2020届山东省烟台市高三上学期期末考试数学试题(PDF版)
……………………………6分
a 2 6 ， b c 6，所以 bc 4 ， ………………………………………8分
所以
SABC
1 bc sin 2
A
1 4sin
2
3
3.
…………………………10分
18.解：（1）因为 2Sn = (n +1)an ， n N* ，
所以 2Sn+1 = (n +2)an+1 ， n N* .
11. 如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，点 P 在线段 B1C 上运动，则
A. 直线 BD1 丄平面 A1C1D B. 三棱锥 P-A1C1D 的体积为定值 C. 异面直线 AP 与 A1D 所成角的取值范用是[45°,90°]
D. 直线 C1P 与平面 A1C1D 所成角的正弦值的最大值为 12. 已知抛物线 C:y2=4x 的焦点为 F、准线为 l，过点 F 的直线与抛物线交于两点 P(x1,y1),G(x2,y2)，点 P 在 l
满意 不满意
男 30
20
女 40
10
的观测值 k≈4.762，则可以推断出 A. 该学校男生对食堂服务满意的概率的估计值为
P(k2≥k) 0.100 0.050 0.010 k 2.706 3.841 6.635
B. 调研结果显示，该学校男生比女生对食堂服务更满意
C. 有 95%的把握认为男、女生对该食堂服务的评价有差异
1. 己知集合 A={X|X2-X-2≤0}, B={x|y= ,则 A∪B= A. {x|-l≤x≤2} B. {x|0≤x≤2} C. {x|x≥-l} D. {x|x≥0}
2. “ x∈R,x2-x+l>0”的否定是
A.
x∈R, X2-X+1≤0
C.
x∈R, x2-x+l<0
B.
x∈R, x2-x+1<0
3Tn 4+2 (42 +43+L +4n ) (2n 1) 4n1 ， …………………9分
7
3Tn
4+2
42 4n+1 1 4
(2n
1) 4n1
，
…………………11分
化简得
Tn
20 9
+
(6n
5)4n1 9
.
……………………………………12分
19.解：（1）连接 BD 交 AC 于点 F ,连接 EF .
上的射影为 P1，则
A. 若 X1+X2=6.则|PQ|=8 B. 以 PQ 为直径的圆与准线 l 相切
C. 设 M（O,1）,则|PM|+|PP1|≥ D. 过点 M（0,1）与抛物线 C 有且只有一个公共点的直线至多有 2 条
三、 填空題：本題共 4 小題，每小题 5 分，共 20 分。
13. 己知向量 a,b 满足|a|=l,|b|= ,a⊥（a+b）,则 a 与 b 夹角为 .
14. 已知随机变量 X N（1, 2）,P（-1<X<1）=0.4,则 P（X≥3）=
.
15. 设点 P 是曲线 y=ex+x2 上任一点，则点 P 到直线 x-y-1=O 的最小距离为
.
16.已知三棱锥 P-ABC 的四个顶点都在球 O 的表面上，PA 丄平面 ABC，PA=6,AB=2 ,AC=2,BC=4，则：（1）球 O
),③bsin
=asinB 中任选一个，
补充到下面问题中，并给出问题解答.
在Δ ABC 中，角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c, b+c=6,a=
3
, _______________ ,
求Δ ABC 的面积.
注：如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
18. （12 分） 已知数列{an}的前 n 项和 Sn 満足 2Sn=(n+1)an（n∈N）且 a1=2. （1） 求数列｛an｝的通项公式; （2） 设 bn=（an-1）2an.求数列{bn}的前 n 项和 Tn.
19. (12 分) 20. 如图，在四棱锥 S-ABCD 中，ABCD 为直角梯形，AD∥BC,BC⊥CD，平面 SCD 丄平面 ABCD.Δ SCD 是以 CD 为斜边的等腰直角三角形，BC=2AD=2CD=4,E 为 BS 上一点，且 BE=2ES. (1) 证明：直线 SD∥平面 ACE； (2) 求二面角 S-AC-E 的余弦值。
所以 cos A = 2sin A cos A ， ………………………………………………4分
2
22
因为 0 A ， 0 A ，所以 cos A 0 ，
22
2
∴ sin A = 1 ， A ，所以 A .
22 2 6
3
又 a2 b2 c2 bc (b c)2 3bc ，
5.为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设 “礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周.若课程“乐”不排在第一 周，课程“御”不排在最后一周，则所有可能的排法种数为
A. 216
B. 480
C. 504
D. 624
1
6. 函数 y=|x|+sinx 的部分图象可能是 7.若 x=α 时，函数 f(x)=3sinx+4cosx 取得最小值，则 sinα =
9.AC 10.AC 11.ABD 12.ABC 三、填空题
13. 3 4
14. 0.1
15. 2 16. 52 ， 4
四、解答题
17.解：若选①：
由正弦定理得 (a b)(a b) (c b)c ， ………………………………2分
即 b2 c2 a2 bc ，
所以 cos A b2 c2 a2 bc 1 ，
23. (12 分)
已知函数 (1) 求函数 f(x)的单调区冋；
,其中 O<a<e.
(2) 讨论函数 f(x)零点的个数；
(3) 若 f(x)存在两个不同的零点 x1,x2,求证：x1x2<e2.
5
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高三数学参考答案
一、单项选择题
1.C 2.D 3.C 4.A 5.C 6. D 7.B 8.A 二、多项选择题
的表面积为
；（2）若 D 是 BC 的中点，过点 D 作球 O 的截面，则截面面积的最小值是
。（本
题第一空 2 分，第二空 3 分）
四、 解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步驟。
17. （10 分）
在条件①(a+b)(sinA-sinB）=（c-b）sinC,②asinB=bcos(A+
A
1 2
(24 12
3) 1 6 3 2
3.
………………10分
若选 ③：
6
由正弦定理得 sin B sin B +C = sin Asin B ， 2
因为 0 B ，所以 sin B 0 ，
……………………ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ……2分
所以 sin B +C = sin A ，又因为 B C A ， 2
……………………………………4分
（2）平面 SCD 平面 ABCD ，平面 SCD I 平面 ABCD CD ， BC 平面 ABCD ，
BC CD ，所以 BC 平面 SCD .
21. (12 分)
已知椭圆的
的离心率为
|AF|+|BF|=8.
(1) 求椭圆的标准方程；
，F 是其右焦点，直线 y=kx 与椭圆交于 A,B 两点，
(2) 设 Q(3,0),若∠AQB 为锐角,求实数 k 的取值范围.
4
22. (12 分) 某企业拥有 3 条相同的生产线，每条生产线每月至多出现一次故障.各条生产线是否出现故障相互独立，
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高三数学
注意事项： 1. 本试题满分 150 分,考试时间为 120 分钟。 2. 答卷前务必将姓名和准考证号填涂在答题纸上。 3. 使用答题纸时，必须使用 0.5 毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹淸晰。超出答题区书写的答案无
效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 一、单项选择题：本题共 8 小題，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合題目要求的。
D.
x∈R, x2-x+l≤0
3. 若双曲线
(a>0,b>0)的离心率为 ，则其渐近线方程为
A. 2x±3y=0 B. 3x±2y=0 C. x±2y=0
D. 2x±y=0
4.设 a=log0.53,b=0.53,c=
,则 a,b,c 的大小关系为
A.a<b<c B. a<c<b C. b<a<c D. b<c<a
A.
B.
C.
D.
8.函数 A. (-∞,4)
,若方程 f(x)=-2x+m 有且只有两个不相等的实数根，则实数 m 的取值范围是
B. (-∞,4]
C. (-2,4)
D. (-2,4]
二、多项选择题：本題共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合題目要求，全
部选对得 5 分，部分选对得 3 分，有选错的得 0 分. 9.某大学为了解学生对学校食堂服务的满意度，随机调査了 50 名男生和 50 名女生， 每位学生对食堂的服务给出满意或不满意的评价，得到如图所示的列联表.经计算 K2
因为 AD // BC ，所以 AFD 与 BCF 相似.
所以 BF BC 2 . FD AD
高考数学专题03数列求和问题（第二篇）（解析版）
⾼考数学专题03数列求和问题（第⼆篇）（解析版）备战2020年⾼考数学⼤题精做之解答题题型全覆盖⾼端精品第⼆篇数列与不等式【解析版】专题03 数列求和问题【典例1】【福建省福州市2019-2020学年⾼三上学期期末质量检测】等差数列{}n a 的公差为2, 248,,a a a 分别等于等⽐数列{}n b 的第2项，第3项，第4项. （1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）若数列{}n c 满⾜12112n n nc c c b a a a ++++=L ,求数列{}n c 的前2020项的和．【思路引导】(1)根据题意同时利⽤等差、等⽐数列的通项公式即可求得数列{}n a 和{}n b 的通项公式； (2)求出数列{}n c 的通项公式，再利⽤错位相减法即可求得数列{}n c 的前2020项的和.解：(1)依题意得: 2324b b b =，所以2111(6)(2)(14)a a a +=++ ，所以22111112361628,a a a a ++=++解得1 2.a = 2.n a n ∴= 设等⽐数列{}n b 的公⽐为q ，所以342282,4b a q b a ==== ⼜2224,422.n n n b a b -==∴=?= (2)由（1）知，2,2.n n n a n b ==因为11121212n n n n nc c c c a a a a +--++++= ①当2n ≥时,1121212n n n c c c a a a --+++= ②由①-②得，2n n nc a =，即12n n c n +=?，⼜当1n =时，31122c a b ==不满⾜上式，18,12,2n n n c n n +=?∴=?≥ .数列{}n c 的前2020项的和34202120208223220202S =+?+?++?2342021412223220202=+?+?+?++?设2342020202120201222322019220202T =?+?+?++?+? ③，则34520212022202021222322019220202T =?+?+?++?+? ④，由③-④得：234202120222020222220202T -=++++-?2202020222(12)2020212-=-?-2022420192=--? ，所以20222020201924T =?+，所以2020S =202220204201928T +=?+.【典例2】【河南省三门峡市2019-2020学年⾼三上学期期末】已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满⾜221n S n n =-+，数列{}n b 中，2+，对任意正整数2n ≥，113nn n b b -??+=.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）是否存在实数µ，使得数列{}3nn b µ+是等⽐数列？若存在，请求出实数µ及公⽐q 的值，若不存在，请说明理由；（3）求数列{}n b 前n 项和n T . 【思路引导】（1）根据n S 与n a 的关系1112n nn S n a S S n -=?=?-≥?即可求出；（2）假设存在实数µ，利⽤等⽐数列的定义列式，与题⽬条件1331n n n n b b -?+?=，⽐较对应项系数即可求出µ，即说明存在这样的实数；（3）由（2）可以求出1111(1)4312nn n b -??=?+?- ，所以根据分组求和法和分类讨论法即可求出．解：（1）因为221n S n n =-+，当1n =时，110a S ==；当2n ≥时，22121(1)2(1)123n n n a S S n n n n n -=-=-+-----=-．故*0,1 23,2,n n a n n n N =?=?-∈?…；（2）假设存在实数µ，使得数列{}3xn b µ?+是等⽐数列，数列{}n b 中，2133a b a =+，对任意正整数2n (113)n n b b -??+=.可得116b =，且1331n nn n b b -?+?=，由假设可得(n n n b b µµ--?+=-?+，即1334n n n n b b µ-?+?=-，则41µ-=，可得14µ=-，可得存在实数14µ=-，使得数列{}3nn b µ?+是公⽐3q =-的等⽐数列；（3）由（2）可得11111133(3)(3)444nn n n b b ---=-?-=?- ，则1111(1)4312nn n b -??=?+?- ，则前n 项和11111111(1)123643121212nn n T -=++?+?+-+?+?-?? ? ????????? 当n 为偶数时，111111*********n n n T ??- =+=- ???- 当n 为奇数时，11111115112311128312248313n n n nT ??- =+=-+=- ????- 则51,21248311,2883nn n n k T n k ?-=-=??-=（*k N ∈）．【典例3】【福建省南平市2019-2020学年⾼三上学期第⼀次综合质量检查】已知等⽐数列{}n a 的前n 项和为n S ，且( )*21,nn S a a n =?-∈∈R N．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设11n n n n a b S S ++=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【思路引导】（1）利⽤临差法得到12n n a a -=?，再根据11a S =求得1a =，从⽽求得数列通项公式；（2）由题意得1112121n n n b +=---，再利⽤裂项相消法求和. 解：（1）当1n =时，1121a S a ==-.当2n ≥时，112n n n n a S S a --=-=?()*,因为{}n a 是等⽐数列，所以121a a =-满⾜()*式，所以21a a -=，即1a =，因此等⽐数列{}n a 的⾸项为1,公⽐为2,所以等⽐数列{}n a 的通项公式12n n a -=.（2）由（1）知21nn S =-，则11n n n n a b S S ++=,即()()1121121212121n n n n n n b ++==-----，所以121111111113377152121n n n n T b b b +?=++???+=-+-+-+???+- ? ? ? ?--?,所以11121n n T +=--.【典例4】【⼭东省⽇照市2019-2020学年上学期期末】已知数列{}n a 的⾸项为2，n S 为其前n 项和，且()120,*n n S qS q n +=+>∈N （1）若4a ，5a ，45a a +成等差数列，求数列{}n a 的通项公式；（2）设双曲线2221ny x a -=的离⼼率为n e ，且23e =，求222212323n e e e ne ++++L .【思路引导】（1）先由递推式()120,*n n S qS q n +=+>∈N 求得数列{}n a 是⾸项为2，公⽐为q 的等⽐数列，然后结合已知条件求数列通项即可；（2）由双曲线的离⼼率为求出公⽐q ，再结合分组求和及错位相减法求和即可得解. 解：解：（1）由已知，12n n S qS +=+，则212n n S qS ++=+，两式相减得到21n n a qa ++=，1n ≥.⼜由212S qS =+得到21a qa =，故1n n a qa +=对所有1n ≥都成⽴.所以，数列{}n a 是⾸项为2，公⽐为q 的等⽐数列. 由4a ，5a ，45+a a 成等差数列，可得54452=a a a a ++，所以54=2,a a 故=2q .所以*2()n n a n N =∈.（2）由（1）可知，12n n a q-=，所以双曲线2的离⼼率n e ==由23e ==，得q =.所以()()()()2122222123231421414n n e e e n e q n q -++++?=++++++ ()()()21214122n n n q nq -+=++++，记()212123n n T q q nq -=++++①()()2122221n n n q T q q n qnq -=+++-+②①-②得()()221222221111n n nnq q ---=++++-=-- 所以()()()()222222222211122121(1)111nn n n n n n n q nq q nq T n n q q q q --=-=-=-+?=-+----. 所以()()222212121242n n n n e e n e n +++++?=-++. 【典例5】已知数列{}n a 的各项均为正数，对任意*n ∈N ，它的前n 项和n S 满⾜()()1126n n n S a a =++，并且2a ，4a ，9a 成等⽐数列. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设()111n n n n b a a ++=-，n T 为数列{}n b 的前n 项和，求2n T .【思路引导】（1）根据n a 与n S 的关系，利⽤临差法得到13n n a a --=，知公差为3；再由1n =代⼊递推关系求1a ；（2）观察数列{}n b 的通项公式，相邻两项的和有规律，故采⽤并项求和法，求其前2n 项和. 解：（1）Q 对任意*n ∈N ，有() ()1126n n n S a a =++，①∴当1a =时，有()()11111126S a a a ==++，解得11a =或2. 当2n ≥时，有()()1111126n n n S a a ---=++.②①-②并整理得()()1130n n n n a a a a --+--=. ⽽数列{}n a 的各项均为正数，13n n a a -∴-=.当11a =时，()13132n a n n =+-=-，此时2429a a a =成⽴；当12a =时，()23131n a n n =+-=-，此时2429a a a =，不成⽴，舍去.32n a n ∴=-，*n ∈N .（2）2122n n T b b b =+++=L 12233445221n n a a a a a a a a a a +-+-+-L()()()21343522121n n n a a a a a a a a a -+=-+-++-L242666n a a a =----L ()2426n a a a =-+++L246261862n n n n +-=-?=--.【典例6】【2020届湖南省益阳市⾼三上学期期末】已知数列{}n a 的前n 项和为112a =，()1122n n n S a ++=-. （1）求2a 及数列{}n a 的通项公式；（2）若()1122log n n b a a a =L ，11n n nc a b =+，求数列{}n c 的前n 项和n T . 【思路引导】（1）利⽤临差法将递推关系转化成2112n n a a ++=，同时验证2112a a =，从⽽证明数列{}n a 为等⽐数列，再利⽤通项公式求得n a ；（2）利⽤对数运算法则得11221nn c n n ??=+- ?+??，再⽤等⽐数列求和及裂项相消法求和，可求得n T 。
山东省烟台市2020-2021学年高二上学期期末考试数学试题
山东省烟台市2020-2021学年高二上学期期末考试数学试题注意事项：1.本试题满分150分，考试时间为120分钟。
2.答卷前，务必将姓名和准考证号填涂在答题卡上。
3.使用答题纸时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰；超出答题区书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.数列2,4,6,8,--的通项公式可能是A.(1)2n n a n =-B.1(1)2n n a n +=-C.(1)2n n n a =-D.1(1)2n n n a +=- 2.若抛物线2x my =过点()1,4-，则该抛物线的焦点坐标为 A.1(0,)16- B.1(,0)16- C.(1,0)-D.(0,1)-3.与双曲线***-*****x y -=有公共焦点且离心率为45的椭圆的标准方程为A.22*****y x += B.***-*****x y += C.***-*****y x += D.***-*****x y += 4.传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子研究数.他们根据沙粒和石子所排列的形状把数分成许多类，如：三角形数1,3,6,10,；正方形数1,4,9,16,；等等.右图所示为五边形数，将五边形数按从小到大的顺序排列成数列，则此数列的第7项为A .35B .51C .70D .92 5.设12,F F 是椭圆22:193x y C m m+=++的焦点，若椭圆C 上存在一点P 满足1290F PF ∠=，则m 的取值范围是A.(],3-∞B.(]3,3-C.[)3,+∞D.[]3,3-a a a a a +-??=??? ()n *∈N ，则2021a = 21 2 21 D.27.如图是一水平放置的青花瓷.它的外形为单叶双曲面，可看成是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面，且其外形上下对称.若该花瓶的最小直径为12cm ，瓶口直径为20cm ，瓶高为30cm ，则该双曲线的虚轴长为A.458 B.454 C.452 D.458.已知数列{}n a 的通项公式为41()n a n n *+∈N ，将数列{}n a 中的整数从小到大排列得到新数列{}n b ，则{}n b 的前100项和为A.9900B.*****C.*****D.*****二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
山东省烟台市2019-2020学年高三上学期期中数学试题(解析版)
2019-2020学年度第一学期期中学业水平诊断高三数学注意事项：1.本试题满分150分，考试时间为120分钟。
2.答卷前，务必将姓名和准考证号填涂在答题卡上。
3.使用答题纸时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰。
超出答题区书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题：本大题共13小题，每小题4分，共52分。
在每小题给出的四个选项中，第1~10题只有一项符合题目要求，第11~13题有多项符合题目要求。
全部选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分。
