吉林大学大二上数学实验作业
数学实验(第二版)课后习题答案
贵州师范学院2012级数本一班李刚数学实验课后练习答案习题2.11. syms x y;>> x=-5:0.01:5;>> y=x.^1/2;>> plot(x,y)2. f plot('exp(-x.^2)',[-5,5])3. ezplot('x.^3+y.^3-3*x*y',[-5,5])4 . ezplot('y.^2-x.^3/(1-x)',[-5,5])5.t=0:0.1:2*pi;x=t-sin(t);y=2*(1-cos(t));plot(x,y)6. t=0:0.1:2*pi; x=cos(t).^3; >> y=sin(t).^3;>> plot(t,y)>>7: t=0:0.1:2*pi; x=cos(t); y=2*sin(t); z=3*t; plot3(x,y,z)8: x =0:0.1:2*pi; r=x; polar(x,r)9: x =0:0.1:2*pi; r=exp(x); polar(x,r)10: x=0:0.1:2*pi; r=sqrt(cos(2*x)); polar(x,r)11: x=0:0.1:2*pi; r=sqrt(sin(2*x)); polar(x,r)12: x =0:0.1:2*pi; r=1+cos(x); polar(x,r)练习2.2 1：(1)(2)：syms n; limit('sqrt(n+2)-2*(sqrt(n+1))+sqrt(n)',n,inf)Ans= 0 (3):: (4):(5):(6):2:3:fplot('x.^2*sin(x.^2-x-2)',[-2,2])练习2.3 1：（2）：2：练习2.4 1：（1）（2）：（3）（4）：2：（1）：syms x;int(x^(-x),x,0,1)ans =int(x^(-x),x = 0 .. 1)vpa(ans,10)ans =1.291285997（2）：syms x；int(exp(2*x)*cos(x)^3,x,0,2*pi)ans =-22/65+22/65*exp(4*pi)（3）：syms x; int(exp(x^2/2)/sqrt(2*pi),x,0,1)ans =-1125899906842624/5644425081792261*i*erf(1/2*i*2^(1/2))*pi^(1/2)*2^(1/2) >> vpa(ans,10)ans =.4767191345（4）：syms x;int(x*log(x^4)*asin(1/x^2),x,1,3)ans =int(x*log(x^4)*asin(1/x^2),x = 1 .. 3)>> vpa(ans,10)ans =2.459772128（5）：syms x ;int(exp(x^2/2)/sqrt(2*pi),x,-inf,inf)ans =Inf（6）：syms x ;int(sin(x)/x,x,0,inf)ans =1/2*pi（7）：syms x ;int(tan(x)/sqrt(x),x,0,1)Warning: Explicit integral could not be found. > In sym.int at 58ans =int(tan(x)/x^(1/2),x = 0 .. 1)>> vpa(ans,10)ans =.7968288892（8）：syms x ;int(exp(-x^2/2)/(1+x^4),x,-inf,inf)ans =1/4*pi^(3/2)*2^(1/2)*(AngerJ(1/2,1/2)-2/pi^(1/2)*sin(1/2)+2/pi^(1/2)*cos(1/2)-WeberE(1/2,1/2 ))>> vpa(ans,10)ans =1.696392536（9）：syms x ;int(sin(x)/sqrt(1-x^2),x,0,1)ans =1/2*pi*StruveH(0,1)>> vpa(ans,10)ans =.8932437410练习2.5（1）：syms n;symsum(1/n^2^n,n,1,inf)ans =sum(1/((n^2)^n),n = 1 .. Inf)（2）：s yms n ;symsum(sin(1/n),n,1,inf)ans =sum(sin(1/n),n = 1 .. Inf)（3）：syms n ;symsum(log(n)/n^3,n,1,inf) ans =-zeta(1,3)（4）：syms n ;symsum(1/(log(n))^n,n,3,inf) ans =sum(1/(log(n)^n),n = 3 .. Inf)（5）：syms n;symsum(1/(n*log(n)),n,2,inf) ans =sum(1/n/log(n),n = 2 .. Inf)（6）：yms n;symsum((-1)^n*n/(n^2+1),n,1,inf)ans =-1/4*Psi(1-1/2*i)+1/4*Psi(1/2-1/2*i)-1/4*Psi(1+1/2*i)+1/4*Psi(1/2+1/2*i)第三章练习3.11：（1）：a=-30:1:30;b=-30:1:30;[x,y]=meshgrid(a,b);z=10*sin(sqrt(x.^2+y.^2))./(sqrt(1+x.^2+y.^2)); meshc(x,y,z)（2）：a=-30:1:30;b=-30:1:30;[x,y]=meshgrid(a,b);z=4*x.^2/9+y.^2;meshc(x,y,z)（3）：（4）：a=-30:1:30;b=-30:1:30;[x,y]=meshgrid(a,b); z=x.^2/3-y.^2/3; meshc(x,y,z)（5）：a=-30:1:30;>> b=-30:1:30;>> [x,y]=meshgrid(a,b); >> z=x*y;>> meshc(x,y,z)（6）：（7）：a=-30:1:30;>> b=-30:1:30;>> [x,y]=meshgrid(a,b); >> z=sqrt(x.^2+y.^2); >> meshc(x,y,z)（8）：（9）：a=-30:1:30;>> b=-30:1:30;>> [x,y]=meshgrid(a,b);>> z=atan(x./y);>> meshc(x,y,z)练习3.21;a=-1:0.1:1;>> b=0:0.1:2;>> [x,y]=meshgrid(a,b);>> z=x.*exp(-x.^2-y.^2);>> [px,py]=gradient(z,0.1,0.1);>> contour(a,b,z)>> hold on>> quiver(a,b,px,py)2:a=-2:0.1:1;>> b=-7:0.1:1;>> [x,y]=meshgrid(a,b);>> z=y.^3/9+3*x.^2.*y+9*x.^2+y.^2+x.*y+9; >> plot3(x,y,z)>> grid on3:[x,y]=meshgrid(-2*pi:0.2:2*pi); z=x.^2+2*y.^2;plot3(x,y,z)hold onezplot('x^2+y^2-1',[-2*pi,2*pi]) ; grid on4:t=0:0.03:2*pi;>> s=[0:0.03:2*pi]';>> x=(0*s+1)*cos(t);y=(0*s+1)*sin(t);z=s*(0*t+1); >> mesh(x,y,z)>> hold on>> [x,y]=meshgrid(-1:0.1:1);>> z=1-x+y;>> mesh(x,y,z)5:syms x y z dx dyz=75-x^2-y^2+x*y;zx=diff(z,x),zy=diff(z,y)zx =-2*x+yzy =-2*y+x练习3.31：ezplot('x^2+y^2-2*x',[-2,2]);>> grid onsyms x y ;s=int(int(x+y+1,y,-sqrt(1-(x-1)^2),sqrt(1-(x-1)^2)),x,0,2)s =2*pi2：syms r t ;>> s=int(int(sqrt(1+r^2*sin(t)),r,0,1),t,0,2*pi)s =int(1/2*((1+sin(t))^(1/2)*sin(t)^(1/2)+log(sin(t)^(1/2)+(1+sin(t))^(1/2)))/sin(t)^(1/2),t = 0 .. 2*pi) 3：syms x y z ;>> s=int(int(int(1/(1+x+y+z)^3,z,0,1-x-y),y,0,1-x),x,0,1)s =-5/16+1/2*log(2)4：s=vpa(int(int(x*exp(-x^2-y^2),y,0,2),x,-1,10))s =0.16224980455070416645061789474030练习3.41：（1）：y=dsolve('Dy=x+y','y(0)=1','x')得：y =-1-x+2*exp(x)（2）：y=dsolve('Dy=2*x+y^2','y(0)=0')y =tan(t*x^(1/2)*2^(1/2))*x^(1/2)*2^(1/2)练习4.11：（1）：p=[5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -6 8 0 0 0 -5 0 0]; >> x=roots(p)x =0.97680.9388 + 0.2682i0.9388 - 0.2682i0.8554 + 0.5363i0.8554 - 0.5363i0.6615 + 0.8064i0.6615 - 0.8064i0.3516 + 0.9878i0.3516 - 0.9878i-0.0345 + 1.0150i-0.0345 - 1.0150i-0.4609 + 0.9458i-0.4609 - 0.9458i-0.1150 + 0.8340i-0.1150 - 0.8340i-0.7821 + 0.7376i-0.7821 - 0.7376i-0.9859 + 0.4106i-0.9859 - 0.4106i-1.0416-0.7927（2）: p=[8 36 54 23];x=roots(p)x =-1.8969 + 0.6874i-1.8969 - 0.6874i-0.70632:p1=[1 0 -3 -2 -1];p2=[1 -2 5];[q2,r2]=deconv(p1,p2)q2 =1 2 -4r2 =0 0 0 -20 19 3:syms x;f=x^4+3*x^3-x^2-4*x-3;g=3*x^3+10*x^2+2*x-3;p1=factor(f),p2=factor(g)p1 =(x+3)*(x^3-x-1)p2 =(x+3)*(3*x^2+x-1)4:syms x ;f=x^12-1;p=factor(f)p =(-1+x)*(1+x^2+x)*(1+x)*(1-x+x^2)*(1+x^2)*(x^4-x^2+1)5: (1):p=[1 0 1];q=[1 0 0 0 1];[a,b,r]=residue(p,q)a =-0.0000 - 0.3536i-0.0000 + 0.3536i0.0000 - 0.3536i0.0000 + 0.3536ib =0.7071 + 0.7071i0.7071 - 0.7071i-0.7071 + 0.7071i-0.7071 - 0.7071ir =[](2):p=[1];q=[1 0 0 0 1];[a,b,r]=residue(p,q)a =-0.1768 - 0.1768i -0.1768 + 0.1768i0.1768 - 0.1768i0.1768 + 0.1768ib =0.7071 + 0.7071i0.7071 - 0.7071i -0.7071 + 0.7071i -0.7071 - 0.7071ir =[](3):p=[1 0 1];q=[1 1 -1 -1];[a,b,r]=residue(p,q)a =0.5000-1.00000.5000b =-1.0000-1.00001.0000r =[] (4): p=[1 1 0 0 0 -8];[a,b,r]=residue(p,q)a =-4-38b =-11r =1 1 1练习 4.21：（1）：D=[2 1 3 1;3 -1 2 1;1 2 3 2;5 0 6 2];det(D)ans =6（2）：syms a b c dD=[a 1 0 0 ;-1 b 1 0;0 -1 c 1;0 0 -1 d];det(D)ans =a*b*c*d+a*b+a*d+c*d+12：（1）：D=[1 1 1 1; a b c d;a^2 b^2 c^2 d^2;a^3 b^3 c^3 d^3];det(D)ans =b*c^2*d^3-b*d^2*c^3-b^2*c*d^3+b^2*d*c^3+b^3*c*d^2-b^3*d*c^2-a*c^2*d^3+a*d^2*c^3+a *b^2*d^3-a*b^2*c^3-a*b^3*d^2+a*b^3*c^2+a^2*c*d^3-a^2*d*c^3-a^2*b*d^3+a^2*b*c^3+a^ 2*b^3*d-a^2*b^3*c-a^3*c*d^2+a^3*d*c^2+a^3*b*d^2-a^3*b*c^2-a^3*b^2*d+a^3*b^2*c（2）: s yms a b x y zD=[a*x+b*y a*y+b*z a*z+b*x; a*y+b*z a*z+b*x a*x+b*y;a*z+b*x a*x+b*y a*y+b*z];det(D)ans =3*a^3*x*z*y+3*b^3*y*x*z-a^3*x^3-a^3*y^3-b^3*z^3-a^3*z^3-b^3*x^3-b^3*y^33: (1): D=[1 1 1 1;1 2 -1 4;2 -3 -1 -5;3 1 2 11];D1=[5 1 1 1;-2 2 -1 4;-2 -3 -1 -5;0 1 2 11];D2=[1 5 1 1;1 -2 -1 4;2 -2 -1 -5;3 0 2 11];D3=[1 1 5 1;1 2 -2 4;2 -3 -2 -5;3 1 0 11];D4=[1 1 1 5;1 2 -1 -2;2 -3 -1 -2;3 1 2 0];x1=det(D1)/det(D);x2=det(D2)/det(D);x3=det(D3)/det(D);x4=det(D4)/det(D);x1,x2,x3,x4x1 =1x2 =2x3 =3x4 =-1(2):D=[5 6 0 0 0;1 5 6 0 0;0 1 5 6 0;0 0 1 5 6;0 0 0 1 5]; D1=[1 6 0 0 0;0 5 6 0 0;0 1 5 6 0;0 0 1 5 6;1 0 0 1 5]; D2=[5 1 0 0 0;1 0 6 0 0;0 0 5 6 0;0 0 1 5 6;0 1 0 1 5]; D3=[5 6 1 0 0;1 5 0 0 0;0 1 0 6 0;0 0 0 5 6;0 0 1 1 5]; D4=[5 6 0 1 0;1 5 6 0 0;0 1 5 0 0;0 0 1 0 6;0 0 0 1 5]; D5=[5 6 0 0 1;1 5 6 0 0;0 1 5 6 0;0 0 1 5 0;0 0 0 1 1]; x1=det(D1)/det(D);x2=det(D2)/det(D);x3=det(D3)/det(D);x4=det(D4)/det(D);x5=det(D5)/det(D);x1,x2,x3,x4,x5x1 =2.2662x2 =-1.7218x3 =1.0571x4 =-0.5940x5 =0.3188练习 4.3 1：A=[1 2 0;3 4 -1; 1 1 -1];B=[1 2 3;-1 0 1;-2 4 -3];A',2+A,2*A-B,A*B,A^2,A^(-1)ans =1 3 12 4 10 -1 -1ans =3 4 25 6 13 3 1ans =1 2 -37 8 -34 -2 1ans =-1 2 51 2 162 -2 7ans =7 10 -214 21 -33 5 0ans =-3.0000 2.0000 -2.00002.0000 -1.0000 1.0000-1.0000 1.0000 -2.0000 2：（1）：B=[2 4 3];B'ans =243（2）：A=[1 2 3];B=[2 4 3];A.