广义相对论课堂21Schwarzschild时空轨道
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人教版 高中物理选修3-4 15.4广义相对论简介课件(18张ppt)
这说明一个均匀的引力场与一个做匀加速运动 的参考系等价，这就是等效原理。
二、广义相对论的几个结论
从广义相对论的两个基本原理出发， 可以直接得到一些“意想不到”的结 论。请大家阅读教材，说明得到了哪 些结论，这些结论的实验验证是什么？
第一个结论，物质的引力使光线弯曲。 20世纪初，人们观测到了太阳引力场引起 的光线弯曲。观测到了太阳后面的恒星。
引力场的存在会使得空间不同位置的时间进程出现差别， 在强引力场的星球附近，时间进程会变慢。矮星表面的引 力很强，那里的时间进程慢，那里原子发射的光的频率会 比地球上同种原子发射的光的频率低。因为在可见光范围 内，红光频率是最低的。这种发射光的频率变低的现象就 认为是红移。
时间间隔与引力场有关
各 类 星 体 对 比
15.4 广义相对论简介
教学目标
1．了解广义相对性原理和等效原理。
2．了解广义相对论的几个结论及主要观测证据。 3．通过本节学习，激发学生探索宇宙奥秘的兴趣，
形成初步的相对论时空观。
教学重点 广义相对性原理和等效原理。 教学难点 理解广义相对论的几个结论。
19世纪后半叶，关于电磁场的研究不断深入， 人们认识到了光的电磁本质．我们已经知道，电磁 波是以巨大且有限的速度传播的，因此在电磁场的 研究中不断遇到一些矛盾，这些矛盾导致了相对论 的出现．
一、广义相对性原理和等效原理
广义相对性原理的内容：“在任何参考系中，物 理规律都是相同的”，也可以理解为：“物理学定 律必须对于无论哪种方式运动着的参考系都成立”。
停泊在行星表面的飞船里，没有支撑的物体 会做自由落体运动即匀加速运动，这是因为飞 船处在行星表面空间的引力场中；
如果飞船远离行星表面做匀加速运动，也会观察到 没有支撑的物体的自由落体运即匀加速运动。我们不 能根据飞船内的自由落体运动来判断飞船到底在加速 运动，还是停在一个行星的表面。
二、广义相对论的几个结论
从广义相对论的两个基本原理出发， 可以直接得到一些“意想不到”的结 论。请大家阅读教材，说明得到了哪 些结论，这些结论的实验验证是什么？
第一个结论，物质的引力使光线弯曲。 20世纪初，人们观测到了太阳引力场引起 的光线弯曲。观测到了太阳后面的恒星。
引力场的存在会使得空间不同位置的时间进程出现差别， 在强引力场的星球附近，时间进程会变慢。矮星表面的引 力很强，那里的时间进程慢，那里原子发射的光的频率会 比地球上同种原子发射的光的频率低。因为在可见光范围 内，红光频率是最低的。这种发射光的频率变低的现象就 认为是红移。
时间间隔与引力场有关
各 类 星 体 对 比
15.4 广义相对论简介
教学目标
1．了解广义相对性原理和等效原理。
2．了解广义相对论的几个结论及主要观测证据。 3．通过本节学习，激发学生探索宇宙奥秘的兴趣，
形成初步的相对论时空观。
教学重点 广义相对性原理和等效原理。 教学难点 理解广义相对论的几个结论。
19世纪后半叶，关于电磁场的研究不断深入， 人们认识到了光的电磁本质．我们已经知道，电磁 波是以巨大且有限的速度传播的，因此在电磁场的 研究中不断遇到一些矛盾，这些矛盾导致了相对论 的出现．
一、广义相对性原理和等效原理
广义相对性原理的内容：“在任何参考系中，物 理规律都是相同的”，也可以理解为：“物理学定 律必须对于无论哪种方式运动着的参考系都成立”。
