数值分析习题汇总

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数值分析习题(含答案)

第一章绪论姓名学号班级习题主要考察点：有效数字的计算、计算方法的比较选择、误差和误差限的计算。

1 若误差限为5105.0-⨯,那么近似数0.003400有几位有效数字？（有效数字的计算）解：2*103400.0-⨯=x ，325*10211021---⨯=⨯≤-x x 故具有3位有效数字。

2 14159.3=π具有4位有效数字的近似值是多少？（有效数字的计算）解：10314159.0⨯= π，欲使其近似值*π具有4位有效数字，必需41*1021-⨯≤-ππ，3*310211021--⨯+≤≤⨯-πππ，即14209.314109.3*≤≤π即取（3.14109 , 3.14209）之间的任意数，都具有4位有效数字。

3 已知2031.1=a ，978.0=b 是经过四舍五入后得到的近似值，问b a +，b a ⨯有几位有效数字？（有效数字的计算）解：3*1021-⨯≤-aa ，2*1021-⨯≤-b b ，而1811.2=+b a ，1766.1=⨯b a 2123****102110211021)()(---⨯≤⨯+⨯≤-+-≤+-+b b a a b a b a故b a +至少具有2位有效数字。

2123*****10210065.01022031.1102978.0)()(---⨯≤=⨯+⨯≤-+-≤-b b a a a b b a ab 故b a ⨯至少具有2位有效数字。

4 设0>x ，x 的相对误差为δ，求x ln 的误差和相对误差？（误差的计算）解：已知δ=-**xx x ，则误差为 δ=-=-***ln ln xx x x x则相对误差为******ln ln 1ln ln ln xxx x xxx x δ=-=-5测得某圆柱体高度h 的值为cm h 20*=，底面半径r 的值为cm r 5*=，已知cm h h 2.0||*≤-，cm r r 1.0||*≤-，求圆柱体体积h r v2π=的绝对误差限与相对误差限。

数值分析课后习题答案

0 1
0 10 1 1 0 0 0 1
0 0 12 1 1 2 0 0 0

1 2
0 0 0 1 1 0
1 2

1 2

1 2
1
0 0 0 1 0

1 2

1 2

0
1 2

1 2
0
0
0
341 1 1
2-5.对矩阵A进行LDLT分解和GGT分解，并求解方程组
Ax=b，其中
16 4 8
1
A 4 5 4 , b 2
8 4 22
3
解
16 A 4
4 5
84
44 11
2-3(1).对矩阵A进行LU分解,并求解方程组Ax=b,其中
2 1 1 A1 3 2
4 ,b6
1 2 2
5
解
2 A 1
1 3
1 2

2 11
22
1
5 2
1

3 21来自，所以 A12
1
2 1 1

5 3
2-2(1).用列主元Gauss消元法解方程组
3 2 6x1 4 10 7 0x2 7 5 1 5x3 6
解
3 2 6 4 10 7 0 7 10 7 0 7

r1r2
消元

10 7 0 7 3 2 6 4 0 0.1 6 6.1
r=0.5101-n/3.162…<0.5101-n/3<0.01% 因此只需n=5.即取101/2=3.1623

