[]2012-固体理论第二章声子-第二讲

F(x) Y du(x) dx
F(xd)xYd(uxd)x dx
第二章 声子
考虑dx段，质量为ρdx，运动方程为：
d2u(xt), F(x)F(xd)xdxd2t
dd x 2 u d (2 xtt), Y [dd (x x u t),d(x u d x dxt),]
第二章 声子
d2ud(2xt t,)Yd2du(xx2 t,) 2u(xt,)Y2u(xt,)
{(Rl' Rl) (l l' )(
(Rl'
Rl )
)}u (r) r
rl
u (r) r
)
rl
1 2 l,l' ,
{
1 2
(Rl'
Rl
)
(l
l'
)(
(Rl'
Rl )
)}u (r) r
rl
u (r) r
)
rl
第二章 声子
1Ω
2l
, ,
C;
u (r) r
rl
u (r) r
rl

第二章 声子
应变张量S为无量纲参数：
S
11
2 S12
2 S13
S 2S 21 S 22 2S 23
2 S 31 2 S 32 S 33
第二章 声子
由于Tij=Tji; Sij=Sji 即T23=T32 、T12=T21 、T13=T31
S23=S32 、S12=S21 、S13=S31
S1
S
2
S
3
S4
S
5
S 6
或者：
第二章 声子
6
Ti cijSj (i1,2,6) j1
cij为弹性刚度系数，单位为N/m2，分 量形式与sij是一样的，其中独立的分量也 是21个。
第二章 声子
例：一维连续介质中的弹性波 a）导出弹性波的波动方程，证明波速：
注意：Τ(r)1u (r)2
2
l
1u (rl)2 2
动能 密度
第二章 声子
晶体中的振动势能在简谐近似下较复杂：
(ll') 0
l'
(ll') (l'l)
13 Rl l1a1l2a2l3a3 liai
(l.l')u u i1 2l, l,'
αβ l l'
1 4
l,l'
(uαl'uαl )(ll')(uβl'uβl')
T、S均只有6个独立分量
第二章 声子
可以令： 三个法向应力： T11T1; T22T2; T33T3;
三个切向应力： T23T4; T13T5; T12T6;
TT (1 ,2,3,4,5,6)
T
11
T 12
T 13
T T 21 T 22 T 23
T 31 T 32 T 33
第二章 声子
s
4
1
s
51
s61
s12 s 22 s32 s 42 s52 s62
s13 s 23 s33 s 43 s53 s63
s14 s 24 s34 s 44 s54 s64
s15 s16 s25 s26 s35 s36 s45 s46 s55 s56 s65 s66
T1
T
2
T3
广义虎克定律也可表示为：
T1
T
2
T
3
T4
T
5
T6
c11
c 21 c31
c
41
c
5
1
c 61
c12 c 22 c32 c 42 c52 c62
c13 c 23 c33 c 43 c53 c63
c14 c15 c16 c24 c25 c26 c34 c35 c36 c44 c45 c46 c54 c55 c56 c64 c65 c66
d
, ,
1
u (r)
2C; r
rl
u (r) r
rl
第二章 声子
参数C为弹性系数：
1
C ; 2 l' (l l)'R ( l ' R l) (R l ' R l)
势能密度：
(r),12C ;ur (r)ur(r) ,
第二章 声子
(r)是应变u(r)的二次函数； r
(r)为形变能密度
[]2012-固体理论第二章声子-第 二讲
第二章 声子
u(r)也是t的函数，作泰勒展开：
ulα' ul
(Rl'Rl)ur(r)rl
再定义密度为：
M Ω
第二章 声子
故动能可以改写为：
T 1 2
l
M
u l u l
Ω 1 u ( r l ) 2 l2
d
1 2
u
(
r
)
2
dΤ (r)
v Y
Y是杨氏模量，ρ为质量密度 b）证明对于一维单原子链。在长波极 限下，Y和力常数k有关系：
Y＝ka a为点阵常数
第二章 声子
解： a)设一准 连 续介 质 ，x点 的位 移为 u(x)， x+dx的位移为u(x+dx)，应变为：
u(xd)x-u(x)d(ux)
dx
dx
第二章 声子
因应变产生的恢复力为：
可以令： 三个法向应变： S11S1; S22S2; S33S3;
三个切向应变： 2S23S4; 2S13S5; 2S12S6;
SS(1 ,2,3,4,5,6)
第二章 声子
T、S的关系在弹性限度范围内是线性的， 即满足广义虎克定律：
S1
S
2
S
3
S4
S
5
S 6
s11
s 21 s31
t2 x2
是一维连续介质中的弹性波的波动方程
有通解：
第二章 声子
u(xt),u0exq px [ω i)(t]
代入波动方程，有解:
2 Y q2
第二章 声子
波速v Y q
第二章 声子
b)一维单原子链，长波极限下的色散关系：
m
sin1qa 2
m12qaqa
第二章 声子
具体求解弹性问题时， 首先应该考虑对称性， 确定弹性系数之间的关系， 简化势能密度的表达式。
第二章 声子
晶体的弹性行为可以用应力T、应变S 描述。 T、S均为二阶对称张量。
应力张量T的单位为：N/m2
T
11
T 12
T 13
T T 21 T 22 T 23
T 31 T 32 T 33
,
第二章 声子
uαl' ul
(Rl'
Rl
)
u (r) r
rl
1 4
l,l'
(uαl' uαl ) (l l' )( uβl' uβl' )
,
1 4
l,l' ,
(Rl'
Rl )
u (r) r
rl
(l l'
)(
(Rl'
Rl
)
u (r) r
rl
)
1 2 2
l,l' ,
T4
T5
T6
第二章 声子
sij为弹性柔顺系数，实际是一个四阶对 称张量sikjl ，单位为m2/N。
sikjl应该有81个分量，做了简化处理后， sij有36个分量。 由对称性，sikjl独立的分量最多为21个
第二章 声子
上式也可简化为：
6
Si sijTj (i 1,2,6) j1
第二章 声子