2019-2020学年四川省内江市高二上学期期末检测 数学(理) (含答案)
内江市2019－2000学年度第一学期高二期末检测题
数学(理科)
本试卷共4页，全卷满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考号、班级用签字笔填写在答题卡相应位置。
2.选择题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。
不能答在试题卷上。
3.非选择题用签字笔将答案直接答在答题卡相应位置上。
4.考试结束后，监考人员将答题卡收回。
一、选择题：(本大题共12个小题，每小题5分，共60分。
在每小题的四个选项中只有一个是正确的，把正确选项的代号填涂在答题卡的指定位置上。
)
1.已知某班有学生48人，为了解该班学生视力情况，现将所有学生随机编号，用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知3号，15号，39号学生在样本中，则样本中另外一个学生的编号是
A.26
B.27
C.28
D.29
2.设B点是点A(2，－3，5)关于平面xOy的对称点，则|AB|＝
10 B.38 38 D.10
3.直线2x＋y＋1＝0和x＋2y＋1＝0的位置关系是
A.平行
B.相交但不垂直
C.垂直
D.不能确定
4.如图是某高三学生进入高中三年来的数学考试成绩茎叶图，第1次到第14次的考试成绩依次记为A1，A2，A3，…，A14，下图是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个算法流程图，那么输出的结果是
A.9
B.8
C.7
D.6
5.方程(a－1)x－y＋2a＋1＝0(a∈R)所表示的直线与圆(x＋1)2＋y2＝25的位置关系是
A.相离
B.相切
C.相交
D.不能确定
6.关于直线m、n及平面α、β，下列命题中正确的是
①若m∥α，α∩β＝n，则m∥n ②若m∥α，n∥α，则m∥n
③若m⊥α，m∥β，则α⊥β ④若m⊂α，α⊥β，则m⊥β
A.0
B.1
C.2
D.3
7.已知(x0，y0)为线性区域
220
1
10
x y
x
x y
-+≥
⎧
⎪
≤
⎨
⎪+-≥
⎩
内的一点，若2x0－y0－c<0恒成立，则c的取值范
围是
A.[2，＋∞)
B.[2，＋∞)
C.(1，＋∞)
D.(1，＋∞)
8.已知点M(1，3)到直线l：mx＋y－1＝0的距离等于1，则实数m等于
A.3
4
B.
4
3
C.－
4
3
D.－
3
4
9.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果。
哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如40＝3＋37。
(注：如果一个大于1的整数除了1和自身外无其他正因数，则称这个整数为素数。
)在不超过11的素数中，随机选取2个不同的数，其和小于等于10的概率是
A.1
2
B.
1
3
C.
1
4
D.
1
5
10.若圆心坐标为(－2，1)的圆，被直线x－y－1＝0截得的弦长为2，则这个圆的方程是
A.(x－2)2＋(y－1)2＝4
B.(x＋2)2＋(y－1)2＝4
C.(x ＋2)2＋(y －1)2＝9
D.(x －2)2＋(y －1)2＝9
11.已知正三棱锥A －BCD 的外接球是球O ，正三棱锥底边BC ＝3，侧棱AB ＝23，点E 在线段BD 上，且BE ＝DE ，过点E 作球O 的截面，则所得截面圆面积的取值范围是 A.[
94π，3π] B.[2π，3π] C.[2π，4π] D.[114
π，4π] 12.在直角坐标系内，已知A(3，3)是以点C 为圆心的圆上的一点，折叠该圆两次使点A 分别与圆上不相同的两点(异于点A)重合，两次的折痕方程分别为x －y ＋1＝0和x ＋y －7＝0，若
圆上存在点P ，使得
()0MP CP CN ⋅-=u u u r u u u r u u u r
，其中点M(－t ，0)、N(t ，0)(t ∈R ＋)，则t 的取值范围是
A.(3，7)
B.(5，6]
C.[4，5)
D.[4，6] 二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分。
)
13.已知x 1，x 2，x 3，…，x n 的平均数为a ，则2x 1＋3，2x 2＋3，…，2x n ＋3的平均数是 。
14.秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州(现四川省安岳县)人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法。
已知一个5次多项式f(x)＝4x 5－3x 3－2x 2－5x ＋1，用秦九韶算法求这个多项式当x ＝3时的值为 。
15.一条光线从点(－2，－4)射出，经直线y ＝x 反射，其反射光线所在直线与圆(x ＋3)2＋(y －2)2＝1相切，则反射光线所在的直线方程为 。
16.如图所示，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，BB 1＝B 1D 1，点E 是棱CC 1上的一个动点，若平面BED 1交棱AA 1于点F ，给出下列命题：
①四棱锥B 1－BED 1F 的体积恒为定值；
②对于棱CC 1上任意一点E ，在棱AD 上均有相应的点G ，使得CG//平面EBD 1； ③存在点E ，使得B 1D ⊥平面BD 1E ；
④存在唯一的点E ，使得截面四边形BED 1F 的周长取得最小值。
其中为真命题的是 。
(填写所有正确答案的序号)
三、解答题：(本大题共6个小题，共70分。
解答要写出文字说明，证明过程或演算步骤。
)
17.(本小题满分10分)
已知直线l：(a＋1)x＋y－2－a＝0(a∈R)。
(1)若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程；
(2)当0(0，0)点到直线l距离最大时，求直线l的方程。
18.(本小题满分12分)
某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]。
(1)求图中a的值；
(2)根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均数与中位数。
19.(本小题满分12分)
如图，把长为6，宽为3的矩形折成正三棱柱ABC－A1B1C1，三棱柱的高度为3，矩形的对角线和三棱柱的侧棱BB1、CC1的交点记为E、F。
(1)在三棱柱ABC－A1B1C1中，若过A1、E、F三点做一平面，求截得的几何体A1B1C1EF的表面积；
(2)求三棱柱中异面直线AE与A1F所成角的余弦值。
20.(本小题满分12分)
某公交公司为了方便市民出行，科学规划车辆投放，在一个人员密集流动地段增设一个起点站，为了研究车辆发车间隔时间x与乘客等候人数y之间的关系，经过调查得到如下数据：
调查小组先从这6组数据中选取4组数据求线性回归方程，再用剩下的2组数据进行检
验。
检验方法如下：先用求得的线性回归方程计算间隔时间对应的等候人数ˆy，再求ˆy与实际等候人数y的差，若差值的绝对值都不超过1，则称所求方程是“恰当回归方程”。
(1)从这6组数据中随机选取4组数据，求剩下的2组数据的间隔时间相邻的概率；
(2)若选取的是中间4组数据，求y关于x的线性回归方程ˆ
ˆˆ
y bx a
=+，并判断此方程是否是“恰当回归方程”。
附：对于一组数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x n，y n)，其回归直线ˆ
ˆˆ
y bx a
=+的斜率和截距的最
小二乘估计分别为：11
222
11
()()
ˆˆ
ˆ,
()
n n
i i i i
i i
n n
i i
i i
x x y y x y nx y
b a y bx
x x x nx
==
==
---
===-
--
∑∑
∑∑。
21.(本小题满分12分)
如图，在四棱锥中P－ABCD中，AD⊥CD，AD//BC，AD＝2BC＝2CD＝4，PC＝25，△PAD是正三角形。
(1)求证：CD⊥PA；
(2)求AB与平面PCD所成角的余弦值。
22.(本小题满分12分)
已知圆心在x轴上的圆C与直线4x－3y－6＝0切于点E(m，－
6
5
)。
圆P：x2＋(a＋3)x＋y2－ay＋2a＋2＝0。
(1)求圆C的标准方程；
(2)已知a>1，圆P与x轴相交于两点M，N(点M在点N的右侧)，过点M任作一条倾斜角不
为0的直线与圆C相交于A，B两点，问：是否存在实数a，使得∠ANM＝∠BNM？若存在，求出实数a的值，若不存在，请说明理由。
2019-2020年高二上学期期末考试 数学理 含答案
2019-2020年高二上学期期末考试 数学理 含答案本试卷分为第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
） 1．下列命题正确的是A ．若a 2＞b 2，则a ＞b B ．若1a ＞1b，则a ＜bC ．若ac ＞bc ，则a ＞bD ．若a ＜b ， 则a ＜b2．抛物线28y x =-的焦点坐标是A ．（2，0）B ．（- 2，0）C ．（4，0）D ．（- 4，0）3. 设()ln f x x x =，若0'()2f x =，则0x =A. 2eB. eC.ln 22D. ln 24．某食品的广告词为：“幸福的人们都拥有”，初听起来，这似乎只是普通的赞美说词， 然而他的实际效果大哩，原来这句话的等价命题是 A ．不拥有的人们不一定幸福 B ．不拥有的人们可能幸福 C ．拥有的人们不一定幸福 D ．不拥有的人们不幸福 5．不等式21≥-xx 的解集为A ．)0,1[-B ．),1[∞+-C ．]1,(--∞D ．),0(]1,(∞+--∞6．下列有关选项正确的．．．是 A ．若q p ∨为真命题，则p q ∧为真命题. B ．“5x =”是“2450x x --=”的充要条件.C ．命题“若1x <-，则2230x x -->”的否命题为：“若1x <-，则2320x x -+≤”. D ．已知命题p ：R x ∈∃，使得210x x +-<，则p ⌝：R x ∈∀，使得210x x +-≥7．设0,0.a b >>1133aba b+与的等比中项，则的最小值为 A ． 8 B ． 4 C ． 1D ． 148. 如图，共顶点的椭圆①、②与双曲线③、④的离心率分别为1234e e e e 、、、，其大小 关系为A.1243e e e e <<<B.1234e e e e <<<C.2134e e e e <<<D.2143e e e e <<<9．已知向量a ＝(1,1,0)，b ＝(－1,0,2)，且ka ＋b 与2a －b 互相垂直，则k 的值是A ．1 B.15 C. 75 D. 3510 在等差数列{}n a 中，若4,184==S S ，则20191817a a a a +++的值为A 9B 12C 16D 1711．在正方体111111ABCD A B C D BB ACD -中，与平面的余弦值为A32B33 C 32D3612．已知点P 是ABC ∆的中位线EF 上任意一点，且//EF BC ，实数x ，y 满足PA xPB yPC ++=0．设ABC ∆，PBC ∆，PCA ∆，PAB ∆的面积分别为S ，1S ，2S ，3S ， 记11S S λ=，22SS λ=，33S Sλ=．则23λλ⋅取最大值时，2x y +的值为A ．32 B.12C. 1D. 2第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分） 13. 在△ABC 中，若=++=A c bc b a 则,222_14．当x y 、满足不等式组11y x y x y ≤⎧⎪≥-⎨⎪+≤⎩时，目标函数2t x y =+的最小值是 .15. 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线方程为3y x =±，若顶点到渐近线的距离为1，则双曲线方程为 ．16 对正整数n ，设曲线)1(x x y n -=在2x =处的切线与y 轴交点的纵坐标为n a ，则数列1n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和的公式是 三、解答题求函数44313+-=x x y 在区间03⎡⎤⎣⎦，上的最大值与最小值以及增区间和减区间。
四川省内江市学年高二上学期期末检测数学理试题解析版
高二（上）期末数学试卷（理科）班级_________姓名_________考场号______座位号______注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置。
2．请认真阅读答题卡上的注意事项，在答题卡上与题号相对应的答题区域内答题，写在试卷、草稿纸上或答题卡非题号对应答题区域的答案一律无效。
不得用规定以外的笔和纸答题，不得在答题卡上做任何标记。
