2014-2015年北京市丰台区高二下学期期中数学试卷与解析PDF(理科)(a卷)
2014-2015学年北京市丰台区高二（下）期中数学试卷（理科）（A卷）一.选择题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（4分）在某校选修篮球课程的学生中，高一年级有40名，高二年级有50名．现用分层抽样的方法在这90名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了8名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为（）A．15 B．12 C．10 D．82．（4分）如图程序段运行时输出的结果是（）A．12，5 B．12，21 C．21，5 D．21，123．（4分）如图，矩形ABCD中，点E为边CD的中点，若在矩形ABCD内部随机取一个点Q，则点Q取自△ABE内部的概率等于（）A．B．C．D．4．（4分）为了考察两个变量x和y之间的线性相关性，甲、乙两位同学各自独立地做100次和150次试验，并且利用线性回归方法，求得回归直线分别为t1和t2，已知两人在试验中发现对变量x的观测数据的平均值都是s，对变量y的观测数据的平均值都是t，那么下列说法正确的是（）A．t1和t2有交点（s，t）B．t1与t2相交，但交点不一定是（s，t）C．t1与t2必定平行D．t1与t2必定重合5．（4分）当n=4时，执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．6 B．14 C．30 D．626．（4分）如图所示，给出的是计算1+++…+的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是（）A．n=﹣11？B．n≤﹣10？C．i≥10？D．i≥11？7．（4分）如图所示，样本A和B分别取自两个不同的总体，它们的样本平均数分别为、，样本标准差分别为S A，S B，则（）A．＞，S A＞S B B．＜，S A＞S BC．＞，S A＜S B D．＜，S A＜S B8．（4分）从0，9，8，7，6，5这6个数字中选出4个，可组成无重复数字的四位偶数的个数为（）A．328个B．132个C．156个D．144个9．（4分）下面的茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次阅读测试中的成绩（单位：分），已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y 的值分别为（）A．5，8 B．5，5 C．6，8 D．8，810．（4分）将1，2，3，4，5这5个数字任意排成一列，设事件A表示“排列中相邻两个数字的差的绝对值大于1且小于4”，则事件A出现的概率是（）A．B．C．D．二.填空题共6个小题，每小题4分，共24分．11．（4分）将101 101（2）化为十进制数，结果为．12．（4分）整数221与357的最大公约数．13．（4分）某人的年龄x与脂肪含量百分比y的统计数据如表根据上表可得回归方程=x+中的为0.62，据此模型预测此人60岁时的脂肪含量百分比为．14．（4分）在6件产品中，有4件一等品和2件二等品，从中任取2件，那么“至少有一件二等品”的概率为．15．（4分）某初级中学有学生270人，其中一年级108人，二、三年级各81人，现要利用抽样方法抽取10人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案，使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按一、二、三年级依次统一编号为1，2，…，270，使用系统抽样时，将学生统一随机编号为1，2，…，270，并将整个编号依次分为10段，如果抽得号码有下列四种情况：①7，34，61，88，115，142，169，196，223，250；②5，9，100，107，111，121，180，195，200，265；③11，38，65，92，119，146，173，200，227，254；④30，57，84，111，138，165，192，219，246，270．则上述样本中既有可能为系统抽样又有可能为分层抽样的是．16．（4分）若对于任意的实数x，有x3=a0+a1（x﹣2）+a2（x﹣2）2+a3（x﹣2）3，则a2的值为．三、解答题共4个小题，共36分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．17．（9分）某种产品的加工需要经过A，B，C，D，E共5道工序．（Ⅰ）如果A工序不能放在最后，有多少种排列加工顺序的方法？（Ⅱ）如果A，C两道工序既不能放在最前，也不能放在最后，有多少种排列加工顺序的方法？18．（9分）假设有6个大学生，把他们分别记为Z，Q，S，L，W，X．他们应聘某单位的工作，但只有3个岗位，因此6人中仅有三人被录用．如果6个人被录用的机会相等，分别计算下列事件的概率：（1）S和X各自得到一个岗位；（2）S或X得到一个岗位．19．（9分）已知（x﹣2）7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7，求下列各式的值．（1）a1+a2+…+a7；（2）a1+a4；（3）|a0|+|a1|+…+|a7|．20．（9分）为了了解一个小水库中养殖的鱼有关情况，从这个水库中多个不同位置捕共捞出100条鱼，称得每条鱼的质量（单位：千克），并将所得数据分组，画出频率分布直方图（如图所示）．（Ⅰ）求直方图中x的值；（Ⅱ）估计数据落在（1.7，2.5）中的频率为多少；（Ⅲ）若以样本的频率为概率，从上面捕捞的100条鱼中随机捞出4条鱼，试求其中恰有两条鱼在[1.5，2）中的概率．2014-2015学年北京市丰台区高二（下）期中数学试卷（理科）（A卷）参考答案与试题解析一.选择题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（4分）在某校选修篮球课程的学生中，高一年级有40名，高二年级有50名．现用分层抽样的方法在这90名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了8名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为（）A．15 B．12 C．10 D．8【解答】解：高一年级有40名学生，在高一年级的学生中抽取了8名，∴每个个体被抽到的概率是=，又高二年级有50名学生，∴要抽取50×=10名学生．故选：C．2．（4分）如图程序段运行时输出的结果是（）A．12，5 B．12，21 C．21，5 D．21，12【解答】解：A=3，B=3×3=9，A=3+9=12，B=9+12=21，故最后输出12，21．故选：B．3．（4分）如图，矩形ABCD中，点E为边CD的中点，若在矩形ABCD内部随机取一个点Q，则点Q取自△ABE内部的概率等于（）A．B．C．D．【解答】解：由几何概型的计算方法，可以得出所求事件的概率为P=．故选：C．4．（4分）为了考察两个变量x和y之间的线性相关性，甲、乙两位同学各自独立地做100次和150次试验，并且利用线性回归方法，求得回归直线分别为t1和t2，已知两人在试验中发现对变量x的观测数据的平均值都是s，对变量y的观测数据的平均值都是t，那么下列说法正确的是（）A．t1和t2有交点（s，t）B．t1与t2相交，但交点不一定是（s，t）C．t1与t2必定平行D．t1与t2必定重合【解答】解：∵两组数据变量x的观测值的平均值都是s，对变量y的观测值的平均值都是t，∴两组数据的样本中心点都是（s，t），∵数据的样本中心点一定在线性回归直线上，∴回归直线t1和t2都过点（s，t），∴两条直线有公共点（s，t）．故选：A．5．（4分）当n=4时，执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．6 B．14 C．30 D．62【解答】解：由程序框图可知：k=1，s=2k=2，s=6k=3，s=14k=4，s=30k=5＞4，退出循环，输出s的值为30．故选：C．6．（4分）如图所示，给出的是计算1+++…+的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是（）A．n=﹣11？B．n≤﹣10？C．i≥10？D．i≥11？【解答】解：第1次循环得到的结果为s=1，n=﹣1，i=2第2次循环得到的结果为s=1+，n=﹣2，i=3第3次循环得到的结果为s=1++，n=﹣3，i=4…第10次循环得到的结果为s=1+++…+，n=﹣10，i=11第11次循环得到的结果为s=1+++…++，n=﹣11，i=12此时n=﹣11满足判断中的条件，输出s的值故判断框中的条件为n=﹣11．故选：A．7．（4分）如图所示，样本A和B分别取自两个不同的总体，它们的样本平均数分别为、，样本标准差分别为S A，S B，则（）A．＞，S A＞S B B．＜，S A＞S BC．＞，S A＜S B D．＜，S A＜S B【解答】解：∵样本A的数据均不大于10，而样本B的数据均不小于10，显然＜，由图可知A中数据波动程度较大，B中数据较稳定，∴s A＞s B．故选：B．8．（4分）从0，9，8，7，6，5这6个数字中选出4个，可组成无重复数字的四位偶数的个数为（）A．328个B．132个C．156个D．144个【解答】解：根据题意，要求组成的四位数为四位偶数，则其个位数字必须是0、6、8中的一个；分2种情况讨论：①、0在个位，在9，8，7，6，5这5个数字中选出3个，安排在前三个数位，有A53=60种情况，此时可以组成60个四位偶数；②、6或8在个位，则个位有2种情况，在其他非0的4个数字中选出1个，安排在首位，有4种情况，在剩下的4个数字中，任选2个，安排在中间两个数位，有A42=12种情况，此时可以组成2×4×12=96个四位偶数；则一共可以组成60+96=156个四位偶数；故选：C．9．（4分）下面的茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次阅读测试中的成绩（单位：分），已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y 的值分别为（）A．5，8 B．5，5 C．6，8 D．8，8【解答】解：根据茎叶图中的数据，得：∵甲组数据的中位数为15，∴x=5；又∵乙组数据的平均数为16.8，∴=16.8，解得：y=8；综上，x、y的值分别为5、8．故选：A．10．（4分）将1，2，3，4，5这5个数字任意排成一列，设事件A表示“排列中相邻两个数字的差的绝对值大于1且小于4”，则事件A出现的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：将1，2，3，4，5这5个数字任意排成一列，基本事件总数n==120，事件A表示“排列中相邻两个数字的差的绝对值大于1且小于4”，则事件A包含的基本事件有：13524；14253；24135；25314；35241；31425；42531；41352；53142；52413；共有10个．则事件A出现的概率：=．故选：B．二.填空题共6个小题，每小题4分，共24分．11．（4分）将101 101（2）化为十进制数，结果为45．【解答】解：101101=1×20+0×21+1×22+1×23+0×24+1×25（2）=1+4+8+32=45．故答案为：45．12．（4分）整数221与357的最大公约数17．【解答】解：利用辗转相除法：357=221×1+136，221=136×1+85，136=85×1+51，85=51×1+34，51=34×1+17，34=17×2，则整数221与357的最大公约数是17．故答案为：17．13．（4分）某人的年龄x与脂肪含量百分比y的统计数据如表根据上表可得回归方程=x+中的为0.62，据此模型预测此人60岁时的脂肪含量百分比为36.5．【解答】解：由题意可得：，则：，回归方程为：，据此预测：此人60岁时的脂肪含量百分比为y=0.62×60﹣0.7=36.5．故答案为：36.5．14．（4分）在6件产品中，有4件一等品和2件二等品，从中任取2件，那么“至少有一件二等品”的概率为．