1.设全集U 是实数集R ，{}{}2=log 1,13M x x N x x >=<<，则()U M N ⋂=ð( ) A. {}23x x << B. {}3x x < C. {}12x x <≤ D. {}2x x ≤【答案】C 【解析】 【分析】先解对数不等式得出集合M ，再利用补集、交集的概念求解.【详解】由2log 1x >解得2x >，则{|2}M x x =>，于是{|2}U M x x =≤ð. 又{}13N x x =<<，所以(){|12}U M N x x =<≤ð.故选：C.【点睛】本题考查补集、交集的运算以及对数函数的性质，是一道基础题.2.已知等差数列{}n a 中，()12n n n a a -≥>，若324314a a a ==，，则1a =( ) A. 1- B. 0C.14 D.12【答案】B【解析】 【分析】设出公差d ，利用等差数列各项间的关系(2343,a a d a a d =-=+)求出d ,然后1a 易求. 【详解】设公差为d ，则2224333()().a a a d a d a d =-+=-因324314a a a ==，，所以23=14d -，则214d =.由()12n n n a a -≥>，可得0d >，所以12d =.所以13121202a a d =-=-⨯=.故选：B.【点睛】本题考查等差数列的基本量运算.一般以1,a d 为基本量列出方程组求解，有时也可利用()n m a a n m d =+-来简化运算.3.已知1sin 23α=，则2πcos 4α⎛⎫-= ⎪⎝⎭( ) A.16B.13 C.12D.23【答案】D 【解析】 【分析】利用二倍角公式(2cos 21cos 2x x +=)即可求解. 【详解】2π1π1π1cos cos 21cos 2424222ααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1π1111112cos 2sin 2==.222222323αα⎛⎫=-+=+⨯+ ⎪⎝⎭ 故选：D.【点睛】本题考查三角恒等变换求值，考查二倍角余弦公式、诱导公式.把待求转化为已知需要增倍、降次，自然可以联想到二倍角公式.4.我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重十斤，斩末一尺，重四斤，问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金杖，长5尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，重10斤；在细的一端截下1尺，重4斤，问依次每一尺各重多少斤？”设该问题中的金杖由粗到细是均匀变化的，则其重量为( ) A.5.5斤 B. 8.5斤 C. 35斤 D. 40斤【答案】C 【解析】 【分析】金杖从粗到细各尺的重量依次构成等差数列,则所求即为该数列的前5项和，利用1()2n n nS a a =+可求.【详解】由题意得，金杖从粗到细各尺的重量依次构成等差数列， 数列共有5项，首项为10，末项为4，所求为该数列的前5项和， 即51555()(104)3522S a a =+=⨯+=. 故选：C.【点睛】本题考查实际问题中的数列问题，考查利用1()2n n nS a a =+求数列的前n 项和.解题的关键是从实际问题中抽象出数列模型，得出数列的首项、末项、公差、项数等数据.5.设正实数,,a b c 分别满足2321,log 1,log 1aa b b c c ⋅===，则,,a b c 的大小关系为( )A. a b c >>B. b a c >>C. c b a >>D. a c b >>【答案】C 【解析】 【分析】把,,a b c 看作方程的根，利用数形结合思想把方程的根转化为函数图象交点的横坐标，则可以利用图象比较大小.【详解】由已知可得231112,log ,log ,a b c a b c=== 作出函数232,log ,log xy y x y x ===的图象，它们与函数1y x=图象的交点的横坐标分别为,,a b c ， 如图所示，易得c b a >>. 故选：C.【点睛】本题考查函数与方程，基本初等函数的图象.对于含有指数、对数等的方程，若不能直接求得方程的根，一般可以利用数形结合思想转化为函数图象的交点问题.6.在ABC △中，BD 为AC 边上的中线，E 为BD 的三等分点且2DE BE =，则=CE uur( )A. 1566BA BC -B.5166BA BC - C. 1566BA BC +D. 5166BA BC +【答案】A 【解析】 【分析】作出示意图，利用向量的线性运算逐步把CE 用基向量BA BC ，表示出来即可. 【详解】如图，由BD 为AC 边上的中线，可得1()2BD BA BC =+. 由2DE BE =，可得13BE BD =. 所以1115()3666CE BE BC BD BC BA BC BC BA BC =-=-=+-=-. 故选：A.【点睛】本题考查平面向量的线性运算，利用基向量表示目标向量，一般可作出示意图帮助理解和寻找关联.7.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x <时，()21xf x -=-，若()()2320f a f a -+≤，则实数a 的取值范围为( ) A. (][),31,-∞-+∞ B. []3,1-C. ()3,1-D. ()(),31,-∞-⋃+∞【答案】A 【解析】 【分析】先判断函数()f x 的单调性，再把()()2320f a f a -+≤转化为自变量的关系，进而可解得a 的取值范围.【详解】当0x <时，()21xf x -=-，所以()f x 在(,0)-∞上单调递减且()0f x >.又()f x 是定义在R 上的奇函数，(0)0f =， 所以()f x 在(,)-∞+∞上单调递减.由()()2320f a f a -+≤，可得2(3)(2)f a f a -≤-，则2(3)(2)f a f a -≤-，所以232a a -≥-，即2230a a +-≥，解得3a ≤-或1a ≥. 故选:A.【点睛】本题考查利用函数的奇偶性、单调性求解函数不等式.一般思路是先判断函数的单调性，再把函数不等式转化为自变量的关系.8.已知函数()2f x x =的图象在1x =处的切线与函数()e xg x a=的图象相切，则实数a =( )A.B.C.2D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求函数()2f x x =的图象在1x =处的切线，再根据该切线也是函数()e xg x a=图象的切线，设出切点即可求解.【详解】由()2f x x =，得()2f x x '=，则()12f '=， 又(1)1f =，所以函数()2f x x=图象在1x =处的切线为12(1)y x -=-，即21y x =-.设21y x =-与函数()e xg x a=的图象相切于点00(,)x y ,由e ()xg x a '=，可得00000e ()2,e ()21,x x g x ag x x a ⎧==⎪⎪⎨⎪==-⎩'⎪解得32031,e 22x a ==故选：B.【点睛】本题考查导数的几何意义与函数图象的切线问题.已知切点时，可以直接利用导数求解；切点未知时，一般设出切点，再利用导数和切点同时在切线和函数图象上列方程(组)求解.9.已知函数()()()sin 0,0,0πf x A x A ωϕωϕ=+>><<的周期为π，将其图象向右平移6π个单位长度后关于y 轴对称，现将()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为()g x，若π3g ⎛⎫-= ⎪⎝⎭π4f ⎛⎫= ⎪⎝⎭( ) 的A.B. -C.D.【答案】B 【解析】 【分析】由周期求ω，由平移对称求ϕ，由()g x 求A ，然后可得答案. 【详解】由周期为π，可得=2ω. 由图象向右平移6π个单位长度后关于y 轴对称， 可得ππ2π()62k k ϕ⎛⎫⨯-+=+∈ ⎪⎝⎭Z ，结合0πϕ<<，可得5π=6ϕ. 所以5π()sin 26f x A x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，5π()sin 6g x A x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. ππ5πsin 336g A A ⎛⎫⎛⎫-=-+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以ππ5π4262f ⎛⎫⎛⎫=+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选：B.【点睛】本题考查三角函数的图象与性质.一般可以通过周期性、对称性等性质求出A ωϕ，，等参数的值. 10.已知函数()m f x x x =+与函数()ln 3x g x x =-+的图象在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有两对关于x 轴对称的点，则实数m 的取值范围是( ) A. 5ln 2,24⎡⎫+⎪⎢⎣⎭B. 5ln 2,24⎛⎫+⎪⎝⎭C. [)2ln 2,2-D. ()2ln 2,2-【答案】A 【解析】【分析】()f x 与()g x 的图象有两对关于x 轴对称的点，则()f x 与()g x -的图象有两个交点，则()()f x g x +有两个零点.然后可以分离参数，构造函数，利用函数的单调性、极值求出参数m 的取值范围.【详解】由题意可得()f x 与()g x -的图象在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有两个交点，则()()f x g x +的图象在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰与x 轴有两个交点.令ln ()()30m x f x g x x x x+=+-+=，则23ln m x x x =--， 设2()3ln h x x x x =--与y m =的图象在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有两个交点.1(21)(1)()32x x h x x x x--'=--=-，当112x <<时，()0h x '>，()h x 单调递增； 当12x <<时，()0h x '<，()h x 单调递减， 又15ln 2,(1)2,(2)2ln 2,24h h h ⎛⎫=+==- ⎪⎝⎭1(2)2h h ⎛⎫> ⎪⎝⎭， 所以5ln 224m +≤<. 故选：A.【点睛】本题考查导数的应用，利用导数研究函数的性质，进而解决有关函数与方程、函数零点和图象交点的问题.解题的关键是在图象交点、函数零点、方程根之间进行等价转化，合理利用分离参数、构造函数解决问题.11.下列结论正确的是( ) A. 若0,0a b c d >><<，则一定有b a c d> B. 若0x y >>，且1xy=，则()21log 2x yx x y y +>>+C. 设{}n a 是等差数列，若210a a >>，则2a >D. 若[)0,x ∈+∞，则()21ln 18x x x +≥- 【答案】AC 【解析】 【分析】利用不等式的性质、数列的性质、导数等逐一判断各选项是否正确. 【详解】选项A ，由0c d <<，可得0c d ->->，则110d c->->， 又0a b >>，所以a b d c ->-，则b ac d>，故A 正确. 选项B ，取12,2x y ==，则221154,,log ()log 1282x y x x y y +==+=>，不等式不成立，故B 不正确.选项C ，由题意得1322a a a +=且13a a ≠，所以21311=()22a a a +>⨯=C 正确. 选项D ，设21()ln(1)8h x x x x =+-+，则1(3)()1144(1)x x x h x x x -'=-+=++，当03x <<时，()0h x '<，则()h x 单调递减，()(0)0h x h <=，故D 不正确. 故选：AC.【点睛】本题综合考查不等式、基本不等式、数列等知识.判断不等式成立需要严格证明，判断不等式不成立只需举出一个反例即可. 12.已知函数()π1sin sin 34f x x x ⎛⎫=⋅+- ⎪⎝⎭的定义域为[](),m n m n <，值域为11,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，则n m -的值不可能是( ) A.5π12B.7π12C.34π D.11π12【答案】CD 【解析】【分析】先化简()f x 的解析式，作出()f x 的图象，容易得出n m -的取值范围，则可得答案. 【详解】()π1sin sin 34f x x x ⎛⎫=⋅+- ⎪⎝⎭11=sin sin 24x x x ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭211=sin cos 224x x x +- ()11=1cos 22444x x -+-112cos 2222x x ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭1π=sin 226x ⎛⎫- ⎪⎝⎭.作出函数()f x 的图象如图所示,在一个周期内考虑问题，易得π,25π7π66m n ⎧=⎪⎪⎨⎪≤≤⎪⎩或π5π,267π6m n ⎧≤≤⎪⎪⎨⎪=⎪⎩满足题意，所以n m -的值可能为区间π2π33⎡⎤⎢⎥⎣⎦，内的任意实数.所以A,B 可能，C,D 不可能. 故选：CD.【点睛】本题考查三角恒等变换和三角函数的图象与性质.解题的一般思路是先把解析式化成sin()y A x ωϕ=+的形式，再结合图象研究性质.13.已知函数()y f x =是R 上的奇函数，对任意x ∈R ，都有()()()22f x f x f -=+成立，当[]12,0,1x x ∈，且12x x ≠时，都有()()12120f x f x x x ->-，则下列结论正确的有( )A. ()()()()12320190f f f f +++⋅⋅⋅+=B. 直线5x =-是函数()y f x =图象的一条对称轴C. 函数()y f x =在[]7,7-上有5个零点D. 函数()y f x =在[]7,5--上为减函数【答案】ABD【解析】【分析】先由题意判断函数()f x 的单调性、奇偶性、对称性、周期性，进而作出函数的草图，结合图象逐一判断各选项是否正确.【详解】由奇函数可得(0)0f =.由(2)()(2)f x f x f -=+令2x =可得(2)0f =，则()(2)f x f x =-,()f x 的图象关于直线1x =对称.()(2)(2)[(22)](4)f x f x f x f x f x =-=--=----=-，所以()f x 是周期为4的周期函数.当[]12,0,1x x ∈，且12x x ≠时，都有()()12120f x f x x x ->-，所以()f x 在区间[]0,1上单调递增.根据以上信息可画出函数()f x 的草图如图所示.选项A,易得(1)(3)(2017)(2019)0f f f f +==+=，(2)(4)(2018)0f f f ====， 所以()()()()12320190f f f f +++⋅⋅⋅+=，A 正确.选项B ，直线5x =-是函数()y f x =图象的一条对称轴，B 正确.选项C ，函数()y f x =在[]7,7-上有7个零点，C 不正确.选项D ，函数()y f x =在[]7,5--上为减函数，D 正确.故选：ABD.【点睛】本题综合考查函数的单调性、奇偶性、周期性等性质.二、填空题，本大题共有4个小题，每小题4分，共16分。
山东省烟台市2024高三冲刺(高考数学)统编版(五四制)模拟(综合卷)完整试卷
山东省烟台市2024高三冲刺（高考数学）统编版（五四制）模拟(综合卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题已知函数是上的偶函数，且的图象关于点对称，当时，，则的值为（）A．-2B．-1C．0D．1第(2)题等比数列的公比，其中为i虚数单位，若，则（）．A．B．C．D．第(3)题双曲线C：的焦距为4，焦点到C的一条渐近线的距离为1，则C的渐近线方程为（）A．B．C．D．第(4)题若函数的部分图象如图所示，则下列选项可能正确的是（）A．B．C．D．第(5)题为非零向量，满足，且，则（）A．B．C．D．第(6)题费马原理是几何光学中的重要原理，可以推导出圆锥曲线的一些光学性质，如：点为椭圆（为焦点）上一点，则点处的切线平分外角.已知椭圆为坐标原点，是点处的切线，过左焦点作的垂线，垂足为，则为（）A．B．2C．3D．第(7)题在各棱长均为1的正三棱柱中，、分别为、的中点，过、、三点的截面将三棱柱分成上下两部分，记体积较小部分的体积为，另一部分的体积为，则的值为（）A．B．C．D．第(8)题从甲队60人、乙队40人中，按照分层抽样的方法从两队共抽取10人，进行一轮答题．相关统计情况如下：甲队答对题目的平均数为1，方差为1；乙队答对题目的平均数为1.5，方差为0.4，则这10人答对题目的方差为（）A．0.8B．0.675C．0.74D．0.82二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题正方体绕直线旋转之后与其自身重合，则的值可以是（）A．B．C．D．第(2)题画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆.分别为椭圆的左、右焦点，直线的方程为，为椭圆的蒙日圆上一动点，分别与椭圆相切于两点，为坐标原点，下列说法正确的是（）A．椭圆的蒙日圆方程为B．记点到直线的距离为，则的最小值为C．一矩形四条边与椭圆相切，则此矩形面积最大值为D．的面积的最小值为，最大值为第(3)题下列结论正确的是（）A．一组数据7，8，8，9，11，13，15，17，20，22的第80百分位数为17B．若随机变量，满足，则C．若随机变量，且，则D．根据分类变量与的成对样本数据，计算得到．依据的独立性检验，可判断与有关三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题已知实数，满足，则的最小值是______.第(2)题若存在过点的直线与函数，的图象都相切，则_______．第(3)题已知集合A＝{0，1，2，3}，B＝{x| x2－x－2＜0}，则A∩B＝______．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题已知双曲线的焦距为，点在C上．(1)求C的方程；(2)直线与C的右支交于两点，点与点关于轴对称，点在轴上的投影为.①求的取值范围；②求证：直线过点．第(2)题已知等差数列的公差为，前项和为，且满足_____.（从①②成等比数列；③，这三个条件中任选两个补充到题干中的横线位置，并根据你的选择解决问题）（1）求；（2）若，求数列的前项和.第(3)题如图，在三棱锥中，，点是的中点，点是的重心，点是上的点，且．(1)求证：平面；(2)若平面平面，求直线与平面所成角的正弦值．第(4)题已知函数，曲线在处的切线与直线垂直.(1)求的值.(2)证明：当时，.第(5)题设(1)当，求函数的零点个数.(2)函数，若对任意，恒有，求实数的取值范围。
2020届山东省新高考高三优质数学试卷分项解析 专题05 三角函数与解三角形(原卷版)
专题5 三角函数与解三角形1.近几年高考在对三角恒等变换考查的同时，对三角函数图象与性质的考查力度有所加强，往往将三角恒等变换与三角函数的图象和性质结合考查，先利用三角公式进行化简，然后进一步研究三角函数的性质.其中三角函数的定义域值域、单调性、奇偶性、周期性、对称性以及图象变换是主要考查对象，难度以中档以下为主.2.高考对正弦定理和余弦定理的考查较为灵活，题型多变，往往以小题的形式独立考查正弦定理或余弦定理，以解答题的形式综合考查定理的综合应用，多与三角形周长、面积有关；有时也会与平面向量、三角恒等变换等结合考查，试题难度控制在中等或以下，主要考查灵活运用公式求解计算能力、推理论证能力、数学应用意识、数形结合思想等．预测2020年将突出考查恒等变换与三角函数图象和性质的结合、恒等变换与正弦定理和余弦定理的结合.一、单选题1．（2020届山东省潍坊市高三上期中）sin 225︒= （ ）A ．12-B ．2-C ．D ．1-2．（2020届山东省泰安市高三上期末）“1a <-”是“0x ∃∈R ，0sin 10+<a x ”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．（2020届山东省潍坊市高三上期末）已知345sin πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则cos α=（ ）A ．10B ．10C ．2 D ．104．（2020届山东省枣庄市高三上学期统考）设函数2sin cos ()(,0)x x xf x a R a ax +=∈≠，若(2019)2f -=，(2019)f =( )A ．2B ．-2C ．2019D ．-20195．（2020届山东省枣庄市高三上学期统考）已知函数()cos()(0)f x x ωϕω=+>的最小正周期为π，且对x ∈R ，()3f x f π⎛⎫⎪⎝⎭…恒成立，若函数()y f x =在[0,]a 上单调递减，则a 的最大值是（ ） A ．π6 B ．π3C ．2π3D ．5π66．（2020届山东省滨州市三校高三上学期联考）若π1sin 34α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则πcos 23α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）．A ．78-B ．14-C ．14 D ．787．（2020届山东省潍坊市高三上期中）已知函数()sin cos f x x x =+，则（ ） A ．()f x 的最小正周期为π B ．()y f x =图象的一条对称轴方程为4x π=C ．()f x 的最小值为2-D ．()f x 的0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数8．（2020届山东省九校高三上学期联考）如图是一个近似扇形的鱼塘，其中OA OB r ==，弧AB 长为l （l r <）.为方便投放饲料，欲在如图位置修建简易廊桥CD ，其中34OC OA =，34OD OB =.已知1(0,)2x ∈时，3sin 3!x x x ≈-，则廊桥CD 的长度大约为（ ）A ．323432r r l - B ．323432l l r - C ．32324l l r-D ．32324r r l-9．（2020·武邑县教育局教研室高三上期末（理））已知()cos 2cos 2παπα⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，且()1tan 3αβ+=，则tan β的值为（） A ．-7B ．7C ．1D ．-110．（2020届山东师范大学附中高三月考）为了得函数23y sin x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需把函数2y sin x =的图象（ ） A ．向左平移6π个单位 B ．向左平移3π单位 C ．向右平移6π个单位 D ．向右平移3π个单位11．（2020届山东省枣庄、滕州市高三上期末）将曲线()cos 2y f x x =上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移4π个单位长度，得到曲线cos 2y x =，则6f π⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A ．1B ．-1C D ．12．（2020届山东省济宁市高三上期末）在ABC ∆中,1,3,1AB AC AB AC ==⋅=-u u u r u u u r,则ABC ∆的面积为( )A ．12B ．1CD ．213．（2020届山东省潍坊市高三上学期统考）将函数()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像向右平移()0a a >个单位得到函数()πcos 24g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像，则a 的值可以为（ ）A ．5π12B ．7π12C ．19π24D ．41π2414．（2020届山东省临沂市高三上期末）已知函数2()2cos 12f x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭(0)>ω的图象关于直线4x π=对称，则ω的最小值为（ ） A ．