第七章 无穷级数
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推论 (比较审敛法) 设
是两个正项级数,
且存在
对一切
有
则有
(1) 若强级数 收敛 , 则弱级数
(常数 k > 0 ), 也收敛 ;
(2) 若弱级数 发散 , 则强级数 也发散 .
例1.
讨论
p
级数1
1 2p
1 3p
1 np
(常数
p
>
0)
的敛散性.
解: 1) 若 p 1, 因为对一切
1 n
而调和级数
知存在 N Z , 当n N 时, un1 1
un
收敛 , 由比较审敛法可知 un 收敛.
(2) 当 1 或 时,必存在 N Z , uN 0,当n N
时
从而
un1 un un1 uN
因此
lim
n
un
uN
0,
所以级数发散.
说明: 当 lim un1 1 时,级数可能收敛也可能发散.
不存在 , 因此级数发散.
由定义, 讨论 级数敛散性的方法 1. 先求部分和; 2. 求部分和的极限.
综合 1)、2)可知, q 1 时, 等比级数收敛 ;
q 1 时, 等比级数发散 .
利用此结论，可以直接判别某此级数的敛散性。例如：
例如：
公比 q 1 ,
2
q 1,
n1
(1) n1 2n1
3.按基本性质.
第三节 正项级数
第七章
一、正项级数收敛的基本定理 二、比较审敛法 三、比值审敛法 四、根值审敛法
一、正项级数收敛的基本定理
若 un 0, 则称 un 为正项级数 . n1
分析特点：部分和序列 单调递增。
当
高等数学无穷级数
第七章无穷级数10常数项级数概念及性质1、定义P264 ∑an=a1+a2+ +an+n=1∞an称为一般项或通项 Sn=u1+u2+ +un称为前n项部分和例1、1 =3+3+ +3+ =0.331010210n1+2+3+ +n+1-1+1-1+ +(-1)n-1+2、定义Sn=∑uKK=1nan=Sn+1-Sn如{Sn}收敛，则∑an收敛n=1∞3、几个重要极限等比级数（几何）∑aqn，当q<1 收敛，q≥1 发散；n=0∞P级数∑Pn=1∞1nP>1 收敛，P≤1 发散；∞1P=1当，∑ 又称调和级数。
n=1n4、级数性质 P266性质5是级数收敛的必要条件即∑an收敛→liman=0n=1n→∞∞例1、∑n=1∞n-11n-1 发散，∵ liman=lim=≠0 n→∞n→∞2n+122n+1 3n例2、∑ 发散，∵ lim=-1≠0 nnn→∞n-3n=1n-3∞3n例3、∑11 发散，但lim=0 n→∞nn=1n∞20正项级数判别法∑un∞n=1un≥0正项级数部分和数列{Sn}单调递增∴正项级数收敛部分和数列有上界1、比较判别法设Vn≥un，如∑Vn收敛，则∑un收敛n=1∞n=1∞∞∞ 如∑un发散，则∑Vn发散n=1n=1例、判别下列级数敛散性∞（1）∑n=114n+n2 （2）∑∞sin2n=1n2nπ 解（1）由于∞14n2+n≥14n2+n2=11⋅ 5n∵∑1发散，∴原级数发散 nn=1sin2（2）由于nπ∞1≤1，而∑收敛，∴原级数收敛 222n=1nnn比较判别法的极限形式如limun=A 则有n→∞Vn∞∞0<A<+∞时∑un，∑Vn，同时收敛，同时发散 n=1n=1A=0 如∑Vn 收敛，则∑un收敛n=1∞n=1∞∞∞A=+∞ 如∑un 收敛，则∑Vn收敛 n=1n=1判别下列级数敛散性例、∑lnn=1∞n+1 nlnn+1∞1=1 又∑发散，∴原级数发散 1n=1nn limn→∞1例、（1）∑ （2）∑(1-cos) nn=1n2+1+nn=1∞1∞ （3）∑lnn n=2n∞1解：（1）由limn→∞nn2+n+n=lim=1 21n→∞n+n+nn111-cos21（2）lim=lim= 1n→∞n→∞12n2n2∵ ∑∞12n=1n 收敛∴原级数收敛lnn1（3）∵ >nn∴∑例、P2712、比判别法∞(n≥3) ∵ ∑1 发散，nn=1∞lnn 发散 n=1n例7.7 7.8 设正项级数∑un的一般项满足n=1∞un+1lim=ρ n→∞un则当ρ<1时，级数收敛，ρ>1时发散，ρ=1不定3、根值法设∑un为正项级数，如limun=ρn=1∞n→∞则当ρ<1时，级数收敛，ρ>1时发散，ρ=1不定正项级数判别其敛散性的步骤：⎧≠0发散首先考察limun⎨ n→∞=0需进一步判别⎩①如un中含n!或n的乘积通常选用比值法；②如un是以n为指数幂的因子，通常用根值法，也可用比值法；③如un含形如nα（α可以不是整数）因子，通常用比较法；④利用级数性质判别其敛散性；⑤据定义判别级数敛散性，考察limSn是否存在，实际上考察{Sn}n→∞是否有上界。
第七章 无穷级数
第七章 无穷级数7.1数项级数敛散性的判别方法一 基本概念定义1 级数收敛 令121nn n kk s u u u u==+++=∑ ，若lim n n s s →∞=，则称级数1nn u∞=∑收敛，若不然，则称1nn u∞=∑发散；定义2 正项级数 若1nn u∞=∑,0n u ≥，则称1nn u∞=∑为正项级数；定义3 交错级数 若1(1)nnn u∞=-∑或11(1)n n n u ∞-=-∑,0n u ≥，则称1n n u ∞=∑为交错级数定义4 绝对收敛 若1nn u∞=∑收敛，则称1nn u∞=∑为绝对收敛；（绝对收敛级数的本身也收敛）定义5 条件收敛 若1nn u∞=∑发散，而1nn u∞=∑收敛，则称1nn u∞=∑为条件收敛．二 基本结论定理1 （级数1nn u∞=∑的敛散性，其中n nn u u u '''=+） （1）若1n n u ∞='∑和1nn u ∞=''∑都收敛，则1nn u∞=∑收敛．（2）若1nn u ∞='∑和1nn u ∞=''∑一个收敛，另一个发散，则1nn u∞=∑一定发散．（3）若1nn u ∞='∑和1nn u ∞=''∑都发散，1nn u∞=∑敛散性不确定．（4）若1nn u ∞='∑和1nn u ∞=''∑都绝对收敛，则1nn u∞=∑绝对收敛．（5）1nn u ∞='∑和1n n u ∞=''∑一个绝对收敛，另一个条件收敛，则1nn u∞=∑条件收敛．（6）1nn u ∞='∑和1nn u ∞=''∑都是条件收敛，则1nn u∞=∑一定收敛，但其绝对收敛还是条件收敛不确定．定理2 两个重要级数的敛散性（1）等比级数敛散性 等比级数1nn aq∞=∑的公比的绝对值小于1时，级数收敛，其和等于1减公比分之首项．（2）几何级数敛散性 p 级数11p n n ∞=∑，当1p >时，收敛；当1p ≤时，发散．三 基本方法题型1．正项级数敛散性的判别方法：比较法，比值法，根植法。
《数学分析》第七章 无穷级数
第七章无穷级数一、本章知识脉络框图二、本章重点及难点无穷级数是数学分析的重要内容之一，它在研究函数的分析性质、函数逼近、近似计算和微分方程定性理论等领域起着非常重要的作用. 无穷级数的核心是收敛性理论，它的本质就是“无穷多项的和”，但不是从“有限项相加”到“无限项相加”的简单推广，两者有着本质的区别，例如，对于有限项求和而言，加法交换律、结合律以及加法和乘法的分配律总是成立，有限个连续函数的和也是连续函数，但这些规律和性质却不能直接搬到无穷级数上去. 这就要求人们要用一种新的数学思想来研究无穷级数.本章内容由数项级数、函数列与函数项级数、幂级数与傅里叶级数四部分组成，后两者氏特殊的函数项级数. 本章重点是各种级数的收敛性和一致收敛性的概念及其判别法，难点主要有以下几点：●数项级数收敛性判别方法；● 函数列与函数项级数一致收敛性判别法以及一致收敛的函数列与函数项级数的性质；● 幂级数的收敛半径以及和函数的性质，函数的幂级数展开； ● 将函数展成傅里叶级数的条件和方法.三、本章的基本知识要点（一）数项级数 1.级数的收敛性（1）级数收敛和发散的定义 若数项级数∑∞=1n nu的部分和数列{}n S 收敛于S （即S S n n =∞→lim ），则称数项级数收敛，称S 为数项级数的和，记为∑∞==1n n u S 或.∑=n u S若{}n S 发散，则称级数∑∞=1n nu发散.（2）级数收敛的条件① 级数收敛的必要条件：级数∑∞=1n nu收敛.0lim =⇒∞→n n u② 级数收敛的柯西准则（充要条件） （10）级数∑∞=1n nu收敛⇔0>∀ε，+∈∃N N ，N n >∀，+∈∀N p ，有.21ε<++++++p n n n u u u（20）级数∑∞=1n nu发散⇔00>∃ε，+∈∀N N ，N n >∃0，+∈∃N p 0，使得.0210000ε≥++++++p n n n u u u（3）收敛级数的性质 ① 线性运算性质：若级数∑nu和∑nv都收敛，则对任意常数d c ,，级数()∑+n ndv cu也收敛，且().∑∑∑+=+n n n nv d u c dv cu② 级数的收敛性与前面有限项的值无关：去掉，增加或改变级数的有限项并不改变级数的敛散性.③ 在收敛级数的项中任意加括号，既不改变级数的收敛性，也不改变它的和. 2.正项级数收敛性的判别 （1）（充要条件）正项级数∑nu收敛⇔部分和数列{}n S 有界（即+∈∃R M ，+∈∀N n ，有.M S n ≤）（2）(比较原则) 设∑nu和∑nv是两个正项级数，且+∈∃N N ，N n >∀，有n n v u ≤，则① ∑nv收敛⇒∑nu收敛； ②∑nu发散⇒∑nv发散.（3）(比较原则的极限形式) 设∑n u 和∑n v 是两个正项级数，l v u nnn =∞→lim，则① 当+∞<<l 0 时，级数∑nu和∑nv同敛态；② 当0=l 且级数∑nv收敛⇒∑nu收敛；③ 当+∞=l 且级数∑nv发散⇒∑nu发散.（4）(比式判别法或称达朗贝尔判别法) 设∑nu是正项级数，且+∈∃N N 0及常数)1,0(∈q .① 0N n >∀有q u u nn ≤+1⇒∑n u 收敛； ② 0N n >∀有11≥+nn u u ⇒∑n u 发散. （5）(比式判别法的极限形式) 设∑n u 是正项级数，且q u u nn n =+∞→1lim，则 ① 当1<q 时，级数∑nu收敛；② 当1>q 或+∞=q 时，级数∑nu发散.注 当1=q 时不能用本法判别级数的敛散性.（6）(根式判别法或称柯西判别法) 设∑nu是正项级数，且+∈∃N N 0及正常数l .① 0N n >∀有1<≤l u n n ⇒∑nu收敛；② 0N n >∀有1≥n n u ⇒∑nu发散.（7）(根式判别法的极限形式) 设∑nu是正项级数，且l u n n =，则① 当1<l 时，级数∑nu收敛；② 当1>l 或+∞=l 时，级数∑nu发散.注 当1=l 时不能用本法判别级数的敛散性.（8）(积分判别法) 设f 为],1[+∞上的非负减函数，则正项级数∑)(n f 与反常积分⎰+∞1)(dx x f 同时收敛或同时发散.3.一般项级数收敛性的判别（1）(交错级数的莱布尼茨判别法) 若交错级数∑+-n n u 1)1(（0>n u ）满足条件：数列{}n u 单调递减且趋于0，则∑+-n n u 1)1(收敛.（2）级数条件收敛和绝对收敛的定义 ① 若级数∑nu 收敛，则称级数∑nu绝对收敛;② 若级数∑nu收敛而∑nu发散，则称级数∑nu条件收敛.③ 绝对级数的级数一定收敛.（3）(阿贝尔判别法) 若{}n a 为单调有界数列，且级数∑nb收敛，则∑nn b a 也收敛.（4）(狄利克雷判别法) 若数列{}n a 单调递减，且0lim =∞→n n a ，又级数∑nb的部分和数列有界，则∑nn ba 收敛.（二）函数列与函数项级数 1.函数列及其一致收敛性（1）函数列的收敛域及极限函数① 设有一定义于同一数集E 上的函数列(){}x f n ，若对E x ∈0，数列(){}0x f n 收敛，则称0x 为函数列(){}x f n 的收敛点，若数列(){}0x f n 发散，则称0x 为函数列(){}x f n 的发散点，函数列(){}x f n 的所有收敛点的集合称为它的收敛域. 