5-5向心加速度
向心加速度
题组一 向心加速度公式
1．关于质点做匀速圆周运动，下列说法中正确的是( ) A ．线速度大，加速度一定大 B ．角速度大，加速度一定大 C ．周期大，加速度一定大 D ．加速度大，速度一定变化快
解析：由a n ＝v 2
r ，知只有当r 一定时，线速度大，加速度才一定大，故A 错误；同理，
只有当r 一定时，ω大，a n 才大，故B 错误；由ω＝2πT ，得a n ＝ω2r ＝r (2π
T )2，a n 的大小与r
和T 都有关，故C 错误；加速度是描述物体速度变化快慢的物理量，在匀速圆周运动中，“速度变化快慢”是指速度方向变化的快慢，故D 正确．
答案：D
图5－5－10
2．如图5－5－10所示为一皮带传动装置，右轮的半径为r ，a 是它边缘上的一点，左侧是一轮轴，大轮的半径为4r ，小轮的半径为2r ，b 点在小轮上，它到小轮中心的距离为r ，c 和d 点分别位于小轮和大轮的边缘上．若在传动过程中，皮带不打滑，则( )
A ．a 点与b 点的线速度大小相等
B ．a 点与b 点的角速度大小相等
C ．a 点与c 点的线速度大小相等
D ．a 点与d 点的向心加速度大小相等
解析：皮带不打滑，a 、c 两点线速度大小相等，C 正确；又因为b 、c 两点角速度相等，而半径不等，故A 错误；由v ＝ωr ，知ω＝v /r ，故ωc /ωa ＝r /(2r )＝1
2，即ωa ＝2ωc ，而b 、d
与c 同轴转动，故角速度相等，B 错；a 点向心加速度a 1＝ωa 2·r ，而d 点向心加速度a 2＝ωc 2·4r ＝ωa 2r ，二者相等，所以D 对．
答案：CD
3．一小球被细线拴着做匀速圆周运动，其半径为R ，向心加速度为a n ，则( ) A ．小球相对于圆心的位移不变 B ．小球的线速度大小为Ra n
C ．小球在时间t 内通过的路程x ＝a n /Rt
D ．小球做圆周运动的周期T ＝2πR /a n
解析：小球做匀速圆周运动时，各时刻相对圆心的位移大小不变，但方向是时刻在变，由a n ＝v 2
r
，得v 2＝a n R ，所以v ＝Ra n ，在时间t 内通过的路程x ＝v t ＝t Ra n .
做圆周运动的周期T ＝2πω＝2πR v ＝2πR
Ra n ＝2π
R
a n
. 答案：BD
图5－5－11
4．如图5－5－11所示，长度L ＝0.5 m 的轻杆，一端固定质量为m ＝1.0 kg 的小球，另一端固定在转动轴O 上，小球绕轴在水平面上匀速转动，杆每隔0.1 s 转过30°角，试求小球运动的向心加速度．
解析：小球做匀速圆周运动的半径为L ＝0.5 m ，周期为T ＝0.1×360
30s ＝1.2 s ，向心加速
度a ＝Lω2
＝4π2T 2L ＝25
18
π2 m/s 2.
答案：25
18
π2 m/s 2
题组二 向心加速度的应用
5．一物体以4 m/s 的线速度做匀速圆周运动，转动周期为2 s ，则物体在运动过程中的任一时刻，速度变化率的大小为( )
A ．2 m/s
B ．4 m/s
C ．0
D ．4π m/s 2
解析：由2πr ＝v T ，知r ＝v T
2π
.
而a ＝v 2r ＝v 2v T 2π＝2πv T ＝2π×42
m/s 2＝4π m/s 2.
