22.3实际问题与二次函数第二课时
A B
D
C
∴当x＝4cm时，S最大值＝32 平方米
小
结
有关抛物线形的实际问题的一般解题思路:
1.建立适当的平面直角坐标系 2.根据题意找出已知点的坐标 3.求出抛物线解析式 4.利用图象解决实际问题.
通过建立平面直角坐标系,可以将有关抛物
线的实际问题转化为二次函数的问题.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
l
A C
l
1
2
B
?
4
?
D
合作学习
如图设这条抛物线为y=ax2
由抛物线经过点B(2，-2)，
y 0
A (-2,-2)
(2,-2) B D
x
所以，这条抛物线的二次函数为： 1 2 C y x 2 当水面下降1m时，水面的纵坐标为
y 3
l
合作学习
y 如图设这条抛物线为 y=ax2+2 由抛物线过B（2，0）可得
y
合作学习
0
y
x
0
X
y
注意:
0
x
在解决实际问题时,我 们应建立简单方便的 平面直角坐标系。
合作学习 有关抛物线形的实际问题的一般解题思路:
1.建立适当的平面直角坐标系 2.根据题意找出已知点的坐标 3.求出抛物线解析式 4.利用图象解决实际问题.
通过建立平面直角坐标系,可以将有关抛物
线的实际问题转化为二次函数的问题.
2
3
体会二次函数是刻画现实世界的有效模 型.
合作学习
用总长为 60 m 的篱笆围城一个矩形场地，矩形面积 S 随矩形一边长 l 的变化而变化. （1）你能求出S与L之间的函数关系吗？
答：S= l（30- l ）=- l ² + 30 l （0< l <30）
（2）此矩形的面积能是200 m² 吗？若能，请求出此矩形
变式1：现要用60米长的篱笆围成一个 矩形场地（一边靠墙且墙长40米）。应 怎样围才能使矩形的面积s最大？最大 是多少？
变式2、现要用60米长的篱笆围成一个 矩形场地（一边靠墙且墙长28米）。应 怎样围才能使矩形的面积s最大？最大是 多少？
合作学习
图中是抛物线形拱桥，当水面在 l 时，拱顶离水面 2m，水面宽4m。由于干旱，水面下降，当水面下 降1m，水面宽度增加多少? CD-AB
对称轴：x=4， 顶点坐标：（4,8）
所以，当两直角边长都为4m时，面积最大为8m² .
反
馈
2、如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆， 围成中间隔有两道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽 AB为x米，面积为S平方米. (1)求S与x的函数关系式及自变量的取值范围； (2)当x取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多 少？ (3)若墙的最大可用长度为8米，求围成花圃的最大面 积. A D
复习回顾
如何求出二次函数 y = ax + bx + c 的最小 （大）值？
由于抛物线 y = ax + bx + c 的顶点是最低（高）
b 2 点，当 x 时，二次函数 y = ax + bx + c 有 2a 4ac b 2 最小（大） 值 y 4a
2
2
学习目标
1
能够分析和表示几何问题中变量之间的 关系. 会运用二次函数的知识求出几何问题中 的最大（小）值.
4a+2=0
(0,2)
(-2, 0) A C
2
0
(2, 0) B x 当水面下降1m时， D
水面的纵坐标为y=-1
合作学习
y 如图设这条抛物线为 y=a(x-2)2+2 由抛物线过B（4，0）可得 (2,2 )
(0,0 ) A 0 C 4a+2=0
(4, 0)
B
D
x 当水面下降1m时， 水面的纵坐标为y=-1
B
C
反
馈
解: (1) ∵ AB为x米、篱笆长为24米 ∴ 花圃宽为（24－4x）米 ∴ S＝x（24－4x） ＝－4x2＋24 x （0<x<6）
2 4 ac b b b 3 3 时，S最大值＝ (2)当x＝ ＝36（平方米） 2a a 4a 2
(3) ∵墙的可用长度为8米 ∴ 0<24－4x ≤8 4≤x<6
的长、宽各是多少？
答：能. 当 S =200时，200=l（30-l）得l=10或20.即 长、宽为10m、20m.
合作学习
（3）此矩形的面积能是250m² 吗？若能，请求出 l 的值；若不能，请说明理由.
答：不能. 当 S =250时，250= l (30-l ),此时Δ＜0，
即 l 没有实数根，所以不能. （4）当 l 是多少米时，场地的面积 S 最大？最 大值是多少？ 答：l =15米时，场地面积 S 最大为225平方米.
反
馈
1、已知直角三角形的两条直角边的和等于8，两 条直角边各为多少时，这个直角三角形的面积最 大？最大值是多少？
解：设其中一条直角边的长为x，另一条直角边为（8-x）.
1 则直角三角形的面积: S x (8 x ) . 2 1 1 2 即S =- x 4 x = ( x 4) 2 8 (0＜x＜8） 2 2
人教版初中数学22.3 实际问题与二次函数(第2课时) 课件
22.3 实际问题与二次函数/
22.3 实际问题与二次函数 （第2课时）
导入新知
22.3 实际问题与二次函数/
在日常生活中存在着许许多多的与数学知识有关的实际 问题.如繁华的商业城中很多人在买卖东西。
【思考】如果你去买商品，你会选买哪一家呢？如果你是商 场经理，如何定价才能使商场获得最大利润呢？
探究新知
22.3 实际问题与二次函数/
素养考点 2 限定取值范围中如何确定最大利润
例3 某商店试销一种新商品，新商品的进价为30元/件，经过一段
时间的试销发现，每月的销售量会因售价的调整而不同.令每月销
售量为y件，售价为x元/件，每月的总利润为Q元.
（1）当售价在40～50元时，每月销售量都为60件，则此时每 月的总利润最多是多少元？
即定价65元时，最大利润是6250元.