若E D x ⊂∈∀，数列(){}x f n 收敛，设)()(lim x f x f n n =∞→，则称)(x f 为函数列(){}x f n 的极限函数或称函数列(){}x f n 在D上点点收敛于函数)(x f ，记为.),()(lim D x x f x f n n ∈=∞→或)()(x f x f n → ),(∞→n .D x ∈② 函数列极限的N -ε定义：⇔∈=∞→D x x f x f n n ),()(lim 对每一固定的D x ∈，0>∀ε，恒存在正数),(x N N ε=（一般说来N 的值与ε和x 有关），使得当N n >时，总有.)()(ε<-x f x f n（2）函数列一致收敛的定义① 函数列(){}x f n 在D 上一致收敛于函数)(x f ⇔0>∀ε，+∈∃R N ，使得当Nn >时，对一切D x ∈，有.)()(ε<-x f x f n记为)()(x f x f n →→ ),(∞→n .D x ∈② 函数列(){}x f n 在D 上不一致收敛于函数)(x f ⇔00>∃ε，+∈∀R N ，总存在正整数N n >0与点D x ∈0，使得.)()(0000ε≥-x f x f n（3）函数列一致收敛的判别法① 利用函数列一致收敛的定义.② 柯西准则：)()(x f x f n →→ ),(∞→n .D x ∈⇔0>∀ε，+∈∃R N ，使得当N m n >,时，对一切D x ∈，都有.)()(ε<-x f x f m n③ 确界极限判别法：函数列(){}x f n 在D 上一致收敛于函数)(x f⇔.0)()(sup lim =-∈→∞x f x f n Dx n④ 优数列判别法：若+∈∃R N ，当N n >时，对一切D x ∈，有n n a x f x f ≤-)()(，且0lim =∞→n n a ，则函数列(){}x f n 在D 上一致收敛于)(x f .注 数列}{n a 称为优数列.（4）一致收敛函数列的性质① 连续性：若函数列(){}x f n 在D 上一致收敛，且每一项都连续，则其极限函数)(x f 在D 上也连续，且D x ∈∀0，有).(lim lim )(lim lim 00x f x f n x x n n n x x →→∞→∞→=② 可积性：若函数列(){}x f n 在],[b a 上一致收敛于)(x f ，且每一项都连续，则)(x f 在],[b a 上也可积，且.d )(lim d )(lim d )(⎰⎰⎰→∞→∞==bab a ban n n n x x f x x f x x f③ 可微性：设函数列(){}x f n 在],[b a 上有定义，若],[0b a x ∈为(){}x f n 的收敛点，(){}x f n 的每一项在],[b a 上有连续的导数，且(){}x f n '在],[b a 上一致收敛，则(){}x f n 在],[b a 上一致收敛，其极限函数)(x f 在],[b a 上可导，且()).(d d lim )(lim d d )(d d x f x x f x x f x n n n n →∞→∞==2.函数项级数及其一致收敛性（1）函数项级数的收敛域及和函数设有一定义于同一数集E 上的函数列(){}x u n ，称++++)()()(21x u x u x u n ，.E x ∈为定义在E 上的函数项级数，记为∑∞=1)(n nx u或∑).(x u n 并称)()(1x u x S nk k n ∑==，E x ∈， ,2,1=为函数项级数∑)(x u n 的部分和数列. 若E x∈0，部分和数列)}({0x S n 收敛，则称0x 为函数项级数∑)(x u n的收敛点，若数列)}({0x Sn发散，则称0x 为函数项级数∑)(x u n 的发散点. 级数∑)(x u n的所有收敛点的集合称为它的收敛域. 若E D x ⊂∈∀，级数∑)(x u n的和数列(){}x S n 收敛于函数)(x S ，则称)(x S 为级数∑)(x u n的和函数，记为)()()()(21x S x u x u x u n =++++ ，.D x ∈注 函数项级数的收敛性指的就是它的和函数列的收敛性.（2）函数项级数一致收敛的定义 设(){}x S n 是函数项级数∑)(x u n的部分和数列，若(){}x S n在D 上一致收敛于函数)(x S ，则称函数项级数∑)(x u n 在D 上一致收敛于函数)(x S ，或称∑)(x u n 在D 上一致收敛，即0>∀ε，+∈∃R N ，N n >∀，D x ∈∀，有.)()(ε<-x S x S n（3）函数项级数一致收敛的判别法 ① 利用函数项级数一致收敛的定义. ② 柯西准则：函数项级数∑)(x u n在数集D 上一致收敛⇔0>∀ε，+∈∃RN ，使得当N n >时，对一切D x ∈和一切正整数p ，都有.)()(ε<-+x S x S n p n或.)()()(21ε<++++++x u x u x u p n n n注 当1=p 时得到函数项级数一致收敛的必要条件：∑)(x u n在数集D 上一致收敛⇔函数列(){}x u n 在D 上一致收敛于零.③ 确界极限判别法：函数项级数∑)(x u n在D 上一致收敛于函数)(x S⇔.0)()(sup lim =-∈→∞x S x S n Dx n④ 优级数判别法：设函数项级数∑)(x u n定义在数集D 上，∑nM为收敛的正项级数，若对一切D x ∈，有n n M x u ≤)(，,,2,1 =n 则级数∑)(x u n在D 上一致收敛.⑤ 阿贝尔判别法：设 （10）∑)(x u n在区间I 上一致收敛；（20）I x ∈∀,)}({x v n 是单调的； （30）)}({x v n 在I 上一致有界.则级数)()(x v x u nn∑在I 上一致收敛.⑥ 狄利克雷判别法：设（10）∑)(x u n的部分和数列在区间I 上一致有界；（20）I x ∈∀,)}({x v n 是单调的； （30）在I 上0)(→→x v n ).(∞→n则级数)()(x v x u nn∑在I 上一致收敛.（4）一致收敛函数项级数的性质 ① 连续性：若函数项级数∑)(x u n在区间],[b a 上一致收敛，且每一项都连续，则其和函数在],[b a 上也连续.② 逐项求积：若函数项级数∑)(x u n在区间],[b a 上一致收敛，且每一项都连续，则∑⎰⎰∑=.d )(d )(babannx x u x x u③ 逐项求导：若函数项级数∑)(x u n在],[b a 上每一项都有连续的导函数，],[0b a x∈为∑)(x u n的收敛点，且)(x u n∑'在],[b a 上一致收敛，则∑=)()(x u x S n在上可导，且可逐项求导，即().)(d d)(d d ∑∑=⎪⎭⎫ ⎝⎛x u xx u x n n （三）幂级数1.幂级数的一般形式：()∑∞=-0n nnx x a ；特殊形式：x an n n∑∞=0.2.阿贝尔定理：若幂级数x ann n∑∞=0在0≠=x x 收敛，则对满足不等式x x <的任何x ，幂级数x ann n∑∞=0收敛而且绝对收敛；若幂级数x a nn n ∑∞=0在x x =发散，则对满足不等式x x >的任何x ，幂级数x a n n n ∑∞=0发散.3.幂级数的收敛半径和收敛区间 幂级数x ann n∑∞=0的收敛域是以原点为中心的区间，若以R 2表示区间的长度，则称R 为幂级数的收敛半径.（1）当0=R 时，幂级数x ann n∑∞=0仅在0=x 处收敛；（2）当∞=R 时，幂级数x ann n∑∞=0在),(+∞-∞上收敛；（3）当0>R 时，幂级数x ann n∑∞=0在),(R R +-内收敛；对一切满足不等式R x >的x ，幂级数x ann n∑∞=0都发散；在R x ±=处，可能收敛也可能发散.（4）()R R ,-称为幂级数x ann n∑∞=0的收敛区间.4.幂级数收敛半径定理：对于幂级数x a n n n ∑∞=0，若ρ=→∞n n n a lim ，或ρ=+∞→nn n a a 1lim ，则（1）当+∞<<ρ0时，幂级数x a n n n ∑∞=0的收敛半径是ρ1=R ；（2）当0=ρ时，幂级数x ann n∑∞=0的收敛半径是+∞=R ；（3）当+∞=ρ时，幂级数x ann n∑∞=0的收敛半径是0=R .5.幂级数的一致收敛性质 （1）设幂级数x ann n∑∞=0的收敛半径为()0>R ，则在它的收敛区间()R R ,-内任意闭区间],[b a 上幂级数都一致收敛.（2）设幂级数x ann n∑∞=0的收敛半径为()0>R ，且在R x =（或R x -=）时收敛，则幂级数在],0[R （或]0,[R -）上一致收敛.6.幂级数的分析性质 （1）幂级数x ann n∑∞=0的和函数是()R R ,-内的连续函数；若幂级数在收敛区间的左（右）端点上收敛，则其和函数也在这一端点上右（或左）连续.（2）幂级数x ann n∑∞=0与其逐项求导及逐项积分所得的幂级数具有相同的收敛区间.（3）设幂级数x ann n∑∞=0在收敛区间()R R ,-内的和函数为()x f ，()R R x ,-∈∀，则① ()x f 在x 可导，且()∑∞=-=11n n nxnax f ；② ()x f 在0与x 这个区间上可积，且()x n a t t f n n n x11d +∞=∑⎰+=. （4）记()x f 为幂级数x ann n∑∞=0在收敛区间()R R ,-内的和函数，则在()R R ,-内具有任意阶导数，求可逐项求导任意次，即() +++++='-x na x a x a a x f n n 1232132， () +-++⋅+=''-x a n n x a a x f n n 232)1(232， ()() +-++=+x a n n n a n x fn n n 12)1()1(!（5）记()x f 为幂级数x ann n∑∞=0在0=x 的某邻域内的和函数，则幂级数的系数与()x f 在0=x 处的各阶导数有如下关系： ()()() ,2,1,!0,00===n n fa f a n n7.幂级数的运算 （1）若幂级数x ann n∑∞=0与x b nn n ∑∞=0在0=x 的某邻域内有相同的和函数，则称这两个幂级数在此邻域内相等.（2）幂级数x ann n∑∞=0与x b nn n ∑∞=0在0=x 的某邻域内相等 ,2,1,0,==⇒n b a n n（3）若幂级数x ann n∑∞=0与x b nn n ∑∞=0的收敛半径分别为a R 与b R ，则有x a x ann n nn n∑∑∞=∞==0λλ，a R x <.()x b a x b x ann n n nn n nn n∑∑∑∞=∞=∞=+=±0，R x <. x c x b x a n n n n n n n n n ∑∑∑∞=∞=∞==⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛000,R x <. 其中λ为常数，},m in{b a R R R =，kn nk k n ba c -=∑=.8. 泰勒级数（1）设()x f 在0x x =处存在任意阶的导数，则称()()()()()()()() +-++-''+-'+n n x x n x f x x x f x x x f x f 00200000!!2 为()x f 在0x 的泰勒级数，当00=x 时，称级数()()()()() +++''+'+x n f x f x f f nn !0!20002为函数的麦克劳林级数.（2）()x f 在0x 的泰勒级数收敛于()()0lim =⇔∞→x R x f n n ，其中()x R n 为()x f 在0x 的泰勒公式余项.（3）余项的形式 ① 皮亚诺型余项()()()nn x x o x R 0-=，()()x o x R n n =.② 拉格朗日型余项 ()()()()()101!1++-+=n n n x x n fx R ξ（ξ介于0x 与x 之间）()()()()10001)!1(++-+-+=n n x x n x x x fθ，10<<θ. ()()()()xn fx R n n n 11!1+++=ξ（ξ介于0与x 之间）()()x n x fn n 11)!1(+++=θ，10<<θ. ③ 柯西型余项()()()()()01!x x x n fx R n n n --=+ξξ（ξ介于0x 与x 之间）()()()()()100011!