停泊在行星表面的飞船里，没有支撑的物体 会做自由落体运动即匀加速运动，这是因为飞 船处在行星表面空间的引力场中；
如果飞船远离行星表面做匀加速运动，也会观察到 没有支撑的物体的自由落体运即匀加速运动。我们不 能根据飞船内的自由落体运动来判断飞船到底在加速 运动，还是停在一个行星的表面。
专题讲座—广义相对论.ppt
？
1、小室静止在地面，地球引 力使落体的加速度为g
2、小室在自由空间相对惯 性系向上以g做匀加速运动， 以小室为参考系，物体受到 向下的惯性力mig,惯性力使得 其产生向下的加速度g。
小室里的人无法确定是哪种情况， 无法区分作用在落体上的是引力还 是惯性力，实际上做任何力学实验 都无法区分引力和惯性力。
2、等效原理和广义相对性原理是广义 相对论的两个基本原理，从这两个原理 出发，就可以一并解决引力和加速系问
题，构建起广义相对论理论。
3、不再有严格的、绝对的刚性参考系。
S’
S o
Y o
Y’ X1
a
X2X’ X
S系认为自己是刚性参考系，但认为s’系在运动 方向上每小段长度随时间不断减小，所以不是刚 性参考系。因此在广义相对论中，只有内禀刚性 参考系，不存在各参考系都承认的刚性参考系。
质量 M (2 3) M⊙时，才可能形成黑洞，
此时rs 10 km 。
恒星演化的晚期，其核心部分经过核反应 T ∼ 6109K， 各类中微子过程都能够发生， 中微子将核心区的能量迅速带走引力坍缩
强冲击波 外层物质抛射或超新星爆发 致密天体（白矮星、中子星、黑洞） 五.引力波
广义相对论预言了引力波的存在。 加速的物体系，会引起周围时空性质变化， 并以波动（引力波）的形式向外传播。
相对论中的力 包括惯性力。
等效原理：引力场中任意时空点，总能 建立一个局域惯性系，在此参考系内， 狭义相对论所确定的物理规律都成立。
2、广义相对性原理 物理规律在一切参考系中都具有相同的形式。
几点说明： 1、物理规律在局惯系和该点的任意其 他参考系中表述都相同。这些参考系 包括加速度也包括引力场。这样通过 坐标变换就可以把无引力的狭义相对 论的物理规律转换到引力场中去，引 力场的影响体现在坐标变换关系上。
引力半径和史瓦西
引力半径和史瓦西引力半径的概念引力半径（gravitational radius）是一个物理学上的概念，用于描述一个天体的质量对周围空间的影响范围。
在爱因斯坦的广义相对论中，质量会弯曲周围的时空，形成引力场。
引力半径就是指在这个引力场中，质量足够大以至于无法逃离其引力影响的距离。
根据爱因斯坦的质能方程E=mc²，质量与能量是等价的。
当物体被压缩到其引力半径内时，它将塌缩成一个无限密度、体积接近零但质量不变的奇点（singularity），这就是黑洞形成的过程。
史瓦西半径和黑洞史瓦西半径（Schwarzschild radius）是一种特殊情况下计算引力半径的公式。
它由德国天文学家史瓦西在1916年首次提出，并且被广泛应用于描述黑洞。
根据史瓦西度规（Schwarzschild metric），在没有自转和电荷的情况下，一个球对称分布的质量M会形成一个静态的黑洞。
史瓦西半径可以通过公式：R = 2GM/c²其中，R是史瓦西半径，G是引力常数，M是天体的质量，c是光速。
当一个天体的半径小于其史瓦西半径时，它将塌缩成一个黑洞。
黑洞被认为是宇宙中最极端的天体之一，具有强大的引力和奇特的物理特性。
黑洞的特性和观测黑洞由于其极端条件而具有一些独特的特性。
首先，黑洞具有无可逆性。
一旦物质进入黑洞事件视界（event horizon），就再也无法逃离了。