答案：D
图5－5－12
6．如图5－5－12所示，一半径为R 的球体绕轴O 1O 2以角速度ω旋转，A 、B 为球体上两点，下列说法中正确的是( )
A ．A 、
B 两点具有相同的角速度 B ．A 、B 两点具有相同的线速度
C ．A 、B 两点具有相同的向心加速度
D ．A 、B 两点的向心加速度方向都指向球心
解析：由于A 、B 两点处于同一球体上，所以两点的角速度相同，A 项正确；A 做圆周
运动的轨道平面与轴垂直，交点为圆心，故A 的运动半径为r A ＝R sin60°；同理，B 的运动半径为r B ＝R sin30°，所以两者的线速度分别为v A ＝r A ω＝32Rω，v B ＝r B ω＝1
2
Rω，显然v A ＞v B ，B 项错误；两者的向心加速度分别为a A ＝r A ω2＝
32Rω2，a B ＝r B ω2＝1
2
Rω2，两者的向心加速度也不相等，C 项错误；又因为两者的向心加速度方向指向各自的圆心，均不指向球心，D 项错误．
答案：A
图5－5－13
7．如图5－5－13所示，圆轨道AB 是在竖直平面内的1
4圆周，在B 点轨道的切线是水
平的，一质点自A 点从静止开始下滑，不计摩擦和空气阻力，则在质点刚要到达B 点时的加速度大小为__________，滑过B 点时的加速度大小为__________．(提示：质点刚要到达B 点时的速度大小为2gR )
解析：小球由A 点到B 点所做的运动是圆周运动的一部分，因而小球刚要到达B 点时的运动为圆周运动，其加速度为向心加速度，大小为a ＝v 2R ，将v ＝2gR 代入可得a ＝2gR
R ＝
2g .小球滑过B 点后做平抛运动，只受重力作用，加速度大小为g .
答案：2g g
图 5－5－14
8．如图5－5－14所示，定滑轮的半径r ＝2 cm ，绕在滑轮上的细线悬挂着一个重物，由静止开始释放，测得重物以加速度a ＝2 m/s 2做匀加速运动，在重物由静止下落1 m 的瞬间，滑轮边缘上的点的角速度ω＝__________rad/s ，向心加速度a ＝__________m/s 2.
解析：由题意知滑轮边缘上的点的线速度与物体的速度相等．由推论公式2ax ＝v 2，得v ＝2 m/s.又由v ＝rω，所以ω＝100 rad/s ，a ＝v ·ω＝200 m/s 2.
答案：100 200
图5－5－15
9．一辆轿车以30 m/s 的速率沿半径为60 m 的圆形跑道行驶(如图5－5－15)，当轿车从A 运动到B 时，轿车和圆心的连线转过的角度为90°，求：
(1)此过程中轿车的位移大小；
(2)此过程中轿车通过的路程； (3)轿车运动的向心加速度大小．
解析：(1)轿车的位移为从初位置A 到末位置B 的有向线段的长度x ＝2r ＝2×60 m ≈85 m.
(2)路程等于弧长l ＝rθ＝60×π
2≈94.2 m.
(3)向心加速度大小a n ＝v 2r ＝302
60 m/s 2＝15 m/s 2.
答案：(1)85 m (2)94.2 m (3)15 m/s 2
图5－5－16
10．如图5－5－16所示，压路机大轮的半径R 是小轮半径r 的2倍，压路机匀速行驶时，大轮边缘上A 点的向心加速度是12 cm/s 2，那么小轮边缘上B 点的向心加速度是多少？大轮上距轴心距离为R
3
的C 点的向心加速度大小是多少？
解析：大轮边缘上A 点的线速度大小与小轮边缘上B 点的线速度大小相等． 由a A ＝v 2R 和a B ＝v 2r ，得a B ＝R
r a A ＝24 cm/s 2.
C 点和A 点同在大轴上，角速度相同， 由a A ＝ω2R 和a C ＝ω2·R 3，得a C ＝a A
3＝4 cm/s 2.
