧的多项式叫做 anb 的二项睁开式2.各项的系数 C n r叫做二项式系数3.式中的 C n r a n r b r叫做二项睁开式的通项，它是二项睁开式的第r 1 项，即Tr 1C n r a n r b r (r 0,1,2,L, n).4.二项睁开式特色：共 r 1 项；按字母a的降幂摆列，次数从n到 0 递减；二项式系数C n r中r从0到n 递加，与b的次数同样；每项的次数都是n.二．二项式系数的性质性质 1a b nC n m C n n m 的二项睁开式中，与首末两头“等距离”的两项的二项式系数相等，即性质 2二项式系数表中，除两头之外其他地点的数都等于它肩上两个数之和，即C n m C n m 1C n m1性质 3a b n2n，即 C n0C n1 L C n n2n.的二项睁开式中，全部二项式系数的和等于（令 a b 1 即得，或用会合的子集个数的两种计算方法结果相等来解说）n性质 4 a b的二项睁开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即C n0C n2L C n2r L C n1 C n3 L C n2r 1 L 2n 1.（令 a1,b1即得）nn性质 5 a b 的二项睁开式中，当n为偶数时，中间一项的二项式系数 C n2获得最大值；当n为奇数时，n1n1中间两项的二项式系数C n2, C n2相等，且同时获得最大值.（即中间项的二项式系数最大）【题型精讲】题型一、睁开式中的特别项 1． (x2. 在 1x21)n的睁开式中，常数项为 15，则 n =B ． 4 C ．5D ．6xnx 5nn N 的二项睁开式中，若只有的系数最大，则A ． 8B. 9C. 102 n3．假如3x 2的睁开式中含有非零常数项，则正整数n 的最小值为（ ）x3Ａ． 3Ｂ． 5 Ｃ． 6 Ｄ． 10题型二、睁开式的系数和100 a 0 a 1 x1 a2 x 12 L a 100 x 1001. 已知 1 2x1 .求：（ 1）2 a 0 a 1 a 2La 100（3 ）a 1 a 3 a 5 L a 99；a ；（ ）n2. （江西理 4）已知 x3睁开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64 ，则 n 等于3 x（ ）Ａ．4 Ｂ． 5Ｃ． 6Ｄ． 73. （江西文 5）设 ( x 2 1)(2x 1)9a 0 a 1( x 2) a 2 (x 2)2 L a 11(x 2)11 ，则 a 0 a 1 a 2 La 11 的值为（ ）Ａ．2 Ｂ． 1 Ｃ． 1 Ｄ． 24.( 安徽文12) 已知 (1 x) 5 a 0 a 1 x a 2 x 2 a 3 x 3a 4 x 4 a 5 x5a)(aa), ( 024 135 的值等aaa于.题型三、一项睁开 : 拆成两项除以 9 的余数是（）A ． 1B ． 2C ． 4D ． 8题型四、多项睁开：1. （ | x | ＋1－ 2） 3 睁开式中的常数项是（）| x |A ． 12B ．－ 12C ． 20D ．－202. 求 1 x 2n3项的系数 .1 x L 1 x睁开式中 x 二项式定理1、睁开式中的特别项1．解．(x21)n的睁开式中，常数项为n n1)15，则C n3( x2 ) 3 (x x2n315 ，因此n能够被3整除，当 n=3 时，C31 3 15 ，当n=6时， C6215 ，选D。
高中数学同步教学课件 二项式定理 (2)
知识梳理
注意点： (1)每一项中a与b的指数和为n. (2)各项中a的指数从n起依次减小1，到0为止，各项中b的指数从0起依 次增加1，到n为止. (3)a与b的位置不能交换.
例1
(1)求3
x＋
1
4
x
的展开式.
