薄板的屈曲
薄板的屈曲
115第六章 薄板的屈曲钢结构大型梁、柱等构件，通常都由板件组合而成，为了节省材料，板件通常宽而薄，薄板在面内压力作用下就可能失稳，并由此导致整个构件的承载力下降；另外，在构件连接的节点也存在板件失稳的可能性。
因此，对板件失稳和失稳后性态的研究也是钢结构稳定的重要问题。
板根据其厚度分为厚板、薄板和薄膜三种。
设板的最小宽度为b ，厚度为t 。
当t /b >1/5~1/8时称为厚板，这时横向剪力引起的剪切变形与弯曲变形大小同阶，分析时不能忽略剪切变形的影响。
当1/80~1/100<t /b <1/5~1/8时称为薄板，此时横向剪力引起的剪切变形与弯曲变形相比可以忽略不计。
当板极薄，t /b <1/80~1/100时，称为薄膜，薄膜没有抗弯刚度，靠薄膜拉力与横向荷载平衡。
平分板的厚度且与板的两个面平行的平面称为中面。
本章只介绍等厚度薄板中面内受力的板的弹性失稳。
与前面所介绍过的失稳问题比较，板的失稳有如下几个特点： ⑴作用于板中面的外力，不论是一个方向作用有外力还是在两个方向同时作用有外力，屈曲时板产生的都是出平面的凸曲现象，产生双向弯曲变形，因此在板的任何一点的弯矩x M 、y M 和扭矩xy M 以及板的挠度w 都与此点的坐标（x ，y ）有关。
⑵板的平衡方程属于二维偏微分方程，除了均匀受压的四边简支的理想矩形板可以直接求解其分岔屈曲荷载外，对于其他受力条件和边界条件的板，用平衡法很难求解。
可以用能量法（如瑞利—里兹法，伽辽金法）或者数值法（如差分法、有限元法等）求解屈曲荷载，在弹塑性阶段，用数值法可以得到精度很高的板屈曲荷载。
⑶理想薄板失稳属于稳定分岔失稳。
对于有刚强侧边支承的板，凸屈后板的中面会产生薄膜应变，从而产生薄膜应力。
如果在板的一个方向有外力作用而凸曲时，在另一个方向的薄膜拉力会对它产生支持作用，增强板的抗弯刚度进而提高板的强度，这种凸屈后的强度提高称为屈曲后强度。
第五章薄板弯曲
将式(5.2)及(5.3)代入上式，并沿厚度方向积 分，可得
1 2 1 1 U D p z dV 2 V
T
1 1 1 D dS 2 S
T
(5.6)
其中S为板中面的面积域，[D]为薄板弯曲的弹性 系数矩阵。 •由上式可见，薄板弯曲变形时，单位面积中面的 弹性应变能为其曲率的二次型。 •板弯曲的曲率是其挠度w的二阶导数，因而薄板弯 曲的弹性应变能为包括w二阶导数的二次泛函数。
薄板弯曲时，板内各点的应变为
x
z
x
1
y
z
y
xy
z
xy
其中z为点到中面的距离
1
x
1
y
为挠曲面沿方向的曲率
xy 为扭曲率
当板弯曲挠度很小时，曲率、扭曲率与挠 曲面的关系为
w 2 x x 1
2
w 2 y y 1
2
1
xy
w 2 xy
e
T
e
简写为 而其中
1 eT e e U [k ] 2
T S
(5.16)
[k ]e e B D B dxdy
即为板弯曲的单元刚度矩阵。
板弯曲的单元刚度矩阵，其计算式 与一般单元刚阵（如平面问题）完 全一样，只是这里应代入板弯曲的 弹性系数矩阵[D][式(5.5)]和板弯曲 的应变矩阵[B][式(5.13)]。
式中的[B]也可称为单元的应变矩阵，按 节点分块表示，有
B Bk
Bl
Bm
Bn
而对任一节点i的应变矩阵，按图5-4所示的 坐标轴，有(5.14)(p81)
第五章 薄板的弯曲
第五章 薄板的弯曲薄板的概念：厚度t<<Min(B,L)()L B Min t 81~51<中厚板 ()L B Min t 81~51> 厚板()()L B Min t L B Min 81~511001~801<< 薄板()L B Min t 1001~801< 薄膜作用在其上的载荷分解为平行于板面和垂直于板面，当仅有平行于板面的力时，就是我们前面讲到的平面应力问题。