事件视界是指距离黑洞中心等于史瓦西半径的表面，内部任何信息都无法传递到外部观测者那里。
其次，黑洞具有弯曲时空。
根据广义相对论，在黑洞附近时空被严重扭曲，时间减慢、空间弯曲。
这导致了一些奇怪的现象，例如光线被引力弯曲、时间流逝较慢等。
此外，黑洞还具有质量和自转。
质量越大的黑洞，其引力场越强，影响范围也更广。
自转则是指黑洞本身的旋转运动，由于角动量守恒，当一个天体坍缩成黑洞时，其自转速度会增加。
然而，由于黑洞的特殊性质，我们无法直接观测到它们。
黑洞不会发出可见光、电磁波或其他形式的辐射，只能通过间接的方法来推断它们的存在。
广义相对论简介
四、黑洞（black hole）
设一飞船自无限远，由静止向星球自由降落。
M
dt , dr
dt , dr
r
0
v
r m
2 1 v 2GM 2 mv 2 GMm , 2 2 r 2 c c r
dt 2GM dt , dr 1 2 dl cr 2GM 1 2 cr
8.11 广义相对论（引力的时空理论）简介 一、等效原理和局域惯性系 1、严格的惯性系 自由粒子总保持静止或匀速直线运动状态的 参考系，是严格的惯性系。 无引力场的区域，才是严格的惯性系！ 例如，太空中远离任何物体的区域。 但参考系由其他物体群构成。这样，自由粒 子将不复存在，惯性系的定义出现了问题！ 在引力场中，存在严格的惯性系吗？
―黑洞”不“黑”：1974年，霍金结合量子 力学和相对论，指出黑洞并非全黑 — 黑洞能 够辐射，这就是著名的霍金辐射。黑洞在辐 射过程中，将能量辐射出去，这意味着黑洞 将逐渐缩小，最后在爆炸中结束生命。
19
天文学家还发现，黑洞吸引其他恒星的物质 ，不是一下子就吸引过去，而是在看不见的周 围形成一个会转的物质盘 ( 叫做吸积盘 ) 。另外 一个恒星的物质是先打到这个盘上去，盘上的 物质才像螺旋一样进入黑洞。
为验证时空弯曲和惯 性系拖曳效应 （大质量 物体旋转拖动周围时空 发生扭曲）， 2004 年 4 月 20 日美国发射“引力探 测器B”卫星。证实了爱 因斯坦的理论预言的误 差低于1%。
黑洞视频：
21
此时rs 10 km 。
17
黑洞拉伸、撕裂并吞噬一小部分恒星，最终将恒星大部 18 分质量抛向宇宙空间的模拟过程图。
恒星演化的晚期，其核心部分经过核反应 T ∼ 6109K，各类中微子过程都能够发生， 中微子将核心区的能量迅速带走 引力坍缩 强冲击波 外层物质抛射或超新星爆发 致密天体（白矮星、中子星、黑洞）
广义相对论 教科书
广义相对论教科书《广义相对论教科书》引言广义相对论是爱因斯坦在20世纪提出的一种重要理论，它描述了物质和能量如何影响时空的弯曲，以及在弯曲的时空中物体的运动和相互作用。
本教科书旨在以人类的视角，以清晰简明的语言，为读者介绍广义相对论的基本概念和主要原理。
第一章：时空的弯曲1.1 引力的本质1.2 弯曲时空的概念1.3 弯曲时空的度量第二章：时空中的物体运动2.1 自由落体运动2.2 物体在弯曲时空中的轨迹2.3 光线在弯曲时空中的传播第三章：引力场方程3.1 爱因斯坦场方程的推导3.2 引力场方程的解析解3.3 引力场方程的数值解第四章：宇宙的演化4.1 宇宙的膨胀和收缩4.2 宇宙微波背景辐射的起源4.3 暗能量和暗物质的作用第五章：黑洞和时空奇点5.1 黑洞的形成和性质5.2 黑洞边界——事件视界5.3 时空奇点的存在和意义第六章：广义相对论的实证6.1 引力波的探测和验证6.2 重力红移的观测和解释6.3 定义和测量引力的方法结语广义相对论是现代物理学的重要基石，它不仅深刻影响着天体物理学和宇宙学的发展，也为我们理解宇宙的本质提供了新的视角。