++---+=n n n x x n x x x fθθ，10<<θ.()()()()x x n fx R n n n ξξ-=+!1（ξ介于0与x 之间）()()()()xn x x x fn nn 10011!++--+=θθ，10<<θ.④ 积分型余项()()()()t t x t f n x R nx x n n d !101-=⎰+.()()()()t t x t f n x R nx n n d !101-=⎰+.（4）五个基本展开式① R ,!!21e 2∈+++++=x n x x x nx .② ()()R ,!121!5!3sin 12153∈+--+-+-=--x n x x x x x n n . ③ ()()R,!21!4!21cos 242∈+-+-+-=x n x x x x nn .④ ()()()()1,!11!21112<++--++-++=+x x n n x x x nααααααα.⑤ ()()(]1,1,1321ln 132-∈+-+-+-=+-x nx xx x x nn . 9. 函数的幂级数展开的方法（1）直接法先求出函数在0x x =处的各阶导数，其次估计余项，证明()0lim =→∞x R n n ，最后写出函数的展开式.（2）间接法利用基本展开式，经过四则运算或变量替换得到函数的幂级数展开式，或在收敛区间内用逐项求导或逐项积分求出函数的导数或原函数，再经逆运算得到函数的幂级数展开式（四）傅里叶级数1.三角函数系与三角级数（1）函数列 ,sin ,cos ,,2sin ,2cos ,sin ,cos ,1nx nx x x x x 统称为三角函数列或三角函数系.（2）三角函数系具有正交性，即在三角函数系中，任何两个不同的函数的乘积在[]ππ,-上的积分都等于零，而其中任何一个函数的平方在[]ππ,-上的积分都不等于零.（3）由三角函数系产生的形如()∑∞=++10sin cos 2n n n nx b nx a a 的级数称为三角级数. （4）若级数 ()∑∞=++102n n n b a a 收敛，则级数 ()∑∞=++10sin cos 2n n n nx b nx a a 在整个数轴上绝对收敛且一致收敛.2.以π2为周期的函数的傅里叶级数 （1）傅里叶系数公式若在整个数轴上()()∑∞=++=10sin cos 2n n n nx b nx a a x f 且等式右边级数一致收敛，则有如下关系：()x nx x f a n d cos 1⎰-=πππ， ,2,1,0=n ， ()x x x f b n d sin 1⎰-=πππ， ,2,1=n .（2）以()x f 的傅里叶系数为系数的三角级数称为()x f 的傅里叶级数，记为()x f ～()∑∞=++10sin cos 2n n n nx b nx a a .（3）收敛定理：若以π2为周期的函数()x f 在[]ππ,-上按段光滑，则在没一点[]ππ,-∈x ，()x f 的傅里叶级数收敛于()x f 在点x 处的左、右极限的算术平均值，即()()()∑∞=++=-++10sin cos 2200n n n nx b nx a a x f x f ，其中n n b a ,为()x f 的傅里叶系数.（4）收敛定理的推论：若()x f 是以π2为周期的连续函数，且在[]ππ,-上按段光滑，则()x f 的傅里叶级数在()+∞∞-,上收敛于()x f .3.以l 2为周期的函数的傅里叶级数 设()x f 是以l 2为周期的函数，级数∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛++10sin cos 2n n n l x n b l x n a a ππ，其中()x l x n x f l a l l n d cos 1π⎰-=， ,2,1,0=n ，()x lx n x f l b l l n d sin 1π⎰-=， ,2,1=n ，称为函数()x f 的傅里叶级数，n n b a ,称为傅里叶系数.4.正弦级数与余弦级数（1）设()x f 是以l 2为周期的可积偶函数，或是定义在[]l l ,-上的可积偶函数，则()x f 可展成余弦级数()x f ～lx n a a n n πcos 210∑∞=+，其中 ()x lxn x f l a l n d cos 20π⎰=， ,2,1,0=n .（2）设()x f 是以l 2为周期的可积奇函数，或是定义在[]l l ,-上的可积奇函数，则()x f 可展成正弦级数()x f ～lxn b n n πsin1∑∞=， 其中 ()x lxn x f l b l n d sin 20π⎰=， ,2,1=n . 5.贝塞尔不等式及其推论（1）贝塞尔不等式若函数()x f 在[]ππ,-上可积，则()()x x fb a a n nn d 1221222⎰∑-∞=≤++πππ，其中n n b a , 为()x f 的傅里叶系数.（2）推论1（黎曼-勒贝格定理）：若()x f 为可积函数，则()0d cos lim =⎰-∞→x nx x f n ππ，()0d sin lim =⎰-∞→x nx x f n ππ.（3）推论2：若()x f 为可积函数，则()0d 21cos lim 0=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰∞→x x n x f n π，()0d 21sin lim 0=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰∞→x x n x f n π. 5.傅里叶级数部分和的积分表达式若()x f 是以π2为周期的函数，且在[]ππ,-可积，则它的傅里叶级数部分和()x S n 可写成()()t t tn t x f x S n d 2sin221sin 1⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎰-πππ，当0=t 时，被积函数中的不定式有极限212sin221sin lim 0+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+→n t tn t来确定.四、基本例题解题点击【例1】讨论下列级数的敛散性： 1.()∑∞=2ln ln 1n nn ； 2. ()∑-1na （1>a ）； 3. ∑nn n !； 4. ∑33n n .【提示】本题涉及到正项级数的几种常用的敛散性判别法，其中第三题困难之处在于寻找与()1-na 同阶无穷小，利用()1-a x 的泰勒展开式，将展开式中的x 替换为n1后即可知()1-na 与n1同阶. 【解】1. 当e 2>n 时，()21ln 1ln n n n <，而∑21n收敛，故()∑∞=2ln ln 1n n n 收敛. 2. 0ln 1lim 11lim 0>=-=-+→∞→a x a na x x nn ，而∑n 1发散，故()∑-1na 发散.3. 由于 1e 11lim lim 1<=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∞→+∞→nn n n n n n u u ，故∑n n n!收敛.4. 由于1313lim lim 3<==∞→∞→nn n n n n u ，故∑33n n 收敛. 【例2】设∑a n2与∑bn 2都收敛，证明下列级数也都收敛：1.∑n n b a ； 2. ()∑+2n n b a ; 及 3. ∑na n. 【证明】1.由()b a b a n n n n 2221+≤及∑a n 2和∑b n 2的收敛性可知∑n n b a 收敛. 2. 由()b b a a n b a n n n n n 2222++≤+及∑a n2和∑bn 2的收敛性与上小题的结果可知()∑+2n nb a收敛.3. 由⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤a n n a n n 22121及∑a n 2与∑n21的收敛性可知∑n a n 收敛. 【例3】判断级数()nnn ln 1∑-的收敛性（中国地质大学2006年硕士研究生入学试题）. 【提示】考查交错级数收敛的判别法与级数的条件收敛性.【解】当e >x 时，0ln 1ln 2<-='⎪⎭⎫ ⎝⎛x xx x ，所以，当3≥n 时，n n ln 单调递减，且0ln lim =∞→n n n ，由交错级数的莱布尼茨判别法可知()nn n ln 1∑-收敛，但是()n n n n 1ln 1≥-，而∑n1发散，故()nn n ln 1∑-条件收敛. 【例4】证明下列级数收敛:1. nn n n n ∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+111cos ； 2.()∑∞=-12sin 1n nn n . 【证明】1. 设n n u n cos =，nn n v ⎪⎭⎫⎝⎛+=11.对于级数∑∞=1n n u ，由于⎭⎬⎫⎩⎨⎧n 1单调递减且01lim =∞→n n 及∑=nk k 1cos 有界，由狄利克雷判别法可知∑∞=1n nu收敛.又数列{}n v 单调递增有上界，根据阿贝尔判别法，原级数收敛.2. 由于22cos 1sin 2nn -=，故原级数收敛性证明可转化为下面两个级数的收敛性：()∑∞=-121n n n，()∑∞=+-1122cos 1n n nn .根据莱布尼茨判别法可知，级数()∑∞=-121n n n收敛.级数()()∑∑∞=+∞=+-=-11112cos 12122cos 1n n n n nn nn ，有数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n 1单调递减且01lim =∞→nn ，而()()∑∑=+=+-=-nk k nk k k k 11112cos 1cos 211cos 212cos 1 ()()()()1cos 112cos 12cos 13cos 5cos 1cos 3cos 1cos 211≤-++-++--+=+n n n . 由狄利雷判别法可知，级数()∑∞=+-1122cos 1n n nn 收敛. 因此级数()∑∞=-12sin 1n n nn收敛.【例5】讨论下列函数列在给定区间上的一致收敛性：1. ()x x x f nnn +=1， （1） []1,0∈x ； （2） []δ-∈1,0x ()10<<δ.2. ()nn n x x f ⎪⎭⎫⎝⎛+=1，[]1,0∈x .【解】1. （1）()()⎪⎩⎪⎨⎧=<≤==∞→.1,21,10,0lim x x x f x f n n 由于(){}x f n 中的每一项都在[]1,0上连续，而其极限函数()x f 在[]1,0上不连续，因此函数列(){}x f n 在[]1,0上不一致收敛.（2）因为 ()()0lim ==∞→x f x f n n，[]δ-∈1,0x . 又 ()()()()n nnn x n x x x x f x f δδδδ-+-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧+=--≤≤-≤≤1111sup sup 1010. 所以，()()0sup lim 10=--≤≤∞→x f x f n x nδ，故函数列(){}x f n 在[]δ-1,0上一致收敛. 2. ()()e 1lim lim x nn n n n x x f x f =⎪⎭⎫ ⎝⎛+==∞→∞→，[]1,0∈x .又 ()()()0e 11<-⎪⎭⎫ ⎝⎛+='--x n n n x x f x f ，故()()x f x f n -在[]1,0上严格单调递减，即有()()0e 111≤-≤-⎪⎭⎫⎝⎛+-x f x f n n n .由此得 ()()()∞→→-⎪⎭⎫⎝⎛+≤--n n x f x f n n 0e 111. 故函数列(){}x f n 在[]1,0上一致收敛.【例6】证明函数列 ()()nn x nx x f -=1 ),2,1( =n 在闭区间]1,0[上收敛，但不一致收敛.