理解傅里叶级数

(1) 当 x 是 f (x) 的连续点时 级数收敛于f (x);
(2) 当 x 是 f (x) 的间断点时 级数收敛于
1[f(x0)f(x0).] 2
例1 设 f (x) 是周期为 2的周期函数 它在
[ , ) 上的表达式为
f(x) 1 10xx0,
(k 1 ,2 , )
从而可得余弦级数
f(x ) 1 8 2k 1 ( 2 k 1 1 )2 c( o 2 k 2 1 s )x( 0 x 2 )
二、区间 [ 0 , ] 上的函数的傅里叶级数
将一个定义在 [ 0 , ] 上的函数 f (x) 进行拓展
f(x), x(0,]
F(x)0, x0
f(x), x(,0) 这样构造的函数F(x) 在 (,)上是一个奇
函数，按这种方式拓展函数定义域的过程
称为奇延拓。
a0
1

f(x)dx,
an1 f(x)consx,dxn1,2,L, bn1 f(x)sinx,dxn1,2,L.
将傅里叶系数值代入 f (x) 展开式的右端
f(x)a 2 0k 1(akco k s xbksikn )x
得到的三角级数
定理3 设周期为 2l 的周期函数 f (x) 满足收敛
定理条件，则它的傅里叶级数当x是 f (x) 的连
续点时，有
f(x)a 2 0n 1(ancosnlxbnsinnlx)
其中
an
1 l
l l
f(x)consxdx,
l
(n0,1,2,)

bn
1 l
为三角函数系．
三角函数系的正交性是指：三角函数系中
任何两个不同的函数的乘积在区间 [ , ]上
的积分等于零 即

consxdx0 n1,2,L,


sinnxdx0 n1,2,L,


sikncxonsx d0x

k,n1,2,L,

siknsxinnxd 0x
（2）将 f (x)先作偶延拓，再作周期延拓，
计算傅里叶系数得
a0
2 2
2
xdx2
0
an2 202xcon2 sxdx
n 2 xsinn 2xn 2 2cosn 2x0 2
n242[(1)n 1]
0,
n2k
8
(2k1)22
,
n2k1
π0


4E
(4k2 1)
n 2k
0
n 2k 1
(k1,2,)
从而函数 u(t) 的傅里叶级数是一个余弦级数
u(t)2π E4π Ek 14k1 21co 2ksx
4 E (1 1 c2 o t 1 s c4 o t 1 s c6 o t s ) π23 15 35 ( t) .
1[cn o n]s0 x 1[cn o n]s 0 x n 1 [1co nsco ns1 ]
2 (1(1)n)
n
n4 n1,3,5,
0 n2,4,6,
于是 f (x) 的傅里叶级数展开式为
f( x ) 4 [x s 1 s i3 n x i n 1 s2 i k 1 n ) x ( ]
a20n 1(ancons xbnsinn)x
称为函数 f (x) 的傅里叶级数．
定理1（收敛定理，狄利克雷充分条件）设
f (x) 是周期为 2 的周期函数 如果它满足
在一个周期内连续或只有有限个第一类间断 点 在一个周期内至多只有有限个极值点 则 f (x) 的傅里叶级数收敛 并且：
bn20f(x)sinxd, x(n1,2,L)
周期为2 的偶函数 f (x), 其傅里叶级数为
余弦级数，即傅里叶系数为
an20 f(x)consx,d(xn1,2,L)
b n 0 (n1,2,L).
例3 将周期函数 u(t)Esitn展开成傅里叶 级数，其中 E为正常数．
3
2 k 1
10.5.3 区间 [ , ] 上函数的傅里叶级数
例2
将函数
f(x) xx,,
πx0 展开成
0xπ
傅里叶级数．
解 将函数 f (x) 延拓成以 2为周期的函数
F(x), 易知，函数 F(x) 满足收敛定理的条
件，傅里叶系数为
a 0 1 π π π F ( x )d x 1 π π π f( x )d x π 2 0 π x d x
按公式计算傅里叶系数
b n 2 0 f( x ) sn id n x x 2 0 ( x 1 ) sn id n x x
2 [ xcnn o s x sn 2 inn x cn n o] 0 s x
n 2 (1co nsco ns)
2 2
将 f (x) 展开成傅里叶级数． 解 所给函数 f (x) 满足收敛定理的条件，
函数在点 x k (k 0 , 1 , 2 ,L )处不连续 在其它点处连续，从而由收敛定理知道 f (x) 的傅里叶级数收敛，并且当 x k 时收敛于
1 [f(x 0 ) f(x 0 ) ]1 ( 1 1 ) 0

