数据插值方法ppt

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插值法(共7张PPT)

( x 1 , y 1 ), ( x 2 , y 2 ), , ( x n , y n ), 有
n
[ y k ( x k )] 2
k 1
n
[ y k ( a 0 a 1 x k )] 2 k 1
f (a 0,a1)
可见 , f ( a 0 , a 1 )的极大值点
即为所待定的常数
(a 0,a1)
由a0,a1) 0 a0
f (a0,a1) 0 a1
2
n
(yk
a0
a1xk )
0
k 1
n
2 ( y k a 0 a 1 x k ) x k 0
k 1
na
0
n
xk
a1
n
yk
k 1
k 1
n k 1
x
k
a
0
n x k 2 a 1 k 1
g(x) f(x)
xx
0
1
x
x
2
第一页，共7页。
x
x
3
4
拟合曲线：从数据中找出的趋势性、规律性曲线。消除了数据的局部波动。
y
(xi , yi) , i = 1, 2, …, m
x
这时不是取 P(xi) = yi , 而要使 P(xi) yi 总体上尽可能小。
常见做法：
太复杂
➢ 使 m 1im a|P x(xi)yi |最小 /* mini(max()) problem? */
m
m
2
aj
y x
j i
k
＝
xk
ii
j0
i1
i 1
m
m
记 bk xik , ck yi xik

第五章插值法PPT课件

三、几何意义、
四、多项式插值问题
对于不同的函数族Φ的选择，得到不同的插值问题 – 当Φ为一些三角函数的多项式集合时:三角插值; – 当Φ为一些有理分式集合时：有理插值； – 当Φ为一些多项式集合时：多项式插值（代数插
值）
特别的取 = Pn span 1, x, x2,, xn , 即
Pn (x) (x) a0 a1x a2x2 anxn, ai R, 0 i n
求得 V n(x0,x1, ,xn) (xixj) 0jin
由于假设ij时，xixj，故所有因子xi-xj0，于是Vn(x0,x1,…,xn)0。由克莱姆(Grammer)法则，
方程组的解存在且唯一，从而插值多项式是存在唯
一的。
证毕
六、插值余项
引理已知函数f(x)在[a,b]上具有m-1阶连续导函数，且在（a,b）上存在m阶导数。若它在该区间上有m+1个零点，则它的m阶导函数在(a,b)内至
(xi
) n i0
。
若函数族中的函数(x) 满足条件
(xi ) f (xi ), i 0,1,, n
（1）
则称 ( x)
为
f
(x)
在
中关于节点
xi
n i0
的一个插值函数。
f (x) ——被插值函数； [a, b] ——插值区间；
xi
n i0
——插值节点；
式（1）——插值条件.
求插值函数(x)的问题称为插值问题。
n
n
若记 n1(x) ，(x则x有i)
n1(x，k)从而(xk xi)
i0
lk(x)(xxkn) 1(n'x)1(xk)
i0,ik
3.插值基函数的性质

数值计算方法 5插值法

5.2.3 n次拉格朗日插值
➢问题描述
插值基点：x0，x1，…，xn（n+1个点互异）插值函数：不超过n次的多项式
插值条件：Ln(xi)=yi, i=0,1,2,…,n
➢基函数
li (x)
(x x0 ) (x xi1 )(x xi1 ) (x xn ) (xi x0 ) (xi xi1 )(xi xi1 ) (xi xn )
定义5-3
设H
是
n
不超过n次的多项式的全体的集合，
0
(
x)
,1
(
x),
,n (x)
是H n中n
1个线性无关的多项式，则0 (x),1 (x),
,
n
(
x)是H
的
n
一组基函数。
注意：基函数是不唯一的；
n
H n中的任一多项式pn (x)均可由基函数唯一表示，即pn (x) kii (x) i0
➢定理5-1 (插值函数的存在唯一性定理)
由于多项式有其优良的特性，所以通常都是用多项式作为插值函数。还有其它类型的插值函数，如有理函数插值、三角函数插值等
➢函数插值涉及的基本问题
插值函数的存在唯一性问题
插值函数的构造问题
截断误差估计与收敛性问题
➢ 代数多项式插值函数的构造方法
拉格朗日插值法埃尔米特插值法
牛顿插值法
样条函数插值法
拉格朗日插值函数均可表示为一组基函数与函数值的线性组合，这些基函数与被插函数无关，只需用插值基点有来构造。
5.2.1 拉格朗日线性插值L1(x) ➢线性插值及几何意义
n=1时的n次多项式L1(x) 称为线性插值。此时，有两个互异的插值基点:x0，x1，插值条件为: L1(x0)=y0, L1(x1)=y1 。