数值分析试题及答案汇总

数值分析试题一、填空题2 0×2′1.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=32,1223X A 设x =是精确值x =的近似值,则x 有 2 位有效数字;2. 若fx =x 7－x 3＋1,则f 20,21,22,23,24,25,26,27= 1 , f 20,21,22,23,24,25,26,27,28=0 ;3. 设,‖A ‖∞＝___5 ____,‖X ‖∞＝__ 3_____,‖AX ‖∞≤_15_ __;4. 非线性方程fx =0的迭代函数x =x 在有解区间满足 |’x | <1 ,则使用该迭代函数的迭代解法一定是局部收敛的;5. 区间a ,b 上的三次样条插值函数Sx 在a ,b 上具有直到 2 阶的连续导数;6. 当插值节点为等距分布时,若所求节点靠近首节点,应该选用等距节点下牛顿差商公式的前插公式 ,若所求节点靠近尾节点,应该选用等距节点下牛顿差商公式的后插公式；如果要估计结果的舍入误差,应该选用插值公式中的拉格朗日插值公式 ;7. 拉格朗日插值公式中fx i 的系数a i x 的特点是：=∑=ni i x a 0)( 1 ；所以当系数a i x 满足 a i x >1 ,计算时不会放大fx i 的误差; 8. 要使20的近似值的相对误差小于%,至少要取 4 位有效数字;9. 对任意初始向量X 0及任意向量g ,线性方程组的迭代公式x k +1=Bx k +gk =0,1,…收敛于方程组的精确解x 的充分必要条件是 B<1 ; 10. 由下列数据所确定的插值多项式的次数最高是 5 ;11. 牛顿下山法的下山条件为 |fxn+1|<|fxn| ;12. 线性方程组的松弛迭代法是通过逐渐减少残差r i i =0,1,…,n 来实现的,其中的残差r i＝ b i -a i1x 1-a i2x 2-…-a in x n /a ii ,i =0,1,…,n ;13. 在非线性方程fx =0使用各种切线法迭代求解时,若在迭代区间存在唯一解,且fx 的二阶导数不变号,则初始点x 0的选取依据为 fx0f ”x0>0 ; 14. 使用迭代计算的步骤为建立迭代函数、选取初值、迭代计算; 二、判断题10×1′1、若A 是n 阶非奇异矩阵,则线性方程组AX ＝b 一定可以使用高斯消元法求解; ×2、解非线性方程fx =0的牛顿迭代法在单根x 附近是平方收敛的;3、若A 为n 阶方阵,且其元素满足不等式则解线性方程组AX ＝b 的高斯——塞德尔迭代法一定收敛; × 4、样条插值一种分段插值; 5、如果插值结点相同,在满足相同插值条件下所有的插值多项式是等价的; 6、从实际问题的精确解到实际的计算结果间的误差有模型误差、观测误差、截断误差及舍入误差; 7、解线性方程组的的平方根直接解法适用于任何线性方程组AX ＝b ; × 8、迭代解法的舍入误差估计要从第一步迭代计算的舍入误差开始估计,直到最后一步迭代计算的舍入误差; × 9、数值计算中的总误差如果只考虑截断误差和舍入误差,则误差的最佳分配原则是截断误差＝舍入误差; 10、插值计算中避免外插是为了减少舍入误差; × 三、计算题5×10′1、用列主元高斯消元法解线性方程组; 解答：1,5,2最大元5在第二行,交换第一与第二行： L 21=1/5=,l 31=2/5= 方程化为： ,最大元在第三行,交换第二与第三行： L32==,方程化为：回代得：⎪⎩⎪⎨⎧-===00010.1 99999.500005.3321x x x 2、用牛顿——埃尔米特插值法求满足下列表中插值条件的四次插值多项式P 4x ,并写出其截断误差的表达式设fx 在插值区间上具有直到五阶连续导数;解答：做差商表P4x=1-2x-3xx-1-xx-1x-1x-2 R4x=f5/5xx-1x-1x-2x-23、对下面的线性方程组变化为等价的线性方程组,使之应用雅克比迭代法和高斯——赛德尔迭代法均收敛,写出变化后的线性方程组及雅克比迭代法和高斯——赛德尔迭代法的迭代公式,并简单说明收敛的理由; 解答：交换第二和第四个方程,使系数矩阵为严格对角占优：雅克比迭代公式：计算机数学基础2数值分析试题一、单项选择题每小题3分,共15分 1. 已知准确值x 与其有t 位有效数字的近似值x ＝…a n ×10s a 10的绝对误差x －x ．A ×10 s －1－tB ×10 s －tC ×10s ＋1－tD ×10 s ＋t 2. 以下矩阵是严格对角占优矩阵的为．A ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------2100121001210012, B ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡2100141101410125⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=-+=-+-=+-65 84 3 3 12431432321421x x x x x x x x x x x xC ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--2100141212410125 D ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-5131141201411124 3. 过0,1,2,4,3,1点的分段线性插值函数Px =A ⎪⎩⎪⎨⎧≤<+-≤≤+3210320123x x x x B ⎪⎩⎪⎨⎧≤<+-≤≤+32103201232x x x x C ⎪⎩⎪⎨⎧≤<+-≤≤-3210320123x x x x D⎪⎩⎪⎨⎧≤<+-≤≤+32420123x x x x 4. 等距二点的求导公式是A ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-='+-='+++)(1)()(1)(111k k k k k k y y h x f y y h x fB ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-='-='+++)(1)()(1)(111k k k k k k y y h x f y y h x f C ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-='+-='+++)(1)()(1)(111k k k k k k y y h x f y y h x fD5. 解常微分方程初值问题的平均形式的改进欧拉法公式是那么y p ,y c 分别为．A ⎩⎨⎧+=+=+),(),(1k k k c k k k p y x hf y y y x hf y yB ⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+),(),(1p k k c k k k p y x hf y y y x hf y yC ⎪⎩⎪⎨⎧+=+=),(),(p k k c k k k p y x f y y y x f y y D ⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+),(),(1p k k c k k k p y x hf y y y x hf y y 二、填空题每小题3分,共15分6. 设近似值x 1,x 2满足x 1=,x 2=,那么x 1x 2= ．7. 三次样条函数Sx 满足：Sx 在区间a ,b 内二阶连续可导,Sx k =y k 已知,k =0,1,2,…,n ,且满足Sx 在每个子区间x k ,x k +1上是．8. 牛顿－科茨求积公式∑⎰=≈n k k k bax f A x x f 0)(d )(,则∑=nk k A 0＝ .9. 解方程fx =0的简单迭代法的迭代函数x 满足在有根区间内 ,则在有根区间内任意取一点作为初始值,迭代解都收敛．10. 解常微分方程初值问题的改进欧拉法预报――校正公式是预报值：),(1k k k k y x hf y y +=+,校正值：y k +1= ．三、计算题每小题15分,共60分11. 用简单迭代法求线性方程组的X 3．取初始值0,0,0T ,计算过程保留4位小数． 12. 