【证明】]1,0[∈∀x ，显然有()()01lim lim =-=∞→∞→n n n n x nx x f . 即()()nn x nx x f -=1在闭区间]1,0[上收敛于零，但是由于()∞→→⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛n n n f nn e 1111，从而()00sup lim ]1,0[≠-∈∞→x f n x n，因此()x f n 在]1,0[上不一致收敛. 【例7】讨论下列函数项级数的一致收敛性： 1.()∑∞=++12n n nnn x x ，[]1,0∈x ；2.()∑∞=+-121n nxn ，()+∞∞-∈,x ；3.()∑∞=+-1cos 1n nxn ，.2,2⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈ππx 【解】1. 因为()n n n n nn x nx nn x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅=+∑∑∞=∞=+11122，故设()n x x u n 2=，()nn n x x v ⎪⎭⎫⎝⎛+=1.由优级数判别法，易证()∑∞=1n n x u 在[]1,0上一致收敛.[]1,0∈∀x ，数列(){}x v n 单调递增，且()e e ≤≤x n x v ，[]1,0∈x ，+∈N n ，由阿贝尔判别法可知，原级数在[]1,0上一致收敛.2. 此级数为交错级数，由莱布尼茨判别法易证该级数在()+∞∞-,上收敛，设()x S n 与()x S 分别为级数()∑∞=+-121n nxn 的前n 项部分和与和函数，则()()01cos 11→<++≤-nx n x S x S n ()∞→n .由柯西准则可知()∑∞=+-121n nxn 在()+∞∞-,上一致收敛.3. 设()()nn x u 1-=，()x n x v n cos 1+=. 则级数()∑∞=1n n x u 的部分和数列在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,2ππ上一致有界. 对⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈∀2,2ππx ，(){}x v n 单调递减且趋于零. 并且 []()01lim 0sup lim 2,2==-∞→-∈∞→nx v n n x n ππ， 即(){}x v n 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,2ππ上一致收敛于零. 由狄利克雷判别法知，原级数在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,2ππ上一致收敛.【例8】设()x x x u n n ln =，(]1,0∈x . 1. 讨论()∑∞=1n n x u 在(]1,0上的收敛性和一致收敛性.2. 计算()x x u n n d 11⎰∑⎪⎭⎫⎝⎛∞=.【解】1. ()∑∞=1n n x u 的部分和为()()()⎪⎩⎪⎨⎧=∈--=.1,0,1,0,1ln 1x x xxx x x S n n由此可知()∑∞=1n n x u 在(]1,0上收敛且和函数为()()⎪⎩⎪⎨⎧=∈-=.1,0,1,0,1ln x x xx x x S 又()())1(1ln 1lim 1ln lim lim 111S x xx x x S x x x≠-=+-=-=+→+→+→，即和函数()x S 在(]1,0上不连续，因此()∑∞=1n n x u 在(]1,0上不一致收敛.2. ()()1d 1ln d ln d 1ln d 1ln d 10101010101+-=--=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰⎰⎰⎰⎰∑∞=x x x x x x x x x x x x x x u n n.6111d 1d 121211011011π-=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=∑∑⎰⎰∑∞=∞=-∞=-n n n n n n x n x x n x【知识扩展提示】利用极限函数或和函数的不连续性来证明函数列或函数项级数的不一致收敛性是一种非常简洁而又十分有效地办法.【例9】求下列幂级数的收敛半径和收敛域：1. ()x n nn n 111+∑⎪⎭⎫ ⎝⎛+； 2. x n nn211∑⎪⎭⎫⎝⎛+. 【解】1. 因为 ()e 11lim 11lim 11=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛++∞→+∞→n n n n n n n n ,所以幂级数的收敛半径是e1=R . 当e 1±=x 时，()nn n n n n n ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛±⎪⎭⎫ ⎝⎛+++e 11e 11111，由于数列⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛++111n n 严格单调递减且收敛于e （当∞→n 时），从而有e 111>⎪⎭⎫ ⎝⎛++n n ，即1e 111>⎪⎭⎫⎝⎛++n n ，所以有()0e 111lim 1≠⎪⎭⎫⎝⎛±⎪⎭⎫ ⎝⎛++∞→nn n n n ， 由级数收敛的必要条件知，幂级数在e 1±=x 处发散，因此原幂级数的收敛域为.e 1,e 1⎪⎭⎫ ⎝⎛- 2. 【解法一】令y x =2，则原幂级数为y n nn∑⎪⎭⎫ ⎝⎛+11.由于111lim =⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→n nn n ，故幂级数的收敛半径为.1=R 当1±=y 时，因为 ()0e 111lim ≠=±⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→n nn n ，所以幂级数y n n n ∑⎪⎭⎫ ⎝⎛+11在1±=y 处发散，故y n nn∑⎪⎭⎫ ⎝⎛+11的收敛域为()1,1-，由()1,12-∈=y x 得 ()1,1-∈x ，即原幂级数的收敛域为()1,1-.【解法二】令()x n x u n nn 211⎪⎭⎫⎝⎛+=，则()()()()x x nx n x u x u nn n n n n n n 22221111111lim lim =+⎪⎭⎫ ⎝⎛++=++∞→+∞→， 由正项级数收敛的比式判别法可知，当12<x 即()1,1-∈x 时原幂级数绝对收敛，当12>x 时幂级数发散，因此幂级数的收敛半径为1=R ，易证当1±=x 时幂级数发散，故原幂级数的收敛域为()1,1-.【知识扩展提示】求幂级数的收敛域一般分为两步：首先求收敛半径，其次考虑级数在端点处的敛散性. 对于缺少偶次项或奇次项的幂级数（如第2题）可以用变量替换或用正项级数收敛性判别法来确定收敛半径和收敛域.【例10】求∑∞=+11n nn x的收敛域与和函数.【解】由于111lim =+→∞n n n ，故收敛半径为1=R ，又∑∞=+111n n 发散，()∑∞=+-111n n n 收敛，因此幂级数的收敛域为[).1,1- 令()∑∞=+=11n nn x x f ，()()∑∞=++==111n n n xx xf x g ，则()xxx x g n n -=='∑∞=11， 所以 ()()().1ln d 1d 00x x t ttt t g x g xx---=-='=⎰⎰ 从而当0≠x 时，()()()x x x x g x f ---==1ln 1，又显然有()00=f ，故 ()()[)()⎪⎩⎪⎨⎧=⋃-∈---=.0,0,1,00,1,1ln 1x x xx x f 【知识扩展提示】通常利用幂级数的四则运算性质、逐项求导性质及逐项积分性质来求幂级数的和函数【例11】求x sin 2在0=x 处的幂级数展开式.【解】因为 ()()∑∞=-=02!21cos n nnn xx ，R x ∈，所以()()()()()()∑∑∞=--∞=-=--=-=12121022!221!22121212cos 121sin n nn n n nn x n n x x x ，.R x ∈【例12】求函数()x x f 2=在ππ<<-x 上的傅里叶展开式，并计算∑∞=121n n.【解】 补充定义()ππ2=f ，再把()x f 延拓为周期为π2的周期函数，则()x f 在R 上连续，且在[]ππ,-上按段光滑. 由收敛定理知，()x f 可以展成傅里叶级数，由于ππππ22032d 1==⎰-x x a .()nx nx x a nn 2241d cos 1-==⎰-πππ，,,2,1 =n0d sin 12==⎰-πππx nx x b n ， ,2,1=n .所以当ππ<<-x 时，()().cos 143122nx nx f n n ∑∞=-+=π当π=x 时，上面等式也成立，于是∑∞=+=1222143n nππ，故.61212π=∑∞=n n五、扩展例题解题点击【例1】利用柯西收敛准则证明： 1.()∑-nn 1收敛； 2.∑n 1发散.【证明】1. 0>∀ε，令ε11+=N ，则当N n >时，对+∈∀N p ，有（1）若p 为奇数，()pn n n p +-+++-+-112111ε<+<⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--+++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-+=11111312111n p n p n n n n . （2）若p 为偶数，则()pn n n p +-+++-+-112111 ε<+<+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--+--⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-+=1111121312111n p n p n p n n n n . 所以，()∑-nn 1收敛.2. 取210=ε，0>∀N ，总存在正整数N n >0，00n p =，则000000021212121212111ε==++>+++++n n n n n n . 所以，∑n 1发散.【例2】讨论∑n1cos ln 的敛散性. 【提示】 利用同阶无穷小.【解】由于 21cos 2sin limcos ln lim 020==-→→x x x xx x x ，所以 2111cosln lim 2=-→∞nn n ，又∑n21收敛，所以，∑n1cos ln 收敛. 【例3】证明：∑⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-n n11ln 1 收敛. 【证明】由nn n 111ln 11<⎪⎭⎫ ⎝⎛+<+，得 ()()nn n n n n n n n 23111111111ln 10<+++=+-<⎪⎭⎫ ⎝⎛+-<， 而∑n231收敛，故∑⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-n n 11ln 1 收敛. 【例4】设()x f 1在],[b a 上黎曼可积，令()()t t f x f xann d 1⎰=+， ,2,1=n 证明：(){}x f n在],[b a 上一致收敛于0（清华大学2003年硕士研究生入学试题）.【证明】由于()x f 1在],[b a 上黎曼可积，从而在],[b a 上有界，即存在0>M ，使得()M x f ≤1，从而有()()()a x M t t f x f xa -≤≤⎰d 12，()()()()22321d d a x M t a t M t t f x f xax a-=-≤≤⎰⎰， 依次可推出()()()!11--≤-n a x M x f n n ，所以有()()()!11--≤-n a b M x f n n .