通过本教科书的学习，读者将深入了解广义相对论的基本原理和应用，并能更好地理解宇宙的奥秘。
参考文献1. 爱因斯坦，1905年，论相对论的电动学基础。
2. 爱因斯坦，1915年，关于广义相对论的一般理论。
致谢本教科书的撰写离不开广义相对论领域的前辈们的贡献和启发，以及编辑和校对人员的辛勤工作。
特此致以诚挚的感谢。
（以上内容仅为示例，具体内容可根据需要进行创作）。
《广义相对论》课件
1915年，爱因斯坦发表了广义相对论 ，描述了引力是由物质引起的时空弯 曲所产生。
爱因斯坦的灵感来源
爱因斯坦受到马赫原理、麦克斯韦电 磁理论和黎曼几何的启发，开始思考 引力与几何之间的关系。
广义相对论的基本假设
1 2
等效原理
在小区域内，不能通过任何实验区分均匀引力场 和加速参照系。
广义协变原理
物理定律在任何参照系中都保持形式不变，即具 有广义协变性。
研究暗物质与暗能量的性质有助于深入理 解宇宙的演化历史和终极命运。
05
广义相对论的未来发展
超弦理论与量子引力
超弦理论
超弦理论是一种尝试将引力与量子力学统一的理论框架，它认为基本粒子是一 维的弦，而不是传统的点粒子。超弦理论在数学上非常优美，但目前还没有被 实验证实。
量子引力
量子引力理论试图用量子力学的方法描述引力，解决广义相对论与量子力学之 间的不兼容问题。目前，量子引力理论仍在发展阶段，尚未有成熟的理论框架 。
广义相对论为宇宙学提供了重 要的理论基础，用于描述宇宙
的起源、演化和终极命运。
大爆炸理论
广义相对论解释了大爆炸理论 ，即宇宙从一个极度高温和高 密度的状态开始膨胀和冷却的 过程。
黑洞理论
广义相对论预测了黑洞的存在 ，这是一种极度引力集中的天 体，能够吞噬一切周围的物质 和光线。
宇宙常数
广义相对论引入了宇宙常数来 描述空间中均匀分布的真空能
宇宙加速膨胀与暗能量研究
宇宙加速膨胀
通过对宇宙微波背景辐射和星系分布的研究，科学家发现宇 宙正在加速膨胀。这需要进一步研究以理解其中的原因，以 及暗能量的性质和作用。
暗能量
暗能量是一种假设的物质，被认为是宇宙加速膨胀的原因。 需要进一步研究暗能量的性质和作用机制，以更好地理解宇 宙的演化。
广义相对论简介
时间的附加t 轴的球坐标，另一个坐标r用作该处的球
坐标半径；而更远的地方，它只给出物体的距离。 然而当球坐标很小的时候，这个解开始变得奇怪
起来。在r=0的中心处有一个“奇点”，那里的时空 弯曲是无限的；围绕该点的区域内，球坐标的负方向 实际成为时间（而非空间）的方向。任何处于这个范 围内的事物，包括光，都会为潮汐力扯碎并被强迫坠 向奇点。这个区域被一个施瓦氏坐标消失的面与宇宙 的其他部分分离开来。
时间
能量
狭义
广义
狭义
空间
x (x,ict)
动量
p
( p,
i c
E)
广义相对论认为物质的存在（能量、动量 的存在），会使四维时空发生弯曲，如果物质 消失，时空就回到平直状态。万有引力是时空 弯曲的表现，质点在万有引力作用下的运动 （比如：自由落体、行星绕日运动）是弯曲时 空的自由运动 —— 惯性运动。
这个解很象一个“公制”，此“公制”可以作为 获取时空中曲线段“长度”的公式。物体沿时间 （“坐标轴”）运动的曲线的长度，如果用此公式计 算，就恰是该运动物体所经历的时间。公式的最终形 式取决于你选择用来描述事物的坐标系。公式可以因 坐标不同而变形，但象时空弯曲这样的物理量却不会 受影响。