现在我们要解决的就是当有垂直于板面的载荷时（板受弯曲作用时），应该如何计算。
两者都有时，又应该如何考虑。
§5.1 薄板弯曲的基本方程一，基本概念1，中面：变形前平分板厚的平面。
2，挠度：中面上各点在垂直于中面上的位移w 。
3小挠度：通常w/t<1/5。
二，基本假定1，变形前垂直于中面上的直线，变形后仍为直线，且仍垂直于弯曲的中面。
该假定类似与材料力学中梁的平面假定。
它确保与中面平行的的各面之间不存在剪应变。
0==zy zx γγ 2，变形前后，板的厚度不变，即0=z ε。
板内各点的挠度值仅为x 、y 的函数，而与z 轴无关。
()y x w w ,=。
3，薄板中面内的各点没有平行于板面的位移()00==z u 、()00==z v ，只有z 方向的位移。
4，平行于中面的各层之间互不挤压。
0=z σ三，基本方程利用空间的三大方程和以上4个假定，我们可以推求出适用薄板的基本方程。
1，几何方程由假定○1，0=∂∂+∂∂=x w z u zx γ，0=∂∂+∂∂=ywz v zy γ，就有： x w z u ∂∂-=∂∂，ywz v ∂∂-=∂∂，积分可得： ()y x f xwzu ,1+∂∂-= ()y x f ywzv ,2+∂∂-=再由假定○3，()00==z u 、()00==z v ，就是中面上各点没有板面的位移，代入上式，可得()()0,,21==y x f y x f 所以x w zu ∂∂-=，ywz v ∂∂-=。
薄板的弯曲破坏分析与预测
薄板的弯曲破坏分析与预测薄板是一种常见的结构材料，广泛应用于建筑、航空航天、汽车等领域。
然而，在使用过程中，薄板可能会遭受弯曲破坏，导致结构的失效。
因此，对薄板的弯曲破坏进行分析与预测，对于设计和使用薄板结构具有重要意义。
首先，我们来探讨薄板弯曲破坏的原因。
薄板在受到外力作用时，会发生弯曲变形。
当外力超过薄板的承载能力时，薄板可能会发生破坏。
薄板的弯曲破坏主要包括弯曲变形和局部破坏两个方面。
在弯曲变形方面，薄板在受到外力作用时，会发生曲率变化，即薄板的中部会凸起或凹陷。
这种变形会导致薄板的强度和刚度下降，进而影响结构的稳定性和安全性。
因此，对于薄板的弯曲变形进行分析与预测，可以帮助我们更好地评估薄板结构的承载能力。
而在局部破坏方面，薄板在受到外力作用时，可能会出现局部的破坏现象，如薄板的边缘开裂、孔洞扩展等。
这种局部破坏会导致薄板的强度降低，进而引发整体结构的失效。
因此，对于薄板的局部破坏进行分析与预测，可以帮助我们更好地评估薄板结构的寿命和可靠性。
接下来，我们来探讨薄板弯曲破坏的分析与预测方法。
薄板的弯曲破坏是一个复杂的力学问题，需要运用弹性力学、塑性力学、断裂力学等多个学科的知识进行分析。
其中，有限元分析是一种常用的分析方法，可以通过建立薄板的数值模型，计算薄板的应力和变形，进而评估薄板的弯曲破坏情况。
此外，实验方法也是分析薄板弯曲破坏的重要手段。
通过设计合适的试验装置和加载方式，可以模拟薄板在实际使用中的受力情况，从而观察薄板的弯曲变形和破坏过程。
通过实验数据的分析，可以得到薄板的弯曲破坏特征和破坏机制，为薄板结构的设计和使用提供参考依据。
此外，还可以借助计算机模拟和人工智能等新技术手段，对薄板的弯曲破坏进行预测。
通过建立合适的模型和算法，可以预测薄板在不同工况下的弯曲破坏情况，从而指导薄板结构的设计和使用。