已知函数值f 0=6,f 1=10,f 3=46,f 4=82,f 6=212,求函数的四阶均差f 0,1,3,4,6和二阶均差f 4,1,3．13.将积分区间8等分,用梯形求积公式计算定积分⎰+312d 1x x ,计算过程保留4位小数．14. 用牛顿法求115的近似值,取x =10或11为初始值,计算过程保留4位小数．四、证明题本题10分 15. 证明求常微分方程初值问题在等距节点a =x 0<x 1<…<x n =b 处的数值解近似值的梯形公式为yx k +1y k +1=y k +2hfx k ,y k +fx k +1,y k +1 其中h =x k +1－x k k =0,1,2,…n －1计算机数学基础2数值分析试题答案一、单项选择题每小题3分,共15分 1. A 2. B 3. A 4. B 5. D 二、填空题每小题3分,共15分 6. x 2+x 1 7. 3次多项式8. b －a 9. xr <1 10. y k +)],(),([211+++k k k k y x f y x f hhfx k ＋1, 1+k y ．三、计算题每小题15分,共60分 11. 写出迭代格式 X 0=0,0,0T .得到X 1＝,3,3T 得到X 2=, 7, 0T 得到X 3= 4, 6, 6T .12.f 0,1,3,4,6=15f 4, 1, 3=6 13. fx =21x +,h =25.082=．分点x 0=,x 1=,x 2=,x 3=,x 4=,x 5=,x 6=,x 7=,x 8=.函数值：f = 2,f = 8,f = 8,f = 6,f = 1,f = 2,f = 6,f = 2,f = 3．))]()()()()()()((27654321x f x f x f x f x f x f x f +++++++ 9分=225.0× 2+ 3+2× 8+ 8+ 6 + 1+ 2+ 6+ 2=× 5+2× 3= 114. 设x 为所求,即求x 2－115=0的正根．fx =x 2－115．因为fx =2x ,fx =2,f 10f 10=100－115×2<0,f 11f 11=121－115×2>0取x 0=11．有迭代公式x k +1=x k －)()(k k x f x f '=k k k k k x x x x x 2115221152+=--k =0,1,2,… x 1=112115211⨯+＝ 3x 2=3727.10211523727.10⨯+＝ 8 x 3=8723.10211528723.10⨯+＝ 8x 8四、证明题本题10分15. 在子区间x k +1,x k 上,对微分方程两边关于x 积分,得yx k +1－yx k =⎰+1d ))(,(k kx x x x y x f用求积梯形公式,有yx k +1－yx k =))](,())(,([211+++k k k k x y x f x y x f h将yx k ,yx k +1用y k ,y k +1替代,得到yx k +1y k +1=y k +2hfx k ,y k +fx k +1,y k +1k =0,1,2,…,n －1 数值分析期末试题一、填空题20102=⨯分1设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=283012251A ,则=∞A ______13_______;2对于方程组⎩⎨⎧=-=-34101522121x x x x ,Jacobi 迭代法的迭代矩阵是=JB ⎥⎦⎤⎢⎣⎡05.25.20;33*x 的相对误差约是*x 的相对误差的31倍;4求方程)(x f x =根的牛顿迭代公式是)('1)(1n n n n n x f x f x x x +--=+;5设1)(3-+=x x x f ,则差商=]3,2,1,0[f 1 ;6设n n ⨯矩阵G 的特征值是n λλλ,,,21 ,则矩阵G 的谱半径=)(G ρi ni λ≤≤1max ;7已知⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1021A ,则条件数=∞)(A Cond 9 8为了提高数值计算精度,当正数x 充分大时,应将)1ln(2--x x 改写为)1ln(2++-x x ;9n 个求积节点的插值型求积公式的代数精确度至少为1-n 次;10拟合三点))(,(11x f x ,))(,(22x f x ,))(,(33x f x 的水平直线是)(3131∑==i i x f y ;二、10分证明：方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+=++=+-12112321321321x x x x x x x x x 使用Jacobi 迭代法求解不收敛性;证明：Jacobi 迭代法的迭代矩阵为J B 的特征多项式为J B 的特征值为01=λ,i 25.12=λ,i 25.13-=λ,故25.1)(=J B ρ＞1,因而迭代法不收敛性;三、10分定义内积试在{}x Span H ,11=中寻求对于x x f =)(的最佳平方逼近元素)(x p ;解：1)(0≡x ϕ,x x ≡)(1ϕ,1),(100==⎰dx ϕϕ,21),(101==⎰xdx ϕϕ,31),(1211==⎰dx x ϕϕ,32),(10==⎰dx x f ϕ,52),(11==⎰dx x x f ϕ; 法方程解得1540=c ,15121=c ;所求的最佳平方逼近元素为 x x p 1512154)(+=,10≤≤x 四、10试用三次多项式以最小二乘法拟合所给数据;解:332210)(x c x c x c c x y +++=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=84211111000111118421A , ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=130034003401034010001005A A T 法方程的解为4086.00=c ,39167.01=c ,0857.02=c ,00833.03=c 得到三次多项式误差平方和为000194.03=σ五. 10分依据如下函数值表建立不超过三次的Lagrange 插值多项式,用它计算)2.2(f ,并在假设1)()4(≤x f 下,估计计算误差;解:先计算插值基函数所求Lagrange 插值多项式为121445411)(3)(23)(9)()()()(233210303+-+-=+++==∑=x x x x l x l x l x l x l x f x L i i i 从而0683.25)2.2()2.2(3=≈L f ;据误差公式))()()((!4)()(3210)4(3x x x x x x x x f x R ----=ξ及假设1)()4(≤x f 得误差估计：六. 10分用矩阵的直接三角分解法解方程组解设由矩阵乘法可求出ij u 和ij l 解下三角方程组有51=y ,32=y ,63=y ,44=y ;再解上三角方程组得原方程组的解为11=x ,12=x ,23=x ,24=x ;七. 10分试用Simpson 公式计算积分的近似值, 并估计截断误差;解：截断误差为八. 10分用Newton 法求方程2ln =-x x 在区间) ,2(∞内的根, 要求8110--<-kk k x x x ;解：此方程在区间) ,2(∞内只有一个根s ,而且在区间2,4内;设则 x x f 11)('-=, 21)(''xx f = Newton 法迭代公式为1)ln 1(112ln 1-+=----=+k k k kk k k k x x x x x x x x , ,2,1,0=k 取30=x ,得146193221.34=≈x s ;九. 10分给定数表求次数不高于5的多项式)(5x H ,使其满足条件其中,1i x i +-= 3 ,2 ,1 ,0=i ;解：先建立满足条件)()(3i x f x p =, 3,2,1,0=i的三次插值多项式)(3x p ;采用Newton 插值多项式[][]))((,,)(,)()(1021001003x x x x x x x f x x x x f x f x p --+-+=+再设 )2)(1()1)(()()(35--+++=x x x x b ax x p x H ,由得解得36059-=a ,360161=b ; 故所求的插值多项式。