2 π

x2 2
π 0

a n 1 π π π F (x )cn o d x x s1 π π π f(x )cn o d x x s π 20 πxco nd s x xπ 2 xsninn x cn 2 o n s x0 π
解 不妨将u(t)看成是2 为周期的函数，满足
收敛定理，先计算傅里叶系数
b n 0(n 1 ,2 ,L )
a 0 π 20 π u (t)d t π 20 πE stid tn 4 π E
a1E π 0πsi2 ntdt0
a n π 20 π u ( t)cn o td t sπ 20 π E sticn n o d tts Eπ [sn i 1 n )t (sinn 1 )t( ]d t
函数项级数
a 20n 1(ancons xbnsinn)x
称为三角级数，其中 a 0 ,a n ,b n (n 1 ,2 , )是常数． 称函数族
1 , c x , s x , c o 2 x i , s 2 x o , n s , c i n , s n s n o , x i
a n 0( n 0 ,1 ,2 , )
bn2 202xsinn2xdx
n 2 xco sn 2xn 2 2sinn 2x0 2
n 4 cn o sn 4 ( 1 )n 1 (n 1 ,2, )
从而可得正弦级数
f(x)4n 1(1 n )n1sinn 2x, (0x2)
同理，构造函数 F(x)为
F(x) ff(( x)x),,x x [(0 ,,]0)
按这种方式拓展函数定义域的过程称为偶延拓．
例4 将函数 f( x ) x 1 ( 0 x )分别展开成
正弦级数和余弦级数．
解 先展开成正弦级数．对函数 f (x) 作奇延拓， 再作周期延拓，满足收敛定理的条件．
2
2
当 x k 时级数收敛于 f (x).
傅里叶系数计算如下
1
an f(x)cosnxdx
10( 1 )c o sn x d x 11 c o sn x d x 0(n0,1,2,L)

0
bn
1

f(x)sin
xdx
1 0 ( 1 )sinnxd 10 x1sinnxdx
第十章 无穷级数
10.5 傅里叶级数*
10.5.1 三角级数与三角函数系的正交性 10.5.2 以 2 为周期的函数的傅里叶级数 10.5.3 区间 [ , ] 上函数的傅里叶级数
10.5.4 正弦级数和余弦级数 10.5.5 以 2l 为周期的函数的傅里叶级数
10.5.6 小结
10.5.1 三角级数与三角函数系的正交性
n22(cons 1)


(2k
4
1)2
0
n 2k 1 n 2k
(k1,2,)
从而可得余弦级数
x 1 2 1 4 [c o sx 3 1 2c o s 3 x 5 1 2c o s 5 x L ]
(0x)
10.5.5 以 2l 为周期的函数的傅里叶级数
k,n1,2,L,k

n


cokscxonsx d0xk,n1,2,L,
k

n

12dx2,

co2snxdx n1,2,L,

sin2nxdx n1,2,L.

10.5.2 以 2 为周期的函数的傅里叶级数
通常，由下述公式确定的 a 0 ,a n ,b n (n 1 ,2 , ) 称为函数 f (x) 的傅里叶系数．




2 1 k
k

1
n 2k 1 n 2k
从而可得正弦级数
(k 1 ,2 , )
x 1 2 ( ( 2 ) s i n x s i n 2 x 2 s i n 3 x s i n 4 x L ) 2 34 (0x)
a01 2 020d x1 20 2kdk x
b n1 20 2ksinn 2 xd x [ n kc o sn 2 x]0 2
nk(1cosn) n2k0
n1, 3, 5, n2,4,6,
于是
f( x ) k 2 k (s x i 1 s n 3 ix n 1 s5 ix n ) 2 23252