答案：24 cm/s 2 4 cm/s 2。
5-5向心加速度
3、关于北京和广州随地球自转的向心加速度，下列说 关于北京和广州随地球自转的向心加速度， 法中正确的是 （ BD ） A、它们的方向都沿半径指向地心 B、它们的方向都平行于赤道平面指向地轴 C、北京的向心加速度比广州的向心加速度大 D、北京的向心加速度比广州的向心加速度小
O' O R' O' R'
F
二、向心加速度的大小
加速度的定义式是什么？ 加速度的定义式是什么？ 速度的变化量∆v ∆v a = ∆t
a 的方向与∆v 的方向相同
结论： 很小很小时， 指向圆心． 结论：当△t很小很小时，△v指向圆心．
推导过程
vA、vB、△v 组成的三角形与∆ABO相似 v 相似 ∆ vA ∆v v ∴ AB = r vB vA v AB ∴ ∆v = r ∆θ ∆v v · AB ∴ an = ∆t = r ∆t B 很小很小时， 当△t 很小很小时，AB=AB=∆l ∆θ A O AB AB ∆l ∴ ∆t = ∆t = ∆t = v v · v = v2 = rω2 = vω ∴ an = r ω r
FN O O F G
FN与G相抵消，所以合力为F
小球受力分析： 小球受力分析：
V F
O O
F
F V V
结论： 做匀速圆运动的小球， 结论： 做匀速圆运动的小球， 合外力指向圆心，与速度V 合外力指向圆心，与速度V垂直
卫星绕地球运行 V F
F V V
向心加速度的方向：与速度垂直，始终指 向心加速度的方向：与速度垂直，始终指 垂直 向圆心（方向不断变化） 向圆心（方向不断变化）
Qva = vc ∴aa : ac = rc : ra = 2 :1
∴aa : ab : ac : ad = 4 :1: 2 : 4
新人教版物理必修二第5章第5节向心加速度1-课件
我们，还在路上……
5 向心加速度
视频：北京奥运会张文秀获得铜牌
问题1 视频中链球在张文秀的牵引下做什么 运动？
问题2 张文秀放手前链球为什么都绕圆心做 圆周运动而没有沿切线方向飞出？
思考讨论
图1
图2
（1）图1中的地球受到什么力的作用?这个
力可能沿什么方向?
（2）图2中的小球受到几个力的作用?这几
个力的合力沿什么方向?
一、速度的变化量
a.直线运动的物体 如果初速度v1和末速度v2在同一方向上，如 何表示速度的变化量△v? △v是矢量还是标 量？
（1）v1 < v2 （如图甲）
v1 △v 甲
v2
（2）v1 > v2 （如图乙）
v1 乙
v2
△v
b.曲线运动的物体
如果初速度v1和末速度v2不在同一直线上，如何表 示速度的变化量△v?
二、向心加速度
公式：
an
v2
2Rv
R
思考与讨论：从公式a=v2/r看，向心加速度与
圆周运动的半径成反比；从公式a=rw2看，向
心加速度与半径成正比，这两个结论是否矛盾？
（1）在y=kx这个关系式中，说y与x成正比， 前提是什么？
（2）自行车的大齿轮、小齿轮、后轮三个轮 子的 半径不一样，它们的边缘上有三个点A、 B、C。其中哪两点向心加速度的关系适用于 “向心加速度与半径 成正比”，哪两点适用
实验体验
拉住绳子一端，使小球在桌面 上做匀速圆周运动。 观察与思考：
1.小球受到哪些力作用？合外力是哪个力？这 个力的方向有什么特点？
2. 我们这节课讨论向心加速度，而这里却在讨 论物体受力情况，这不是“南辕北辙”了吗？
向心加速度的证明
向心加速度的证明一、引言向心加速度是物理学中一个重要的概念，它描述了物体在做圆周运动时所受到的加速度。
在许多物理学问题中，向心加速度都是必须考虑的因素。
本文将探讨向心加速度的概念、计算方法以及证明过程。
二、向心加速度的概念1. 定义向心加速度是一个物体在做圆周运动时所受到的指向圆心的加速度。
2. 公式根据牛顿第二定律可以得到向心加速度的公式：a = v²/r其中，a表示向心加速度，v表示物体在圆周运动中的线速度，r表示圆周半径。
三、计算方法1. 已知线速度和半径求向心加速度根据上述公式可以得到：a = v²/r2. 已知角速度和半径求向心加速度由于线速度v可以表示为v = ωr，因此可以将公式改写为：四、向心加速度的证明过程1. 圆周运动分析考虑一个质点在做匀速圆周运动时所受到的力情况。
根据牛顿第一定律，物体在没有外力作用时会保持匀速直线运动或静止状态。
因此，如果一个物体在做圆周运动，那么它必须受到一个向心力的作用，才能保持在圆周上运动。
2. 向心力的分析根据牛顿第二定律可以得到：F = ma其中，F表示物体所受到的合力，m表示物体的质量，a表示物体所受到的加速度。
由于圆周运动是一种加速运动，因此物体所受到的合力必须包含一个向心力Fc。
因此可以得到：Fc = ma3. 向心加速度的计算根据牛顿第二定律和圆周运动分析可以得到：Fc = ma = mv²/r其中v表示质点在做圆周运动时的线速度，r表示圆周半径。