数值分析习题含答案

2
x1 )
f (x0)
(x
x 0 )( x x0 x1
x1 )
f ' ( x0 )
(x ( x1
x0)
2 2
x0 )
f ( x1 )
R ( x)
其中 R(x) 由以下计算得到：构造辅助函数：
(t ) f (t ) N 2 (t ) (t (x x0 ) (t x0 ) ( x
2 2
x1 ) x1 )
f [ 2 ,2 ] =-2089 ，
0 1 2 7
0 1 7
f (x)
M ,
x
[ a , b ] ，证明：在任意相邻两节点间
R1 ( x )
1 8
Mh
2
。
x xi x xi M
1
f ( ) R1 i ( x ) 2 M 8 h 2,
h ,
2
x
8 ,n
[ xi , xi
1
]
R1 ( x )
max R1 i ( x )
1 2
s
2
[( x
xi
1
))( x
x
i
1 2
)( x
x i )]
e
4
h
3
[ s( s
1)( s
1)] 24
3 9
e h
4
3
10
6
3!
8
h
1 . 317
则用二次插值的步长应：
h
0 .6585
10
2
2-6 对区间 [a,b] 作步长为 h 的剖分，且做线性插值，其误差限为证明：区间上的误差限：误差限： 2-7 设 f ( x ) 解：自变量 1 2

数值分析练习题加答案(一)

数值分析期末考试一、设80~=x ，若要确保其近似数的相对误差限为0.1%，则它的近似数x 至少取几位有效数字？（4分）解：设x 有n 位有效数字。

因为98180648=<<=，所以可得x 的第一位有效数字为8（1分）又因为21101011000110821--⨯=<⨯⨯≤n ε，令321=⇒-=-n n ，可知x 至少具有3位有效数字（3分）。