13B ．16C ．43D ．5615．（2020届山东省潍坊市高三上学期统考）已知△ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2cos cos cos b B a C c A =+，2b =，则△ABC 面积的最大值是A ．1B C ．2D ．416．（2020届山东省烟台市高三上期末）若x α=时，函数()3sin 4cos f x x x =+取得最小值，则sin α=（ ）A ．35B ．35-C ．45D ．45-17．（2020届山东实验中学高三上期中）在ABC △中，若 13,3,120AB BC C ==∠=o ，则AC =（ ） A ．1B ．2C ．3D ．418．（2020届山东实验中学高三上期中）已知()cos 2cos 2παπα⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，且()1tan 3αβ+=，则tan β的值为（ ） A ．-7B ．7C ．1D ．-119．（2020届山东省济宁市高三上期末）函数22cos cos 1y x x =-++，,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦的图象大致为( ) A ． B ．C ．D ．20．（2020届山东师范大学附中高三月考）泉城广场上矗立着的“泉标”，成为泉城济南的标志和象征．为了测量“泉标”高度，某同学在“泉标”的正西方向的点A 处测得“泉标”顶端的仰角为45︒，沿点A 向北偏东30︒前进100 m 到达点B ，在点B 处测得“泉标”顶端的仰角为30︒，则“泉标”的高度为（ ） A ．50 mB ．100 mC ．120 mD ．150 m21．（2020届山东实验中学高三上期中）已知函数()sin 23f x a x x =的图象关于直线12x π=-对称，若()()124f x f x ⋅=-，则12a x x -的最小值为（ ） A ．4πB ．2π C ．πD ．2π22．（2020届山东省滨州市高三上期末）已知函数()2sin(2)f x x ϕ=+的图象过点,26A π⎛⎫⎪⎝⎭，则( ) A ．把()y f x =的图象向右平移6π个单位得到函数2sin 2y x =的图象B ．函数()f x 在区间,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减C ．函数()f x 在区间[]0,2π内有五个零点D ．函数()f x 在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为1 二、多选题23．（2020届山东省滨州市三校高三上学期联考）设函数()sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则下列结论正确的是（ ） A ．π-是()f x 的一个周期 B ．()f x 的图像可由sin 2y x =的图像向右平移3π得到 C ．()f x π+的一个零点为6x π=D ．()y f x =的图像关于直线1712x π=对称 24．（2020届山东师范大学附中高三月考）在平面直角坐标系xOy 中，角α顶点在原点O ，以x 正半轴为始边，终边经过点()()1,0P m m <，则下列各式的值恒大于0的是（ ） A ．sin tan ααB ．cos sin αα-C ．sin cos ααD ．sin cos αα+25．（2020·蒙阴县实验中学高三期末）关于函数()22cos cos(2)12f x x x π=-+-的描述正确的是（ ）A ．其图象可由2y x =的图象向左平移8π个单位得到 B ．()f x 在(0,)2π单调递增C ．()f x 在[]0,π有2个零点D ．()f x 在[,0]2π-的最小值为26．（2020·山东省淄博实验中学高三上期末）已知函数()sin cos f x x x =-，()g x 是()f x 的导函数，则下列结论中正确的是（ ）A ．函数()f x 的值域与()g x 的值域不相同B ．把函数()f x 的图象向右平移2π个单位长度，就可以得到函数()g x 的图象 C ．函数()f x 和()g x 在区间,44ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上都是增函数 D ．若0x 是函数()f x 的极值点，则0x 是函数()g x 的零点27．（2020届山东省枣庄市高三上学期统考）将函数()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移2π个单位长度得到()g x 图象，则下列判断正确的是（ ） A ．函数()g x 在区间,122ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 B ．函数()g x 图象关于直线712x π=对称 C ．函数()g x 在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减 D ．函数()g x 图象关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称28．（2020届山东省潍坊市高三上期末）已知()()22210f x cos x x ωωω=->的最小正周期为π，则下列说法正确的有（ ） A ．2ω= B ．函数()f x 在[0,]6π上为增函数C ．直线3x π=是函数()y f x =图象的一条对称轴D ．5π,012骣琪琪桫是函数()y f x =图象的一个对称中心29．（2020届山东省潍坊市高三上学期统考）在ABC V 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若1tan A ，1tan B ，1tan C依次成等差数列，则下列结论中不一定成立．．．．．的是（ ） A ．a ，b ，c 依次成等差数列B C ．2a ，2b ，2c 依次成等差数列 D ．3a ，3b ，3c 依次成等差数列30．（2020届山东省济宁市高三上期末）将函数()sin 2f x x =的图象向右平移4π个单位后得到函数()g x 的图象,则函数()g x 具有性质( )A ．在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增,为偶函数 B ．最大值为1,图象关于直线32x π=-对称 C ．在3,88ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增,为奇函数 D ．周期为π,图象关于点3,04π⎛⎫⎪⎝⎭对称 31．（2020届山东实验中学高三上期中）己知函数()()()sin 0,023f x x f x ππωϕωϕ⎛⎫=+><<- ⎪⎝⎭，为的一个零点，6x π=为()f x 图象的一条对称轴，且()()0f x π在，上有且仅有7个零点，下述结论正确．．的是（ ） A ．=6πϕB ．=5ωC ．()()0f x π在，上有且仅有4个极大值点D ．()042f x π⎛⎫⎪⎝⎭在，上单调递增32．（2019·山东师范大学附中高三月考）在平面直角坐标系xOy 中，角α顶点在原点O ，以x 正半轴为始边，终边经过点()()1,0P m m <，则下列各式的值恒大于0的是（ ） A ．sin tan ααB ．cos sin αα-C ．sin cos ααD ．sin cos αα+33．（2020届山东省烟台市高三上期末）已知函数()()sin 322f x x ππϕϕ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭的图象关于直线4x π=对称，则（ ） A ．函数12f x π⎛⎫+⎪⎝⎭为奇函数 B ．函数()f x 在,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 C ．若()()122f x f x -=，则12x x -的最小值为3πD ．函数()f x 的图象向右平移4π个单位长度得到函数cos3y x =-的图象 三、填空题34．（2020届山东省枣庄市高三上学期统考）已知1sin 4x =，x 为第二象限角，则sin 2x =______. 35．（2020届山东省日照市高三上期末联考）已知tan 3α=，则sin cos sin cos αααα-+的值为______.36．（2020届山东师范大学附中高三月考）已知1tan 3α=，则2sin 2sin 1cos 2ααα-+的值为________．37．（2020届山东省枣庄、滕州市高三上期末）在平面直角坐标系xOy 中，角α的顶点是O ，始边是x 轴的非负半轴，02απ<<，点1tan,1tan1212P ππ⎛⎫+- ⎪⎝⎭是α终边上一点，则α的值是________. 38．（2020·全国高三专题练习（文））已知sin cos 11cos 2ααα=-，1tan()3αβ-=，则tan β=________.39．（2020届山东实验中学高三上期中）在ABC ∆中，,,a b c 分别为内角,,A B C 的对边，若32sin sin sin ,cos 5B AC B =+=，且6ABC S ∆=，则b =__________． 40．（2020届山东省日照市高三上期末联考）已知函数()9sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，当[]0,10x π∈时，把函数()()6F x f x =-的所有零点依次记为123,,,,n x x x x ⋅⋅⋅，且123n x x x x <<<⋅⋅⋅<，记数列{}n x 的前n 项和为n S ，则()12n n S x x -+=______.41．（2020届山东省德州市高三上期末）已知函数()()sin f x A x =+ωϕ0,0,||2A πωϕ⎛⎫>><⎪⎝⎭的最大值2π，且()f x 的图象关于直线3x π=-对称，则当,66x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，函数()f x 的最小值为______.42．（2020届山东省泰安市高三上期末）在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ，若cos cos sin A B C a b c +=，22265b c a bc +-=，则tan B =______． 四、解答题43．（2020届山东省临沂市高三上期末）在①3cos 5A =，cos C =，②sin sin sin c C A b B =+，60B =o，③2c =，1cos 8A =三个条件中任选一个补充在下面问题中，并加以解答. 已知ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若3a =，______，求ABC V 的面积S . 44．（2020届山东省泰安市高三上期末）在①函数()()1sin 20,22f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的图象向右平移12π个单位长度得到()g x 的图象，()g x图象关于原点对称；②向量),cos 2m x x ωω=u r，()11cos ,,0,24n x f x m n ωω⎛⎫=>=⋅ ⎪⎝⎭r u r r ；③函数()1cos sin 64f x x x πωω⎛⎫=+- ⎪⎝⎭()0ω>这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．已知_________，函数()f x 的图象相邻两条对称轴之间的距离为2π． （1）若02πθ<<，且sin θ=()f θ的值； （2）求函数()f x 在[]0,2π上的单调递减区间．45．（2020届山东省枣庄市高三上学期统考）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ，已知()2cos cos 0a c B b A ++=.（I ）求B ；（II ）若3,b ABC =∆的周长为3ABC +∆的面积.46．（2020届山东省滨州市三校高三上学期联考）已知函数()sin()f x A x ωϕ=+，其中0A >，0>ω，(0,)ϕπ∈，x ∈R ，且()f x 的最小值为-2，()f x 的图象的相邻两条对称轴之间的距离为2π，()f x 的图象过点,03π⎛-⎫ ⎪⎝⎭.（1）求函数()f x 的解析式和单调递增区间； （2）若[0,2]x πÎ函数()f x 的最大值和最小值.47．（2020届山东省潍坊市高三上期中）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知10a b +=，5c =，sin 2sin 0B B +=．（1）求a ，b 的值： （2）求sin C 的值．48．（2020届山东省烟台市高三上期末）在条件①()(sin sin )()sin a b A B c b C +-=-，②sin cos()6a Bb A π=+，③sinsin 2B Cb a B +=中任选一个，补充到下面问题中，并给出问题解答. 在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a bc ，6b c +=，a =， . 求ABC ∆的面积.49．（2020届山东省泰安市高三上期末）如图所示，有一块等腰直角三角形地块ABC ，90A ∠=o ，BC 长2千米，现对这块地进行绿化改造，计划从BC 的中点D 引出两条成45°的线段DE 和DF ，与AB 和AC 围成四边形区域AEDF ，在该区域内种植花卉，其余区域种植草坪；设BDE α∠=，试求花卉种植面积()S α的取值范围．50．（2020届山东省日照市高三上期末联考）在①ABC ∆面积2ABC S ∆=，②6ADC π∠=这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，求AC . 如图，在平面四边形ABCD 中，34ABC π∠=，BAC DAC ∠=∠，______，24CD AB ==，求AC .51．（2020届山东省滨州市三校高三上学期联考）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，23sin 2cos02A CB +-=. （1）求角B 的大小；（2）若2sin 2sin sin B A C =，且ABC ∆的面积为3ABC ∆的周长.52．（2020届山东省德州市高三上期末）已知a ，b ，c 分别为ABC ∆内角A ，B ，C 的对边，若ABC ∆同时满足下列四个条件中的三个：①2633()b a ac c a b -+=+；②2cos 22cos 12A A +=；③6a =④2b =（1）满足有解三角形的序号组合有哪些？（2）在（1）所有组合中任选一组，并求对应ABC ∆的面积. （若所选条件出现多种可能，则按计算的第一种可能计分）53．（20203(cos )sin b C a c B -=；②22cos a c b C +=；③sin 3sin2A Cb A a += 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答相应的问题.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足________________，23,b =4a c +=，求ABC ∆的面积.54．（2020届山东师范大学附中高三月考）ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足cos cos 2c A a C a +=．（1）求a b的值； （2）若1a =，7c =，求ABC V 的面积． 55．（2020·蒙阴县实验中学高三期末）在非直角ABC ∆中，a ，b ，c 分别是A ，B ，C 的对边.已知4a =，5AB AC ⋅=u u u r u u u r ，求：（1）tan tan tan tan A A B C+的值； （2）BC 边上的中线AD 的长.56．（2020届山东师范大学附中高三月考）设函数5()2cos()cos 2sin()cos 122f x x x x x ππ=++++. （1）设方程()10f x -=在(0,)π内有两个零点12,x x ，求12x x +的值；（2）若把函数()y f x =的图象向左平移6π个单位，再向下平移2个单位，得函数()g x 图象，求函数()g x 在[,]33ππ-上的最值. 57.（2020届山东省潍坊市高三上期末）在①34asinC ccosA =;②252B C bsinasinB +=这两个条件中任选-一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题.在ABC V 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知 ，32a =.(1)求sinA ;(2)如图，M 为边AC 上一点，,2MC MB ABM π=∠=，求ABC V 的面积58．（2020·山东省淄博实验中学高三上期末）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知4cos cos cos a A c B b C =+.（1）若4a =，ABC ∆的面积为15，求b ，c 的值； （2）若()sin sin 0B k C k =>，且角C 为钝角，求实数k 的取值范围.59．（2020届山东省潍坊市高三上学期统考）已知函数()()23sin cos sin 10f x x x x ωωωω=-+>图象的相邻两条对称轴之间的距离为2π.（1）求ω的值及函数()f x 的单调递减区间；（2）如图，在锐角三角形ABC 中有()1f B =，若在线段BC 上存在一点D 使得2AD =，且6AC =，31CD =-，求三角形ABC 的面积.60．（2020届山东省济宁市高三上期末）已知()()23sin sin cos 2f x x x x ππ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭. (1)若1210f α⎛⎫= ⎪⎝⎭,求2cos 23πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值; (2)在△ABC 中,角A ,B ,C 所对应的边分别,,a b c ,若有()2cos cos a c B b C -=,求角B 的大小以及()f A 的取值范围.61．（2020届山东省济宁市高三上期末）如图,某市三地A ,B ,C 有直道互通.现甲交警沿路线AB ､乙交警沿路线ACB 同时从A 地出发,匀速前往B 地进行巡逻,并在B 地会合后再去执行其他任务.已知AB =10km ,AC =6km ,BC =8km ,甲的巡逻速度为5km /h ,乙的巡逻速度为10km /h .(1)求乙到达C 地这一时刻的甲､乙两交警之间的距离;(2)已知交警的对讲机的有效通话距离不大于3km ,从乙到达C 地这一时刻算起,求经过多长时间,甲､乙方可通过对讲机取得联系.62．（2020·全国高三专题练习（文））在ABC V 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且满()(sin sin )(3sin sin )b a B A c B C -+=-.（1）求A 的大小；（2）再在①2a =，②4B π=，③3=c b 这三个条件中，选出两个使ABC V 唯一确定的条件补充在下面的问题中，并解答问题.若________，________，求ABC V 的面积.63．（2020届山东实验中学高三上期中）己知函数()23sin cos sin 244f x x x x a ππ⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最大值为1.（1）求实数a 的值；（2）若将()f x 的图象向左平移6π个单位，得到函数()g x 的图象，求函数()g x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.64．（2020届山东实验中学高三上期中）“我将来要当一名麦田里的守望者，有那么一群孩子在一块麦田里玩，几千万的小孩子，附近没有一个大人，我是说……除了我”《麦田里的守望者》中的主人公霍尔顿将自己的精神生活寄托于那广阔无垠的麦田.假设霍尔顿在一块成凸四边形ABCD 的麦田里成为守望者，如图所示，为了分割麦田，他将BD 连接，设ABD ∆中边BD 所对的角为A ，BCD ∆中边BD 所对的角为C ，经测量已知2AB BC CD ===，23AD =.（1）霍尔顿发现无论BD 3cos A C -为一个定值，请你验证霍尔顿的结论，并求出这个定值；（2）霍尔顿发现麦田的生长于土地面积的平方呈正相关，记ABD ∆与BCD ∆的面积分别为1S 和2S ，为了更好地规划麦田，请你帮助霍尔顿求出2212S S +的最大值.。
【高考数学】立体几何中的截面
立体几何中的截面【基本知识】1．截面定义：在立体几何中，截面是指用一个平面去截一个几何体（包括圆柱，圆锥，球，棱柱，棱锥、长方体，正方体等等），得到的平面图形，叫截面。
其次，我们要清楚立体图形的截面方式，总共有三种，分别为横截、竖截、斜截。
最后，我们要了解每一种立体图形通过上述三种截面方式所得到的截面图有哪些。
2、正六面体的基本斜截面：3、圆柱体的基本截面：正六面体斜截面是不会出现以下几种图形：直角三角形、钝角三角形、直角梯形、正五边形。
【基本技能】技能1.结合线、面平行的判定定理与性质性质求截面问题；技能2.结合线、面垂直的判定定理与性质定理求正方体中截面问题；技能 3.猜想法求最值问题：要灵活运用一些特殊图形与几何体的特征，“动中找静”：如正三角形、正六边形、正三棱锥等；技能4.建立函数模型求最值问题：①设元②建立二次函数模型③求最值。