探究新知
22.3 实际问题与二次函数/
例2 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300 件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件； 每降价1元，每星期可多卖出18件，已知商品的进价为 每件40元，如何定价才能使利润最大？ 降价销售
①每件降价x元，则每星期售出商品的利润y元，填空：
解：（1）由题意得：200﹣10×（52﹣50）=200﹣20=180（件）， （2）由题意得： y=（x﹣40）[200﹣10（x﹣50）] =﹣10x2+1100x﹣28000 =﹣10（x﹣55）2+2250.
∴每件销售价为55元时，获得最大利润；最大利润为2250元．
课堂检测
22.3 实际问题与二次函数/
①每件商品的销售单价上涨x元，一个月内获取的商品总利润为y元，填空：
《实际问题与二次函数》第二课时利润问题 教案
人教版数学九年级上22.3.2实际问题与二次函数第二课时教学设计课题22.3.2实际问题与二次函数单元第二十二章学科数学年级九年级上学习目标情感态度和价值观目标通过对生活中实际问题的探究活动，锻炼学生克服困难的意志，建立自信心，提高学习热情.能力目标1.通过对商品涨价与降价的分析，感受函数知识在生活中的应用；2.在探究活动中，学会与他人合作并能与他人交流思维过程和探究结果．知识目标 1.将实际问题抽象成数学问题，经历函数建模的过程；2.会用二次函数知识求实际问题的最大值或最小值.重点用二次函数知识解决商品利润问题。
难点能够正确分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系,并求出最大(小）值。
学法自主探究、分组探究、合作交流教法引导发现法启发探究法教学过程教学环节教师活动学生活动设计意图导入新课一、情境导入设疑：观看商场的促销广告、电商广告页面，商家做广告的目的是什么？如果你是商场经理，你该如何定价才能获得最大利润？揭示课题：商品利润问题教师出示各种促销图片，设疑，激发学生探究的欲望，进而揭示课题。
从身边常见的生活实际情境入手，创设问题情境，激发学生的求知欲。
讲授新课二、探究新知问题1：某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，已知商品的进价为每件40元，则每星期销售额是_____元，销售利润______元.涉及到的数量关系：（1）销售额=售价×销售量;（2）利润=销售额-总成本=单件利润×销售量;（3）单件利润=售价-进价.问题2：某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？（1）降价：①设每件降价x元，则每星期售出商品的利润y元随之变化：建立函数关系式：②自变量x的取值范围如何确定？③降价多少元时，利润y最大，是多少？（2）涨价：①设每件涨价n元，则每星期售出商品的利润m元随之变化：建立函数关系式：②自变量n的取值范围如何确定？③涨价多少元时，利润m最大，是多少？学生分小组合作探究,教师提供题干中涉及到的“数量关系”引导学生分步探究。
《实际问题与二次函数》第二课时利润问题-练习
22.3.2实际问题与二次函数商品利润问题一．选择题1．某产品进货单价为90元，按100元一件出售时，能售出500件．若每件涨价1元，则销售量就减少10件．则该产品能获得的最大利润为（）A．5000元 B．8000元 C．9000元D．10000元2．一件工艺品进价为100元，按标价135元售出，每天可售出100件．若每降价1元出售，则每天可多售出4件．要使每天获得的利润最大，每件需降价（）元．A．5 B．10 C．0 D．153．某旅社有100张床位，每床每晚收费10元时，客床可全部租出；若每床每晚收费提高2元，则减少10张床位租出；若每床每晚收费再提高2元，则再减少10张床位租出．以每次提高2元的这种方法变化下去，为了投资少而获利大，每床每晚收费应提高（）A．4元或6元 B．4元 C．6元 D．8元4．某网店销售一款李宁牌运动服，每件进价100元，若按每件128元出售，每天可卖出100件，根据市场调查结果，若每件降价1元，则每天可多卖出5件，要使每天获得的利润最大，则每件需要降价的钱数为（）A．3元 B．4元 C．5元 D．8元二．填空题5．某大学生利用业余时间销售一种进价为60元/件的文化衫，前期了解并整理了销售这种文化衫的相关信息如下：（1）月销量y（件）与售价x（元）的关系满足：y=﹣2x+400；（2）工商部门限制销售价x满足：70≤x≤150（计算月利润时不考虑其他成本）．给出下列结论：①这种文化衫的月销量最小为100件；②这种文化衫的月销量最大为260件；③销售这种文化衫的月利润最小为2600元；④销售这种文化衫的月利润最大为9000元．其中正确的是（把所有正确结论的序号都选上）6．某超市销售某种玩具，进货价为20元．根据市场调查：在一段时间内，销售单价是30元时，销售量是400件，而销售单价每上涨1元，就会少售出10件玩具，超市要完成不少于300件的销售任务，又要获得最大利润，则销售单价应定为元．7．某水产品养殖企业为指导该企业某种水产品的养殖和销售，对历年市场行情和水产品养殖情况进行了调查．调查发现这种水产品的每千克售价y1（元）与销售月份x（月）满足关系式，而其每千克成本y2（元）与销售月份x（月）满足的函数关系如图所示．（1）确定这种水产品每千克的利润y（元）与销售月份x（月）之间的函数关系式；（2）“五•一”之前，月份出售这种水产品每千克的利润最大，最大利润是元．8．某电商销售一款夏季时装，进价40元/件，售价110元/件，每天销售20件，每销售一件需缴纳电商平台推广费用a元（a＞0）．未来30天，这款时装将开展“每天降价1元”的夏令促销活动，即从第1天起每天的单价均比前一天降1元．通过市场调研发现，该时装单价每降1元，每天销量增加4件．在这30天内，要使每天缴纳电商平台推广费用后的利润随天数t（t为正整数）的增大而增大，a的取值范围应为．三．解答题9．