2.1 函数(二)--- 区间的概念和映射

例3,已知 ,已知A={ 1, 2, 3, m }, B={ 4, 7, n4, n2+3n },且n∈N, 且 f : x→y=px+q 是从 到B的一个映射,已知 的象是 是从A到 的一个映射 已知1的象是 的一个映射, 4,7的原象是 ,求 p, q, m, n. 的原象是2, , 的原象是
2.1
函
数
2010年2月12日星期五 年 月 日星期五
(二)
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函数的定义: 函数的定义:
定义: 都是非空的数集, 定义:设 A ,B 都是非空的数集,如果按某个 确定的对应关系 f ,使得对于集合 A 中的任意一个 和它对应, 数 x,在集合 B 中都有唯一确定的数 f (x) 和它对应, , 的一个函数, 那么就称 f : A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个 → 记作 y = f ( x ) ,x ∈ A . 其中, 叫做自变量,x 的取值范围 A 叫做函数的 叫做函数的定 其中,x 叫做 , 义域,与 x 的值相对应的 y 的值叫做 的值叫做函数值,函数值 , , 叫做函数的值域. 的集合 { f (x) | x ∈ A } 叫做
函数的三大要素: 函数的三大要素 1:定义域 : 2:对应法则 : 3:值域 :
其中,定义域和对应法则是函数的基本要素,因为函数 其中,定义域和对应法则是函数的基本要素, 基本要素 的定义域和对应法则确定以后, 的定义域和对应法则确定以后,它的值域也就随之确定 因此, 了.因此,在判定两个函数是否相同时,就要看定义域和 因此 在判定两个函数是否相同时, 对应法则是否完全相同,完全相同时, 对应法则是否完全相同,完全相同时,这两个函数才是 同一个函数. 同一个函数
函数和映射的关系: 函数和映射的关系: 从映射的概念可以知道, 从映射的概念可以知道,函数实际上就是集 到集合B的一个映射 合 A 到集合 的一个映射 f : A→B ,其中 A,B → , 是非空的数集, 是非空的数集,对于自变量在定义域 A 内的任何 一个值 x,在集合 B 中都有唯一的函数值和它对 , 自变量的值是原象,和它对应的函数值是象. 应,自变量的值是原象,和它对应的函数值是象 反过来,映射就不一定是函数, 反过来,映射就不一定是函数,因为映射中的 两个集合 A 和 B,可以是由任意元素所构成的集 , 合.
注意: 注意: (1)如果 A 的元素的象的集合是 C,那 ) , 么 C B ( 有时 C = B,有时 ,有时C B ). (2)注意映射是有方向的 )注意映射是有方向的. (3)对应的形式有,一对多,多对一,一对一 )对应的形式有,一对多,多对一,一对一. 作为映射的对应,肯定是对一的. 作为映射的对应,肯定是对一的 B 是映射 ① A 中的每个元素在 B (4)f : A ) 中都有象, 中都有象,② 象是唯一的 . 思考:函数和映射有什么共同点,又有什么不同? 思考:函数和映射有什么共同点,又有什么不同?
定义: 是两个集合, 定义:设 A,B 是两个集合,如果按照某种对应 中的任何一个元素, 法则 f ,对于集合 A 中的任何一个元素,在集合 B 中 都有唯一的元素和它对应,那么这样的对应( 唯一的元素和它对应 都有唯一的元素和它对应,那么这样的对应(包括集 合 A,B 以及 A 到 B 的对应法则 f )叫做集合 A 到集 映射, 合 B 的映射,记作 f: A B.
(四)复合函数
给定两个函数 y = f ( x ) 和 y = g ( x ),则称 f [ g( x )]和 g[ f ( x )] 为由这两个函数复合而成 的复合函数. 例 3 , 已知函数 f (x) = 2x – 3 和 g(x) = x2+2, 求函数 f [g( x )]和g [ f ( x )] . 解: f [g( x )] = 2(x 2+2)-3=2x2+1 g [ f ( x )] =(2x-3)2+2= 4 x2 -12x + 11 .
x2 4 x + 4
y=t 2 (t<0), s=r 2 (r<0) √ (注:与字母无关) 与字母无关)
1 2,已知 f (x)=3x-1,g(x)= 2 , , x +1
求:f (x2), f (x+1), f [g(x)], g[ f (x)+2]. 答案: 答案:
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(一)区间的概念: 区间的概念:
是两个实数, 设 a,b 是两个实数,而且 a < b,我们规定: ,我们规定: 的集合叫做闭 (1)满足不等式 a ≤x ≤ b 的实数 x 的集合叫做闭 ) 区间,表示为[ 区间,表示为 a,b ]; 的集合叫做开 (2)满足不等式 a < x < b 的实数 x 的集合叫做开 ) 区间,表示为( 区间,表示为(a,b); ) (3)满足不等式 a ≤ x < b 或 a < x ≤ b 的实数 x 的 ) 集合叫做半开半闭区间 半开半闭区间, 集合叫做半开半闭区间,分别表示为 [ a,b), ), ( a, b ] . 都叫做相应区间的端点 这里的 a 与 b 都叫做相应区间的端点 .