*B,B.*Aans =2 8 9ans =2 8 93：（1）：A=[0 1 0;1 0 0;0 0 1];B=[1 0 0;0 0 1;0 1 0];C=[1 -4 3;2 0 -1;1 -2 0];A^(-1),B^(-1),X=A^(-1)*C*B^(-1) ans =0 1 01 0 00 0 1ans =1 0 00 0 10 1 0X =2 -1 01 3 -41 0 -2（2）：>> A=[1 2 3;2 2 3;3 5 1];B=[1 0 0;2 0 0;3 0 0];A^(-1),x=A^(-1)*Bans =-1.0000 1.0000 0.00000.5385 -0.6154 0.23080.3077 0.0769 -0.1538x =1 0 00 0 00 0 0练习 4.41：（1）：A=[4 2 -1;3 -1 2;11 3 0];b=[2;10;8];B=[A,b];rank(A),rank(B)ans =2ans =3（2）：A=[2 1 -1 1;3 -2 1 -3;1 4 -3 5];b=[1;4;-2];B=[A,b];rank(A),rank(B)ans =2ans =2（3）：A=[ 1 1 1 1; 1 2 -1 4;2 -3 -1 -5;3 1 2 11];b=[5;-2;-2;0];B=[A,b];rank(A),rank(B)ans =4ans =4（4）：A=[ 1 1 2 -1; 2 1 1 -1;2 2 1 2];b=[0;0;0];B=[A,b];rank(A),rank(B)ans =3ans =32：syms a;A=[-2 1 1;1 -2 1;1 1 -2];b=[-2;a;a^2];B=[A,b];rank(A),rank(B)ans =2ans =3练习4.51：（1）：A=[0 1;-1 0];[a,b]=eig(A)a =0.7071 0.70710 + 0.7071i 0 - 0.7071ib =0 + 1.0000i 000 - 1.0000i（2）：A=[0 0 1;0 1 0;1 0 0];[a,b]=eig(A)a =0.7071 0.7071 00 0 -1.0000-0.7071 0.7071 0b =-1 0 00 1 00 0 1（3）：A=[4 1 -1;3 2 -6;1 -5 3];[a,b]=eig(A)a =0.0185 -0.9009 -0.3066-0.7693 -0.1240 -0.7248-0.6386 -0.4158 0.6170b =-3.0527 0 00 3.6760 00 0 8.3766（4）：A=[1 1 1 1;1 1 -1 -1;1 -1 1 -1;1 1 -1 1];[a,b]=eig(A)a =0.5615 0.3366 0.2673 -0.7683-0.5615 -0.3366 0.0000 -0.0000-0.5615 -0.3366 -0.5345 -0.6236-0.2326 0.8125 0.8018 -0.1447b =-1.4142 0 0 00 1.4142 0 00 0 2.0000 00 0 0 2.0000（5）：A=[5 7 6 5;7 10 8 7;6 8 10 9;5 7 9 10];[a,b]=eig(A)a =0.8304 0.0933 0.3963 0.3803-0.5016 -0.3017 0.6149 0.5286-0.2086 0.7603 -0.2716 0.55200.1237 -0.5676 -0.6254 0.5209b =0.0102 0 0 00 0.8431 0 00 0 3.8581 00 0 0 30.2887（6）：A=[5 6 0 0 0;1 5 6 0 0 ;0 1 5 6 0 ;0 0 1 5 6; 0 0 0 1 5 ]; [a,b]=eig(A)a =0.7843 -0.7843 -0.9860 -0.9237 -0.92370.5546 0.5546 0.0000 0.3771 -0.37710.2614 -0.2614 0.1643 -0.0000 0.00000.0924 0.0924 0.0000 -0.0628 0.06280.0218 -0.0218 -0.0274 0.0257 0.02579.2426 0 0 0 00 0.7574 0 0 00 0 5.0000 0 00 0 0 2.5505 00 0 0 0 7.4495 2：（1）：A=[0 1;-1 0];[a,b]=eig(A)a =0.7071 0.70710 + 0.7071i 0 - 0.7071ib =0 + 1.0000i 00 0 - 1.0000i>> P=orth(a),B=P'*A*P,P*P'P =-0.7071 -0.70710 - 0.7071i 0 + 0.7071iB =0 + 1.0000i 0 - 0.0000i0 - 0.0000i 0 - 1.0000ians =1.0000 0 + 0.0000i0 - 0.0000i 1.0000>> inv(a)*A*a0 + 1.0000i 000 - 1.0000i3：（1）：A=[2 0 0;0 3 2;0 2 3]; [a,b]=eig(A)a =0 1.0000 0-0.7071 0 0.70710.7071 0 0.7071b =1.0000 0 00 2.0000 00 0 5.0000>> P=orth(a),B=P'*A*P,P*P'P =-1.0000 0 -0.00000.0000 0.7071 0.7071-0.0000 -0.7071 0.7071B =2.0000 0.0000 0.00000.0000 1.0000 00.0000 0 5.0000ans =1.0000 -0.0000 0.0000-0.0000 1.0000 -0.00000.0000 -0.0000 1.0000（2）：A=[1 1 0 -1;1 1 -1 0;0 -1 1 1;-1 0 1 1];[a,b]=eig(A)a =-0.5000 0.7071 0.0000 0.50000.5000 -0.0000 0.7071 0.50000.5000 0.7071 0.0000 -0.5000-0.5000 0 0.7071 -0.5000 b =-1.0000 0 0 00 1.0000 0 00 0 1.0000 00 0 0 3.0000 >> P=orth(a),B=P'*A*P,P*P'P =-0.5000 -0.4998 -0.4783 -0.52100.5000 -0.4822 0.5212 -0.49580.5000 0.4998 -0.4964 -0.5037-0.5000 0.5175 0.5031 -0.4786 B =-1.0000 0.0000 0.0000 0.00000.0000 2.9988 -0.0362 0.03440.0000 -0.0362 1.0007 -0.00060.0000 0.0344 -0.0006 1.0006 ans =1.0000 0.0000 0.0000 -0.00000.0000 1.0000 -0.0000 00.0000 -0.0000 1.0000 0.0000-0.0000 0 0.0000 1.0000练习5.3 1: [m,v]=unifstat(1,11)m =6v =8.33332:[m,v]=normstat(0,16)m =v =256>> s=sqrt(v)s =163:x=randn(200,6);s=std(x)s =0.9094 0.9757 0.9702 0.9393 0.9272 1.09824: x=normrnd(0,16,300,1);hist(x,10)练习 5.61：x=[352 373 411 441 462 490 529 577 641 692 743];y=[166 153 177 201 216 208 227 238 268 268 274];plot(x,y,'*')4：（1）：x=[10 10 10 15 15 15 20 20 20 25 25 25 30 30 30];y=[25.2 27.3 28.7 29.8 31.1 27.8 31.2 32.6 29.7 31.7 30.1 32.3 29.4 30.8 32.8]; plot(x,y,'*')。
数学实验习题
数学实验习题实验1 MATLAB 基本特性与基本运算1． 求解方程02=++c bx ax的根。
其中（1）3,2,1===c b a （2）3,2,1-=-==c b a （提示：运用求根公式。
结果为（1）ix 212,1±-=，（2）3,12,1-=x ）2． 已知圆的半径为15，求圆的周长和面积。
3． 输入例1-6中语句，计算三角形的面积并修改边长值重新计算三角形的面积。
4． 查询表1-4中部分常用函数的功能与用法。
5． 设⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=0220,2112B A ，求矩阵方程X B A AX -=-2的解。
6． 画出231xxy +=和22)1ln(xx z +=在区间[-5,5]上的图形（提示：用 .^ 和 ./ 运算）。
7． 画出x ex e x f xxsin cos )(cos 2sin 2-=在区间[-5,5]上的图形。
8． 设x ex ex f xxsin cos )(cos 2sin 2-=，试在[-5,5]上求出函数的零点及极大、极小值。
9． 求方程0d )cos 32( 03=--+⎰s t t e txt当=s 1、11、21时的根。
10． 已知⎰+=1214dxxπ(试证明)，试用不同的积分命令求其近似值(pi=3.14159265358…)。
11．设||sin 12)(/1x ax ex f x-+=-，试求当)(lim 1x f x →存在时a 的大小以及极限值。
12．设)cos sin()(x x x x f ++=，求)(x f 在]4,0[π上的极值、拐点。
13．计算积分（1）⎰dxx x sin ；（2）dxxx ⎰++12)1ln(。
实验2 MATLAB 绘制二维、三维图形1． 在圆域122≤+yx上画出上半球面221yxz --=的图形。
2． 画出椭球面11241222=++zyx的图形。
3． 在矩形域[-2,2]×[-2,2]区域上画出函数)(22y x xez +-=的图形。
数学实验作业1--答案
数学实验-作业1—及部分答案（要求：1. 每次上机课下课之前提交，文件名如：数学091朝鲁第一次作业.doc。
2. 交至邮箱：matlabzuoyetijiao@3.作业实行5分制，依次为A++，A+，A ，A-，A- -）4.作业中，需要编程实现的均要求列出你的代码，以及求解的结果）1.请上网或查阅各种资料并回答：MATLAB是什么？MATLAB能做什么？答：略2.请上网或查阅各种资料并回答：MATLAB语言突出的特点是什么？答：略3.在MATLAB软件中有几种获得帮助的途径？答：help函数，菜单栏help菜单。
4.请上网或查询MATLAB软件中inv函数的功能与特点。
答：用来求可逆矩阵的逆矩阵。
inv(A),即求已知矩阵A的逆矩阵。
5.请上网或查阅各种资料并回答：如何在MATLAB中建立向量和矩阵。
答：如在matlab中创建向量a=(2,-5,6,1);a=[2,-5,6,1];b= [2;-5;6;1];如在matlab中创建矩阵A=;A=[1,2,3;4,5,6;7,8,9]；A =1 2 34 5 67 8 96.请上网或查阅各种资料并回答：在MATLAB中，向量和矩阵如何进行基本加减乘除四则运算，以及矩阵的乘法。
答：a=[2,-5,6,1];b= [1,2,3,4];求向量的和与差，直接输入a+b,a-b,即可,当然必须要求两个向量大小一致。
如：>> a=[2,-5,6,1];b= [1,2,3,4];>> a+bans =3 -3 9 5>> a-b1 -7 3 -3>> a.*bans =2 -10 18 4>> a./bans =2.0000 -2.5000 2.0000 0.2500>> a/b向量之间进行除法运算，使用不加点的矩阵除法“A/B”时，问题可以描述为：给定两个向量A、B，求一个常量x，使得A=x * B。
数学实验之学生实验题目
数学实验之学生实验题目 MATLAB 简介实验一：数组操作及运算练习1．设有分块矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⨯⨯⨯⨯22322333S O R E A ，其中E,R,O,S 分别为单位阵、随机阵、零阵和对角阵，试通过数值计算验证⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=22S 0RS R EA 。
2．求如下非齐次线性方程组的通解，⎪⎩⎪⎨⎧=--+=+-+=+-+.12,2224,12w z y x w z y x w z y x3．某零售店有9种商品的单件进价（元）、售价（元）及一周的销量下表，问哪种商品的利润最大，哪种商品的利润最小；按收入由小到大，列出所有商品及其收入；求这一周该10种商品的总收入和总利润。
实验二：作图练习1. 用两种方法在同一个坐标下作出y 1= x 2,y 2= x 3,y 3= x 4 y 4= x 5这四条曲线的图形，并要求用两种方法在图上加各种标注。
2．用subplot 分别在不同的坐标系下作出下列四条曲线，为每幅图形加上标题， 1）概率曲线 2exy -=；2）四叶玫瑰线 r =sin2q ；3）叶形线 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=;13,13323t ty t t x 4）曳物线 22111lnyyy x --±= 。