施瓦氏用坐标的术语表述了它的“公制”概念：在 距离物体很远的地方，近似于一个带有一条用以表示
引力质量 mg ——量度物体与其它物体相互吸引
的能力。
F G M Emg
RE2
牛顿的实验结果
mg 1 0(103 ) mi
20世纪60年代，Dicke的实验结果
(2) 等效原理
mg 1 0(1011) mi
一个物体在均匀引力场中的动力学效应与物体
在加速参考系中的动力学效应是不可区分的。
坐标半径；而更远的地方，它只给出物体的距离。 然而当球坐标很小的时候，这个解开始变得奇怪
起来。在r=0的中心处有一个“奇点”，那里的时空 弯曲是无限的；围绕该点的区域内，球坐标的负方向 实际成为时间（而非空间）的方向。任何处于这个范 围内的事物，包括光，都会为潮汐力扯碎并被强迫坠 向奇点。这个区域被一个施瓦氏坐标消失的面与宇宙 的其他部分分离开来。
时间
能量
狭义
广义
狭义
空间
x (x,ict)
动量
p
( p,
i c
E)
广义相对论认为物质的存在（能量、动量 的存在），会使四维时空发生弯曲，如果物质 消失，时空就回到平直状态。万有引力是时空 弯曲的表现，质点在万有引力作用下的运动 （比如：自由落体、行星绕日运动）是弯曲时 空的自由运动 —— 惯性运动。
这个解很象一个“公制”，此“公制”可以作为 获取时空中曲线段“长度”的公式。物体沿时间 （“坐标轴”）运动的曲线的长度，如果用此公式计 算，就恰是该运动物体所经历的时间。公式的最终形 式取决于你选择用来描述事物的坐标系。公式可以因 坐标不同而变形，但象时空弯曲这样的物理量却不会 受影响。
施瓦氏用坐标的术语表述了它的“公制”概念：在 距离物体很远的地方，近似于一个带有一条用以表示
引力质量 mg ——量度物体与其它物体相互吸引
的能力。
F G M Emg
RE2
牛顿的实验结果
mg 1 0(103 ) mi
20世纪60年代，Dicke的实验结果
(2) 等效原理
mg 1 0(1011) mi
一个物体在均匀引力场中的动力学效应与物体
在加速参考系中的动力学效应是不可区分的。
广义相对论简介
爱因斯坦提出：引力不同于其它种类的力， 爱因斯坦提出：引力不同于其它种类的力， 事实的后果。 它只不过是时空不平坦的这一 事实的后果。 物体并非由于称为引力的力而沿弯曲轨道运动， 物体并非由于称为引力的力而沿弯曲轨道运动， 而是沿着弯曲空间中最接近直线的称之为测地线 而是沿着弯曲空间中最接近直线的称之为测地线 的轨迹运动。 的轨迹运动。
才可能形成黑洞， 质量 M > (2 ∼ 3) M⊙时，才可能形成黑洞， 此时rs ∼ 10 km 。
9
地球的 rs
恒星演化的晚期， 恒星演化的晚期，其核心部分经过核反应 T ∼ 6×109K， 各类中微子过程都能够发生， × ， 各类中微子过程都能够发生， 中微子将核心区的能量迅速带走→ 中微子将核心区的能量迅速带走 →引力坍缩 → 强冲击波 → 外层物质抛射或超新星爆发 白矮星、中子星、黑洞） → 致密天体（白矮星、中子星、黑洞） 4.引力波 引力波 广义相对论预言了引力波的存在。 广义相对论预言了引力波的存在。 加速的物体系，会引起周围时空性质变化， 加速的物体系，会引起周围时空性质变化， 并以波动（引力波）的形式向外传播。 并以波动（引力波）的形式向外传播。
太阳
ห้องสมุดไป่ตู้
•
·
水 若再考虑空间弯曲，得到： 星 若再考虑空间弯曲，得到：
附加
= 5557.62′′ / 100年 ， 实测 = 5600.73′′ / 100年
牛
= 43 .0 3′′ / 100 年 ，