（2017•本溪二模）经市场调查，某种商品在第x天的售价与销量的相关信息如下表；已知该商品的进价为每件30元，设销售该商品每天的利润为y元．（1）求出y与x的函数关系式（2）问销售该商品第几天时，当天销售利润最大？最大利润是多少？（3）该商品销售过程中，共有多少天日销售利润不低于4800元？直接写出答案．10．（2017•青岛）青岛市某大酒店豪华间实行淡季、旺季两种价格标准，旺季每间价格比淡季上涨．下表是去年该酒店豪华间某两天的相关记录：淡季旺季未入住房间数10 0日总收入（元）24000 40000（1）该酒店豪华间有多少间？旺季每间价格为多少元？（2）今年旺季来临，豪华间的间数不变．经市场调查发现，如果豪华间仍旧实行去年旺季价格，那么每天都客满；如果价格继续上涨，那么每增加25元，每天未入住房间数增加1间．不考虑其他因素，该酒店将豪华间的价格上涨多少元时，豪华间的日总收入最高？最高日总收入是多少元？11．（2017•扬州）农经公司以30元/千克的价格收购一批农产品进行销售，为了得到日销售量p（千克）与销售价格x（元/千克）之间的关系，经过市场调查获得部分数据如下表：销售价格x（元/千克）30 35 40 45 50日销售量p（千克）600 450 300 150 0（1）请你根据表中的数据，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定p与x之间的函数表达式；（2）农经公司应该如何确定这批农产品的销售价格，才能使日销售利润最大？（3）若农经公司每销售1千克这种农产品需支出a元（a＞0）的相关费用，当40≤x≤45时，农经公司的日获利的最大值为2430元，求a的值．（日获利=日销售利润﹣日支出费用）12．某旅行社的一则广告如图：（1）当x满足什么条件时，参游人员人均旅游费用为500元．（2）设某公司参游人数为x人，旅游总费用为y元，就不同情况，分别写出y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．（3）甲公司计划用28000元组织一批员工旅游，问：最多可以安排多少人参加？（4）乙公司有55人参加旅游，老板付给领队小李30000元作为旅游费用，小李说：“费用不够，参游人数需减少”．老板说：“费用足够，人员还可增加”．请问小李、老板的话是否有道理？请说明理由．参考答案一．选择题1．C．2．A．3．C．4．B．二．填空题5．①②③．6．40．7．四，10.5．8．0＜a＜6．三．解答题9．【解答】解：（1）当1≤x＜50时，y=（200﹣2x）（x+40﹣30）=﹣2x2+180x+2000，当50≤x≤90时，y=（200﹣2x）（90﹣30）=﹣120x+12000；（2）当1≤x＜50时，二次函数开口向下，二次函数对称轴为x=45，当x=45时，y最大=﹣2×452+180×45+2000=6050，当50≤x≤90时，y随x的增大而减小，当x=50时，y最大=6000，综上所述，该商品第45天时，当天销售利润最大，最大利润是6050元；（3）当1≤x＜50时，y=﹣2x2+180x+2000≥4800，解得20≤x≤70，因此利润不低于4800元的天数是20≤x＜50，共30天；当50≤x≤90时，y=﹣120x+12000≥4800，解得x≤60，因此利润不低于4800元的天数是50≤x≤60，共11天，所以该商品在销售过程中，共41天每天销售利润不低于4800元．10．【解答】解：（1）设淡季每间的价格为x元，酒店豪华间有y间，，解得，，∴x+x=600+=800，答：该酒店豪华间有50间，旺季每间价格为800元；（2）设该酒店豪华间的价格上涨x元，日总收入为y元，y=（800+x）（50﹣）=42025，∴当x=225时，y取得最大值，此时y=42025，答：该酒店将豪华间的价格上涨225元时，豪华间的日总收入最高，最高日总收入是42025元．11．【解答】解：（1）假设p与x成一次函数关系，设函数关系式为p=kx+b，则，解得：k=﹣30，b=1500，∴p=﹣30x+1500，检验：当x=35，p=450；当x=45，p=4150；当x=50，p=0，符合一次函数解析式，∴所求的函数关系为p=﹣30x+1500；（2）设日销售利润w=p（x﹣30）=（﹣30x+1500）（x﹣30）即w=﹣30x2+2400x﹣45000，∴当x=﹣=40时，w有最大值3000元，故这批农产品的销售价格定为40元，才能使日销售利润最大；（3）日获利w=p（x﹣30﹣a）=（﹣30x+1500）（x﹣30﹣a），即w=﹣30x2+（2400+30a）x﹣（1500a+45000），对称轴为x=﹣=40+a，①若a＞10，则当x=45时，w有最大值，即w=2250﹣150a＜2430（不合题意）；②若a＜10，则当x=40+a时，w有最大值，将x=40+a代入，可得w=30（a2﹣10a+100），当w=2430时，2430=30（a2﹣10a+100），解得a1=2，a2=38（舍去），综上所述，a的值为2．12．【解答】解：（1）根据题意，800﹣10（x﹣30）=500，解得x=60；（2）0≤x≤30时，y=800x，30＜x≤60时，y=x[800﹣10（x﹣30）]=﹣10x2+1100x，x＞60时，y=500x，所以，y=；（3）0≤x≤30时，800x=28000，解得x=35，不符合题意，舍去，30＜x≤60时，﹣10x2+1100x=28000，整理得，x2﹣110x+2800=0，解得x1=40（舍去），x2=70，x＞60时，500x=28000，解得x=56（不符合题意，舍去），综上所述，最多可以安排40人参加；（3）∵旅游费用为30000元，∴﹣10x2+1100x=30000，整理得，x2﹣110x+3000=0，解得x1=50，x2=60，所以，50人参加旅游与60人参加旅游的费用相同，都是30000元，故，老板的话有道理．。
人教版数学九年级上册：22.3 实际问题与二次函数 第2课时 二次函数与最大利润问题 教案