3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮檫干净后，再选择其他答案标号。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.在空间直角坐标系中，点A（1，-1，1）关于坐标原点对称的点的坐标为（）A. (1,−1,−1)B. (−1,−1,−1)C. (−1,−1,1)D. (−1,1，−1)2.某工厂生产甲、乙、丙三种型号的产品，产品数量之比为3：5：7，现用分层抽样的方法抽出容量为n的样本，其中甲种产品有18件，则样本容量n=（）A. 45B. 54C. 90D. 1263.某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5，30]，样本数据分组为[17.5，20），[20，22.5），[22.5，25），[25，27.5），[27.5，30]．根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（）A. 56B. 60C. 120D. 1404.图为某个几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A. 32B. 16+16√2C. 48D. 16+32√25.如图的正方体ABCD-A1B1C1D1中，异面直线A1B与B1C所成的角是（）A. 30∘B. 45∘C. 60∘D. 90∘6.已知a、b、c是直线，β是平面，给出下列命题：①若a⊥b，b⊥c则a∥c；②若a∥b，b⊥c则a⊥c；③若a∥β，b⊂β，则a∥b；④若a与b异面，且a∥β则b与β相交；其中真命题的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 47.直线x-2y+1=0关于直线x=1对称的直线方程是（）A. x+2y−1=0B. 2x+y−1=0C. 2x+y−3=0D. x+2y−3=08.已知直线l1：x-2y-1=0，直线l2：ax-by+1=0，其中a，b∈{1，2，3，4，5，6，}．则直线l1与l2的交点位于第一象限的概率为（）A. 16B. 14C. 13D. 129.若变量x，y满足{x+y≤63x−5y≤14x≥2，则x2+y2的最大值是（）A. 18B. 20C. 612D. 1642510.与圆O1；x2+y2+4x-4y+7=0，圆O2：x2+y2-4x-10y+13=0都相切的直线条数是（）A. 3B. 1C. 2D. 411.如图，边长为2的正方形ABCD中，点E、F分别是AB、BC的中点，将△ADE，△EBF，△FCD分别沿DE，EF，FD折起，使得A、B、C三点重合于点A′，若四面体A′EFD的四个顶点在同一个球面上，则该球的表面积为（）A. 8πB. 6πC. 11πD. 5π12.已知圆O：x2+y2=1，直线l：y=ax+2，在直线l上存在点M，过点M作圆O的两条切线，切点为A、B，且四边形OAMB为正方形，则实数a的取值范围是（）A. [−1,1]B. (−∞,−1]∪[1,+∞)C. [−12,12] D. (−∞,−12]∪[12,+∞)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.如图茎叶图记录了甲．乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为______，______．14.执行如图所示的程序框图若输人x的值为3，则输出y的值为______．15.在平面直角坐标系xOy中，以点（2，0）为圆心，且与直线ax-y-4a-2=0（a∈R）相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为______．16.正四棱锥（底面是正方形，顶点在底面上的射影是底面中心）S-ABCD的底面边长为4，高为4，点E、F、G分别为SD，CD，BC的中点，动点P在正四棱锥的表面上运动，并且总保持PG∥平面AEF，则动点P的轨迹的周长为______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.（1）求经过直线3x+4y-2=0与直线x-y+4=0的交点P，且垂直于直线x-2y-1=0的直线方程；（2）求过点P（-1，3），并且在两坐标轴上的截距相等的直线方程．18.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AC⊥BC，BC=CC1，设AB1的中点为D，B1C∩BC1=E．求证：（1）DE∥平面AA1C1C；（2）BC1⊥平面AB1C．19.已知一圆经过点A（3，1），B（-1，3），且它的圆心在直线3x-y-2=0上．（1）求此圆的方程；（2）若点D 为所求圆上任意一点，且点C （3，0），求线段CD 的中点M 的轨迹方程．20. 某地区2012年至2018年农村居民家庭人均纯收入y （单位：千元）的数据如表：年份20122013 2014 2015 2016 2017 2018 年份代号t 1 2 3 4 5 6 7 人均纯收入 2.93.33.64.44.85.25.9（1）求y 关于t 的线性回归方程；（2）利用（1）中的回归方程，分析2012年至2018年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2020年农村居民家庭人均纯收入．附：参考公式：b ^=∑(ni=1t i −t −)(y i −y −)∑(n i=1t i−t −)2，a ^=y −−b ^t −．y ∧=b ∧x +a ∧．21. 如图：高为1的等腰梯形ABCD 中，AM =CD =1，AB =3，现将△AMD 沿MD 折起，使平面AMD ⊥平面MBCD ，连接AB 、AC ．（1）在AB 边上是否存在点P ，使AD ∥平面MPC ？ （2）当点P 为AB 边中点时，求点B 到平面MPC 的距离．22. 已知圆O ：x 2+y 2=2，直线．l ：y =kx -2．（1）若直线l 与圆O 相切，求k 的值；（2）若直线l 与圆O 交于不同的两点A ，B ，当∠AOB 为锐角时，求k 的取值范围；（3）若k =12，P 是直线l 上的动点，过P 作圆O 的两条切线PC ，PD ，切点为C ，D ，探究：直线CD 是否过定点．答案1.【答案】B【解析】解：空间坐标关于原点对称，则所有坐标都为原坐标的相反数，即点A（1，-1，1）关于坐标原点对称的点的坐标为（-1，-1，-1），故选：B．根据空间坐标的对称性进行求解即可．本题主要考查空间坐标对称的计算，结合空间坐标的对称性是解决本题的关键．比较基础．2.【答案】C【解析】解：A种型号产品所占的比例为=，18，故样本容量n=90．故选：C．由分层抽样的特点，用A种型号产品的样本数除以A种型号产品所占的比例，即得样本的容量n．本题考查分层抽样的定义和方法，各层的个体数之比等于各层对应的样本数之比，属于基础题．3.【答案】D【解析】解：自习时间不少于22.5小时的频率为：（0.16+0.08+0.04）×2.5=0.7，故自习时间不少于22.5小时的频数为：0.7×200=140，故选：D．根据已知中的频率分布直方图，先计算出自习时间不少于22.5小时的频率，进而可得自习时间不少于22.5小时的频数．本题考查的知识点是频率分布直方图，难度不大，属于基础题目．4.【答案】B【解析】解：根据几何体的三视图，得；该几何体是底面边长为4，高为2的正四棱锥，所以该四棱锥的斜高为=2；所以该四棱锥的侧面积为4××4×2=16，底面积为4×4=16，所以几何体的表面积为16+16．故选：B．根据几何体的三视图，得出该几何体是正四棱锥，结合图中数据，即可求出它的表面积．本题考查了利用空间几何体的三视图求表面积的应用问题，是基础题目．5.【答案】C【解析】解：连接A1D，由正方体的几何特征可得：A1D∥B1C，则∠BA1D即为异面直线A1B与B1C所成的角，连接BD，易得：BD=A1D=A1B故∠BA1D=60°故选：C．连接A1D，根据正方体的几何特征及异面直线夹角的定义，我们可得∠BA1D即为异面直线A1B与B1C所成的角，连接BD后，解三角形BA1D即可得到异面直线A1B与B1C所成的角．本题考查的知识点是异面直线及其所成的角，其中根据正方体的几何特征及异面直线夹角的定义判断出∠BA1D即为异面直线A1B与B1C所成的角，是解答本题的关键．6.【答案】A【解析】解：①利用正方体的棱的位置关系可得：a与c可以平行、相交或为异面直线，故不正确；②若a∥b，b⊥c，利用“等角定理”可得a⊥c，故正确；③若a∥β，b⊂β，则a与平面β内的直线可以平行或为异面直线，不正确；④∵a与b异面，且a∥β，则b与β相交，平行或b⊂β，故不正确．综上可知：只有②正确．故选：A．①利用正方体的棱的位置关系即可得出；②若a∥b，b⊥c，利用“等角定理”可得a⊥c；③若a∥β，b⊂β，利用线面平行的性质可得：a与平面β内的直线可以平行或为异面直线；④由a与b异面，且a∥β，则b与β相交，平行或b⊂β，即可判断出．熟练掌握空间空间中线线、线面的位置关系是解题的关键．7.【答案】D【解析】解：解法一（利用相关点法）设所求直线上任一点（x，y），则它关于x=1对称点为（2-x，y）在直线x-2y+1=0上，∴2-x-2y+1=0化简得x+2y-3=0故选答案D．解法二：根据直线x-2y+1=0关于直线x=1对称的直线斜率是互为相反数得答案A或D，再根据两直线交点在直线x=1选答案D故选：D．设所求直线上任一点（x，y），关于x=1的对称点求出，代入已知直线方程，即可得到所求直线方程．本题采用两种方法解答，一是相关点法：求轨迹方程法；法二筛选和排除法．本题还有点斜式、两点式等方法．8.【答案】A【解析】解：设事件A为“直线l1与l2的交点位于第一象限”，由于直线l1与l2有交点，则b≠2a．联立方程组解得x=，y=，∵直线l1与l2的交点位于第一象限，则x=＞0，y=＞0，解得b＞2a．a，b∈{1，2，3，4，5，6}的总事件数为36种．满足条件的实数对（a，b）有（1，3）、（1，4）、（1，5）、（1，6）、（2，5）、（2，6）共六种．∴P（A）==即直线l1与l2的交点位于第一象限的概率为．故选：A．本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件数是36，满足条件的事件是两条直线的交点在第一象限，写出两条直线的交点坐标，根据在第一象限写出不等式组，解出结果，根据a，b之间的关系写出满足条件的事件数，得到结果．本题考查等可能事件的概率，考查两条直线的交点在第一象限的特点，本题是一个综合题，在解题时注意解析几何知识点的应用．9.【答案】C【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：设z=x2+y2，则z的几何意义是区域内的点到原点的距离的平方，由图象知，C点到原点的距离最大，由得，即C （，），此时x2+y2=，故选：C．作出不等式组对应的平面区域，利用z=x2+y2的几何意义是区域内的点到原点的距离的平方，利用数形结合进行求解即可．本题主要考查线性规划的应用，利用两点间距离的几何意义，以及数形结合是解决本题的关键．10.【答案】A【解析】解：圆的圆心坐标为（-2，2），半径为1，圆的圆心坐标为（2，5），半径为4，两个圆心之间的距离d=5，等于半径和，故两圆外切，故公切线共有3条，故选：A．根据已知中圆的方程，求出圆心坐标和半径，判断出两圆外切，可得答案．本题考查的知识点是圆的位置关系，圆的一般方程，难度中档．11.【答案】B【解析】解：由题意可知△A′EF是等腰直角三角形，且A′D⊥平面A′EF．三棱锥的底面A′EF扩展为边长为1的正方形，然后扩展为正四棱柱，三棱锥的外接球与正四棱柱的外接球是同一个球，正四棱柱的对角线的长度就是外接球的直径，直径为：=．∴球的半径为，∴球的表面积为=6π．故选：B．把棱锥扩展为正四棱柱，求出正四棱柱的外接球的半径就是三棱锥的外接球的半径，从而可求球的表面积．本题考查几何体的折叠问题，几何体的外接球的半径的求法，考查球的表面积，考查空间想象能力．12.【答案】B【解析】解：根据题意，圆O：x2+y2=1，圆心为O（0，0），半径r=1，若过点M作圆O的两条切线，切点为A、B，且四边形OAMB为正方形，则|OM|=，则M的轨迹为以O为圆心，为半径为圆，其方程为x2+y2=2，若在直线l上存在点M，则直线l与圆x2+y2=2有交点，则有d=≤，解可得：a≤-1或a≥1，即a的取值范围为（-∞，-1]∪[1，+∞）；故选：B．根据题意，由正方形的性质可得|OM|=，分析可得M的轨迹为以O为圆心，为半径为圆，其方程为x2+y2=2，进而可得若在直线l上存在点M，则直线l与圆x2+y2=2有交点，则有d=≤，解可得a的取值范围，即可得答案．本题考查直线与圆的位置关系，涉及与圆有关的轨迹问题，关键是分析M的轨迹，属于基础题．13.【答案】5 8【解析】解：根据茎叶图中的数据，得：∵甲组数据的中位数为15，∴x=5；又∵乙组数据的平均数为16.8，∴=16.8，解得：y=8；综上，x、y的值分别为5、8．故答案为：5 8．根据茎叶图中的数据，结合中位数与平均数的概念，求出x、y的值．本题考查了利用茎叶图求数据的中位数与平均数的问题，是基础题．14.【答案】63【解析】解：模拟程序的运行，可得x=3y=7不满足条件|x-y|＞31，执行循环体，x=7，y=15不满足条件|x-y|＞31，执行循环体，x=15，y=31不满足条件|x-y|＞31，执行循环体，x=31，y=63此时，满足条件|x-y|＞31，退出循环，输出y的值为63．故答案为：63．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量y的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．15.【答案】（x-2）2+y2=8【解析】解：根据题意，直线ax-y-4a-2=0，即y+2=a（x-4），恒过定点（4，-2），设P为（4，-2）设要求圆的半径为r，其圆心C的坐标为（2，0），分析可得：以点（2，0）为圆心，且与直线ax-y-4a-2=0（a∈R）相切的所有圆中，半径最大为CP，此时r2=|CP|2=（4-2）2+（-2-0）2=8，则要求圆的方程为（x-2）2+y2=8，故答案为：（x-2）2+y2=8．根据题意，将直线的方程变形，分析可得其恒过点（4，-2），结合直线与圆的位置关系可得以点（2，0）为圆心，且与直线ax-y-4a-2=0（a∈R）相切的所有圆中，半径最大的圆的半径为CP，求出圆的半径，结合圆的标准方程分析可得答案．本题考查直线与圆的位置关系，涉及直线过定点问题，注意分析直线所过的定点，属于基础题．16.【答案】2√5+√6．【解析】解：取SB，AB中点H，P，连接HG，PC，取PB中点Q，连接HQ，GQ，因为E、F分别为SD，CD中点，所以EF∥SC，SC∥HG，所以HG∥EF，HG不在面AEF内，所以HG∥面AEF．因为QG是中位线所以QG∥PC，PC ∥AF，所以QG∥AF，因为QG不在面AEF 内，所以QG∥面AEF，因为HG∩QG=G，所以面HQG∥面AEF．动点P在正四棱锥的表面上运动，并且总保持PG∥平面AEF，则动点P的轨迹的周长为△HQG 的周长．正四棱锥S-ABCD的底面边长为4，高为4，所以QG=，HG=，SP=2，HQ=，所以动点P的轨迹的周长为2+．过G做一个平面与面AEF平行，且与正四棱锥的表面相交，交线之和即为动点P的轨迹的周长．本题考查面面平行的位置关系，属于中档题．17.【答案】解：（1）联立{x−y+4=03x+4y−2=0，解得{y=2x=−2，∴两直线的焦点坐标为（-2，2），直线x-2y-1=0斜率为12，则所求直线的斜率为-2．∴直线方程为y-2=-2（x+2），即2x+y+2=0；（2）当直线过原点时，直线方程为y=-3x；当直线不过原点时，设直线方程为x+y=a，则-1+3=a，即a=2．是求直线方程为x+y=2．∴所求直线方程为3x+y=0或x+y-2=0．【解析】（1）联立直线方程求出点的坐标，再求出所求直线的斜率，代入直线方程点斜式得答案；（2）当直线过原点时，直线方程为y=-3x；当直线不过原点时，设直线方程为x+y=a，把点的坐标代入求得a，则直线方程可求．本题考查直线方程的求法，体现了分类讨论的数学思想方法，是基础题．18.【答案】证明：（1）因为四边形BB1C1C为正方形，B1C∩BC1=E，所以E为B1C的中点，又D为AB1的中点，因此DE∥AC．又因为DE⊄平面AA1C1C，AC⊂平面AA1C1C，所以DE∥平面AA1C1C．（2）因为棱柱ABC-A1B1C1是三棱柱，AA1⊥底面ABC所以CC1⊥平面ABC．因为AC⊂平面ABC，所以AC⊥CC1．又因为AC⊥BC，CC1⊂平面BCC1B1，BC⊂平面BCC1B1，BC∩CC1=C，所以AC⊥平面BCC1B1．又因为BC1⊂平面BCC1B1，所以B1C⊥AC．因为BC=CC1，所以矩形BCC1B1是正方形，因此BC1⊥B1C．因为AC，B1C⊂平面B1AC，AC∩B1C=C，所以BC1⊥平面AB1C．【解析】（1）由正方形性质得E为B1C的中点，从而DE∥AC，由此能证明DE∥平面AA1C1C．（2）由线面垂直得AC⊥CC1，由AC⊥BC，得AC⊥平面BCC1B1，由此能证明BC1⊥平面AB1C．