这种方法不仅可以提高分析和预测的准确性，还可以节省时间和成本，提高工作效率。
综上所述，薄板的弯曲破坏分析与预测对于设计和使用薄板结构具有重要意义。
薄板屈曲1
x y
Ez 1 2 Ez 1 2
xy yx
Ez 2 w 1 xy
（5）
为了计算板中内力，取出板的单元体如图 2a 所示。微元体侧面上的应力的合力矩 就是板中的弯矩 M x 、 M y 和扭矩 M xy （图 2b）。分别按下列各式求得 M x 、 M y 和 M xy ：
图 2a
图 2b
Mx
t/2
t / 2
x zdz y zdz
t/2
My
t/2
t / 2
M xy M yx
t / 2
xy zdz
以式（5）表示的应力分量代入上式，因 w w( x, y ) ，不随 z 变化，积分后可得
2w 2w M x D x 2 y 2 2w 2w M y D y 2 x 2 M xy M yx D(1 ) 2w xy
m 4 4 m 2 n 2 4 n 4 4 p x m 2 2 2 4 0 D a2 a4 a 2b 2 b
7
即
D 2 px 2 b
mb n 2 a a mb
2
（f）
临界载荷应是使板发生微弯的最小载荷，因而设微弯时沿 y 方向的半波数 n 1 ，于是
Q x Q y x y dxdy
（g）
将式（f）和式（g）相加，化简后得平衡条件 z 0 为
5
Q x Q y 2w 2w 2w N x 2 2 N xy Ny 2 0 x y xy x y
由图 4b 所示微元体，对 x 轴的力矩平衡条件 M x 0 ，得
2
薄壁结构的挤压与屈曲行为分析
薄壁结构的挤压与屈曲行为分析薄壁结构在工程领域中具有广泛的应用。
它们通常由薄板材料制成，并用于建筑物、车辆和航空航天领域等许多不同的工程项目中。
了解薄壁结构的挤压与屈曲行为对于设计和优化这些结构的稳定性至关重要。
本文将对薄壁结构的挤压与屈曲行为进行分析，以探讨其在实际工程中的应用。
1. 引言薄壁结构是指在一侧或两侧的尺寸较小的结构，其厚度相对于其他尺寸来说较小。
它们通常由金属或塑料材料制成，因为这些材料具有较高的强度与刚度。
薄壁结构在结构设计中具有许多优点，如重量轻、自由成型、加工方便等。
2. 挤压行为分析薄壁结构在承受外力作用时，容易发生挤压变形。
挤压行为是指结构在受到外力压缩时，结构元素在横截面上发生弯曲和变形的现象。
挤压行为的分析可以通过应力-应变关系和弯曲刚度进行研究。
2.1 应力-应变关系薄壁结构在挤压过程中，内部产生的应力会引起结构发生应变。
应力和应变之间的关系可以用应力-应变曲线来描述。
应力-应变曲线通常分为线性段和非线性段两个部分。
2.2 弯曲刚度弯曲刚度是指薄壁结构在挤压过程中的弯曲能力。
它与结构的几何形状、材料的弹性模量以及截面惯性矩等因素有关。
通过计算弯曲刚度可以评估薄壁结构在挤压中的变形程度和承载能力。
3. 屈曲行为分析薄壁结构在承受外力作用时，也容易发生屈曲现象。
屈曲是指结构在受到外力作用下，整体或局部失去稳定性并发生弯曲和变形的现象。
屈曲行为的分析可以通过屈曲载荷和屈曲模态进行研究。
3.1 屈曲载荷屈曲载荷是指薄壁结构在发生屈曲时所承受的最大载荷。
屈曲载荷与结构的几何形状、材料的强度和刚度等因素有关。
通过计算屈曲载荷可以评估薄壁结构的稳定性。
3.2 屈曲模态屈曲模态是指薄壁结构在屈曲时所呈现的弯曲形态。
根据结构的不同约束条件和载荷形式，可以出现不同的屈曲模态，如单面屈曲、双面屈曲、不等弯曲等。
通过分析屈曲模态可以预测薄壁结构的失稳形态。
4. 实际应用案例薄壁结构的挤压与屈曲行为分析在实际工程中具有重要的应用价值。