【解答】解：方法一：由题意可得：在6件产品中任取2件，有=15种取法至少有一件二等品有两种情况：一件二等品，一件一等品，有•种，两件二等品，有种∴至少有一件二等品有•+=9种，∴“至少有一件二等品”的概率为=故答案为：，方法二：6件产品任取两件的事件的个数为：=15，“至少有一件二等品”的个数为：﹣=15﹣6=9，∴“至少有一件二等品”的概率P==，故答案为：．15．（4分）某初级中学有学生270人，其中一年级108人，二、三年级各81人，现要利用抽样方法抽取10人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案，使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按一、二、三年级依次统一编号为1，2，…，270，使用系统抽样时，将学生统一随机编号为1，2，…，270，并将整个编号依次分为10段，如果抽得号码有下列四种情况：①7，34，61，88，115，142，169，196，223，250；②5，9，100，107，111，121，180，195，200，265；③11，38，65，92，119，146，173，200，227，254；④30，57，84，111，138，165，192，219，246，270．则上述样本中既有可能为系统抽样又有可能为分层抽样的是①③．【解答】解：根据题意，分析所抽得的号码可得：①在1﹣﹣108之间的有4个，109﹣﹣189之间的有3个，190到270之间的有3个；符合分层抽样的规律，可能是分层抽样得到的；同时，每个数据与前一个的差都为27，符合系统抽样的规律，也可能是系统抽样得到的；②在1﹣﹣108之间的有4个，109﹣﹣189之间的有3个，190到270之间的有3个；符合分层抽样的规律，可能是分层抽样得到的；同时，每个数据与前一个的差不为27，不符合系统抽样的规律，不可能是系统抽样得到的；③在1﹣﹣108之间的有4个，109﹣﹣189之间的有3个，190到270之间的有3个；符合分层抽样的规律，可能是分层抽样得到的；同时，每个数据与前一个的差都为27，符合系统抽样的规律，也可能是系统抽样得到的；④在1﹣﹣108之间的有3个，109﹣﹣189之间的有4个，190到270之间的有3个；不符合分层抽样的规律，不是分层抽样得到的；同时，有相邻两个数据的差不是27，不符合系统抽样的规律，不可能是系统抽样得到的；综上，上述样本中既有可能为系统抽样又有可能为分层抽样的是①③．故答案为：①③．16．（4分）若对于任意的实数x，有x3=a0+a1（x﹣2）+a2（x﹣2）2+a3（x﹣2）3，则a2的值为6．【解答】解：x3=（2+x﹣2）3，=C3r23﹣r（x﹣2）r其展开式的通项为T r+1故a2=C32×2=6故答案为：6．三、解答题共4个小题，共36分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．17．（9分）某种产品的加工需要经过A，B，C，D，E共5道工序．（Ⅰ）如果A工序不能放在最后，有多少种排列加工顺序的方法？（Ⅱ）如果A，C两道工序既不能放在最前，也不能放在最后，有多少种排列加工顺序的方法？【解答】解：（Ⅰ）根据题意，A工序不能放在最后，则A有4个位置可选，在剩余的4个位置安排其余4道工序，有A44=24种情况，则共有4×24=96种排列加工顺序的方法；（Ⅱ）A，C两道工序既不能放在最前，也不能放在最后，需要在中间的三道工序中任取2道，安排A、C，有A32=6种情况，将剩余的3到工序全排列，安排在剩下的3个位置，有A33=6种情况，则有6×6=36种排列加工顺序的方法．18．（9分）假设有6个大学生，把他们分别记为Z，Q，S，L，W，X．他们应聘某单位的工作，但只有3个岗位，因此6人中仅有三人被录用．如果6个人被录用的机会相等，分别计算下列事件的概率：（1）S和X各自得到一个岗位；（2）S或X得到一个岗位．【解答】解：（1）有6个大学生，把他们分别记为Z，Q，S，L，W，X．他们应聘某单位的工作，但只有3个岗位，因此6人中仅有三人被录用．如果6个人被录用的机会相等，S和X各自得到一个岗位的概率：p1==．（2）S或X得到一个岗位的概率：p2==．19．（9分）已知（x﹣2）7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7，求下列各式的值．（1）a1+a2+…+a7；（2）a1+a4；（3）|a0|+|a1|+…+|a7|．【解答】解：（x﹣2）7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7，（1）令x=0，可得a0=﹣27=﹣128．令x=1，可得a0+a1+a2+…+a7=﹣1．那么：a1+a2+…+a7=127．（2）二项展开式的通项为T r=C7r（x）7﹣r（﹣2）r=（﹣2）r C7r（x）7﹣r+1∴r=6时，可得a1=（﹣2）6C76=﹣64×7=﹣448．r=4时，可得a4=（﹣2）4C74=640．∴a 1+a4=192．（3）由T r=C7r（x）7﹣r（﹣2）r=（﹣2）r C7r（x）7﹣r+1要得|a0|+|a1|+…+|a7|，可得通项为（2）r C7r（x）7﹣r即（x+2）7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7，令x=1，可得|a0|+|a1|+…+|a7|=37．20．（9分）为了了解一个小水库中养殖的鱼有关情况，从这个水库中多个不同位置捕共捞出100条鱼，称得每条鱼的质量（单位：千克），并将所得数据分组，画出频率分布直方图（如图所示）．（Ⅰ）求直方图中x的值；（Ⅱ）估计数据落在（1.7，2.5）中的频率为多少；（Ⅲ）若以样本的频率为概率，从上面捕捞的100条鱼中随机捞出4条鱼，试求其中恰有两条鱼在[1.5，2）中的概率．【解答】解：（Ⅰ）由频率分布直方图的性质得：（0.1+0.4+x+0.6+0.3+0.04）×0.5=1，解得直方图中x=0.56．（Ⅱ）∵数据落在[1.5，2）的频率为0.6×0.5=0.3，数据落在[2，2.5）的频率为0.3×0.5=0.15，∴估计数据落在（1.7，2.5）中的频率为：=0.33．（Ⅲ）数据落在[1.5，2）的频率为0.6×0.5=0.3，以样本的频率为概率，从上面捕捞的100条鱼中随机捞出4条鱼，其中恰有两条鱼在[1.5，2）中的概率p==0.2646．赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.2.如图，已知四边形ABCD 内接于⊙O ，对角线AC ⊥BD 于P ，设⊙O 的半径是2。
北京四中2014-2015学年下学期高二年级期中考试数学试卷(理科) 后有答案
北京四中2014-2015学年下学期高二年级期中考试数学试卷（理科）试卷分为两卷，卷（Ⅰ）100分，卷（Ⅱ）50分，满分共计150分。
卷（Ⅰ）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
1. 设i 为虚数单位，则31t ＝（ ） A. iB. －iC. 1D. －12. 函数x xe y =的导函数y '＝（ ） A. xxeB. xeC. xe +1D. x e x )1(+3.⎰+1)2(dx x e x 等于（ ）A. 1B. 1-eC. eD. 1+e4. 在复平面内，复数iiz -=1（i 是虚数单位）对应的点位于（ ） A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限5. 函数x x x f ln 3)(+=的单调递增区间为（ ） A. ⎪⎭⎫ ⎝⎛e 1,0B. ),(+∞eC. ⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,1eD. ⎪⎭⎫ ⎝⎛e e ,16. 由直线0,3,3==-=y x x ππ与曲线x y cos =所围成的封闭图形的面积为（ ）A.21B. 1C.23 D.37. 函数)(x f 是定义在),(+∞-∞内的可导函数，且满足：0)()(>>'x f x f x ，对于任意的正实数b a ,，若b a >，则必有（ ）A. )()(a bf b af >B. )()(b af a bf >C. )()(b bf a af <D. )()(b bf a af >8. 函数nmx ax x f )1()(-=在区间]1,0[上的图象如图所示，则n m ,的可能值是（ ）A. 1,1==n mB. 2,1==n mC. 1,2==n mD. 1,3==n m二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
9. 设i 是虚数单位，复数iai-+21为纯虚数，则实数a 的值为____________。
10. 已知R b a ∈,，i 是虚数单位，若i a -与bi +2互为共轭复数，则=+2)(bi a ____________。
2014-2015年北京市丰台区高二下学期期中数学试卷及参考答案(理科)(a卷)
A．12，5
B．12，21 C．21，5
D．21，12
3． （4 分）如图，矩形 ABCD 中，点 E 为边 CD 的中点，若在矩形 ABCD 内部随机 取一个点 Q，则点 Q 取自△ABE 内部的概率等于（ ）
A．
B．
C．
D．
4． （4 分）为了考察两个变量 x 和 y 之间的线性相关性，甲、乙两位同学各自独 立地做 100 次和 150 次试验，并且利用线性回归方法，求得回归直线分别为 t1 和 t2，已知两人在试验中发现对变量 x 的观测数据的平均值都是 s，对变量 y 的 观测数据的平均值都是 t，那么下列说法正确的是（ A．t1 和 t2 有交点（s，t） B．t1 与 t2 相交，但交点不一定是（s，t） C．t1 与 t2 必定平行 D．t1 与 t2 必定重合 ）
①7，34，61，88，115，142，169，196，223，250； ②5，9，100，107，111，121，180，195，200，265； ③11，38，65，92，119，146，173，200，227，254； ④30，57，84，111，138，165，192，219，246，270． 则上述样本中既有可能为系统抽样又有可能为分层抽样的是 ．
16． （4 分）若对于任意的实数 x，有 x3=a0+a1（x﹣2）+a2（x﹣2）2+a3（x﹣2）3， 则 a2 的值为 ．
三、解答题共 4 个小题，共 36 分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 17． （9 分）某种产品的加工需要经过 A，B，C，D，E 共 5 道工序． （Ⅰ）如果 A 工序不能放在最后，有多少种排列加工顺序的方法？ （Ⅱ）如果 A，C 两道工序既不能放在最前，也不能放在最后，有多少种排列加 工顺序的方法？ 18． （9 分）假设有 6 个大学生，把他们分别记为 Z，Q，S，L，W，X．他们应聘 某单位的工作，但只有 3 个岗位，因此 6 人中仅有三人被录用．如果 6 个人被录 用的机会相等，分别计算下列事件的概率： （1）S 和 X 各自得到一个岗位； （2）S 或 X 得到一个岗位． 19． （9 分）已知（x﹣2）7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7，求下列各式的值． （1）a1+a2+…+a7； （2）a1+a4； （3）|a0|+|a1|+…+|a7|． 20． （9 分）为了了解一个小水库中养殖的鱼有关情况，从这个水库中多个不同 位置捕共捞出 100 条鱼，称得每条鱼的质量（单位：千克） ，并将所得数据分组， 画出频率分布直方图（如图所示） ．
北京市重点中学2014-2015学年高二下学期期中考试数学(理)试卷Word版含答案
．
x
15．在平面上，我们用一直线去截正方形的一个角，那么截下的一个
直角三角形，按如图所标边长，由勾股定理有 c 2 a 2 b 2．设想正方形
换成正方体，把截线换成如图截面，这时从正方体上截下三条侧棱两
两垂直的三棱锥 O LMN ，如果用 S1 , S2 , S3 表示三个侧面面积， S4 表示
截面面积，那么类比得到的结论是
件
C. 在用分析法证明的过程中，每一个分步结论都是条件成立的充分条
件
D. 在用分析法证明的过程中，每一个分步结论都是结论成立的必要条
件
6．设函数 f (x) xln x ，则 f (x) 的极小值点为（ ）
A. x e
B.