Ω 牛+ Ω 附加=5600.65′′ ′′/100年 ′′ 年
相符得非常好。 理论值Ω 牛+ Ω 附加和观测值 Ω 相符得非常好。 这是对广义相对论的重大验证之一。 这是对广义相对论的重大验证之一。
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给定M，首先按照角动量分类
• 牛顿L=0径向可到达r=0,实际情况星体表面 阻挡－－外力，不再有机械能守恒分析； 径向远离，E≥0可逃逸到无穷远（势能为0)， E<0会回落
• L≠0不可到达r=0，
• 1。E≥0散射，双曲线(E>0)或抛物线(E=0)
• 2。E<0椭圆束缚轨道
• 3。特别地，势能曲线最低点E=V_min=1/2L^2(与熟知结果一致)圆周，且稳定
2021/3/7
10
测量钟与尺相对运动 平直时空坐标网格
• 三位一体 • 惯性系skew坐标
– 钟的世界线 – 尺子原点刻度的世界线
• 和钟的世界线重合吗？ • 类时、切矢量 • 类空=尺子延展方向、分量表达
– 与坐标网格的关系 – 线元和度规
2021/3/7
11
线元存在时空交叉项 基准钟尺相对运动？ g0i 0
广义相对论课堂21 Schwarzschild时空轨道
2011.11.25
2021/3/7
1
课程安排
• 复习内容： • 讨论内容：惯性系斜交坐标测量意义 • 新内容：Schwarzschild时空应用 • 下次课：经典检验 • 测验 • 发草稿纸——助教 • 课后发调查表
2021/3/7
2
测验目的
– 未解之谜：Kerr环奇点
• 转动宇宙Godel度规
2021/3/7
13
进一步可探讨
• 对比习题7.21 • Cook雷达回波、t',x坐标下
2021/3/7
14
第二个活动 匀加速正交坐标系
2021/3/7
15
匀加速正交坐标系 完美类比
平面几何及坐标系
2021/3/7
16
第四点：测地线方程（组）
• i方向的基准尺子相对基准钟运动
– 不是j方向
• 另选尺子相对不动的总能做到吗？ • Cook没讲到：钟尺相对运动
2021/3/7
12
应用 g0i 0
• 转盘系 • Schwarzschild时空Eddington-Finkelstein坐
标 • Kerr时空Boyer-Lindquist坐标
2021/3/7
18
第五点：有效势
2021/3/7
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机械能=径向动能+有效势能（势能+ 角向动能=离心势能）牛顿情况
E T r V eff V eff V T T VC
e
mc
2
E Newton mc 2
1 e,
牛顿低速 e《1
e2 1 2
e
E Newton mc 2
2021/3/7
• 1。仍然有效力不为0,V’≠0;牛顿情况，某个高 度上，速度大（小）于圆周速度，离心力大（ 小）于引力，双曲（抛物）（椭圆）；测地线 方程d^2r/dτ^2＝-Γ^r_tt(u^t)^2-Γ^r_φφ(u^φ)^2Γ^r_rr(u^r)^2
2021/3/7
25
势能曲线的分析原理：续
• 2.Cauchy定解，运动方程总是二阶微分方程（例如从 变分原理看L(v,x)，所有力学都是从牛顿力学比拟而来 ），初始位置确定（静态时空）则时空点确定，初始 三个速度确定，则定解。即L, ε决定了一条且仅仅一条 测地线（当然，不一定遍历，如一开始就在V最高点则 只有从R<R_min或R>R_max过来的圆周运动部分）
2021/3/7