3．作出下列曲面的3维图形，1）)sin(22y x z +=π；2）环面：⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=,sin ,sin )cos 1(,cos )cos 1(u z v u y v u x )2,0()2,0(ππ∈∈v u 。
实验三：编写M-文件1．建立一个命令M-文件：求所有的“水仙花数”，所谓“水仙花数”是指一个三位数，其各位数字的立方和等于该数本身。
例如，153是一个水仙花数，因为153=13+53+33。
2．编写函数M-文件SQRT.m ：用迭代法求a x =的值。
求平方根的迭代公式为迭代的终止条件为前后两次求出的x 的差的绝对值小于10-5。
〈返回〉方程求解实验一：油价与船速的优化问题油价的上涨，将影响大型海船确定合理的航行速度，以优化航行收入。
第一次作业-吉林大学数学学院
高等数学作业CⅡ吉林大学公共数学教学与研究中心2013年3月第一次作业学院 班级 姓名 学号一、单项选择题1．平面1=+z y （ ）． （A ）平行于yoz 平面； （B ）平行于x 轴； （C ）平行于xoz 面；（D ）平行于xoy 平面．2．平面1=z 与曲面14222=++z y x （ ）． （A ）不相交；（B ）交于一点； （C ）交线为一个椭圆；（D ）交线为一个圆．3．方程z y x =-4222所表示的曲面为（ ）． （A ）椭球面； （B ）柱面； （C ）双曲抛物面； （D ）旋转抛物面．4．过点(1,2,4)-且与平面234x y z -+=垂直的直线方程是（ ）． （A ）124231x y z -+-==--； （B ）238x y z -+=； （C ）124124x y z -+-==-；（D ）124231x y z ---==-． 5．设有直线182511:1+=--=-z y x L 与⎩⎨⎧=+=-326:2z y y x L ，则L 1与L 2的夹角为（ ）．（A ）6π； （B ）4π； （C ）3π； （D ）2π．6．设有直线⎩⎨⎧=+--=+++031020123:z y x z y x L 及平面0224:=-+-z y x π，则直线L （ ）．（A ）平行于π； （B ）在π上； （C ）垂直于π； （D ）与π斜交．二、填空题1．设,a b 均为非零向量，且||||+=-a b a b ，则a 与b 的夹角为 ． 2．与直线⎩⎨⎧=+-=++0132z y x z y x 平行的单位向量为 ．3．点0(1,2,1)M 到平面2210x y z π++=:的距离为 ．4．若||3=a ，||2=b ，且a ，b 间夹角为34θπ=，则||+=a b ，||⨯=a b ．5．xoz 平面上的曲线1x =绕z 轴旋转一周所形成的旋转曲面方程为 ．6．曲线⎩⎨⎧=-+--=032622z y y x z 在xoy 面上的投影曲线方程为 ．7．已知向量a ，b ，c 两两相互垂直，且||1=a ，||2=b ，||1=c ，则有||++=a b c ．三、计算题 1．求过直线1212:102x y z L --+==-，且平行于直线221:212x y zL +-==--的平面π的方程．2．求点(2,1,3)到直线11321x y z+-==-的距离．3．设空间三点)2,1,1(-A，)4,5,4(B，)2,2,2(C，求三角形ABC的面积．4．设有直线210:210x y z L x y z ++-=⎧⎨-++=⎩，平面:0x y π+=求直线L 与平面π的夹角；如果L 与π相交，求交点．5．求过平面02=+y x 和平面6324=++z y x 的交线，并切于球面4222=++z y x 的平面方程．第二次作业学院 班级 姓名 学号一、单项选择题 1．22003limx y xyx y →→=+（ ）．（A ）32； （B ）0； （C ）65； （D ）不存在．2．二元函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=)0,0(),(,0)0,0(),(,),(22y x y x y x xyy x f 在)0,0(处（ ）．（A ）连续，偏导数存在；（B ）连续，偏导数不存在； （C ）不连续，偏导数存在；（D ）不连续，偏导数不存在．3．设22(,)(1)(2)f x y y x x y =-+-，在下列求(1,2)x f 的方法中，不正确的一种是（ ）．（A ）因2(,2)2(1),(,2)4(1)x f x x f x x =-=-，故1(1,2)4(1)|0x x f x ==-=； （B ）因(1,2)0f =，故(1,2)00x f '==；（C ）因2(,)2(1)(2)x f x y y x y =-+-，故12(1,2)(,)0x x x y f f x y ====；（D ）211(,2)(1,2)2(1)0(1,2)lim lim 011x x x f x f x f x x →→---===--．4．若(,)f x y 的点00(,)x y 处的两个偏导数都存在，则（ ）． （A ）(,)f x y 在点00(,)x y 的某个邻域内有界； （B ）(,)f x y 在点00(,)x y 的某个邻域内连续；（C ）0(,)f x y 在点0x 处连续，0(,)f x y 在点0y 处连续； （D ）(,)f x y 在点00(,)x y 处连续．5．设22(,),2zz f x y y∂==∂，且(,0)1,(,0)y f x f x x ==，则(,)f x y 为（ ）．（A ）21xy x -+； （B ）21xy y ++； （C ）221x y y -+； （D ）221x y y ++． 二、填空题1．2224ln(1)x y z x y -=--的定义域为 ．2．0011limx y xyxy →→--= ．3．设22),(y x y x y x f +-+=，则=')4,3(x f ，=')4,3(y f ． 4．设ln(32)u x y z =-+，则d u = ． 5．设yz x =，则2zx y∂=∂∂ ． 三、计算题1．已知(2)z y f x =++，且当1y =时z x =，求()f t 及z 的表达式．2．讨论函数2222222,0,(,)0,0x xyx yf x y x yx y⎧++≠⎪=+⎨⎪+=⎩的连续性．3．设(1)yz xy=+，求d z．4．求2e d yz t xz u t =⎰的偏导数．四、应用题某种数码相机的销售量Q A 除与它自身的价格P A 有关外，还与彩色喷墨打印机的价格P B 有关，具体为210250120B B AA P P P Q --+=，求50=A P ，50=B P 时 （1）Q A 对P A 的弹性；（2）Q A 对P B 的交叉弹性．五、证明题1．设222r x y z =++，验证：当0r ≠时，有2222222r r r x y z r∂∂∂++=∂∂∂．2．证明函数(,)||f x y xy =在点(0, 0)处：（1）连续；（2）偏导数存在；（3）不可微．第三次作业学院 班级 姓名 学号一、单项选择题 1．设22()y z f x y =-，其中()f u 为可导函数，则zx∂∂=（ ）． （A ）2222()xyf x y --；（B ）222222()()xyf x y f x y '---；（C ）22222()()yf x y f x y '---；（D ）2222222()()()f x y yf x y f x y '-----．2．()u f r =，而222r x y z =++，且函数()f r 具有二阶连续导数，则22ux∂+∂2222u uy z ∂∂+=∂∂( )． （A ）1()()f r f r r '''+；（B ）2()()f r f r r '''+； （C ）211()()f r f r r r'''+；（D ）212()()f r f r r r '''+．3．设方程(,,)0F x y y z z x ---=确定z 是x ，y 的函数，F 是可微函数，则z x∂∂=（ ）．（A ）13F F '-'； （B ）13F F ''； （C ）x zy zF F F F --；（D ）1323F F F F ''-''-．4．设(,),(,),(,)x x y z y y z x z z x y ===都由方程(,,)0F x y z =所确定的隐函数，则下列等式中，不正确的一个是（ ）．（A ）1x yy x∂∂=∂∂； （B ）1x zz x∂∂=∂∂； （C ）1x y zy z x∂∂∂=∂∂∂；（D ）1x y zy z x∂∂∂=-∂∂∂．5．设(,)u x y 在平面有界闭区域D 上是C (2)类函数，且满足20ux y∂≠∂∂及22220u ux y ∂∂+=∂∂，则(,)u x y 的 ( )． （A ）最大值点和最小值点必定都在D 的内部； （B ）最大值点和最小值点必定都在D 的边界上； （C ）最大值点在D 的内部，最小值点在D 的边界上； （D ）最小值点在D 的内部，最得到值点在D 的边界上． 二、填空题 1．设y x u xsin e-=，则y x u ∂∂∂2在⎪⎭⎫ ⎝⎛π1,2处的值为 ．2．已知(1,2)4,d (1,2)16d4d ,d (1,4)64d 8d f f x y f x y ==+=+，则(,(,))z f x f x y =在点（1, 2）处对x 的偏导数为 ．3．由方程e z xy yz zx -+=所确定的隐函数(,)z z x y =在点（1, 1）处的全微分为 ．4．22z x y =+在条件1x y +=下的极小值是 ． 三、计算与解答题1．设f 是C (2)类函数，22(e ,)xyz f x y =-，求2zx y∂∂∂．2．设32(32)x y z x y -=-，求d z ．3．设22ln arctan y x y x +=，求22d d yx．4．设⎰+-=u v ut t z 222d e ，x u sin =，x v e =，求xz d d ．5．求函数22(,)(2)ln f x y x y y y =++的极值．6．求函数22=+≤上的最大值和{(,)|25}D x y x yf x y x y x y(,)1216=+-+在区域22最小值．四、应用题某企业在雇用x名技术工人，y名非技术工人时，产品的产量232+-=，若企业只能雇用230人，那么该雇用多少技术工人，多少非技术12Q-8yxyx工人才能使产量Q最大？第四次作业学院 班级 姓名 学号一、单项选择题1．设(,)f x y 连续，且(,)(,)d d Df x y xy f x y x y =+⎰⎰，其中D 是由0y =，2y x =，1x =所围区域，则(,)f x y 等于( )．（A ）xy ；（B ）2xy ；（C ）18xy +； （D ）1xy +．2．设D 是xOy 平面上以(1, 1), (-1, 1)和(-1, -1)为顶点的三角形区域，D 1是D 的第一象限部分，则(cos sin )d d Dxy x y x y +⎰⎰等于( )．（A ）12cos sin d d D x y x y ⎰⎰；（B ）12d d D xy x y ⎰⎰；（C ）；14c o s s i n )dd D x y x y xy+⎰⎰（（D ）0．3．设平面区域22:14,(,)D x y f x y ≤+≤是在区域D 上的连续函数，则()22d d Df x y x y +⎰⎰等于 ( )．（A ）212()d rf r r π⎰；（B ）21002()d ()d rf r r rf r r π⎡⎤+⎣⎦⎰⎰；（C ）2212()d rf r r π⎰； （D ）2122002()d ()d rf r r rf r r π⎡⎤+⎣⎦⎰⎰．4．设有空间区域22221:,0x y z R z Ω++≤≥及22222:x y z R Ω++≤，0x ≥，0y ≥，0z ≥，则( )．（A ）12d 4d x V x V ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰； （B ）12d 4d y V y V ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰；（C ）12d 4d z V z V ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰；（D ）12d 4d xyz V xyz V ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰．二、填空题1．积分2220d e d y x x y -=⎰⎰ ． 2．交换积分次序：14012d (,)d d (,)d x xxx x f x y y x f x y y --+=⎰⎰⎰⎰ ．3．设区域D 为||||1x y +≤，则(||||)d d Dx y x y +=⎰⎰ ． 4．设区域D 为222x y R +≤，则2222d d D x y x y ab ⎛⎫+= ⎪⎝⎭⎰⎰ ． 5．直角坐标中三次积分222211110d d (,,)d x x y x I x y f x y z z -+---=⎰⎰⎰在柱面坐标中先z 再r 后θ顺序的三次积分是 ．三、计算题1．计算|cos()|d d Dx y x y +⎰⎰，其中D 是由直线,0,2y x y x π===所围成的三角形区域．2．计算sin d d Dx yx y y⎰⎰，其中D 是由2y x =和y x =所围成的区域．3．计算22()d d Dx y x y +⎰⎰，其中22{(,)|02,24}D x y x x x y x =≤≤-≤≤-．4．计算23d xy z V Ω⎰⎰⎰，其中Ω是由曲面z xy =与平面,1y x x ==和0z =所围成的闭或区域．5．计算d I xyz V Ω=⎰⎰⎰，其中222{(,,)|1,0,0,0}x y z x y z x y z Ω=++≤≥≥≥．6．设()222()d F t fx y z V Ω=++⎰⎰⎰，其中2222:,()x y z t f t Ω++≤在0t =可导，且(0)0f =，求4()lim t F t t π+→．四、证明题设函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续且恒大于零，证明2d ()d ()()bbaaxf x x b a f x ≥-⎰⎰．阶段测试题学院 班级 姓名 学号一、单项选择题（每小题3分，满分21分）1．(3,5,2),(2,1,4),λμ=-=+a b a b 与z 轴垂直，则,λμ满足条件（ ）． （A ）λμ=；（B ）λμ=-； （C ）2λμ=； （D ）2μλ=．2．二元函数(,)z f x y =在00(,)x y 连续，且00(,)x f x y '、00(,)y f x y '存在是(,)z f x y =在00(,)x y 可微的（ ）条件．