易证正项级数()()∑---!11n a b n 收敛，由级数收敛的必要条件可知()()0!1lim 1=---∞→n ab n n ，故(){}x f n 在],[b a 上一致收敛于0.【例5】设t t nt t a n d sin sin 320⎰⋅=π，证明∑∞=11n na 发散（2009年首届中国大学生数学竞赛（数学专业）赛区试题）.【证明】213230320d sin sin d sin sin d sin sin I I t t ntt t t nt t t t nt t nn +=⋅+⋅=⋅⎰⎰⎰ππππ.2d d sin sin 2203301n t t n t t nt t I n πππ=<⋅=⎰⎰, 828d 2d sin sin 2332322n n t t t t t nt t I nn πππππππππ<⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅<⋅=⎰⎰.因此，n a n π211>，由此得∑∞=11n na 发散. 【例6】设f 在0=x 的某邻域内有定义，()0f ''存在，证明：∑⎪⎭⎫⎝⎛n f 1绝对收敛的充要条件是()()000='=f f （南京大学2002年硕士研究生入学试题）.【证明】充分性. 由于()0f ''存在，故()()()()()02120lim 2lim lim 0020f x f x f x x f xx f x x x ''='-'='=→→→.从而，()()02111lim2f nn f n ''=∞→，而∑n21收敛，因此，∑⎪⎭⎫⎝⎛n f 1绝对收敛. 必要性. 由∑⎪⎭⎫ ⎝⎛n f 1绝对收敛可知，01lim =⎪⎭⎫ ⎝⎛∞→n f n ，又由于f 在0=x 处连续，故()00=f . 又()()()()x x f x f x f f x x 00lim 0lim 0→→=-='，从而有()01lim f n nf n '=⎪⎭⎫ ⎝⎛∞→，由于∑⎪⎭⎫⎝⎛n f 1绝对收敛，所以().00='f 【例7】设(){}x f n 是定义在],[b a 上的无穷次可微函数序列且逐点收敛，并在],[b a 上满足()M x f n ≤'.1. 证明：(){}x f n 在],[b a 上一致收敛；2. 设()()x f x f n n ∞→=lim ，问()x f 是否一定在],[b a 上处处可导，为什么（2009年首届中国大学生数学竞赛（数学专业）赛区试题）？【证明】1. 0>∀ε，将区间],[b a 分成K 等份，分点为()Ka b j a x j -+=，K j ,,2,1 =，使得ε<-Kab . 由于(){}x f n 在有限个点{}K j x j ,,2,1, =上收敛，因此N n m N >>∀>∃,0，使得()()ε<-j n j m x f x f 对每个K j ,2,1=都成立，于是，],[b a x ∈∀，设],[1+∈j j x x x ，则()()()()()()()()x f x f x f x f x f x f x f x f n j n j n j m j m m n m -+-+-≤-()()()()()()()εηξ12+<-'+-+-'=M x x f x f x f x x f j n j n j m j m. 因此，(){}x f n 在],[b a 上一致收敛.2. 不一定. 令()nx x f n 12+=在]1,1[-上满足题中条件，但是()()x x f x f n n==∞→lim 在]1,1[-上不能保证处处可导（在0=x 处就不可导）.【例8】证明：函数()∑=nnx x f 3sin 在()+∞∞-,上连续，且有连续的导函数.【证明】由于对()+∞∞-∈∀,x ，有nnnx 331sin ≤， ,2,1=n且级数∑n31收敛，故由优级数判别法知∑nnx 3sin 在()+∞∞-,上一致收敛.又n nxn nx 23cos sin ='⎪⎭⎫ ⎝⎛，而n n nx 221cos ≤，() ,2,1,,=+∞∞-∈n x ， 由∑n21收敛知∑nnx 2cos 在()+∞∞-,上一致收敛. 又nnx 2cos () ,2,1=n 在()+∞∞-,上连续，从而由可积性定理知()x f 在()+∞∞-,上具有连续的导函数，从而()x f 也在()+∞∞-,上连续.【例9】将所有有理数排成一个数列{}n r ，试讨论函数()()∑-=2sng nn r x x f 的连续性（厦门大学2006年硕士研究生入学试题）.【解】 因为()212sng nnn r x ≤-，且∑21n收敛，故由优级数判别法知()∑-2sng nn r x 在R 上一致收敛. R 0∈∀x ，当{}n r x ∉0时，通项()2sng nn r x -在0x x =处连续，由一致收敛函数项级数的和函数连续性定理知，()x f 在0x x =处连续. 当{}n k r r x ∈=0时，因为()()()2sng 2sng kk kn nn r x r x x f -+-=∑≠，右边第一项在k x x =处连续，第二项在k x x =处间断，因此()x f 在k x x =处不连续. 综上所述，()x f 在所有无理点处连续，在所有有理点处不连续.【例10】求下列级数的收敛域：1. ()()n x x n n 2111+++∑； 2. .113212nn n x x n ⎪⎭⎫⎝⎛+-++∑ 【解】1. 令x x y 21++=，则原级数为()y n n n ∑+11，易求得其收敛域为[]1,1-，即当1112≤++≤-x x 时，原级数收敛，解次不等式得01≤≤-x . 因此原级数的收敛域为[].0,1-2. 令x xy +-=11，则原级数为y nn n n ∑++2321. 由于3321lim 2=++∞→n n nn n，所以幂级数y n n n n ∑++2321的收敛半径为31，易求得其收敛域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-31,31，因此当311131≤+-≤-x x 时，原级数收敛，解不等式得 221≤≤x ，故原级数的收敛域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21. 【例11】设有幂级数x n nnn n ∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+1221，求1. 收敛半径与收敛域.2. 和函数在收敛域内的导函数.【解】1. 由于n n nn n n22n 21222n ≤+≤，且222lim 2lim 2==→∞→∞n n n n n n ，故2n 21lim 2n=+→∞n n n ，因此收敛半径为21=R . 当21±=x 时，级数∑∑∞=∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛±⎪⎭⎫ ⎝⎛+12121212121n n n nn n n n n 收敛，故收敛域为.21,21⎥⎦⎤⎢⎣⎡- 2. 令()x n nx f n n n ∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=1221，.21,21⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈x 因为 ()∑∞=-=-11ln n n n xx ，[).1,1-∈x故 ()()().21ln 11211121111xx x nx x x x n x f n nn n n---=+-=⎪⎭⎫⎝⎛+='∑∑∞=-∞= 【例12】求幂级数()∑∞=+11n nxn n 的收敛域及和函数.【解】由于 ()11lim =+→∞nn n n ，故()∑∞=+11n n x n n 的收敛半径为1=R ，又当1±=x 时，级数()()∑∞=±+111n nn n 发散，因此，()∑∞=+11n nxn n 的收敛域为()1,1-.令()()∑∞=-+=111n n xn n x f ，()1,1-∈x ，则由幂级数的逐项可积性，得()()()∑∑⎰⎰∞=∞=-+=+=11011d 1d n n n x n xx n t tn n t t f .()().1d 1d 1211101xx xt t n t tn n n n xnx n n-==+=+∑∑⎰⎰∑∞=∞=+∞= 所以， ()()22211211x x x x x x n n n --='⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+∑∞=，()()()2221212x x x x x f -='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=，因此()()()21121x xx xf xn n n n-==+∑∞=. 【例13】求级数()∑∞=+1!1n n n的和. 【解】令()()x n n x f nn ∑∞=+=1!1，易求得该幂级数的收敛域为()+∞∞-,. 由幂级数的逐项求导和逐项积分性质，有()()()∑∑∞=∞==--=-='11e !11!1n x n n n x n x x n x x f . 故 ()()e x t e t x f x xt 11d 0-+==⎰. 从而有()().11!11==+∑∞=f n nn【知识扩展提示】利用幂级数求数项级数的和，要记住几个基本幂级数展开式.【例14】将下列函数在0=x 处展成幂级数： 1. ()t ttx f xd sin 0⎰=； 2. ()()x x f 22ln +=. 【解】1. 因为()()!121sin 120+-=+∞=∑n t t n n n，R t ∈，从而()()!121sin 20+-=∑∞=n t t t nn n ，于是()()()()()()∑∑⎰⎰∞=+∞=+⋅+-=+-==0120020!12121d !121d sin n n n n x n n xn n x t n t t t t x f ，R x ∈ 2. 因为()()nxx nn n ∑∞=--=+1111ln ，(]1,1-∈x ，所以。
7考研数学大纲知识点解析(第七章无穷级数(数学一)和傅里叶级数(数学一))
，
使
，于是
．令
，当 充分大时，有
因为
收敛，所以级数
绝对收敛．
【综合题】（04 年，数学一）设有方程
，其中 为正整数．证明此方程存
在唯一正实根 ，并证明当
时，级数
收敛．
【证明】记
．当
时，
，
故
在
上单调增加．
由于
，根据连续函数的零点存在定理知方程
存在唯一正实根 ，且
．从而当
时，有
，
而正项级数
收敛，所以当
在其收敛域 上可以逐项积分，即
， 且积分后的幂级数的收敛半径与原级数的收敛半径相同．
【函数展开成幂级数】
设
在
点的邻域
存在任意阶导数，则称幂级数
为
在
点处的泰勒级数．
特别地，当
时，称幂级数
【泰勒级数收敛充要条件】设函数
敛于
的充要条件为
，为
的麦克劳林级数．
在
内存在任意阶导数，则其泰勒级数收
，
其中
．
【常见麦克劳林级数】
（A）发散．
（C）绝对收敛． 【答案】（C）．
收敛，则级数 （B）条件收敛． （D）收敛性与 有关．
【解析】由于
，
又级数
与
均收敛，所以由级数的运算性质得级数
收敛，
由正项级数的比较判别法，得级数
绝对收敛．故选（C）．
【例题】（03 年，数学三）
设
，则下列命题正确的是 ．
（A）若
条件收敛，则
与
都收敛．
【解析】因
当
时，因级数
设
，所以收敛半径
．
及
发散，故收敛域为
高等数学第七 无穷级数
若交错级数 (1)n1un (un 0) 满足条件 n1
(1)n1un (un 0)
n1
lnimun 0
莱布尼茨定理
则该级数收敛，且其和 S u1
2020/5/7
示例
判断级数 (1)n1 1 的敛散性.