5
试图在球面上构造全局性
惯性系skew坐标
• Φ——测地线
• θ——非测地线，除赤道圈
– θ换成Φ'
– 也用测地线，赤道圈上某一点P=第二极点O'
– 相对于北极点O
– OO'大圆上坐标失效，无能区分不同点——非 全局！
– 对比极点（θ，Φ）坐标简并
• θ、Φ类似匀加速系直线+曲线网格
• 4. d^2V/dR^2><=0 • 按单位质量角动量分类L=l/M • 1.L<3.46,两种轨道:向外ε>0逃逸，其余投入或回落 • 2.L=3.46,同上＋拐点R=L^2/2处ε=V不稳定圆周轨道 • 3.3.46<L≤4,最高点不稳定+最低点稳定圆周＋束缚
(Vmin<ε<0) • 4.L>4,+散射轨道0<ε<Vmax
• 了解大家的学习困难、不足、效果 • 确保掌握重点和难点
2021/3/7
3
改进
2021/3/7
4
‘动钟变慢’误导吗？
• ‘动’=速度不为零=钟尺测量速度=相对于 坐标钟
• 加速钟dτ2=γ-2dt2 • 双生子佯谬=为什么反过来不可以？
– 钟尺网格 – Marzke-Wheeler坐标
• 实验不需理论引入钟尺网格
为dφ/dτ=0， φ=Const.在一个平面上 • 3. 解测地线方程，附录B，LightmanP404 • 可以证明平面运动是稳定的,小扰动后回 • 坐标轴重新取向，约定在赤道面上讨论θ=π/2 • 第三个初积分，四速度归一/0化，即线元 • 四速度只有三个非零分量，利用三个初积分方程，可用
e,L表达
2021/3/7
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第六点：有效势曲线分析原理
2021/3/7
2得到dr/dτ=0或d^2r/dτ^2=-V’= 有效力，所以碰到势垒会反弹；散射和束缚由 d^2r/dτ^2连续性仍然有d^2r/dτ^2=-V’=有效力 ；问题：在ε=V， dr/dτ=0是否可以保持圆周运 动？答：不会－－
2021/3/7
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微分应用：分析曲线形状
• 1.R->0,V->-L^2/R^3->-∞;R->∞,V->-1/R->0;中间V>L^2/2R^2
• 2.0=V,R01,02=;L≥4；随L分别为减函2<R01<4、增函数 >4
• 3.0=dV/dR,Rmin,max=;Vmin,max=下标指的是V最小最大 Rmin>Rmax;L≥3.46;Vmax给出给定e粒子的俘获截面
径向方程
2021/3/7
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测试粒子和光线的测地运动
三个初积分／运动常数／守恒量
• 单位质量粒子能量e(因为在远处)， 无量纲, 物理意义! • 单位质量粒子角动量L(因为L=rv) • 所有的轨道都是在某一个过球心平面上运动：1。直观地
看，任何偏离平面的运动都受到非向心力，破坏了球对称 • 2。教材9.22，L=0，初始dφ/dτ=0，则以后沿测地线处处
2021/3/7
6
三种理论4种钟尺网格
2021/3/7
7
无非是将平直时空（事件集合） 用网格划分 网格点标记
• 数学的威力——Einstein求助 • 重要的是数学表达了什么物理
2021/3/7
8
第一个活动 惯性斜交坐标系
2021/3/7
9
写在纸上
• 不要太潦草——上交我查看 • 多留空白、隔行写——方便批改 • 尽量文字说明你的推理要点、步骤