本题考查线面平行的证明，考查线面垂直的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．19.【答案】解：（1）由已知可设圆心N（a，3a-2），又由已知得|NA|=|NB|，从而有√(a−3)2+(3a−2−1)2=√(a+1)2+(3a−2−3)2，解得：a=2．于是圆N的圆心N（2，4），半径r=√10．所以，圆N的方程为（x-2）2+（y-4）2=10．（2）设M（x，y），又点D是圆N：（x-2）2+（y-4）2=10上任意一点，可设D（2+√10cosα，4+√10sinα）．∵C（3，0），点M是线段CD的中点，∴有x=3+2+√10cosα2，y=0+4+√10sinα2，消去参数α得：（x-52）2+（y-2）2=52．故所求的轨迹方程为：（x-52）2+（y-2）2=52【解析】（1）首先设出方程，将点坐标代入得到关于参数的方程组，通过解方程组得到参数值，从而确定其方程；（2）首先设出点M的坐标，利用中点得到点D坐标，代入圆的方程整理化简得到的中点M的轨迹方程．本题考查圆的方程，考查参数法，圆的方程一般采用待定系数法，属于中档题．20.【答案】解：（1）t−=1+2+3+4+5+6+77=4，y−=2.9+3.3+3.6+4.4+4.8+5.2+5.97=4.3，b^=−3×(−1.4)+(−2)×(−1)+(−1)×(−0.7)+0+0.5+2××0.9+3×1.69+4+1+0+1+4+9=1424=0.5，a^=y−-b^×t−=4.3-0.5×4=2.3，y关于t的线性回归方程为：y^=0.5x+2.3．（2）2012年至2018年该地区农村居民家庭人均纯收入逐步提高，翻了一番．当t=8时，y=0.5×8+2.3=6.3千元．∴预测该地区2020年农村居民家庭人均纯收入为6.3千元．【解析】（1）根据公式计算可得：=0.5x+2.3．（2）t=8代入计算可得．本题考查了线性回归方程，属中档题．21.【答案】解：（1）在AB边上存在点P，满足PB=2PA，使AD∥平面MPC．连接BD，交MC于O，连接OP，则由题意，DC=1，MB=2，又∵DC∥MB，∴△MOB∽△COD，∴OB ：OD =MB ：DC ，∴OB =2OD ， ∵PB =2PA ， ∴OP ∥AD ，∵AD ⊄平面MPC ，OP ⊂平面MPC ， ∴AD ∥平面MPC ；（2）由题意，AM ⊥MD ，平面AMD ⊥平面MBCD ，∴AM ⊥平面MBCD ， ∴P 到平面MBC 的距离为12，△MBC 中，MC =BC =√2，MB =2，∴MC ⊥BC ， ∴S △MBC =12×√2×√2=1，△MPC 中，MP =√52=CP ，MC =√2，∴S △MPC =12×√2×√54−24=√64．设点B 到平面MPC 的距离为h ， 则由等体积可得13×1×12=13×√64ℎ， ∴h =√63．【解析】（1）在AB 边上存在点P ，满足PB=2PA ，使AD ∥平面MPC ，证明AD ∥OP ，即可证明AD ∥平面MPC ？（2）当点P 为AB 边中点时，利用等体积方法，即可求点B 到平面MPC 的距离．本题考查线面平行的判定，考查点到平面距离的计算，考查体积的计算，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题． 22.【答案】解：（1）∵圆O ：x 2+y 2=2，直线l ：y =kx -2．直线l 与圆O 相切，∴圆心O （0，0）到直线l 的距离等于半径r =√2， 即d =|−2|√k 2+1=√2， 解得k =±1． （2）设A ，B 的坐标分别为（x 1，y 1），（x 2，y 2），将直线l ：y =kx -2代入x 2+y 2=2，整理，得（1+k 2）x 2-4kx +2=0， ∴x 1+x 2=4k1+k 2，x 1x 2=21+k 2， △=（-4k ）2-8（1+k 2）＞0，即k 2＞1， 当∠AOB 为锐角时，OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+（kx 1-2）（kx 2-2） =(1+k 2)x 1x 2−2k(x 1+x 2)+4 =6−2k 21+k 2＞0，解得k 2＜3，又k 2＞1，∴-√3＜k ＜−1或1＜k ＜√3． 故k 的取值范围为（-√3，−1）∪（1，√3）．（3）由题意知O ，P ，C ，D 四点共圆且在以OP 为直径的圆上， 设P （t ，12t −2），其方程为x （x -t ）+y （y -12t +2）=0， ∴x 2−tx +y 2−(12t −2)y =0， 又C ，D 在圆O ：x 2+y 2=2上，∴l CD ：tx +(12t −2)y −2=0，即（x -y2）t -2y -2=0， 由{x +y2=02y +2=0，得{x =12y =−1， ∴直线CD 过定点（12，−1）． 【解析】（1）由直线l 与圆O 相切，得圆心O （0，0）到直线l 的距离等于半径r=，由此能求出k ．（2）设A ，B 的坐标分别为（x 1，y 1），（x 2，y 2），将直线l ：y=kx-2代入x 2+y 2=2，得（1+k 2）x 2-4kx+2=0，由此利用根的判断式、向量的数量积公式能求出k 的取值范围． （3）由题意知O ，P ，C ，D 四点共圆且在以OP 为直径的圆上，设P （t ，），其方程为，C ，D 在圆O ：x 2+y 2=2上，求出直线CD ：（x-）t-2y-2=0，联立方程组能求出直线CD 过定点（）．本题考查实数的取值范围的求法，考查直线是否过定点的判断与求法，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．。
四川省内江市19-20学年高二上学期期末数学试卷(附答案解析)
四川省内江市19-20学年高二上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.髙一某班有学生56人，现将所有同学随机编号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，巳知6号、34号、48号学生在样本中，则样本中还有一个学生的编号为()A. 18B. 20C. 21D. 232.空间直角坐标系中，点A(1,2，3)关于xOy平面对称点为点B，关于原点的对称点为点C；则B、C间的距离为()A. √5B. √14C. 2√5D. 2√143.已知直线l1；2x+y−2=0，l2：ax+4y+1=0，若l1⊥l2，则a的值为()D. −2A. 8B. 2C. −124.图1是某高三学生进入高中三年来的数学考试成绩的茎叶图，图中第1次到14次的考试成绩依次记为A1，A2，…A14.图2是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个算法流程图．那么算法流程图输出的结果是()A. 8B. 9C. 10D. 115.直线ax+y−1=0与圆x2+y2=4的位置关系是()A. 相离B. 相切C. 相交D. 与a的值有关6.已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中的真命题是()A. 若m//α，n//β，α//β，则m//nB. 若m//α，n//β，α⊥β，则m⊥nC. 若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则m//nD. 若m⊥α，n//β，α//β，则m⊥n7. 若实数x ，y 满足{x −2y +1≤02x −y −1≥0x +y −5≤0，则3x +y 的最大值为( )A. 9B. 10C. 11D. 128. 已知点M (1,4)到直线l ：mx +y −1=0的距离为3，则实数m =( )A. 0B. 34C. 3D. 0或34 9. 2013年华人数学家张益唐证明了孪生素数猜想的一个弱化形式。
孪生素数猜想是希尔伯特在1900年提出的23个问题之一，可以这样描述：存在无穷多个素数p ，使得p +2是素数，素数对(p,p +2)称为孪生素数．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其中能够组成孪生素数的概率是( )A. 115B. 215C. 245D. 445 10. 圆心为的圆，被直线x −y −1=0截得的弦长为2√2，则此圆的方程为( )A. (x −2)2+(y +1)2=4B. (x −2)2+(y +1)2=2C. (x +2)2+(y −1)2=4D. (x +2)2+(y −1)2=211. 已知圆C ：x 2+y 2=1和两点A(−m,2),B(m,2)(m >0)，若圆C 上存在点P ，使得AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，则m 的最大值与最小值之差为( )A. 1B. 2C. 3D. 412. 已知球O 是正三棱锥(底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心)A −BCD 的外接球，BC =3，AB =2√3，点E 在线段BD 上，且BD =6BE ，过点E 作球O 的截面，则所得截面圆面积的取值范围是( )A. [3π4,4π]B. [5π4,4π]C. [7π4,4π]D. [11π4,4π]二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知一组数据8，9，x ，10，7，6的平均数为8，那么x 的值为 ．14. 用秦九韶算法计算多项式f(x)=2x 4−x 3+3x 2+7，在求x =3时对应的值时，v 3的值为__________．15. 过点P(−3,1)，Q(a,0)的光线经x 轴反射后与圆x 2+y 2=1相切，则a 的值为________．16. 在正三棱锥P −ABC 中，D ，E 分别是AB ，BC 的中点，有下列三个论断：①AC ⊥PB ；②AC//平面PDE ；③AB ⊥平面PDE. 其中正确的选项是______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知三角形的三个顶点A(−2,0)，B(4,−4)，C(0,2)，(1)求线段BC的中线所在直线方程；(2)求过点AB边上的高所在的直线方程．18.某班100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]．(1)求图中a的值．(2)根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分．(3)根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的中位数(保留两位小数)19.如图所示，正方体ABCD−A′B′C′D′的棱长为a，连接A′C′，A′D，A′B，BD，BC′，C′D，得到一个三棱锥．求：(1)三棱锥A′−BC′D的表面积与正方体表面积的比值；(2)三棱锥A′−BC′D的体积．20.某种产品的广告费支出x与销售额y(单位：万元)之间有如下对应数据：(1)求广告费支出x与销售额y回归直线方程ŷ=b̂x+â(â,b̂∈R)已知，â=y_−b̂x_(2)在已有的五组数据中任意抽取两组，求至少有一组数据其预测值与实际值之差的绝对值不超过5的概率．21.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为边长为2的正方形，PA⊥底面ABCD，PA=2(1)求异面直线PC与BD所成角的大小；(2)求点A到平面PBD的距离．22.已知过原点的动直线l与圆C1：x2+y2−6x+5=0相交于不同的两点A，B．(1)求线段AB的中点M的轨迹C的方程；(2)是否存在实数k，使得直线L：y=k(x−4)与曲线C只有一个交点？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：本题主要考查系统抽样的应用，根据系统抽样的定义得到样本组距为14是解决本题的关键．比较基础．根据系统抽样的定义即可得到结论．解：高一某班有学生56人，现将所有同学随机编号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，=14，则间隔为564∵6号、34号、48号学生在样本中，∴样本中还有一个学生的编号为20，故选B．2.答案：C解析：本题主要考查空间中对称点的坐标的求法以及空间中两点间的距离公式，属于基础题．先根据题意得出点B，C的坐标，再利用空间中两点间的距离公式，即可求出B，C间的距离．解：由题意得：B(1,2,−3),C(−1,−2,−3)，∴|BC|=√(−1−1)2+(−2−2)2+(−3+3)2=2√5．故选C．3.答案：D解析：利用两条直线相互垂直的充要条件即可得出．本题考查了两条直线相互垂直的充要条件，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．解：由题知2a+4=0，∴a=−2．经检验，符合题意．故选D．4.答案：C解析：解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加14次考试成绩超过90分的人数；根据茎叶图的含义可得超过90分的人数为10个，故选：C．根据流程图可知该算法表示统计14次考试成绩中大于等于90的人数，结合茎叶图可得答案．本题主要考查了循环结构，以及茎叶图的认识，解题的关键是弄清算法流程图的含义，属于基础题．5.答案：C解析：本题考查直线恒过定点，考查直线与圆的位置关系，确定线恒过定点，且在圆内是关键，属基础题．求出直线恒过定点，且在圆内，即可得出结论．【解答】∵直线ax+y−1=0恒过点(0,1)，且02+12<4，∴(0,1)在圆内，∴直线ax+y−1=0与圆x2+y2=4相交．故选C．6.答案：D解析：解：A.若m//α，n//β，α//β，由线面、面面平行的性质可得：m//n、相交或异面直线，因此不正确；B.若m//α，n//β，α⊥β，由线面平行、面面垂直的定理可得：m//n、相交或异面直线，因此不正确；C.若m⊥α，n⊥β，α⊥β，由线面面面垂直的性质定理可得：m⊥n，因此C不正确；D.若m⊥α，n//β，α//β，根据线面垂直和线面面面平行的性质可得：m⊥n，正确．A.利用线面平行和面面平行的性质定理即可得出；B.利用线面平行、面面垂直的定理即可得出；C.利用线面垂直、面面垂直的性质即可得出；D.利用线面垂直和线面面面平行的性质即可得出．本题综合考查了空间中线线、线面、面面的位置关系，属于基础题．7.答案：C解析：本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键．作出不等式组对应的平面区域，利用z 的几何意义，利用数形结合，即可得到结论．解：作出实数x ，y 满足{x −2y +1⩽02x −y −1⩾0x +y −5⩽0对应的平面区域如图：由z =3x +y 得y =−3x +z ，平移直线y =−3x +z ，由图象可知当直线y =−3x +z ，经过点A 时，直线的截距最大，此时z 最大．