x ln 2
C.
x e2
D.
x1
e
7．已知 21 1 2 ， 22 1 3 3 4 ， 23 1 3 5 4 5 6 , ．．．，以此类推，
北京市 2014～ 2015 学年度第二学期期中考试
高 二数学（理）试卷
( 考试时间： 100 分钟 总分： 100 分)
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分. 在每小题给出
的四个选项中，只有一项是符合要求的 . ）
1．已知复数 z 满足： zi 2 i （ i 是虚数单位），则 z 的虚部为（ ）
A． 2 2i
B
． 2 2i
C
．1 i
D ．1 i
9．已知函数 f x 1 x2 cos x, f x 是函数 f x 的导函数，则 f x 的图
4
象大致是（ ）
10．设函数 y f x 在区间 a,b 上的导函数为 f x ，f x 在区间 a,b 上 的导函数为 f x ，若区间 a,b 上 f x 0 ，则称函数 f x 在区间 a,b 上
2014-2015年北京师大实验中学高二(下)期中数学试卷(理科)和答案
13． （5 分）如图，一矩形铁皮的长为 8cm，宽为 5cm，在四个角上截去四个相同 的小正方形，制成一个无盖的小盒子，问小正方形的边长为 容积最大，最大容积是 ． 时，盒子
14． （5 分）如果对定义在 R 上的函数 f（x） ，以任意两个不相等的实数 x1，x2， 都有 x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f（x2）+x2f（x1） ，则称函数 f（x）为“H 函数” ．给 出下列函数： ①y＝﹣x3+x+1； ②y＝3x﹣2（sin x﹣cos x） ； ③y＝ex+1； ④f（x）＝ 以上函数是“H 函数”的所有序号为 ．
﹣2x+5，当 x∈[﹣1，2]时，f（x）＜m 恒成立，
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则实数 m 的取值范围为
．
18． （5 分）若集合{a，b，c，d}＝{1，2，3，4}，且下列四个关系： ①a＝1；②b≠1；③c＝2；④d≠4 有且只有一个是正确的，则符合条件的有序 数组（a，b，c，d）的个数是 ．
＜f（n） （n≥2，n∈N*） ） D．2k 项
B．c＜b＜a
C．c＜a＜b
D．b＜a＜c
8． （5 分） 观察下列各式： a+b＝1， a2+b2＝3， a3+b3＝4， a4+b4＝7， a5+b5＝11， …， 则 a10+b10＝（ A．28 ） B．76 C．123
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． （写出所有真命题的序号）
三、解答题（共 3 小题，满分 30 分） 21． （10 分）已知复数 z 满足：|z|＝1+3i﹣z． （Ⅰ）求复数 z； （Ⅱ）若 z1＝ ，求 ． + ＞ +
2014—2015学年高二下学期期中考试 数学理 Word版含答案
2014—2015学年高二年级下期期中试题第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题：（本题共10个小题，每小题5分，共50分，每个小题给出的四个选项中，只有唯一个选项是符合题目要求的，请将正确答案的序号填涂在机读卡上。
） 1、i 是虚数单位，计算23i i i ++=（ ）A.i -B.i C ．－1 D.12、若32A 12n n C =，则n =（ ）A.8B.7C.6D.4 3、6个人排队，其中甲、乙、丙3人两两不相邻的排法有( ) A ．30种 B ．144种 C ．5种D ．4种4、化简()()()()43244464441x x x x -+-+-+-+得( )A.4xB.()44x -C.()41x + D.5x5、从6双不同颜色的手套中任取4只，其中恰好有一双同色的取法有（ ） A.120 B.60 C.240 D.1806、设()f x '是函数f(x)的导函数，将y ＝f(x)和)(x f y '=的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是( )7、在以下命题中，不正确的个数为( )①|a |－|b |＝|a ＋b |是a ，b 共线的充要条件；②若a ∥b ，则存在唯一的实数λ，使a ＝λb ；③对空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，若22OP OA OB OC →→→→=--，则P ，A ，B ，C 四点共面；④若{a ，b ，c }为空间的一组基底，则{a ＋b ，b ＋c ，c ＋a }构成空间的另一组基底；⑤|(a ·b )·c |＝|a |·|b |·|c |.()00,0x R f x ∃∈=使A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个8、已知函数()32f x x ax bx c =+++,那么下列结论中错误的是（ ） A. B.函数()y f x =的图像是中心对称图形C ．若0x 是()f x 的极小值点,则()f x 在区间0(,)x -∞上单调递减D ．若0x 是()f x 的极值点,则0'()0f x =9、已知OA →＝(1,2,3)，OB →＝(2,1,2)，OP →＝(1,1,2)，点Q 在直线OP 上运动，则当QA QB →→⋅取得最小值时，点Q 的坐标为( )A.131243⎛⎫ ⎪⎝⎭，，B. 448333⎛⎫ ⎪⎝⎭，，C.133224⎛⎫⎪⎝⎭，， D.447333⎛⎫⎪⎝⎭，， 10、若[0,)x ∈+∞，则下列不等式恒成立的是（ ）211124x x <-+ B. 21ln(1)8x x x +-… C. 21x e x x ++… D. 21cos 12x x -…第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、填空题：（本题共5个小题，每小题5分，共25分，请把答案填在答题卡上。
2014北京理科数学试题及标准答案(word解析版)
2014年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学（理科）第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． （1）【2014年北京，理1，5分】已知集合2{|20}A x x x =-=，{0,1,2}B =，则A B =（ ）（A ）{0} （B ）{0,1} （C ）{0,2} （D ）{0,1,2} 【答案】C【解析】集合{}{}2|2002A x x x =-==,．故{}02AB =,，故选C ．（2）【2014年北京，理2，5分】下列函数中，在区间(0,)+∞上为增函数的是（ ）（A）y = （B ）2(1)y x =- （C ）2x y -= （D ）0.5log (1)y x =+ 【答案】A【解析】对于A，y =[)1-+∞，上为增函数，符合题意，对于B ，2(1)y x =-在(01)，上为减函数，不合题意，对于C ，2x y -=为()-∞+∞，上的减函数，不合题意，对于D ，0.5log (1)y x =+为(1)-+∞，上的减函数，不合题意，故选A ．（3）【2014年北京，理3，5分】曲线1cos 2sin x y θθ=-+⎧⎨=+⎩（θ为参数）的对称中心（ ）（A ）在直线2y x =上 （B ）在直线2y x =-上 （C ）在直线1y x =-上 （D ）在直线1y x =+上【答案】B【解析】参数方程1cos 2sin x y θθ=-+⎧⎨=+⎩，所表示的曲线为圆心在(12)-，，半径为1的圆．其对称中心为圆心(12)-，．逐个代入选项可知，(12)-，在直线2y x =-上，故选B ．（4）【2014年北京，理4，5分】当7,3m n ==时，执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ）（A ）7 （B ）42 （C ）210 （D ）840 【答案】C【解析】当m 输入的7m =，3n =时，判断框内的判断条件为5k <．故能进入循环的k 依次为7，6，5．顺次执行S S k =⋅，则有765210S =⋅⋅=，故选C ．（5）【2014年北京，理5，5分】设{}n a 是公比为q 的等比数列，则“1q >”是“{}n a ”为递增数列的（ ）（A ）充分且不必要条件 （B ）必要且不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 【答案】D【解析】对于等比数列{}n a ，若1q >，则当10a <时有{}n a 为递减数列．故“1q >”不能推出“{}n a 为递增数列”．若{}n a 为递增数列，则{}n a 有可能满足10a <且01q <<，推不出1q >．综上，“1q >”为“{}n a 为递增数列”的既不充分也不必要条件，故选D ．（6）【2014年北京，理6，5分】若,x y 满足20200x y kx y y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩且z y x =-的最小值为4-，则k 的值为（ ）（A ）2 （B ）2- （C ）12 （D ）12- 【答案】D【解析】若0k ≥，z y x =-没有最小值，不合题意．若0k <，则不等式组所表示的平面区域如图所示．由图可知，z y x =-在点20k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，处取最小值．故204k ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭，解得12k =-，故选D ．（7）【2014年北京，理7，5分】在空间直角坐标系Oxyz 中，已知()2,0,0A ，()2,2,0B ，()0,2,0C，(D ，若1S ，2S ，2S 分别表示三棱锥D ABC -在xOy ，yOz ，zOx 坐标平面上的正投影图形的面积，则（ ） （A ）123S S S == （B ）12S S =且31S S ≠ （C ）13S S =且32S S ≠ （D ）23S S =且13S S ≠【答案】D【解析】D ABC -在xOy 平面上的投影为ABC △，故12S =，设D 在yOz 和zOx 平面上的投影分别为2D 和3D ，则D ABC -在yOz 和zOx 平面上的投影分别为2OCD △和3OAD △．∵(201D ，，(310D ，，故23S S ==D ．