（A ）充分（B ）必要（C ）充分必要（D ）非充分非必要3．已知(,)x f x y 、(,)y f x y 在（0，0）连续，则(,)z f x y =在（0，0）处，()(,0)x f x φ=在0x =处（ ）．（A ）均连续 （B ）均不一定连续（C ）均不连续（D ）()x φ一定连续，(,)f x y 不一定连续4．设区域D 由曲线x y =与2x y =围成，则⎰⎰Dxy σd 的值为（ ）．（A ）121-； （B ）121； （C ）241； （D ）241-． 5．设D 由21y x =-和0y =围成，则(e sin )d d y Dx y x y +=⎰⎰（ ）． （A ）0（B ）1（C ）2/3（D ）4/36．将极坐标系下的二次积分r r r rf I d )sin ,cos (d sin 20⎰⎰=θπθθθ化为直角坐标系下的二次积分，则I =（ ）．（A ）x y x f y y y d ),(d 22111111⎰⎰-+---； （B ）y y x f x x x x x d ),(d 22222⎰⎰---； （C ）x y x f y y y y y d ),(d 222211⎰⎰----；（D ）y y x f x x x d ),(d 22111111⎰⎰-+---．7．设Ω由22222,2(0)z x y x y z z =+++=≥围成，则三重积分222()d x y z VΩ++⎰⎰⎰化为柱面坐标系下三次积分为（ ）．（A ）2222222d d ()d r rr r r z z πθ-+⎰⎰⎰（B ）22222220d d ()d r rr r r z z πθ-+⎰⎰⎰（C ）222120d d 2d r rr r z πθ-⎰⎰⎰（D ）22212220d d ()d r rr r r z z πθ-+⎰⎰⎰二、填空题（每小题3分，满分18分）1．已知a ，b ，c 都是单位向量，且满足0++=a b c ，则⋅+⋅+⋅=a b b c c a ．2．通过点（1,2,1）且与直线⎩⎨⎧=--+=-+-04230532z y x z y x 垂直的平面方程 ．3．已知3(,)e ln 2x f x y y =，则1(0,)2x f '= ，(0,1)yyf ''= ． 4．11[()()]()d 22x at x atu x at x at f t ta φφ+-=++-+⎰，其中(2),f C φ∈，则 22222u u a t x∂∂-=∂∂ ． 5．设Ω为由22z x y =+，2z =围成的空间区域，a 为常数，则d a V Ω=⎰⎰⎰ ．6．设2222202I d (,)d d (,)d R x R R x R x f x y y x f x y y -=+⎰⎰⎰⎰，改变积分次序I = ；化为极坐标下二次积分为I = ．三、计算题（每小题8分，满分40分）1．(2,sin )(e ln )x z f x y y x xg y =-+，其中f 具有二阶连续偏导数，g 具有二阶导数。
2023学年吉大附中实验高二数学上学期第一次月考卷及答案解析
2023学年吉大附中实验高二数学上学期第一次月考卷考试时间：120分钟，试卷满分：150分第Ⅰ卷（选择题60分）一、单项选择题（本大题包括8个小题，每小题5分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）．1．椭圆22145x y +=的焦距为（）A ．6B ．3C ．2D ．12．直线22x y +=在x 轴上的截距为（）A ．1B ．2C ．-2D ．-13．若直线210x y +-=是圆()221x a y ++=的一条对称轴，则=a （）A ．12B ．12-C ．1D ．1-4．如果0ac <，0bc >，那么直线0ax by c ++=不通过（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5．如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，点M 是棱1CC 的中点，连接1B M 、1BC 交于点P ，则（）A ．12133DP AB AD AA =-+ B ．11233DP AB AD AA =-+C ．12233DP AB AD AA =++ D ．11122DP AB AD AA =-+6．已知点()1,2-和3,03⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭在直线():100l ax y a --=≠的两侧，则直线l 的倾斜角的取值范围是（）A ．ππ,43⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．π2π,33⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．π2π0,,π43⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．π3π0,,π34⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭7．在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，侧棱PA ⊥底面,3,1,ABCD AB BC PA E ===为PD 的中点，点N 在平面PAC 内，且NE ⊥平面PAC ，则点N 到面PAB 的距离为（）A ．16B ．18C ．38D ．1788．过点()1,1P -作圆C ：()()2221x t y t -+-+=()t R ∈的切线，切点分别为A ，B ，则PA PB ⋅ 的最小值为A ．103B ．403C ．214D ．223-二、多项选择题（本大题包括4个小题，每小题5分，共20分，每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）．9．已知直线1l ：340ax y ++=，2l ：()2250x a y a +-+-=，则（）A ．若1a =，则1l 的一个方向向量为()3,1-B ．若12//l l ，则1a =-或3a =C ．若12l l ⊥，则32a =D ．1l 恒过定点()0,410．下列结论正确的是（）A ．两条不重合直线1l ，2l 的方向向量分别是()2,3,1a =- ，()2,3,1b =--，则12//l l B ．两个不同的平面α，β的法向量分别是()2,2,1u =- ，()3,4,2v =- ，则αβ⊥C ．直线l 的方向向量()1,2,1a =- ，平面α的法向量()3,6,m k =，若l α⊥，则15k =D ．若()2,1,4AB =-- ，()4,2,0AC = ，()0,4,8AP =--，则点Р在平面ABC 内11．已知两圆方程为224x y +=与222(3)(4)(0)x y r r -++=>，则下列说法正确的是（）A ．若两圆外切，则3r =B ．若两圆公共弦所在的直线方程为3420x y --=，则=5r C ．若两圆的公共弦长为23，则19r =D ．若两圆在交点处的切线互相垂直，则4r =12．如图所示，在86⨯的长方形区域（含边界）中有,A B 两点，对于该区域中的点P ，若其到A 的距离不超过到B 距离的一半，则称P 处于A 的控制下．例如原点O 满足11352OA OB =≤=，即有O 点处于A 的控制下．同理若对于该区域中的点P ，其到B 的距离不超过到A 距离的一半，则称P 处于B 的控制下，则下列说法正确的有（）A ．点()4,2处于A 的控制下B ．若点P 不处于A 的控制下，则其必处于B 的控制下C ．若P 处于A 的控制下，则13PA ≤D ．图中所有处于A 的控制下的点构成的区域面积为85π+第Ⅱ卷（非选择题，共90分）三、填空题（本大题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．在空间直角坐标系中，z 轴上与点()1,0,0A 和点()0,2,1B 距离相等的点的坐标为.14．点(3,2)A 关于直线40x y -+=的对称点是．15．如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E 为棱11B C 上的动点，则AE 在AC方向上的投影向量的模的取值范围为．16．已知直线:30l x y m ++=与圆C ：()()222216x y -++=相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若,,,A B C O 四点共圆，则m 的值为.四、解答题（本题共6小题，共70分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）．17．已知曲线方程22153x y k k+=+-，k ∈R ．(1)若方程表示焦点在x 轴上的椭圆，求k 的取值范围；(2)若方程表示焦距为2的椭圆，求k 的值．18．已知点A （2，3），B （4，1），△ABC 是以AB 为底边的等腰三角形，点C 在直线l ：x -2y +2=0上.(1)求AB 边上的高CE 所在直线的方程；(2)求△ABC 的面积.19．如图所示的几何体为一个正四棱柱被两个平面AEH 与CFG 所截后剩余部分，且满足////EH FG BD ，22FG BD ==，2EH =．(1)当BF 多长时，AE CG ⊥，证明你的结论；(2)当BF AB =时，求平面AEH 与平面CFG 所成角的余弦值．20．最近国际局势波云诡谲，我国在某地区进行军事演练，如图，O ，A ，B 是三个军事基地，C 为一个军事要塞，在线段AB 上．已知tan 2AOB ∠=-，100km OA =，C 到OA ，OB 的距离分别为50km ，305km ，以点O 为坐标原点，直线OA 为x 轴，建立平面直角坐标系如图所示．(1)求两个军事基地AB 的长；(2)若要塞C 正北方向距离要塞100km 处有一E 处正在进行爆破试验，爆炸波生成h t 时的半径为5r at =（参数a 为大于零的常数），爆炸波开始生成时，一飞行器以3002km /h 的速度自基地A 开往基地B ，问参数a 控制在什么范围内时，爆炸波不会波及到飞行器的飞行．21．如图，三棱柱111ABC A B C -中，面ABC ⊥面111,,2AA C C AB AC AA AB AC ⊥===，160A AC ∠=．过1AA 的平面交线段11B C 于点E （不与端点重合），交线段BC 于点F ．(1)求证：四边形1AA EF 为平行四边形；(2)若B 到平面1AFC 的距离为2，求直线11A C 与平面1AFC 所成角的正弦值．22．已知圆心在x 轴上的圆C 与直线:4360l x y +-=切于点36,55M ⎛⎫⎪⎝⎭.(1)求圆C 的标准方程；(2)已知()2,1N ，经过原点且斜率为正数的直线1l 与圆C 交于()11,P x y ，()22,Q x y .求22PN QN +的最大值．1．C【分析】求出c 的值，即可得出所求椭圆的焦距.【详解】在椭圆22145x y +=中，5a =，2b =，则22541c a b =-=-=，因此，椭圆22145x y +=的焦距为22c =.故选：C.2．A【分析】令0y =可得直线22x y +=在x 轴上的截距【详解】由直线22x y +=，令0y =可得1x =.所以直线22x y +=在x 轴上的截距为1.故选：A【点睛】本题考查直线在x 轴上的截距，属于基础题.3．B【分析】将圆心坐标代入直线210x y +-=的方程，可求得实数a 的值.【详解】圆()221x a y ++=的圆心坐标为(),0a -，因为直线210x y +-=是圆()221x a y ++=的一条对称轴，则直线210x y +-=经过圆心(),0a -，则210a --=，解得12a =-.故选：B.4．B【分析】判断直线在x 轴和y 轴上截距的正负，作出直线的图象可得出结论．【详解】如果0ac <，0bc >，则0ab ≠，可知：直线0ax by c ++=在x 轴上的截距为0c a ->，在y 轴上的截距为0cb-<，如下图所示：所以直线0ax by c ++=不通过第二象限．故选：B ．5．B【分析】推导出123BP BC = ，利用空间向量的线性运算可得出DP 关于AB、AD 、1AA 的表达式.【详解】在平行四边形11BB C C 中，因为M 为1CC 的中点，连接1B M 、1BC 交于点P ，且11//BB CC ，所以，11112C P C M BP BB ==，则()()111222333BP BC BC BB AD AA ==+=+ ，因此，()11212333DP DA AB BP AD AB AD AA AB AD AA =++=-+++=-+.故选：B.6．D【分析】根据题意求出实数a 的取值范围，利用直线倾斜角与斜率的关系可求得直线l 倾斜角的取值范围.【详解】因为点()1,2-和3,03⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭在直线():100l ax y a --=≠的两侧，则()3211030a a a ⎧⎛⎫+--<⎪ ⎪ ⎪⎨⎝⎭⎪≠⎩，即()()1300a a a ⎧+-<⎪⎨≠⎪⎩，解得13a -<<且0a ≠.易知，直线l 的斜率为a ，设直线l 的倾斜角为α，则[)0,πα∈.当10a -<<时，则3ππ4α<<；当03a <<时，则π03α<<.综上所述，直线l 的倾斜角的取值范围是π3π0,,π34⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：D.7．B【分析】以点A 为原点建立空间直角坐标系，可设AN x AP y AC =+ ，再求出EN，根据NE ⊥平面PAC ，可求出点N 的坐标，即可得解.【详解】如图，以点A 为原点建立空间直角坐标系，则()()()110,0,0,3,1,0,0,0,1,0,,22A C P E ⎛⎫⎪⎝⎭，()()3,1,0,0,0,1AC AP ==，由点N 在平面PAC 内，则可设()3,,AN x AC y AP x x y =+= ，所以()3,,Nx x y ，故113,,22EN x x y ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ ，因为NE ⊥平面PAC ，所以1302102EN AC x x EN AP y ⎧⋅=+-=⎪⎪⎨⎪⋅=-=⎪⎩，解得1812x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以311,,888AN ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，又因平面PAB 与面xA z 重合，所以点N 到面PAB 的距离为18.故选：B.8．