《拉格朗日插值法》课件

确定多项式的阶数
根据已知的插值点和插值函数的性质，确定多项式的阶数。
求解插值多项式的系数
求系数
通过已知的插值点和构造的插值多项式，求解出多项式的系数。
验证解的正确性
通过已知的插值点和求解出的系数，验证解的正确性。
04
拉格朗日插值法的应用实例
在数值分析中的应用
数值积分
拉格朗日插值法可用于数值积分，通过插值多项式对被积函数进行近似，进而求得积分的近似值。
全局插值能力较弱
拉格朗日插值法主要适用于局部插值，对于全局插值问题可能不太适用。
06
拉格朗日插值法的改进与发
展
改进方法
提高精度
通过增加插值基函数的数量，可以更精确地逼近函数，从而
提高插值的精度。
处理异常值
引入稳健性估计方法，对异常值进行识别和处理，以提高插值的稳定性。
优化算法
改进算法以提高计算效率，减少计算量，使得插值过程更加快速和高效。
图像处理
在图像处理中，可以使用拉格朗日插值法对图像进行放大、缩小或旋转等变换，保持图像的清晰度和连贯性。
三维模型重建
在三维模型重建中，可以使用拉格朗日插值法对点云数据进行插值，得到连续光滑的三维模型表面。
05
拉格朗日插值法的优缺点
优点
01
02
03
简单易行
拉格朗日插值法是一种直观且易于理解的方法，不需要复杂的数学工具即可实现。
工程
用于解决各种实际问题，如机械振动、流体动力学和电路分析等。
物理学
用于模拟和预测各种物理现象，如力学、电磁学和量子力学等。
02
拉格朗日插值法的基本概念
拉格朗日插值法的定义

《数值分析》第二讲插值法PPT课件

1 xn xn2 xnn Vandermonde行列式
即方程组（2）有唯一解 (a0, a1, , an)
所以插值多项式
P (x ) a 0 a 1 x a 2 x 2 a n x n
存在且唯一
第二章：插值
§2.2 Lagrange插值
y
数值分析
1、线性插值
P 即(x)ykx yk k 1 1 x yk k(xxk)
l k ( x k 1 ) 0 ,l k ( x k ) 1 ,l k ( x k 1 ) 0 l k 1 ( x k 1 ) 0 ,l k 1 ( x k ) 0 ,l k 1 ( x k 1 ) 1
lk1(x)(x(k x 1 x xk k))x x ((k 1x k x 1k )1) lk(x)((xx k x xk k 1 1))((x xkxx k k1)1)
第二章：插值
数值分析
3、Lagrange插值多项式
令 L n ( x ) y 0 l 0 ( x ) y 1 l 1 ( x ) y n l n ( x )
其中，基函数
lk (x ) (x ( k x x x 0 ) 0 ) (( x x k x x k k 1 1 ) )x x k ( ( x x k k 1 ) 1 ) (( x x k x n x )n )
因此 P (x ) lk (x )y k lk 1 (x )y k 1
且
P (x k ) y k P (x k 1 ) y k 1
lk(x), lk1(x) 称为一次插值基函数
数值分析
第二章：插值
2、抛物线插值令
y (xk , yk )
f (x)
lk1(x)(x(k x 1 x xk k))x x ((k 1x k x 1k )1) p( x) (xk1,yk1)

计算方法课件_插值法

P( x) an x an1 x
n
n1
a1 x a0
满足
P( xi ) f ( xi )
(i 0,1,2,, n)
计则称P(x)为f(x)的n次插值多项式。这种插值法通常算称为代数插值法。其几何意义如下图所示方法课件 y=p(x)
y=f(x)
2016/12/27
算 l0 ( x0 ) 1, l0 ( x1 ) 0 , l0 ( x2 ) 0 方法这个问题容易求解。由上式的后两个条件知 : 课件 x1 , x 2 是 l0 ( x) 的两个零点。于是
1 再由另一条件 l0 ( x0 ) 1 确定系数 c ( x0 x1 )(x0 x2 ) ( x x1 )(x x2 ) 从而导出 l0 ( x) ( x0 x1 )(jkhh x0 x 2 ) 2016/12/27 14
直接由插值条件决定，
y
计即 a0 , a1 , a 2 满足下面 y0 算的代数方程组：方 O x0 法课 2 a a x a x 0 1 0 2 0 y0 件该三元一
y=L2(x) y1 x1 y1 x2 y=f(x) x
2 a a x a x 0 1 1 2 1 y1 2 a a x a x 2 2 y2 0 1 2
(i=0,1,2,…,n )
的便于使用的插值多项式P(x),先考察几种简单情形,
线性插值是代数插值的最简单形式。假设给定了函数近似地代替f(x)。选
x1 的值， f(x)在两个互异的点 x0 ， y0 f ( x0 ), y1 f ( x1 )
,现要求用线性函数 p( x) ax b 择参数a和b, 使 p( xi ) f ( xi )(i 0,1) P(x) 为f(x)的线性插值函数 2016/12/27 jkhh 。