由{x −2y +1=0x+y=5，解得即A(3,2)，此时z max =3×3+2=11，故选C ．8.答案：D解析：本题主要考查点到直线距离的应用，属于中档题．解：由题意得，∴√m 2+1=3，解得0或34，故选D ．9.答案：D解析：本题主要考查古典概率的知识，属于基础题．解答本题的关键是知道古典概率的计算方法．解：在30以内的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29共10个，从中随机取两个数共C 102=10×92×1=45种情况，其中能够组成孪生素数的：2+3=5，2+5=7，2+11=13，2+17=19，共有4种， ∴其中能够组成孪生素数的概率是445，故选D ． 10.答案：A解析：由垂径定理，根据弦长的一半及圆心到直线的距离求出圆的半径，即可写出圆的标准方程． 解：因为圆心到直线x −y −1=0的距离d =√2=√2，又弦长为2√2，所以圆的半径r =√(√2)2+(2√22)2=2， 则圆的方程为(x −2)2+(y +1)2=4．故选A ． 11.答案：B解析：本题考查实数的最值的求法，向量数量积的运算，是中档题，解题时要认真审题，根据向量数量积的坐标表示和两点距离公式的运用，以及圆上一点与圆外一点的距离的最值性质即可解决问题．解：圆C ：x 2+y 2=1的圆心C(0,0)，半径r =1，设P(a,b)在圆C 上，则AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(a +m,b −2)，BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(a −m,b −2)，由AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，可得(a +m)(a −m)+(b −2)2=0，即m 2=a 2+(b −2)2，m 的值可看成圆上一点P 到点(0,2)的距离，由题意可知点(0,2)为AB 的中点，设为点M ， m 的最大值即为|PM|的最大值，等于|OM|+r =2+1=3.m 的最小值即为|PM|的最小值，等于|OM|−r =2−1=1.则m 的最大值与最小值之差为3−1=2.故选B .12.答案：B解析：设△BDC 的中心为O 1，球O 的半径为R ，连接O 1D ，OD ，O 1E ，OE ，可得R 2=3+(3−R)2，解得R =2，过点E 作圆O 的截面，当截面与OE 垂直时，截面的面积最小，当截面过球心时，截面面积最大，即可求解．本题考查三棱锥外接球的截面圆面积的取值范围的求法，考查球、圆锥等基础知识，考查运算求解能力、空间想象能力，考查函数与方程思想、数形结合思想，是中档题；解：如图，设△BDC 的中心为O 1，球O 的半径为R ，连接O 1D ，OD ，O 1E ，OE ，则O 1D =3sin60°×23=√3，AO 1=√AD 2−DO 12=√12−3=3，在Rt △OO 1D 中，R 2=3+(3−R)2，解得R =2，∵BD =6BE ，∴DE =2.5，在△DEO 1中，O 1E =√3+254−2×√3×52×cos30°=√72，∴OE =√O 1E 2+OO 12=√74+1=√112，过点E 作圆O 的截面，当截面与OE 垂直时，截面的面积最小，此时截面圆的半径为(√112)=√52，最小面积为54π，当截面过球心时，截面面积最大，最大面积为4π．故选B ．13.答案：8解析：【分析】根据平均数的公式进行求解即可．本题主要考查平均数的计算和应用，比较基础．【解答】解：∵数据8，9，x，10，7，6的平均数为8，∴8+9+x+10+7+6=8×6=48，解得x=8，故答案为8．14.答案：54解析：解：f(x)=2x4−x3+3x2+7=(((2x−1)x+3)x)x+7，∴v0=2，v1=2×3−1=5，v2=5×3+3=18，v3=18×3=54．故答案为：54．由秦九韶算法可得f(x)=2x4−x3+3x2+7=(((2x−1)x+3)x)x+7，即可得出．本题考查了秦九韶算法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．15.答案：−53解析：本题考查直线与圆的位置关系，考查对称性的运用，属于基础题．P(−3,1)关于x轴的对称点的坐标(x−a)，利用直线与圆相切，可得方程，即可得出结论．为P′(−3,−1)，直线P′Q的方程为y=−1−3−a解：P(−3,1)关于x轴的对称点的坐标为P′(−3,−1)，(x−a)，直线P′Q的方程为y=−1−3−a即x−(3+a)y−a=0，=1，圆心(0,0)到直线的距离d=√1+(3+a)2∴a=−5，3．故答案为−5316.答案：①②解析：本题主要考查了直线与平面平行的判定，以及直线与平面垂直的判定，属于基础题．解：①根据正三棱锥的性质可知对棱互相垂直，故正确，(或者取AC中点O，证明AC⊥平面POB)②∵AC//DE，AC⊄面PDE，DE⊂面PDE，∴AC//平面PDE，故正确，③若AB⊥平面PDE，则AB⊥DE，因为DE//AC，AC与AB不垂直，③显然不正确．故答案为①②．17.答案：解：(1)线段BC的中点M(2,−1)，∴线段BC的中线所在直线方程为；y−0=−1−02−(−2)(x+2)，即x+4y+2=0．(2)k AB=−4−04−(−2)=−23．∴过点AB边上的高所在的直线方程为：y=32x+2，即3x−2y+4=0．解析：(1)线段BC的中点M(2,−1)，利用点斜式即可得出．(2)利用斜率计算公式可得k AB，利用相互垂直的直线斜率之间的关系可得过点AB边上的高所在的直线的斜率，利用斜截式即可得出．本题考查了直线的点斜式、斜截式、斜率计算公式、相互垂直的直线斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．18.答案：解：(1)由频率分布直方图知(0.04+0.03+0.02+2a)×10=1，因此a=0.005；(2)55×0.05+65×0.4+75×0.3+85×0.2+95×0.05=73，所以这100名学生语文成绩的平均分为73分；(3)设中位数为x，有0.005×10+0.04×10+0.3×(x−70)=0.5，解得x=70.17，所以这100名学生语文成绩的中位数约为70.17分．解析：本题考查频率分布直方图的应用，考查频率、平均数、中位数的求法，考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、转化能力、数据处理能力，是基础题．(1)由频率分布直方图中小矩形有面积之和为1，能求出a=0.005；(2)由平均数加权公式可得平均数为55×0.05+65×0.4+75×0.3+85×0.2+95×0.05，计算出结果即得；(3)设中位数为x，由0.005×10+0.04×10+0.3×(x−70)=0.5，求解即可．19.答案：解：(1)正方体ABCD−A′B′C′D′的棱长为a，则三棱锥A′−BC′D的棱长为√2a，表面积为4×√34×(√2a)2=2√3a2，正方体表面积为6a2，∴三棱锥A′−BC′D的表面积与正方体表面积的比值为√3：3；(2)三棱锥A′−BC′D的体积为a3−4×13×12a3=13a3．解析：(1)求出三棱锥A′−BC′D的棱长为√2a，即可求出三棱锥A′−BC′D的表面积与正方体表面积的比值；(2)利用割补法，即可求出三棱锥A′−BC′D的体积．本题考查三棱锥、正方体表面积、体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．20.答案：解：(1)由题意得x=2+4+5+6+85=5，y=30+40+50+60+705=50，b̂=∑x ini=1y i−n⋅x⋅y ∑x i2ni=1−n⋅x2=60+160+300+300+560−5×5×50 4+16+25+36+64−5×25=13020=132，â=y−b̂x=50−132×5=352，所求回归直线方程为ŷ=132x+352；(2)由(1)可求得数据其预测值与实际值如下表，基本事件：(30,40)，(30,60)，(30,50)，(30,70)，(40,60)，(40,50)，(40,70)，(60,50)，(60,70)，(50,70)共10个两组数据其预测值与实际值之差的绝对值都超过5：(60,50)，所以至少有一组数据其预测值与实际值之差的绝对值不超过5的概率为P=1−110=910．解析：本题考查回归分析的初步应用，考查求线性回归方程，考查预报值，考查古典概型，解此类题，关键是理解线性回归分析的意义，属于综合题．(1)首先求出x，y的平均数，利用最小二乘法求出线性回归方程的系数，根据样本中心点满足线性回归方程，代入已知数据求出â的值，写出线性回归方程．(2)分别求出在已有的五组数据中任意抽取两组的情况总数，及两组数据的预测值与实际值之差的绝对值都超过5的情况数，利用古典概型概率计算公式和对立事件概率公式，可得答案．21.答案：解：(1)令AC与BD交点为O，PA的中点为E，连接OE，BE，如图所示：∵PA⊥底面ABCD，AB⊂面ABCD,AD⊂面ABCD,AC⊂面ABCD,∴PA⊥AB,PA⊥AD,PA⊥AC,PA⊥BD，又底面ABCD为边长为2的正方形，∴PC=√PA2+AC2=√22+(2√2)2=2√3，∵O为BD的中点，则EO=12PC=√3，且OE//PC，OB=12BD=√2，BE=√AE2+AB2=√5，∴|cos∠EOB|=|3+2−52⋅√3⋅√2|=0，即异面直线PC与BD所成角为90°；(2)过A作AH⊥OP，垂足为H，∵BD⊥AC,BD⊥PA,PA∩AC=A,PA⊂面PAC,AC⊂面PAC,∴BD⊥面PAC,∵AH⊂面PAC,∴AH⊥BD,又BD∩PO=O,BD⊂面PBD,PO⊂面PBD,∴AH⊥平面PBD．在直角三角形AOP中，AP=2，OA=√2，OP=√6，由等面积可得AH=√2√6=2√33．解析：(1)令AC 与BD 交点为O ，PA 的中点为E ，连接OE ，BE ，则OE//PC ，则直线PC 与BD 所成角等于直线OE 与BD 所成角，解三角形OEB ，即可得到答案． (2)过A 作AH ⊥OP ，垂足为H ，则AH ⊥平面PBD ，求出AH ，即可求点A 到平面PBD 的距离． 本题考查异面直线及其所成的角，点A 到平面PBD 的距离，将空间问题转化为一个平面解三角形的问题是解题的关键．22.答案：解：(1)圆C 1：x 2+y 2−6x +5=0⇒(x −3)2+y 2=4，∴圆心坐标为(3,0)，设M(x,y)，则可知C 1M ⊥AB ， ∴k C 1M ⋅k AB =−1⇒y x−3⋅y x =−1，整理可得：(x −32)2+y 2=94， 当动直线与圆相切时，设直线方程：y =kx ， 则{x 2+y 2−6x +5=0y =kx⇒(k 2+1)x 2−6x +5=0, ∴△=36−20(k 2+1)=0⇒k 2=45，∴切点的横坐标为x =12⋅6k 2+1=53，由圆的性质可得：M 横坐标的取值范围为(53,3],所以轨迹方程为(x −32)2+y 2=94，x ∈(53,3]．(2)由(1)可得曲线C 为圆(x −32)2+y 2=94,x ∈(53,3]的一部分圆弧EF(不包括E ，F)，其中E(53,2√53),F(53,−2√53)， 直线L ：y =k(x −4)过定点(4,0)，①当直线与圆相切时：d C−l =|52k|√k 2+1=32⇒k =±34，②当直线与圆不相切时，可得k DE=0−2√5 34−53=−2√57，k DF=0−(−2√53)4−53=2√57，数形结合可得：当k∈[−2√57,2√57]时，直线与圆有一个交点，综上所述：k∈[−2√57,2√57]∪{34,−34}时，直线L与曲线C只有一个交点．解析：本题考查求轨迹方程、直线与曲线的位置关系问题，注意解题方法的积累，属于中档题．(1)设当直线l的方程为y=kx，通过联立直线l与圆C1的方程，利用根的判别式大于0、韦达定理、中点坐标公式及参数方程与普通方程的相互转化，计算即得结论；(2)通过联立直线L与圆C1的方程，利用点到直线的距离及轨迹C的端点与点(4,0)决定的直线斜率，即得结论．。
2019-2020年高二上学期期末试题 数学(理) 含答案
2019-2020年高二上学期期末试题 数学（理） 含答案数学试卷（理科）出题人：王先师 审题人：杨柳考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1. 本试卷分第Ⅰ卷、第Ⅱ卷和答题卡，共4页。
满分150分，考试用时110分钟。
考试结束后，请将答题卡卷交回，试题卷自己保存。
2．答题前，请您务必将自己的班级、姓名、学号、考号用0.5毫米黑色签字笔填写在答题卡上。
3．作答非选择题必须用0.5毫米的黑色签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位置作答一律无效。
4．保持答题卷清洁、完整，严禁使用涂改液和修正带。
第Ⅰ卷 选择题（共60分）一、 选择题（本大题包括12个小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，请将正确选项涂在答题卡上）1. 复数ii -+13的共轭复数是 ( ) A. i 21+ B. i 2-1 C. i +2 D.i -22. 抛物线241x y =的准线方程是 ( ) A. 1=x B.1-=x C.1=y D.1-=y3. 双曲线1222=-y ax 的离心率为2，则正数a 的值为 ( )A.3B. 2C. 2D. 14. 已知椭圆)3(13222>=+a y a x 上一动点P 到其两焦点21,F F 的距离之和为4，则实数a 的值是 ( )A. 1B. 2C. 3D. 45. 若函数12+=ax y 的图象与双曲线1422=-y x 的渐近线相切，则实数a 的值为 ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 46. 已知函数3)(+=x e x f ，则)(x f 在0=x 处切线的方程是 ( )A.04=+-y xB. 04-=+y xC. 044=+-y xD. 044=-+y x7.若抛物线)0(22>=p px y 与直线01=--y x 交于B A ,两点,且8||=AB ,则p 的值为( )A. 2B. 4C. 6D. 88.若函数x ax x f ln )(-=在),2(+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是 ( )A. )2,(-∞B. ]2,(-∞C. ),21[+∞D. 1[,)4+∞9. 函数5331)(23+--=x x x x f 的零点的个数是 ( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 10. 函数12)(+-=x e x f x 在)1,0[上的最小值是 ( )A. 2B. 1-eC. 2ln 23-D. 2ln 22- 11.=--⎰⎰dx x dx x 10102213 ( ) A. 41π- B. 2 C. 41π+ D. 1-π 12. 若椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的离心率为21，则双曲线12222=-b y a x 的离心率 是( )A. 2B. 25 C. 27 D. 3 第Ⅱ卷 非选择题（共90分）二、选择题（本大题包括4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡的指定位置）13. 复数))(1(i a i z -+=表示的点在第四象限，则实数a 的取值范围是_______________;14. 若点),1(m P 为抛物线)0(22>=p px y 上一点，F 是抛物线的焦点，若,2||=PF 则=m ________________;15.函数1)(3++=bx ax x f 在1=x 处有极大值2，则_____=-a b .16.若B A ,是双曲线1322=-y x 上两个动点，且0OA OB ⋅=,则AOB ∆面积的最大值是_______.三、解答题（本大题包括6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.（本小题满分10分）若函数x bx ax x f 42)(23-+=在2-=x 与32=x 处取得极值. （1）求函数)(x f 的解析式（2）求函数)(x f 的单调递增区间. 18.（本小题满分12分）已知椭圆12222=+b y a x )0(>>b a 经过点)1,0(，且离心率22=e （1）求椭圆的标准方程（2）若直线l :)1(-=x k y 与椭圆交于B A ,两点，若0OA OB ⋅=，求直线l 的方程.19.（本小题满分12分）已知函数()2,a f x x a R x=+-∈ （1）当4=a 时，求函数)(x f 的极值. （2）若函数在1=x 处的切线平行于x 轴，求a 的值.20.（本小题满分12分） 已知椭圆13422=+y x ，B A ,分别为其左右顶点，p 是椭圆上异于B A ,的一个动点，设21,k k 分别是直线PB PA ,的斜率.（1）求12k k ⋅的值.（2）若)1,1(M 是椭圆内一定点，过M 的直线l 交椭圆于D C ,两点，若)(21OD OC OM +=，求直线l 的方程. 21.（本小题满分12分）若点)2,1(P ,11(,)A x y ，22(,)B x y 是抛物线px y 22=（0>p ）上的不同的三个点，直线AP ,BP 的斜率分别是21,k k ，若021=+k k .（1）求抛物线的方程.（2）求21y y +的值及直线AB 的斜率k. 22.（本小题满分12分） 已知函数1ln )(+-=x x x f（1）求函数)(x f 的单调区间（2）求证：当0>x 时， 1ln 11-≤≤-x x x（3）当*N n ∈时，证明)1ln(131211+>++++n n .。
2019-2020年高二上学期期末联考理数试题 含答案
2019-2020年高二上学期期末联考理数试题 含答案一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.命题p ：02x ∃≥，200220x x -->的否定是（ ）A ．20002 220x x x ∃≥--<，B ．20002 220x x x ∃<--<，C ．22 220x x x ∀<--≤，D ．22 220x x x ∀≥--≤， 2.在下列三个命题中，真命题的个数是（ ）①300 0x Z x ∃∈<，；②方程2210ax x ++=至少有一个负实数根的充分条件是0a =； ③抛物线24y x =的标准方程是：1y =. A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 3.一个算法程序如图所示，则输出的值是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6 4.“12m =”是“直线()2310m x my +++=与直线()()2230m x m y -++-=互相垂直”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C.充要条件 D ．既不充分也不必要条件5.已知函数()3log f x x =，[]0 1 27x ∈，，则不等式()012f x ≤≤成立的概率是（ ）A ．13B ．16 C.313 D ．296.已知x ，y 的取值如下表所示，若y 与x 线性相关，且回归方程是0.95y x a =+，则a =（ ）A ．2.2B ．2.9 C.2.8 D ．2.67.广安市2015年每个月平均气温（摄氏度）数据茎叶图如图所示，则这组数据的中位数、众数分别是（ ）A ．20；23B ．21.5；20，23 C.20；20，23 D ．21.5；23； 8.已知命题p ：若x y >，则x y -<-；命题q ：若x y <，则22x y >，在命题： ①p q ∧；②p q ∨；③()p q ∧⌝；④()p q ⌝∨中，真命题是（ ） A ．①③ B ．①④ C.②③ D ．②④9.某校高二年级共有24个班，为了解该年级学生对数学的喜爱程度，将每个班编号，依次为1到24，现用系统抽样方法抽取4个班进行调查，若抽到的编号之和为52，则抽到的最小编号是（ ）A ．2B ．3 C.4 D ．510.已知a ，b 是实数，若圆()()22111x y -+-=与直线()()1120a x b y +++-=相切，则a b+的取值范围是（ ）A ．2 2⎡-⎣，B ．()222 2 ⎡-∞-++∞⎣，，C.()2 2 ⎡-∞-+∞⎣，， D ．(])222 2 ⎡-∞++∞⎣，， 11.设双曲线()222210 0x y a b a b -=>>，的左右焦点分别是1F 、2F ，离心率为e ，过点2F 的直线与双曲线的右支交于A ，B 两点，若1F AB △是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，则2e =（ ）A ．1+B ．4-5- D ．3+12.已知M ，N 是焦点为F 的抛物线24y x =上两个不同点，且线段MN 的中点A 的横坐标是3，直线MN 与x 轴交于点B ，则点B 的横坐标的取值范围是（ ） A ．(]3 3-， B ．(] 3-∞， C.(]6 3--， D ．()6 3-，第Ⅱ卷二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.完成进位制之间的转化：把五进制转化为七进制()5412= ()7．14.用秦九韶算法求n 次多项式()1110n n n n f x a x a x a x a --=++++…当0x x =时的值，其算法步骤如下：第一步，输入n ，n a 和x 的值； 第二步：n v a =，1i n =-； 第三步，输入i 次项系数i a ； 第四步， ，1i i =-；第五步，判断i 是否大于或等于0，若是，则返回第三步；否则，输出多项式的值v . 该算法中第四步空白处应该是 ．15.若抛物线22y px =的焦点与椭圆22195x y +=的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为 ．16.已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的右焦点为()3 0F ，，过点F 的直线交E 于A ，B 两点，若AB 的中点坐标为()1 1-，，则E 的方程为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分10分）已知命题p ：0c ∃>，()5xy c =-在R 上是增函数，命题q ：x R ∀∈，220x x c ++>，若p q ∧为假命题，p q ∨为真命题，求实数c 的取值范围. 18. （本小题满分10分）某校高三共有2000名学生参加广安市联考，现随机抽取100名学生的成绩（单位：分），并列成如下表所示的频数分布表：（1）试估计该年级成绩80≥分的学生人数；（2）已知样本中成绩在[)40 50，中的6名学生中，有4名男生，2名女生，现从中选2人进行调研，求恰好选中一名男生一名女生的概率. 19. （本小题满分12分）过点()0 2A ，作动直线m 与圆22:870C x y y +++=交于P ，Q 两点. （1）求圆C 的半径和圆心C 的坐标；（2）若直线m 的斜率存在，求直线m 的斜率的取值范围. 20. （本小题满分12分）已知过点()4 0A -，作动直线m 与抛物线()2:20G x py p =>相交于B ，C 两点. （1）当直线的斜率是12时，4AC AB =，求抛物线G 的方程； （2）设B ，C 的中点是M ，利用（1）中所求抛物线，试求点M 的轨迹方程. 21. （本小题满分12分）已知双曲线()22210y x b b-=>的左、右焦点分别为1F ，2F ，直线m 过2F 且与双曲线交于A ，B 两点.（1）若m 的倾斜角为2π，1F AB △是等边三角形，求双曲线的渐近线的方程；（2）设b =m 的斜率存在前提下，若()110F A F B AB +⋅=，求直线m 的斜率. 22. （本小题满分14分）如图，已知椭圆C 的方程为()222210x y a b a b +=>>的四个顶点分别是1A ，2A ，1B ，2B ，212A B B △是边长为的正三角形，其内切圆为圆G .（1）求椭圆C 和圆G 的方程；（2）若点D 是椭圆C 上第一象限内的动点，直线1B D 交线段22A B 于点E . ①求11DB EB 的最大值； ②设()1 0F -，，是否存在以椭圆C 上的点M 为圆心的圆M ，使得过圆M 上任意一点N ，作圆G 的切线（切点为T）都满足MF NT=M 的方程；若不存在，说明理由.邻水县、岳池县、前锋区2016年秋高中期末联考试题高二 数学（理科）参考答案及评分意见一、选择题1-5:DCBAC 6-10: DCCCB 11、12：CA二、填空题13.212 14.i v vx a =+ 15.2x =- 16.221189x y += 三、解答题17.解：由p ：0c ∃>，()5xy c =-在R 上是增函数，得04c <<； 又q ：x R ∀∈，220x x c ++>，得440c ∆=-<，∴1c >； 又因为p q ∧为假命题，p q ∨为真命题， 所以p 、q 中必然一真一假，在数轴上把p 、q 两个命题对应的c 的取值范围表示如下：所以，满足题意的c 的取值范围是：(][)0 1 4 +∞，，. 18.解：（1）100名学生中成绩80≥的学生人数是22人， 所以估计年级成绩80≥的学生人数是：222000440100⨯=； （2）样本中成绩在[)40 50，中的6名学生中，4名男生表示为1234 a a a a ，，，，2名女生表示为12 b b ，，从这6名学生中抽取两名学生有以下15种方法： 121314111223242122 a a a a a a a b a b a a a a a b a b ，，，，，，，，， 343132414212 a a a b a b a b a b b b ，，，，，，其中恰有一名男生一名女生的选取方法有8种， 所以，恰好抽到一名男生一名女生的概率是815P =.19.解：（1）圆C 化成标准方程是：()2249x y ++=； 所以圆C 的半径是3R =，圆心坐标是()0 4-，；（2）由题意可设直线m 的方程是：2y kx =+，即20kx y -+=， 因为直线m 与圆C 有两个不同交点，3<，即23k >，∴k >k <即斜率k的取值范围是(()3 -∞+∞，.20.解：设()11 B x y ，，()22 C x y ，，显然10y >，20y >， （1）由题意当直线m 的斜率为12时，其方程为：()142y x =+，即24x y =-， 又∵4AC AB =，∴214y y =①，联立2242x y x py =-⎧⎨=⎩，消去x 得：()22880y p y -++=，∴()22864160p p p ∆=+-=+>，且1282py y ++=，124y y =， 结合①式，可以解出2p =，所以抛物线方程是：24x y =.（2）当直线m 垂直于x 轴时，其与抛物线只有一个公共点，不符题意， 所以直线m 的方程可以设为：()4y k x =+，设B 、C 中点() M x y ，， 由()244y k x x y⎧=+⎪⎨=⎪⎩，消去y 得：()244x k x =+，即24160x kx k --=， 由216640k k ∆=+>解得0k >或4k <-，且124x x k +=， ∴()21212848y y k x x k k +=++=+，∴1221222242x x x k y y y k k+⎧==⎪⎪⎨+⎪==+⎪⎩，消去k 得点M 的轨迹方程：2122y x x =+，由k 的取值范围可求出0x >或8x <-. ∴点M 的轨迹方程：2122y x x =+（0x >或8x <-）.21.解：（1）设() A A A x y ，，由题意，()2 0F c ，，c =，()22241Ay b c b =-=， 因为1F AB △是等边三角形，所以2c = 即()24413b b +=，解得22b =，故双曲线的渐近线方程为y =. （2）由已知，()1 2 0F -，，()2 2 0F ，，设()11 A x y ，，()22 B x y ，，直线m ：()2y k x =-，显然0k ≠，由()22132y x y k x ⎧-=⎪⎨⎪=-⎩，消去y 得()222234430k x k x k --++=， 因为m 与双曲线交于两点，所以230k -≠，且()23610k ∆=+>， 设AB 中点为() M M M x y ，，由()110F A F B AB +⋅=，即10F M AB ⋅=， 因此，11F M k k ⋅=-，而2122223M x x k x k +==-，()2623M M ky k x k =-=-， ∴12323F M kk k =-，∴23123k k k ⨯=--，解得235k =，所以直线m的斜率为. 22.解：（1）由题意知，(20 B ，()2 3 0A ，，所以b =3a =， ∴椭圆C 的标准方程为22193x y +=； 又圆心()1 0G ，，1OG =，∴圆G 的标准方程为()2211x y -+=. （2）①设直线1B D的方程是y kx k =>，与直线22A B 的方程y =+联立，解得x =，y =，即点E ，联立22193y kx x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得：()22130k x+-=，解得点D .所以1=+11=+≤=，当且仅当k =时，取等号，所以11DB EB的最大值就是②存在设圆心() M m n ，，点() N x y ，是圆()()()222:0M x m y m r r -+-=>上的任意一点，其中点M 的坐标满足22193m n +=， 则2222222x y mx ny m n r +=+--+（*）， 又NF =，NT =，由NF NT=得22610x y x +--=，代入（*）式得：()22223210m x ny m n r -+---+=对圆M 上任意点N 恒成立，所以2223001m n r m n ⎧-=⎪=⎨⎪=++⎩，解得23010m n r ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，经检验，3m =，0n =满足22193m n +=， 所以存在圆()22:310M x y -+=满足条件.。