22.3实际问题与二次函数第2课时二次函数与最大利润问题【知识网络】典案二导学设计一、阅读课本：二、学习目标：1．懂得商品经济等问题中的相等关系的寻找方法；2．会应用二次函数的性质解决问题．三、探索新知某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？分析：调整价格包括涨价和降价两种情况，用怎样的等量关系呢？解：（1）设每件涨价x元，则每星期少卖_________件，实际卖出_________件，设商品的利润为y元．（2）设每件降价x元，则每星期多卖_________件，实际卖出__________件．四、课堂训练1．某种商品每件的进价为30元，在某段时间内若以每件x元出售，可卖出（100－x）件，应如何定价才能使利润最大？2．蔬菜基地种植某种蔬菜，由市场行情分析知，1月份至6月份这种蔬菜的上市时间x上市时间x/（月份） 1 2 3 4 5 6市场售价P（元/千克）10.5 9 7.5 6 4.5 3这个函数的图象是抛物线的一段（如图）．（1）写出上表中表示的市场售价P（元/千克）关于上市时间x（月份）的函数关系式；（2）若图中抛物线过A、B、C三点，写出抛物线对应的函数关系式；（3）由以上信息分析，哪个月上市出售这种蔬菜每千克的收益最大？最大值为多少？（收益＝市场售价－种植成本）五、目标检测某宾馆客房部有60个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天200元时，房间可以住满．当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．对有游客入住的房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用．设每个房间每天的定价增加x元，求：（1）房间每天入住量y（间）关于x（元）的函数关系式；（2）该宾馆每天的房间收费z（元）关于x（元）的函数关系式；（3）该宾馆客房部每天的利润w（元）关于x（元）的函数关系式，当每个房间的定价为多少元时，w有最大值？最大值是多少？。
人教版数学九年级上册22.3 实际问题与二次函数(第二课时)(教学课件)
由于两盏 E、F 距离水面都是 8m，因而两盏景观灯之间的水平距离就
是直线 y=8 与抛物线两交点的横坐标差的绝对值．
故有
即
，
，
，
．
所以两盏警示灯之间的水平距离为：
课堂练习 （利用二次函数解决拱桥问题）
例题3 抛物线形拱门的示意图如图所示，底部宽AB为6米，最高点O
距地面5米．现有一辆集装箱车，宽为2.8米，高为4米，请通过计算
（3）若日销售利润不低于125元，请直接写出售价的取值范围．
解：3）根据题意可得− − 25
2
+ 225 ≥ 125，解得值范围为：15 ≤ ≤ 35．
课堂练习 （利用二次函数解决销售问题）
例题三 某文具店购进一批纪念册，每本进价为20元，出于营销考虑，要求每本纪念
15 + = 25
20 + = 20
解得 = −1， = 40，故一次函数的关系式为 = − + 40．
2） 设所获利润为 元，则 = − 10 40 − = − 2 + 50 − 400 = − − 25
所以产品的销售价应定为 25 元， 此时每日的销售利润为 225 元；
与每本纪念册的售价x（元）之间满足一次函数关系：当销售单价为22元时，销售量
为36本；当销售单价为24元时，销售量为32本．
（2）当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的销售单价是多
少元？
(2)设当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的销售单价是x元，
根据题意，得(x－20)y＝150，即(x－20)(－2x＋80)＝150.
【方法一】如图所示建立直角坐标系，
人教版九年级数学上册22.3 实际问题与二次函数第二课时课件
这个月为他承担的总差价为多少元？ (2)设李明获得的利润为w(元)，当销售单价为多少元时，每月
可获得最大利润？ (3)物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于25元．如
果李明想要每月获得的利润不低于3 000元，那么政府每个月为 他承担的总差价最少为多少元？
7．(12分)在“母亲节”前夕，我市某校学生积极参与“关爱贫 困母亲”的活动，他们购进一批单价为20元的“孝文化衫”在课 余时间进行义卖，并将所得利润捐给贫困母亲．经试验发现， 若每件按24元的价格销售时，每天能卖出36件；若每件按29 元的价格销售时，每天能卖出21件．假定每天销售件数y(件) 与销售价格x(元/件)满足一个以x为自变量的一次函数．
C．y＝a(1－x)2
D．y＝a(1＋x)2
2．(4分)一台机器原价60万元，如果每年的折旧率为x，两年 后这台机器的价位为y万元，则y关于x的函数关系式为( A )
A．y＝60(1－x)2
B．y＝60(1－x2)
C．y＝60－x2
D．y＝60(1＋x)2
3．(4分)喜迎圣诞，某商店销售一种进价为50元/件的商品， 售价为60元/件，每星期可卖出200件，若每件商品的售价每上 涨1元，则每星期就会少卖出10件．设每件商品的售价上涨x元 (x为正整数)，每星期销售该商品的利润为y元，则y与x的函数 关系式为(A )
资，则 5 年所获利润的最大值是 205万元 ．
9．出售某种文具盒，若每个获利 x 元，一天可售出(6－x)个，则
当 x＝__3__元时，一天出售该种文具盒的总利润最大．
二、解答题(共48分) 10．(14分)某网店以每件60元的价格购进一批商品，若以单 价80元销售，每月可售出300件．调查表明：单价每上涨1元， 该商品每月的销售量就减少10件． (1)请写出每月销售该商品的利润y(元)与单价上涨x(元)间的 函数关系式； (2)单价定为多少元时，每月销售该商品的利润最大？最大利 润为多少？
20182019学年人教版九年级数学上22.3实际问题与二次函数第二课时教案