数值分析第1章插值方法讲解

f (n1) ( )
(n 1)!
n k 0
(x
xk ),
ξ [a,b]
第1章插值方法
例题1: 令x0=0, x1=1. 写出y=f(x)=e-x的一次插值多项式 P1(x), 并估计误差.
解: x0=0, y0=1; x1=1, y1=e-1.
P1(x) y0l0 (x) y1l1(x)
0, j k lk (x j ) 1, j k
lk (x)
n j 0
x xj xk x j
jk
插值基函数
Pn (x)
n k 0
yklk (x)
n k 0
n
yk (
j0
x xj ) xk x j
jk
第1章插值方法
§3 插值余项
1.拉格朗日余项定理
l0 (x)

(x ( x0

x1)(x x2 ) x1)(x0 x2 )( x1

x0 )(x x2 ) x0 )(x1 x2 )
;
l2 (x)

(x ( x2

x0 )(x x1) x0 )(x2 x1)
.
插值基函数
第1章插值方法
3.一般情形问题的解(插值公式):
第1章插值方法
f (x) Pn (x)
f
'
' (
2
)
(
x

x0
)(x

x1
)
1 e- (x 0)(x 1), ξ [0,1] 2
max
0 x1
f (x) Pn (x)
1 max e- 2 0x1

用MATLAB进行数据插值课件

用Matlab进行数据插值课件
目录
• Matlab数据插值简介 • 一维数据插值 • 二维数据插值 • 插值结果的评估与可视化 • 实际应用案例
01
Matlab数据插值简介
Chapter
插值的概念
插值是一种数学方法，通过已知的离散数据点，估算出未知点的数值。它基于已知数据点建立一个数学模型，然后利用这个模型预测新的数据点。
用二维多项式插值处理地理信息数据
总结词
二维多项式插值适用于处理平面上的多变量插值问题，如地理信息数据。
详细描述
二维多项式插值通过已知的离散数据点，使用多项式函数进行插值，计算出平面内未知点的值。在处理地理信息数据时，可以使用二维多项式插值来预测某个地理位置的气候、土壤类型等信息。
用样条插值处理股票价格数据
插值可用于数据平滑、预测、图像处理等领域。
插值的应用场景
01
02
03
数据平滑
在处理包含噪声的数据时，插值可以帮助消除噪声，使数据更平滑。
数据预测
在时间序列分析、金融建模等领域，插值可用于预测未来的数据点。
图像处理
在图像处理中，插值可用于放大图像、修复图像等任务。
Matlab中的插值函数
布和趋势。
折线图
将原始数据和插值结果绘制成折线图，便于观察数据的连续性和变化趋势。
误差图
将原始数据、插值结果和误差绘制在同一图表中，便于比较和分析。
Matlab中的数据可视化工具箱介绍
01
Matlab自带的数据可视化工具箱提供了丰富的绘图函数和工具，如plot、 scatter、bar等，可用于绘制各种类型的图表。
Chapter
插值结果的评估方法