C【详解】圆C ：()()2221x t y t -+-+=的圆心坐标为,2t t -（），半径为1，∴2222132410PC t t t t =++-=-+（）（），∴()()2222221131249PA PB PC t t t t ==-=++--=-+，22249cos 2410AB t t APC PC t t -+∠==-+，∴2222222249248242cos 1212410241025t t t t t t cos PAB APC t t t t t t （）-+-+-+∠=∠-=⨯-==-+-+-+，∴22224cos 24925t t PA PB PA PB PAB t t t t -+⋅=⋅∠=-+⋅-+ （）222224252425t t t t t t t t -+⎡⎤=-++-+⋅⎣⎦-+（）（），设224t t x -+=，则3x ≥，则()22111x x x PA PB f x x x x x （）+⋅==++⋅=++，∴()22231'01x x f x x ++=>+（）恒成立，∴()f x 在[)3,+∞单调递增，∴2134min f x f ==（）（），∴PA PB ⋅ 的最小值为214故选C.9．AC【分析】将1a =代入，根据方向向量定义即可判断A ，根据直线平行和垂直与斜率的关系即可判断选项B 、C ；将1l 化简得433a y x =--，结合一次函数的性质可判断D.【详解】对于A ，当1a =，直线1l ：340x y ++=，斜率为13-，则其一个方向向量为()3,1-，故A 正确；对于B ，若12//l l ，当2a =时，显然不符合题意，当2a ≠时，即直线1l 的斜率为13ak =-，直线2l 的斜率为212k a -=-，则有12k k =，所以123aa -=--，解得1a =-或3a =；当1a =-时，直线1l ：340x y -++=，2l ：340x y --=，显然两直线重合，故B 错误；对于C ，若12l l ⊥，当2a =时，显然不符合题意；当2a ≠时可得121123a k k a -⎛⎫⋅=⋅-=- ⎪-⎝⎭，解得32a =，即C 正确；对于D ，将1l 化简得433a y x =--，可知当0x =时，直线过40,3⎛⎫- ⎪⎝⎭，即不论a 为何值时，直线1l 恒过定点40,3⎛⎫- ⎪⎝⎭，即D 错误；故选：AC 10．ABD【分析】对于A ，验证,a b r r 是否平行即可；对于B ，验证,u v 是否垂直即可；对于C ，根据线面关系得//a b ，求解k 得值即可判断；对于D ，验证是否四点共面即可.【详解】解：对于A ，因为()2,3,1a =- ，()2,3,1b =-- ，所以a b =-，又两条不重合直线1l ，2l ，所以12//l l ，故A 正确；对于B ，平面α，β的法向量分别是()2,2,1u =- ，()3,4,2v =- ，且6820u v ⋅=-+-= ，所以u v ⊥，则αβ⊥，故B 正确；对于C ，直线l 的方向向量()1,2,1a =- ，平面α的法向量()3,6,m k = ，若l α⊥，则//a b，则3k =-，故C 错误；对于D ，因为()2,1,4AB =-- ，()4,2,0AC = ，()0,4,8AP =-- ，存在实数,λμ使得AB AC AP μλ=+，则2=41=244=8λ-λ-μ--μ⎧⎪⎨⎪⎩，解得11,22λμ==，则1212AB AC AP =+ ，所以,,,A B C P 四点共面，即点Р在平面ABC 内，故D 正确.故选：ABD.11．AB【分析】根据圆与圆的位置关系对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】设圆224x y +=为圆1C ，圆1C 的圆心为()10,0C ，半径12r =.设圆222(3)(4)(0)x y r r -++=>为圆2C ，圆2C 的圆心为()23,4C -，半径1r r =.125C C =.A 选项，若两圆外切，则1212,52,3C C r r r r =+=+=，A 选项正确.B 选项，由()()22222434x y x y r ⎧+=⎪⎨-++=⎪⎩两式相减并化简得2293402r x y --+=，则22292,25,52r r r -=-==，此时2121123,7,37r r r r C C -=+=<<，满足两圆相交，B 选项正确.C 选项，由()()22222434x y x y r ⎧+=⎪⎨-++=⎪⎩两式相减并化简得2293402r x y --+=，()10,0C 到直线2293402r x y --+=的距离为2229229510r r d --==，所以22221232,43,1r d d d =--==，即22291,291010r r -=-=，则解得19r =或39r =，C 选项错误.D 选项，若两圆在交点处的切线互相垂直，设交点为D ，根据圆的几何性质可知12C D C D ⊥，所以2222212125421,21r C D C C r r ==-=-==，D 选项错误.故选：AB 12．ACD【分析】根据新定义，直接验证判断①，取特殊点判断②，根据定义求出点所在区域，判断③，结合图象求出面积判断④.【详解】由图可知,()()2,3,8,6A B ，设()4,2C ，则1||5||42,||||,2CA CB CA CB ==≤满足1||||2CA CB ≤，故A 正确；点不处于A 的控制下,则,1||||2PA PB >即,||2||PB PA <例如取点()15,3,||3||32|,|2,||,P PA PB PA PB ==>但是,1||||2PB PA >点不处于B 的控制下,即点P 不处于A 的控制下，也不处于B 的控制下，故B 错误；若P 处于A 的控制下，则1||||2PA PB ≤，设(),,(0806),P x y x y ≤≤≤≤，则()()()()2222123862x y x y -+-≤-+-，化简整理得，()22,220x y +-≤作出图象，如图，由图可知，当点在矩形且在圆及圆内部分满足处于的控制下,由图可知，当点处于,,O C D 时，有最大值13，故C 正确；由C 知,处于的控制下点构成的区域面积，可以看作是14圆与矩形的面积之和，如图，故面积为π1520π+42=48⨯+⨯，故D 正确.故答案为：ACD【点睛】关键点睛：本题是一道创新型试题，关键在于理解所给新定义，对于①②可以利用具体点去直接判断结论正确与否，在这一特殊化的过程中进一步理解新定义，对于③需要根据新定义求出点满足的轨迹方程（边界），需要对求平面轨迹方程的方法熟练，关键在于求出点所在区域，利用数形结合思想判断③，对于④关键在于把区域分割为四分之一圆面与矩形，其中需要割补思想的应用.13．()0,0,2【分析】设()0,0,C m ，利用空间两点间距离公式可构造方程求得m ，从而得到所求点坐标.【详解】设所求点()0,0,C m ，由AC BC =得：()2210041m m ++=++-，解得：2m =，()0,0,2C ∴.故答案为：()0,0,2.14．(2,7)-【分析】设出对称点，根据对称的性质列出方程即可求出.【详解】设点(3,2)A 关于直线40x y -+=的对称点是(,)A m n '，则有3240222113m n n m ++⎧-+=⎪⎪⎨-⎪⨯=-⎪-⎩，解得27m n =-⎧⎨=⎩，故点(3,2)A 关于直线40x y -+=的对称点是(2,7)-.故答案为：(2,7)-.15．2,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】以点D 为原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，设点(),1,1E a ，其中01a ≤≤，利用空间向量数量积的坐标运算可求得AE 在AC方向上的投影向量的模的取值范围.【详解】在正方体1111ABCD A B C D -中，以点D 为原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则()1,0,0A 、()0,1,0C ，设点(),1,1E a ，其中01a ≤≤，所以，()1,1,0AC =- ，()1,1,1AE a =-，所以，AE 在AC方向上的投影向量的模为222cos ,,2222AE AC a AE AC a AE AE AC AE AE AC AC ⋅⎡⎤-⋅-⋅=⋅===∈⎢⎥⋅⎣⎦.故答案为：2,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦.16．4【分析】设出,,,A B C O 所在圆M 的圆心以及圆方程，根据圆心M 坐标满足CO 的垂直平分线，结合直线l 为圆M 与圆C 的相交线直线，比较系数，即可求得结果.【详解】设,,,A B C O 所在圆的圆心为(),M a b ，则圆M 方程为()()2222x a y b a b -+-=+；又,C O 的中点坐标为()1,1-，1CO k =-，故CO 垂直平分线的斜率1k =，则CO 的垂直平分线所在方程为：11y x +=-，即2y x =-，故2a b =+；因为直线l 为圆M 与圆C 的相交弦，故两圆方程作差可得：()()2240a x b y -++-=，即()240bx b y ++-=，又直线l 方程为30x y m ++=，则2431b b m+==-，解得3,4b m =-=.故答案为：4.17．(1)13k -<<(2)12k =-或32k =-【分析】（1）根据椭圆方程的性质建立关于k 的不等式，解出即可；（2）根据椭圆方程的类型，分类讨论确定,a b ，根据222c a b =-求解即可.【详解】（1）若方程表示焦点在x 轴上的椭圆，则530k k +>->，解得13k -<<，即k 的取值范围为13k -<<；（2）若方程表示焦距为2的椭圆，则22c =，所以1c =当方程表示焦点在x 轴上的椭圆，则225,3a k b k =+=-，且13k -<<又()22253221c a b k k k =-=+--=+=，得12k =-；当方程表示焦点在y 轴上的椭圆，则350k k ->+>，解得51k -<<-所以223,5a k b k =-=+，又()22235221c a b k k k =-=--+=--=，得32k =-；综上，12k =-或32k =-.18．(1)10x y --=(2)2【分析】（1）由题意可知，E 为AB 的中点，(3,2)E ，利用斜率计算公式、点斜式即可得出．（2）由22010x y x y -+=⎧⎨--=⎩得(4,3)C ，利用两点之间的距离公式、三角形面积计算公式即可得出．【详解】（1）解：由题意可知，E 为AB 的中点，因为(2,3)A ，(4,1)B ，所以(3,2)E ，31124AB k -==--，所以11CE ABk k =-=，CE ∴所在直线方程为23y x -=-，即10x y --=．（2）解：由22010x y x y -+=⎧⎨--=⎩解得43x y =⎧⎨=⎩，所以(4,3)C ，所以AC 平行于x 轴，CB 平行于y 轴，即AC BC ⊥，22||||(24)(33)2AC BC ∴==-+-=，1||||22ABC S AC BC ∴== ．19．(1)2BF =时，AE CG ⊥，证明见解析(2)33【分析】（1）将正四棱柱补全为ABCD KFIG -，取J 为IG 中点，连接,EJ DJ ，由平行四边形性质有//AE JD ，结合已知和△JDG ~△GCD 即证明AE CG ⊥；（2）构建空间直角坐标D xyz -，求平面AEH 与平面CFG 的法向量，应用空间向量求夹角的余弦值.【详解】（1）当2BF =时，AE CG ⊥，证明如下：将正四棱柱补全为ABCD KFIG -，则,ABCD KFIG 均为正方形，又22FG BD ==，所以底面边长为2，又2EH =且////EH FG BD ，所以,E H 分别为,KF KG 中点，取J 为IG 中点，连接,EJ DJ ，则////EJ KG AD 且EJ KG AD ==，即AEJD 为平行四边形，因为2GD BF ==，又112JG IG ==，2DC =，所以22JG GD GD DC ==，所以△JDG ~△GCD ，所以,JDG GCD DJG CGD ∠=∠∠=∠且90JDG DJG GCD CGD ∠+∠=∠+∠=︒，所以90JDG CGD ∠+∠=︒，所以JD CG ⊥，又//AE JD ，故AE CG ⊥.（2）由BF AB =可知，（1）中补全正四棱柱为正方体，构建空间直角坐标D xyz -，如下图，则(2,0,0),(2,1,2),(1,0,2),(0,2,0),(2,2,2),(0,0,2)A E H C F G ，所以(0,1,2),(1,0,2),(2,0,2),(0,2,2)AE AH CF CG ==-==-，设(,,)m x y z = 是平面AEH 的一个法向量，则2020m AE y z m AH x z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令1z =，则(2,2,1)m =-；设(,,)n a b c = 是平面CFG 的一个法向量，则220220n CF a c n CG b c ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令1c =，则(1,1,1)n =-；所以33cos ,333m n m n m n ⋅===⨯，故所求角的余弦值为33.20．(1)2002km(2)当024*******a <<-时，爆炸波不会波及飞行器的飞行【分析】（1）利用直线与圆相切求出C 点坐标，联立直线方程求出B 点坐标，利用两点的距离公式即可求解；（2）由题意得22EF r >对303t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，恒成立，即22(30050)(300150)25t t at -+->对303t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，恒成立，然后对t进行分类讨论，利用基本不等式即可求解．【详解】（1）则由题设得：()1000A ，，直线OB 的方程为2y x =-，()0050(0)C x x >，，由02225030521x +=+，及00x >解得050x =，所以()5050C ，．所以直线AC 的方程为()100y x =--，即1000x y +-=，由21000y x x y =-⎧⎨+-=⎩，得100x =-，200y =，即()100200B -，，所以()221001002002002AB =--+=，即基地AB 的长为2002km ．（2）设爆炸产生的爆炸波圆E ，由题意可得()50150E ，，生成t 小时时，飞行在线段AB 上的点F 处，则3002AF t =，203t ≤≤，所以()100300300F t t -，．爆炸波不会波及卡车的通行，即22EF r >对303t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，恒成立．