必修5等差数列

等 差 数 列

[考点梳理]

1. 等差数列的定义

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的__________等于同一个___________，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的___________，通常用字母d 表示，即___________＝d (n ∈N ＋，且n ≥2)或___________＝d (n ∈N ＋)．

2．等差中项

三个数a ，A ，b 成等差数列，这时A 叫做a 与b 的____________．

3．等差数列的通项公式

若{a n }是等差数列，则其通项公式a n ＝___________.

①{a n }成等差数列⇔a n ＝pn ＋q ，其中p ＝___________，q ＝___________，点(n ，a n )是直线___________上一群孤立的点．

②单调性：d ＞0时，{a n }为___________数列；d ＜0时，{a n }为___________数列；d ＝0时，{a n }为___________．

4．等差数列的前n 项和公式

(1)等差数列前n 项和公式S n ＝___________＝___________.其推导方法是___________．

(2){a n }成等差数列，求S n 的最值：

若a 1＞0，d ＜0，且满足⎩⎨⎧a n ___________，a n ＋1___________

时，S n 最大； 若a 1＜0，d ＞0，且满足⎩⎨⎧a n ___________，a n ＋1___________

时，S n 最小； 或利用二次函数求最值；或利用导数求最值．

5．等差数列的判定方法

(1)定义法：a n ＋1－a n ＝d (常数)(n ∈N *)⇔{a n }是等差数列；

(2)等差中项法：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N *)⇔{a n }是等差数列；

(3)通项公式法：a n ＝kn ＋b (k ，b 是常数)(n ∈N *)⇔{a n }是等差数列；

(4)前n 项和公式法：S n ＝An 2＋Bn (A ，B 是常数)(n ∈N *)⇔{a n }是等差数列．

6．等差数列的性质

(1)a m －a n ＝___________d ，即d ＝a m －a n m －n

. (2)在等差数列中，若p ＋q ＝m ＋n ，则有a p ＋a q ＝a m ＋___________；若2m ＝p ＋q ，则有___________a m ＝a p ＋a q (p ，q ，m ，n ∈N *)．但要注意：在等差数列a n ＝kn ＋b 中，若m ＝p ＋q ，易证得a m ＝a p ＋a q 成立的充要条件是b ＝0，故对一般等差数列而言，若m ＝p ＋q ，则a m ＝a p ＋a q 并不一定成立．

(3)若{a n }，{b n }均为等差数列，且公差分别为d 1，d 2，则数列{pa n }，{a n ＋q }，{a n ±b n }也为___________数列，且公差分别为___________，___________，___________.

(4)在等差数列中，按序等距离取出若干项也构成一个等差数列，即a n ，a n ＋m ，a n ＋2m ，…为等差数列，公差为md.

(5)等差数列的前n 项和为S n ，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…为等差数列，公差为n 2d.

(6)若等差数列的项数为2n ，则有S 偶－S 奇＝nd ，S 奇S 偶＝a n a n ＋1

.

[基础自测]

在等差数列{a n }中，若a 2＝4，a 4＝2，则a 6＝( )

A ．－1

B ．0

C ．1

D ．6

设S n是等差数列{a n}的前n项和．若a1＋a3＋a5＝3，则S5＝() A．5 B．7 C．9 D．11

已知等差数列{a n}中，a2＝7，a4＝15，则其前10项的和为() A．100 B．210 C．380 D．400

在等差数列{a n}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝25，则a2＋a8＝________.

设S n是数列{a n}的前n项和，且a1＝－1，a n＋1＝S n S n＋1，则S n＝________.

[典例解析]

类型一等差数列的判定与证明

设数列{a n}的前n项和为S n，若对于所有的正整数n，都有S n＝n（a1＋a n）

2，证明{a n}

是等差数列．

归纳小结：判定数列是等差数列的方法可参看本节“考点梳理”，证明一个数列是等差数列只能用前两种方法，做客观题时可用后两种方法．

已知数列{a n}的通项公式为a n＝pn2＋qn(p，q∈R，且p，q为常数)．

(1)当p和q满足什么条件时，数列{a n}是等差数列？

(2)求证：对任意实数p和q，数列{a n＋1－a n}是等差数列．

类型二等差数列基本量的计算

在等差数列{a n}中，

(1)已知a15＝33，a45＝153，求a n；

(2)已知a6＝10，S5＝5，求S n；

(3)已知前3项和为12，前3项积为48，且d＞0，求a1.

归纳小结：在等差数列五个基本量a1，d，n，a n，S n中，已知其中三个量，可以根据已知条件结合等差数列的通项公式、前n项和公式列出关于基本量的方程(组)来求余下的两个量，计算时须注意整体代换及方程思想的应用．

(1)已知等差数列的前三项依次为a，4，3a，前n项和为S n，且S k＝110.

(Ⅰ)求a及k的值；

(Ⅱ)设数列{b n}的通项b n＝S n

n，证明数列{b n}是等差数列，并求其前n项和T n.

(2)各项均为正数的数列{a n}满足a2n＝4S n－2a n－1(n∈N*)，其中S n为{a n}的前n项和．

(Ⅰ)求a1，a2的值；(Ⅱ)求数列{a n}的通项公式．

类型三等差数列的性质

(1)已知S n为等差数列{a n}的前n项和，a6＝100，则S11＝________；

(2)设数列{a n}，{b n}都是等差数列．若a1＋b1＝7，a3＋b3＝21，则a5＋b5＝________；

(3)若一个等差数列的前4项和为36，后4项和为124，且所有项的和为780，则这个数列的项数为________；

(4)已知S n为等差数列{a n}的前n项和，S n＝m，S m＝n(n≠m)，则S m＋n＝________.

归纳小结：(1)可利用等差数列的性质S2n

＋1

＝(2n＋1)a n＋1来求解，这一性质表明：若等差数列有奇数项，则正中间一项是该数列的和的平均数；(2)利用等差数列的性质及等差中项来求；(3)可利用“等差数列前m项与后m项的和等于m(a1＋a n)”这一性质来求解；(4)可利用等差数列下标和性质：若“p＋q＝m＋n，则a p＋a q＝a m＋a n”来求解．等差数列的性质是其定义、通项公式及前n项和公式等基础知识的推广与变形，解题时灵活应用这些性质常常可化繁为简，起到事半功倍的效果．