（8）【2014年北京，理8，5分】有语文、数学两学科，成绩评定为“优秀”“合格”“不合格”三种．若A 同学每科成绩不低于B 同学，且至少有一科成绩比B 高，则称“A 同学比B 同学成绩好”，现有若干同学，他们之间没有一个人比另一个成绩好，且没有任意两个人语文成绩一 样，数学成绩也一样的．问满足条件的最多有多少学生（ ）（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5 【答案】B【解析】用ABC 分别表示优秀、及格和不及格．显然语文成绩得A 的学生最多只有1个，语文成绩得B 的也最多只有1个，得C 的也最多只有1个，因此学生最多只有3个．显然，（AC ）（BB ）（CA ）满足条件，故学生最多3个，故选B ．第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：共6小题，每小题5分，共30分．（9）【2014年北京，理9，5分】复数21i 1i +⎛⎫= ⎪-⎝⎭．【答案】1-【解析】复数21i (1i)2ii 1i (1i)(1i)2++===--+，故221i ()i 11i+==--．（10）【2014年北京，理10】已知向量a 、b 满足1a =，()2,1b =，且()0a b R λλ+=∈，则λ= ．【解析】由0a b λ+=，有b a λ=-，于是||||||b a λ=⋅，由(21)b =，，可得5b =，又||1a =，故||λ= （11）【2014年北京，理11，5分】设双曲线C 经过点()2,2，且与2214y x -=具有相同渐近线，则C 的方程为________；渐近线方程为______． 【答案】221312x y -=，2y x =±【解析】双曲线2214y x -=的渐近线为2y x =±，故C 的渐近线为2y x =±，设C ：224y x m -= 并将点(22)，代入C 的方程，解得3m =-，故C 的方程为2234y x -=-，即221312x y -=．（12）【2014年北京，理12，5分】若等差数列{}n a 满足7890a a a ++>，7100a a +<，则当n =________时，{}n a 的前n 项和最大． 【答案】8【解析】由等差数列的性质，78983a a a a ++=，71089a a a a +=+，于是有80a >，890a a +<，故90a <．故87S S >，98S S <，8S 为{}n a 的前n 项和n S 中的最大值． （13）【2014年北京，理13，5分】把5件不同产品摆成一排，若产品A 与产品C 不相邻，则不同的摆法有_______种． 【答案】36【解析】先只考虑A 与产品B 相邻．此时用捆绑法，将A 和B 作为一个元素考虑，共有4424A =种方法．而A 和B 有2种摆放顺序，故总计242=48⨯种方法．再排除既满足A 与B 相邻，又满足A 与C 相邻的情况，此时用捆绑法，将A B C ，，作为一个元素考虑，共有33A 6=种方法，而A B C ，，有2种可能的摆放顺序，故总计62=12⨯种方法．综上，符合题意的摆放共有481236-=种．（14）【2014年北京，理14，5分】设函数()sin()f x x ωφ=+，0A >，0ω>若()f x 在学科网区间,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上具有单调性，且2236f f f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则()f x 的最小正周期为________． 【答案】π【解析】由()f x 在区间ππ62⎡⎤,⎢⎥⎣⎦上具有单调性，且ππ26f f ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭知，()f x 有对称中心π03⎛⎫, ⎪⎝⎭，由π2π23f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭知()f x 有对称轴1π27ππ22312x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，记T 为最小正周期，则1ππ2π2263T T -⇒≥≥，从而7πππ1234T T -=⇒=． 三、解答题：共6题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．（15）【2014年北京，理15，13分】如图，在ABC ∆中，3B π∠=，8AB =，点D 在BC 边上，且2CD =，1cos 7ADC ∠=． （1）求sin BAD ∠；（2）求BD ，AC 的长． 解：（1）在ADC ∆中，因为17COS ADC ∠=，所以sin ADC ∠=．所以11sin sin()sin cos cos sin 27BAD ADC B ADC B ADC B ∠=∠-∠=∠-∠=- （2）在ABD ∆中，由正弦定理得8sin 3sin AB BADBD ADB⋅∠===∠， 在ABC ∆中，由余弦定理得2222212cos 85285492AC AB BC AB BC B =+-⋅⋅=+-⨯⨯⨯=，所以7AC =． （16）【2014：（1 （2）从上述比赛中选择一个主场和一个客场，学科网求李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6概率；（3）记x 是表中10个命中次数的平均数，从上述比赛中随机选择一场，记X 为李明在这比赛中的命中次数，比较()E X 与x 的大小（只需写出结论）解：（1）李明在该场比赛中命中率超过0.6的概率有：主场2 主场3 主场5 客场2 客场4所以李明在该场比赛中投篮命中超过0.6的概率51102P ==．（2）李明主场命中率超过0.6概率135P =，命中率不超过0.6的概率为1215P -=，客场中命中率超过0.6概率 225P =，命中率不超过0.6的概率为2315P -=．332213555525P =⨯+⨯=．（3）()E X x =．（17）【2014年北京，理17，14分】如图，正方形AMDE 的边长为2，,B C 分别为,AM MD 的中点，在五棱锥P ABCDE -中，F 为棱PE 的中点，平面ABF 与棱,PD PC 分别交于点,G H ． （1）求证：//AB FG ；（2）若PA ⊥底面ABCDE ，且AF PE ⊥，求直线BC 与平面ABF 所成角的大小，求线段PH 的长． 解：（1）AM ED //，AM ⊄面PED ，ED ⊂面PED ．∴AM ∥面PED ．AM ⊂面ABF ，即AB ⊂面ABF ，面ABF 面PDE FG =∴AB FG ∥．（2）如图建立空间直角坐标系A xyz -，各点坐标如下()0,0,0A ,()0,2,0E ,()1,0,0B ,()2,1,0C ,()0,1,1F ,()0,0,2P ，设面ABF 的法向量为()000,,n x y z =，()1,0,0AB =，()0,1,1AF =，00n AB n AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即00x y z =⎧⎨+=⎩，令1y =，∴()0,1,1n =-，又()1,1,0BC =，∴1sin ,2BC n ==，直线BC 与平面ABF 所成的角为π6．设()111,,H x y z ，由PH tPC =，则()()111,,22,1,2x y z t -=-∴111222x t y tz t =⎧⎪=⎨⎪=-⎩∴()2,,22H t t t -，又H ∈面ABF ，()21,,22BH t t t =--，∴0n BH ⋅=，∴220t t +-=，∴23t =，∴422,,333H ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴424,,333PH ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ∴42PH ⎛= ．（18）【2014年北京，理18，13分】已知函数()cos sin ,[0,]2f x x x x x π=-∈．（1）求证：()0f x ≤；（2）若sin x a b x <<在(0,)2π上恒成立，求a 的最大值与b 的最小值．解：（1）()()cos sin cos sin f x x x x x x x '=+--=-，π02x ⎡⎤∈,⎢⎥⎣⎦时，()0f x '≤，从而()f x 在π02⎡⎤,⎢⎥⎣⎦上单调递减，所以()f x 在π02⎡⎤,⎢⎥⎣⎦上的最大值为()00f =，所以()()00f x f =≤．（2）解法一：当0x >时，“sin x a x >”等价于“sin 0x ax ->”；“sin xb x<”等价于“sin 0x bx -<”，令()sin g x x cx =-，则()cos g x x c '=-．当0c ≤时，()0g x >对任意π02x ⎛⎫∈, ⎪⎝⎭恒成立．当1c ≥时，因为对任意π02x ⎛⎫∈, ⎪⎝⎭，()cos 0g x x c '=-<，所以()g x 在区间π02⎡⎤,⎢⎥⎣⎦上单调递减．从而()()00g x g <=对任意π02x ⎛⎫∈, ⎪⎝⎭恒成立．当01c <<时，存在唯一的0π02x ⎛⎫∈, ⎪⎝⎭，使得()00cos 0g x x c '=-=，且当()00x x ∈,时，()0g x '>，D()g x 单调递增；当0π2x x ⎛⎫∈, ⎪⎝⎭时，()0g x '<，()g x 单调递减．所以()()000g x g >=．进一步，“()0g x >对任意π02x ⎛⎫∈, ⎪⎝⎭恒成立”当且仅当ππ1022g c ⎛⎫=- ⎪⎝⎭≥，即20πc <≤．综上所述，当且仅当2πc ≤时，()0g x >对任意π02x ⎛⎫∈, ⎪⎝⎭恒成立；当且仅当1c ≥时，()0g x <对任意π02x ⎛⎫∈, ⎪⎝⎭恒成立．所以若sin x a b x <<对任意π02x ⎛⎫∈, ⎪⎝⎭恒成立，则a 最大值为2π，b 最小值为1． 解法二：令()sin π02x g x x x ⎛⎤=,∈, ⎥⎝⎦，则()2cos sin x x x g x x ⋅-'=，由⑴知，()0g x '≤，故()g x 在π02⎛⎤, ⎥⎝⎦上单调递减，从而()g x 的最小值为π22πg ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故2πa ≤，a 最大值为2π，b 最小值为1，下面进行证明：()sin h x x bx =-，π02x ⎡⎫∈,⎪⎢⎣⎭，则()cos h x x b '=-，当1b =时，()0h x '≤，()h x 在π02⎡⎫,⎪⎢⎣⎭上单调递减，从而()()max 00h x h ==，所以sin 0x x -≤，当且仅当0x =时取等号．