将上式中Fc代入公式中可得：a = v²/r向心加速度是一个物体在做圆周运动时所受到的指向圆心的加速度。
它可以用公式a=v²/r或a=ω²r来计算。
通过对圆周运动和向心力进行分析和计算可以证明向心加速度存在，并且具有上述公式。
新课标人教版高一物理必修二 第五章 第5节 向心加速度
图5－5－6
[名师点睛]
上述向心加速度的表达式中，an
均与两个物理量有关，在讨论与其中某一个量的关 系时，要注意另一个量是否发生变化。
2．如图5－5－7所示为两级皮带传动装置，转动时皮带 均不打滑，中间两个轮子是固定在一起的，轮1的半径和轮2 的半径相同，轮3的半径和轮4的半径相同，且为轮1和轮2半
[试身手· 夯基础]
1．关于向心加速度的物理意义，下列说法中正确的是( A．它描述的是线速度方向变化的快慢 )
B．它描述的是线速度大小变化的快慢
C．它描述的是角速度变化的快慢
D．匀速圆周运动的向心加速度是恒定不变的
解析：向心加速度的方向与线速度的方向垂直，故它只
描述线速度方向变化的快慢，A正确，B错误。对匀速圆
＝ v2－v1 。速度的变化量是矢量，既有大小，又有方向。
(2)大小计算： ①同一直线上的速度的变化量。
图5－5－1
②不在同一直线上的速度的变化量： 当 v1 和 v2 不在同一直线上时，如图 5－5 －2 所示，物体做曲线运动。作图时将初速度 v1 平移到 B 点，从 v1 的末端作Δ v 至 v2 的 末端，则Δ v 即为速度的变化量。 图 5 －5 － 2
方向不断变化，故选项C正确。
答案：C
3．一物体以4 m/s的线速度做匀速圆周运动，转动周期
为2 s，则物体在运动过程中的任一时刻，速度变化
率的大小为 A．2 m/s2 C．0 B．4 m/s2 D．4π m/s2 ( )
解析： 做变速运动的物体的速度变化率就是物体的加速度， v2 2πv 该题中即为向心加速度．根据 an＝ r 得 an＝ T ＝ 2π× 4 m/s2＝4π m/s2，故 D 正确。 2
答案：D
必修2 之 第五章曲线运动 第5节：向心加速度
----第5节 向心加速度
第5节 向心加速度
• 学习目标
• 1、定义向心加速
度；
• 关键术语
• 向心加速度；
• 2、明确向心加速 度的大小和方向。 • 3、应用向心加速 度。
思考讨论
加速度的方向？ 判断加速度的 方向的依据？
向心加速度的方向?
思考讨论
加速度的大小？
v an r 2 a n rω
温故知新
• 复习所学，回答提问： • 1、为描述匀速圆周运动，我们引入了哪些物 理量？ • 2、这些物理量是如何定义的？
• 3、这些物理量之间的关系？
• （1）、线速度（V）与角速度（ω）关系？
• （2）、线速度（V）与周期（T）的关系？
• （3）、线速度（V）与速（n）的关系？
温故知新
• （4）、角速度（ω）与周期（T）的关系？ • （5）、角速度（ω）与转速（n）的关系？ • （6）、周期（T）与转速（n）的关系？
• （7）、V、ω、T、n的关系？
• 4、传动问题： • （1）、共轴转动特征： • （2）、无滑传动：
思考讨论
“匀速圆周运动”是________(匀速、变速)运动？
曲线运动是变速运动 变速就有加速度 加速度是矢量，有大小和方向 那么加速度的方向是怎样的？ 加速度的大小怎样确定？
第五章 曲线运动
比赛：谁写的公式多？
2
思考讨论
作业与练习 ：
• 一、请将课本P22“问题与练习” 第3做 在作业本上； • 二、理解和记忆向心加速度公式，下 节课请同学到黑板上写； • 三、尽量将“导学案”的内容完成；
第5节向心加速度导学案
1．做匀速圆周运动的物体，加速度的方向________，这个加速度称 为____________． 3．匀速圆周运动向心加速度的大小________．方向指向________， 时刻在________；因此匀速圆周运动是一种________运动．
新 知 探 究
探究 1 做匀速圆周运动物体的加速度 【问题情景 1】认真阅读教材 P20“思考与讨论”部分，思考并回答 以下问题： 1． 做匀速圆周运动的物体有没有加速度？为什么？ 2．图 5.5-1 地球受到什么力的作用?这个力可能沿什么方向? ． 3．图 5.5-2 所示的小球受到几个力的作用?这几个力的合力沿什么方 向?它们的加速度向哪个方向？ 探究 2 向心加速度的公式 ． ．
-2-
动部分，行驶时（
）
A．大齿轮边缘点比小齿轮边缘点的线速度大 B．后轮边缘点比小齿轮边缘点的角速度大 C． 大齿轮边缘点与小齿轮边缘点的向心 加速度之比等于它们半径的反比 D．后轮边缘点与小齿轮边缘点的向心 加速度之比等于它们半径的反比 【针对训练 2】关于质点做匀速圆周运动的下列说法中正确的是 ( ) v2 A．由 a＝ 可知，a 与 r 成反比 r B．由 a＝ω2r 可知，a 与 r 成正比 C．当 v 一定时，a 与 r 成反比 D．由 ω＝2πn 可知，角速度 ω 与转速 n 成正比