例1 一个正方体内接于一个球，过这个球的球心作一平面，则截面图形不可能．．．是（）例2 如图，在透明的塑料制成的长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1容器内灌进一些水，固定容器底面一边BC 于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜程度的不同，有下列四个命题：① 水的部分始终呈棱柱状； ② 水面EFGH 的面积不改变； ③ 棱A 1D 1始终与水面EFGH 平行；④ 当容器倾斜到如图5（2）时，BE·BF 是定值； 其中正确的命题序号是______________例3 有一容积为1 立方单位的正方体容器ABCD-A 1B 1C 1D 1，在棱AB 、BB 1及对角线B 1C 的中点各有一小AB C H A 1 B 1 C 1 D 1E F GDA B C DA 1B 1C 1D 1EF G H图（2）图（1）ACBD孔E 、F 、G ，若此容器可以任意放置，则该容器可装水的最大容积是（）A ．21B ．87C ．1211 D ．4847例4 正四棱锥P ABCD -的底面正方形边长是3，O 是P 在底面上的射影，6, PO Q =是AC 上的一点，过Q 且与, PA BD 都平行的截面为五边形EFGHL ，求该截面面积的最大值.基本方法介绍①公理法：用平面基本性质中的公理来作平面； ②侧面展开法：将立体图形展开为平面图形进行研究；例5 能否用一个平面去截一个正方体，使得截面为五边形？进一步，截面能否为正五边形呢？C 1 A B CD A 1D 1 B 1EG F 图（1）例6 已知一个平面截一个棱长为1的正方体所得的截面是一个六边形（如图所示），证明：此六边形的周长≥一、单选题1．【江西省吉安市2019-2020学年高二上学期期末数学】在正方体1111ABCD A B C D -中，F 为AD 的中点，E 为棱1D D 上的动点(不包括端点)，过点,,B E F 的平面截正方体所得的截面的形状不可能是（） A ．四边形B ．等腰梯形C ．五边形D ．六边形2．【2020届辽宁省实验中学、大连八中、大连二十四中、鞍山一中、东北育才学校高三上学期期末】 如图圆锥PO ，轴截面PAB 是边长为2的等边三角形，过底面圆心O 作平行于母线PA 的平面，与圆锥侧面的交线是以E 为顶点的抛物线的一部分，则该抛物线的焦点到其顶点E 的距离为( )A ．1B ．12C ．13D ．144．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F ，G 分别是棱AB ，BC ，1BB 的中点，过E ，F ，G 三点作该正方体的截面，则下列说法错误的是（）A ．在平面11BDDB 内存在直线与平面EFG 平行 B ．在平面11BDD B 内存在直线与平面EFG 垂直C ．平面1//AB C 平面EFGD ．直线1AB 与EF 所成角为45︒5．【云南省昆明市2019-2020学年高三下学期1月月考数学】某同学在参加《通用技术》实践课时，制作了一个工艺品，如图所示，该工艺品可以看成是一个球被一个棱长为，若其中一个截面圆的周长为4π，则该球的半径是（）A ．2B ．4C ．D ．6．美学四大构件是：史诗、音乐、造型（绘画、建筑等）和数学.素描是学习绘画的必要一步，它包括了明暗素描和结构素描，而学习几何体结构素描是学习素描最重要的一步.某中学2018级某同学在画“切面圆柱体”（用与圆柱底面不平行的平面去截圆柱，底面与截面之间的部分叫做切面圆柱体）的过程中，发现“切面”是一个椭圆，若“切面”所在平面与底面成45︒角，则该椭圆的离心率为（）A ．12B ．2C D ．137．如图，已知三棱锥V ABC -，点P 是VA 的中点，且2AC =，4VB =，过点P 作一个截面，使截面平行于VB 和AC ，则截面的周长为（）A ．12B ．10C ．8D ．68．【2020届广东省东莞市高三期末调研测试理科数学试题】已知球O 是正四面体A BCD -的外接球，2BC =，点E 在线段BD 上，且3BD BE =，过点E 作球O 的截面，则所得截面圆面积的最小值是（） A ．89πB ．1118πC ．512π D ．49π 9．【2020届福建省福州市高三适应性练习卷数学理科试题】在三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABC ，,6,8AB AC AB AC ⊥==，D 是线段AC 上一点，且3AD DC =.三棱锥P ABC -的各个顶点都在球O 表面上，过点D 作球O 的截面，若所得截面圆的面积的最大值与最小值之差为16π，则球O 的表面积为（） A ．72πB ．86πC ．112πD ．128π10．【2020届重庆南开中学高三第五次教学质量检测考试数学文科试题】正三棱锥P ABC -，Q 为BC 中点，PA =，2AB =，过Q 的平面截三棱锥P ABC -的外接球所得截面的面积范围为（）A ．13,45ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．12,23ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[],2ππD ．3,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦11．一个三棱锥的各棱长均相等，其内部有一个内切球，即球与三梭锥的各面均相切（球在三棱锥的内部，且球与三棱锥的各面只有一个交点），过一条侧棱和对边的中点作三棱锥的截面，所得截面是下列图形中的（）A ．B ．C ．D ．12．【2020届湖北省部分重点中学高三第二次联考数学试卷理科试题】如图，已知四面体ABCD 的各条棱长均等于4，E ，F 分别是棱AD 、BC 的中点.若用一个与直线EF 垂直，且与四面体的每一个面都相交的平面α去截该四面体，由此得到一个多边形截面，则该多边形截面面积最大值为（ ）A ．B ．4C ．D ．613．【2020届辽宁省实验中学、大连八中、大连二十四中、鞍山一中、东北育才学校高三上学期期末】仿照“Dandelin 双球”模型，人们借助圆柱内的两个内切球完美的证明了平面截圆柱的截面为椭圆面．如图，底面半径为1的圆柱内两个内切球球心距离为4，现用与两球都相切的平面截圆柱所得到的截面边缘线是一椭圆，则该椭圆的离心率为( )A ．12B C ．2D 14．已知正方体1111ABCD A B C D -的边长为2，边AB 的中点为M ，过M 且垂直1BD 的平面被正方体所截的截面面积为（）A B C ．D ．15．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，P ，Q ，R 分别是AB ，AD ，11B C 的中点，设过P ，Q ，R 的截面与面11ADD A ，以及面11ABB A 的交线分别为l ，m ，则l ，m 所成的角为（）A ．90︒B ．30C ．45︒D ．60︒16．在立体几何中，用一个平面去截一个几何体得到的平面图形叫截面，如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点E 、F 分别是棱B 1B 、B 1C 中点，点G 是棱CC 1的中点，则过线段AG 且平行于平面A 1EF 的截面图形为（ ）A ．矩形B ．三角形C ．正方形D ．等腰梯形17．【2020届山西省吕梁市高三上学期第一次模拟考试数学（理)试题】如图四面体A BCD -中，2,AD BC AD BC ==⊥，截面四边形EFGH 满足//EF BC ；//FG AD ，则下列结论正确的个数为（） ①四边形EFGH 的周长为定值 ②四边形EFGH 的面积为定值 ③四边形EFGH 为矩形④四边形EFGH 的面积有最大值1A ．0B ．1C ．2D ．318．【2018年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标I 卷)】已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为A B C ．4D 19．【四川省内江市2019-2020学年高二上学期期末数学（文)试题】已知正三棱锥A BCD -的外接球是球O ，正三棱锥底边3BC =，侧棱AB =E 在线段BD 上，且BE DE =，过点E 作球O 的截面，则所得截面圆面积的取值范围是（）A ．9,34ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．[]2,3ππC ．11,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．9,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦20．【云南省曲靖市2019-2020学年高三第一次教学质量检测数学文科试题】在四面体ABCD 中，3AB BD AD CD ====，4AC BC ==，用平行于AB ，CD 的平面截此四面体，得到截面四边形EFGH ，则四边形EFGH 面积的最大值为（）A ．43B ．94C ．92D ．3二、填空题21．【山东省烟台市2019-2020学年高三上学期期末考试数学试题】已知三棱锥P ABC -的四个顶点都在球O 的表面上，PA ⊥平面ABC ，6PA =，AB =2AC =，4BC =，则：（1）球O 的表面积为__________；（2）若D 是BC 的中点，过点D 作球O 的截面，则截面面积的最小值是__________．22．【新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市2019-2020学年高三第一次诊断性测试数学文试题】 如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E 、F 、G 分别为11,,AB AD B C 的中点，给出下列命题：①异面直线EF 与AG 所成的角的余弦值为6；②过点E 、F 、G 作正方体的截面，所得的截面的面积是 ③1A C ⊥平面EFG④三棱锥C EFG -的体积为1其中正确的命题是_____________（填写所有正确的序号）23．如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -中，点E 是棱1CC 上的一个动点，若平面1BED 交棱1AA 于点F ，给出下列命题：①四棱锥11B BED F -的体积恒为定值；②对于棱1CC 上任意一点E ，在棱AD 上均有相应的点G ，使得//CG 平面1EBD ； ③O 为底面ABCD 对角线AC 和BD 的交点，在棱1DD 上存在点H ，使//OH 平面1EBD ；11 / 11④存在唯一的点E ，使得截面四边形1BED F 的周长取得最小值.其中为真命题的是____________________.（填写所有正确答案的序号）24．【2020届河南省驻马店市高三上学期期末数学(文科)试题】在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 是正方形11BB C C 的中心，M 为11C D 的中点，过1A M 的平面α与直线DE 垂直，则平面α截正方体1111ABCD A B C D -所得的截面面积为______.三、解答题25．【2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅱ带解析)】 如图，长方体1111ABCD A B C D -中,116,10,8AB BC AA ===，点,E F 分别在1111,A B D C 上，114A E D F ==，过点,E F 的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．（1）在图中画出这个正方形（不必说明画法与理由）；（2）求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值．。
2020届高三上学期期末教学质量检测数学理试题含答案及评分标准
理科数学本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
第Ⅰ卷1至2页。
第Ⅱ卷3至4页。
全卷满分150分，考试时间120分钟。
考生注意事项： 1．答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．2．答第Ⅱ卷时，必须答题卡上作答．在试题卷上作答无效． 参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+ 如果事件A 、B 相互独立，那么()()()P AB P A P B =棱柱的体积公式V Sh =，其中S 、h 分别表示棱柱的底面积、高．第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求． 1．12i i +=A ．i --2B ．i +-2C ．i -2D ．i +22．集合{||2|2}A x x =-≤，2{|,12}B y y x x ==--≤≤，则A B =IA ．RB ．{|0}x x ≠C ．{0}D ．∅3．若抛物线22y px =的焦点与双曲线22122x y -=的右焦点重合，则p 的值为 A ．2- B ．2 C ．4- D ．44．不等式10x x->成立的一个充分不必要条件是 A ．10x -<<或1x > B ．1x <-或01x << C ．1x >- D ．1x > 5．对于平面α和共面的两直线m 、n ，下列命题中是真命题的为 A ．若m α⊥，m n ⊥，则//n α B ．若//m α，//n α，则//m nC ．若m α⊂，//n α，则//m nD ．若m 、n 与α所成的角相等，则//m n6．平面四边形ABCD 中0AB CD +=u u u r u u u r r ，()0AB AD AC -=⋅u u u r u u u r u u u r，则四边形ABCD 是A ．矩形B ．菱形C ．正方形D ．梯形 7．等比数列{}n a 中5121=a ，公比21-=q ，记12n n a a a ∏=⨯⨯⨯L （即n ∏表示 数列{}n a 的前n 项之积），8∏ ，9∏，10∏，11∏中值为正数的个数是 A ． 1 B ． 2 C ． 3 D ． 48．定义域R 的奇函数()f x ，当(,0)x ∈-∞时()'()0f x xf x +<恒成立，若3(3)a f =，(log 3)(log 3)b f ππ=⋅，()c f =－２－２，则A ．a c b >>B ．c b a >>C ．c a b >>D ． a b c >>第Ⅱ卷（非选择题，共110分）二 填空题：本题共6小题，共30分，把答案填在答题卷相应的位置上．9．某校有4000名学生，各年级男、女生人数如表，已知在全校学生中随机抽取一名奥运火炬手，抽到高一男生的概率是0.2，现用分层抽样的方法在全校抽取100名奥运志愿者，则在高二抽取的学生人数为______．10．如果实数x 、y 满足条件101010x y y x y -+≥⎧⎪+≥⎨⎪++≤⎩，那么2x y -的最大值为______．11．在ABC ∆中角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若(2)cos cos b c A a C -=， 则cos A =________． 12．右图给出的是计算201614121+⋅⋅⋅+++的值 的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是i >___？13．由数字0、1、2、3、4组成无重复数字的 五位数，其中奇数有 个． 14．若一个正三棱柱的三视图如下图所示，则这 个正三棱柱的体积为__________．三．解答题（本大题共6小题，共80分 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本小题共12分）已知函数()sin cos f x x x =+，()f x '是()f x 的导函数． （1）求函数()()'()g x f x f x =⋅的最小值及相应的x 值的集合； （2）若()2()f x f x '=，求tan()4x π+的值．16．（本题满分12分）近年来，政府提倡低碳减排，某班同学利用寒假在两个小区逐户调查人们的生活习惯是否符合低碳观念．若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳题12图 主视图 俯视图左视图族”．数据如下表（计算过程把频率当成概率）．（1）如果甲、乙来自A小区，丙、丁来自B小区，求这4人中恰有2人是低碳族的概率；（2）A小区经过大力宣传，每周非低碳族中有20%的人加入到低碳族的行列．如果2周后随机地从A小区中任选25个人，记X表示25个人中低碳族人数，求()E X．17．（本小题满分14分）已知点(4,0)M、(1,0)N，若动点P满足6||MN MP NP=⋅u u u u r u u u r u u u r．（1）求动点P的轨迹C；（2）在曲线C上求一点Q，使点Q到直线l：2120x y+-=的距离最小．18．(本小题满分14分)已知梯形ABCD中，AD∥BC，2π=∠=∠BADABC，42===ADBCAB，E、F分别是AB、CD上的点，EF∥BC，xAE=．沿EF将梯形ABCD翻折，使平面AEFD⊥平面EBCF(如图)．G是BC的中点，以F、B、C、D为顶点的三棱锥的体积记为()f x．（1）当2=x时，求证：BD⊥EG；（2）求()f x的最大值；（3）当()f x取得最大值时，求异面直线AE与BD所成的角的余弦值．19．（本题满分14分）数列{}na中112a=，前n项和2(1)n nS n a n n=--，1n=，2，…．（1）证明数列1{}nnSn+是等差数列；（2）求nS关于n的表达式；（3）设3n nnb S=１，求数列{}nb的前n项和nT．20．（本题满分14分）二次函数()f x满足(0)(1)0f f==，且最小值是14-．A小区低碳族非低碳族频率p0.50.5B小区低碳族非低碳族频率p0.80.2（1）求()f x 的解析式；（2）设常数1(0,)2t ∈，求直线l ： 2y t t =-与()f x 的图象以及y 轴所围成封闭图形的面积是()S t ；（3）已知0m ≥，0n ≥，求证：211()()24m n m n +++≥．答案及评分标准：8~1：CCDD ；CBB A ；9．30；10．1；11．12；12．10；13．36；14．以下是各题的提示：1．21222i i i i i i+-+==-．2．[0,4]A =，[4,0]B =-，所以{0}A B =I ．3．双曲线22122x y -=的右焦点为(2,0)，所以抛物线22y px =的焦点为(2,0)，则4p =．4．画出直线y x =与双曲线1y x=，两图象的交点为(1,1)、(1,1)--，依图知10x x->10x ⇔-<<或1x >(*)，显然1x >⇒(*)；但(*)⇒/1x >．5．考查空间中线、面的平行与垂直的位置关系的判断．６．由0AB CD +=u u u r u u u r r ，得AB CD DC =-=u u u r u u u r u u u r，故平面四边形ABCD 是平行四边形，又()0AB AD AC -=⋅u u u r u u u r u u u r ，故0DB AC =⋅u u u r u u u r，所以DB AC ⊥，即对角线互相垂直．７．等比数列{}n a 中10a >，公比0q <，故奇数项为正数，偶数项为负数，∴110∏<，100∏<，90∏>，80∏>，选B ．8．设()()g x xf x =，依题意得()g x 是偶函数，当(,0)x ∈-∞时()'()0f x xf x +<，即'()0g x <恒成立，故()g x 在(,0)x ∈-∞单调递减，则()g x 在(0,)+∞上递增，3(3)(3)a f g ==，(log 3)(log 3)(log 3)b f g πππ==⋅，2(2)(2)(2)c f g g =--=-=．又log 3123π<<<，故a c b >>． 9．依表知400020002000x y z ++=-=，0.24000x=，于是800x =， 1200y z +=，高二抽取学生人数为112003040⨯=．10．作出可行域及直线l ：20x y -=，平移直线l 至可行域的点(0,1)-时2x y -取得最大值．11．由(2)cos cos b c A a C -=，得2cos cos cos b A c A a C =+，2sin cos sin cos sin cos B A C A A C =+，故2sin cos sin()B A A C =+，又在ABC ∆中sin()sin 0A C B +=>，故1cos 2A =，12．考查循环结构终止执行循环体的条件．13．1132336636C C A =⨯=⋅⋅．14．由左视图知正三棱柱的高2h =，设正三棱柱的底面边长a ，=，故4a =，底面积142S =⨯⨯=，故2V Sh === 15．解：（1）∵()sin cos f x x x =+，故'()cos sin f x x x =-， …… 2分∴()()'()g x f x f x =⋅(sin cos )(cos sin )x x x x =+-22cos sin cos 2x x x =-=， ……… 4分∴当22()x k k Z ππ=-+∈，即()2x k k Z ππ=-+∈时，()g x 取得最小值1-，相应的x 值的集合为{|,}2x x k k Z ππ=-+∈． ……… 6分评分说明：学生没有写成集合的形式的扣1分． （2）由()2()f x f x '=，得sin cos 2cos 2sin x x x x +=-，∴cos 3sin x x =，故1tan 3x =， …… 10分 ∴11tan tan34tan()2141tan tan 143x x x πππ+++===--． …… 12分 16．解：（1）设事件C 表示“这4人中恰有2人是低碳族”． …… 1分2222112222222222()0.50.20.50.50.20.80.50.8P C C C C C C C =+⨯⨯⨯+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅0.010.160.160.33=++=． …… 4分 答：甲、乙、丙、丁这4人中恰有2人是低碳族的概率为0.33； …… 5分（2）设A 小区有a 人，两周后非低碳族的概率20.5(120%)0.32a P a⨯⨯-==．故低碳族的概率10.320.68P =-=． ………… 9分 随机地从A 小区中任选25个人，这25个人是否为低碳族相互独立，且每个 人是低碳族的概率都是0.68，故这25个人中低碳族人数服从二项分布，即17~(25,)25X B ，故17()251725E X =⨯=． ………… 12分 17．解：（1）设动点(,)P x y ，又点(4,0)M 、(1,0)N ，∴(4,)MP x y =-u u u r ，(3,0)MN =-u u u u r ，(1,)NP x y =-u u u r． ……… 3分由6||MN MP NP =⋅u u u u r u u u r u u u r，得3(4)x --= ……… 4分∴222(816)4(21)4x x x x y -+=-++，故223412x y +=，即22143x y +=， ∴轨迹C 是焦点为(1,0)±、长轴长24a =的椭圆； ……… 7分 评分说明：只求出轨迹方程，没有说明曲线类型或交代不规范的扣1分． （2）椭圆C 上的点Q 到直线l 的距离的最值等于平行于直线l ：2120x y +-=且与椭圆C 相切的直线1l 与直线l 的距离．设直线1l 的方程为20(12)x y m m ++=≠-． ……… 8分由22341220x y x y m ⎧+=⎨++=⎩，消去y 得2242120x mx m ++-= （*）． 依题意得0∆=，即0)12(16422=--m m ，故216m =，解得4m =±．当4m =时，直线1l ：240x y ++=，直线l 与1l 的距离5d ==当4m =-时，直线1l ：240x y +-=，直线l 与1l 的距离d ==由于55<，故曲线C 上的点Q 到直线l 的距离的最小值为5．…12分 当4m =-时，方程（*）化为24840x x -+=，即2(1)0x -=，解得1x =．由1240y +-=，得32y =，故3(1,)2Q ． ……… 13分 ∴曲线C 上的点3(1,)2Q 到直线l 的距离最小． ……… 14分18．（法一）（1）证明：作EF DH ⊥，垂足H ，连结BH ，GH ， ∵平面AEFD ⊥平面EBCF ，交线EF ，DH ⊂平面EBCF ， ∴⊥DH 平面EBCF ，又⊂EG 平面EBCF ，故DH EG ⊥， ∵12EH AD BC BG ===，//EF BC ，90ABC ∠=o ． ∴四边形BGHE 为正方形，故BH EG ⊥．又BH 、DH ⊂平面DBH ，且BH DH H =I ，故⊥EG 平面DBH ． 又⊂BD 平面DBH ，故BD EG ⊥．（2）解：∵AE EF ⊥，平面AEFD ⊥平面EBCF ，交线EF ，AE ⊂平面AEFD ．∴AE ⊥面EBCF ．又由（1）⊥DH 平面EBCF ，故//AE DH ，∴四边形AEHD 是矩形，DH AE =，故以F 、B 、C 、D 为顶点的三棱 锥D BCF - 的高DH AE x ==，又114(4)8222BCF S BC BE x x ∆==⨯⨯-=-⋅． ∴三棱锥D BCF -的体积()f x =13BFC S DH ∆⋅13BFC S AE ∆=⋅2128(82)333x x x x =-=-+2288(2)333x =--+≤．∴当2x =时，()f x 有最大值为83．（3）解：由（2）知当()f x 取得最大值时2AE =，故2BE =，由（2）知//DH AE ，故BDH ∠是异面直线AE 与BD 所成的角． 在Rt BEH ∆中222422BH BE EH AD =+=+=，由⊥DH 平面EBCF ，BH ⊂平面EBCF ，故DH BH ⊥ 在Rt BDH ∆中222823BD BH DH AE =+=+=，∴3cos 323DH BDH BD ∠===． ∴异面直线AE 与BD 所成的角的余弦值为33． 法二：（1）证明：∵平面AEFD ⊥平面EBCF ，交线EF ，AE ⊂平面AEFD ，EF AE ⊥，故AE ⊥平面EBCF ，又EF 、BE ⊂平面EBCF ，∴AE ⊥EF ，AE ⊥BE ，又BE ⊥EF ，取EB 、EF 、EA 分别为x 轴、y轴、z 轴，建立空间坐标系E xyz -，如图所示． 当2x =时，2AE =，2BE =，又2AD =，122BG BC ==． ∴(0,0,0)E ，(0,0,2)A ，(2,0,0)B ，(2,2,0)G ，(0,2,2)D ．∴(2,2,2)BD =-u u u r ，(2,2,0)EG =u u u r，∴440BD EG ⋅=-+=u u u r u u u r．∴BD EG ⊥u u u r u u u r，即BD EG ⊥；（2）解：同法一；（3）解：异面直线AE 与BD 所成的角θ等于,AE BD <>u u u r u u u r或其补角．又(0,0,2)AE =-u u u r ， 故3cos ,3|||2444|AE BD AE BD AE BD <>===-++⋅⋅u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r ∴3cos 3θ=，故异面直线AE 与BD 所成的角的余弦值为33． 19．（1）证明：由2(1)n n S n a n n =--，得21()(1)(2)n n n S n S S n n n -=---≥．∴221(1)(1)n n n S n S n n ---=-，故111(2)1n n n nS S n n n -+-=≥-．…２分 ∴数列由1{}n n S n+是首项11221S a ==，公差1d =的等差数列； …… 4分 （2）解：由（1）得112(1)11n n S S n d n n n+=+-=+-=．……… 6分∴21n n S n =+； ………８分（3）由（２），得3n n nb S =１＝321n n n +g １＝111(1)1n n n n =-++．…… 10分∴数列{}n b 的前n 项和1211111111122311n n n T b b b b n n n n -=++++=-+-++-+--+L L …１２分 1111n n n =-=++． ……… 14分 20．解：（1）由二次函数()f x 满足(0)(1)0f f ==．设()(1)(0)f x ax x a =-≠，则221()()24af x ax ax a x =-=--． ……………… ２分 又()f x 的最小值是14-，故144a -=-．解得1a =．∴2()f x x x =-； ………………４分（2）依题意，由22x x t t -=-，得x t =，或1x t =-．（1t -p ｔ）……６分由定积分的几何意义知3232222002()[()()]()|3232t tx x t t S t x x t t dx t x tx =---=--+=-+⎰…… ８分（3）∵()f x 的最小值为14-，故14m -，14n ≥-． …… １０分∴12m n +-≥-，故12m n ++． ……… 12分∵1()02m n +，102m n ++≥≥， ……… 13分∴11()()22m n m n +++≥=，∴211()()24m n m n +++≥． ……… 14分。