薄板的屈曲
件的板，用平衡法很难求解；需用能量法或数值法求解。
✓理想薄板失稳属于稳定的分叉失稳。对于有刚强侧边支撑的板，会 产生薄膜应力，提高钢板屈曲后的强度（屈曲后强度）。
✓按照小挠度理论分析只能得到板的分叉屈曲荷载，根据大挠度理论 分析才能得到板的屈曲后强度和板的挠度。
第6章 薄板的屈曲
➢ 小挠度理论板的弹性曲面微分方程
D 2
A2
m2
a2
2
m2 2b2
6a2
1
ab
px 12
A2
m2 2
a2
ab3
由势能驻值原理，有：A
Dm2
a
2b
m2 2b2
a2
1
px
m2 2b3
a
0
第6章 薄板的屈曲
➢ 能量法计算板的弹性失稳荷载
✓瑞利-里兹法
A0
px
m2 2b2
a2
6
1
D b2
2D
b2
1
2
m2 2b2
a2
61
令 m 1，可得px的最小值：
2D px,cr k b2
k
2b2
a2
6 1
/
2
若取 0.3，则：
k
0.425
b2 a2
均匀受压三边简支一边自由
第6章 薄板的屈曲
➢ 能量法计算板的弹性失稳荷载
✓迦辽金法
要求假定的挠曲面函数符合板的几何和自然边界条件。
假定挠曲面函数为：
a
0
a
0
L
w
sin
x a
sin
y a
dxdy
0
a
0
a
0
四边简支薄板纯剪切作用下板的屈曲形式
四边简支薄板纯剪切作用下板的屈曲形式在四边简支薄板纯剪切作用下，板的屈曲形式表现为中央出现有规则的剪切带，且随着剪切应力的增加，剪切带逐渐向周围扩展。
剪切带将板分为两个区域，一个区域为与剪切方向相反的拉伸区，另一个区域为与剪切方向相同的压缩区。
随着剪切应力的增加，剪切带会逐渐扩展并最终导致板的屈曲。
如需获取更多关于四边简支薄板纯剪切作用下板的屈曲形式的信息，建议咨询土木工程专家或查阅相关领域资料。
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m =1 n =1 ∞ ∞
代入总势能公式，积分后利用势能驻值原理，有：
∂∏ ∂A = 0 11 ∂∏ 系数行列式为零 =0 ∂A12 L ∂∏ ∂A = 0 mn
板的屈曲方程
第6章 薄板的屈曲
能量法计算板的弹性失稳荷载 能量法计算板的弹性失稳荷载
第6章 薄板的屈曲
板失稳的特点： 板失稳的特点：
板屈曲时产生出平面的双向弯曲变形 双向弯曲变形（凸曲现象），故板上任何一 双向弯曲变形 点的弯矩 M x 、 y 和扭矩 M xy以及板的挠度 w 都与此点的坐标有关。 M 板的平衡方程属于二维偏微分方程 二维偏微分方程，除了均匀受压的四边简支的理 二维偏微分方程 想矩形板可直接求解分叉屈曲荷载外，对于其他受力条件和边界条 件的板，用平衡法很难求解；需用能量法或数值法求解 需用能量法或数值法求解。 需用能量法或数值法求解 理想薄板失稳属于稳定的分叉失稳。对于有刚强侧边支撑的板 有刚强侧边支撑的板，会 有刚强侧边支撑的板 产生薄膜应力 薄膜应力，提高钢板屈曲后的强度（屈曲后强度）。 薄膜应力 按照小挠度理论 小挠度理论分析只能得到板的分叉屈曲荷载，根据大挠度理论 小挠度理论 大挠度理论 分析才能得到板的屈曲后强度 板的挠度 屈曲后强度和板的挠度 屈曲后强度 板的挠度。
∂4w ∂4w ∂4w ∂2w ∂2w ∂2w D 4 + 2 2 2 + 4 = N x 2 + 2 N xy + Ny 2 ∂x ∂ y ∂y ∂x ∂x∂y ∂y ∂x
∂4w ∂4w ∂4w ∂2w D 4 + 2 2 2 + 4 − Nx 2 = 0 ∂x ∂ y ∂y ∂x ∂x