第 2 课时实责问题与二次函数〔 2〕※授课目的※【知识与技术】将生活实责问题转变成数学问题，进一步体验二次函数在生活中的应用 .【过程与方法】经过对生活中实责问题的研究 , 领悟数学在生活实质中的广泛应用，睁开数学思想 . 【感神态度】感觉数学在生活中的应用，激发学生学习热情，体验解决问题的方法，培养学生的合作交流意识和研究精神 .【授课重点】利用二次函数解决有关拱桥问题 .【授课难点】建立二次函数的数学模型 .※授课过程※一、问题导入问题为满足市场需求，某商场在五月初五“端午节〞来临前夕，购进一种品牌粽子，每盒进价是 40 元．商场规定每盒售价不得少于 45 元．依照过去销售经验发现；当售价定为每盒 45 元时，每天可以卖出 700 盒，每盒售价每提高 1 元，每天要少卖出 20 盒．〔1〕试求出每天的销售量 y〔盒〕与每盒售价 x〔元〕之间的函数关系式；〔2〕当每盒售价定为多少元时，每天销售的利润 P〔元〕最大？最大利润是多少？〔3〕为坚固物价，有关管理部门限制：这种粽子的每盒售价不得高于 58 元．若是商场想要每天获得不低于 6000 元的利润，那么商场每天最少销售粽子多少盒？答案解：〔 1〕由题意，得y 700 20 x 45 20x 1600 .〔2〕P= 22x 40 20x 1600 20x 2400 x 64000 20 x 60 8000 ，∵x≥45，a=-20＜0，∴当 x=60 时，P 最大值=8000 元，即当每盒售价定为 60 元时，每天销售的利润 P〔元〕最大，最大利润是 8000 元 .〔3〕由题意，得 220 x 60 8000 6000 . 解得 x1 50， x2 70．∵抛物线 2P 20 x 60 8000 的张口向下，∴当 50≤x≤70 时，每天销售粽子的利润不低于 6000 元. 又 x≤58，∴50≤x≤58. ∵在 y 20x 1600中， k 20＜0，∴y 随 x 的增大而减小. ∴当 x=58 时，y 最小值=-20 ×58+1600=440，即商场每天最少销售粽子 440 盒.二、研究新知研究图中是抛物线形拱桥，当拱桥离水面 2m 时，水面宽 4m，水面下降 1m，水面宽度增加多少？提问〔1〕石拱桥桥拱的形状可以近似地看作是抛物线吗？〔2〕将本体转变成二次函数问题，需要求出二次函数剖析式，依照题中条件，求二次函数剖析式的前提是什么？〔3〕题中“水面下降 1m 的含义是什么？〞水面下降的同时水面宽度有什么变化？如何求宽度增加多少？解决问题：以抛物线的极点为原点，以抛物线的对称轴为 y 轴，建立坐标系 . 设这条抛第 1 页物线表示的二次函数为 2y ax . 由抛物线经过点〔 2，-2 〕，可得22 a 2 ，1a . 这条2抛物线表示的二次函数为12 y x .2当水面下降 1m 时，水面的纵坐标为 -3.请你依照上面的函数剖析式求出这时的水面宽度 .水面下降 1m 时，水面宽度增加 m.三、坚固练习1. 如图，一单杠高2.2 米，两立柱之间的距离为 1.6 米，将一根绳子的两端拴于立柱与铁结合处，绳子自然下垂呈抛物线状态，一身高 0.7 米的小女孩站在离立柱 0.4 米处，其头恰巧触上绳子，那么绳子最低点到地面的距离为多少米？2. 如图，一位篮球运发动甲在距篮球筐下 4 米处跳起投篮，球的运行线路为抛物线，当球运行到水平距离为 2.5 米时到达最高高度为米，尔后正确地落入篮筐，篮圈中心到地面的高度为 3.05 米，该运发动的身高为 1.8 米．〔1〕在此次投篮中，球在该运发动的头顶上方 0.25 米处出手，那么当球出手时，该运发动离地面的高度为多少米？〔2〕运发动乙跳离地面时，最高能摸到 3.3 米运发动乙在运发动甲与篮板之间的什么范围内能在空中截住球？答案： 1. 以以下图，以 O 为坐标原点，水平方向为 x 轴，垂直方向为 y 轴，建立直角坐标系，设抛物线的剖析式为 2 0y ax a . 设 A，B，D 三点坐标依次为〔 x A ， y A 〕，〔 x B ， y B 〕，〔 x D ， y D 〕.由题意，得 AB=1.6 ，∴ x A 80. ，x B ，又可得1 x =-0.4.D2∴当 x 0 . 8时，y =A2a a , 当 x 0.4 时，2y D a? 0 . 4 0 . 1a.6∵，∴ 0.64a 0.16a 1.5. ∴A D25a . ∴抛物线的剖析式为8252y x . 当8时，252，∴〔m〕.D82. 〔1〕设抛物线的剖析式为 2y ax 3.5 . ∵〔1.5 ，3.05 〕在抛物线上，∴ 3.05 a 1.52 3.5 . 解得 a 0.2 . ∴ 2y 0.2x 3.5 . 当时，，∴运发动离地面的高度为〔m〕.〔2〕由题意 , 得，那么 23.3 0.2 x 3.5 . 解得 x1 1， x2 1. ∴ 4 1 3〔m〕. ∴乙在运发动甲与篮板之间的距离甲 3 米范围内能在空中截住球 .四、归纳小结1. 运用二次函数解决实责问题的一般步骤：审题；建立数学模型；求抛物线剖析式；解决实责问题 .2. 数形结合思想的运用 .※部署作业※第 2 页从教材习题 22.3 中采用 .※授课反思※本课时的授课应注意建立正确的直角坐标系，使近似于抛物线的实责问题转变成平面直角坐标系中的抛物线 . 授课时，教师仍可采用分步设问的形式让学生答复并让学生互相交流 . 教师应激励学生用多种方法建立平面直角坐标系，并求出相应抛物线的剖析式，在这一过程中让学生体验研究发现的乐趣，领悟数学的最优化思想 .第 3 页。
22.3 实际问题与二次函数(第2课时)-人教版九年级数学上册课时互动训练