《5. 5 向心加速度》导学案
主备人：张西永 审核：王兆义 授课时间： 班级： 姓名：
1.知道匀速圆周运动是变速运动，具有指向圆心的加速度——向心加速度 【学习目标】 2.知道加速度的表达式，能根据问题情景选择合适的向心加速度的表达式并 会用来进行简单计算 3.会用矢量图表示速度变化量与速度之间的关系，理解加速度与速度、速度 变化量的区别 4.体会匀速圆周运动向心加速度方向的分析方法 5.知道变速圆周运动的向心加速度的方向和加速度公式 【学习重点】 【学习难点】 向心加速度的确定方法和计算公式 向心加速度方向的确定过程和向心加速度公式的应用 自主学习 1．圆周运动，即使是匀速圆周运动，由于运动方向在不断________， 所以也是 运动．既然是________运动，就会有________． 请同学们阅读 课本于课前完成本 部分内容
5-5 机器人动力学建模(拉格朗日方程方法)
拉格朗日方程刚体动力学方程：拉格朗日动力学方程拉格朗日函数L被定义为系统的动能K和位能P之差，即=-L PK动能位能拉格朗日方程系统动力学方程，即拉格朗日方程如下：,1,2,i i i d L L i n dt qq ∂∂=-=∂∂ F 式中，q i 表示坐标， 为速度，F i 为作用在第i 个坐标上的力或力矩。
i q ∙动能1n k ki i E E ==∑1(,)()2T k E D =q q q q q势能00T pi i ciE m =-g p 1n P Pi i E E ==∑势能d L L dt ∂∂=-∂∂τqq K K P E E E d dt ∂∂∂=-+∂∂∂τq q q两连杆机械手示例二连杆机械手的动能与位能21111111111111,,,cos 2K m v v d P m gh h d θθ====- 则有：22111111111,cos 2K m d P m gd θθ==- 二连杆机械手动能与位能再求连杆2的动能K 2和位能P 2。
已知22222221,2K m v P m gy ==动能与位能再求连杆2的动能K 2和位能P 2。
已知式中()()222222211212211212sin sin cos cos v x y x d d y d d θθθθθθ=+=++=--+ ()()()222222211221221221122211221211cos 22cos cos K m d m d m d d P m gd m gd θθθθθθθθθθ⎧=++++⎪=>⎨⎪=--+⎩动能与位能这样，二连杆机械手系统的总动能和总位能分别为(10.3)21K K K +=2222121122122212211211()()22cos ()m m d m d m d d θθθθθθθ=+++++ 21P P P +=)cos(cos )(21221121θθθ+-+-=gd m gd m m拉格朗日动力学方程二连杆机械手系统的拉格朗日函数L 为：L K P=-)2(21)(21222121222212121θθθθθ ++++=d m d m m 221221121211cos ()()cos m d d m m gd θθθθθ++++ 2212cos()m gd θθ++拉格朗日动力学方程二连杆机械手系统的拉格朗日函数L 为：n i q L qL dt d i i i ,2,1,=∂∂-∂∂=F 代入拉格朗日方程拉格朗日动力学方程代入拉格朗日方程后，可求得力矩T 1和T 2的动力学方程式：111d L L T dt θθ∂∂=-∂∂ ()()()()2212122212212222122221221222122212112212=2cos cos 2sin sin sin sin m m d m d m d d m d m d d m d d m d d m m gd m gd θθθθθθθθθθθθ⎡⎤+++⎣⎦++--++++拉格朗日动力学方程代入拉格朗日方程后，可求得力矩T 1和T 2的动力学方程式：222d L L T dt θθ∂∂=-∂∂ ()()2222221221222212212212cos sin sin m d m d d m d m d d m gd θθθθθθθ=+++++拉格朗日动力学方程式（10.6）和（10.7）的一般形式和矩阵形式如下：2211111221111122211212121211T D D D D D D D θθθθθθθθ=++++++ 2222112222111222221212221212T D D D D D D D θθθθθθθθ=++++++ (10.8)(10.9)拉格朗日动力学方程⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡2112212212121211122221222211122111212221121121D