2019-2020学年高二年级上学期期末考试数学(理)试卷含解答
2019-2020学年高二年级上学期期末考试数学（理）试卷满分：150分 考试时间：120分钟第Ⅰ卷（选择题，共60分）选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
）1.设集合{}1,0,1,2A =-,{}|22B x x =-≤<,则A B ⋂= ( ) A. {}1,0,1- B. {}1,0- C. {}|10x x -<< D.{|10}x x -≤≤2.已知向量(1,2)a m =-,(,3)b m =-,若a b ⊥,则实数 m 等于( )A. 2-或3B. 2或3-C. 3D. 353.在ABC ∆中,若2a =,b =,30A =︒,则B 为( )A. 60B. 60或120C. 30D. 30或1504.已知命题11:,23xxp x R ⎛⎫⎛⎫∀∈> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；命题2000:,10q x R x x ∃∈--=；则下列命题为真命题的是( )A. p q ∧B. p q ∨⌝C. p q ⌝∧D. p q ⌝∧⌝5.阅读右边的程序框图,运行相应的程序,则输出S 的值 为( )A. 10-B. 6C. 14D. 186.若4cos 5α=-, α是第二象限的角,则sin 4πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭ ( ) )A. 10-C. 10-D.107.若某多面体的三视图(单位: cm) 如图所示, 则此多面体的体积是( )A ．2cm 3B ．32m 3C ．1cm 3D ．31cm 38.抛物线214y x =的准线方程是( ) A. 1y =- B. 2y =- C. 1x =- D. 2x =-9.已知,x y 满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤-≥-04001y x y x x ,则目标函数3z x y =+的最小值是( )A.4B.6C.8D.10 10.已知数列{}n a 是递增的等比数列, 14239,8a a a a +==,则数列{}n a 的前10项和等于( )A.1024B.511C.512D.1023 11.函数3()35f x x x =-+在闭区间[3,0]-上的最大值与最小值的和是( ) A.6 B.8 C.-6 D.-812.过椭圆()222210x y a b a b+=>>的左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于点P ,2F 为右焦点,若1260F PF ∠=︒,则椭圆的离心率为( )A. 2B. 3C. 12D. 13第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。
四川省内江市2019-2020学年高二上学期期末检测数学(理)试题(扫描版)
流程图,那 么输 出的结果是
A。 9
B,8
C。 7
高二数学(理科)试卷第 1页 (共 4页 )
5.方 程(a~1)x-y+za+1〓 0(;∈ R)所表示的直线与圆(x+1)2+/〓 zs的 位置关系是
A。 相离
B.相 切
C。 相交
D。 不能确定
n 6.关于直线 m、 n及平面 α、β,下列命题中正确的个数是
干净后 ,再 选涂其它答案。不能答在试题卷上。 3.非 选择题 用签字笔将答案直接答在答题卡相应位五上。
,
4.考 试结束后 ,监 考人 员将答题卡收回。
-、 选择题:(本大题共 12个 小题口每小题 9分 ,共 ω 分。在每小题的四个选项中只有-个
是正确的,把 正确选项的代号填涂在答题卡的指定位王上。)
A。 (x-2)2+(yˉ 1)2〓 4 C∶ (x+2)2+(yˉ 1)2=9
·
B.(x+2)2+(yˉ 1)2〓 4 D.(x-2)2+(yˉ 1)2〓 9
11.已 知正三棱锥 A-BCD的 外接球是球 o,正 三棱锥底边 BC〓 3,侧棱 AB〓 2汀,点 E
在线段 BD上 ,且 2BE〓 DE,过 点E作球 0的截面,则 所得截面圆面积的取值范围是
内江市zO19-zOzO学 年度第一学期高二期末检测题
学 (理 科 )
本试卷共 4页 ,全 卷满分 150分 ,考 试时间 120分钟,
注意事项 ∶
1.答题前,考 生务必将 自己的姓名〈考号、班级用签字笔填写在答题卡相应位工。
2.选择题选 出答案后 ,用 铅笔把答题卡上对应题 目的答案标号涂黑。如需改动,用 橡皮擦
2019-2020年高二上学期期考(期末)数学(理)试题 含答案
注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前考生将自己的姓名\准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置。
2. 回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号标黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3. 答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
2019-2020年高二上学期期考（期末）数学（理）试题 含答案一、选择题（每题5分，共60分）1．不等式组x 2－1＜0，x 2－3x ＜0的解集为( ) A ．{x |－1＜x ＜1}B ．{x |0＜x ＜3}C ．{x |0＜x ＜1}D ．{x |－1＜x ＜3}2．平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，向量AB →、AD →、AA 1→两两的夹角均为60°，且|AB →|＝1，|AD →|＝2，|AA 1→|＝3，则|AC 1→|等于 ( ) A ．5B ．6C ．4D ．83．已知a ，b 为非零向量，则“a ⊥b ”是“函数f (x )＝(x a ＋b )·(x b －a )为一次函数”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．下列四个命题中的真命题为( ) A ．∃x 0∈Z ，1＜4x 0＜3 B ．∃x 0∈Z ，5x 0＋1＝0 C ．∀x ∈R ，x 2－1＝0D ．∀x ∈R ，x 2＋x ＋2＞0 5．已知命题p ：“∀x ∈[1,2]，x 2－a ≥0”；命题q ：“∃x ∈R ，x 2＋2ax ＋2－a ＝0”．若命题“p 且q ”是真命题，则实数a 的取值范围为( ) A ．a ≤－2或a ＝1 B ．a ≤－2或1≤a ≤2 C ．a ≥1D ．－2≤a ≤16．长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AA 1＝2，AD ＝1，E 为CC 1的中点，则异面直线BC 1与AE 所成角的余弦值为( ) A ．1010B ．3010C ．21510D ．310107．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝2，S 3＝12，则a 6等于( )A ．8B ．10C ．12D ．148．已知12,F F 为双曲线C ：x 2—y 2=2的左右焦点，点P 在C 上，12||2||PF PF =，则 cos ∠F 1PF 2 = （ ） A ．14B ．35C ．34D ．459．设变量x ，y满足约束条件x ＋2y －5≤0，x －y －2≤0，x ≥0，则目标函数z ＝2x ＋3y ＋1的最大值为( )A ．11B ．10C ．9D ．8.510221y b= （a ＞b ＞0）的左右焦点,若直线x = ma (m ＞1)上存在一点P, 使ΔF 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，则m 的取值范围是（ ） A ．m > 2B ．1 < m < 2C ．1 < mD ．11．已知抛物线y 2=2px (p>0)的焦点为F ，点A 、B 为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB=90°,过弦AB 的中点M 作抛物线准线的垂线MN ，垂足为N ，则MNAB的最大值为（ ） A ．1 B ．2 C D ．212．设双曲线C 的中心为原点O ，若有且只有一对相交于点O ，所成的角为60°的直线A 1B 1和A 2B 2，使|A 1B 1|=|A 2B 2|，其中A 1、B 1和A 2、B 2分别是这对直线与双曲线C 的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ） +∞） ，2） ，2] ，+∞） 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（每题5分，共20分）13．已知命题p ：若x ＞y ，则－x ＜－y ，命题q ：若x ＞y ，则x 2＞y 2。
2022-2023学年四川省内江市高二上学期期末考试数学(理)试题(解析版)
2022-2023学年四川省内江市高二上学期期末考试数学（理）试题一、单选题1．某个年级有男生180人，女生160人，用分层抽样的方法从该年级全体学生中抽取一个容量为68的样本，则此样本中女生人数为（ ） A ．40 B ．36 C ．34 D ．32【答案】D【分析】根据分层抽样的性质计算即可. 【详解】由题意得：样本中女生人数为1606832180160⨯=+.故选：D2．已知向量()3,2,4m =-，()1,3,2n =--，则m n +=（ ） A ．22 B ．8 C ．3 D ．9【答案】C【分析】由向量的运算结合模长公式计算即可. 【详解】()()()3,2,41,3,22,1,2m n +=-+--=-- ()()2222123m n +=-+-+=故选：C3．如图所示的算法流程图中，第3个输出的数是（ ）A ．2B ．32C ．1D ．52【答案】A【分析】模拟执行程序即得.【详解】模拟执行程序，1,1A N ==，输出1，2N =；满足条件，131+=22A =，输出32，3N =；满足条件，31+=222A =，输出2，4N =；所以第3个输出的数是2. 故选：A.4．一个四棱锥的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．8B ．83C ．43D ．323【答案】B【分析】把三视图转换为几何体，根据锥体体积公式即可求出几何体的体积. 【详解】根据几何体的三视图可知几何体为四棱锥P ABCD -, 如图所示：PD ⊥平面ABCD ,且底面为正方形，2PD AD == 所以该几何体的体积为：1822233V =⨯⨯⨯=故选：B5．经过两点(4,21)A y +，(2,3)B -的直线的倾斜角为3π4，则y =（ ） A ．1- B ．3-C ．0D ．2【答案】B【分析】先由直线的倾斜角求得直线的斜率，再运用两点的斜率进行求解.【详解】由于直线AB 的倾斜角为3π4， 则该直线的斜率为3πtan14k ==-， 又因为(4,21)A y +，(2,3)B -， 所以()213142y k ++==--，解得=3y -.故选：B.6．为促进学生对航天科普知识的了解，进一步感受航天精神的深厚内涵，并从中汲取不畏艰难、奋发图强、勇于攀登的精神动力，某校特举办以《发扬航天精神，筑梦星辰大海》为题的航天科普知识讲座.现随机抽取10名学生，让他们在讲座前和讲座后各回答一份航天科普知识问卷，这10名学生在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图，下列叙述正确的是（ ）A ．讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70%B ．讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%C ．讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差D ．讲座前问卷答题的正确率的极差小于讲座后正确率的极差 【答案】B【分析】根据题意以及表格，可分别计算中位数、平均数、极差等判断、排除选项是否正确，从而得出答案.【详解】讲座前问卷答题的正确率分别为：60%，60%，65%，65%，70%，75%，80%，85%，90%，95%，中位数为70%75%72.5%70%2+=> ，故A 错误； 讲座后问卷答题的正确率的平均数为0.80.8540.920.951289.5%85%10+⨯+⨯++⨯=> ，故B 正确；由图知讲座前问卷答题的正确率的波动性大于讲座后正确率的波动性，即讲座前问卷答题的正确率的标准差大于讲座后正确率的标准差，故C 错误；讲座后问卷答题的正确率的极差为100%-80%=20%，讲座前正确率的极差为95%-60%=35%，20%<35%,故D 错误. 故选：B.7．两条平行直线230x y -+=和340ax y -+=间的距离为d ，则a ，d 分别为（ ）A ．6a =，d =B ．6a =-，d =C ．6a =-，d =D ．6a =，d =【答案】D【分析】根据两直线平行的性质可得参数a ，再利用平行线间距离公式可得d . 【详解】由直线230x y -+=与直线340ax y -+=平行， 得()()2310a ⨯---⨯=，解得6a =，所以两直线分别为230x y -+=和6340x y -+=，即6390x y -+=和6340x y -+=，所以两直线间距离d = 故选：D.8．若连续抛掷两次质地均匀的骰子，得到的点数分别为m ，n ，则满足2225+<m n 的概率是（ ） A ．12B ．1336 C ．49D ．512【答案】B【分析】利用列举法列出所有可能结果，再根据古典概型的概率公式计算可得.【详解】解：设连续投掷两次骰子，得到的点数依次为m 、n ，两次抛掷得到的结果可以用(,)m n 表示，则结果有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)， (2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)， (4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)， (6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共有36种．其中满足2225+<m n 有：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(4,1)，(4,2)，共13种，所以满足2225+<m n 的概率1336P =． 故选：B9．