2020届山东省新高考高三优质数学试卷分项解析-专题03-函数及其应用(解析版)
专题3 函数及其应用1.关于函数图象的考查： （1）函数图象的辨识与变换；（2）函数图象的应用问题，运用函数图象理解和研究函数的性质，数形结合思想分析与解决问题的能力； 2.关于函数性质的考查：以考查能力为主，往往以常见函数（二次函数、指数函数、对数函数）为基本考察对象，以绝对值或分段函数的呈现方式，与不等式相结合，考查函数的基本性质，如奇偶性、单调性与最值、函数与方程（零点）、不等式的解法等，考查数学式子变形的能力、运算求解能力、等价转化思想和数形结合思想.其中函数与方程考查频率较高.涉及函数性质的考查；3.常见题型，除将函数与导数相结合考查外，对函数独立考查的题目，不少于两道，近几年趋向于稳定在选择题、填空题，易、中、难的题目均有可能出现.，预测2020年将保持对数形结合思想的考查，主要体现在对函数图象、函数性质及其应用的考查，客观题应特别关注分段函数相关问题，以及与数列、平面解析几何、平面向量、立体几何的结合问题.主观题依然注意与导数的结合.一、单选题1．（2019·山东师范大学附中高三月考）函数()312xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的零点所在区间为（ ）A ．()1,0-B ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()1,2【答案】C 【解析】311(1)(1)()302f --=--=-<，301(0)0(102f =-=-<，@13211112()()()02228f =-=-<，31111(1)1()10222f =-=-=>，321115(2)2()80222f =-=-=>，由()1102f f ⎛⎫⋅< ⎪⎝⎭. 故选：C2．（2020届山东省泰安市高三上期末）函数()3ln xf x x=的部分图象是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】A 【解析】:()()()33ln ln ,x xf x f x f x x x=-==--， ()f x 为奇函数，排除B 当1x >时，()3ln 0xf x x=>恒成立，排除CD 故答案选A3．（2020·河南高三月考（理））已知(2)f x +是偶函数，()f x 在(]2-∞，上单调递减，(0)0f =，则(23)0f x ->的解集是（ ）A ．2()(2)3-∞+∞，，B ．2(2)3， C ．22()33-，D ．22()()33-∞-+∞，， 【答案】D 【解析】》因为(2)f x +是偶函数，所以()f x 关于直线2x =对称； 因此，由(0)0f =得(4)0f =；又()f x 在(]2-∞，上单调递减，则()f x 在[)2,+∞上单调递增；所以，当232x -≥即0x ≤时，由(23)0f x ->得(23)(4)f x f ->，所以234x ->， 解得23x <-； 当232x -<即0x >时，由(23)0f x ->得(23)(0)f x f ->，所以230x -<， 解得23x >； 因此，(23)0f x ->的解集是22()()33-∞-+∞，，. 》4．（2020·全国高三专题练习（文））函数()()22log ,1,1,1,x x f x f x x ≥⎧=⎨+<⎩，若方程()2f x x m =-+有且只有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是 （ ） A ．(),4-∞ B ．(],4-∞C ．()2,4-D ．(]2,4-【答案】A 【解析】令()2g x x m =-+,画出()f x 与()g x 的图象,平移直线,当直线经过()1,2时只有一个交点,此时4m =,向右平移,不再符合条件,故4m < 故选：A$5．（2020届山东省烟台市高三上期末）设0.5log 3a =，30.5b =，0.513c -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b a c <<D ．b c a <<【答案】A 【解析】由题,因为0.5log y x =单调递减,则0.50.5log 3log 10a =<=；因为0.5xy =单调递减,则3000.50.51b <=<=；因为3xy =单调递增,则0.50.5013313c -⎛⎫==>= ⎪⎝⎭,所以01a b c <<<<,—故选：A6．（2020届山东省潍坊市高三上期中）函数ln ()xf x x x=-的大致图象为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】函数的定义域为(,0)(0,)-∞+∞，||||()()()ln x ln x f x x x f x x x--=--=--=--，则函数()f x 是奇函数，图象关于原点对称，排除B ，D ，"当0x >且0x →，()f x →+∞，排除C . 故选：A.7．（2020届山东省潍坊市高三上期中）已知3log 2a =，143b =，2ln 3c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a b c >> B ．b a c >> C ．c b a >>D ．c a b >>【答案】B 【解析】因为3log 2(0,1)a =∈，1431b =>，203c ln =<，则a ，b ，c 的大小关系：b a c >>．|故选：B.8．（2020届山东省泰安市高三上期末）若()33log 21log a b ab +=+2+a b 的最小值为（ ）A ．6B ．83C ．3D ．163【答案】C 【解析】∵()3log 21a b +=+∴()33log 21log a b ab +=+()3log 3ab =， ∴23a b ab +=，且0a >，0b >，《∴123a b+=， ∴()112223a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭122143b a a b ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭5233b a a b ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭5233≥+⋅3=， 当且仅当b aa b =且123a b+=即1a b ==时，等号成立； 故选：C ．9．（2020届山东省日照市高三上期末联考）三个数0.87，70.8，0.8log 7的大小顺序是（ ）A ．70.80.8log 70.87<< B ．0.870.8log 770.8<<C ．70.80.80.87log 7<<D ．0.870.870.8log 7<<,【答案】A 【解析】0.871>，700.81<<，0.8log 70<，故70.80.8log 70.87<<.故选A.10．（2020届山东省济宁市高三上期末）若0.1212,ln 2,log 5a b c ===,则( ) A ．b c a >> B ．b a c >> C ．c a b >> D ．a b c >>【答案】D 【解析】,0.10221a =>=；0ln1ln 2ln 1b e =<=<=；221log log 105c =<=，即a b c >> 故选：D11．（2020·山东省淄博实验中学高三上期末）“0x <”是“ln(1)0x +<”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】由题意得，ln(1)001110x x x +<⇔<+<⇔-<<，故是必要不充分条件，故选B ．）12．（2020届山东省滨州市三校高三上学期联考）若a ，b ，c ，满足2log 3a =，25b =，3log 2c =，则（ ）A ．b c a <<B ．c a b <<C ．a b c <<D ．c b a <<【答案】B 【解析】2221log log 3log 242=<<=，故12a <<；又22542b =>=，故2b >； 33log 2log 31c =<=，c a b ∴<<，）故选：B.13．（2020届山东省九校高三上学期联考）若函数()y f x =的大致图像如图所示，则()f x 的解析式可以为（ ）A ．()22x xxf x -=+B ．()22x xxf x -=-C ．()22x xf x x-+=D ．()22x xf x x--=【答案】C 【解析】对四个选项解析式分析发现B ，D 两个均为偶函数，图象关于y 轴对称，与题不符，故排除；(极限思想分析，0,222,022xxx x xx +--→+→→+，A 错误；220,222,x xx xx x-+-+→+→→+∞，C 符合题意.故选：C14．（2020届山东省枣庄、滕州市高三上期末）函数()y f x =是R 上的奇函数，当0x <时，()2xf x =，则当0x >时，()f x =（ ） A ．2x - B ．2x - C ．2x -- D ．2x【答案】C 【解析】`0x <时，()2xf x =.当0x >时，0x -<，()2xf x --=，由于函数()y f x =是奇函数，()()2xf x f x -∴=--=-，因此，当0x >时，()2xf x -=-，故选C.15．（2020届山东省德州市高三上期末）已知1232a b -=⋅，()212log 23c b x x -=++，则实数a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a b c >> B ．b a c >> C ．c b a >> D ．a c b >>【答案】A 【解析】…1232a b -=⋅，1232a b -+∴=>，11a b ∴-+>，则a b >.()2223122x x x ++=++≥，()21122log 23log 21c b x x ∴-=++≤=-，b c ∴>.因此，a b c >>. 故选：A.16．（2020·山东省淄博实验中学高三上期末）已知定义在[]5,12m m --上的奇函数()f x ，满足0x >时，()21x f x =-，则()f m 的值为（ ）A ．-15B ．-7C ．3D ．15【答案】A 【解析】？因为奇函数的定义域关于原点中心对称 则5120m m -+-=,解得4m =-因为奇函数()f x 当0x >时,()21xf x =-则()()()4442115f f -=-=--=-故选:A17．（2020届山东省临沂市高三上期末）函数()22xf x =-（0x <）的值域是（ ）A ．1,2B ．(),2-∞C ．()0,2D ．1,【答案】A$【解析】0x <，021x ∴<<， 120x ∴-<-<1222x ∴<-<. 即()()2221,xf x =-∈故选：A18．（2020届山东实验中学高三上期中）若,a b 是任意实数，且a b >，则（ ）)A ．22a b >B ．1b a<C ．()10g a b ->D ．1122a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】D 【解析】a 、b 是任意实数，且a b >，如果0a =，2b =-，显然A 不正确；如果0a =，2b =-，显然B 无意义，不正确； 如果0a =，12b =-，显然C ，102lg <，不正确；因为指数函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在定义域上单调递减，且a b >，1122ab⎛⎫⎛⎫∴< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭满足条件，正确．故选：D ．~19．（2020届山东省滨州市高三上期末）已知x ∈R ，则“121x⎛⎫ ⎪⎭>⎝”是“21x -<<-”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】由121x⎛⎫ ⎪⎭>⎝解得0x <，所以由“21x -<<-”能推出“0x <”，反之，不能推出； 因此“121x⎛⎫ ⎪⎭>⎝”是“21x -<<-”的必要不充分条件. 故选：B.~20．（2020届山东省济宁市高三上期末）已知奇函数()f x 在R 上单调,若正实数,a b 满足()()490f a f b +-=，则11a b+的最小值是( ) A ．1B ．92C ．9D ．18【答案】A 【解析】奇函数()f x 在R 上单调，()()490f a f b +-=，则()()()499f a f b f b =--=- 故49a b =-即49a b +=()()11111141452451999b a a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当4b a a b =即3,32a b ==时等号成立 ~故选：A21．（2020届山东省枣庄、滕州市高三上期末）已知ln ,1()(2),1x x f x f x k x ≥⎧=⎨-+<⎩若函数()1y f x =-恰有一个零点，则实数k 的取值范围是（ ） A ．(1,)+∞ B ．[1,)+∞C ．(,1)-∞D ．(,1]-∞【答案】B 【解析】1x ≥时，()ln 1f x x ==，x e =，所以函数()1y f x =-在1x ≥时有一个零点，从而在1x <时无零点，即()1f x =无解．而当1x <时，21x ->，()(2)f x f x k =-+ln(2)x k =-+，它是减函数，值域为(,)k +∞， 要使()1f x =无解．则1k．|故选：B.22．（2020届山东省潍坊市高三上期末）函数()y f x =与()y g x =的图象如图所示，则()()y f x g x =⋅的部分图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】由图象可知()y f x =的图象关于y 轴对称，是偶函数，()y g x =的图象关于原点对称，是奇函数，并且定义域{}0x x ≠，$()()y f x g x ∴=⋅的定义域是{}0x x ≠，并且是奇函数，排除B ，又0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x >，()0g x <，()()0f x g x ∴⋅<，排除C,D.满足条件的只有A. 故选：A23．（2020届山东省滨州市高三上期末）已知31log 3aa ⎛⎫= ⎪⎝⎭，133log bb =，131log 3cc ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．c b a << B ．a b c << C ．b c a << D ．b a c <<【答案】C 【解析】/在同一直角坐标系内，作出函数13x y⎛⎫= ⎪⎝⎭，3logy x=，3xy=，13logy x=的图像如下：因为31log3aa⎛⎫=⎪⎝⎭，133logb b=，131log3cc⎛⎫=⎪⎝⎭，所以a是13xy⎛⎫= ⎪⎝⎭与3logy x=交点的横坐标；b是3xy=与13logy x=交点的横坐标；c是13xy⎛⎫= ⎪⎝⎭与13logy x=交点的横坐标；由图像可得：b c a<<.故选：C.24．（2020届山东师范大学附中高三月考）函数()312xf x x⎛⎫=- ⎪⎝⎭的零点所在区间为（）A．()1,0-B．10,2⎛⎫⎪⎝⎭C．1,12⎛⎫⎪⎝⎭D．()1,2(【答案】C【解析】311(1)(1)()302f--=--=-<，301(0)0()102f=-=-<，13211112()()()022282f=-=-<，31111(1)1()10222f=-=-=>，321115(2)2()80222f =-=-=>，由()1102f f ⎛⎫⋅< ⎪⎝⎭. 故选：C25．（2020届山东省德州市高三上期末）已知()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，有()()1f x f x +=-，且当[)0,1x ∈时，()()2log 1f x x =+，下列命题正确的是（ ）A ．()()201920200f f +-=B ．函数()f x 在定义域上是周期为2的函数{C ．直线y x =与函数()f x 的图象有2个交点D ．函数()f x 的值域为[]1,1-【答案】A 【解析】函数()y f x =是R 上的奇函数，()00f ∴=，由题意可得()()100f f =-=， 当0x ≥时，()()()21f x f x f x +=-+=，()()()()()()2019202020192020100f f f f f f ∴+-=-=-=，A 选项正确；当0x ≥时，()()1f x f x +=-，则2616log 555f f ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2449log 555f f ⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，4462555f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴-≠-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则函数()y f x =不是R 上周期为2的函数，B 选项错误； 若x 为奇数时，()()10f x f ==，%若x 为偶数，则()()00f x f ==，即当x ∈Z 时，()0f x =，当0x ≥时，()()2f x f x +=，若n N ∈，且当()2,21x n n ∈+时，()20,1x n -∈，()()()20,1f x f x n =-∈，当()1,2x ∈时，则()10,1x -∈，()()()11,0f x f x ∴=--∈-，当()21,22x n n ∈++时，()21,2x n -∈，则()()()21,0f x f x n =-∈-， 所以，函数()y f x =在[)0,+∞上的值域为()1,1-，由奇函数的性质可知，函数()y f x =在(),0-∞上的值域为()1,1-， 由此可知，函数()y f x =在R 上的值域为()1,1-，D 选项错误；|如下图所示：由图象可知，当11x -<<时，函数y x =与函数()y f x =的图象只有一个交点， 当1x ≤-或1x ≥时，()()1,1f x ∈-，此时，函数y x =与函数()y f x =没有交点， 则函数y x =与函数()y f x =有且只有一个交点，C 选项错误. 故选：A.26．（2020届山东实验中学高三上期中）已知函数()()221,0log ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，若方程()f x a =有四个不同的解12341234,,,,x x x x x x x x <<<且，则()3122341x x x x x ⋅++⋅的取值范围是（ ） A ．(]1,1-B ．[]1,1-C ．[)1,1- D ．()1,1-'【答案】A 【解析】先作()f x 图象，由图象可得12343121,1.2x x x x x ⎡⎫+=-=∈⎪⎢⎣⎭，，因此()31232343112x x x x x x x ⋅++=-+⋅为1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭单调递减函数，从而()(] 31223411,1x x xx x⋅++∈-⋅，选A.二、多选题27．（2020届山东省临沂市高三上期末）若104a=，1025b=，则（）…A．2a b+=B．1b a-=C．281g2ab>D．lg6b a->【答案】ACD【解析】由104a=，1025b=，得lg4a=，lg25b=，则lg4lg25lg1002a b∴+=+==，25lg25lg4lg4b a∴-=-=，25lg101lg lg64=>>lg6b a∴->)24lg2lg54lg2lg48lg2ab∴=>=，故正确的有：ACD故选：ACD.28．（2020届山东省日照市高三上期末联考）已知定义在R上的函数()y f x=满足条件()()2f x f x+=-，且函数()1y f x=-为奇函数，则（）A．函数()y f x=是周期函数B．函数()y f x=的图象关于点()1,0-对称C ．函数()y f x =为R 上的偶函数D ．函数()y f x =为R 上的单调函数【答案】ABC 【解析】、因为()()2f x f x +=-，所以()()()42f x f x f x +=-+=，即4T=，故A 正确；因为函数()1y f x =-为奇函数，所以函数()1y f x =-图像关于原点成中心对称，所以B 正确； 又函数()1y f x =-为奇函数，所以()()11f x f x --=--，根据()()2f x f x +=-，令1x -代x 有()()11f x f x +=--，所以()()11f x f x +=--，令1x -代x 有()()f x f x -=，即函数()f x 为R 上的偶函数，C 正确；因为函数()1y f x =-为奇函数，所以()10f -=，又函数()f x 为R 上的偶函数，()10f =，所以函数不单调，D 不正确. 故选：ABC.29．（2020届山东省潍坊市高三上期中）已知函数22,0()(2),0x x x f x f x x ⎧--<=⎨-≥⎩，以下结论正确的是（ ）A ．(3)(2019)3f f -+=-B ．()f x 在区间[]4,5上是增函数》C ．若方程() 1f x k x =+恰有3个实根，则11,24k ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭D ．若函数()y f x b =-在(,4)-∞上有6个零点(1,2,3,4,5,6)i x i =，则()61iii x f x =∑的取值范围是()0,6【答案】BCD 【解析】函数()f x 的图象如图所示：对A ，(3)963f -=-+=-，(2019)(1)(1)1f f f ==-=，所以(3)(2019)2f f -+=-，故A 错误； 对B ，由图象可知()f x 在区间[]4,5上是增函数，故B 正确；对C ，由图象可知11,24k ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，直线() 1f x k x =+与函数图象恰有3个交点，故C 正确； ]对D ，由图象可得，当函数()y f x b =-在(,4)-∞上有6个零点(1,2,3,4,5,6)i x i =，则01b <<，所以当0b →时，()610i i i x f x =→∑；当1b →时，()616i i i x f x =→∑，所以()61i i i x f x =∑的取值范围是()0,6，故D 正确. 故选：BCD.30．（2020届山东省枣庄、滕州市高三上期末）如图所示，一座小岛距离海岸线上最近的P 点的距离是2km ，从P 点沿海岸正东12km 处有一个城镇.假设一个人驾驶的小船的平均速度为3/km h ，步行的速度为5/km h ，时间t （单位：h ）表示他从小岛到城镇的时间，x （单位：km ）表示此人将船停在海岸处距P 点的距离.设24,u x x =++24v x x =+-，则（ ）A ．函数()v f u =为减函数B ．15432t u v --=C ．当 1.5x =时，此人从小岛到城镇花费的时间最少D ．当4x =时，此人从小岛到城镇花费的时间不超过3h?【答案】AC 【解析】A.∵,u x =v x =,22u v u vx +-==， 由题意4uv =，4v u=在(0,)+∞上是减函数，A 正确．B.125x t -=+126510u v u v+-=+-，整理得15436t u v =++，B 错误；C.由A 、B 得1615363644t u u =++≥=，16u u =即4u =时取等号，4x =，解得31.52x ==，C 正确；D.4x =时，85t =+，7305t -===>，3t >，D 错． :故选：AC.31．（2020届山东省枣庄市高三上学期统考）下列函数既是偶函数，又在(),0-∞上单调递减的是（ ） A ．2xy = B ．23y x-=C ．1y x x=- D ．()2ln 1y x =+【答案】AD 【解析】对于A 选项，2xy =为偶函数，且当0x <时，122xx y -==为减函数，符合题意. 对于B 选项，23y x -=为偶函数，根据幂函数单调性可知23y x -=在(),0-∞上递增，不符合题意. 对于C 选项，1y x x=-为奇函数，不符合题意. {对于D 选项，()2ln 1y x =+为偶函数，根据复合函数单调性同增异减可知，()2ln 1y x =+在区间(),0-∞上单调递减，符合题意. 故选：AD.32．（2020届山东省潍坊市高三上期末）把方程1169x x y y+=-表示的曲线作为函数()y f x =的图象，则下列结论正确的有（ ）A ．()y f x =的图象不经过第一象限B ．()f x 在R 上单调递增C ．()y f x =的图象上的点到坐标原点的距离的最小值为3D ．函数()()43g x f x x =+不存在零点 【答案】ACD;【解析】当0,0x y >>，方程是221169x y +=-不表示任何曲线，故A 正确；当0,0x y ≥≤ ，方程是221169x y -=-，即221916y x -= ，当0,0x y ≤≥ ，方程是221169x y -+=- ，即221169x y -=，当0,0x y ≤≤ ，方程是221169x y --=-，即221169x y+= ，如图画出图象由图判断函数在R 上单调递减，故B 不正确；、由图判断()y f x =图象上的点到原点距离的最小值点应在0,0x y ≤≤的图象上，即满足221169x y += ，设图象上的点(),P x y2222279191616x PO x y x x ⎛⎫=+=+-=+ ⎪⎝⎭当0x =时取得最小值3，故C 正确； 当()430f x x += ，即()34f x x =-， 函数()()43g x f x x =+的零点，就是函数()y f x = 和34y x =-的交点， 而34y x =-是曲线221916y x -=，0,0x y ≥≤和221169x y -=0,0x y ≤≥的渐近线，所以没有交点，由图象可知34y x =-和221169x y +=，0,0x y ≤≤没有交点，所以函数()()43g x f x x =+不存在零点，故D 正确.<故选：ACD33．（2020届山东省滨州市高三上期末）在平面直角坐标系xOy 中，如图放置的边长为2的正方形ABCD 沿x 轴滚动（无滑动滚动），点D 恰好经过坐标原点，设顶点(),B x y 的轨迹方程是()y f x =，则对函数()y f x =的判断正确的是( )A ．函数()y f x =是奇函数B ．对任意的x ∈R ，都有()()44f x f x +=-C ．函数()y f x =的值域为0,22⎡⎣D ．函数()y f x =在区间[]6,8上单调递增【答案】BCD 【解析】由题意，当42x -≤<-时，顶点(),B x y 的轨迹是以点(2,0)A -为圆心，以2为半径的14圆； ,当22x -≤<时，顶点(),B x y 的轨迹是以点(0,0)D 为圆心，以214圆；当24x ≤<时，顶点(),B x y 的轨迹是以点(2,0)C 为圆心，以2为半径的14圆； 当46x ≤<，顶点(),B x y 的轨迹是以点(4,0)A 为圆心，以2为半径的14圆，与42x -≤<-的形状相同，因此函数()y f x =在[]4,4-恰好为一个周期的图像； 所以函数()y f x =的周期是8； 其图像如下：A 选项，由图像及题意可得，该函数为偶函数，故A 错；B 选项，因为函数的周期为8，所以(8)()f x f x +=，因此(4)(4)f x f x +=-；故B 正确；·C 选项，由图像可得，该函数的值域为0,22⎡⎣；故C 正确；D 选项，因为该函数是以8为周期的函数，因此函数()y f x =在区间[]6,8的图像与在区间[]2,0-图像形状相同，因此，单调递增；故D 正确； 故选：BCD.34．（2020届山东师范大学附中高三月考）下列函数中，既是偶函数，又在(0,)+∞上单调递增的是（ ） A ．3y x = B ．2yxC ．xy e =D ．2lg y x =【答案】CD 【解析】本题主要考查函数的单调性和函数的奇偶性.|A 项，对于函数3y x =，因为()33()()f x x x f x -=-=-≠，所以函数3y x =不是偶函数.故A 项不符合题意.B 项，对于函数2yx ，因为当1x =时，1y =，当2x =，14y =，所以函数2y x 在区间(0,)+∞上不是单调递增的.故B 项不符合题意.C 项，对于函数x y e =，因为定义域为R ，()()x x g x g x e e --===，所以函数xy e =为偶函数，因为函数xy e =，当0x >时，xx y e e ==，而1e >，函数x y e =在R 上单调递增，所以函数xy e =在区间(0,)+∞上为增函数.故C 项符合题意.D 项，对于函数2lg y x =，因为函数()22lg )(l ()g h x x x h x -=-==，所以函数2lg y x =是偶函数.而2yx 在(0,)+∞上单调递增，lg y x =在(0,)+∞上单调递增，所以函数2lg y x =在(0,)+∞上单调递增.故D 项符合题意. 故选：CD.35．（2020届山东实验中学高三上期中）设定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x x -+=，且当0x ≤时，()f x x '<.己知存在()()()220111122x x f x x f x x ⎧⎫∈-≥---⎨⎬⎩⎭，且0x 为函数()x g x e a =-(,a R e ∈为自然对数的底数)的一个零点，则实数a 的取值可能是（ ）A ．12B ．2C ．2e D【答案】BCD—【解析】令函数21()()2T x f x x =-，因为2()()f x f x x -+=，22211()()()()()()()022T x T x f x x f x x f x f x x ∴+-=-+---=+--=，()T x ∴为奇函数，当0x 时，()()0T x f x x '='-<， ()T x ∴在(],0-∞上单调递减， ()T x ∴在R 上单调递减．存在0{|()(1)}x x T x T x ∈-，/∴得00()(1)T x T x -，001x x -，即012x ，()x g x e a =-；1()2x， 0x 为函数()y g x =的一个零点；当12x时，()0x g x e '=-， ∴函数()g x 在12x 时单调递减，由选项知0a >，取12x =<，又0g ee ⎛-=> ⎝，∴要使()g x 在12x时有一个零点，.只需使102g a ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 解得e a， a ∴的取值范围为⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭， 故选：BCD ． 三、填空题36．（2020届山东省枣庄市高三上学期统考）若()3,0{1,0x x f x x x≤=>,则()()2f f -=__________． 【答案】9 【解析】《因为21(2)309f --==>，所以1((2))()99f f f -==，应填答案9. 37．（2020届山东省潍坊市高三上期中）已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在[)0,+∞上是减函数，10,3f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭则不等式18log 0f x ⎛⎫> ⎪⎝⎭的解集为__________．【答案】1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】()f x 是定义在R 上的偶函数，且在[0,)+∞上是减函数，1()03f -=，11()()033f f ∴=-=，则不等式18(log )0f x >等价为不等式181(|log |)()3f x f >，即181|log |3x <⇒1811log 33x -<<⇒122x <<，{即不等式的解集为1(,2)2， 故答案为：1(,2)2.38．（2020届山东省九校高三上学期联考）已知[]x 表示不超过x 的最大整数，如[]33=，[]1.51=，[]1.72-=-.令()2x f x x =⋅，[]()()g x f x x =-，则下列说法正确的是__________.①()g x 是偶函数 ②()g x 是周期函数③方程()0g x -=有4个根④()g x 的值域为[]0,2 【答案】②③|【解析】1111()([])()33333g f f =-==，1112()([])()33333g f f -=---== 显然11()()33g g -≠，所以()g x 不是偶函数，所以①错误；[][](1)(11)()()g x f x x f x x g x +=+-+=-=，所以()g x 是周期为1的周期函数，所以②正确； 作出函数y x =的图象和()g x 的图象：根据已推导()g x 是周期为1的周期函数，只需作出()g x 在[0,1)x ∈的图象即可，当[0,1)x ∈时[]()()()2x g x f x x f x x =-==⋅，根据周期性即可得到其余区间函数图象，如图所示：》可得()g x 值域为[0,2)，函数y x =()g x 的图象一共4个交点，即方程()0g x x =有4个根， 所以③正确，④错误； 故答案为：②③39．（2020届山东省滨州市三校高三上学期联考）已知定义在R 上的函数满足(3)(3)f x f x -=-+，且()f x 图像关于1x =对称，当(1,2]x ∈时，2()log (21)f x x =+，则8252f ⎛⎫= ⎪⎝⎭________. 【答案】-2 【解析】因为()f x 图像关于1x =对称，则()(2)f x f x =-，()(2)(31)(31)(4)(8)f x f x f x f x f x f x =-=--=-++=-+=+，）故()f x 是以8为周期的周期函数，82511113851443131222222f f f f ff⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=⨯++=+=++=---=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭23log (21)22=-⨯+=-故答案为：2-.40．（2020届山东师范大学附中高三月考）已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当12x x ≠时，有1212[()()]()0f x f x x x --<恒成立，若(31)(2)0f x f ++>，则x 的取值范围是________．【答案】(,1)-∞- 【解析】根据已知条件：当12x x ≠时，有1212[()()]()0f x f x x x --<恒成立，得函数()f x 是定义在R 上的减函数，…又因为函数()f x 是定义在R 上的奇函数，所以(2)(2)f f -=-，故(31)(2)0f x f ++>等价于(31)(2)(2)f x f f +>-=-，所以312x +<-，即1x <-. 故答案为：(),1-∞-.41．（2020届山东省济宁市高三上期末）2019年7月，中国良渚古城遗址获准列入世界遗产名录，标志着中华五千年文明史得到国际社会认可．良渚古城遗址是人类早期城市文明的范例，实证了中华五千年文明史．考古科学家在测定遗址年龄的过程中利用了“放射性物质因衰变而减少”这一规律．已知样本中碳14的质量N 随时间t （单位：年）的衰变规律满足573002tN N -=⋅（0N 表示碳14原有的质量），则经过5730年后，碳14的质量变为原来的________；经过测定，良渚古城遗址文物样本中碳14的质量是原来的12至35，据此推测良渚古城存在的时期距今约在________年到5730年之间．（参考数据：22log 3 1.6,log 5 2.3≈≈） 【答案】124011 【解析】当5730t =时，100122N N N -=⋅=∴经过5730年后，碳14的质量变为原来的12令035N N =，则5730325t-= 2223log log 3log 50.757305t ∴-==-≈- 。
2021-2022学年山东省烟台市高三(上)期末数学试卷(附详解)
2021-2022学年山东省烟台市高三（上）期末数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1.已知集合A={−1,0,1,2}，B={x|(x+1)(x−2)<0}，则A∩B=()A. {0,1}B. {−1,0}C. {−1,0,1}D. {0,1,2}2.命题“∀x∈R，2x>0”的否定是()A. ∃x∈R，2x>0B. ∃x∈R，2x≤0C. ∀x∈R，2x<0D. ∀x∈R，2x≤03.函数y=√4−x2ln(x+1)的定义域为()A. [−2,2]B. (−1,2]C. (−1,0)∪(0,2]D. (−1,1)∪(1,2]4.在生活中，人们常用声强级y(单位：dB)米表示声强度I(单位．W/m2)的相对大小，具体关系式为y=10lg(I I)，其中基准值I0=10−12W/m2.若声强度为I1时的声强级为60dB，那么当声强度变为4I1时的声强级约为()(参考数据：lg2≈0.3)A. 63dBB. 66dBC. 72dBD. 76dB5.若双曲线mx2−y2=1(m∈R)的一条浙近线方程为3x−4y=0，则其离心率为()A. 43B. 53C. 54D. 746.已知|a⃗|=1，|b⃗ |=2，a⃗⋅b⃗ =−12，cos<a⃗，a⃗−b⃗ >=()A. 14B. 34C. √612D. √647.若直线x−y+2=0将圆(x−a)2+(y−3)2=9分成的两段圆弧长度之比为1：3，则实数a的值为()A. −4B. −4或2C. 2D. −2或48.若定义在R上的奇函数f(x)在(−∞,0)上单调递减，且f(2)=0，则满足(2x−1)f(x+1)≥0的x的取值范围是()A. (−∞,−1]∪[12,3] B. (−∞,−3]∪[1,+∞)C. [−3,−1]∪[12,1] D. [−3,12]∪[1,+∞)二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9.已知a>0，b>0，则下列命题成立的有()A. 若ab=1，则a2+b2≥2B. 若ab=1，则1a +1b≥2C. 若a+b=1，则a2+b2≤12D. 若a+b=1，则1a+1b≥410.函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,−π2<φ<π2)的部分图象如图所示，则()A. ω的值为2B. φ的值为π6C. (−π4,0)是函数f(x)的一个增区间D. 当x=π3+kπ(k∈Z)时，f(x)取最大值11.已知抛物线C：x2=my的焦点为F(0,1)，点A，B为C上两个相异的动点，则()A. 抛物线C的准线方程为y=−1B. 设点P(2,3)，则|AP|+|AF|的最小值为4C. 若A，B，F三点共线，则|AB|的最小值为2D. 若∠AFB=60°，AB的中点M在C的准线上的投影为N，则|MN|≤|AB|12.如图所示，在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，P，Q分别为棱AB，BC的中点，则以下四个结论正确的是()A. 棱C1D1上存在一点M，使得AM//平面B1PQB. 直线A1C1到平面B1PQ的距离为23C. 过A1C1且与面B1PQ平行的平面截正方体所得截面面积为98D. 过PQ的平面截正方体的外接球所得截面面积的最小值为3π8三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.在等差数列{a n}中，a2+a4+a5+a9=8，则a5=______．14.已知α∈(0,π2),cos(α+π4)=√1010，则cosα的值为______．15.若x=−1是函数f(x)=(x2+ax+1)e−x的极值点，则f(x)的极大值为______．16.如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，将△ABC沿AC折叠，在折叠过程中三棱锥B′−ACD体积的最大值为______，此时异面直线AB′与CD所成角的余弦值为______．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.在①2acosB=c；②向量m⃗⃗⃗ =(a,b−c)，n⃗=(a−b,c+b)，m⃗⃗⃗ ⊥n⃗；③tanA+tanB=−√3cosCcosAcosB这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并进行求解．问题：在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，已知a=√3，c=3，D为AC边的中点，若______，求BD的长度．18.如图，在正三棱锥P−ABC中，有一半径为1的半球，其底面圆O与正三棱锥的底面贴合，正三棱锥的三个侧面都和半球相切．设点D为BC的中点，∠ADP=α．(1)用α分别表示线段BC和PD长度；(2)当α∈(0,π2)时，求三棱锥的侧面积S的最小值．19.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AB//CD，∠ABC=90°，AB=2BC=2CD=2，△ADP为等边三角形，且面ADP⊥底面ABCD．(1)若M为BC中点，求证：PM⊥BC；(2)求面PAD与面PBC所成二面角的余弦值．20.已知椭圆Γ：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的长轴长为4，点P(2√63,1)在Γ上．(1)求椭圆Γ的方程；(2)设椭圆Γ的左、右顶点分别为A，B，过定点(1,0)的直线与椭圆Γ交于C，D两点(异于点A，B)，试探究直线AC，BD交点的横坐标是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．21.已知数列{a n}满足a1=4，a n+1={12a n+n,n为奇数a n−2n,n为偶数，n∈N∗．(1)记b n=a2n−2，证明：数列{b n}为等比数列，并求{b n}的通项公式；(2)求数列{a n}的前2n项和S2n．22.已知函数f(x)=lnx−ax+a(a∈R)．(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)在(1,+∞)上有零点x0．①求a的取值范围；②求证：2−aa<x0<e1a．答案和解析1.【答案】A【解析】解：由B中不等式解得：−1<x<2，即B={x|−1<x<2}，∵A={−1,0,1,2}，∴A∩B={0,1}，故选：A．求出集合B中不等式的解集确定出B，找出A与B的交集即可．此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2.【答案】B【解析】解：因为命题是全称命题，根据全称命题的否定是特称命题，所以命题的否定∃x∈R，2x≤0．故选：B．利用全称命题的否定是特称命题，去判断．本题主要考查全称命题的否定，要求掌握全称命题的否定是特称命题．3.【答案】C【解析】解：要使原函数有意义，则{4−x2≥0x+1>0x+1≠1，解得−1<x≤2且x≠0．∴函数y=√4−x2ln(x+1)的定义域为(−1,0)∪(0,2]．故选：C．由根式内部的代数式大于等于0，对数式的真数大于0，分式的分母不为0联立不等式组求解．本题考查函数的定义域及其求法，是基础题．4.【答案】B【解析】解：由题意可得：y =10lg(I10−12)=10(lgI +12)， 当I =I 1时，y =60，则60=10(lgI 1+12)，解得I 1=10−6，所以当I =4I 1时，y =10[lg(4×10−6)+12)]=10(2lg2−6+12)=10×(2×0.3+6)=66，当声强度变为4I 1时的声强级约为66dB ， 故选：B ．由题意当I =I 1时，y =60，然后即可求出I 1的值，进而可以求解．本题考查了根据实际问题建立函数模型的应用，考查了学生的运算求解能力，属于基础题．5.【答案】C【解析】解：∵双曲线mx 2−y 2=1的一条浙近线方程为3x −4y =0， ∴√m =34，m =916，a =43，b =1，c =53，∴双曲线的离心率为e =ca =54． 故选：C ．双曲线mx 2−y 2=1(m >0)的一条渐近线方程为3x −4y =0，可得m ，然后求解离心率．本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，离心率的求法，是基础题．6.【答案】D【解析】解：因为|a ⃗ |=1，|b ⃗ |=2，a ⃗ ⋅b ⃗ =−12，所以|a ⃗ −b ⃗ |=√a ⃗ 2−2a ⃗ ⋅b ⃗ +b ⃗ 2=√1+1+4=√6 则cos <a ⃗ ，a ⃗ −b ⃗ >=a ⃗ ⋅(a ⃗ −b⃗ )|a ⃗ ||a ⃗ −b⃗ |=a ⃗ 2−a ⃗ ⋅b⃗ |a ⃗ ||a ⃗ −b⃗ |=1+121×√6=√64， 故选：D ．根据条件求出|a ⃗ −b ⃗ |，再利用夹角公式求解cos <a ⃗ ，a ⃗ −b ⃗ >即可． 本题考查平面向量数量积的运算性质及夹角公式，属于基础题．7.【答案】D【解析】解：圆的标准方程为(x −a)2+(y −3)2=9， 则圆心为(a,3)，半径r =3， 设直线和圆相交与AB ，由较短弧长和较长弧长之比为1：3， 则∠AOB =π2，故|AB|=√r 2+r 2=3√2， 则圆心到直线x −y +2=0的距离d =3√22，即d =√2=3√22，解得a =−2或4．故选：D ．设直线和圆相交与AB ，由较短弧长和较长弧长之比为1：3，可求得|AB|，再结合垂径定理，以及点到直线的距离公式，即可求解．本题主要有考查直线与圆的位置关系，掌握点到直线的距离公式是解本题的关键，属于基础题．