方法一
3
x＋
1
4
x
＝C04(3
x)4＋C14(3
x)3 1x＋C24(3
x)2
1234
五
课时对点练
基础巩固
1.(x＋2)n的展开式共有16项，则n等于
A.17
B.16
√C.15
D.14
∵(a＋b)n的展开式共有n＋1项，而(x＋2)n的展开式共有16项，∴n＝15.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
2.若(1－2x)n的展开式中x3的系数为－160，则正整数n的值为
√A.32
B.－32
C.1 024
D.512
a10－2C110a9＋22C210a8－…＋210＝(a－2)10， 当 a＝2－ 2时，(a－2)10＝32.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
6.在(1－x)5－(1－x)6的展开式中，含x3的项的系数是
A.－5
第六章 §6.3 二项式定理
6.3.1 二项式定理
学习目标
1.能用计数原理证明二项式定理. 2.掌握二项式定理及其展开式的通项公式. 3.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.
导语
英国科学家艾萨克·牛顿(Isaac Newton,1643－1727)被誉为人类历史上最 伟大的科学家之一.他不仅是一位物理学家、天文学家， 还是一位伟大的数学家.1664年冬，由于瘟疫流行迫使 牛顿从剑桥回到乡下，研读沃利斯博士的《无穷算术》， 牛顿开始了对二项式定理的研究，并最终建立了二项式 定理.那么，牛顿是如何思考的呢？
二项式定理2
n−1
n+1
Cn2 = Cn2
n−1
当r≤
2
时，
C
r n
单调递增；
当r≥
n
+ 2
1
时，
C
r n
单调递减；
例题分析
例2．证明： （1）(a + b)n 的展开式中,各二项式系数
的和为2n； （2） (a + b)n的展开式中，奇数项的二
项式系数的和等于偶数项的二项式 系数的和。
小结：求解二项式系数和时，灵活运用赋值
(3) a0 + a1 + a2 ++ a7
解:设f (x) = (3x −1)7
（3）ff因 (−(11)为 )==aa−01a,+0a+a3a1,1+a−5aa,22a++7a是3 ++负a7+数a7
所以a0 + a1 + a2 ++ a7 = a0 − a1 + a2 −− a7
= −(−a0 + a1 − a2 ++ a7)= − f (−1) = −(−4)7= 47
r
归纳提高 一般地，(a + b)n 展开式的二项式系数
Cn0 ,Cn1,Cnn 有如下性质：
性质1 (对称性)：
在二项展开式中，与首末两端“等距”的
两项的二项式系数相等。即
Cr n
= C n−r n
注：在杨辉三角表里，每一个数都等 于它肩上两个数的和
即:
Cr n+1
=
C r−1 n
+
Cnr
归纳提高
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二项式定理
一．二项式定理
1.右边的多项式叫做()n a b +的二项展开式
2.各项的系数r n C 叫做二项式系数
3.式中的r n r r n C a b -叫做二项展开式的通项，它是二项展开式的第1r +项，即
1(0,1,2,,).r n r r r n T C a b r n -+==L
4.二项展开式特点：共1r +项；按字母a 的降幂排列，次数从n 到0递减；二项式系数r n C 中r 从0到
n 递增，与b 的次数相同；每项的次数都是.n
二．二项式系数的性质
性质1 ()n a b +的二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即m n m n n C C -=
性质2 二项式系数表中，除两端以外其余位置的数都等于它肩上两个数之和，即11m m m n n n C C C -++=
性质3 ()n
a b +的二项展开式中，所有二项式系数的和等于2n ，即012.n n n n n C C C +++=L （令1a b ==即得，或用集合的子集个数的两种计算方法结果相等来解释）
性质4 ()n
a b +的二项展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项
的二项式系数的和，即
022132112.r r n n n n n n n C C C C C C +-++++=++++=L L L L （令1,1a b ==-即得）