所以2222(30050)(300150)25EF t t r at =-+->=，即22(30050)(300150)25t t at -+->．当0=t 时，上式恒成立，当0t ≠即203t ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，时，100072004800a t t <+-，因为1000100072004800272004800240054800t t t t+-≥⨯-=-，当且仅当10007200t t =，即56t =时等号成立，所以，在024*******a <<-时，r EF <恒最立，亦即爆炸波不会波及飞行的通行．答：当024*******a <<-时，爆炸波不会波及飞行器的飞行．21．(1)证明见解析；(2)24.【分析】（1）在三棱柱111ABC A B C -中，利用线面平行、面面平行的性质推理作答.（2）在平面11AA C C 内过点A 作Az AC ⊥，以点A 为原点建立空间直角坐标系，借助空间向量求解作答.【详解】（1）在三棱柱111ABC A B C -中，11//AA BB ，1BB ⊂平面11BB C C ，1AA ⊄平面11BB C C ，则1//AA 平面11BB C C ，又平面1AA EF 平面11BB C C EF =，1AA ⊂平面1AA EF ，于是得1//AA EF ，而平面//ABC 平面111A B C ，平面1AA EF 平面ABC AF =，平面1AA EF 平面1111A B C A E =，则1//A E AF ，所以四边形1AA EF 为平行四边形.（2）在平面11AA C C 内过点A 作Az AC ⊥，因平面ABC ⊥平面11AA C C ，平面ABC ⋂平面11AA C C AC =，于是得Az ⊥平面ABC ，又AB AC ⊥，以点A 为原点，建立如图所以的空间直角坐标系，因12AA AB AC ===，160A AC ∠=，则11(2,0,0),(0,2,0),(0,1,3),(0,3,3)B C A C ，1(2,0,0),(0,3,3),(2,2,0),(0,2,0)AB AC CB AC ===-=，(0,2,0)(2,2,0)(2,22,0)(01)AF AC CF AC tCB t t t t =+=+=+-=-<<，设平面1AFC 的法向量(,,)n x y z = ，则13302(22)0n AC y z n AF tx t y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩，令y t =，得(1,,3)n t t t =--，点B 到平面1AFC 的距离22222||2(1)2(1)2||(1)4(1)(3)n AB t t d n t t t t t ⋅--====-+-++-，解得13t =，因此，213(,,)333n =-- ，而11(0,2,0)AC = ，设直线11A C 与平面1AFC 所成角为θ，于是得1111112222||23sin |cos ,|4||||213()()()2333n A C n A C n A C θ⋅=〈〉===-++-⨯，所以直线11A C 与平面1AFC 所成角的正弦值为24.22．(1)()2214x y ++=(2)21022+【分析】（1）根据已知条件求得圆心和半径，从而求得圆C 的标准方程.（2）设出直线1l 的方程，并与圆的方程联立，化简写出根与系数关系，求得22PN QN +的表达式，结合换元法以及基本不等式求得22PN QN +的最大值.【详解】（1）由圆心在x 轴上的圆C 与直线:4360l x y +-=切于点36,55M ⎛⎫⎪⎝⎭，设(),0C a ，直线:4360l x y +-=的斜率为43-，则6535CMk a =-，所以6451335a ⎛⎫⋅-=- ⎪⎝⎭-．所以1a =-，所以()1,0C -，22361255CM ⎛⎫=--+-= ⎪⎝ ⎝⎭⎛⎫⎪⎭，即2r =，所以圆C 的标准方程为()2214x y ++=．（2）设直线()1:0l y kx k =>，与圆联立方程组()2214y kxx y =⎧⎪⎨++=⎪⎩，可得()221230k x x ++-=，()241210k ∆=++>，由根与系数的关系得12221x x k +=-+，12231x x k =-+，()()()()22221122222121PN QN x y x y ∴=-++-+-+-()()()()222211222121x kx x kx =-+-+-+-()()()()()22212121221241214210161kk x x k x x k x x k +=++-+-+++=++，令33t k t =+>（），则3k t =-，所以()22124444161616161011013626k t k t t t t t++=+=+≤+++-+-⋅-416210222106=+=+-，当且仅当10t t=，即10=t 时取等号，此时103k =-，所以22||PN QN +的最大值为21022+.【点睛】本题的难点在于第二问，求最值.求解最值有关的题目，首先要将表达式求出，本题是结合根与系数关系求得表达式.然后根据表达式的结构来选择求最值的方法，可考虑二次函数的性质、基本不等式或函数的单调性来求解最值.。
吉林省长春市第二实验中学2024-2025学年高二上学期学科竞赛数学试题
长春二实验中学高二年级学科竞赛数学试卷考生注意：1.满分150分，考试时间120分钟.2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效.3.本卷命题范围：人教A 版选择性必修第一册第三章~第三章3.1.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线的倾斜角为（ ）A.B.C.D.2.若方程表示圆，则实数的取值范围为（ ）A.B.C.D.3.直线被圆所截得的弦长为（ ）B.C.5D.104.已知直线经过两条直线的交点，且的一个方向向量为，则直线的方程为（ ）A. B.C.D.5.若椭圆的两个焦点为，点在椭圆上，且，则（ ）A.B. C. D.6.已知点，过点的直线与线段有公共点，若点在直线上，则实数的取值范围为（ ）A. B. C. D.7.已知圆和两点，若圆上存在点，使得0x y +=45 45- 60 1352242x y x y m +-+=m (),5∞--()0,∞+()5,∞-+(),0∞-30x y -+=22240x y x y ++-=l 12:2,:21l x y l x y +=-=l (3,2)v =-l 2350x y +-=2310x y -+=3250x y --=2310x y +-=22:196x y C +=12,F F P C 12PF =12F PF ∠=π6π32π35π6()()2,33,2A B -､()0,2P -l AB (),3Q m l m (]15,2,4∞∞⎡⎫--⋃+⎪⎢⎣⎭15,24⎡⎤--⎢⎥⎣⎦152,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦152,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦22:(6)(8)1C x y -+-=()()(),0,,00A m B m m ->C P，则的最大值为（ ）A.9B.10C.11D.128.若圆上恰有2个点到直线的距离为1，则实数的取值范围为（ ）A.B.C.D.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知直线，下列选项正确的是（ ）A.过点且垂直于直线的直线方程为B.直线过定点C.当时，D.当时，10.已知椭圆的左､右两焦点分别是，其中.过左焦点的直线与椭圆交于两点.则下列说法中正确的有（ ）A.的周长为B.若的中点为所在直线斜率为，则C.若的最小值为，则椭圆的离心率D.若，则椭圆的离心率的取值范围是11.已知动点的轨迹方程为，其中不同时为0，则（）A.该轨迹关于直线对称B.该轨迹围成的图形面积为C.若点在该轨迹上，则90APB ∠= m ()2221:(1)(2)0C x y rr ++-=>:43100l x y --=r ()3,∞+()5,∞+()3,5[]3,5()()()12:4340,:21250l x y l m x m y m m -+=+-+++=∈R ()1,2-1l 3450x y +-=2l ()3,1-1m =12l l ⊥2m =1l ∥2l ()2222:10x y C a b a b+=>>12F F ､122F F c =,A B 2ABF V 4aAB ,M AB k 22OMc k k a⋅=-AB 3c 13e =2123AF AF c ⋅= 12⎤⎥⎦E 22x y x y +=+,x y y x =π2+()00,x y 0x …D.若圆能覆盖该轨迹，则三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知圆和圆内切，则__________.13.如图，已知，从点射出的光线经直线反射后再射到直线上，最后经直线反射后又回到点，则光线所经过的路程是__________.14.在平面直角坐标系中，已知椭圆，点是椭圆内一点，，若椭圆上存在一点，使得，则的取值范围是__________；当取得最大值时，椭圆的焦距为__________.（第一空2分，第二空3分）四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤.15.（本小题满分13分）（1）已知点，求线段的垂直平分线的方程；（2）求经过点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程.16.（本小题满分15分）已知圆与圆相交于､两点.（1）求公共弦所在直线方程；（2）求过两圆交点，且过原点的圆的方程.17.（本小题满分15分）如图所示的折纸又称“工艺折纸”，是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长.某些折纸活动蕴含丰富的数学内容，例如，用圆形纸片按如下步骤折纸：步骤1：设圆心是，在圆内（除去圆心）取一点，标记为；步骤2：把纸片折叠，使圆周正好通过；步骤3：把纸片展开，于是就留下一条折痕；步骤4：不停重复步骤2和3，能得到越来越多条的折痕.()2220x y r r +=>r ()222:(3)0C x y r r -+=>22:870D x y y +-+=r =()()4,0,0,4A B ()2,0P AB OB OB P xOy ()22:144y x C m m m +=>-(2,2)A -()0,2B -P 8PA PB +=m m ()()2,1,6,3A B --AB ()3,2P 221:230C x y x +--=222:4230C x y x y +-++=A B AB A B ､O F F这些折痕围成的图形是一个椭圆.若取半径为4的圆形纸片，设定点到圆心的距离为2，按上述方法折纸，如图所示.（1）以所在的直线为轴，的中点为原点建立平面直角坐标系，求折痕围成的椭圆的标准方程；（2）求经过点，且与直线夹角为的直线交椭圆于两点，求的面积.18.（本小题满分17分）如图，已知圆和点，由圆外一点向圆引切线为切点，且有.（1）求点的轨迹方程，并说明点的轨迹是什么样的几何图形；（2）求的最小值；（3）以为圆心作圆，使它与圆有公共点，试在其中求出半径最小的圆的方程.19.（本小题满分17分）已知是椭圆的右焦点，为坐标原点，为椭圆上任意一点，的最大值为，当时，的面积为.（1）求的值；（2）为椭圆的左､右顶点，点满足，当与不重合时，射线交椭圆于点F O FO x FO M F FO π4,C D OCD V 22:4O x y +=()6,8A O P O ,PQ Q PQ PA =P P PQ P O F ()2222:10x y C a b a b+=>>O M MF 2+OM OF =MOF V 12baA B ､P 3AP PB =M ,A B MP C，直线交于点，求的最大值.N ,AM BN T ATB长春二实验中学高二年级学科竞赛数学试卷参考答案､提示及评分细则一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.题号12345678答案DCBABDCC二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.题号91011答案ADADABC1.D 根据直线方程可知其斜率为，设直线倾斜角为，则，可得.故选D.2.C 方程化为标准方程为，有.3.B 圆即，故圆心为，显然圆心在直线上，故直线被圆所截得的弦即为圆的直径，长为B.4.A 联立，解得，即直线的交点为，又直线的一个方向向量，所以直线的斜率为，故直线的方程为，即，故选A.5.B 由题意得，则，在中，由余弦定理可得，所以，故选B.6.D 如图所示，是直线与直线交点的横坐标，当与重合时，取最大值，当与重合时，取最小值，所以的取值范围是.0x y +=1k =-θtan 1θ=-135θ= 22(2)(1)5x y m -++=+5m >-22240x y x y ++-=22(1)(2)5x y ++-=()1,2-30x y -+=221x y x y +=⎧⎨-=⎩11x y =⎧⎨=⎩12:2,:21l x y l x y +=-=()1,1l ()3,2v =-l 23-l ()2113y x -=--2350x y +-=3,a c ==24PF =12F PF V 121cos 2F PF ∠==12π3F PF ∠=m l 3y =l BP m 154l AP m 2-m 152,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦7.C，记中点为，则，故点的轨迹是以原点为圆心，为半径的圆，又在圆上，所以两圆有交点，则，而，得.8.C 如图所示.设与直线平行且与直线之间的距离为1的直线方程为，，解得或，圆心到直线的距离为，圆到直线的距离为，由图可知，圆与直线相交，与直线相离，所以，即.9.AD 对于A ，垂直于直线的直线方程为，将点代入得，故所求直线方程为，A 正确；对于B ，直线化为：，由，求得直线过定点，故B 错误；90APB ∠= AB O OP m =P m P C 11m OC m -+……10OC==911m ……l l 430x y c -+=1=5c =-15c =-()11,2C -4350x y --=13d ()11,2C -43150x y --=25d 1C 4350x y --=43150x y --=12d r d <<35r <<4340x y -+=340x y m ++=()1,2-5m =-3450x y +-=2l ()()2250m x y x y -++-+=20250x y x y -+=⎧⎨-+=⎩2l ()3,1--对于C ，时有：，解得，故C 错误；对于D ，当时，，解得，故D 正确.