从而当π02x ⎛⎫∈, ⎪⎝⎭时，sin 1x x <．故b 的最小值小于等于1．若1b <，则()cos 0h x x b '=-=在π02⎛⎫, ⎪⎝⎭上有唯一解0x ，且()00x x ∈,时，()0h x '>，故()h x 在()00x ,上单调递增，此时()()00h x h >=,sin sin 0xx bx b x->⇒>与恒成立矛盾，故1b ≥，综上知：b 的最小值为1．（19）【2014年北京，理19，14分】已知椭圆22:24C x y +=．（1）求椭圆C 的离心率；（2）设O 为原点，若点A 在椭圆C 上，点B 在直线2y =上，且OA OB ⊥，求直线AB 与圆222x y +=的位置关系，并证明你的结论．解：（1）由题意，椭圆C 的标准方程为2212x y +=．所以24a =，22b =，从而2222c a b =-=．因此2a =，c 故椭圆C 的离心率2c e a ==．（2）直线AB 与圆222x y +=相切．证明如下：解法一：设点A B ,的坐标分别为()()002x y t ,,,，其中00x ≠．因为OA OB ⊥，所以0OA OB ⋅=，即0020tx y +=，解得002y t x =-．当0x t =时，202t y =-，代入椭圆C 的方程，得t =故直线AB 的方程为x =圆心O 到直线AB 的距离d =．此时直线AB 与圆222x y +=相切．当0x t ≠时，直线AB 的方程为()0022yy x t x t --=--，即()()0000220y x x t y x ty ---+-=．圆心O 到直线AB 的距离d=220024x y +=，02y t x =-， 故d ===AB 与圆222x y +=相切．解法二：由题意知，直线OA 的斜率存在，设为k ，则直线OA 的方程为y kx =，OA OB ⊥，①当0k =时，()20A ±,，易知()02B ,，此时直线AB 的方程为2x y +=或2x y -+=， 原点到直线ABAB 与圆222x y +=相切；②当0k ≠时，直线OB 的方程为1y x k =-，联立2224y kx x y =⎧⎨+=⎩得点A的坐标⎛⎫,或⎛⎫ ⎝；联立12y xk y ⎧=-⎪⎨⎪=⎩得点B 的坐标()22k -,，由点A 的坐标的对称性知，取点A ⎛⎫计算，直线AB的方程为：))2222y x k x k k -=+=++，即((21220k x y k -+++=， 原点到直线AB 距离d ==，此时直线AB 与圆222x y +=相切．综上知，直线AB 一定与圆222x y +=相切．解法三：①当0k =时，()20A ±,，易知()02B ,，此时22OA OB =,=，AB =，原点到直线AB的距离OA OB d AB⋅===AB 与圆222x y +=相切；②当0k ≠时，直线OB 的方程为1y x k=-，设()()1122A xy B x y ,,,，则1OA，2OB ==，联立2224y kx x y =⎧⎨+=⎩得点A的坐标⎛⎫或⎛⎫⎝；于是A OA=，OB =，21k AB +=OA OBd AB⋅===直线AB 与圆222x y +=相切；综上知，直线AB 一定与圆222x y +=相切．（20）【2014年北京，理20，13分】对于数对序列1122(,),(,),,(,)n n P a b a b a b ，记111()T P a b =+，112()max{(),}(2)k k k k T P b T P a a a k n -=++++≤≤，其中112max{(),}k k T P a a a -+++表示1()k T P -和12k a a a +++两个数中最大的数．（1）对于数对序列(2,5),(4,1)P P ，求12(),()T P T P 的值；（2）记m 为,,,a b c d 四个数中最小值，对于由两个数对(,),(,)a b c d 组成的数对序列(,),(,)P a b c d 和'(,),(,)P a b c d ，试分别对m a =和m d =的两种情况比较2()T P 和2(')T P 的大小；（3）在由5个数对(11,8),(5,2),(16,11),(11,11),(4,6)组成的所有数对序列中，写出一个数对序列P 使5()T P 最 小，并写出5()T P 的值．（只需写出结论）．解：（1）()1257T P =+=,()(){}{}211max 241max 768T P T P =+,+=+,=． （2）当m a =时：()1T P a b =+，(){}{}2max max T P d a b a c a d b c =++,+=++,；()1T P c d '=+，(){}{}2max max T P b c d c a b c a d b c d '=++,+=++,=++；因为a 是a b c d ,,,中最小的数，所以{}max a b c b c +,+≤，从而()()22T P T P '≤； 当m d =时，()1T P a b =+，(){}{}2max max T P d a b a c a d b c =++,+=++,；()1T P c d '=+，(){}{}2max max T P b c d c a b c a d a b c '=++,+=++,=++；因为d 是a b c d ,,,中最小的数，所以{}max d b c b c +,+≤，从而()()22T P T P '≤． 综上，这两种情况下都有()()22T P T P '≤．（3）数列序列:P ()4,6，()11,11，()16,11，()11,8，()5,2的()5T P 的值最小；()110T P =，()226T P =，()342T P =，()450T P =，()552T P =．。
2014-2015学年高二下学期期中考试数学(理)试题word版 含答案
2014/2015学年度第二学期期中考高二年级数学试题（理科）一．填空题（5分×14）1．由1、2、3、4、5组成没有重复数字正整数，共有▲▲▲个三位数；2．数列1，4，7，10，…，的第8项等于▲▲▲；3．复数2,z i i =-+是虚数单位，则z 在复平面内对应的点在第▲▲▲象限；4．从甲、乙、丙三人中任选2名代表，甲被选中的概率为▲▲▲；5．在空间，若长方体的长、宽、高分别为a 、b 、c ，则长方体的对角线长为将此结论类比到平面内，可得：矩形的长、宽分别为a 、b ，则矩形的对角线长为▲▲▲；6．已知()2a i i b i -=+，其中,,a b R i ∈是虚数单位，则a ＋b ＝▲▲▲；7．已知222211132135313574,,,,=+=++=+++=…，将此等式推广到一般情形，可得 ▲▲▲2n =；8．计算：234i i i i +++=▲▲▲；9．掷一枚骰子，观察掷出的点数，则事件“掷出奇数点或3的倍数”的概率为▲▲▲；10．用数学归纳法证明不等式“24111312111≥++++++++n n n n n 24111312111≥++++++++n n n n n 24111312111≥++++++++n n n n n ”时，由n ＝k 到n＝k ＋1时，不等式左边应添加的项是▲▲▲；11．二项式252(x展开式中的常数项是▲▲▲；12．有一段长为10米的木棍，现要截成两段，每段不小于3米的概率为▲▲▲；13．在2008年奥运选手选拔赛上，8名男运动员参加100米决赛.其中甲、乙、丙三人必须在1、2、3、4、5、6、7、8八条跑道的奇数号跑道上，则安排这8名运动员比赛的方式共有▲▲▲种；14．某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如图所示），现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有▲▲▲种.二．解答题（共6小题）15．（14分）已知复数z 满足125()z i i +=.(1)求复数z ，并判断z 是否为方程2450x x -+=的一个根；(2)求复数5z z+的模.16．（14分）已知复数z＝362+--m mm＋imm)152(2--.(1) m取何实数值时，z是实数？(2) m取何实数值时，z是纯虚数？17．（14分）已知关于x的一元二次方程2220x ax b++=，满足a≥0且b≥0. （1）若a是从0、1、2三个数中任取的一个数，b是从0、1两个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率.（2）若1a=，b是从区间［0，3］任取的一个数，求上述方程有实根的概率.18．（16分）已知数列{}n a 满足条件111n n a a +=-. (1)若112a =，求234,,a a a 的值. (2)已知对任意的n N +∈，都有1n a ≠，求证：3n n a a +=对任意的正整数n 都成立；(3)在(1)的条件下，求2015a .19．（16分）4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内.（1）恰有1个盒不放球，共有几种放法？（2）恰有2个盒不放球，共有几种放法？20．（16分）已知2*,n nN ≥∈，试用数学归纳法证明：1221)1211()711)(511)(311(+>-++++n n .高二数学试题（理科）参考答案1. 602. 223. 二4.236.37. ()13521...n ++++-8.09. 2310. 121+k ＋221+k －11+k (121+k －221+k 也正确) 11.10 12.25 13. 2 880 14. 120 15. (1)5512122121212()()()()i i i z i i i i i i -===-=+++-， 方程2450x x -+=的根为2i ±，所以复数z 是该方程的一个根； (2)552422z i i z i+=-+=-+，∴5z z +. 16.(1)22150m m --=，解得3m =-或5,而3m =-时，实部没有意义，所以3m =-舍去，可得m=5； (2)226032150m m m m m ⎧--=⎪+⎨⎪--≠⎩，解得2m =-或3.17.设事件A 为“方程2220x ax b ++=有实根”.当a ≥0且b ≥0时，方程2220x ax b ++=有实根的充要条件为a ≥b.（1）基本事件共有6个：（0，0），（0，1），（1，0），（1，1），（2，0），（2，1）， 其中第一个数表示a 的取值，第二个数表示b 的取值.