n1
n
1 1 n n1
un un1
又ln i m un
lim10 nn
级数
(1)n1
1收敛
2020/5/7
幂级数的运算性质
性质二 性质三
2020/5/7
幂级数的运算性质
性质四
2020/5/7
示例
求幂级数
(n
1) x n
在其收敛区间( 1,1)
内的
n0
和函数，并求 n 1 的和. 2n n0
设级数的和函数为 s ( x ) ，则 s(x) (n1)xn n0
逐项积分得
n1
n
2020/5/7
任意项级数敛散性的判别法
若 级 数 u n 收 敛 ， 则 级 数 u n 必 定 收 敛 。
n 1
n 1
如 果 级 数 u n 发 散 ， 不 能 说 级 数 u n 一 定 发 散 。
n 1
n 1
2020/5/7
示例
判断级数
(1)n1
n1
n 3n
的敛散性.
（ 1 ） 若 v n 收 敛 ， 则 u n 收 敛 ；
n 1
n 1
（ 2 ） 若 u n 发 散 ， 则 v n 发 散 。
n 1
n 1
2020/5/7
示例
判断级数
sin 2 n
的敛散性.
n1 3 n 1
微积分第七章无穷级数_OK
用法：常判别含有因子 n! 、a n或 nn 的级数敛散性。
20
例3 证明级数
11 1 1
1
1 12 123
123 (n-1)
是收敛的.
解解解: 因因为为 lliimmuunnn111 lliimm112233((nn--11)) lliimm110011,, nnn uunnn nnn 112233nn nnnnn
也是收敛的.
10
§7. 2 无穷级数的基本性质
性性质质11
如果
un
s
,则
kun
ks
.
n1
n1
性性质质22
如果 un s
、 vn
,则 (un vn) s
.
n1
n1
n1
性质3 在一个级数的前面加上、去掉或改变有限项,级数 的敛散性不变.
性质4 如果级数收敛, 则对这级数的项任意加括号后 所成的级数仍收敛, 且其和不变.
注意:
(1) 级 数 的 一 般 项 趋 于 零 并 不 是 级 数 收 敛 的 充 分 条 件 ,
不能因为一般项趋于零就断定级数收敛.
（2）判断级数敛散时应首先验证是否满足收敛的必要条13 件.
例4
判断级数
n sin 1
n1
n
解:因为
lim
n
un
lim n n
所以级数 n sin 1
的敛散性。
2n 2n
,
而且
n=0
1 2n
收敛.
所以，由比较判别法可知，级 数
1
n0 sin 2n
收敛.
证(2) 因为
1 n(n 1)
1
1
, 而且
无穷级数课件(同济第五版)
0 < A < +∞ 时
∞
n =1
A=0
如 ∑ Vn
n =1 ∞
收敛，则 ∑ u n 收敛
n =1 ∞
A=+∞ 如 ∑ u n
n =1
收敛，则 ∑ Vn 收敛
n =1
判别下列级数敛散性
∞
例、 ∑ ln
n =1
n +1 n ln n +1 ∞ 1 n =1 又 ∑ 发散，∴原级数发散 1 n =1n n
1 1 n = lim 2n 2 = 1 1 n →∞ 1 2 2 2 n n
收敛 ∴原级数收敛
∵ ∑
∞
1
2
n =1 n
（3）∵
lnn 1 > n n lnn n =1 n
∞
(n ≥ 3)
∵ ∑
1 n =1 n
∞
发散，
∴∑
发散
例、P271
例 7.7
7.8
2、比判别法
设正项级数 ∑ u n 的一般项满足
收敛，又由比较判别法知原级数收敛
n n n =13
∞
n cos 2
（6） u n = ∴ 原级数收敛
nπ ∞ n 3 < n ，由此值法知 ∑ n 收敛 n n =1 4 4 4
3°交错级数的敛散性的判别法 如 u n > 0 ，则称 ∑ (− 1)
n =1 ∞ n −1
u n = u 1 − u 2 + u 3 − u 4 + … 为交错级数。
第七章 无穷级数
10 常数项级数概念及性质 1、定义 P264 ∑ a n = a1 + a 2 + L + a n + L
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第七章 无穷级数本章有四个问题：1． 数项级数敛散性；2． 幂级数的收敛半径、收敛区间、收敛域； 3． 求和函数；4． 将函数展成麦克老林级数。
7.1数项级数敛散性的判别方法一 基本概念1. 级数收敛：令121nn n kk s u u u u==+++=∑ ，若lim n n s s →∞=，则称级数1nn u∞=∑收敛，若不然，则称1nn u∞=∑发散；2．绝对收敛：若1nn u∞=∑收敛，则称1nn u∞=∑为绝对收敛；3. 条件收敛：若1nn u∞=∑发散，而1nn u∞=∑收敛，则称1nn u∞=∑为条件收敛；二 基本结论1．级数1nn u∞=∑收敛的必要条件lim 0n n u →∞=。
2. 等比级数1nn aq∞=∑的公比的绝对值小于1时，级数收敛，其和等于1减公比分之首项。
3. p 级数11pn n∞=∑，当1p >时，收敛；当1p ≤时，发散。
三 基本方法1．正项级数敛散性的判别方法（1）比较判别法：一般形式：若n n u v ≤（n N >），则 若1nn v∞=∑收敛，则1nn u∞=∑收敛；若1nn u∞=∑发散，则1nn v∞=∑ 发散。
极限形式：如果0n v ≠，且 lim nn nu l v →∞=，（I ）当0l <<∞时，则1nn u∞=∑和1nn v∞=∑具有相同的敛散性。
（II ）当0l =时，则1nn v∞=∑收敛，1nn u∞=∑也收敛。
（III ）当l =∞时，则1nn u∞=∑发散，1nn v∞=∑也发散。
（2）比值判别法：（适用于!n 或连乘）11lim11n n nu u ρρρ+→∞<⎧⎪=>⎨⎪=⎩收敛发散不确定 （3）根值判别法：（适用于n 次方根）111n ρρρ<⎧⎪=>⎨⎪=⎩收敛发散不确定 注 ()m P n 是关于n 的m 次多项式，m是有限数，则1n =。
例如1n =。
（4）积分判别法：若()f x 是单调递减连续函数，()n f n u =，则1nn u∞=∑与1()f x dx+∞⎰具有相同的敛散性。
（数三不要求）2 交错级数敛散性的判别方法：莱布尼兹判别法：若交错级数1(1)(0)nnn n uu ∞=->∑满足（1）单调递减，即1n n u u +≤；（2）极限为零，即1lim 0n n u +→∞=， 则级数1(1)nnn u∞=-∑收敛。
3 任意项级数敛散性的判别方法1．考虑级数1nn u∞=∑是否收敛，若收敛，则1nn u∞=∑是绝对收敛。
2．若1nn u∞=∑不收敛，把级数1nn u∞=∑的一般项分解为n nn u u u '''=+，分别讨论级数 1nn u ∞='∑ 和 1nn u ∞=''∑的敛散性。
例1 讨论下列正项级数的敛散性：（1）12!n n n n n∞=∑； （2）12sin 3nn n x ∞=∑；（3）1(1cos )n n π∞=-∑； （4）121nn n n ∞=⎛⎫⎪+⎝⎭∑； （6）21ln n nn ∞=∑； （7）11n ∞=⎫⎪⎪⎭∑；（8）111(2)nnn ee∞-=+-∑； （9）11(1)nn n ∞=-∑。
解（1）利用比值判别法1112(1)!lim lim 2lim (1)2!(1)n n nn n n n n n n nu n n n u n n n +++→∞→∞→∞+=⋅=++21e =<， 所以级数12!n n n n n∞=∑收敛（2）利用比较判别法：不妨设0x >（0x <情况相同），利用等价无穷小替换，可知12sin 3n n n x ∞=∑与123n n n x ∞=∑具有相同的敛散性，而112233nn nn n x x ∞∞==⎛⎫= ⎪⎝⎭∑∑收敛，所以12sin 3nn n x ∞=∑收敛。
（3）利用比较判别法：利用等价无穷小替换，1(1cos )n n π∞=-∑与211n n∞=∑具有相同的敛散性，而211n n ∞=∑收敛，所以1(1cos )n n π∞=-∑收敛。
（4）根据根值判别法：因为1lim 12n =<，所以121nn n n ∞=⎛⎫ ⎪+⎝⎭∑收敛。
（5）根据比较判别法：考虑级数3/211n n ∞=∑，由于23/2ln 1lim /0n n n n →∞=，而3/211n n∞=∑收敛，所以21ln n nn ∞=∑收敛。
（6）根据积分判别法：利用等价无穷小替换，11n ∞=⎫⎪⎪⎭∑和11n n∞=∑具有相同的敛散性，而11n n ∞=∑发散，所以11n ∞=⎫⎪⎪⎭∑发散。
（7）由于2002lim lim 12x x x x x x e e e e x x--→→+--==； 所以111(2)nnn ee∞-=+-∑与211n n ∞=∑具有相同的敛散性，显然111(2)n n n e e ∞-=+-∑收敛。
（8）由于1ln 11n nnn e-=-，以及1xe x -≈，于是级数11(1)nn n ∞=-∑和1ln n nn∞=∑具有相同的敛散性，而1ln n nn ∞=∑发散，所以11(1)nn n ∞=-∑发散。
通过对上述级数收敛性的讨论，把正项级数敛散性方法归纳如下：1．一般的，如果一般项含有!n ，运用比值判别法；如果不含有!n ，而含有n 次方， 运用根值判别法；既不含有!n ，又不含有n 次方，运用比较判别法或积分判别法．2．在运用比较判别法时，常作等价转化，这主要是由于我们熟悉等价无穷小的替换公式．事实上，只要作同阶转化就可以了．例2 讨论下列交错级数的敛散性：（1）1(1)ln(1)1nn n n∞=-++∑； （2）1sin(n ∞=∑。
解（1）级数1(1)ln(1)1nn n n∞=-++∑是交错级数，显然ln(1)lim01n n n →∞+=+。
接下来，我们证明ln(1)1n n +⎧⎫⎨⎬+⎩⎭是单调递减的。
令ln ()x f x x =，让3x >（级数的有限项不影响其收敛性），则21ln ()0xf x x-'=<，所以()f x 是递减的，根据莱布尼兹判别法，级数1(1)ln(1)1n n n n ∞=-++∑收敛。
又由于1ln(1)1n n n ∞=++∑发散，所以1(1)ln(1)1n n n n ∞=-++∑条件收敛。
（2）由于111sin(sin()(1)sin()n n n n n n n πππ∞∞∞====+=-∑∑∑21(1)nn ∞==-∑因为正项级数21n ∞=∑与11n n∞=∑具有相同的敛散性，由于11n n ∞=∑发散，所以1sin(n ∞=∑发散。
又由于级数21(1)nn ∞=-∑2单调递减，极限为0，所以21(1)nn ∞=-∑1sin(n ∞=∑条件收敛。
例3 讨论下列任意项级数的敛散性：（1）21n n ∞= （2）n n ∞=。