D D D D D D D D D D D D D T T θθθθθθθθ (10.10)⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡2112212212121211122221222211122111212221121121D D D D D D D D D D D D D D T T θθθθθθθθ 拉格朗日动力学方程耦合惯量：关节i,j 的加速度在关节j,i 上产生的惯性力(10.10)⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡2112212212121211122221222211122111212221121121D D D D D D D D D D D D D D T T θθθθθθθθ 拉格朗日动力学方程向心加速度系数：关节i,j 的速度在关节j,i 上产生的向心力(10.10)拉格朗日动力学方程哥氏加速度系数：关节j,k 的速度引起的在关节i上产生的哥氏力⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡2112212212121211122221222211122111212221121121D D D D D D D D D D D D D D T T θθθθθθθθ (10.10)拉格朗日动力学方程一般形式和矩阵形式如下：2211111221111122211212121211T D D D D D D D θθθθθθθθ=++++++ 2222112222111222221212221212T D D D D D D D θθθθθθθθ=++++++ 重力项：关节i,j 处的重力⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡2112212212121211122221222211122111212221121121D D D D D D D D D D D D D D T T θθθθθθθθ动力学方程的典型形式状态空间方程动力学方程也可以写成如下形式：()()(),++ΘΘΘΘΘτ=M V G拉格朗日动力学方程()()22222122211222122222221222222d m d d m c d m m d m d d m c d m d d m c d m ⎡⎤++++=⎢⎥+⎣⎦ΘM ()2212222122122212212,m d d s m d d s m d d s θθθθ⎡⎤--=⎢⎥⎣⎦ΘΘ V ()()221212112212m d gc m m d gc m d gs ++⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ΘG。
5-5第5节 向心加速度
4．如图5－5－9所示，细绳的一端固定，另一端系一小球，让小球在竖直平面内做圆周运动，关 于小球运动到P点时的加速度方向，图中可能的是( )
解析：竖直面内做圆周运动的小球在P点受到重力和绳拉力的共同作用，由牛顿第二定律可知其加 速度a的方向即为所受二力合力的方向，且指向圆周的内侧，故A、B、C错，D对．
答案：D
A．
B.
C．
D.
图5－5－9
k′，ω＝ k′ (常数)，质点Q的角速度保持不变．因此选项B、C、D
皆不正确．
答案：A
反思：正确理解图像的物理意义和an＝
v2 r
、an＝ω2r的物理意义是
解题的关键．
【变式1】 关于质点的匀速圆周运动，下列说法正确的是( )
A．由a＝vr2，可知a与r成反比
B．由a＝ω2r，可知a与r成正比
C．由v＝ωr，可知ω与r成反比
答案：50 m/s2，方向竖直向上 0 反思：物体在离开圆弧轨道前、后加速度会发生突变，离开C点前运用圆周运动的规律，离开C点 后依据直线运动情况运用相应规律求解有关问题．
【变式2】 如图5－5－6所示，一小球质量为m，用长为L的悬线
固定于O点，O点正下方
L 3
处有一长钉子，将悬线沿水平方向拉直后无
图5－5－4
解析：由图像知，质点P的向心加速度随半径r的变化曲线是双曲
线，因此可以断定质点P的向心加速度aP与半径r的积是一个常数k，即
aPr＝
k，aP＝
k r
，与向心加速度计算公式aP＝
v2 r
对照可得v2＝
k，即质点
的线速度v＝ k，大小不变，A选项正确．
同理，知道 Q质点的向心加速度 aQ＝k′r与 a＝ ω2r对照可知 ω2＝
：第五章-第五节《向心加速度》(共30张PPT)
G
一、小球受力分析
FN OO F
G
FN与G相抵消，所以合力为F
讨论
一、感知加速度的方向
我们这节课要研究的是匀速圆周运动的加速度，可是以上两个 例题却在研究物体所受的力，这不是“南辕北辙”了吗?