事件A 中包含5个基本事件，事件A 发生的概率为P （A ）=56； （2）因为103,[,]a b =∈，所以当01b ≤≤时，满足a ≥b ，∴P （A ）=13.18.(1)2341212,,a a a ==-=； (2)∵111n na a +=-， ∴211111111111n n n n n n n a a a a a a a ++--====------， ∴()32111111n n n n n n n na a a a a a a a ++-====-------. 即3n n a a +=对任意的正整数n 都成立；(3)由前面的结论，可得201531a a ==-.19.（1）为保证“恰有1个盒不放球”，先从4个盒子中任意取出去一个，问题转化为“4个球，3个盒子，每个盒子都要放入球，共有几种放法？”即把4个球分成2，1，1的三组，然后再从3个盒子中选1个放2个球，其余2个球放在另 外2个盒子内，由分步计数原理，共有C 14C 24C 13×A 22=144种.（2）确定2个空盒有C 24种方法.4个球放进2个盒子可分成（3，1）、（2，2）两类，第一类有序不均匀分组有C 34C 11A 22种方法；第二类有序均匀分组有222224A C C ·A 22种方法. 故共有C 24( C 34C 11A 22+222224A C C ·A 22）=84种.20.证明：⑴ 当n ＝2时，左边＝1＋31＝34，右边＝25 ∵ (34)2＝916＝4964⨯＞(25)2＝45＝4945⨯ ∴ 不等式成立．⑵ 假设当n ＝k 时，不等式成立．即(1＋31)(1＋51)(1＋71) (1)121-k )＞2112+k 当n ＝k ＋1时，(1＋31)(1＋51)(1＋71)…(1＋121-k )(1＋121+k )＞ 2112+k ·(1＋121+k )＝21(12+k ＋121+k ) 要证21(12+k ＋121+k )＞211)1(2++k需证12+k ＋121+k ＞32+k 即证121+k ＞0 ， ∵ k ∈N *，∴ 121+k ＞0成立 ∴ 当n ＝k ＋1时，不等式成立．由⑴、⑵知，对任意n ∈N *，不等式成立．。
2014-2015学年度第二学期期中考试数学试卷(参考答案)
2014-2015学年度第二学期期中考试数学试卷（参考答案）一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）11．2)3(-b a 12. 32 13. 9 14. 17 15. 25 16. π-32 三．解答题（一）（本大题共3小题，每小题6分，共18分）17. 解： ⎩⎨⎧=-=+)2(12)1(43y x y x（1）+（2）得55=x 解得1=x将1=x 代入（1）得43=+y 解得1=y∴方程组的解为⎩⎨⎧==11y x18.解：原式2)2()1)(1(12--+⨯--=x x x x x 21-+=x x当=3x 时，原式4231321=-+=-+=x x 19.解：（1）画出△.111C B A（2）画出△222C B A .连接OA ,2OA ,由勾股定理得：133222=+=OA又∵∠902=AOA∴点A 旋转到2A 所经过的路线长为：2131801390ππ=⋅=l四. 解答题（二）(本大题共3小题，每小题7分，共21分)21. 解：过点A 作AD ⊥BC 于D ，根据题意得∠ABC=30°，∠ACD=60°， ∴∠BAC=∠ACD-∠ABC=30°， ∴CA=CB ．∵CB=50×2=100（海里）， ∴CA=100（海里）， 在直角△ADC 中，∠ACD=60°， 故船继续航行50海里与钓鱼岛A 的距离最近22.（1）证明：∵△ABC 是等腰直角三角形，∠C=90°，∴∠B=∠A=45°，∵四边形DEFG 是正方形， ∴∠BFG=∠AED=90°， 故可得出∠BGF=∠ADE=45°，GF=ED ， ∵在△ADE 与△BGF 中，⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠ADE BGF DEGF AEDBFG ∵CH ⊥AB ，DE ⊥AB ， ∴CH ∥DE ， ∴△ADE ∽△ACH ， 第19题图五．解答题（三）(本大题共3小题，每小题9分，共27分) 23. 解：（1）∵抛物线与x 轴交于A （1，0），B （3，0）且过点C （0，-3）∴⎪⎩⎪⎨⎧-==++=++30390c c b a c b a 解得⎪⎩⎪⎨⎧-==-=341c b a∴342-+-=x x y（2）342-+-=x x y1)2(34)2(3)444(3)4(2222+--=-+--=--+--=---=x x x x x x∴该抛物线的顶点坐标为（2，1） （3）（答案不唯一）先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的抛物线解析式为2x y -=∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ADB=90°， ∴∠1+∠3=90°． ∵OA=OD ， ∴∠2=∠3， ∴∠1+∠2=90°．又∠CDA=∠CBD ，即∠4=∠1， ∴∠4+∠2=90°，即∠CDO=90°， ∴OD ⊥CD ．又∵OD 是⊙O 的半径， ∴CD 是⊙O 的切线；（3）解：如图，连接OE ．∵EB 、CD 均为⊙O 的切线， ∴ED=EB ，OE ⊥DB ，25. （1）证明：145B CB ∠=°，1190B CA ∠=° 1145B CQ BCP ∴∠=∠=°又1B C BC =，1B B ∠=∠ )(11ASABCP CQ B ∆≅∆∴ 1CQ CP ∴= （2）2（3）解：190PBE ∠=°，60ABC ∠=° 30A CBE ∴∠=∠=°AC∴= 由旋转的性质可知 1ACP BCE ∠=∠ C AP 1∆∴∽BEC ∆1::AP BE AC BC ∴= 设1APx = BE ∴ 在ABC Rt ∆中，30A ∠=° 22AB BC ∴==)2(33211x x S BE P -⨯=∴∆ 221)x =+=-+1x ∴=时 BE P S 1∆ 的最大值为63。
2014北京重点中学高二(下)期中数学(理)含答案
2014北京重点中学高二（下）期中数学（理）一．选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（4分）i是虚数单位，=（）A．1+2i B．﹣1﹣2i C．1﹣2i D．﹣1+2i2．（4分）由直线x=1，x=2，y=0与抛物线y=x2所围成的曲边梯形的面积为（）A． B．C．D．3．（4分）的展开式中x6y2项的系数是（）A．56 B．﹣56 C．28 D．﹣284．（4分）若曲线f（x）=ax2﹣lnx在点M（1，a）处的切线平行于x轴，则a的值为（）A．﹣2 B．2 C．﹣ D．5．（4分）（1+cosx）dx等于（）A．π B．2 C．π﹣2 D．π+26．（4分）（x2﹣）5的展开式中的常数项为（）A．80 B．﹣80 C．40 D．﹣407．（4分）6位选手依次演讲，其中选手甲不在第一个也不在最后一个演讲，则不同的演讲次序有（）A．240种B．360种C．480种D．720种8．（4分）下列命题中，假命题为（）A．存在四边相等的四边形不是正方形B．z1，z2∈C，z1+z2为实数的充分必要条件是z1，z2互为共轭复数C．若x，y∈R，且x+y＞2，则x，y至少有一个大于1D．对于任意n∈N*，++…+都是偶数9．（4分）用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（）A．324 B．328 C．360 D．64810．（4分）函数f（x）=（x∈R）（）A．既有最大值2，又有最小值﹣2 B．无最大值，但有最小值﹣2C．有最大值2，但无最小值D．既无最大值，又无最小值二．填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分.将答案填在题中横线上）11．（4分）如果复数（m2+i）（1+mi）是实数，则实数m= ．12．（4分）函数f（x）=xlnx（x＞0）的单调递增区间是．13．（4分）三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是（结果用最简分数表示）．14．（4分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，则S4，S8﹣S4，S12﹣S8，S16﹣S12成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{b n}的前n项积为T n，则T4，，，成等比数列．15．（4分）观察下列等式1=12+3+4=93+4+5+6+7=254+5+6+7+8+9+10=49…照此规律，第n个等式为．16．（4分）已知函数f（x）=﹣x3+2ax，x∈[0，1]，若f（x）在[0，1]上是增函数，则实数a的取值范围为．三.解答题（本大题共4小题，共36分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（8分）甲组有6人，乙组有4人，其中组长各1人．（Ⅰ）这10人站成一排照相，根据下列要求，各有多少种排法？①同组人员相邻；②乙组人员不相邻．（Ⅱ）现选派5人去参加比赛，根据下列要求，各有多少种选派方法？①甲组3人，乙组2人；②组长中至少有1人参加．18．（8分）已知数列a n=（n∈N*），其前n项和为S n．经计算得：S1=，S2=，S3=，S4=．（Ⅰ）观察上述结果，猜想计算S n的公式；（Ⅱ）用数学归纳法证明所提猜想．19．（10分）已知函数f（x）=x3﹣ax2+（a2﹣1）x+b（a，b∈R）．（Ⅰ）若x=1为f（x）的极值点，求a的值；（Ⅱ）若f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程为x+y﹣3=0，求f（x）在[﹣2，1]上的最大值和最小值．20．（10分）已知函数f（x）=（﹣x2﹣mx﹣m）e﹣x（m∈R）．（Ⅰ）求f′（x）；（Ⅱ）求f（x）的单调区间．2014北京重点中学高二（下）期中数学（理）参考答案一．选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．【解答】，故选D．2．【解答】直线x=1，x=2，y=0与抛物线y=x2所围成的曲边梯形的面积为S=x2dx==﹣=，故选：C．3．【解答】由题意，，故：A．4．