解（1）由于1n n ∞=和211n n ∞=∑收敛，于是1n ∞= （2）由于1(1)(1`)](1)1111n n n n n n n ∞=---==----∑对于级数1(1)1n n ∞=--∑，根据莱布尼兹判别法，⎪⎪⎩⎭单调递减，极限是0，所以收敛。
对于级数111n n ∞=-∑，显然发散。
故nn ∞=发散。
习题7-11．用比较法判别下列级数的敛散性：（1）211n n n ∞=+∑； （2）12arcsin 3nn n π∞=∑；（3）1(1n ∞=-∑； （4）2112(1)2n n n ∞+=+-∑； （5）231(ln )n n n ∞=∑； （6）n ∞=； （7）n ∞= （8）11)(1)n a ∞=>∑；（9）111(2)n nn a a ∞-=+-∑； (10) 2221ln 1n n n ∞=+-∑；(11) 3ln cos n n π∞=⎛⎫- ⎪⎝⎭∑； (12) ln 21(ln )nn n ∞=∑； （13）1n ∞=；(14) 1n ∞=2．用比值法和根值法判别下列级数的敛散性（1）121nn n n ∞=⎛⎫⎪+⎝⎭∑； （2）11(0)1nn a a ∞=>+∑； （3）13!n n n n n ∞=∑； （4）21212nn n n ∞=++∑； （5）1!(0)n n n n x x n ∞=>∑； （6）3112n n n n +∞=+⎛⎫⎪+⎝⎭∑；（7）1!(21)!!n n n ∞=-∑； （8）1sin nn n n n π∞=⎛⎫⎪⎝⎭∑；（9）12(1)4n n n n ∞=+-∑； （10）21112n n n n +∞=+⎛⎫⎪+⎝⎭∑3．讨论下列变号级数绝对收敛，条件收敛或发散：（1）1sin 2nn nx ∞=∑； （2）1(1)1nn n n ∞=-+∑； （3）1(1)(0)n pn p n ∞=->∑； （4）1(1)sin nn n π∞=-∑； （5）1n n ∞= （6）1(1)n n ∞=-∑；（7）121(1)31nn n n n ∞=-⎛⎫- ⎪+⎝⎭∑ ； （8）11(1)n n ∞-=-∑（9）1sin(n ∞=∑； （10）21sin()ln n n n π∞=+∑．7.2函数项级数的收敛半径、收敛区间和收敛域求函数项级数1()n n u x ∞=∑的收敛半径、收敛区间和收敛域：（1）幂级数1nn n a x∞=∑每项系数都不是零若级数1n n n a x ∞=∑系数0n a ≠，且1limn n na a ρ+→∞=或n ρ=，则（1）收敛半径是1R ρ=；（2）收敛区间为(,)R R -；（3）收敛域：收敛端点加到收敛区间上就是收敛域。
（2）幂级数1nn n a x ∞=∑某些项系数等于零 1．用比值法1()lim()()n n na x x a x ρ+→∞=，或根值法()n x ρ=；2．解不等式()1x ρ<，其解为a x b <<，于是收敛区间为(,)a b ；3．讨论区间端点x a =和x b =对应的两个级数1()nn a a ∞=∑和1()nn a b ∞=∑是否收敛，再将收敛点加到收敛区间上，得到收敛域。
例1 求下列幂级数的收敛半径和收敛域（系数都不为0）：（1）12n nn x n∞=∑； （2）11!n n x n ∞=∑ ；（3）1n nn n x ∞=∑ ； （4）211(1)n n x n∞=-∑．解（1）由于11221lim lim lim 221n n n n n n na n n a n nρ++→∞→∞→∞+====+， 所以幂级数12n n n x n∞=∑的收敛半径为12R =，收敛区间为11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭．下面讨论幂级数在收敛区间的端点是否收敛． 当12x =-时，相应的数项级数为 11211(1)2nn n n n n n ∞∞==⎛⎫-=- ⎪⎝⎭∑∑． 此级数是交错级数，1n u n=单调递减，极限是0，于是此级数收敛； 当12x =时，相应的数项级数为 112112nn n n n n∞∞==⎛⎫= ⎪⎝⎭∑∑．此级数是调和级数，当然发散．所以级数12n nn x n∞=∑的收敛域是11[,)22-．（2）由于1!1limlim lim 0(1)!1n n n n na n a n n ρ+→∞→∞→∞====++， 所以幂级数01!nn x n ∞=∑的收敛半径为R =+∞，当然它的收敛域是R ． （3）由于11(1)1lim lim lim(1)1nn n n n n n na n n a n n ρ++→∞→∞→∞+⎛⎫===++=+∞ ⎪⎝⎭， 所以幂级数n nn n x∞=∑的收敛半径为0R =．于是它的收敛域是{0}(级数仅在0x =处收敛，其它点都发散)．（4）令1t x =-，则220011(1)nn n n x t n n∞∞==-=∑∑．由于22122lim lim lim 1(1)(1)n n n n na n n a n n ρ+→∞→∞→∞====++，所以幂级数211n n t n ∞=∑的收敛半径为1R =．当1t =±时，级数2221111(1)1n n n n n t n n n∞∞∞===±==∑∑∑都收敛，因此幂级数211nn t n∞=∑的收敛域是[1,1]-．于是有111x -≤-≤，即02x ≤≤，所以幂级数211(1)nn x n∞=-∑的收敛域是[0,2]．上述方法仅仅适合幂级数的各项系数不是0的情形，对于部分项系数是0的幂级数，就不能应用此法计算幂级数的收敛半径．如例2 求下列幂级数收敛半径和收敛域（部分系数为0）：（1） 212nn n n x ∞=∑； （2）2121(1)2n n n x n -∞=--∑．解（1）设2()2nn n n a x x =，则有2212121()12()lim lim ()22n n n n n n n nn x a x x x n a x xρ+++→∞→∞+===．令2112x <，解不等式得到：x <，所以级数的收敛半径R，收敛区间为(．当x =1n n ∞=∑，显然发散，于是级数212n n n nx ∞=∑收敛域是(．（2）设212(1)()2n n n x a x n--=-，则有212221212(1)()121(1)lim lim(1)(1)()42n n n n n n nn x a x n x x x a x nρ+++-→∞→∞----===---． 令21(1)14x -<，解不等式得：12x -<，所以收敛半径2R =，收敛区间为(1,3)-．当12x -=±时，相应的数项级数2121(2)2n n n n -∞=±-∑发散．于是级数2121(1)2n n n x n -∞=--∑的收敛域是(1,3)-．习题 7-2求下列幂级数的收敛半径、收敛区间和收敛域：（1）1nn nx ∞=∑； （2）21(1)nnn x n ∞=-∑；（3）1(2)!!n n x n ∞=∑； （4）211(1)21n n n x n -∞=--∑；（5）nn ∞= （6）1(1)32n n n n n x ∞=⎛⎫-+ ⎪⎝⎭∑；（7）1ln(1)1n n n x n ∞=++∑； （8）113(2)nn nn x n ∞=⋅+-∑； 7.3 求和函数一 求和函数1．等比级数nn aq∞=∑和初等函数：,sin ,cos ,ln(1),(1)x e x x x x α++展成的幂级数统称为已知级数．2．求和函数有两个途径：（1）将所求级数变化为已知级数； （2）用已知级数变化为所求级数．这里的变化通常包括：加、减(增减项)，乘、除(常数或变量x )，积分，求导．例1 求幂级数(1)nn n x∞=+∑的和函数解 (用已知级数变化为所求级数) 幂级数的收敛域为(1,1)-．由于101n n xx x∞+==-∑，(1,1)x ∈-， 两边求导21(1)(1)n n n x x ∞=+=-∑，(1,1)x ∈-． 例2 求级数1112n n n x n ∞-=∑的和函数．解 级数的收敛域是[2,2)-．方法1 (把所求级数变化公式：1101ln(1)(1)(1)1n n nn n n x x x n n +∞∞-==+=-=-+∑∑) 设111()2n n n S x x n ∞-==∑．当[2,2)x ∈-且0x ≠时，有111()2n n n S x x n ∞-==∑111(1)1ln 122nn n x x x n x -∞=-⎛⎫⎛⎫=--=-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∑． 当0x =时，1(0)2S =，所以级数的和函数为1ln 1,[2,0)(0,2)2 ()1,02x x S x x ⎧⎛⎫---⋃ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎪=⎪⎩． 方法2(把所求级数变化为等比级数) 设111()2n nn S x x n ∞-==∑，当[2,2)x ∈-，0x ≠且2x ≠-时，有 11()2n n n xS x x n ∞==∑，两边求导11111112[()]22212n n n n n n xS x x x x n x ∞∞-=='⎛⎫'====⎪-⎝⎭-∑∑． (此处要求公比2x的绝对值小于1，所以2x ≠-)两边积分 0001()[()]d d ln(2)ln 122x x xx xS x xS x x x x x ⎛⎫'===--=-- ⎪-⎝⎭⎰⎰．两边同除x (此处要求0x ≠)，有1()ln 12x S x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭．当0x =时，1(0)2S =；当2x =-时，()S x 有定义．故幂级数的和函数为1ln 1,[2,0)(0,2),2 ()1,0.2x x x S x x ⎧⎛⎫--∈-⋃ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎪=⎪⎩求幂级数的和函数需要说明的是：1．在求和函数时，首先求收敛域，然后在收敛域上，求和函数．在这个过程中，若对变量x 有限制(如例2的0x ≠)，就在收敛域后添加对x 的这个限制，最后求出限制点的和函数值．2．由于和函数在收敛域内是连续的，所以对和函数的收敛域内有定义的点的函数值如例2的2x =-，不必单独计算，我们只需单独求出没有定义的点的函数值，如例1的0x =．3．求和函数在特定点的函数值有两个办法：其一是将该点代回到原级数，求相应的数项级数的和；其二是利用和函数在收敛域的连续性，求该点的极限，即00()lim ()x x S x S x →=．例3 求函数项级数20(2)!nn x n ∞=∑的和函数（数三不要求）解 级数的收敛域是R ．令级数的和函数20()(2)!nn x S x n ∞==∑， 则有()()e x S x S x '+=． 