22.3 实际问题与二次函数（第2课时）自主预习1．出售某种文具盒，若每个获利x元，一天可售出(6－x)个，则当x＝________时，一天出售该种文具盒的总利润y最大．2．某服装店购进价格为每件15元的童装若干件，销售一段时间后发现：当每件的售价为25元时平均每天能售出8件，若每件每降价2元，平均每天能多售出4件．若设每件服装定价为x(x<25)元，则每件服装的利润为________元，每天销售服装________件，该服装店每天的销售利润y＝____________________元；若设每件服装降价x元，则每件服装的利润为____________元，每天销售服装____________件，该服装店每天的销售利润y＝_______________________________________元．(所列算式均不化简)互动训练知识点一：利用二次函数解决销售中的最大利润等问题1．某种产品按质量分为10个档次，生产最低档次产品，每件获利8元，每提高一个档次，每件产品利润增加2元．用同样工时，最低档次产品每天可生产60件，每提高一个档次将减少3件．如果每天获得利润最大的产品是第k档次(最低档次为第一档次，档次依次随质量增加)，那么k等于()A．5 B．7 C．9 D．102．某玩具厂计划生产一种玩具熊，每日最高产量为40只，且每日产出的产品全部售出．已知生产x只玩具熊的成本为R(元)，售价为每只P(元)，且R，P与x之间的关系式分别为R＝30x＋500，P＝170－2x.若想获得最大利润，则日产量为()A．25只B．30只C．35只D．40只3．某公司在甲、乙两地同时销售某种品牌的汽车．已知在甲、乙两地的销售利润y(单位：万元)与销售量x(单位：辆)之间分别满足：y1＝－x2＋10x，y2＝2x.若该公司在甲、乙两地共销售15辆该品牌的汽车，则能获得的最大利润为()A．30万元B．40万元C．45万元D．46万元4. 某商店购进一批单价为20元/件的日用品，如果以单价30元/件销售，那么半个月内可以售出400件．根据销售经验，提高单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件．售价定为多少，才能在半个月内获得最大利润？5．“互联网＋”时代，网上购物备受消费者青睐．某网店专售一款休闲裤，其成本为每条40元，当售价为每条80元时，每月可销售100条．为了吸引更多顾客，该网店采取降价措施．据市场调查反映：每条裤子每降价1元，则每月可多销售5条．设每条裤子的售价为x 元(x为正整数)，每月的销售量为y条．(1)直接写出y与x之间的函数关系式(不用写自变量的取值范围)；(2)设该网店每月获得的利润为w元，当每条裤子的售价降价多少元时，每月获得的利润最大，最大利润是多少？(3)该网店店主热心公益事业，决定每月从利润中捐出200元资助贫困学生．为了保证捐款后每月利润不低于4220元，且让消费者得到最大的实惠，该如何确定休闲裤的销售单价？6. 某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x(元)与产品的日销量y（件）之间的关系如下表：且日销量y（件）是销售价x(元)的一次函数.（1）求日销量y（件）与x(元)的一次函数.（2）要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？此时最大销售利润是多少？知识点二：利用二次函数解决房间住宿中的最大利润等问题7. 某宾馆有50个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天180元时，房间会全部住满.当每个房间每天的房价每增加10元时，就会有一个房间空闲.宾馆需对游客居住的每个房间每天支出20元的各种费用.根据规定，每个房间每天的房价不得高于340元.设每个房间每天的房价增加x元（x为10的正整数倍）.（1）设一天订住的房间数为y，直接写出y与x的函数关系式及自变量x的取值范围;（2）设宾馆一天的利润为W元，求W与x的函数关系式；（3）一天订住多少个房间时，宾馆的利润最大？最大利润是多少元？8．某宾馆有若干间标准房，当标准房的价格为200元时，每天入住的房间数为60间，经市场调查表明，该宾馆每间标准房的价格在170～240元之间(含170元，240元)浮动时，每天入住的房间数y(间)与每间标准房的价格x(元)的数据如下表：(1)根据所给数据在图(2)求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．(3)设客房的日营业额为w(元)，若不考虑其他因素，问宾馆标准房的价格定为多少元时，客房的日营业额最大？最大为多少元？课时达标1．某鞋帽专卖店销售一种绒帽，若这种帽子每天获利y(元)与销售单价x(元)满足关系y=-x2+70x-800，要想获得最大利润，则销售单价为（）A．30元B．35元C．40元D．45元2．某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映，如果调整商品售价，每降价1元，每星期可多卖出20件．设每件商品降价x元后，每星期售出商品的总销售额为y元，则y与x的关系式为（）A．y=60（300+20x）B．y=（60﹣x）（300+20x）C．y=300（60﹣20x）D．y=（60﹣x）（300﹣20x）3．某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系，每盆植3株时，平均每株盈利4元；若每盆增加1株，平均每株盈利减少0.5元，要使每盆的盈利达到15元，每盆应多植多少株？设每盆多植x株，可列出的方程是（）A．(3+x)(4-0.5x)=15B．(x+3)(4+0.5x)=15C．(x+4)(3-0.5x)=15D．(x+1)(4-0.5x)=154. 某批发商销售每箱进价为40元的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于55元．市场调查发现，若每箱以45元的价格销售，则平均每天销售105箱；若每箱以50元的价格销售，则平均每天销售90箱，假定每天的销售量y(箱)与销售价x(元/箱)之间满足一次函数关系．(1)求每天的销售量y(箱)与销售价x(元/箱)之间的函数解析式(不需要写出自变量的取值范围)；(2)求该批发商平均每天的销售利润w(元)与销售价x(元/箱)之间的函数解析式；(3)当每箱苹果的销售价为多少时，可以获得最大利润？最大利润是多少？5. 为了推进知识和技术创新、节能降耗，使我国的经济能够保持可持续发展．某工厂经过技术攻关后，产品质量不断提高，该产品按质量分为10个档次，生产第一档次(即最低档)的新产品一天生产76件，每件利润10元，每提高一个档次，每件可节约能源消耗2元，但一天产量减少4件．生产该产品的档次越高，每件产品节约的能源就越多，是否获得的利润就越大？请你为该工厂的生产提出建议．6. 