故选AD.10.AD直线过左焦点的周长为，A 正确；设，则，点.由①-②得，故B 错误；当轴时，最小，令，解得，，整理得，即，解得或（舍去），故C 错误；，，，即，即，可得，则椭圆的离心率的取值范围是，D 正确.故选AD.11.ABC 对于A ，轨迹上任意一点满足，该点关于直线的对称点也满足，即轨迹上任意一点关于直线的对称点仍在该轨迹上，A 正确；12l l ⊥()()42310m m +++=117m =-1l ∥2l ()1225434m m m -+++=≠-2m = AB 12,F ABF ∴V 12124AF AF BF BF a +++=()()1122,,,A x y B x y 1212y y k x x -=-12121212,,22OM x x y y y y M k x x +++⎛⎫∴= ⎪+⎝⎭2211222222221,1,x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩①②()()()()()()2221212121212122222212121,,QM QMx x x x y y y y x x b y y b b k k abx x y y a k a a+-+-+-=-∴=-=-⋅∴⋅=--+AB x ⊥AB 2222,1c y x c a b =-+=2by a=±223b c a∴=222320c ac a +-=22320e e +-=12e =2-()111,AF c x y =--- ()211,,AF x y =--()()22222222212*********c AF AF c x c x y x y c x a c c a ∴⋅=---+=+-=+-= 22222222221120,,22c x a a c x a c a c a⎡⎤∈∴-+--⎣⎦ (2)222223a c c a c -- (2211)54c a ……12c e a ⎤=∈⎥⎦12⎤⎥⎦(),x y 22x y x y +=+y x =(),y x 22y x y x +=+(),x y y x =对于B ，点在该轨迹上，点也都在该轨迹上，则该轨迹关于轴，轴对称，当不同时为0时，该轨迹的方程为，表示以点为圆为半径的圆在直线上方的半圆（含端点），因此，该轨迹是四个顶点为，的正方形各边为直径向正方形外所作半圆围成，如图，所以该轨迹围成的图形面积是，B 正确；对于C ，点在该轨迹上，则，则有，即，解得，C 正确；对于D ，该轨迹上的点到原点距离最大值为，圆能覆盖该轨迹，则不正确.故选ABC.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.8圆，圆心，半径为，圆，圆心，半径，因为两圆内切，所以，解得.易得所在直线方程为，由于点关于直线的对称点坐标为，点关于轴的对称点坐标为，则光线所经过的路程即为与两点间的距离，于是14.； 因为点是椭圆内一点，所以，由，可得(),x y ()()(),,,,,x y x y x y ----x y 0,0,,x y x y (22)111222x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11,22⎛⎫ ⎪⎝⎭1x y +=()()1,0,0,1--()()1,0,0,1211224ππ222⨯⨯+⨯⨯=+()00,x y 2222000000111222x y x y x y ⎛⎫⎛⎫+=+⇔-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭201122x ⎛⎫- ⎪⎝⎭…0x …0x …=()2220x y r r +=>min D r =()222:(3)0C x y r r -+=>()3,0C r 22:870D x y y +-+=()0,4D 3R =3CD r ==-8r =AB 4x y +=P AB ()14,2P P y ()22,0P -()14,2P ()22,0P -12PP ==(625⎤+⎦4()2,2A -4414m m +<-44144m m m ⎧+<⎪-⎨⎪>⎩.易知为椭圆的下焦点，设椭圆的上焦点为，则.又，当且仅当三点共线时等号成立，所以，所以，所以，故.当取得最大值25时，椭圆的方程为，故其焦距为4.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤.15.解：（1）线段的中点为，故线段的垂直平分线的方程为，即.（2）①当直线过原点时，所求直线方程为，②当直线不过原点时，斜率为，所求直线方程为：，即，由①②知所求直线方程为或.16.解：（1）①，②①-②得即公共弦所在直线方程为.（2）设圆的方程为，即.因为圆过原点，所以，所以所求圆的方程为17.解：（1）如图，设为椭圆上一点，由题意可知且，所以分别为椭圆的左､右焦点，长轴长，所以，所以椭圆的标准方程为.6m >+()0,2B -F PA PB PA PF +=+-||||||||2PA PF AF -=…,,P A F 22PA PB -++……282-……925m ……625m +<…m 2212521y x +=AB ()1312,1,262AB C k --==--AB ()122y x -=--250x y +-=23y x =1-()23y x -=--5y x =-+23y x =5y x =-+22230x y x +--=224230x y x y +-++=2260x y --=AB 30x y --=()2222234230x y x x y x y λ+--++-++=()()()2211242330x y x y λλλλλ+++-++-+=330,1λλ-+==2230x y x y +-+=P 4PF PO AO +==24FO =<,F O 24,22a c ==2222,1,3a c b a c ===-=22143x y +=（2）经过且与直线夹角为的直线的倾斜角为或，由对称性，不妨取倾斜角为，即，显然，直线.设，联立，消去得.解法1：解得上述值的互换不影响结果，不妨取，将的值分别代入，得，所以，所以.点到直线即的距离，故的面积.（也可以按此解法算得的坐标后，得，F FOπ4π43π4π41k =()1,0F -:1CD y x =+()()1122,,,C x y D x y 221143y x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩y 27880x x +-=124477x x =-=-124477x x =-=-12,x x 124477x x =-=--12,x x 1y x =+123377y y =+=-4343,7777C D ⎛⎛-+- ⎝⎝247CD ==()1,0O :1CD y x =+10x y -+=d OCD V 12427OCD S =⨯=V 12y y ､12y y -=故.解法2：，且，所以.点到直线即的距离，故的面积.（也可以按此解法算得后，得，，故.18.解：（1）设点的坐标为，，由题意有，整理为：，故点的轨迹方程为，点的轨迹是斜率为，在轴上的截距为的直线.（2）由和（1），的最小值为点到直线的距离，最小值为.（3）由圆的性质可知，当直线与直线垂直时，以此时的点为圆心，且与圆相外切的圆为所求，此时的方程为，1211222OCD S FO y y =-=⨯=V 2Δ84782880=+⨯⨯=>121288,77x x x x +=-=-2247CD x =-===()1,0O :1CD y x =+10x y -+=d OCD V 12427OCD S =⨯=V 121288,77x x x x +=-=-12x x -===()()12121211y y x x x x -=+-+=-=1211222OCD S FO y y =-=⨯=V P (),x y 2222||44PA OP x y ==-=+-2222(6)(8)4x y x y -+-=+-34260x y +-=P 34260x y +-=P 34-y 132PQ PA =PQ A 34260x y +-=245=OP 34260x y +-=P O OP 43y x =联立方程解得点到直线的距离为，可得所求圆的半径为，故所求圆的标准方程为.19.解：（1）因为设椭圆的左焦点为，因为，所以.即，又，所以，所以，所以，所以，因为，所以，所以②，又③，由①②③，解得，所以.（2）由（1）可知椭圆的方程为，因为点满足，所以，设直线的方程为，联立，得，设，易得，则，直线的方程为，直线的方程为，4,334260,y x x y ⎧=⎪⎨⎪+-=⎩78,25104,25x x ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩O 34260x y +-=2652616255-=2278104256252525x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭max ||2MF a c =+=+E 12OM OF EF ==90EMF ∠= 2222||||4ME MF EF c +==2ME MF a +=222||24ME MF ME MF a ++=2222444ME MF a c b =-=22ME MF b =212MEF S ME MF b ==V 12MOF S =V 1MEF S =V 21b =222a b c =+224,3a c ==12b a =C 2214x y +=P 3AP PB = ()1,0P MN 1x my =+22114x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩()224230m y my ++-=()()1122,,,M x y N x y Δ0>12122223,44m y y y y m m +=-=-++AM ()1122y y x x =++BN ()2222y y x x =--联立得，因为，所以，解得所以动点的轨迹方程为.由椭圆的对称性不妨设，直线的倾斜角分别为，因为，所以，因为，所以，当且仅当时，等号成立，此时，所以的最大值为.()()()()12121212121122212222123y x y my my y y x x y x y my my y y -+---===+++++()121232my y y y =+()()121121221231321222339233222y y y y y x x y y y y y +-+-===++++4,x =T ()40x y =≠()4,,0T t t >,TA TB ,αβATB ∠βα=-()tan tan tan tan 1tan tan ATB βα∠βαβα-=-=+tan ,tan 62TA TB t t k k αβ====24426tan 1212126t t t ATB t t t t t∠-====++⋅+…t =(π4,,6T ATB ∠=ATB ∠π6。
吉林大学作业及答案-高数A2作业答案
高等数学作业AⅡ答案吉林大学公共数学教学与研究中心2018年3月第一次作业学院 班级 姓名 学号一、单项选择题1．下列反常积分收敛的是( C )． （A ）⎰∞+2d ln x xx； （B ）⎰∞+2d ln 1x xx ； （C ）⎰∞+22d )(ln 1x x x ；（D ）⎰∞+2d ln 1x xx ．2．下列反常积分收敛的是（ D ） A ．0cos d x x +∞⎰B ．221d (1)x x -⎰C ．01d 1x x +∞+⎰D ．321d (21)x x +∞-∞+⎰3．设)(x f 、()g x 在],[b a 上连续，则由曲线)(x f y =，()y g x =，直线b x a x ==,所围成平面图形的面积为( C )．（A ）[()()]d ba f x g x x -⎰；（B ）[|()||()|]d baf xg x x -⎰；（C ）|()()|d b af xg x x -⎰； （D ）[()()]d b af xg x x -⎰．4．设曲线2y x =与直线4y =所围图形面积为S ，则下列各式中，错误的是 ( C )．（A ）2202(4)d S x x =-⎰；（B ）402d S y y =⎰； （C ）2202(4)d S x y =-⎰；（D ）402d S x x =⎰．5．设点(,sin )A x x 是曲线sin (0)y x x π=≤≤上一点，记()S x 是直线OA （O 为原点）与曲线sin y x =所围成图形的面积，则当0x +→时，()S x 与( D )．（A ）x 为同阶无穷小； （B ）2x 为同阶无穷小； （C ）3x 为同阶无穷小； （D ）4x 为同阶无穷小．6．设0()()g x f x m <<<（常数），则由(),(),,y f x y g x x a x b ====所围图形绕直线y m =旋转所形成的立体的体积等于( B )．（A ）π(2()())(()())d ba m f x g x f x g x x -+-⎰；（B ）π(2()())(()())d bam f x g x f x g x x ---⎰；（C ）π(()())(()())d bam f x g x f x g x x -+-⎰；（D ）π(()())(()())d bam f x g x f x g x x ---⎰．二、填空题 1．已知反常积分⎰∞+0d e 2x x ax 收敛，且值为1，则=a 12-．2．摆线1cos sin x ty t t =-⎧⎨=-⎩一拱(02π)t ≤≤的弧长 8 ．3．2d 25x x +∞-∞=+⎰π5． 4．反常积分0d (0,0)1mnx x m n x+∞>>+⎰，当,m n 满足条件1n m ->时收敛． 5．由曲线22,y x x y ==围成图形绕x 轴旋转一周所形成的旋转体体积为 3π10． 三、计算题1．用定义判断无穷积分0e d 1e xxx -∞+⎰的收敛性，如果收敛则计算积分值．解： 000e d(1e )d 1e 1e [ln(1e )]ln 2xxx x x x -∞-∞-∞+=++=+=⎰⎰ 则该无穷积分收敛． 2．判断反常积分的收敛性：13sin d x x x+∞⎰解：33sin 1x xx≤Q而131x +∞⎰收敛． 13sin d xx x+∞∴⎰收敛．3．已知22lim 4e d xx a x x a x x x a +∞-→∞-⎛⎫= ⎪+⎝⎭⎰，求a 的值． 解：()21e lim lim e e1xa ax a a x a x x a a a x a x x a a x ----→∞→∞⋅⎛⎫- ⎪-⎛⎫⎝⎭=== ⎪+⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭． 