【解答】∵f（x）=ax2﹣lnx，∴，则曲线f（x）=ax2﹣lnx在点M（1，a）处的切线的斜率k=f′（1）=2a﹣1=0，解得：．故选：D．5．【解答】解：∵（x+sinx）′=1+cosx，∴（1+cosx）dx=（x+sinx）=+sin﹣=π+2．故选D6．【解答】设（x）5展开式中的通项为T r+1，则T r+1=•x2（5﹣r）•（﹣2）r•x﹣3r=（﹣2）r••x10﹣5r，令10﹣5r=0得r=2，∴（x）5展开式中的常数项为（﹣2）2×=4×10=40．故选C．7．【解答】因为6位选手依次演讲，其中选手甲不在第一个也不在最后一个演讲，甲先安排在除开始与结尾的位置还有个选择，剩余的元素与位置进行全排列有，所以甲只能在中间的4个位置，所以不同的演讲次序有=480种．故选C．8．【解答】例如菱形，满足四边相等的四边形不是正方形，所以A正确；z1，z2∈C，z1+z2为实数的充分必要条件是z1，z2互为共轭复数，不正确；例如z1=2+i，z2=6﹣i，z1+z2为实数，但是z1，z2不是共轭复数，所以B不正确．若x，y∈R，且x+y＞2，则x，y至少有一个大于1，显然正确；对于任意n∈N*，++…+=2n≥2，都是偶数正确；不正确是命题是B．故选B．9．【解答】由题意知本题要分类来解，当尾数为2、4、6、8时，个位有4种选法，因百位不能为0，所以百位有8种，十位有8种，共有8×8×4=256当尾数为0时，百位有9种选法，十位有8种结果，共有9×8×1=72根据分类计数原理知共有256+72=328故选B10．【解答】，令f'（x）=0，得x=±1．x，f′（x），f（x）的变化如下表：x （﹣∞，﹣1）﹣1 （﹣1，1） 1 （1，+∞）f'（x）﹣0 + 0 ﹣f（x）↘极小值﹣2 ↗极大值2 ↘∴f（x）在（﹣∞，﹣1），（1，+∞）上递减，在（﹣1，1）上递增，∴f（x）极小值=f（﹣1）=﹣2，f（x）极大值=f（1）=2，又当x→∞时，f（x）→0，故选A．二．填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分.将答案填在题中横线上）11．【解答】复数（m2+i）（1+mi）=（m2﹣m）+（1+m3）i 它是实数 1+m3=0∴m=﹣1故答案为：﹣1．12．【解答】由函数f（x）=xlnx得：f（x）=lnx+1，令f′（x）=lnx+1＞0即lnx＞﹣1=ln，根据e＞1得到此对数函数为增函数，所以得到x＞，即为函数的单调递增区间．故答案为：（，+∞）13．【解答】每个同学都有三种选择：跳高与跳远；跳高与铅球；跳远与铅球三个同学共有3×3×3=27种有且仅有两人选择的项目完全相同有××=18种其中表示3个同学中选2个同学选择的项目，表示从三种组合中选一个，表示剩下的一个同学有2中选择故有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是=故答案为：14．【解答】设等比数列{b n}的公比为q，首项为b1，则T4=b14q6，T8=b18q1+2++7=b18q28，T12=b112q1+2++11=b112q66，∴=b14q22，=b14q38，即（）2=•T4，故T4，，成等比数列．故答案为：15．【解答】观察下列等式1=12+3+4=93+4+5+6+7=254+5+6+7+8+9+10=49…等号右边是12，32，52，72…第n个应该是（2n﹣1）2左边的式子的项数与右边的底数一致，每一行都是从这一个行数的数字开始相加的，照此规律，第n个等式为n+（n+1）+（n+2）+…+（3n﹣2）=（2n﹣1）2，故答案为：n+（n+1）+（n+2）+…+（3n﹣2）=（2n﹣1）216．【解答】∵f'（x）=﹣3x2+2a，f（x）在[0，1]上是增函数⇔∀x∈[0，1]，f'（x）≥0恒成立，即恒成立，⇔在x∈[0，1]上，．故答案为：[，+∞）．三.解答题（本大题共4小题，共36分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．【解答】（Ⅰ）①；②．（Ⅱ）①；②．18．【解答】（Ⅰ）猜想：S n=．…．…..（2分）（Ⅱ）证明：（1）当n=1时，左=，右=，猜想成立．…．…..（3分）（2）假设当n=k时猜想成立，即S k=．…．…..（4分）那么S k+1=S k+a k+1=…．…..（5分）==．…．…..（7分）即当n=k+1时猜想也成立．根据（1）和（2）可知，猜想对∀n∈N*都成立．…．…..（8分）19．【解答】（Ⅰ）f′（x）=x2﹣2ax+（a2﹣1）…（1分）∵x=1为f（x）的极值点，∴f′（1）=0，即 a2﹣2a=0，∴a=0或2．…（2分）经检验均符合题意．…（3分）（Ⅱ）∵（1，f（1））是切点，∴1+f（1）﹣3=0，∴f（1）=2，即．…（4分）∵切线方程x+y﹣3=0的斜率为﹣1，∴f'（1）=﹣1，即a2﹣2a+1=0，…（5分）∴a=1，．…（6分）∴，∴f'（x）=x2﹣2x．由f'（x）=0及x∈[﹣2，1]得x=0．…（7分）x ﹣2 （﹣2，0）0 （0，1） 1f'（x）+ 0 ﹣f（x）﹣4 ↗极大值↘ 2…（9分）故f（x）在[﹣2，1]上的最大值为和最小值为f（﹣2）=﹣4．…（10分）20．【解答】（Ⅰ）f'（x）=（﹣2x﹣m）e﹣x+（﹣x2﹣mx﹣m）e﹣x（﹣1）．（Ⅱ）函数f（x）的定义域为R，由e﹣x＞0，得 f'（x）与x2+（m﹣2）x同号．令f'（x）=0，得x2+（m﹣2）x=0，x1=0，x2=2﹣m．（1）当m＜2时，x （﹣∞，0）0 （0，2﹣m）2﹣m （2﹣m，+∞）f'（x）+ 0 ﹣0 +f（x）↗↘↗f（x）的增区间为（﹣∞，0）和（2﹣m，+∞）；f（x）的减区间为（0，2﹣m）．（2）当m=2时，f'（x）≥0恒成立，f（x）的增区间为（﹣∞，+∞），无减区间．（3）当m＞2时，x （﹣∞，2﹣m）2﹣m （2﹣m，0）0 （0，+∞）f'（x）+ 0 ﹣0 +f（x）↗↘↗f（x）的增区间为（﹣∞，2﹣m）和（0，+∞）；f（x）的减区间为（2﹣m，0）．故f（x）的单调区间为：m f（x）的增区间f（x）的减区间m＜2 （﹣∞，0）和（2﹣m，+∞）（0，2﹣m）m=2 （﹣∞，+∞）无m＞2 （﹣∞，2﹣m）和（0，+∞）（2﹣m，0）。
2014——2015学年下期期中试卷高二理科数学附答案
2014——2015学年下期期中试卷高二理科数学（时间：120分钟，满分：150分）一 、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.关于x 的方程2250x x -+=的一个根是12i -，则另一根的虚部为( ) A. 2i B. 2i - C. 2 D. 2- 2.下列函数中，既是奇函数又存在极值的是( )A. 3y x =B. ()ln y x =-C. x y xe -=D. 2y x x=+ 3.已知n 为正偶数，用数学归纳法证明1111122341n -+-++=-11(24n n +++1)2n ++时，若已假设(2n k k =≥为偶数)时命题为真，则还需要用归纳假设再证( )A.1n k =+时等式成立B. 2n k =+时等式成立C.22n k =+时等式成立D. ()22n k =+时等式成立 4．下列推理是归纳推理的是( )A.A,B 为定点,动点P 满足|PA |+|PB |=2a >|AB |,则P 点的轨迹为椭圆B.由a 1=1,a n =3n -1,求出S 1,S 2,S 3,猜想出数列的前n 项和S n 的表达式C.由圆x 2+y 2=r 2的面积πr 2,猜想出椭圆22221x y a b +=的面积S =πabD.以上均不正确5．已知函数()()y f x x R =∈上任一点00(,())x f x 处的切线斜率200(2)(1)k x x =-+，则该函数()f x 的单调递减区间为( )A.[1,)-+∞ B .(,2]-∞ C.(,1),(1,2)-∞- D.[2,)+∞6.在用反证法证明命题“已知,2a b c ∈、、（0），求证(2)(2)(2)a b b c c a ---、、不可能都大于1”时，反证假设时正确的是( )A. 假设(2)(2)(2)a b b c c a ---、、都小于1B. 假设(2)(2)(2)a b b c c a ---、、都大于1C. 假设(2)(2)(2)a b b c c a ---、、都不大于1D.以上都不对7.甲、乙、丙、丁、戊5名学生进行某种劳动技术比赛决出第1名到第5名的名次（无并列）.甲乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说“很遗憾，你和乙都没有得到冠军”；对乙说“你当然不是最差的”.从这个人的回答中分析，5人的名次情况共有( ) A.54种 B.48种 C.36种 D.72种 8．设dx x x m ⎰-+=112)sin (3，则多项式6)1(xm x +的常数项( )A.45-B.45C.1615- D.16159．下面四个图象中，有一个是函数()()()3221113f x x ax a x a R =++-+∈的导函数()y f x '=的图象，则()1f -等于( )A ．13B ．－13C ．53D ．－13或5310.已知()ln xf x x=，且3b a >>，则下列各结论中正确的是( ) A.()2a b f a f ab f +⎛⎫<< ⎪⎝⎭ B. )()2a b f ab f f b +⎛⎫<< ⎪⎝⎭C. ()2a b f ab f f a +⎛⎫<< ⎪⎝⎭D. ()2a b f b f f ab +⎛⎫<< ⎪⎝⎭11.函数()()()2242,20,02x x f x x x x ⎧--≤<⎪=-≤≤⎪⎩的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积为( )A ．1π+ B. 5π- C. 3π- D. 1π-12.函数()f x 的导函数为()f x '，对x R ∀∈，都有()()2f x f x '>成立，若()ln 42f =，则不等式()2xf x e >的解是( )A. ln 4x >B. 0ln 4x <<C. 1x >D. 01x <<二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13.已知()1cos f x x x =，则()2f f ππ⎛⎫'+= ⎪⎝⎭．14.已知i 为虚数单位，则232015i i i i++++= ．15．已知函数()324()3f x x ax a a R =+-∈，若存在0x ，使()f x 在0x x =处取得极值，且()00f x =，则a 的值为 ．