8.【答案】C【解析】解：因为定义域为R 的奇函数f(x)在(−∞,0)内单调递减，且f(2)=0， 所以f(x)在(0,+∞)上也是单调递减，且f(−2)=0，f(0)=0，所以当x ∈(−∞,−2)∪(0,2)时，f(x)>0，当x ∈(−2,0)∪(2,+∞)时，f(x)<0， 所以不等式(2x −1)f(x +1)≥0等价为{2x −1<0−2≤x +1≤0或x +1≥2或{2x −1>00≤x +1≤2或x +1≤−2或2x −1=0， 解得−3≤x ≤−1或12≤x ≤1，所以满足(2x −1)f(x +1)≥0的x 的取值范围是[−3,−1]∪[12,1]． 故选：C ．根据函数奇偶性的性质，然后判断函数的单调性，利用分类讨论思想进行求解即可． 本题考查不等式的求解，结合函数奇偶性和单调性的性质列出不等式是解决本题的关键，属于中档题．9.【答案】ABD【解析】解：由于a>0，b>0，且ab=1，所以a2+b2≥2ab=1，故A正确；对于B：1a +1b=a+b≥2√ab=2，故B正确；对于C：a2+b2≥(a+b)22=12，故C错误；对于D：由于a+b=1，1a +1b=(a+b)(1a+1b)=2+ba+ab≥4，故D正确．故选：ABD．直接利用不等式的性质和基本不等式的应用判断ABCD的结论．本题考查的知识要点：基本不等式的应用，不等式的性质，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．10.【答案】AD【解析】解：根据函数f(x)=2sin(ωx+φ)的部分图象知，T2=13π12−7π12=π2，所以T=π，ω=2πT=2，选项A正确；根据五点法画图知，2×7π12+φ=π，解得φ=−π6，选项B错误；因为f(x)=2sin(2x−π6)，且x∈(−π4,0)，2x−π6∈(−2π3,−π6)，所以(−π4,0)不是f(x)的增区间，选项C错误；x=π3+kπ，k∈Z时，2x−π6=π2+2kπ，k∈Z，函数f(x)取得最大值2，选项D正确．故选：AD．根据函数f(x)=2sin(ωx+φ)的部分图象求出函数解析式，再判断选项中的命题是否正确．本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了推理与判断能力，是基础题．11.【答案】ABD【解析】解：A中，由焦点坐标为(0,1)，可得m4=1，焦点m=4，所以抛物线的方程为x2=4y，故准线方程为：y=−1，所以A正确；B中，过A作AN垂直于准线于N点，则由抛物线的性质可得|PA|+|PF|=|PA|+|AN|⊥≥|PN|，当且仅当P ，A ，N 三点共线时取等号，所以|AP|+|PF|的最小值为3+1=4，所以B 正确；C 中，A ，F ，B 三点共线时，设直线的方程为y =kx +1，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)， 联立{x 2=4y y =kx +1，整理可得：x 2−4kx −4=0，则x 1+x 2=4k ，y 1+y 2=k(x1+x 2)+2=4k 2+2，所以|AB|=y 1+1+y 2+2=4k 2+4≥4，当k =0时取等号，所以C 不正确； D 中，过M ，A ，B 作准线的垂线，垂足分别为A′，N ，B′，则|MN|=|AA′|+|BB′|2=|AF|+|BF|2，在△ABF 中，由余弦定理可得|AB|=√|AF|2+|BF|2−2|AF|⋅|BF|cos∠AFB =√|AF|2+|BF|2−2|AF|⋅|BF|cos60°=√(|AF|+|BF|)2−3|AF|⋅|BF|≥√(|AF|+|BF|)2−3(|AF|+|BF|2)2=|AF|+|BF|2，当且仅当|AF|+|BF|时取等号，所以|AB|≥|MN|，故D 正确， 故选：ABD ．由抛物线的焦点坐标可得参数m 的值，进而求出抛物线的方程，求出准线方程，判断出A 正确；过A 作准线的垂线，可得PA 垂直于准线时，可得|AP|+|AF|最小，且最小值为P 到准线的距离，求出最小值，判断出B 正确；当A ，B ，F 三点共线时设直线AB 的方程，与抛物线的方程联立求出两根之和，由抛物线的性质可得|AB|的最小值，判断出C 不正确；过A ，B 作准线的垂线，可得MN 为提醒的中位线，可得|MN|=|AA′|+|BB′|2=|AF|+|BF|2，在△ABF 中，由余弦定理及均值不等式可得|AB|≥|MN|的，判断D 正确．本题考查抛物线的方程的求法及抛物线的性质的应用，余弦定理，均值不等式的应用，属于中档题．12.【答案】BCD【解析】解：在棱长为1的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1,0,0)，P(1,12,0)，Q(12,1,0)，B 1(1,1,1)，A 1(1,0,1)，PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−12,12,0)，PB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,12,1)，设平面B 1PQ 的一个法向量n⃗ =(x,y,z)， 则{n ⃗ ⋅PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =−12x +12y =0n⃗ ⋅PB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12y +z =0，取z =−1，得n ⃗ =(2,2,−1)， 设棱C 1D 1上点M(0,m,1)，0≤m ≤1，则AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,m,1)， 若AM//平面B 1PQ ，则有n ⃗ ⋅AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−2+2m −1=0，解得m =32，与0≤m ≤1矛盾，即在棱C 1D 1上不存在点M ，使得AM//平面B 1PQ ，故A 错误；连接AC ，矩形ACC 1A 1是正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的对角面，有AC//A 1C 1， ∵P ，Q 分别为棱AB ，BC 的中点，∴PQ//AC//A 1C 1， ∵A 1C 1⊄平面B 1PQ ，PQ ⊂平面B 1PQ ，∴A 1C 1//平面B 1PQ ， 直线A 1C 1到平面B 1PQ 的距离等于点A 1到平面B 1PQ 的距离ℎ， ∵B 1A 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−1,0)，∴ℎ=|B 1A 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||n ⃗⃗ |=2√9=23，故B 正确；取AD ，CD 的中点E ，F ，连接A 1E ，EF ，C 1F ，EQ ，则EF//AC//A 1C 1，即EF ，A 1C 1确定一个平面，如图，依题意，EQ//AB//A 1B 1，EQ =AB =A 1B 1，∴四边形A 1B 1QE 是平行四边形，A 1E//B 1Q ，A 1E ⊄平面B 1PQ ，B 1Q ⊂平面B 1PQ ，∴A 1E//平面B 1PQ ，∵EF//PQ ，EF ⊄平面B 1PQ ，PQ ⊂平面B 1PQ ，∴EF//平面B 1PQ ， ∵A 1E ∩EF =E ，A 1E ，EF ⊂平面A 1C 1FE ，∴平面A 1C 1FE//平面B 1PQ ， ∴梯形A 1C 1FE 是过A 1C 1与平面B 1PQ 平行的正方体的截面， ∵A 1E =C 1F =√52，EF =√22，A 1C 1=√2，∴此等腰梯形的高ℎ′=√A 1E 2−(A 1C 1−EF 2)2=√54−216=3√24， ∴过A 1C 1与平面B 1PQ 平行的正方体的截面面积为：A 1C 1+EF2⋅ℎ′=(3√24)2=98，故C 正确；过PQ 的平面截正方体的外接球所得截面小圆最小时，该小圆直径是直线PQ 被正方体的外接球所截弦，由对称性知线段PQ 中点N 是这个小圆的圆心，令正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的外接球的球心为O ，连接ON ，OP ，则ON ⊥PQ ，∵OP =√22，PN =√24，ON =√OP 2−PN 2=√64，球半径R =√32，∴这个小圆半径r =√R 2−ON 2=√34−616=√64，此圆面积为πr 2=3π8，故D 正确．故选：BCD ．建立空间直角坐标系，求出平面B 1PQ 的法向量，借助空间向量分析计算可判断A ，B ；作出A 1C 与平面B 1PQ 平行的正方体截面，计算其面积判断C ；求出直线PQ 补正方体的外接球所截弦长判断D ．本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．13.【答案】2【解析】解：在等差数列{a n }中，由a 2+a 4+a 5+a 9=8，得a 1+d +a 1+3d +a 1+4d +a 1+8d =4a 1+16d =4(a 1+4d)=8， ∴4a 5=8，即a 5=2． 故答案为：2．由已知直接利用等差数列的通项公式求解．本题考查等差数列的通项公式，考查运算求解能力，是基础题．14.【答案】2√55【解析】解：∵α∈(0,π2),cos(α+π4)=√1010，∴sin(α+π4)=√1−cos2(α+π4)=3√1010，∴cosα=cos[(α+π4)−π4]=cos(α+π4)cosπ4+sin(α+π4)sinπ4=√22×2√105=2√55．故答案为：2√55．利用同角三角函数间的关系式及两角和与差的余弦可求得cosα的值．本题考查两角和与差的三角函数及同角三角函数间关系式的应用，考查转化与化归思想及运算求解能力，属于中档题．15.【答案】4e【解析】解：f′(x)=(2x+a)e−x−(x2+ax+1)e−x=[−x2−(a−2)x+a−1]e−x，由题意可得，f′(−1)=(−1+a−2+a−1)e=0，则a=2，f′(x)=(−x2+1)e−x，−x2+1=0，解得x=1或x=−1，x>1或x<−1，f′(x)<0，当−1<x<1，f′(x)>0，所以函数f(x)在(−∞,−1)，(1,+∞)上单调递减，在(−1,1)上单调递增，故当x=1时，函数取得极大值f(1)=4e．故答案为：4e．先对函数求导，然后结合极值存在条件可得f′(−1)=0，代入可求a，然后判断函数的单调性，求解函数的极大值．本题主要考查了函数极值存在条件的应用，函数的单调性的判断，极值的求法，属于中档题．16.【答案】24516 25【解析】解：三棱锥B′−ACD的底面积S△ACD=6，若三棱锥B′−ACD体积取最大值，则点D到底面ACD的距离最大，即平面B′AC⊥平面ACD ，此时，D 点到直线AC 的距离即三棱锥的高，ℎ=125，∴三棱锥B′−ACD 体积的最大值为： V B′−ACD =13×6×125=245，过A 点在平面ACD 内，作AE//DC ， 则∠B′AC 是异面直线AB′与CD 所成角， ∵平面B′AC ⊥平面ACD ，根据最小角定理得cos∠B′AE =cos∠B′AC ⋅cos∠ACE =cos∠B′AC ⋅cos∠ACD =(45)2=1625．故答案为：245，1625．若三棱锥B′−ACD 体积取最大值，则点D 到底面ACD 的距离最大，即B′AC ⊥平面ACD ，从而求出体积的最大值；过点A 在平面ACD 内，作AE//DC ，得到异面直线所成角，结合最小角定理能求出异面直线AB′与CD 所成角的余弦值．本题考查三棱锥体积的最大值、异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．17.【答案】解：选①，在△ABC 中，∵2acosB =c ，∴由正弦定理可得，2sinAcosB =sinC ， ∵sinC =sin(A +B)=sinAcosB +cosBsinA ， ∴sin(A −B)=0， ∵−π<A −B <π，∴A −B =0，即A =B ，b =a =√3， ∴由余弦定理可得，cosC =a 2+b 2−c 22ab=−12，在△BCD 中，由余弦定理可得，BD 2=(√3)2+(√32)2−2×√3×√32cosC =214，故BD =√212．选②，∵向量m⃗⃗⃗ =(a,b −c)，n ⃗ =(a −b,c +b)，m ⃗⃗⃗ ⊥n ⃗ ， ∴a(a −b)+(b −c)(c +b)=0，化简整理可得，a 2−ab −c 2+b 2=0， 在△ABC 中，由余弦定理可得，cosC =a 2+b 2−c 22ab=12，∵0<C <π， ∴C =π3，由正弦定理可得，3sin π3=√3sinA ，即sinA =12，∵a =√3，c =3， ∴0<A <C =π3，则A =π6，即B =π−A −C =π2， 故b =√a 2+c 2=2√3， ∵D 为AC 边的中点， ∴BD =b 2=√3．选③，∵tanA +tanB =−√3cosC cosAcosB，∴sinAcosB+cosAsinBcosAcosB=−√3cosC cosAcosB，即sin(A +B)=sinC =−√3cosC ，∴tanC =−√3， ∵0<C <π， ∴C =2π3，由正弦定理可得，3sin 2π3=√3sinA ，解得sinA =12，∵a =√3，c =3， ∴0<A <C =π3， 则A =π6，即b =a =√3，在△BCD 中，由余弦定理可得，BD 2=(√3)2+(√32)2−2×√3×√32cosC =214，故BD =√212．【解析】选①，由正弦定理边化角，由余弦定理求出cosC ，再运用余弦定理，即可求解．选②，结合向量关系和余弦定理，求出角C ，再结合正弦定理，即可求解． 选③，切化弦求出角C ，再结合正弦定理，以及余弦定理，即可求解．本题主要考查解三角形，掌握正弦定理，余弦定理是解本题的关键，属于中档题．18.【答案】解：(1)根据题意，正三棱锥P −ABC 的截面图，如图：：半球的底面圆的圆心O 是底面三角形ABC 的内心，OE =1，∠ADP =α．则OEOD =1OD =sinα，变形可得OD =1sinα， 则AD =3OD =3sinα， △ABC 为等边三角形，则BC =2√33AD =2√3sinα， △POD 中，ODPD =cosα，则PD =ODcosα=1sinαcosα， (2)根据题意，由(1)的结论，BC =2√3sinα，PD =1sinαcosα，则S ΔPBC =12×BC ×PD =√3sin 2αcosα，故三棱锥的侧面积S =3S ΔPBC =3√3sin 2αcosα，由sin 2αcosα=(1−cos 2α)cosα=−cos 3α+cosα，设t =cosα，0<t <1，则y =−t 3+t ，其导数y′=−3t 2+1，0<t <1， 在区间(0,√33)上，y′>0，y =−t 3+t 为增函数，在区间(√33,1)上，y′<0，y =−t 3+t 为减函数，则当t =√33时，y =−t 3+t 取得最大值，其最大值为2√33，即sin 2αcosα的最大值为2√33， 故三棱锥的侧面积S 的最小值为3√32√33=272．【解析】(1)根据题意，可得O 是底面三角形ABC 的内心，由此可得OEOD =1OD =sinα，由等边三角形的性质，可得AD 的值，在△POD 中，由ODPD =cosα，分析可得答案； (2)根据题意，由(1)的结论，可得S ΔPBC 的表达式，进而得到S =3S ΔPBC =3√3sin 2αcosα，进一步求出其最小值．本题考查球内切三棱锥问题，涉及三棱锥的侧面积计算，属于中档题．19.【答案】(1)证明：取AD 中点O ，连接OM 、OP ，因为△ADP 为等边三角形，M 为BC 中点，所以OP ⊥AD ， 因为面ADP ⊥底面ABCD ，面ADP ∩底面ABCD =AD ，所以OP ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为直角梯形，AB//CD ，所以OM//AB ， 又因为∠ABC =90°，所以OM ⊥BC ，所以OB =OC ，所以PB =PC ，于是PM ⊥BC ．(2)解：取AB 中点N ，由题意知，四边形NBCD 是正方形，△AND 是等腰直角三角形， 所以ON ⊥AD ，所以OA 、ON 、OP 两两垂直，建系如图， B(√2,√22,0)，C(√22,√2,0)，P(0,0,√62)， BC⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√22,√22,0)，BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√2,−√22,√62)， m⃗⃗⃗ =(1,1,√3)， 因为BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ =0，BP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ =0，所以m ⃗⃗⃗ 是平面PBC 的法向量， 因为平面PAD 的法向量是n⃗ =(1,0,0)， 所以平面PAD 与面PBC 所成二面角的余弦值为|m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=√5⋅1=√55．【解析】(1)只要证明PB =PC 即可；(2)用向量数量积计算两平面夹角的余弦值． 本题考查了直线与平面的位置关系，考查了两平面夹角的计算问题，属于中档题．20.【答案】(1)解：由题意2a =4，得a =2，又P 在椭圆上，所以83×4+1b 2=1，解得b =√3， 所以椭圆Γ的方程为x 24+y 23=1．(2)解：可得A(−2,0)，B(2,0)，若直线CD 与x 轴重合，则CD 与AB 重合，不符合题意；设直线CD 的直线方程为x =my +1，设点C(x 1,y 1)，D(x 2,y 2)， 联立{x 24+y 23=1x =my +1，消x 整理得(3m 2+4)y 2+6my −9=0，Δ=36m 2+36(3m 2+4)=144(m 2+1)>0， 由韦达定理可得y 1+y 2=−6m 3m 2+4,y 1y 2=−93m 2+4． 直线AC 的方程为y =y 1x 1+2(x +2)，直线BD 的方程为y =y2x 2−2(x −2)，联立两条直线方程，解得x=2⋅y1(x2−2)+y2(x1+2)y2(x1+2)−y1(x2−2)，①将x1=my1+1，x2=my2+1代入①，得x=2⋅2my1v2+3(y1+y2)−4y13(y1+y2)−2y1，②将y1y2=−6m3m2+4,y1y2−−93m2+4代入②，得x=2⋅2m×−93m2+4+3×−6m3m2+4−4y13×−6m3m2−4−2y1=4⋅9m3m2+4+y19m3m2+4+y1=4．因此，直线AC，BD的交点的横坐标为定值4．【解析】(1)求出a的值，将点P的坐标代入椭圆Γ的方程，求出b的值，可得出栯圆Γ的标准方程；(2)分析可知直线CD与x轴不重合，可设直线CD的方程为x=my+1，设点C(x1,y1)，D(x2,y2)，将直线CD的方程与椭圆Γ的方程联立，列出韦达定理，求出直线AC、BD的方程，求出两直线交点的横坐标，将韦达定理代入即可求得结果．本题考查了椭圆的方程，直线与椭圆的综合，属于难题．21.【答案】解：(1)证明：a n+1={12a n+n,n为奇数a n−2n,n为偶数，n∈N∗．∴a2n+2=12a2n+1+2n+1，a2n+1=a2n−4n，∴a2n+2=12(a2n−4n)+2n+1=12a2n+1，化为：a2n+2−2=12(a2n−2)，a2=12a1+1=3．∵b n=a2n−2，∴b n+1=12b n，b1=a2−2=1∴数列{b n}为等比数列，首项为1，公比为12．∴b n=(12)n−1．(2)由(1)可得：a2n−2=(12)n−1，∴a2n=2+(12)n−1，a2n+1=a2n−4n=2+(12)n−1−4n，∴数列{a n }的前2n 项和S 2n =[n(−2+2−4n)2+1−(12)n1−12]+[2n +1−(12)n1−12]=4−2n 2+2n −(12)n−2．【解析】(1)由a n+1={12a n +n,n 为奇数a n −2n,n 为偶数，n ∈N ∗，可得a 2n+2=12a 2n+1+2n +1，a 2n+1=a 2n −4n ，代入化简即可证明结论．(2)由(1)可得：a 2n −2=(12)n−1，可得a 2n =2+(12)n−1，a 2n+1=a 2n −4n =2+(12)n−1−4n ，即可得出数列{a n }的前2n 项和S 2n ．本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．22.【答案】解：(1)函数的定义域为(0,+∞)，f′(x)=1x −a ，当a ≤0时，f′(x)>0，f(x)在(0,+∞)上单调递增， 当a >0时，f′(x)=−a(x−1a)x，当x ∈(0,1a )时，f′(x)>0，f(x)单调递增，当x ∈(1a ,+∞)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，综上a ≤0时，f(x)在(0,+∞)上单调递增，当a >0时，f(x)在(0,1a )上单调递增，在(1a ,+∞)上单调递减．(2)①注意到，f(1)=ln1−a +a =0，由(1)知，当a ≤0时，f(x)在[1,+∞)上单调递增，对任意x >1，恒有f(x)>f(1)=0，不合题意；同理当a ≥1时，f(x)在(1a ,+∞)上单调递减，又1a <1，∴对任意x >1，恒有f(x)<f(1)=0，不合题意；当0<a <1时，1a >1，由(1)知，f(x)在[1,1a )上单调递增，在(1a ,+∞)上单调递减， ∴f(1a )>f(1)=0，则当x →+∞，f(x)→−∞，由零点存在定理知，存在唯一一个点x 0∈(1a ,+∞)，使得f(x 0)=0，满足题意， 综上，a 的取值范围是(0,1)．证明：②由①知，当0<a <1时，f(x 0)=lnx 0−ax 0+a =0，得a =lnx 0x 0−1，要证x 0>2−a a，只需要证lnx 0>2(x 0−1)x 0+1，令g(x)=lnx −2(x−1)x+1，(x >1)，则g′(x)=1x −4(x+1)2=(x−1)2x(x+1)2>0，∴g(x)在(1,+∞)上单调递增，又g(1)=0， ∴g(x)>0在(1,+∞)上恒成立， 即lnx 0>2(x 0−1)x 0+1，即x 0>2−a a成立．要证x 0<e 1a ，只需要证lnx 0<1a ，即lnx 0<x 0−1lnx 0，∵x 0>1，即证(lnx 0)2<x 0−1，令ℎ(x)=(lnx)2−x +1，x ∈(1,+∞)，则ℎ′(x)=2lnx−x x，又(2lnx −x)′=2x −1=2−x x，∴函数f(x)y =2lnx −x 在(1,2)上单调递增，在(2,+∞)上单调递减，当x =2时，(2lnx −x)max =2ln2−2<0， ∴ℎ′(x)<0在(1,+∞)上恒成立， ∴ℎ(x)在(1,+∞)上单调递减， 又x 0>1，∴ℎ(x 0)<ℎ(1)=0， 即(lnx 0)2<x 0−1，不等式得证．【解析】(1)求函数的导数，利用函数单调性和导数的关系进行判断即可． (2)求函数的导数，判断函数的单调性，利用零点存在定理进行判断证明．本题主要考查导数的综合应用，求出函数的导数，利用函数的单调性和导数之间的关系是解决本题的关键，是个难题．综合性较强，运算量较大．。
山东省济南市2020-2021学年高三上学期期末考试数学试题(含解析)