例:已知函数 f (x) = 3 x2 – 5 x + 2 ,求 f ( 3 ), , f ( a ) ,f ( a + 1 ) .
解:f (3)=3×32-5×3+2=14 × × f (a) = 3 a2 – 5 a + 2 f (a+1) = 3 (a+1)2 – 5 (a+1) + 2 =3a2+6a+3-5a-5+2 =3a2+a
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1,下列各组中的两个函数是否为同一函数,为什么? ,下列各组中的两个函数是否为同一函数,为什么? (1) f (x)=(x- 2)0, ) ( (2) (3) (4) f (x)=x2, f(x)=x-2, g(x)=1. × 定义域不同 × 对应法则不同 × 值域不同
g(x)=(x-1)2. g(x)=
4 = p + q 由题意可得: 解:由题意可得: 7 = 2 p + q
p = 3 解得: q = 1
∴ f : x→y=3x+1 若10=n4,则 n N.
于是3的象是 于是 的象是10. 的象是
∴ 10= n2+3n, 解得 n=2 或n =-5(舍去) (舍去) 从而 3m+1=n4,得 m=5, ∴ p=3, q=1, m=5, n=2.
例 题 解 析
的映射: 例1, 下列对应是不是从集合 A 到集合 B 的映射: , (1)设 A = { 1,2,3,4 },B = { 3,4,5,6,7, ) , , , , , , , , , 8,9 },集合 A 中的元素 x 按照对应法则 "乘 2 加 1" , , 对应. 和集合 B 中的元素 2x + 1 对应 (2)设A = N*,B = { 0,1 },集合 A 中的元素 x 按 ) , , , 得的余数" 照对应法则 "x 除以 2 得的余数" 和集合 B 中的元 素对应. 素对应 的映射. 解:(1)这个对应是集合 A 到集合 B 的映射 :( ) 的映射. (2)这个对应也是集合 A 到集合 B 的映射. )
2n 1 3,集合 , n∈N}, ,集合A=N,B={m|m= , ∈ 2n + 1
定义: 的映射, 定义:给定一个集合 A 到集合 B 的映射,且 a ∈ A,b , 对应,那么, ∈ B,如果元素 a 和元素 b 对应,那么,我们就把元 , 原象. 素 b 叫做元素 a 的象,元素 a 叫做元素 b 的原象 例如, 例如,右图就表示 一个集合 A 到集合 B 的 映射,对应法则是" 映射,对应法则是"乘以 2",集合 B 中的 4 是集 , 的象, 合 A 中的 2 的象,集合 A 中的 2 是集合 B 中的 4 的原象 的原象. A 1 2 3 乘以2 乘以 B 1 2 3 4 5 6
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习
1,在从集合A到集合 的映射中,下列说法哪一 ,在从集合 到集合 的映射中, 到集合B的映射中 个是正确的? 个是正确的? A 中的某一个元素b的原象可能不止一个 (A)B中的某一个元素 的原象可能不止一个 ) 中的某一个元素 中的某一个元素a的象可能不止一个 (B)A中的某一个元素 的象可能不止一个 ) 中的某一个元素 (C)A中的两个不同元素所对应的象必不相同 ) 中的两个不同元素所对应的象必不相同 (D)B中的两个不同元素的原象可能相同 ) 中的两个不同元素的原象可能相同
(二)映射: 映射:
如果将函数定义中的两个集合从非空数集扩展到任 意元素的集合,我们就可以得到映射的概念. 意元素的集合,我们就可以得到映射的概念 例如: 例如: 对于任意一个实数, 对于任意一个实数,数轴上都有唯一的一个点和它 对应; 对应; 对于坐标平面内的任意一个点, 对于坐标平面内的任意一个点,都有唯一的一个有 序实数对和它对应; 序实数对和它对应; 对于任意一个三角形, 对于任意一个三角形,都有唯一的一个确定的面积 和它对应; 和它对应; 对于某个电影院的每一张电影票, 对于某个电影院的每一张电影票,都有唯一的一个 座位和它对应. 座位和它对应
的映射: 例 2 ,下列对应是不是集合 A 到集合 B 的映射: (1)设 A = { x | x 是三角形 },B = { y | y > 0 },集合 A ) , , 按照对应关系"计算面积" 中的元素 x 按照对应关系"计算面积"和集合 B 中的 元素对应, 的映射? 元素对应,这个对应是不是集合 A 到集合 B 的映射? 直线上的点}, (2)设 A = R ,B = {直线上的点 ,按照建立数轴的方 ) 直线上的点 对应, 法,使 A 中的数 x 与 B 中的点 P 对应,这个对应是不 的映射? 是集合 A 到集合 B 的映射? (3)设 A = { P | P 是直角坐标系中的点 },B = { (x,y) ) , , | x ∈ R,y ∈ R },按照建立平面直角坐标系的方法,使 , ,按照建立平面直角坐标系的方法, A 中的点 P 与 B 中的有序实数对 (x,y)对应,这个对应 对应, , 对应 是不是集合 A 到集合 B 的映射? 的映射? 答案: 答案:以上三个小题中的对应都是集合 A 到集合 B 的映射. 的映射