已知三条不同的直线l ，m ，n 和两个不同的平面α，β，则下列四个命题中错误的是（ ） A ．若m ⊥α，n ⊥α，则m //n B ．若α⊥β，l ⊂α，则l ⊥β C ．若l ⊥α，m α⊂，则l ⊥m D ．若l //α，l ⊥β，则α⊥β【答案】B【分析】根据线面垂直的性质定理可知A 正确；根据面面垂直的性质定理可知B 不正确； 根据线面垂直的定义可知C 正确；根据面面垂直的判定可知D 正确．【详解】对A ，根据线面垂直的性质，垂直于同一平面的两条直线互相平行可知A 正确； 对B ，根据面面垂直的性质定理可知，若α⊥β，l ⊂α，且l 垂直于两平面的交线，则l ⊥β，所以B 错误；对C ，根据线面垂直的定义可知，C 正确；对D ，因为l //α，由线面平行的性质可知在平面α内存在直线//m l ，又l ⊥β，所以m β⊥，而m α⊂，所以α⊥β，D 正确． 故选：B ．10．数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心，重心，垂心依次位于同一直线上，这条直线后人称之为三角形的欧拉线.已知ABC ∆的顶点(0,0),(0,2),( 6.0)A B C -，则其欧拉线的一般式方程为（ ） A ．31x y += B ．31x y -= C ．30x y += D ．30x y -=【答案】C【分析】根据题意得出ABC 为直角三角形，利用给定题意得出欧拉线，最后点斜式求出方程即可. 【详解】显然ABC 为直角三角形，且BC 为斜边， 所以其欧拉线方程为斜边上的中线， 设BC 的中点为D ，由(0,2),( 6.0)B C -， 所以()3,1D -，由101303AD k -==--- 所以AD 的方程为13y x =-，所以欧拉线的一般式方程为30x y +=. 故选：C.11．已知P 是直线l ：x ＋y －7＝0上任意一点，过点P 作两条直线与圆C ：()2214x y ++=相切，切点分别为A ，B .则｜AB ｜的最小值为（ ）A ．14B ．142C ．23D ．3【答案】A【分析】根据直线与圆相切的几何性质可知，当||PC 取得最小值时，cos ACP ∠最大，||AB 的值最小，当PC l ⊥时，||PC 取得最小值，进而可求此时||14AB =【详解】圆C 是以(1,0)C -为圆心，2为半径的圆，由题可知，当ACP ∠最小时，||AB 的值最小. ||2cos ||||AC ACP PC PC ∠==，当||PC 取得最小值时，cos ACP ∠最大，ACP ∠最小，点C 到直线l 的距离|8|422d -==，故当||42PC =时，cos ACP ∠最大，且最大值为24，此时||||14sin 2||44AB AB ACP AC ∠===，则||14AB =.故选：A12．如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -中，111BB B D =，点E 是棱1CC 上的一个动点，平面1BED 交棱1AA 于点F ，下列命题错误的是（ ）A ．四棱锥11B BED F -的体积恒为定值 B ．存在点E ，使得1B D ⊥平面1BD EC ．存在唯一的点E ，使得截面四边形1BED F 的周长取得最小值D ．对于棱1CC 上任意一点E ，在棱AD 上均有相应的点G ，使得CG ∥平面1EBD 【答案】D【分析】由111111B BED F E BB D F BB D V V V ---=+结合线面平行的定义，即可判断选项A ，由线面垂直的判定定理即可判断选项B ，由面面平行的性质和对称性，即可判断选项C ，由特殊位置即可判断选项D.【详解】对A ，111111B BED F E BB D F BB D V V V ---=+，又11//CC BB ，1CC ⊄平面11BB D ，1BB ⊂平面11BB D ，所以1//CC 平面11BB D ，同理1//AA 平面11BB D ，所以点E ，F 到平面11BB D 的距离为定值，则四棱锥11B BED F -的体积为定值，故选项A 正确；对于B ，因为111BB B D =，可得对角面11BB D D 为正方形，所以11B D BD ⊥，由DC ⊥平面11BCC B ，BE ⊂平面11BCC B ，所以DC BE ⊥，若1BE B C ⊥，则1B CDC C =，1,B C DC ⊂平面1B DC ，所以BE ⊥平面1B DC ，由1B D ⊂平面1B DC ，所以1B D BE ⊥，又11,,BD BE B BD BE ⋂=⊂平面1BD E ，所以1B D ⊥平面1BD E ，故B 正确；对于C ，由面面平行的性质定理可得，四边形1BED F 为平行四边形，由对称性可得，当四边形为菱形时，周长取得最小值，即存在唯一的点E ，使得截面四边形1BED F 的周长取得最小值，故选项C 正确.对于D ，当E 点在C 处时，对于AD 上任意的点G ，直线CG 与平面1EBD 均相交，故选项D 错误. 故选：D二、填空题13．已知x 、y 满足约束条件202020x y x y -≤⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩则2z x y =+的最大值是________.【答案】6【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．【详解】解：由约束条件作出可行域如图：将目标函数2z x y =+转化为2y x z =-+表示为斜率为2-，纵截距为z 的直线， 当直线2y x z =-+过点B 时，z 取得最大值， 显然点()2,2B ，则max 2226z =⨯+=.故答案为：6.14．直线l 与圆22(1)(1)1x y ++-=相交于,A B 两点，且()0,1A ．若AB l 的斜率为_________． 【答案】1±【分析】设直线方程，结合弦长求得圆心到直线的距离，利用点到直线的距离公式列出等式，即可求得答案.【详解】根据题意，直线l 与圆 22(1)(1)1x y ++-= 相交于,A B 两点，且()0,1A ， 当直线斜率不存在时，直线0x = 即y 轴，显然与圆相切，不符合题意; 故直线斜率存在，设直线l 的方程为1y kx =+ ，即10kx y -+= ， 因为圆22(1)(1)1x y ++-=的圆心为(1,1) ，半径为1r = ，又弦长||AB =所以圆心到直线的距离为d ===,=1k =±， 故答案为：1±.15．已知E 是正方体1111ABCD A B C D -的棱1DD 的中点，过A 、C 、E 三点作平面α与平面1111D C B A 相交，交线为l ，则直线l 与1BC 所成角的余弦值为______. 【答案】12【分析】由面面平行的性质与异面直线所成的角的求法求解即可 【详解】因为过,,A C E 三点的平面α与平面1111D C B A 相交于l ， 平面α与平面ABCD 相交于AC ，平面1111D C B A 与平面ABCD 平行， 所以//l AC ,又11//A C AC ，故11//AC l所以直线l 与1BC 所成的角就是直线11A C 与1BC 所成的角， 也即是11AC B ∠（或补角） 又易知11A C B △为等边三角形，所以直线l 与1BC 所成角的余弦值为1cos602︒=， 故答案为：1216．设m R ∈，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点(),P x y ，则PAB 面积的最大值是_________． 【答案】52【详解】试题分析：易知A （0，0），B （1，3）两直线互相垂直，故222221510222PA PB PA PB AB S PA PB ++==∴=≤=为所求．【解析】基本不等式．三、解答题17．一汽车销售公司对开业4年来某种型号的汽车“五-”优惠金额与销售量之间的关系进行分析研究并做了记录,得到如下资料. 日期第一年 第二年 第三年 第四年优惠金额x （千元） 10 11 13 12 销售量y （辆） 22243127(1)求出y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆyb x a =+； (2)若第5年优惠金额8.5千元,估计第5年的销售量y(辆)的值.参考公式：()()()11211ˆˆˆ,()n ei i i i i i pz nzlii i x x y y x y nxybay bx xx xn x ====---===---∑∑∑∑ 【答案】（1）ˆ38.5y x =-；（2）第5年优惠金额为8．5千元时，销售量估计为17辆【分析】（1）先由题中数据求出x y ，，再根据()()()()1122211,ˆˆˆˆn niii ii i nn iii i x x y y x y nxyb ay bx x x x n x ====---===---∑∑∑∑求出ˆb和ˆa ，即可得出回归方程； （2）将8.5x =代入回归方程，即可求出预测值.【详解】（1）由题中数据可得11.5,26x y ==，442111211,534i i i i i x y x ====∑∑∴()414222141211411.526153534411.554ˆi i i i i x y xybx x ==--⨯⨯====-⨯-∑∑,故26311ˆ.58.5ˆay bx =-=-⨯=-，∴38.5ˆy x =- （2）由（1）得，当8.5x =时，ˆ17y=，∴第5年优惠金额为8．5千元时，销售量估计为17辆. 【点睛】本题主要考查线性回归分析，熟记最小二乘法求ˆb和ˆa 即可，属于常考题型. 18．已知圆C 经过(6,1),(3,2)A B -两点，且圆心C 在直线230x y +-=上． (1)求经过点A ，并且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程； (2)求圆C 的标准方程；(3)斜率为34-的直线l 过点B 且与圆C 相交于,E F 两点，求||EF ．【答案】(1)60x y -=或+7=0x y -； (2)22(5)(1)5x y -++=； (3)2.【分析】（1）根据给定条件，利用直线方程的截距式，分类求解作答. （2）设出圆心坐标，由已知求出圆心及半径作答. （3）求出直线l 的方程，利用弦长公式计算作答.【详解】（1）经过点A ，在两坐标轴上的截距相等的直线，当直线过原点时，直线的方程为60x y -=， 当直线不过原点时，设直线的方程为=x y a +，将点(6,1)A 代入解得=7a ，即直线的方程为+7=0x y -， 所以所求直线的方程为60x y -=或+7=0x y -．（2）因圆心C 在直线230x y +-=上，则设圆心(32,)C b b -， 又圆C 经过(6,1),(3,2)A B -两点，于是得圆C 的半径||||r AC BC ==，1b =-，圆心(5,1)C -，圆C的半径r = 所以圆C 的标准方程为22(5)(1)5x y -++=．（3）依题意，直线l 的方程为32(3)4y x +=--，即3410x y +-=， 圆心(5,1)C -到直线的距离为|1541|25d --==， 所以22||22542EF r d =-=-=．19．直四棱柱1111ABCD A B C D -，底面ABCD 是平行四边形，60ACB ∠=︒，13,1,27,,AB BC AC E F ===分别是棱1,A C AB 的中点.(1)求证：EF 平面1A AD ： (2)求三棱锥1F ACA -的体积.【答案】(1)见解析2【分析】（1）取1A D 的中点M ，连结,ME MA ，证明四边形AFEM 为平行四边形，则AM EF ∥，再根据线面平行的判定定理即可得证；（2）利用余弦定理求出AC ，再利用勾股定理求出1AA ，再根据11F ACA A AFC V V --=结合棱锥的体积公式即可得出答案.【详解】（1）证明：取1A D 的中点M ，连结,ME MA ，在1A DC 中，,M E 分别为11,A D AC 的中点， 所以ME DC ∥且12ME DC =， 底面ABCD 是平行四边形，F 是棱AB 的中点，所以AF DC 且12AF DC =， 所以ME AF ∥且ME AF =，所以四边形AFEM 为平行四边形，所以,EF AM EF ⊄∥平面1,A AD AM⊂平面1A AD ，所以EF 平面1A AD ；（2）在ABC 中，60,3,1ACB AB BC ∠===， 由余弦定理有2222cos AB AC BC AC BC ACB ∠=+-⨯⨯，解得2AC =，则1312sin6022ABC S =⨯⨯⨯=， 因为F 为AB 的中点，所以1324ACF ABC S S ==， 由已知直四棱柱1111ABCD A B C D -，可得1190,2,27A AC AC AC ∠===， 可得128426A A =-=，1111132263342F ACA A AFC AFC V V S AA --==⋅=⨯⨯=. 20．某校从参加高一年级期中考试的学生中抽出40名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六段[)40,50，[)50,60，，[]90,100后画出如下部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：(1)求第四小组的频率，并补全这个频率分布直方图；(2)根据频率分布直方图估计这次数学考试成绩的平均分；(3)若将分数从高分到低分排列，取前15%的同学评定为“优秀”档次，用样本估计总体的方法，估计本次期中数学考试“优秀”档次的分数线．【答案】(1)答案见解析(2)71(3)86【分析】（1）根据所有频率和为1求第四小组的频率，计算第四小组的对应的矩形的高，补全频率分布直方图；（2）根据在频率分布直方图中，由每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形的面积的乘积之和，求出平均分；（3）由频率分布直方图可知：成绩在区间[]90,100占5%，区间[)80,90占25%，由此即可估计“优秀”档次的分数线．【详解】（1）由频率分布直方图可知，第1，2，3，5，6小组的频率分别为：0.1，0.15，0.15，0.25，0.05，所以第四小组的频率为：10.10.150.150.250.050.3-----=，∴在频率分布直方图中第四小组对应的矩形的高为0.03，补全频率分布直方图对应图形如图所示：（2）由频率分布直方图可得平均分为：0.1450.15550.15650.3750.25850.059571⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=；（3）由频率分布直方图可知：成绩在区间[]90,100占5%，区间[)80,90占25%，则估计本次期中数学考试“优秀”档次的分数线为：0.158010860.25+⨯=．21．如图，已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直，2AB =，1AF =，M 是线段EF 的中点．(1)求证：平面ACEF ⊥平面BDF ；(2)求证：DM ⊥平面BEF ；(3)求二面角A DF B --的大小．