此一阶线性方程的通解为1()e e 2xx S x C -=+，由于(0)1S =，于是得到12C =，所以幂级数的和函数为1()(e e )ch 2x xS x x -=+= 显然，例5的求和函数方法与例1~例4的方法是不同的，例1~例4采用了所求级数与已知级数相互转化方法；而例5是寻求和函数满足某个微分方程，解方程的方法．这是求和函数的两个常用方法．习题7-3求下列级数的和函数：（1）1n n x n∞=∑； （2）1nn nx ∞=∑ ；（3）211n n x n -∞=∑； （4）11(1)n n x n n +∞=+∑；（5）211n n n x ∞-=∑； （6）21121(1)(2)1n n n x n +∞-=--∑； （7）211n n n x n ∞=+∑． （8） 211nn n n x n ∞=++∑．7.4 函数展成幂级数1 函数展成幂级数的方法 （1）定义法：泰勒级数：()000()()()!n n n f x f x x x n ∞==-∑，也称()f x 在点0x 展成的幂级数；或称()f x 展成的关于0()x x -的幂级数；麦克劳林级数：()0(0)()!n nn f f x x n ∞==∑，也称()f x 在点0展成的幂级数，或称()f x 展成的关于x 的幂级数；2 公式法： 常见公式（1） 011n n x x ∞==-∑，(1,1)-；（2） 01(1)1n n n x x ∞==-+∑，(1,1)-；（3） 0e !nxn x n ∞==∑，(,)-∞+∞；（4） 210sin (1)(21)!n nn x x n +∞==-+∑，(,)-∞+∞；（5） 20c o s (1)(2)!nn n x x n ∞==-∑，(,)-∞+∞； （6） 1l n (1)(1)1n nn x x n +∞=+=-+∑，(1,1]-；（7） 0(1)(1)(1)!n n n x x n αααα∞=--++=∑ ，(1,1)-；一般的，只有少数比较简单的函数，其幂级数的展开式能从基本步骤出发，根据定理1求得．在更多的情况下，将一个函数展成麦克劳林级数或泰勒级数，都使用上面九个公式，如果不能直接使用，可以通过变形：加、减、乘、除、求导和求积分，把函数变成符合上面公式的函数．这样一方面不必求函数的任意阶导数，另一方面不必验证余项在收敛域上的极限是0．因此熟悉、牢记和灵活运用上述公式显得尤其重要．2 函数展开麦克劳林级数例1 将下列函数展开成关于x 的幂级数．（1）211x +； （2）12x-； （3）2132x x ++； （4）2cos x ；（5）arctan x x ，并求(2010)(0)f ； （6）21(1)x -； 解（1）利用公式(2)，有221(1)1n n n x x ∞==-+∑． 由于2(1,1)x ∈-，于是级数的收敛域是(1,1)-．（2）将函数变形，有111()2212f x xx ==⋅--． 利用公式(1)，得到10011()222nn n n n x f x x ∞∞+==⎛⎫== ⎪⎝⎭∑∑．由于(1,1)2x∈-，所以级数的收敛域是(2,2)-． （3）将函数21()32f x x x =++展开成麦克劳林级数．解 将函数()f x 变形，有21111()32(1)(2)12f x x x x x x x ===-++++++． 由于1(1)1n n n x x ∞==-+∑，11x -<<； 10111(1)22212n nn n x x x ∞+=-=⋅=++∑，22x -<<，合并，得21001(1)()(1)322n n nn n n n f x x x x x ∞∞+==-==--++∑∑101(1)12n n n n x ∞+=⎛⎫=-- ⎪⎝⎭∑，11x -<<．（4）将函数()f x 变形，得到2111()cos (1cos 2)cos 2222f x x x x ==+=+．根据公式(5)，得到201111(2)()cos 2(1)2222(2)!nn n x f x x n ∞==+=+-∑ 212012(1)2(2)!n n n n x n -∞==+-∑ ，(,)x ∈-∞+∞． 需要指出的是：函数的幂级数展开式一定要写出收敛域．在确定其收敛域时，可以采用两个途径：1．求函数展成的幂级数的收敛域；2．根据公式的收敛域，确定函数展成的幂级数的收敛域． （5）由于()221arctan (1)1n nn x x x ∞='==-+∑，(1,1)x ∈- 于是逐项积分，有2210(1)arctan (arctan )d (1)d 21n xxnnn n n x x x x x x n ∞∞+==-'==-=+∑∑⎰⎰，[1,1]x ∈-，所以220(1)()arctan 21n n n f x x x xn ∞+=-==+∑， [1,1]x ∈-． （5） 下面求(2010)(0)f ．由于函数展成的麦克劳林级数为（数三不要求）()0(0)()!n nn f f x x n ∞==∑， （6） 所以级数(5)和(6)是同一个级数，于是级数中对应项的系数相等．在级数(6)中，2010x的系数是(2010)(0)2010!f ，在级数(5)中，2010x 的系数是1004(1)2009-，从而有(2010)1004(0)(1)2010!2009f -=． 于是有(2010)(0)20102008!f =⋅．注 利用函数的幂级数展开计算函数在一点的高阶导数是求函数在一点的高阶导数的有效方法．（6）通过积分，将函数变形2011()d d 1(1)1xxf x x x x x==-+--⎰⎰．于是，根据公式(1)有1()d 111xn n f x x x x ∞==-+=-+-∑⎰．对上面等式两边求导，有11()n n f x nx∞-==∑，(1,1)x ∈-．习题7-4将下列函数展成麦克劳林级数：（1）2e x； （2）2xx +； （3）2sin x ； （4）ln ；（5）0sin d x t t t⎰； （6）d e 1d x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭ ； （7）01cos d xt t t -⎰； （8）212x x -- ； 第七章习题答案7-1答案1．（1）收敛；（2）收敛；（3）发散；（4）收敛；（5）收敛；（6）发散；（7）收敛； （811ln a n）； （9）收敛（提示：实质是求2xxa a-+-关于x 高阶无穷小的阶数，可以证明22(ln )x x a a x a -+- ）； （10）收敛（提示：2222122ln ln 1111n n n n +⎛⎫=+ ⎪---⎝⎭ ）； （11）收敛（提示：ln cos ln 1(cos 1)1cos n n n πππ⎛⎫-=-+-- ⎪⎝⎭）；（12）收敛（提示：22e ln e (e )n n >>）．（1332ln ln nnnn= ）． 2．（1）收敛；（2）当01a <≤时，发散；当1a >时，收敛；（3）发散；（4）收敛；（5）当0e x <<时，收敛；当e x >时，发散；当e x =时，由于11nn ⎛⎫+ ⎪⎝⎭单调递增，于是11e nn ⎛⎫+< ⎪⎝⎭，所以1e 111n n n u u n +=>⎛⎫+ ⎪⎝⎭，从而有lim 0n n u →∞≠，故此时级数发散； （6）发散（提示：一般项极限不是零）；（7）收敛；（8）发散；（9）收敛；（10）收敛．3．（1）绝对收敛；（2）发散；（3）01p <≤条件收敛，1p >绝对收敛；（4）条件收敛；（5）发散；（6）发散（提示：一般项的极限不是零）；（7）绝对收敛；（8）条件收敛； （9）条件收敛（提示：sin[)]n n ππ+(1)sin )(1)n n n π=-=-）；（10）条件收敛（提示：11sin (1)sin ln ln nn n nπ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭）． 7-2答案（1）收敛半径1R =，收敛域(1,1)-； （2）收敛半径1R =，收敛域[1,1]-； （3）收敛半径R =∞，收敛域(,)-∞∞； （4）收敛半径1R =，收敛域[1,1]-； （5）收敛半径1R =，收敛域[0,2)； （7）收敛半径13R =，收敛域11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭； （8）收敛半径1R =，收敛域[1,1)-； （9）收敛半径3R =，收敛域[3,3)-；7-3答案1．（1）ln(1)x --，[1,1)x ∈-；（2）2(1)xx -，(1,1)x ∈-； （3） 21ln(1),(1,0)(0,1)0,0x x x x ⎧--∈-⋃⎪⎨⎪=⎩；（4） (1)ln(1),[1,0)(0,1)0,0x x x x x +--∈-⋃⎧⎨=⎩；（5） 31,(1,1)(1)xx x +∈--； （6） 21arctan arctan ,[1,1]22x x x x x +-∈-； （7） 2ln(1),(1,1)(1)xx x x --∈--；（8） 222ln(1)(1)x x x x ---+-；(1,1)x ∈-． 7-4答案（1）02!n nn x n ∞=∑；(,)x ∈-∞+∞；（2）101(1)112212n nnn x x x x +∞=-=-=+++∑；(2,2)x ∈-； （3）1220111(1)sin cos 22222(2)!n n n x x x n +∞=-=-=+∑，(,)x ∈-∞+∞；（4）[]101(1)1ln(1)ln(1)22(1)n n n x x x n ∞+=--=+--=+∑，(1,1)x ∈-；（5）21200sin 111(1)(1)(21)!(21)!n n n n n n t t t t t n n ∞∞+===-=-++∑∑，再定积分2100sin 1d (1)(21)(21)!x n n n t t x t n n ∞+==-++∑⎰，(,)x ∈-∞+∞；（6） 121121d e 1d 11d d !!(1)!x n n n n n n n nx x x x x x n n n ∞∞∞---===⎛⎫--=== ⎪+⎝⎭∑∑∑，(,)x ∈-∞+∞． （7） 12111cos (1)(2)!n n n t t t n -∞-=--=∑，12011cos (1)d 2(2)!n x nn t t x t n n -∞=--=∑⎰，(,)x ∈-∞+∞．（8） 2100111111(1)232132n n n n n n x x x x x x ∞∞+==⎛⎫⎛⎫=-=--- ⎪ ⎪---+⎝⎭⎝⎭∑∑ 11011(1)32n n n n x ∞++=⎛⎫=-- ⎪⎝⎭∑，(1,1)x ∈-．。