某水果店销售某种水果，由历年市场行情可知，从第1月至第12月，这种水果每千克售价y1(元)与销售时间第x月之间存在如图①所示(一条线段)的变化趋势，每千克成本y2(元)与销售时间第x月满足函数关系式y2＝mx2－8mx＋n，其变化趋势如图②所示．(1)求y2的解析式；(2)第几月销售这种水果，每千克所获得利润最大？最大利润是多少？6题图拓展探究1．俄罗斯世界杯足球赛期间，某商店销售一批足球纪念册，每本进价40元，规定销售单价不低于44元/本，且获利不高于30%.试销售期间发现，当销售单价定为44元/本时，每天可售出300本，销售单价每上涨1元，每天销售量减少10本，现商店决定提价销售．设每天销售量为y本，销售单价为x元/本．(1)请直接写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围．(2)当每本足球纪念册销售单价是多少元时，商店每天获利2 400元？(3)将足球纪念册销售单价定为多少元/件时，商店每天销售纪念册获得的利润w元最大？最大利润是多少元？2．利民商店经销甲、乙两种商品，现有如图22311所示的信息．图22311请根据以上信息，解答下列问题：(1)甲、乙两种商品的进货单价分别是多少元？(2)该商店平均每天卖出甲商品500件和乙商品300件．经调查发现，甲、乙两种商品的零售单价分别每降0.1元/件，这两种商品每天均可多销售100件．为了使每天获取最大的利润，商店决定把甲、乙两种商品的零售单价都降m元/件，在不考虑其他因素的条件下，当m定为多少时，才能使商店每天销售甲、乙两种商品获取的利润最大？最大利润是多少？22.3 实际问题与二次函数（第2课时）答案自主预习 1．32．(x －15)， (8＋25－x 2×4)，(x －15)(8＋25－x2×4)；(25－15－x )， (8＋x 2×4)， (25－15－x )(8＋x2×4).互动训练1．C 2．C 3．D4.解：设单价提高x 元，利润为y 元．根据题意，列函数解析式为y ＝(30＋x －20)(400－20x )＝－20x 2＋200x ＋4000(0≤x ≤20)． 所以当x ＝5时，y 有最大值为4500元．5．解：(1)由题意可得：y ＝100＋5(80－x )，整理得y ＝－5x ＋500. (2)由题意，得 w ＝(x －40)(－5x ＋500)＝－5x 2＋700x －20000 ＝－5(x －70)2＋4500.∵a ＝－5＜0，∴w 有最大值，当x ＝70时，w 最大值＝4500. 80－70＝10(元)．答：当每条裤子的售价降价10元时，每月获得的利润最大，最大利润为4500元． (3)由题意，得－5(x －70)2＋4500＝4220＋200， 解得x 1＝66，x 2＝74.∵抛物线开口向下，∴当66≤x ≤74时，符合该网店要求． 而为了让顾客得到最大的实惠，应取x ＝66， 故休闲裤的销售单价应定为66元/条． 6. 解：（1）设此一次函数解析式为y =kx +b ，∴⎩⎨⎧=+=+20202515b k b k ，解得，⎩⎨⎧==401-b k ，即一次函数的解析式为y =-x +40.（2）设销售利润为w 元，则W =（x -10）（-x +40）=-（x -25）2+225， 当x =25时，w 有最大值225.即产品的销售价定为25元时，每日获得销售利润最大为225元. 7. 解：（1）y =50-101x (0≤x ≤160，且x 是10的正整数倍). (2) W =（50-101x ）（180+x -20）=-101x 2+34x +8000. (3) W =-101x 2+34x +8000=-101(x -170)2+10890. 当x ＜170时，W 随x 增大而增大，但0≤x ≤160， ∴当x =160时，y =50-101x =34. 答：一天订住34个房间时，宾馆的利润最大，最大利润为10880元. 8. 解：(1)如答图．第1题答图(2)设y ＝kx ＋b (k ≠0)，把(200,60)和(220,50)代入，得⎩⎪⎨⎪⎧ 200k ＋b ＝60，220k ＋b ＝50，解得⎩⎪⎨⎪⎧ k ＝－12，b ＝160.∴y ＝－12x ＋160(170≤x ≤240)． (3)w ＝xy ＝x ⎝⎛⎭⎫－12x ＋160＝－12(x －160)2＋12 800. ∵a ＝－12<0，∴当170≤x ≤240时，w 随x 的增大而减小， ∴当x 取170时，w 有最大值，最大值为12 750.∴当宾馆标准房的价格定为170元时，客房的日营业额最大，最大为12 750元． 课时达标1. B. 解析：∵y =﹣x 2+70x ﹣800=﹣（x ﹣35）2+425，∴当x =35时，y 取得最大值，最大值为425，即销售单价为35元时，销售利润最大，故选：B ．2. B. 解析：每件商品降价x 元后，则每星期的销售量为(300＋20x)件，单价为(60－x)元，则y ＝(60－x)(300＋20x)，故选B.3. A. 解析：设每盆应该多植x 株，由题意得, （3+x ）（4-0.5x ）=15，故选A ．4. 解：(1)y ＝－3x ＋240.(2)由题意，得w ＝(x －40)(－3x ＋240)＝－3x 2＋360x －9600.(3)当x ＝60时，w 有最大值，因为x ≤55，所以当x ＝55时，w 的值最大，为1125元．5. 解：设该厂生产第x 档的产品一天的总利润为y 元，则有y ＝[10＋2(x －1)][76－4(x －1)]＝－8x 2＋128x ＋640＝－8(x －8)2＋1152.当x ＝8时，y 最大值＝1152.由此可见，并不是生产该产品的档次越高，获得的利润就越大．建议：若想获得最大利润，应生产第8档次的产品．(其他建议，只要合理即可)6. 解：(1)由题意可得，函数y 2的图象经过两点(3，6)，(7，7)，∴⎩⎪⎨⎪⎧9m －24m ＋n ＝6，49m －56m ＋n ＝7，解得⎩⎨⎧m ＝18，n ＝638. ∴ y 2的解析式为y 2＝18x 2－x ＋638(1≤x ≤12)． (2)设y 1＝kx ＋b ，∵函数y 1的图象过两点(4，11)，(8，10)，∴⎩⎪⎨⎪⎧4k ＋b ＝11，8k ＋b ＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－14，b ＝12.