二、求矩阵A 的条件数1)(A Cond （4分）。

其中⎥⎦⎤⎢⎣⎡=4231A 解：⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=-5.05.1121A （1分） 1A =7（1分） 2711=-A （1分）249)(1=A Cond （1分）三、用列主元Gauss 消元法法求解以下方程组（6分）942822032321321321=++-=++--=+-x x x x x x x x x解：→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----5.245.2405.35.230914220321821191429142821120321 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---8175835005,245.24091425.33.2305.245.2409142(4分) 等价三角方程组为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=+-=++,8175835,5.245.24,942332321x x x x x x （1分）回代得1,3,5123==-=x x x （1分）四、设.0,2,3,1,103)(3210234=-===-+-=x x x x x x x x f 1）求以3210,,,x x x x 为节3次Lagrange 多项式；（6分） 2）求以3210,,,x x x x 为节3次Newton 多项式；（6分）3）给出以上插值多项式的插值余项的表达式（3分）解：由0,2,3,13210=-===x x x x 可得10)(,34)(,1)(,11)(3210-==-=-=x f x f x f x f即得： +------+------=))()(())()(()())()(())()(()()(312101320130201032103x x x x x x x x x x x x x f x x x x x x x x x x x x x f x L=------+------))()(())()(()())()(())()(()(23130321033212023102x x x x x x x x x x x x x f x x x x x x x x x x x x x f+-+--+-⨯-+-+--+-⨯-)03)(23)(13()0)(2)(1()1()01)(21)(31()0)(2)(3(11x x x x x x326610.)20)(30)(10()2)(3)(1()10()02)(32)(12()0)(3)(1(34x x x x x x x x x -+--=+--+--⨯-+---------⨯2）计算差商表如下：i x )(i x f 一阶差商二阶差商三阶差商1 -11 3 -1 5 -2 34 -7 4 0-10-225-1则=+-----+-+-=)2)(3)(1()3)(1(4)1(511)(3x x x x x x x N326610x x x -+--3）)2)(3)(1())()()((!4)()(3210)4(3+--=----=x x x x x x x x x x x x f x R ξ五、给定方程组b Ax =，其中⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=100131w w w w A 。

数值分析期末考试题及答案

数值分析期末考试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 在数值分析中，下列哪个算法用于求解线性方程组？A. 牛顿法B. 高斯消元法C. 插值法D. 傅里叶变换答案：B2. 以下哪个选项不是数值分析中的误差类型？A. 舍入误差B. 截断误差C. 测量误差D. 累积误差答案：C3. 多项式插值中，拉格朗日插值法的特点是：A. 插值点必须等距分布B. 插值多项式的次数与插值点的个数相同C. 插值多项式是唯一的D. 插值多项式在插值点处的值都为1答案：B4. 在数值分析中，下列哪个方法用于求解非线性方程？A. 辛普森法则B. 牛顿迭代法C. 欧拉法D. 龙格-库塔法答案：B5. 以下哪个是数值稳定性的指标？A. 收敛性B. 收敛速度C. 条件数D. 误差传播答案：C二、简答题（每题10分，共20分）1. 简述高斯消元法求解线性方程组的基本原理。

答案：高斯消元法是一种直接解法，通过行变换将增广矩阵转换为上三角形式，然后通过回代求解线性方程组。

它包括三个基本操作：行交换、行乘以非零常数、行相加。

2. 解释什么是数值稳定性，并举例说明。

答案：数值稳定性是指数值解对输入数据小的扰动不敏感的性质。

例如，某些数值方法在计算过程中可能会放大舍入误差，导致结果不可靠，这样的方法就被认为是数值不稳定的。

三、计算题（每题15分，共30分）1. 给定线性方程组：\[\begin{align*}x + 2y - z &= 4 \\3x - y + 2z &= 1 \\-x + y + z &= 2\end{align*}\]使用高斯消元法求解该方程组，并给出解。

答案：首先将增广矩阵转换为上三角形式，然后回代求解，得到\( x = 1, y = 2, z = 1 \)。

2. 给定函数 \( f(x) = x^2 - 3x + 2 \)，使用拉格朗日插值法在\( x = 0, 1, 2 \) 处插值，并求出插值多项式。

《数值分析》练习题及答案解析

《数值分析》练习题及答案解析一、单选题1. 以下误差公式不正确的是（ D ）A ．()1212x x x x ∆-≈∆-∆B ．()1212x x x x ∆+≈∆+∆C ．()122112x x x x x x ∆≈∆+∆D ．1122()x x x x ∆≈∆-∆ 2. 已知等距节点的插值型求积公式()()352kkk f x dx A f x =≈∑⎰，那么3kk A==∑（ C ）A ．1 B. 2 C.3 D. 4 3.辛卜生公式的余项为（ c ）A ．()()32880b a f η-''-B ．()()312b a f η-''-C ．()()()542880b a f η--D ．()()()452880b a f η--4. 用紧凑格式对矩阵4222222312A -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦进行的三角分解，则22r ＝（ A ） A ．1 B ．12C ．–1D ．–25. 通过点()()0011,,,x y x y 的拉格朗日插值基函数()()01,l x l x 满足（ D ） A ．()00l x ＝0,()110l x = B ． ()00l x ＝0，()111l x = C ．()00l x ＝1，()111l x = D ． ()00l x ＝1，()111l x =6. 用二分法求方程()0f x =在区间[],a b 上的根，若给定误差限ε，则计算二分次数的公式是n ≥（ D ）A ．ln()ln 1ln 2b a ε-++ B. ln()ln 1ln 2b a ε-+-C.ln()ln 1ln 2b a ε--+ D. ln()ln 1ln 2b a ε--- 7.若用列主元消去法求解下列线性方程组,其主元必定在系数矩阵主对角线上的方程组是（ B )A ．123123123104025261x x x x x x x x x -+=⎧⎪-+=⎨⎪-+=-⎩ B 。