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2020/5/10
-
例 1、已知欧洲一个国家的地图，为了算出它的国土面积，对地图作了如下测量：以由西向东方向为 x 轴，由南向北方向为 y 轴，选择方便的原点，并将从最西边界点到最东边界点在 x 轴上的区间适当的分为若干段，在每个分点的 y 方向测出南边界点和北边界点的 y 坐标 y1 和 y2，这样就得到下表的数据（单位：mm）。
2020/5/10
-
凸轮高度的数据（单位：mm）
i 0 和 18
yi 502.8
i
6
yi 92.2
i
12
yi 236.0
1 525.0
7 59.6 13 280.5
2 514.3
8 62.2 14 324.9
可以证明当 m n 且 x0 x1 xn 时，这样的多项式存在且唯一。若要求得到函数表达式，可直接解上面方程组。
2020/5/10
-
若只要求得函数在插值点处数值，可用下列
Lagrange 插值公式
Pn (x)
n i0
n
yi (
j0, ji
x xj ) xi x j
多项式插值光滑但不具有收敛性，一般不宜采用高
146.0 150.0 157.0 158.0];
y1=[44 45 47 50 50 38 30 30 34 36 34 41 45 46 43 37 33 28 32
65 55 54 52 50 66 66 68];
y2=[44 59 70 72 93 100 110 110 110 117 118 116 118 118 121
次多项式（如 m>7）插值。
2020/5/10
-
例 2、在万能拉拨机中有一个园柱形凸轮，其底园半径 R=300mm，凸轮的上端面不在同一平面上，而要根据动杆位移变化的需要进行设计制造。按设计要求，将底园周 18 等分，旋转一周。第 i 个分点对应柱高 yi (i 0,1,2, ,18) ，数据见下表。为了数控加工，需要计算出园周上任一点的柱高。
124 121 121 121 122 116 83 81 82 86 85 68];
newx=7:0.1:158;
newy1=interp1(x,y1,newx,’linear’);
newy2=interp1(x,y2,newx,’linear’);
Area=sum((newy2- newy1)*0.1/18^2*1600)
最后计算的面积约为 42414 平方公里。
2020/5/10
-
2、多项式插值
设有 m 次多项式
P(x) a0 x m a1x m1 am1x am
通过所有 n 1个点 (x0 , y0 ), (x1, y1), , (xn , yn ) ，那么就有
a0 xi m a1xi m1 am1xi am yi , i 0,1, , n
第十章插值与拟合方法建模
2020/5/10
-
在生产实际中，常常要处理由实验或测量所得到的一批离散数据，插值与拟合方法就是要通过这些数据去确定某一类已经函数的参数，或寻求某个近似函数使之与已知数据有较高的拟合精度。插值与拟合的方法很多，这里主要介绍线性插值方法、多项式插值方法和样条插值方法，以及最小二乘拟合方法在实际问题中的应用。相应的理论和算法是数值分析的内容，这里不作详细介绍，请参阅有关的书籍。
2020/5/10
-
x 7.0 10.5 13.0 17.5 34.0 40.5 44.5 48.0 56.0 y1 44 45 47 50 50 38 30 30 34 y2 44 59 70 72 93 100 110 110 110 x 61.0 68.5 76.5 80.5 91.0 96.0 101.0 104.0 106.5 y1 36 34 41 45 46 43 37 33 28 y2 117 118 116 118 118 121 124 121 121 x 111.5 118.0 123.5 136.5 142.0 146.0 150.0 157.0 158.0 y1 32 65 55 54 52 50 66 66 68 y2 121 122 116 83 81 82 86 85 68
1、分段线性插值
这是最通俗的一种方法，直观上就是将各数据
点用折线连接起来。如果
a x0 x1 xn b
那么分段线性插值公式为
P(x)
x xi xi1 xi
yi1
x xi1பைடு நூலகம்xi xi1
yi
, xi1
x
xi
, i 1,2,
,n
可以证明，当分点足够细时，分段线性插值是收敛
的。其缺点是不能形成一条光滑曲线。
2020/5/10
-
§1 数据插值方法及应用
在生产实践和科学研究中，常常有这样的问题：由实验或测量得到变量间的一批离散样点，要求由此建立变量之间的函数关系或得到样点之外的数据。与此有关的一类问题是当原始数据 (x0 , y0 ), (x1, y1), , (xn , yn ) 精度较高，要求确定一个初等函数 y P(x) （一般用多项式或分段多项式函数）通过已知各数据点（节点），即 yi P(xi ) , i 0,1, , n ，或要求得函数在另外一些点（插202值0/5/1点0 ）处的数值，这便- 是插值问题。
n
S
lim
n
[
i 1
f 2 (i )
f1 (i )]xi
式中，i [xi1, xi ] 。
这里2020/线5/10性插值和面积计算源- 程序如下：
clear all
x=[7.0 10.5 13.0 17.5 34.0 40.5 44.5 48.0 56.0 61.0 68.5 76.5
80.5 91.0 96.0 101.0 104.0 106.5 111.5 118.0 123.5 136.5 142.0
2020/5/10
-
根据地图的比例，18 mm 相当于 40 km。
根据测量数据，利用 MATLAB 软件对上下边界
进行线性多项式插值，分别求出上边界函数 f2 (x) ，
下边界函数 f1(x) ，利用求平面图形面积的数值积分方法—将该面积近似分成若干个小长方形，分别求
出这些长方形的面积后相加即为该面积的近似解。