222222222222222222224e d 2de 2e 4e d 2e 2de 2e 2e 2e d 2e 2e e (221)e .x xaaxx aaa xaa xx aaa a x aa x x x x x xa x a x xa a a a +∞+∞--+∞+∞--+∞--+∞+∞---+∞----=-=-+=-=-+=+-=++⎰⎰⎰⎰⎰由已知222e (221)e a a a a --=++，即(1)0a a +=．所以0a =或1a =-．4．求连续曲线π2cos d x y t t -=⎰的弧长.解：由cos 0x ≥可知ππ22x -≤≤. 因此所求弧长为 π22π21d s y x -'=+⎰()π22021cos d x x =+⎰π2022cos d 42xx ==⎰.5．计算由x 轴，曲线1-=x y 及其经过原点的切线围成的平面图形绕x 轴旋转所生成立体体积．解：设切点为00(,)x y ，则过切点的切线方程为0001()21Y y X x x -=--令0,0X Y ==，得002,1x y ==．2212211π12π(1)d 32πππ.362x V x xx x =⨯⨯--⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭⎰6．在第一象限内求曲线21y x =-+上的一点，使该点处的切线与所给曲线及两坐标轴所围成的图形面积为最小，并求此最小面积．解：设所求点为(,)x y ，则过此点的切线方程为2()Y y x X x -=-．由此得切线的x 轴截距为212x a x+=，y 轴截距为21b x =+．于是，所求面积为12031()(1)d 21112.4243S x ab x xx x x =--+=++-⎰令2211()32411130,4S x x x x x x x ⎛⎫'=+- ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫=-+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭解得驻点13x =．又因为3131126043x S x x =⎛⎫⎛⎫''=+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以13x =为极小值点，也是最小值点．故所求点为12,33⎛⎫ ⎪⎝⎭，而所求面积为12(233)93S ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．7．在曲线2(0)y x x =≥上某点A 处作一切线，使之与曲线以x 轴所围图形的面积为112，试求： （1）切点A 的坐标；（2）过切点A 的切线方程；（3）由上述所围平面图形绕x 轴旋转一周所围成旋转体体积． 解：设切点00(,)A x y ，则切线方程为：20002()y x x x x -=-，得切线与x 轴交点为0,02x ⎛⎫⎪⎝⎭．由02200011d 2212x x x x x -⋅⋅=⎰，得01x =．∴切点为(1,1)A ，切线方程：21y x =-1222011()d 13230V x x πππ=⋅-⋅⋅⋅=⎰．8．半径为r 的球沉入水中，球的顶部与水面相切，球的密度与水相同，现将球从水中提出，问需作多少功？解：取球浮出水面后球心为原点建立坐标系，则22d ()d ()r y y g r y ωπρ=-⋅⋅+224()()d 43rr g r y r y ygr ωπρπρ-=⋅-+=⎰第二次作业学院 班级 姓名 学号一、单项选择题1. 平面10x y z +--=与22230x y z +-+=的关系（ A ）． （A ）平行，但不重合； （B ）重合；（C ）垂直；（D ）斜交．2．平面1=z 与曲面14222=++z y x （ B ）． （A ）不相交；（B ）交于一点； （C ）交线为一个椭圆；（D ）交线为一个圆．3．方程z y x =-4222所表示的曲面为（ C ）． （A ）椭球面； （B ）柱面； （C ）双曲抛物面； （D ）旋转抛物面．4．曲面2222x y z a ++=与22(0)x y zax a +=>的交线在xoy 平面上的投影曲线是（ D ）．（A ）抛物线；（B ）双曲线；（C ）椭圆；（D ）圆．5．设有直线182511:1+=--=-z y x L 与⎩⎨⎧=+=-326:2z y y x L ，则L 1与L 2的夹角为（ C ）．（A ）π6； （B ）π4； （C ）π3； （D ）π2． 6．设有直线⎩⎨⎧=+--=+++031020123:z y x z y x L 及平面0224:=-+-z y x π，则直线L （ C ）．（A ）平行于π； （B ）在π上； （C ）垂直于π； （D ）与π斜交．二、填空题1．设,a b 均为非零向量，且||||+=-a b a b ，则a 与b 的夹角为π2． 2．设向量x 与向量2=-+a i j k 共线，且满足18⋅=-a x ，则=x (6,3,3)-- ．3．过点(1,2,1)M -且与直线2,34,1x t y t z t =-+⎧⎪=-⎨⎪=-⎩垂直的平面是 340x y z --+= ．4．若||3=a ，||2=b ，且a ，b 间夹角为34θπ=，则||+=a b 5，||⨯=a b 3 ．5．xoz 平面上的曲线1x =绕z 轴旋转一周所形成的旋转曲面方程为221x y +=． 6．曲线⎩⎨⎧=-+--=032622z y y x z 在xoy 面上的投影曲线方程为222300x y y z ⎧+--=⎨=⎩．7．若直线L 平行于平面π：3260x y z +-+=，且与已知直线132:241x y zL -+==垂直，则L 的方向余弦(cos ,cos ,cos )αβγ为 65585,,25525⎛⎫- ⎪⎝⎭ ．三、计算题 1．求过直线1212:102x y z L --+==-，且平行于直线221:212x y zL +-==--的平面π的方程．解：过L 的平面束为：22(1)0x z y λ+-+-=即(2,,1)λ=n ，由n 与(2,1,2)=--S 垂直，有420,2λλ--== ∴ 所求平面为2240x y z ++-=．2．求点(2,1,3)到直线11321x y z+-==-的距离． 解：(3,2,1)=-s 设0(2,1,3),(1,1,0)M M - 则00(3,0,3)6126i =⨯=--MM S MM j k ∴ 0||621||7d ⨯==S MM S3．求曲面220x y z +-=与平面10x z -+=的交线在Oxy 平面上的投影曲线． 解：因为曲线220,10x y z x z ⎧+-=⎨-+=⎩ 在Oxy 平面上投影就是通过曲线且垂直于Oxy 平面的柱面与Oxy 平面的交线，所以，只要从曲线的两个曲面方程中消去含有z 的项，则可得到垂直于Oxy 平面的柱面方程．由220,10x y z x z ⎧+-=⎨-+=⎩消去z ，得到关于Oxy 平面的投影柱面2210x y x +--=，于是得到在Oxy 平面上的投影曲线为2210,0.x y x z ⎧+--=⎨=⎩4．求过平面02=+y x 和平面6324=++z y x 的交线，并切于球面4222=++z y x 的平面方程．解：过L 平面束为4236(2)0x y z x y λ++-++=． 即(42)(2)360x y z λλ++++-=． 由222|6|2(42)(2)3λλ-=++++得2λ=-则所求平面为2z =．5．设有直线210:210x y z L x y z ++-=⎧⎨-++=⎩，平面π:0x y +=，求直线L 与平面π的夹角；如果L 与π相交，求交点．解：L 的方向向量(1,2,1)(1,2,1)(4,0,4)=⨯-=-S而(1,1,0)=n ∴ ||41sin ||||2422θ⋅===⋅S n S n ，∴ 6πθ=将y x =-代入L 方程．解得111,,222x y z =-==∴ 交点111,,222⎛⎫- ⎪⎝⎭．6．向量a 与x 轴的负向及y 轴、z 轴的正向构成相等的锐角，求向量a 的方向余弦． 解：依题意知ππ,,02αθβθγθθ⎛⎫=-==<< ⎪⎝⎭， 因为222cos cos cos 1αβγ++=，即222cos ()cos cos 1πθθθ-++=， 所以23cos 1θ= 或 3cos 3θ=． 故333cos ,cos ,cos 333αβγ=-==.第三次作业学院 班级 姓名 学号一、单项选择题1．()220lim ln x y xy x y →→+=（ B ）．（A ）1； （B ）0； （C ）12； （D ）不存在．2．二元函数()()()()()22,,0,0,,0,,0,0xyx y x y f x y x y ⎧≠⎪+=⎨⎪=⎩在点)0,0(处（ D ）．（A ）不连续，偏导数不存在; （B ）连续，偏导数不存在； （C ）不连续，偏导数存在；（D ）连续，偏导数存在.3．设22(,)(1)(2)f x y y x x y =-+-，在下列求(1,2)x f 的方法中，不正确的一种是（ B ）．（A ）因2(,2)2(1),(,2)4(1)x f x x f x x =-=-，故1(1,2)4(1)|0x x f x ==-=； （B ）因(1,2)0f =，故(1,2)00x f '==；（C ）因2(,)2(1)(2)x f x y y x y =-+-，故12(1,2)(,)0x x x y f f x y ====；（D ）211(,2)(1,2)2(1)0(1,2)lim lim 011x x x f x f x f x x →→---===--．4．设函数(,)f x y 在点00(,)P x y 的两个偏导数x f '和y f '都存在，则（ B ）. (A)00(,)(,)lim(,)x y x y f x y →存在； (B) 00lim (,)x x f x y →和00lim (,)y y f x y →都存在；(C) (,)f x y 在P 点必连续； (D) (,)f x y 在P 点必可微.5．设22(,),2zz f x y y∂==∂，且(,0)1,(,0)y f x f x x ==，则(,)f x y 为（ B ）．（A ）21xy x -+； （B ）21xy y ++； （C ）221x y y -+； （D ）221x y y ++． 二、填空题1．0011limx y xyxy →→--= 1/2 ．2. 设函数44z x y =+，则(0,0)x z '= 0 .3．设22),(y x y x y x f +-+=，则=')4,3(x f 2/5，=')4,3(y f 1/5 ． 4．设xz xy y=+，则d z = 21d d x y x x y y y ⎛⎫⎛⎫++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 5．设函数(,)()()()d x yx y u x y f x y f x y g t t +-=++-+⎰，其中f 具有二阶导数，g 具有一阶导数，则2222u ux y∂∂-=∂∂ 0 ．三、计算题1．设()0,1y z x x x =>≠，证明12ln x z zz y x x y∂∂+=∂∂． 证明：因为1,ln y y z zyx x x x y-∂∂==∂∂，所以 12ln y y x z zx x z y x x y∂∂+=+=∂∂. 2．讨论函数2222222,0,(,)0,0x xyx y f x y x y x y ⎧++≠⎪=+⎨⎪+=⎩的连续性．.解一：当(),p x y 沿y 轴(x=0)趋于0（0，0）时， 2222limlim0x y y x xyx y y →→→+==+ 当(),p x y 沿y x =，趋于0（0，0）时，222220002lim lim 12x x y x x xy x x y x→→=→+==+∴()00lim,x y f x y →→不存在 ∴不连续解二：当(),p x y 沿y kx =趋于0（0，0）时，()()222222200011lim lim11x x y kx k x x xyk x y k k x →→=→+++==+++ 与k 有关，∴不连续 3．设(1)y z xy =+，求d z ．()()11211y y z y xy y y xy x--∂=⋅+⋅=+∂ 解一：取对数()ln ln 1z y xy =+()1ln 11z x xy y z y xy ∂⋅=++⋅∂+，∴()()1ln 11y z xy xy xy y xy ⎡⎤∂=+++⎢⎥∂+⎣⎦ 解二：()()()()ln 1ln 1e,e ln 111yy xy y xy z x xy y xy y xy ++⎡⎤∂∂==⋅++⋅=+⎢⎥∂+⎣⎦ ∴()()()12d 1d 1ln 1+xy d 1y y x z y xy x xy y xy -⎡⎤=++++⎢⎥+⎣⎦ 4．求2e d yzt xz u t =⎰的偏导数．t220e d e d xz yzt u t t =-+⎰⎰22x z e uz x∂=-⋅∂ 22y e z uz y∂=⋅∂ 2222x y e e z z ux y z∂=-⋅+⋅∂ 5．设222r x y z =++，验证：当0r ≠时，有2222222r r r x y z r∂∂∂++=∂∂∂．证明：22222r x xx rx y z ∂==∂++ 222223xr x rr x r x r r -⋅∂-==∂，同理：2222222323,r r y r r z y r z r ∂-∂-==∂∂∴()2222222222233322r x y x r r r r x y z r r r-++∂∂∂++===∂∂∂ 6．设222222221()sin ,0(,)0,0x y x y x y f x y x y ⎧++≠⎪+=⎨⎪+=⎩，问在点(0,0)处，（1）偏导数是否存在？ （2）偏导数是否连续？ （3）是否可微？解:（1）2201()sin(0,0)(0,0)()(0,0)limlim 0x x x x f x f x f xx∆→∆→∆+∆-∆'===∆∆,2201()sin(0,0)(0,0)()(0,0)limlim 0y y y y f y f y f yy∆→∆→∆+∆-∆'===∆∆,故函数在点(0,0)处偏导数存在. （2）当 (,)(0,0)x y ≠时， 222222222112(,)2sin()cos ()x x f x y x x y x y x y x y -'=++⋅+++2222221212sincos x x x y x y x y=-+++, 又 22222200121lim (,)lim(2sincos )x x x y y x f x y x x y x y x y→→→→'=-+++， 当(,)x y 沿x 轴趋于(0,0)时，上式222121lim(2sincos )x y x x x x y →==-+ 不存在， 故偏导数(,)x f x y '在点(0,0)不连续.由函数关于变量,x y 的对称性可知，(,)y f x y '在点(0,0)不连续。