数值分析习题集及答案

数值分析习题集及答案篇一：数值分析习题与答案第一章绪论习题一1.设x>0,x*的相对误差为δ，求f(x)=ln x的误差限。

解：求lnx的误差极限就是求f(x)=lnx的误差限，由公式()有已知x*的相对误差，故即2.下列各数都是经过四舍五入得到的近似值，试指出它们有几位有效数字，并给出其误差限与相对误差限。

解：直接根据定义和式()()则得有5位有效数字，其误差限有2位有效数字，有5位有效数字，3.下列公式如何才比较准确？（1）（2），相对误差限满足，而解：要使计算较准确，主要是避免两相近数相减，故应变换所给公式。

（1）（2）4.近似数x*=,是 3位有数数字。

5.计算四个选项：取，利用：式计算误差最小。

第二、三章插值与函数逼近习题二、三 1.给定的数值表用线性插值与二次插值计算的近似值并估计误差限. 解：仍可使用n=1及n=2的Lagrange插值或Newton插值,并应用误差估计（）。

线性插值时，用及两点，用Newton插值误差限，因，故二次插值时，用，，三点，作二次Newton 插值误差限，故2. 在-4≤x≤4上给出的等距节点函数表，若用二次，函数表的步长h插值法求的近似值，要使误差不超过应取多少? 解：用误差估计式（），令因得3. 若，求和.解：由均差与导数关系于是4. 若的值，这里p≤n+1.解：可知当而当P＝n＋1时于是得有互异，求，由均差对称性5.求证.解：解：只要按差分定义直接展开得6.已知的函数表求出三次Newton均差插值多项式，计算f()的近似值并用均差的余项表达式估计误差. 解：根据给定函数表构造均差表由式()当n=3时得Newton均差插值多项式N3(x)=+()+()() 由此可得f() N3()= 由余项表达式()可得由于7. 给定f(x)=cosx的函数表篇二：数值分析试题1参考答案参考答案1 一、1．2 2．xn?1?xn?3．1, 0 4．7,f(xn)(n?0,1,?) ?f(xn)25 7?(k?1)15(k)??x2?x11336. ? ,1(k?1)?x2??x1(k?1)1220??2003??10?2?4二、(1) L??0?13??00?1??(2)1?0?120???,U??01?00?5???4000?2310?0??0?? 3??4?1??l65?a65?(l61u15?l62u25?l63u35?l64u45);u55u56?a55?(l51u16?l52u26?l53u356?l54u46)三、先造差分表如下：（1）选x1?,x2?,x3?,x4?为节点，构造三次向前Newton插值多项式?2y1?3y1N(x?th)?y1??y1?t(t?1)?t(t?1)(t?2) 31 2!3!将x1和h代入上式，则有N3(?)?25?2t?1/2*t(t?1)?5/6*t(t?1)(?2)由??解得t?,所以f()?N()?(2) 选x3?,x4?,x5?为节点，构造二次向前Newton插值式N2(x3?th)?y3??y3t?t(t?1)2!将x3和h代入上式，则有N2(?)?20?t?t(t?1) 由+=解得t=,所以 f()?N2()?（3）由f(?)3ht(t?1)(t?2)3!(,0?t?2)R2(x0?th)?f(?)3600有R（2(xi?)?(t?1)(t?2)?**maxt(t?1)(t?2)0?t?23!3!??可知f(x)有两位整数，故能保证有两位有效数字。