m 4π 4 m 2 n 2π 4 n 4π 4 N x m 2π 2 mπ x nπ y × 2 sin sin =0 Amn 4 + 2 2 2 + 4 − ∑∑ a ab b D a a b m =1 n =1
∞ ∞
满足上式的唯一条件是每一项系数中括号内的式子为零：
m 4π 4 m 2 n 2π 4 n 4π 4 N x m 2π 2 π 2 a 2 D m2 n2 +2 2 2 + 4 − × 2 = 0 或 Nx = + a4 ab b D a m2 a 2 b2
2
第6章 薄板的屈曲
小挠度理论板的弹性曲面微分方程
单向均匀受压简支板的弹性失稳荷载
临界荷载为板保持微弯曲状态的最小荷载，故取n＝1；
1 π D + 2 = 2 N x ,cr = m2 a 2 b b N x ,cr k π 2E σ x ,cr = = ⋅ 2 2 t 12 (1 − µ ) ( b / t )
假定挠曲面函数为：
w = Ay sin
mπ x a
代入总势能公式，积分后有：
px 2 m 2π 2 D 2 m 2π 2 m 2π 2b 2 3 ∏= A 6a 2 + (1 − µ ) ab − 12 A a 2 × ab 2 2 a Dm 2π 2b m2π 2b 2 m 2π 2b3 由势能驻值原理，有： A + (1 − µ ) − px =0 a2 a a
主要内容: 主要内容
薄板的屈曲
小挠度理论板的弹性曲面微分方程 能量法计算板的弹性失稳荷载 不同面内荷载作用下板的弹性失稳 几种边缘荷载共同作用下薄板的临界条件 板稳定理论在钢结构设计中的应用
第6章 薄板的屈曲
钢结构中板的分类： 钢结构中板的分类：
t 厚板：/ b > 1/ 5 ~ 1/ 8
受力特点：横向剪力引起的剪切变形与弯曲变形大小同阶，分析时不 不 能忽略剪切变形的影响。 能忽略剪切变形的影响
均匀受压简支板
第6章 薄板的屈曲
小挠度理论板的弹性曲面微分方程
单向均匀受压简支板的弹性失稳荷载
边界条件：
∂2w x = 0 、 x = a 时： = 0 2 = 0 w ∂ x ∂2w y = 0 、 y = b 时： = 0 2 = 0 w ∂ y ∞ ∞ mπ x nπ y 代入平衡方程有： w = ∑∑ Amn sin sin a b m =1 n =1
第6章 薄板的屈曲
能量法计算板的弹性失稳荷载 能量法计算板的弹性失稳荷载
瑞利瑞利-里兹法
A≠0
m2π 2b 2 D π 2 D 1 m2π 2b 2 px = + 6 (1 − µ ) 2 = 2 + 6 (1 − µ ) 2 b π 2 a2 a b
屈曲系数 k 与
β 的关系
第6章 薄板的屈曲
不同面内荷载作用下板的弹性失稳
单向非均匀受压板的弹性失稳 单向非均匀受压板的弹性失稳
规定压应力为正值，拉应力 为负值，应力梯度为： σ −σ α0 = 1 2 σ1 距离上边缘y处的应力为：
板的屈曲方程
第6章 薄板的屈曲
能量法计算板的弹性失稳荷载 能量法计算板的弹性失稳荷载
迦辽金法
算例Ⅰ 算例Ⅰ：求解单向均匀受压矩形板的屈曲荷载。板的两加载边 简支，两非加载边固定。 板的平衡微分方程：
∂4w ∂4w ∂4w ∂2w L ( w ) = D 4 + 2 2 2 + 4 + px 2 = 0 ∂x ∂y ∂y ∂x ∂x
第6章 薄板的屈曲
小挠度理论板的弹性曲面微分方程
基本假定： 基本假定：
垂直于中面方向的正应变很小，可以忽略。即中面任何一根法线上， 薄板全厚度内的所有点具有相同的挠度；且可以忽略中面因弯曲变 形伸长而产生的薄膜应力。
σ τ 应力分量σz 、 zx 和τ zy 远小于σx、 y 和τxy ，故可以忽略他们产生的