∴y 1的解析式为y 1＝－14x ＋12(1≤x ≤12)． 设这种水果每千克所获得的利润为w 元．则w ＝y 1－y 2＝(－14x ＋12)－(18x 2－x ＋638)＝－18x 2＋34x ＋338， ∴w ＝－18(x －3)2＋214(1≤x ≤12)，∴当x ＝3时，w 取最大值214， ∴第3月销售这种水果，每千克所获的利润最大，最大利润是214元/千克． 拓展探究1. 解：(1)y ＝300－10(x －44)，即y ＝－10x ＋740(44≤x ≤52)．(2)根据题意，得(x －40)(－10x ＋740)＝2 400，解得x 1＝50，x 2＝64(舍去)，答：当每本足球纪念册销售单价是50元时，商店每天获利2 400元． (3)w ＝(x －40)(－10x ＋740)＝－10x 2＋1 140x －29 600＝－10(x －57)2＋2 890.当x <57时，w 随x 的增大而增大，而44≤x ≤52，∴当x ＝52时，w 有最大值，最大值为－10×(52－57)2＋2 890＝2 640.答：将足球纪念册销售单价定为52元/件时，商店每天销售纪念册获得的利润w 元最大，最大利润是2 640元．2.解：(1)设甲商品的进货单价是x 元/件，乙商品的进货单价是y 元/件．根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝5，3x ＋1＋22y －1＝19，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3. 答：甲商品的进货单价是2元/件，乙商品的进货单价是3元/件．(2)设每天销售甲、乙两种商品获取的利润为w 元，则w ＝(1－m )⎝⎛⎭⎫500＋100×m 0.1＋[(2×3－1)－3－m ]·⎝⎛⎭⎫300＋100×m 0.1＝－2 000m 2＋2 200m ＋1 100＝－2 000(m －0.55)2＋1 705，∴当m ＝0.55时，w 有最大值，最大值为1 705.答：当m 定为0.55时，才能使商店每天销售甲、乙两种商品获取的利润最大，最大利润是1 705元．。
人教版九年级数学上册22.3实际问题与二次函数第2课时《销售利润问题》教案
人教版九年级数学上册22.3实际问题与二次函数第2课时《销售利润问题》教案一. 教材分析本节课是人教版九年级数学上册第22.3节实际问题与二次函数的第2课时，主要内容是销售利润问题。
教材通过引入实际问题，让学生理解和掌握二次函数在实际生活中的应用，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
本节课的内容与学生的生活实际紧密相连，有利于激发学生的学习兴趣和积极性。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了二次函数的基本知识，对于二次函数的图像和性质有一定的了解。
但是，将二次函数应用于实际问题的解决上，可能还存在一定的困难。
因此，在教学过程中，教师需要引导学生将理论知识与实际问题相结合，提高学生运用二次函数解决实际问题的能力。
三. 教学目标1.理解销售利润问题的背景和意义，掌握销售利润问题的解决方法。
2.能够将二次函数知识应用于解决实际问题，提高学生的数学应用能力。
3.培养学生的团队协作能力和问题解决能力，提高学生的数学素养。
四. 教学重难点1.重点：掌握销售利润问题的解决方法，能够将二次函数应用于实际问题的解决。
2.难点：如何引导学生将二次函数与实际问题相结合，提高学生的问题解决能力。
五. 教学方法本节课采用问题驱动的教学方法，通过引入实际问题，引导学生运用二次函数知识进行解决。
同时，采用小组合作学习的方式，鼓励学生积极参与讨论，提高学生的团队协作能力和问题解决能力。
六. 教学准备1.准备相关的实际问题，用于引导学生进行思考和讨论。
2.准备教学课件，用于辅助教学。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体展示一些生活中的销售利润问题，如商品打折、促销活动等，引导学生关注销售利润问题，激发学生的学习兴趣。
2.呈现（10分钟）呈现一个具体的销售利润问题，如某商品原价为100元，售价为80元，求商品的利润。
引导学生运用二次函数知识进行解决。
3.操练（10分钟）学生分组讨论，每组选取一个销售利润问题进行解决。
教师巡回指导，解答学生的问题，引导学生运用二次函数知识进行解决。
初三五班22.3实际问题与二次函数(第二课时) (1)
1.某产品每件的成本价是120元,试销阶段, 每件产品的销售价格x(元)与产品的日销售量y(件) 之间的关系如下表：
x（元） 130 150 165 y（件） 70 50 35
若销售量y是销售价格x的一次函数.
(1)则y与x的函数关系式为
4a
2、图中所示的二次函数图像的
解析式为：y 2x2 8x 13
y
⑴若－3≤x≤3，该函 数的最大值、最小 值分别为
（ 55 ）、（ 5 ）。
⑵又若0≤x≤3，该
函数的最大值、最
6
小值分别为
4
（ 55 ）、（ 13）。 2
求函数的最值问题，应注意什么? 0
x
-4 -2
2
利用二次函数解决几何图形中的最值问题的要点： 1.根据面积公式、周长公式、勾股定理等建立函 数关系式； 2.确定自变量的取值范围； 3.根据开口方向、顶点坐标和自变量的取值范围 画草图； 4.根据草图求所得函数在自变量的允许范围内的 最大值或最小值.
问题2.已知某商品的进价为每件40元。现在
的售价是每件60元，每星期可卖出300件。 市场调查反映：如调整价格 ，每涨价一元， 每星期要少卖出10件；每降价一元，每星期 可多卖出20件。如何定价才能使利润最大？
解：设每件涨价为x元时获得的总利润为y元.
y =(60-40+x)(300-10x)
(0≤x≤30)
基础巩固
1.如图,四边形的两条对角线AC、BD互相垂 直,AC+BD=10, 当AC、BD的长是多少时,四边形ABCD的 面积最大？
解：设AC＝x,四边形ABCD面积为y,