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第一章引论（习题）2．证明：x 的相对误差约等于x 的相对误差的1/2.证明记 x x f =)( ，则)()(***x x x x x xx x f E r +-=-=)(21**x E x x x x x xr ≈-⋅+=. □3．设实数a 的t 位β进制浮点机器数表示为)(a fl . 试证明 tb a b a fl -≤+*=*121||),1/()()(βδδ，其中的记号*表示+、-、⨯、/ 中一种运算. 证明：令：)()()(b a fl b a fl b a **-*=δ可估计： 1|)(|-≥*c b a fl β （c 为b a *阶码），故：121||--≤c t c ββδt -=121β 于是： )1()()(δ+*=*b a b a fl . □4．改变下列表达式使计算结果比较精确：（1） ;1||,11211<<+--+x xxx 对（2）;1,11>>--+x xx xx 对（3） 1||,0,cos 1<<≠-x x xx对.解 (1) )21()1(22x x x ++.(2))11(2x x x x x-++.(3) xxx x x x x cos 1sin )cos 1(sin cos 12+≈+=-. □6．设937.0=a 关于精确数x 有3位有效数字，估计a 的相对误差. 对于x x f -=1)(，估计)(a f 对于)(x f 的误差和相对误差. 解 a 的相对误差：由于 31021|)(|-⋅≤-=a x x E . xax x E r -=)(, 221018110921)(--⋅=⨯≤x E r . （1Th ） )(a f 对于)(x f 的误差和相对误差. |11||)(|a x f E ---==()25.021011321⨯⋅≤-+---ax x a =310-33104110|)(|--⨯=-≤a f E r . □9．序列}{n y 满足递推关系：1101.100-+-=n n n y y y . 取01.0,110==y y 及01.0,101150=+=-y y ，试分别计算5y ，从而说明该递推公式对于计算是不稳定的.解递推关系： 1101.100-+-=n n n y y y (1) 取初值 10=y ， 01.01=y 计算可得： 11001.10022-⨯=-y 10001.1-=410-=6310-=y ， 8410-=y ， 10510-=y ， …(2) 取初值 50101-+=y ， 2110-=y ,记：n n n y y -=ε,序列 {}n ε ，满足递推关系，且 5010--=ε ， 01=ε1101.100-+-=n n n εεε, 于是： 5210-=ε,531001.100-⨯=ε, 55241010)01.100(---⨯=ε,55351002.20010)01.100(--⨯-⨯=ε,可见随着 n ε 的主项 5210)01.100(--⨯n 的增长，说明该递推关系式是不稳定的.第二章多项式插值 (习题)1. 利用Lagrange 插值公式求下列各离散函数的插值多项式（结果要简化）：（1）（2）解(2)：方法一. 由 Lagrange 插值公式)30)(20)(10()3)(2)(1()(0x x x x x x x x x x x x x l ------=,)()()()()(332211003x l f x l f x l f x l f x L ⋅+⋅+⋅+⋅=)1)((31)2)()(1()1)(()(2123210---=-----=x x x x x x x l ,))(1(2)1)()(1()(21221211--=--+=x x x x x x l ，x x x x x x l )1()()1()1!()(2382121232--=-⋅⋅-+=, )()1(12)()1()(2121213-+=⋅⋅-+=x x x x x x x l . 可得： )21()(23-=x x x L方法二. 令)()21()(3B Ax x x x L +-= 由 23)1(3-=-L ， 21)1(3=L ，定A ，B （称之为待定系数法） □2. 设)(,),(),(10x l x l x l n Λ是以n x x x ,,,10Λ为节点的n 次多项式插值问题的基函数. （1）证明.,,2,1,0,)(0n k x x l x ni k i k i Λ==∑=（2）证明Λ+----+--+=))(())((1)(2010101000x x x x x x x x x x x x x l)())(()())((02010110n n x x x x x x x x x x x x ------+-ΛΛ.证明(1) 由于 j i j i x l ,)(δ= 故： =)(x L n ∑=ni i k i x l x)( ，当 j x x = 时有： k j j n x x L =)( ，n j ,,1,0Λ= )(x L n 也即为 kx 的插值多项式，由唯一性，有：∑==ni k i k i x x l x)( ， n k ,,1,0Λ=证明(2)：利用Newton 插值多项式)(],[)()(0100x x x x f x f x N n -+=)()(],,[100---++n n x x x x x x f ΛΛΛ )()()()()()(00101x l x x x x x x x x x f n n =----=ΛΛ差商表：f(x) 一阶二阶 … n 阶差商0x 11x 0101x x -MM 0 )()(11020x x x x --MM M On x 0 0)()(1010n x x x x --Λ代入)(*式有：)()()()()(1)(020*******n n n x x x x x x x x x x x x x x x N -----++--+=-ΛΛΛ.)(0x l 为n 次代数多项式，由插值多项式的唯一性：有 )()(0x N x l n ≡. □4. 设a b b a C x f -<<∈ε0],,[)(3.考虑以b a a ,,ε+为节点的Lagrange 插值公式当0→ε时的极限.证明成立公式)()()(x R x p x f +=. 其中)()()2)(()(2a f ab a b x x b x p --+-=),()()()())((22b f a b a x a f a b x b a x --+'---+ )()()(61)(2ξf b x a x x R '''--=，),(b a ∈ξ 并计算)(),(),(a p b p a p '.