Et3 D= 为板的抗弯刚度 板的抗弯刚度； 板的抗弯刚度 2 12(1− µ )
Nx、Ny 为板中面沿x、y轴方向单位长度上的应力； Nxy 为板中面单位长度上的剪力。
第6章 薄板的屈曲
小挠度理论板的弹性曲面微分方程
单向均匀受压简支板的弹性失稳荷载
单向（x方向）均匀受压四边简支板，Ny =Nxy = 0 由
迦辽金法
要求假定的挠曲面函数符合板的几何和自然边界条件 要求假定的挠曲面函数符合板的几何和自然边界条件。 几何 假定挠曲面函数为：
w = ∑ Aiϕi ( x, y )
i =1 n
板的平衡微分方程为： ( w ) = 0 L 建立迦辽金方程组：
a b L ( w )ϕ ( x, y ) dxdy = 0 1 ∫0 ∫0 a b ∫0 ∫0 L ( w )ϕ2 ( x, y ) dxdy = 0 积分 关于Ai的线性方程组 L 系数行列式为零 a b ∫ ∫ L ( w )ϕn ( x, y ) dxdy = 0 0 0
2 2 2 2
π a Dm
2
a b m 1 π 2D + =k 2 m2 a 2 b2 b
2 2 2
2
均匀受压板的屈曲应力与板的宽厚比 均匀受压板的屈曲应力与板的宽厚比 的平方成反比， 与板的长度无关。 的平方成反比，而与板的长度无关。
k为屈曲系数，且：
2 ab m 2 1 b a m β k = 2 + 2 = m + = + ma b a mb β m 2 2
假定挠曲面函数为：
mπ x 2 π y sin a b a b mπ x 2 π y sin dxdy = 0 建立迦辽金方程：∫0 ∫0 L ( w ) sin a b π 2 D m 2b 2 8 16a 2 px = 2 2 + + 2 2 b a 3 3m b w = A sin
瑞利瑞利-里兹法
算例Ⅰ 算例Ⅰ：求解单向均匀受压矩形板的屈曲荷载。板的两加载边和 一个非加载边简支，另一非加载边自由。 由 p y = pxy = 0 ，有总势能为：
2 2 ∂ 2 w ∂ 2 w ∂ 2 w 2 D a b ∂ 2 w ∂ 2 w 1 a b ∂w ∏ = ∫ ∫ 2 + 2 − 2 (1 − µ ) 2 × 2 − dxdy − ∫0 ∫0 px dxdy 0 0 2 ∂y ∂y ∂x∂y 2 ∂x ∂x ∂x
1/ 薄板： 80 ~ 1/100 < t / b < 1/ 5 ~ 1/ 8
受力特点：横向剪力引起的剪切变形 横向剪力引起的剪切变形与弯曲变形相比可以忽略不计 可以忽略不计。 横向剪力引起的剪切变形 可以忽略不计
薄膜：t / b < 1/ 80 ~ 1/100
没有抗弯刚度，依靠薄膜拉力 薄膜拉力与横向荷载平衡。 受力特点：没有抗弯刚度 没有抗弯刚度 薄膜拉力
正应变 εz 、剪应变 γ zx 和 γ zy 。薄板小挠度弯曲问题可简化为平面应 薄板小挠度弯曲问题可简化为平面应 力问题。 力问题 薄板弯曲时，中面内各点不产生平行于中面的应变。即在xy平面上 投影形状不变。类似于受弯构件平截面假定。 的投影形状不变 投影形状不变 板为各向同性的弹性体，应力与应变关系服从虎克定律。
第6章 薄板的屈曲
小挠度理论板的弹性曲面微分方程
弹性曲面微分方程
以弯曲变形后的状态建立x、y、z方向力的平衡方程 力的平衡方程和绕x轴、y轴的 力的平衡方程 力矩的平衡方程，合并后有： 力矩的平衡方程
∂4w ∂4w ∂4w ∂2w ∂2w ∂2w D 4 + 2 2 2 + 4 = Nx 2 + 2Nxy + Ny 2 ∂x ∂ y ∂y ∂x ∂x∂y ∂y ∂x