由于我们之前没有研究过曲线运动的加速度问题，特别是加速度的方向较难 理解，而牛顿第二定律告诉我们，物体的加速度方向总是和它的受力方向一致， 这个关系不仅对直线运动正确，对曲线运动也同样正确．所以先通过研究力来感 知加速度，特别是加速度的方向．但我们具体研究时仍要根据加速度的定义来进 行，为了进一步增加感性认识，请同学们再举出几个类似的做圆周运动的实例， 并就刚才讨论的类似问题进行说明．
a= v2/r
方向： 总指向圆心，向心加速度的方向是
不断变化的。
三、向心加速度
1. 大小： a= r2
a= v2/r
方向： 总指向圆心，向心加速度的方向是
不断变化的。
2. 意义：向心加速度只是描述线速度方向变 化的快慢。
三、向心加速度
1. 大小： a= r2
a= v2/r
方向： 总指向圆心，向心加速度的方向是
湖南长郡卫星远程学校
制作 10
2014年下学期
一、小球受力分析
做匀速圆 周运动的物体， 合外力指向圆 心，与速度 v 垂直。
O O
F
v
一、小球受力分析
做匀速圆
周运动的物体， 合外力指向圆
O O
F
心，与速度 v 垂直。
F v
v
一、小球受力分析
v
做匀速圆
周运动的物体， 合外力指向圆
F
O O
F
心，与速度 v 垂直。
5-6向心加速度
D．匀速圆周运动的向心加速度是恒定不变的
答案：A
v2 1 2 (1)由 an＝ r 知：r 一定时，an∝v ；v 一定时，an∝ r ； an 一定时，r∝v2； (2)由 an＝rω2 知： 一定时， n∝ω2； 一定时， n∝r； r a ω a 1 an 一定时，r∝ 2. ω
特别提醒：
(1)上述向心加速度的表达式中，an均与两个物理量有 关，在讨论与其中某一个量的关系时，要注意另一个量是 否发生变化． (2)做变速圆周运动的物体，加速度并不指向圆心，该
合加速度有两个分量：一是向心加速度；二是切向加速度，
切向加速度改变速度大小．
自行车的大齿轮、小齿轮、后轮是相互关联的三个转 动部分，行驶时 ( )
假设你驾驶超级赛车做匀速圆周运动的半径约为地 球的半径(如图所示)，R＝R 地 ≈6400km，汽车的线速度大 小是v＝100m/s，将这个匀速圆周运动看成是匀速直线运 动你认为可以吗？试论证之．
证明：由题意知此汽车做匀速圆周运动的向心加速度 v2 1002 为：an＝ R ＝ m/s2≈1.56×10－ 3m/s2.向心加速度改 6.4×106 变汽车的运动方向， 但在不太大的空间范围内， 100km， 如 1×105 l 物体转过的角度为：θ＝ ×360°＝ 2πR 2π×6.4×106 ×360° ≈0.90° ，这样，an＝1.56×10－3m/s2 的加速度可以忽 略．所以在不太大的空间范围内可以将此汽车的运动看作 匀速直线运动．
B．向心加速度只改变线速度的方向，不改变线速度 的大小
C．向心加速度大小恒定，方向时刻改变
vt－v0 D．向心加速度的大小也可用 a＝ t 来计算
解析：加速度是描述速度变化快慢的物理量，向心加 速度是描述线速度方向变化快慢的物理量，因此 A 错，B 对．只有匀速圆周运动的向心加速度大小恒定，C 错．公 vt－v0 式 a＝ t 适用于匀变速运动， 圆周运动是非匀变速运动， D 错．