解作)(x f 以b a a ,,ε+为节点的Lagrange 插值多项式，有： )()()(22x R x L x f +=，其中：)()()()()()()()()()(2εεεεε+-+--+-----=a f b a b x a x a f b a b x a x x L)()()()()(b f a b a b a x a x εε------+， )()()(!3)()(2b x a x a x f x R ----'''=εζ ， b a <<ζ 令： 0→ε 有)()(6)()()(22b x a x f x R x R --'''=→ζ，又： )()()()([)()(2a f a b ax a f a b a x x b x L εεεεε----+----= )]()()()()(a f a b a x a f a b a x -------+εεεε )()()()()(b f a b a b a x a x εε------+)()()2()(2a f ab a b x x b --+-→)()()()(a f a b a x x b '---+)()()()(22x P b f a b a x =--+ 故当 0→ε 时，成立公式： )()()(x R x P x f +=. □5. 给出13)(4+-=x x x f 的数值表解：因为34)(3'-=x x f ，2''12)(x x f = )(x f 为凹函数.又从数值表可见：1）当]5.0,1.0[∈x 时，)(x f 单调下降.有反函数)(1y f x -=)(y f的Newton 插值多项式：)17440.0)(10810.0)(40160.0)(70010.0(01225.0)10810.0)(40160.0)(70010.0(01531.0)40160.0)(70010.0(0096436.0)70010.0(33500.01.0)(4+---+------+--=y y y y y y y y y y y N.337.0)0(4*≈=N x □7、若 1)(37++=x x x f ，问：?]2,,2,2[710=Λf ; ?]2,,2,2[810=Λf .解 1)(37++=x x x f .有：=]2,,2,2[71Λf !7)()7(ξf =1, !8)(]2,,2,2[)8(810ηf f =Λ0=. □9.证明下列关系的正确性:(1) i i i i i i f g g f g f ∆+∆=⋅∆+1)( (2)1/)()/(+∆-∆=∆i i i i i i i i g g g f f g g f(3) )()(/!)1()/1(nh x h x x h n x nn n ++-=∆Λ 证明：(1) =⋅-⋅=⋅∆++i i i i i i g f g f g f 11)(i i i i i i i i g f g f g f g f ⋅-⋅+⋅-⋅++++1111i i i i f g g f ∆+∆=+1.(3) n xn n )1()1(-=∆！)()(nh x h x x hn++Λ此题可利用数学归纳法：设 k n = 成立，证明 1+=k n 成立.又 1=n 时是成立的. □10. 利用差分性质证明:2333]2/)1([21)(+=+++=n n n n g Λ.[提示:考虑差分)()1()(n g n g n g -+=∆,并利用差分和函数值可互相表示] 证明：记： 2]2/)1([)(+=n n n f ，33321)(n n g +++=Λ 有： 3)1()()1()(+=-+=∆n n f n f n f 故： ∑-=∆=10)()(n k k f n g ∑-=-+=1)]()1([n k k f k f2]2/)1([)0()(+=-=n n f n f . □13、求次数4≤的多项式)(x P ，满足1)1()0()1(===-P p P ，2)1()1(='=-'P P 解作重节点差商的Newton 插值公式 )1(]1,1[)1()(+--+-=x f f x P22)1(]1,0,1,1[)1(]0,1,1[+--++--+x x f x f )1()1(]1,1,0,1,1[2-+--+x x x f 重节点差商表：i x i f 一阶二阶三阶四阶10-=x 110-=x 1 201=x 1 0 -212=x 1 0 0 112=x 1 2 2 1 0得 22)1()1(2)1(21)(+++-++=x x x x x P 13+-=x x . □17、设 ]1,0[)(2C x f ∈ ，并且 0)0(=f ，1)1()21(==f f求证⎰≥''1212))((dx x f证：取 ,00=x 211=x ， 12=x ， 21=h 00=f ， 11=f ， 12=f 记： )(i i x s M ''= ， 2,1,0=i有 h x x M h x x M x S 01101)(-+-=''x M x M 102)21(2+-= )21(2)1(2)(212-+-=''x M x M x S 又三弯矩方程为：( 2],,[210-=x x x f )244210-=++M M M ， )24(41201M M M ++-=. 分段积分：⎰⎰+''=''∆121221)]([)]([dx x s dx x s ⎰''12221)]([dx x s ⎰+-+=21201)]21([4dx x M x M ⎰-+-121221)]21()1([4dx x M x M⎰⎰-+-+-+-=121121221201)]21()1([4)]1()21([4dxx M x M dx x M x M由于 ⎰=-1212241)21(dx x ，⎰=-1212241)1(dx x ，⎰=--121481)1()21(dx x x ，于是：⎰++++=''∆1022212110202]2[61))((M M M M M M M dx x S 又： )24(41201M M M ++-=记 =),(20M M I ⎰∆''12))((dx x S =)()24(41[6120202220M M M M M M +++-+ ])24(81220M M +++由00=∂∂M I ，02=∂∂M I. 得： ⎩⎨⎧=+-=-07072020M M M M 即当： 020==M M 时, ),(20M M I 达最小故：⎰=⋅⋅≥''∆12212)24(8161))((dx x S ,由最小模原理： ⎰≥''1212)]([dx x f . □20.解利用三弯矩方法 )(i i x s M ''= ， 2,1,0=i 10=x ， 22=x ， 32=x⎪⎩⎪⎨⎧-=+=++=+542364622121010M M M M M M M解得： 70-=M ， 201=M ， 372-=M]2,1[∈x 72431729)(231-+-=x x x x s]3,2[∈x105229367219)(232+-+-=x x x x s . □第四章数值积分方法与数值微分 (习题)1．直接验证梯形公式（1.2）与中矩形公式（1.3）具有1次代数精度，而辛甫生公式（1.4）则具有3次代数精度. 解梯形公式：⎰+-≈bab f a f ab dx x f )]()([2)(. 矩形公式： ⎰+-≈b a ba f ab dx x f )2()()(. 以上两求积公式以 ,1)(=x f x 代入公式两边，结果相等，而以2)(x x f =代入公式两边，其结果不相等.故梯形公式的代数精度等于1. Simpson 公式：⎰+++-≈b ab f ba f a f ab dx x f )]()2(4)([6)(. 容易验证：以2,,1)(x x x f =分别代入Simpson 公式两边，结果相等。