性质5 ()n a b +的二项展开式中，当n 为偶数时，中间一项的二项式系数2n n C 取得最大值；当n 为奇数时，中间两项的二项式系数12,n n C -12n n C +相等，且同时取得最大值.（即中间项的二项式系数最大）
【题型精讲】
题型一、展开式中的特殊项
1．21()n x x -的展开式中，常数项为15，则n = B ．4 C ．5 D ．6 2.在()()1n x n N *
+∈的二项展开式中，若只有5x 的系数最大，则n = A ．8 B. 9 C. 10 3．如果2323n x x ⎛⎫- ⎪⎝
⎭的展开式中含有非零常数项，则正整数n 的最小值为（ ） Ａ．3
Ｂ．5 Ｃ．6 Ｄ．10
题型二、展开式的系数和 1.已知()()()()1002100
01210012111.x a a x a x a x +=+-+-++-L 求：（1）0a ；（2）012100a a a a ++++L （3）13599a a a a ++++L ；
2.（江西理4）已知33n
x x ⎛⎫+ ⎪⎝
⎭展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则n 等于（ ）
Ａ．4 Ｂ．5 Ｃ．6 Ｄ．7 3.（江西文5）设2921101211(1)(21)(2)(2)(2)x x a a x a x a x ++=+++++++L ，则01211a a a a ++++L 的值为
（ ）
Ａ．2-
Ｂ．1- Ｃ．1 Ｄ．2 4.(安徽文12)已知45235012345(1)x a a x a x a x a x a x -=+++++, ())(531420a a a a a a ++++ 的值等
于 .
题型三、一项展开:拆成两项
除以9的余数是（ ）
A ．1
B ．2
C ．4
D ．8
题型四、多项展开：
1.（|x |＋|
|1x －2）3展开式中的常数项是（ ） A ．12 B ．－12 C ．20 D ．－20
2.求()()()2111n x x x ++++++L 展开式中3x 项的系数.
二项式定理
1、展开式中的特殊项
1．解．21()n x x -的展开式中，常数项为15，则223331()()15n n n n C x x -=，所以n 可以被3整除，当n=3时，13315C =≠，当n=6时，2615C =，选D 。
2.答案】C 解析】只有5x 的系数最大，5x 是展开式的第6项，第6项为中间项，展开式共有11项，故n=10
3．答案：选Ｂ
解析：由展开式通项有()21323r
n r r r n T C x x -+⎛⎫=- ⎪⎝⎭()2532r r n r n r n C x --=⋅⋅-⋅ 由题意得()52500,1,2,,12n r n r r n -=⇒=
=-L ，故当2r =时，正整数n 的最小值为5，故选Ｂ 2、展开式的系数和
1.1003、1005、2
15100- 2.解析：展开式中，各项系数的和为4n ，各项二项式系数的和为2n ，由已知得2n =64，所以n=6，选C
3.解析：令2x +=1，右边为01211a a a a ++++L ；左边把1x =-代入
299(1)(21)2(1)2x x ++=-=-，01211 2.a a a a ∴++++=-L 选A.
4.解析：已知45235012345(1)x a a x a x a x a x a x -=+++++,
∴024135()16a a a a a a ++=-++= 则
())(531420a a a a a a ++++=－256
3、一项展开:拆成两项
1解析：1111101192111011111011111133C 9C 9C 9C 9C )19(82-+-+-=-==Λ-=10
0119(C 9
)1C 9C 9C 9(C 91)C 9C 9C 101182119111100111011821191
11-+-+-=-+-+ΛΛ,8+ 故余数为8，选D ．
4、多项展开：1.解法一：∵63)||1||()2||1|(|x x x x -=-+
∴展开式的通项为
r r r x T -+=661)||(C ·r r r x )1(C )||1(6-=-·r x 26)||(- 令6－2r ＝0，得r ＝3
∴T 4＝36C （－1）3＝－20 ∴所求常数项为－20．
解法二：∵（|x |＋|
|1x －2）3＝36|||)|1(x x - ∴（1－|x |）6中|x |3的系数A ＝3
6C （－1）3＝－20就是展开式的常数项． 评注：此题也可把其中的某两项看作一项对待，然后用二项式定理展开，但较繁，以上两种转化方式是比较实用的．
2.33433n C C C ⋅⋅⋅⋅⋅⋅++。