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)60【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用0AM BD =，0AM DF =，可得AM ⊥平面BDF ，进而可得面面垂直.（2）由2AB 1AF =，得3==DF DE DM EF ⊥，连BM ，得DM BM ⊥，由此能证明DM ⊥平面BEF ．（3）由（1）得，(0AM =，1-，1)是平面BDF 的一个法向量．(1,1,0)DC =--是平面ADF 的一个法向量，cos AM <，1222DC >==⨯即可． 【详解】（1）四边形ACEF 是矩形，FA AC ∴⊥，平面ACEF ABCD ⊥，平面ACEF 平面ABCD AC =，AF ⊂平面ACEFAF ∴⊥平面ABCD ．设AC DB O ⋂=，则OM ⊥平面ABCD建立如图的直角坐标系，则各点的坐标分别为：(0O ，0，0)，(0A ，1，0)，(1B -，0，0)，(0C ，1-，0)，(1D ，0，0)，(0E ，1-，1)，(0F ，1，1)，(0M ，0，1)．(2BD =，0，0)，(1DF =-，1，1)，(0AM =，1-，1)，∴0AM BD =，0110AM DF =-+=， AM BD ∴⊥，AM DF ⊥，BD DF D =，,BD DF ⊂平面BDF ，AM ∴⊥平面BDF ,AM ⊂平面ACEF ，所以平面ACEF ⊥平面BDF（2）由2AB =，1AF =，得3==DF DE ，M 是线段EF 的中点，DM EF ，连接BM ，由于2222,,DM OM OD MB OM OB OB OD =+=+=,得2BM DM ==,又2BD =，222DM BM BD += DM BM ∴⊥，又BM EF M =，,MB EF ⊂平面BEF , DM ∴⊥平面BEF ．（3）由（1）得，(0AM =，1-，1)是平面BDF 的一个法向量．又AF ⊥平面ABCD 得AF CD ⊥,又CD DA ⊥ ,故(1,1,0)DC =--是平面ADF 的一个法向量， 故cos AM <，11222DC >==⨯ 二面角A DF B --为锐角，∴二面角A DF B --为60．22．已知圆22:(3)9M x y -+=．设()2,0D ，过点D 作斜率非0的直线1l ，交圆M 于P 、Q 两点．(1)过点D 作与直线1l 垂直的直线2l ，交圆M 于EF 两点，记四边形EPFQ 的面积为S ，求S 的最大值；(2)设()6,0B ，过原点O 的直线OP 与BQ 相交于点N ，试讨论点N 是否在定直线上，若是，求出该直线方程；若不是，说明理由．【答案】(1)17；(2)点N 在定直线6x =-上.【分析】（1）由题意设出直线1l ，2l 方程，利用点到直线的距离公式，弦长公式以及基本不等式即可解决问题；（2）利用圆与直线的方程，写出韦达定理，求出直线OP 与直线BQ 的方程，且交于点N ，联立方程求解点N 即可证明结论.【详解】（1）由圆22:(3)9M x y -+=知，圆心为()3,0M ，半径3r =，因为直线1l 过点()2,0D 且斜率非0，所以设直线1l 方程为：()02y k x -=-，即20kx y k --=，则点M 到直线1l的距离为：1d =所以PQ == 由12l l ⊥，且直线2l 过点D ，所以设直线2l 方程为：()102y x k -=--，即20x ky +-=， 则点M 到直线2l的距离为：2d =所以EF ====故1122S EF PQ =⋅⋅=⋅2=()2217122171k k +=⨯=+，当且仅当2289981k k k +=+⇒=±时取等号，所以四边形EPFQ 的面积S 的最大值为17.（2）点N 在定直线6x =-上.证明：设()()1122,,,P x y Q x y ，直线PQ 过点D ，则设直线PQ 方程为：2x my =+，联立()22239x my x y =+⎧⎪⎨-+=⎪⎩，消去x 整理得： ()221280m y my +--=，12122228,11m y y y y m m -+==++， 所以()1212121244y y m my y y y y y +=-⇒=-+， 由111100OP y y k x x -==-， 所以直线OP 的方程为：11y y x x =， 2222066BQ y y k x x -==--， 所以直线BQ 的方程为：()2266y y x x =--， 因为直线OP 与直线BQ 交于点N ， 所以联立()112266y y x x y y x x ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪-⎩， 所以()12121266N x y x x y y x =-- ()()()12121262226my y my y y my +=+-+-⎡⎤⎣⎦ 12212212161224my y y my y y my y y +=+-+ 12221362my y y y y +=+ ()()122213462y y y y y ⨯-⨯++=+ 12212212112126126622y y y y y y y y y --+--===-++， 所以6N x =-，所以点N 在定直线6x =-上.。
四川省内江市2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题文(含解析)
四川省内江市2019-2020学年度高二数学上学期期末考试试题文（含解析）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1.下列命题正确的是（）A. 经过三点确定一个平面B. 经过一条直线和一个点确定一个平面C. 两两相交且不共点的三条直线确定一个平面D. 四边形确定一个平面【答案】C【解析】【分析】根据确定一个平面的公理及推论即可选出.【详解】A选项，根据平面基本性质知，不共线的三点确定一个平面，故错误；B选项，根据平面基本性质公理一的推论，直线和直线外一点确定一个平面，故错误；C选项，根据公理一可知，不共线的三点确定一个平面，而两两相交且不共点的三条直线，在三个不共线的交点确定的唯一平面内，所以两两相交且不共点的三条直线确定一个平面，正确；选项D,空间四边形不能确定一个平面，故错误；综上知选C.【点睛】本题主要考查了平面的基本性质公理一及其推论，属于中档题.2.若某中学高二年级8个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示，则这组数据的中位数是（）A. 90.5B. 91.5C. 90D. 91【答案】A【解析】【分析】共有8个数据，中位数就是由小到大中间两数的平均数，求解即可.【详解】根据茎叶图，由小到大排列这8个数为84，85，89，90，91，92，93，95，所以中位数为，故选A.【点睛】本题主要考查了中位数，茎叶图，属于中档题.3.某几何体的正视图和侧视图均如图1所示，则该几何体的俯视图不可能是【答案】D【解析】本题是组合体的三视图问题，由几何体的正视图和侧视图均如图1所示知，原图下面图为圆柱或直四棱柱，上面是圆柱或直四棱柱或下底是直角的三棱柱，Ａ，Ｂ，Ｃ都可能是该几何体的俯视图，Ｄ不可能是该几何体的俯视图，因为它的正视图上面应为如图的矩形.【点评】本题主要考查空间几何体的三视图，考查空间想象能力.是近年高考中的热点题型4.为了了解某社区居民是否准备收看电视台直播的“龙舟大赛”，某记者分别从社区60～70岁，40～50岁，20～30岁的三个年龄段中的128，192，x人中，采用分层抽样的方法共抽出了30人进行调查，若60～70岁这个年龄段中抽查了8人，那么x为（）A. 64B. 96C. 144D. 160【答案】D【解析】【分析】根据60～70岁这个年龄段中128人中抽查了8人，可知分层抽样的抽样比为，因为共抽出30人，所以总人数为人，即可求出20～30岁年龄段的人数.【详解】根据60～70岁这个年龄段中128人中抽查了8人，可知分层抽样的抽样比为, 因为共抽出30人，所以总人数为人,所以，20～30岁龄段的人有，故选D.【点睛】本题主要考查了分层抽样，抽样，样本容量，属于中档题5.圆（x+1）2+y2＝4与圆（x﹣2）2+（y﹣1）2＝9的位置关系为（）A. 内切B. 外切C. 相交D. 相离【答案】C【解析】【分析】求出两圆圆心的距离，比较圆心距与两圆半径的关系，即可得出结论.【详解】由圆的方程知圆的圆心为，圆的圆心为,圆心距，因为，所以两圆相交.故选C.【点睛】本题主要考查了两圆的位置关系，属于中档题.6.不等式组表示的平面区域内的整点个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】A【解析】【分析】作出可行域（的内部），分析可行域内整点即可得出结论.【详解】作出可行域如图：因为，，，所以的内部的整数点只有，故选A.【点睛】本题主要考查了简单线性规划，整点问题，属于中档题.7.已知A（﹣1，4）关于直线l的对称点为B（3，6），则直线l的方程是（）A. x﹣2y﹣9＝0B. 2x+y﹣7＝0C. 2x﹣y+3＝0D. x+2y﹣11＝0【答案】B【解析】【分析】根据的坐标可求出，及中点坐标，由关于对称，知的斜率，且过的中点，即可求出.【详解】因为，AB的中点为，所以的斜率，且过点，则直线l的方程，即，故选B.【点睛】本题主要考查了直线方程，对称问题，属于中档题.8.一个正四棱柱的各个顶点都在一个半径为1cm的球面上，如果正四棱柱的底面边长为1cm，那么该棱柱的表面积为（）A. （2+4）cm2B. （4+2）cm2C. （4+4）cm2D. （2+8）cm2【答案】A【解析】【分析】根据正四棱柱的各个顶点都在一个半径为1cm的球面上，可知，解出棱柱的高即可利用面积公式求解.【详解】设正四棱柱的为h，因为正四棱柱的各个顶点都在一个半径为1cm的球面上，所以，解得，所以cm2，故选A.【点睛】本题主要考查了球的内接正四棱柱，四棱柱的表面积，属于中档题.9.若动点分别在直线上移动，则线段AB的中点M到原点的距离的最小值为( )A. B.C. D.【答案】C【解析】AB中点在直线上，该直线到的距离相等；则解得，所以M 轨迹为则M到原点距离的最小值为原点的直线的距离即为故选C10.在正四棱锥P﹣ABCD中，PA＝2，直线PA与平面ABCD所成角为60°，E为PC的中点，则异面直线PA与BE所成角为（）A. 90°B. 60°C. 45°D. 30°【答案】C【解析】试题分析：连接AC，BD交于点O，连接OE，OP；因为E为PC中点，所以OE∥PA，所以∠OEB即为异面直线PA与BE所成的角．因为四棱锥P-ABCD为正四棱锥，所以PO⊥平面ABCD，所以AO为PA在面ABCD内的射影，所以∠PAO即为PA与面ABCD所成的角，即∠PAO=60°，因为PA=2，所以OA=OB=1，OE=1．所以在直角三角形EOB中∠OEB=45°，即面直线PA与BE所成的角为45°．故选：C．考点：异面直线及其所成的角．11.已知一组数据3，4，5，a，b的平均数是4，中位数是m，从3，4，5，a，b，m这组数据中任取一数，取到数字4的概率为，那么3，4，5，a，b这组数据的方差为（）A. B. 2 C. D.【答案】D【解析】【分析】根据3，4，5，a，b的平均数是4，中位数是m，从3，4，5，a，b，m这组数据中任取一数，取到数字4的概率为，可知，由方差公式求解即可.【详解】因为从3，4，5，a，b，m这组数据中任取一数，取到数字4的概率为，所以3，4，5，a，b，m这6个数字中有4个4，所以，所以故选D.【点睛】本题主要考查了平均数，中位数，概率，方差，属于中档题.12.已知圆C：[x﹣（a﹣2）]2+（y﹣a）2＝16，定直线l经过点A（2，0），若对任意的实数a，定直线l被圆C截得的弦长始终为定值d，则圆心C到直线l的距离等于（）A. 8B. 4C. 4D. 2【答案】D【解析】【分析】由题意知，圆心到直线的距离为定值，分直线斜率存在和不存在两种情况分类讨论，即可求值.【详解】根据圆的半径，弦心距，半径构成直角三角形可知，当弦长为定值时，弦心距为定值，即圆心到直线的距离为定值，若直线斜率不存在时，直线方程为，圆心到直线的距离，不是定值，不合题意；当直线斜率存在时，直线方程为，即，圆心到直线的距离为定值，与无关，所以，此时，故选D.【点睛】本题主要考查了圆的标准方程，直线与圆的位置关系，点到直线的距离，分类讨论的思想，属于中档题.二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13.在棱长为2 的正方体内任取一点，则此点到正方体中心的距离不大于1的概率为_____．【答案】【解析】【分析】以正方体的中心为球心，1为半径做球，若点在球上或球内时，符合要求，求其体积，根据几何概型求概率即可.【详解】当正方体内的点落在以正方体中心为球心，1为半径的球上或球内时，此点到正方体中心的距离不大于1，因为，因此正方体内点到正方体中心的距离不大于1的概率，故填.【点睛】本题主要考查了几何概型，球的体积，正方体的体积，属于中档题.14.已知，则x2+y2的最小值为_____．【答案】【解析】【分析】画出满足条件的平面区域，结合的几何意义以及点到直线的距离求出的最小值即可.【详解】作出可行域如图：的几何意义表示可行域内一点到原点的距离的平方，显然，原点到直线的距离是最小值，由知，所以的最小值是.【点睛】本题主要考查了简单的线性规划，的几何意义，点到直线的距离，属于中档题.15.执行如图所示的程序框图，若输入n的值为8，则输出的s的值为_____．【答案】8【解析】【分析】根据程序框图知，该程序的功能是计算并输出变量的值，模拟程序的运行过程即可求解. 【详解】当时，满足循环条件，，当时，满足循环条件，，当时，满足循环条件，；当时，不满足循环条件，跳出循环，输出.故填.【点睛】本题主要考查了程序框图，循环结构，属于中档题.16.如图，透明塑料制成的长方体ABCD﹣A1B1C1D1内灌进一些水，固定容器底面一边BC于水平地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度不同，有下面五个命题：①有水的部分始终呈棱柱形；②没有水的部分始终呈棱柱形；③水面EFGH所在四边形的面积为定值；④棱A1D1始终与水面所在平面平行；⑤当容器倾斜如图(3)所示时，BE•BF是定值．其中所有正确命题的序号是____．【答案】①②④⑤【解析】【分析】根据题意，结合棱柱的特征进行判断，观察即可得到答案.【详解】根据棱柱的定义知，有两个面是互相平行且是全等的多边形，其余每相邻两个面的交线也互相平行，而这些面都是平行四边形，所以①②正确；因为水面EFGH所在四边形，从图2，图3可以看出，有两条对边边长不变而另外两条对边边长随倾斜度变化而变化，所以水面四边形EFGH的面积是变化的，③不对；因为棱始终与平行，与水面始终平行，所以④正确；因为水的体积是不变的，高始终是BC也不变，所以底面积也不会变，即BE•BF是定值，所以⑤正确；综上知①②④⑤正确，故填①②④⑤.【点睛】本题主要考查了棱柱，棱柱的几何特征，线面平行，棱柱体积，属于中档题.三、解答题（共6小题，满分70分）17.在四面体ABCD中，CB=CD，，且E，F分别是AB，BD的中点，求证：（I）直线；（II）。