16．计算12323nn n n nC C C nC +++⋅⋅⋅+，可以采用以下方法： 构造等式：0122n n n n n n C C x C x C x +++⋅⋅⋅+()1nx =+，两边对x 求导， 得()112321231n n n n n n n C C x C x nC x n x --+++⋅⋅⋅+=+，在上式中令1x =，得1231232n n n n n n C C C nC n -+++⋅⋅⋅+=⋅．类比上述计算方法，计算12223223n n n n n C C C n C +++⋅⋅⋅+= ．三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.（本小题满分10分）设,,,0.z a bi a b R b =+∈≠, 且1z zω=+是实数，且12ω-<<. (1)求z 的值及z 的实部的取值范围； (2)设11zu z-=+，求证：u 为纯虚数；18.（本小题满分12分）从射击、乒乓球、跳水、田径四个大项的雅典奥运冠军中选出6名作“夺冠之路”的励志报告．（1）若每个大项中至少选派一人，则名额分配有几种情况？（2）若将6名冠军分配到5个院校中的4个院校作报告，每个院校至少一名冠军，则有多少种不同的分配方法？19.（本小题满分12分）已知函数32()f x x ax bx c =+++的图象如图，直线0y =在原点处与函数图象相切，且此切线与函数图象所围成的区域(阴影)面积为274. （1）求()f x 的解析式；（2）若常数0m >，求函数()f x 在区间[],m m -上的最大值.20.（本小题满分12分）已知函数()22ln f x x a x =+．（1）若函数()f x 的图象在()()2,2f 处的切线斜率为2，求函数()f x 的图象在()()1,1f 的切线方程；（2）若函数)(2)(x f xx g +=在[]2,1上是减函数，求实数a 的取值范围．21.（本小题满分12分）已知()()()()20121111nnn x a a x a x a x +=+-+-++-，（其中*n N ∈）. （1）求0a 及12n n s a a a =+++；（2）试比较n s 与()2222n n n -⋅+的大小，并用数学归纳法给出证明过程.22.（本小题满分12分） 已知函数()()ln 1af x x a R x =+∈+ （1）当92a =时，如果函数()()g x f x k =-仅有一个零点，求实数k 的取值范围； （2）当2a =时，试比较()f x 与1的大小；（3）求证：()()*1111ln 135721n n N n +>++++∈+.高二 理科数学一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）13. 3π-14.1- 15.3± 16. ()221-+n n n三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.【解析】（1）,,,0.z a bi a b R b =+∈≠22221()a b a bi a b i a bi a b a b ω⎛⎫∴=++=++- ⎪+++⎝⎭ω是实数，0b ≠，221a b ∴+=即||1z =,2,12a ωω=-<<z ∴的实部的取值范围是1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭；………………………………5分（2）()()()()()2222111112111111a bi a bi z a bi a b bi bu i z a bi a bi a bi a a b --+-------=====-++++++-+++ 1,1,02a b ⎛⎫∈-≠ ⎪⎝⎭u ∴为纯虚数. ……………………………………………………10分 18.【解析】（1）名额分配只与人数有关，与不同的人无关．每大项中选派一人，则还剩余两个名额，当剩余两人出自同一大项时，名额分配情况有144C =种，当剩余两人出自不同大项时，名额分配情况有246C =种． ∴有124410C C +=种． ……………………………………………………………………6分 (2)从5个院校中选4个，再从6个冠军中，先组合，再进行排列，有2243464564227800C C C C A A ⎛⎫⋅+⋅= ⎪⎝⎭种分配方法． ……………………………………………12分19.【解析】 (1)由(0)0f =得0c =， ………………………………………2分2()32f x x ax b '=++.由(0)0f '=得0b =， ………………………………………4分∴322()()f x x ax x x a =+=+，则易知图中所围成的区域(阴影)面积为27[()]4af x dx --=⎰从而得3a =-，∴32()3f x x x =-. ………………………8分 （2）由（1）知2()363(2)f x x x x x '=-=-.,(),()x f x f x '的取值变化情况如下：又(3)0f =,①当03m <≤时, max ()(0)0f x f ==；②当3m >时, 32max ()()3.f x f m m m ==- …………………………………………11分综上可知：当03m <≤时, max ()(0)0f x f ==；当3m >时, 32max ()()3.f x f m m m ==- …………………………………12分20.【解析】（1）()22222a x a f x x x x +'=+=，由已知()22f '=，解得2a =-.……2分 ()24ln f x x x ∴=-,()42f x x x'=-()11f ∴=,()12f '=-……………………………4分∴函数()f x 的图象在()()1,1f 的切线方程为()121y x -=--即230x y +-=. ……6分（2）由g(x)＝2x ＋x 2＋2aln x ，得g ′(x)＝－22x ＋2x ＋2a x， ……………………7分 由已知函数g(x)为[1,2]上的单调减函数，则g ′(x)≤0在[1,2]上恒成立，即－22x ＋2x ＋2a x ≤0在[1,2]上恒成立．即a ≤1x－x 2在[1,2]上恒成立．…………8分 令h(x)＝1x －x 2，在[1,2]上h ′(x)＝－21x －2x ＝－(21x＋2x)＜0，所以h(x)在[1,2]上为减函数，h(x)min ＝h(2)＝－72，所以a ≤－72．……………11分故实数a 的取值范围为{a|a ≤－72}. …………………………………………………12分21.【解析】（1）取1x =，则02n a =； ………………………………………………2分 取2x =，013n n a a a +++=，1232n n n n s a a a ∴=+++=- ……………………4分（2）要比较n s 与()2222n n n -⋅+的大小，即比较3n 与()2122n n n -⋅+的大小. 当1n =时， ()23122n n n n >-⋅+； 当2,3n =时， ()23122n n n n <-⋅+；当4,5n =时， ()23122n n n n >-⋅+； …………………………………………………6分猜想：当4n ≥时， ()23122n n n n >-⋅+，下面用数学归纳法证明：…………………7分 由上述过程可知，4n =时结论成立；假设当()4n k k =≥时结论成立，即()23122k k k k >-⋅+两边同乘以3得：()()()212123312622132442k k k k k k k k k k k ++⎡⎤>-⋅+=⋅+++-+--⎣⎦4k ≥时，()320k k ->，22442444420k k --≥⨯-⨯->，()2324420k k k k ∴-+-->()2113221k k k k ++∴>⋅++，即1n k =+时结论也成立.∴当4n ≥时， ()23122n n n n >-⋅+成立. …………………………………………11分综上所述，当1n =或4n ≥时， ()23122n n n n >-⋅+；当2,3n =时， ()23122n n n n <-⋅+.………………………………………12分22.【解析】（1）当92a =时，()()9ln 21f x x x =++，定义域是()0,+∞.()()()()()22212192121x x f x x x x x --'=-=++ 令()0f x '=，得12x =或2x =.……………………………………………………………2分 当102x <<或2x >时，()0f x '>，当122x <<时，()0f x '<，∴函数()f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，()2,+∞上单调递增，在1,22⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减. …………………4分∴()f x 的极大值是132ln 22f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，极小值是()32ln 22f =+.当0x →时，()f x →-∞；当x →+∞时，()f x →+∞，∴当()()g x f x k =-仅有一个零点时，实数k 的取值范围是()3,ln 23ln 2,2⎛⎫-∞+-+∞⎪⎝⎭.……………………………………………………………5分（2）当2a =时，()2ln 1f x x x =++，定义域是()0,+∞. 令()()21ln 11h x f x x x =-=+-+，则()()()222121011x h x x x x x +'=-=>++ ()h x ∴在()0,+∞上是增函数. …………………………………………………………7分 当1x >时，()()10h x h >=，即()1f x >；当01x <<时，()()10h x h <=，即()1f x <； 当1x =时，()()10h x h ==，即()1f x =；………………………………………………9分 （3）根据（2）的结论，当1x >时，2ln 11x x +>+，即1ln 1x x x ->+. 令*1k x k N k +=∈，，则有2ln 11x x +>+，即1111ln1211k k k k k k k+-+>=+++ ()231111ln 1ln ln ln123521n n n n +∴+=+++>++++， 即()()*1111ln 135721n n N n +>++++∈+.…………………………………………12分。