山东省济南市2021届高三第一学期期末检测数学试卷一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 1．设集合{}2A |60x x x =−−≤，{}B |10x x =−<，则AB =A ．{}|3x x ≤B ．{}|31x x −≤<C ．{}|21x x −≤<−D ．{}|21x x −≤< 2．已知复数i1i z =+（其中i 为虚数单位），则z 的共轭复数为 A ．11i 22−+ B ．11i 22−− C ．11i 22+ D ．11i 22−3．已知直线l 过点(2，2)，则“直线l 的方程为y ＝2”是“直线l 与圆224x y +=相切”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．十二生肖是中国特有的文化符号，有着丰富的内涵，它们是成对出现的，分别为鼠和牛、虎和兔、龙和蛇、马和羊、猴和鸡、狗和猪六对．每对生肖相辅相成，构成一种完美人格．现有十二生肖的吉祥物各一个，按照上面的配对分成六份．甲、乙、丙三位同学依次选一份作为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学所有的吉祥物都喜欢．如果甲、乙、丙三位同学选取的礼物中均包含自己喜欢的生肖，则不同的选法种数共有A ．12种B ．16种C ．20种D ．24种5．已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝120°，点E ，F 分别在边BC ，CD 上，且满足BEEC =，CD 2CF =，则AE AF +=AB ．3C ．D ．46．把物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度是1C θ︒，空气的温度是0C θ︒，那么min t后物体的温度θ（单位：C ︒）满足公式010()e kt θθθθ−=+−（其中k 为常数）．现有52C ︒的物体放在12C ︒的空气中冷却，2min 后物体的温度是32C ︒．则再经过4min 该物体的温度可冷却到A ．12C ︒B ．14.5C ︒ C ．17C ︒D ．22C ︒7．已知双曲线C ：22221(00)x y a b a b−=>>，的左、右顶点分别为A ，B ，其中一条渐近线与以线段AB 为直径的圆在第一象限内的交点为P ，另一条渐近线与直线PA 垂直，则C 的离心率为A ．3B ．2C D8．已知函数()(1)e x f x a x x =+−，若存在唯一的正整数0x ，使得0()0f x <，则实数a 的取值范围是 A ．[12e −，334e ) B ．[334e ，223e ) C ．[223e ，12e ) D ．[12e ，12) 二、 多项选择题（本大题共4小题，每小题5分， 共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）9．为落实《山东省学生体质健康促进条例》的要求，促进学生增强体质，健全人格，锤炼意志，某学校随机抽取了甲、乙两个班级，对两个班级某一周内每天的人均体育锻炼时间（单位：分钟）进行了调研．根据统计数据制成折线图如下：下列说法正确的是A ．班级乙该周每天的人均体育锻炼时间的众数为30B ．班级甲该周每天的人均体育锻炼时间的中位数为72C ．班级甲该周每天的人均体育锻炼时间的极差比班级乙的小D ．班级甲该周每天的人均体育锻炼时间的平均值比班级乙的大10．已知函数12()sin(2)cos(2)f x a x b x ϕϕ=+++(()f x 不恒为0)，若()06f π=，则下列说法一定正确的是A ．()12f x π−为奇函数 B ．()f x 的最小正周期为πC ．()f x 在区间[12π−，125π]上单调递增 D ．()f x 在区间[0，2021π]上有4042个零点 11．如图，在正四棱柱ABCD—A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ＝2，点P 为线段AD 1上一动点，则下列说法正确的是 A ．直线PB 1∥平面BC 1DB ．三棱锥P—BC 1D 的体积为13C ．三棱锥D 1—BC 1D 外接球的表面积为32π D ．直线PB 1与平面BCC 1B 112．已知红箱内有5个红球、3个白球，白箱内有3个红球、5个白 第11题球，所有小球大小、形状完全相同．第一次从红箱内取出一球后再放回去，第二次从与第一次取出的球颜色相同的箱子内取出一球，然后再放回去，依次类推，第k ＋1次从与第k 次取出的球颜色相同的箱子内取出一球，然后再放回去．记第n 次取出的球是红球的概率为n P ，则下列说法正确的是A ．21732P =B ．117232n n P P +=+C ．211221()2n n n n n n P P P P P P ++++−=−+D ．对任意的i ，j N *∈且1i j n ≤<≤，11111()()(14)(14)22180n n i ji j nP P −−≤<≤−−=−−∑ 三、填空题（本大题共4小题， 每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）13．已知1sin()63απ+=，则5sin()6απ−的值为 ． 14．若实数x ，y 满足lg lg lg()x y x y +=+，则xy 的最小值为 ． 15．已知奇函数()f x 在(0，+∞ )上单调递减，且(4)0f =，则不等式(1)0xf x +>的解集为 ．16．已知直线l 与抛物线C ：28y x =相切于点P ，且与C 的准线相交于点T ，F 为C 的焦点，连接PF 交C 于另一点Q ，则△PTQ 面积的最小值为 ；若|TF |5=，则|PQ |的值为 ．（本小题第一空2分，第二空3分）四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）在平面四边形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝5，∠ABC ＝120°，AD，∠ADC ＝2∠ACD ，求△ACD 的面积． 18．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和2n S n =． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）在①218()n n n nb a a +=⋅，②2n n n b a =⋅，③(1)n n n b S =−⋅这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并求解该问题．若 ，求数列{}n b 的前n 项和n T ．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．19．（本小题满分12分）如图，在三棱柱ABC—A 1B 1C 1中，AB ＝AC ＝2，D 为BC 的中点，平面BB 1C 1C ⊥平面ABC ，设直线l 为平面AC 1D 与平面A 1B 1C 1的交线．（1）证明：l ⊥平面BB 1C 1C ；（2）已知四边形BB 1C 1C 为边长为2的菱形，且∠B 1BC ＝60°，求二面角D—AC 1—C 的余弦值．某县在实施脱贫工作中因地制宜，着力发展枣树种植项目．该县种植的枣树在2020年获得大丰收，依据扶贫政策，所有红枣由经销商统一收购．为了更好的实现效益，县扶贫办从今年收获的红枣中随机选取100千克，进行质量检测，根据检测结果制成如图所示的频率分布直方图．右表是红枣的分级标准，其中一级品、二级品统称为优质品．经销商与某农户签订了红枣收购协议，规定如下：从一箱红枣中任取4个进行检测，若4个均为优质品，则该箱红枣定为A 类；若4个中仅有3个优质品，则再从该箱中任意取出1个，若这一个为优质品，则该箱红枣也定为A 类；若4个中至多有一个优质品，则该箱红枣定为C 类；其它情况均定为B 类．已知每箱红枣重量为10千克，A 类、B 类、C 类的红枣价格分别为每千克20元、16元、12元．现有两种装箱方案：方案一：将红枣采用随机混装的方式装箱；方案二：将红枣按一、二、三、四等级分别装箱，每箱的分拣成本为1元． 以频率代替概率解决下面的问题．（1）如果该农户采用方案一装箱，求一箱红枣被定为A 类的概率； （2）根据所学知识判断，该农户采用哪种方案装箱更合适，并说明理由．21．（本小题满分12分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若折线0)y k x =≠与C 相交于A ，B 两点（点A 在直线x =的右侧），设直线OA ，OB 的斜率分别为1k ，2k ，且212k k −=，求k 的值．22．（本小题满分12分）已知函数()ln(1)f x a x x =−+． （1）讨论()f x 的单调性； （2）若1()e 1x f x x −≥−+对任意的x ∈(0，+∞)恒成立，求实数a 的取值范围．山东省济南市2021届高三第一学期期末检测数学试卷一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 1．设集合{}2A |60x x x =−−≤，{}B |10x x =−<，则AB =A ．{}|3x x ≤B ．{}|31x x −≤<C ．{}|21x x −≤<−D ．{}|21x x −≤< 答案：D解析：{}2A |60x x x =−−≤＝[﹣2，3]，{}B |10x x =−<＝(−∞，1)，故AB =[﹣2，1)．选D ．2．已知复数i1i z =+（其中i 为虚数单位），则z 的共轭复数为 A ．11i 22−+ B ．11i 22−− C ．11i 22+ D ．11i 22−答案：D解析：i i(1i)1i1i (1i)(1i)22z −===+++−，则1i 22z =−．选D ． 3．已知直线l 过点(2，2)，则“直线l 的方程为y ＝2”是“直线l 与圆224x y +=相切”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案：A解析：“直线l 的方程为y ＝2”⇒“直线l 与圆224x y +=相切”, “直线l 与圆224x y += 相切”“直线l 的方程为y ＝2”，故选A ．4．十二生肖是中国特有的文化符号，有着丰富的内涵，它们是成对出现的，分别为鼠和牛、虎和兔、龙和蛇、马和羊、猴和鸡、狗和猪六对．每对生肖相辅相成，构成一种完美人格．现有十二生肖的吉祥物各一个，按照上面的配对分成六份．甲、乙、丙三位同学依次选一份作为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学所有的吉祥物都喜欢．如果甲、乙、丙三位同学选取的礼物中均包含自己喜欢的生肖，则不同的选法种数共有A ．12种B ．16种C ．20种D ．24种答案：B解析：甲若选牛，则有1124C C 种；甲若选马，则有1124C C 种．故共有16种，选B ．5．已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝120°，点E ，F 分别在边BC ，CD 上，且满足BEEC =，CD 2CF =，则AE AF +=AB ．3 C．D ．4答案：B解析：由题意知△AEF 的等边三角形，故AE AF +=3，选B ．6．把物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度是1C θ︒，空气的温度是0C θ︒，那么min t后物体的温度θ（单位：C ︒）满足公式010()e kt θθθθ−=+−（其中k 为常数）．现有52C ︒的物体放在12C ︒的空气中冷却，2min 后物体的温度是32C ︒．则再经过4min 该物体的温度可冷却到A ．12C ︒B ．14.5C ︒ C ．17C ︒D ．22C ︒ 答案：C解析：221321240e e 2k k −−=+⇒=，6311240e 1240()172k θ−=+=+⨯=，故选C ． 7．已知双曲线C ：22221(00)x y a b a b−=>>，的左、右顶点分别为A ，B ，其中一条渐近线与以线段AB 为直径的圆在第一象限内的交点为P ，另一条渐近线与直线PA 垂直，则C 的离心率为A ．3B ．2CD 答案：B解析：将直线AP 与斜率为正数的渐近线方程联立：()a y x a bb y x a ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得P(322a b a −，222a b b a −)，因为OP ＝a ，则322222222()()a a b a b a b a+=−−，化简得2222222334a b a c a c a =⇒=−⇒=2e ⇒=，选B ．8．已知函数()(1)e x f x a x x =+−，若存在唯一的正整数0x ，使得0()0f x <，则实数a 的取值范围是 A ．[12e −，334e ) B ．[334e ，223e ) C ．[223e ，12e ) D ．[12e ，12) 答案：C解析：0()0f x <，参变分离得：000(1)e x x a x <+，令000()(1)(1)e x x g x x x =≥+，2000201()0(1)e x x x g x x +−'=−<+，所以0()g x 在[1，+∞)且0x Z ∈单调递增， 求得1(1)2e g =，22(2)3eg =，故要使存在唯一的正整数0x ，使得0()0f x <， 则223e ≤a ＜12e，选C ． 二、 多项选择题（本大题共4小题，每小题5分， 共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）9．为落实《山东省学生体质健康促进条例》的要求，促进学生增强体质，健全人格，锤炼意志，某学校随机抽取了甲、乙两个班级，对两个班级某一周内每天的人均体育锻炼时间（单位：分钟）进行了调研．根据统计数据制成折线图如下：下列说法正确的是A ．班级乙该周每天的人均体育锻炼时间的众数为30B ．班级甲该周每天的人均体育锻炼时间的中位数为72C ．班级甲该周每天的人均体育锻炼时间的极差比班级乙的小D ．班级甲该周每天的人均体育锻炼时间的平均值比班级乙的大 答案：AC解析：班级甲该周每天的人均体育锻炼时间的中位数为65，故B 错误；班级甲该周每天的人均体育锻炼时间的平均值比班级乙的小，故D 错误．综上选AC ．10．已知函数12()sin(2)cos(2)f x a x b x ϕϕ=+++(()f x 不恒为0)，若()06f π=，则下列说法一定正确的是 A ．()12f x π−为奇函数 B ．()f x 的最小正周期为π C ．()f x 在区间[12π−，125π]上单调递增 D ．()f x 在区间[0，2021π]上有4042个零点答案：BD解析：()12f x π−为偶函数，故A 错误；()f x 在区间[12π−，125π]上单调，但不一定是单调递增，故C 错误．综上选BD ．11．如图，在正四棱柱ABCD—A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ＝2，点P 为线段AD 1上一动点，则下列说法正确的是A ．直线PB 1∥平面BC 1DB ．三棱锥P—BC 1D 的体积为13C ．三棱锥D 1—BC 1D 外接球的表面积为32πD ．直线PB 1与平面BCC 1B 1答案：ABD解析：因为平面AB 1D 1∥平面BC 1D ，PB 1⊂平面AB 1D 1，所以直线PB 1∥平面BC 1D ，A 正确；V P—BC1D ＝V A—BC1D ＝V C1—ABD ＝111112=323⨯⨯⨯⨯，故B 正确；三棱锥D 1—BC 1D=S 球＝246ππ=，故C 错误；PB 1min 点P 到平面BCC 1B 1的距离为1，所以直线PB 1与平面BCC 1B 1所成角的正弦值的最，故D 正确．综上选ABD ．12．已知红箱内有5个红球、3个白球，白箱内有3个红球、5个白球，所有小球大小、形状完全相同．第一次从红箱内取出一球后再放回去，第二次从与第一次取出的球颜色相同的箱子内取出一球，然后再放回去，依次类推，第k ＋1次从与第k 次取出的球颜色相同的箱子内取出一球，然后再放回去．记第n 次取出的球是红球的概率为n P ，则下列说法正确的是A ．21732P =B ．117232n n P P +=+C ．211221()2n n n n n n P P P P P P ++++−=−+D ．对任意的i ，j N *∈且1i j n ≤<≤，11111()()(14)(14)22180n n i ji j nP P −−≤<≤−−=−−∑ 答案：ACD解析：第n 此取出球是红球的概率为n P ，则白球概率为(1)n P −，对于第1n +次，取出红球有两种情况． ①从红箱取出1(1)58n n P P +=⋅（条件概率）， ②从白箱取出2(1)3(1)8n nP P +=−⋅， 对应121(1)(1)3184n n n n P P P P +++=+=+（转化为数列问题）， 所以1111()242n n P P +−=−， 令12n n a P =−，则数列{n a 为等比数列，公比为14，因为158P =，所以118a =， 故2(21)2n n a −+=即对应(21)122n n P −+=+， 所以21732P =，故选项A 正确； [2(1)1](21)231111112[2]222224n n n n n P P −++−+−−+−=+−⨯+=−，故117232n n P P +=+不成立，故选项B 错误； 经验证可得，211221()2n n n n n n P P P P P P ++++−=−+，故选项C 正确；1(21)(21)11111()()2222n ni j i j i j n i j i P P −−+−+<==+−−=⋅∑∑∑ 1(21)(23)(23)142[22]3n i i n i −−+−+−+==⋅−∑11(44)(23)(21)114[222]3n n i n i i i −−−+−+−+===−∑∑ 844(23)3214164[(22)2(22)]3153n n n −−−−+−−−=−−⋅− 424141122218045369n n n −−−=−⋅−⋅+⋅ 421(14252)180n n −−=+⋅−⋅ 221(142)(12)180n n −−=−⋅−11(14)(14)180n n −−=−−，故D 正确． 三、填空题（本大题共4小题， 每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）13．已知1sin()63απ+=，则5sin()6απ−的值为 ． 答案：13解析：51sin()sin[()]sin()6663ππαπααπ−=−+=+=． 14．若实数x ，y 满足lg lg lg()x y x y +=+，则xy 的最小值为 ．答案：4解析：11lg lg lg()1x y x y xy x y x y+=+⇒=+⇒+=， 11()()24y xxy x y x y x y x y=+=++=++≥，当且仅当x ＝y ＝2时取“＝”．15．已知奇函数()f x 在(0，+∞ )上单调递减，且(4)0f =，则不等式(1)0xf x +>的解集为 ．答案：(0，3)(﹣5，﹣1)解析：0(1)0(1)0x xf x f x >⎧+>⇒⎨+>⎩或003(1)0x x f x <⎧⇒<<⎨+<⎩或51x −<<−，故原不等式的解集为(0，3)(﹣5，﹣1)．16．已知直线l 与抛物线C ：28y x =相切于点P ，且与C 的准线相交于点T ，F 为C 的焦点，连接PF 交C 于另一点Q ，则△PTQ 面积的最小值为 ；若|TF |5=，则|PQ |的值为 ．（本小题第一空2分，第二空3分）答案：16，252解析：当PQ 为抛物线通径时△PTQ 的面积最小，为16；当TF ＝5时，可得线段PQ 中点的纵坐标为3或﹣3，故PQ 的斜率为43或43−，故PQ ＝2228254sin 2()5p α==． 四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分）在平面四边形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝5，∠ABC ＝120°，AD，∠ADC ＝2∠ACD ，求△ACD 的面积．解：在△ABC 中，由余弦定理可得：所以在△ACD 中，由正弦定理可得：，即所以所以 因为，所以所以所以18．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和2n S n =． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）在①218()n n n nb a a +=⋅，②2n n n b a =⋅，③(1)n n n b S =−⋅这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并求解该问题．若 ，求数列{}n b 的前n 项和n T ．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 解：（1）因为所以所以当时，适合上式，所以（2）若选①： 因为所以若选②：因为所以则两式相减可得：所以若选③：当n为偶数时，当n为奇数时，综上：19．（本小题满分12分）如图，在三棱柱ABC—A1B1C1中，AB＝AC＝2，D为BC的中点，平面BB1C1C⊥平面ABC，设直线l为平面AC1D与平面A1B1C1的交线．（1）证明：l⊥平面BB1C1C；（2）已知四边形BB1C1C为边长为2的菱形，且∠B1BC＝60°，求二面角D—AC1—C的余弦值．解：（1）证明：因为AB＝AC＝2，D为BC的中点，所以AD⊥BC，又因为平面BB1C1C⊥平面ABC，且平面BB1C1C平面ABC＝BC，AD 平面ABC，所以AD⊥平面BB1C1C，而AD∥平面A1B1C1，且AD⊂平面AC1D，平面AC1D平面A1B1C1＝l，所以AD∥l，所以l⊥平面BB1C1C；（2）因为AD⊥平面BB1C1C，AD⊂平面AC1D，所以平面AC1D⊥平面BB1C1C，在平面BB1C1C内，过C作CH⊥DC1于点H，则CH⊥平面AC1D，过C作CG⊥AC1于点G，则G为线段AC1的中点，连接HG，则∠CGH就是二面角D—AC1—C的平面角，在直角中，在中，，在中，，在直角中，，所以所以二面角D—AC1—C的余弦值为20．（本小题满分12分）某县在实施脱贫工作中因地制宜，着力发展枣树种植项目．该县种植的枣树在2020年获得大丰收，依据扶贫政策，所有红枣由经销商统一收购．为了更好的实现效益，县扶贫办从今年收获的红枣中随机选取100千克，进行质量检测，根据检测结果制成如图所示的频率分布直方图．右表是红枣的分级标准，其中一级品、二级品统称为优质品．经销商与某农户签订了红枣收购协议，规定如下：从一箱红枣中任取4个进行检测，若4个均为优质品，则该箱红枣定为A 类；若4个中仅有3个优质品，则再从该箱中任意取出1个，若这一个为优质品，则该箱红枣也定为A 类；若4个中至多有一个优质品，则该箱红枣定为C 类；其它情况均定为B 类．已知每箱红枣重量为10千克，A 类、B 类、C 类的红枣价格分别为每千克20元、16元、12元．现有两种装箱方案：方案一：将红枣采用随机混装的方式装箱；方案二：将红枣按一、二、三、四等级分别装箱，每箱的分拣成本为1元． 以频率代替概率解决下面的问题．（1）如果该农户采用方案一装箱，求一箱红枣被定为A 类的概率；（2）根据所学知识判断，该农户采用哪种方案装箱更合适，并说明理由． 解：（1）从红枣中任意取出一个，则该红枣为优质品的概率是，记“如果该农户采用方案一装箱，一箱红枣被定为A 类”为事件A ，则（2）记“如果该农户采用方案一装箱，一箱红枣被定为B 类”为事件B ，“如果该农户采用方案一装箱，一箱红枣被定为C 类”为事件C ，则所以如果该农户采用方案一装箱，每箱红枣收入的数学期望为：元；由题意可知，如果该农户采用方案二装箱，则一箱红枣被定为A 类的概率为，被定为C 类的概率也为，所以如果该农户采用方案二装箱，每箱红枣收入的数学期望为： 元；所以该农户采用方案二装箱更合适．21．（本小题满分12分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若折线0)y k x =≠与C 相交于A ，B 两点（点A 在直线x =的右侧），设直线OA ，OB 的斜率分别为1k ，2k ，且212k k −=，求k 的值．解：（1）由题可知22c a b a⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，又因为，所以所以椭圆C 的标准方程为（2）因为折线与椭圆C 相交于A ，B 两点，设点B 关于x 轴的对称点为B′， 则直线与椭圆C 相交于A ，B′两点，设则由得所以所以整理得解得22．（本小题满分12分）已知函数()ln(1)f x a x x =−+． （1）讨论()f x 的单调性；（2）若1()e 1x f x x −≥−+对任意的x ∈(0，+∞)恒成立，求实数a 的取值范围． 解：（1）若，，此时在上单调递减；若，由得，此时在上单调递减，在上单调递增；综上所述，，在上单调递减；，在上单调递减，在上单调递增；（2）因为记所以在上单调递增，所以，所以恒成立；若不合题意；若，由（1）知，在上单调递减，所以不合题意；若，记记所以在上单调递增，所以所以符合题意；综上实数a的取值范围是．。